LOGARITMO 1- Introdução O pesquisador John Napier nasceu na Escócia (1550 – 1630). Ele, depois de 20 anos pesquisando logaritmo introduziu o seu conceito, que foi aperfeiçoado por Henry Briggs, pesquisador nascido na Inglaterra (1561 – 1630). O interesse sobre os estudos dos logaritmos decorreu em virtude de alguns cálculos excessivamente trabalhosos para a época, como por exemplo: 45,3287 x 0,23459 ou 45,3287  0,23459. Como é mais fácil somar em vez de multiplicar ou diminuir no lugar de dividir, ele buscou essa alternativa através dos logaritmos que possibilita a transformação de um produto em uma soma e de uma divisão em uma subtração, entre outras transformações possíveis. Na realidade, logaritmo é, como iremos ver, o nome que se dá ao expoente de uma potência. Sabe-se que 34 = 81, onde 3 é a base, 4 o expoente e 81 o resultado que denominamos de potência. Utilizando o linguajar dos logaritmos, temos que 4 é o logaritmo de 81 na base 3, onde, simbolicamente escrevemos 4 = Log3 81. 2- Definição Dada a relação bx = a, com a > 0, 1  b > 0 e x  . Dizemos que x é o logaritmo de a na base b. Simbolicamente temos: Log b a = x, onde, a é o logaritmando ou antilogaritmo, b a base e x o resultado que denominamos de logaritmo de a na base b. Em resumo temos: Log b a = x  bx = a - Bases de um sistema de logaritmo. 1ª)Logaritmo Decimal (ou Comum): apresenta o número 10 como base do sistema de logaritmos sendo representado simbolicamente por Log a (lê-se: logaritmo de a na base 10). Log a = x  10x = a

2ª) Logaritmo Neperiano (ou Natural): apresenta o número irracional e = 2,718...(número neperiano), como base do sistema de logaritmos, sendo representado simbolicamente por Ln a ou Log e a (Lê-se: logaritmo neperiano ou

natural de a na base e). É o sistema de logaritmo muito utilizado nos estudos de vários fenômenos da natureza. Ln a = x  10x = a Obs.: O número e = 2,718... foi denominado de número neperiano em homenagem ao descobridor dos logaritmos, John Napier.

Exemplos 1- Calcule o valor de cada logaritmo: a) Log 2 32 d) Log

2 3

b) Log 3

 8     27 

g) Log 3 0,333...

1    9 

c) Log 2

e) Log 5 5

f) Log 7 1

h) Log 100.000

i) Log 0,00001

Solução a) Log 2 32 = n  2n = 32 2n = 2 5 n=5 b) Log 3

1    9 



5

*Decompondo em fatores primos: 32 = 2

1    9 

= n  3n =

 1   2  3 

3n = n



1

Propriedade da potência:

a

 a

b

b

-2

3 =3 n = -2 c) Log 2

8

= n  2n =

8

2n =

2

3

c



2n = 23/2 n = 3/2 d) Log

2 3

 8     27 

=n 

2   3 2   3

n

n

 8      27  2    3    3  3

8

Propriedade da potência:

b

a

c

 a

b

2   3

n

2    3

3



a Propriedade da potência:  c b

c

 a       b  

c

n=3 e) Log 5 5 = n  5n = 5 n=1 f) Log 7 1 = n  7n = 1 7n = 7 0 n=0 g) Log 3 0,333... = n  3n = 0,333.. 

0 , 333 ... 

3 9

n

 3  

1

 3

1

3

-1

3 =3 n = -1

h) Log 100.000 = n  10n = 100.000 10n = 105 n=5 i) Log 0,00001 = n 

 Potência de base 10: 100.000 = 105

10n = 0,00001  Potência de base 10: 0,00001 = 10-5 10n = 10-5 n = -5

* Decomposição em fatores primos. 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 5 1 2

3- Propriedades dos logaritmos -Considerando a, b  1 e c números reais positivos, temos: 1ª) Quando o logaritmando (ou antilogaritmo) for igual a base, o logaritmo vale 1. Log b b = 1 2ª) Quando o logaritmando for igual a 1, independentemente do valor da base, o logaritmo vale 0. Log b 1 = 0 3ª) Logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência.

