LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezja´ nski: A × B := {(a, b) : a ∈ A i b ∈ B} (zakladamy, z˙ e (x, y) i (u, v) s¸a r´owne wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); An := {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ A}; R ⊂ An relacja n-argumentowa (n-arna) na A; piszemy R(a1 , ..., an ) je´sli (a1 , ..., an ) ∈ R; F ⊆ An × B jest funkcj¸a n-argumentow¸a ze zbioru A w zbi´or B (oznaczamy przez F : An → B) je´sli warunki (a1 , ..., an , b1 ) ∈ F i (a1 , ..., an , b2 ) ∈ F implikuj¸a b1 = b2 ; piszemy F (a1 , ..., an ) = b; Dziedzina: Dom(F ) = {(a1 , ..., an ) ∈ An : dla pewnego b ∈ B, F (a1 , ..., an ) = b}; Obraz: Im(F ) = {b ∈ B : dla pewnego (a1 , ..., an ) ∈ An , F (a1 , ..., an ) = b}; Obraz zbioru R ⊆ An : niech F (R) = {b ∈ B : dla pewnego (a1 , ..., an ) ∈ R, F (a1 , ..., an ) = b}; Przeciwobraz zbioru C ⊆ B: niech F −1 (C) = {(a1 , ..., an ) ∈ An : dla pewnego b ∈ C, F (a1 , ..., an ) = b}. Niech F : A → B i G : B → C. Funkcja zlo˙zona GF : A → C: GF (x) = G(F (x)). Udowodni´ c: (A1 ∪ A2 ) × B = A1 × B ∪ A2 × B; (A1 \ A2 ) × B = A1 × B \ A2 × B; F (GH) = (F G)H dla H : A → B, G : B → C, F : C → D; F (A1 ∪ A2 ) = F (A1 ) ∪ F (A2 ); F (A1 ∩ A2 ) ⊆ F (A1 ) ∩ F (A2 ). 1. Struktury, formuly, spelnianie. 1.1. Struktury. J¸ezyk L : zbi´or symboli relacyjnych (predykat´ow), funkcyjnych m i stalych : L = (P1n1 , ..., Pini , ..., F1m1 , ..., Fj j , ..., c1 , ..., ck , ...). Struktura M j¸ezyka L sklada si¸e ze zbioru A (uniwersum struktury) i interpretacji symboli j¸ezyka L na zbiorze A: ka˙zdy Pini jest interpretowany jako relacja ni m argumentowa na A, ka˙zdy Fj j jest interpretowany jako funkcja mi -argumentowa na A, ka˙zdy ck jest interpretowany jako element ze zbioru A. Podzbi´or B ⊆ A tworzy podstruktur¸e M 0 struktury M je´sli elementy interpretuj¸ace symbole stalych (w M ) nale˙za¸ do B i funkcje interpretuj¸ace symbole funkcyjne (w M ) odwzorowuj¸a B mi w B. Wtedy symbole relacyjne i funkcyjne j¸ezyka L interpretujemy na B jako odpowiednie relacje i funkcje struktury M ograniczone do B (stale na B interpretujemy tak samo jak w M ). Przyklady: L = (P 2 , F 2 , G2 , c1 , c2 ) Struktura N = (N,