Log b (an) = n.Log b a Obs.: Log b a (logaritmo da potência)  (Log b a) (potência de um logaritmo) n

n

4ª) Uma potência cujo expoente é um logaritmo, se a base da potência for igual a do logaritmo, o resultado será o logaritmando. b Log

b

a

=a

5ª) Logaritmo do produto de números em uma determinada base é a soma dos logaritmos desses números na mesma base. Log n (a.b) = Log n a + Log n b Log n (a.b.c) = Log n a + Log n b + Lognc Log n (a.b.c. ... .m) = Log n a + Log n b + Logn c + ... + Logn m 6ª) Logaritmo do quociente de dois números a e b  0, em uma determinada base, é igual a diferença dos logaritmos desses números na mesma base. Log n

 a     b 

= Log n a – Log n b

7ª) Mudança de base: Existem problemas que, direta ou indiretamente, solicita que você mude a base do logaritmo que está trabalhando, afim de encontrar a solução desejada. Neste caso, aplica-se a regra abaixo: Log

Obs.: Log

b

b

a 

Log

n

a

Log

n

b

a    (log aritmo  c 

(n é um número real positivo diferente de 1)

do quociente

) 

Log

b

a

Log

c b

( quociente

dos

log aritmos )

Exemplos 1) Calcule o termo desconhecido em cada igualdade: a) Log 2 x = 4 b) Log 2 x = -4 d) Log 3 27 = x e) Log 2 (1/4) = x g) Log x 9 = 2 h) Log x 4 = -2

c) Log 9 x = 1/2 f) Log (2/3) (9/4) = x i) Log x 3 = 1/3

Solução: a) Log 2 x = 4  x = 24 x = 16

b) Log 2 x = -4  x = 2-4 x = 1/24 x = 1/16

c) Log 9 x = 1/2  x = 91/2 x= 9 x=3

d) Log 3 27 = x  3x = 27 3x = 3 3 x =3

1    4 

e) Log 2 

1

= x  2x =

f) Log

4

2 3

9     4 

2  3

2   3

1

2x =

2

x



=x 

2

4 x

2   3

2x = 2-2



3 2

x

2   3

x = -2

9

2 2

3    2 x

2    3

x = -2 g) Log x 9 = 2  x2 = 9 x 

h) Log x 4 = -2  x-2 = 4 1

9

x

2

 4

x2 = 1/4

x=3

x  

1 4

x 

1

, pois , 

2

i)

Log x 3 =

1

1



x

 3

3

3 3



3

x  3



( elevando

3

x

 3

3

x = 27

ao

cubo )

1 2

não

serve

2

2

2) Sabendo que Log x = 2 e Log y = 3, determine: a) Log(x.y)

b) Log

 x       y 

d) Log 4 x

e) Log

5

y

c) Log x4

2

f) Log y x

Solução a) Log (x.y) = Log x + Log y = 2 + 3 = 5 b) Log

 x       y 

(Prop. 6)

= Log x – Log y = 2 – 3 = -1

(Prop. 7)

c) Log x4 = 4.Log x = 4.2 = 8

(Prop. 3)

d) Log 4 x = (Log x)4 = 24 = 16 2

e) Log

5

y

2

= Log

=

5

y

2

y 

. Log

5

f) Log x y =

Log

y

3

=

2

.3 

5

6

= 1,2

(Prop. 3)

5

= 1,5

(Prop. 7)

2

Log x

3) Sabendo que Log 2 = 0,3 e Log 3 = 0,5, determine: a) Log 6 b) Log 36

c) Log

3

2

1

d) Log 5

e)

Log

2

2

f) Log 3 2

Solução a) Log 6 = Log (2x3) = Log 2 + Log 3 = 0,3 + 0,5 = 0,8 b) Log 36 = Log (22x 32) = Log 22 + Log 32 = 2.Log 2 + 2.Log 3= 2.0,3 + 2.0,5 = 1,6 1

c) Log

3

2

= Log

2

2

=

1

. Log

=

2

2

d) Log 5 = Log

 10     2 

1

e)

Log

2

1

Log

2

Log

3

=

= 0,15

2

= Log 10 – Log 2 = 1 – 0,3 = 0,7

2   Log 2  2 

f) Log 3 2 =

0 ,3

Log 0 ,3 0 ,5

2

=

= 0,6

0 ,3

FUNÇÃO LOGARITMICA 1- Conceito: Denomina-se Função Logarítmica toda função do tipo f(x) = Log sendo que o logaritmando (x) pode assumir qualquer valor real posiivo  x  a base (n), somente valores positivos diferentes de um n   *

 1



n * 

x,

 e,

.

Exemplos: a) f(x) = log 2 x

b) Log 0,5 x

c) Log 4 (3x)

d) Log 2/3 (x + 3)

2- Função Logaritmica Crescente e Decrescente. Observe que as funções acima ora apresentam as bases maiores que um (n > 1), ora apresentam as bases entre zero e um (0 < n < 1). Então, através da base podemos verificar se uma função logaritmica é crescente ou decrescente.

2.1- Função Logaritmica Crescente. Nos exemplos a e c, as bases são maiores que um (2 e 4), nesses casos, as funções são ditas crescentes. 2.2- Gráfico da Função Logaritmica Crescente. Exemplo: - Construir o gráfico da Função Logaritmica f(x) = Log 2 x. Vamos atribuir valores arbitrários, que facilitam nossos cálculos, para a variável independente x, encontrando valores correspondentes para a função y. Em seguida, substituir os pares determinados, no plano cartesiano. x

y

(x, y)

1/2 -1 (1/2, -1) 1 0 (1, 0) 2 1 (2, 1)

f(x) = Log 2 x

y

(1/2) = -1

4

f(1) = 0 f(2) = 1

3

4

2

(4, 2)

f(4) = 2

2

8

3

(8, 3)

f(8) = 3

1 0 -1

1/2 1

2

4

8 x

Analisando o gráfico, verifica-se que: a) A função logarítmica é crescente, pois, além da base ser um número maior que um, observa-se que um aumento (ou diminuição) de x, acarreta um aumento (ou diminuição) de y. b) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = +*).. Observe no gráfico que x só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é representada pelo conjunto dos reais (Im =  ). 2.3- Função Logaritmica Decrescente. Nos exemplos b e d, as bases estão compreendidas entre 0 e 1, nesses casos, a função exponencial é dita decrescente. 2.4- Gráfico da Função Logaritmica decrescente. Exemplo: - Construir o gráfico da função logaritmica f(x) = Log 1/2 x. x

y

(x, y)

1/4 2 (1/4, 2) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1)

f(x) = Log 2 x (1/4) = 2

f(1) = 0 f(2) = -1

4

-2 (4,- 2)

f(4) = -2

8

-3 (8, -3)

f(8) = -3

Analisando o gráfico, verificamos que: a) A função logaritnica é decrescente, pois, além da base ser um número pertencente ao intervalo ]0, 1[, observa-se que um aumento (ou diminuição) de x, acarreta uma diminuição (ou aumento) de y. b) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = +*). Observe no gráfico que x só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é o conjunto dos reais (Im =  ).

3- Domínio da Função Logarítmica. Para encontrar o domínio (campo de existência) de uma função logarítmica, devemos verificar a localização da variável independente x. Se ela estiver no logaritmando, o mesmo deverá ser positivo, porém, se ela estiver na base, a mesma deverá assumir valor positivo, mas, diferente de 1 (um). Exemplo 1- Encontrar o domínio de cada função: a) f(x) = Log (2x – 8) b) y = Log (x-1) 3

c) y = Log (x-1) (x2 – 4)

Solução a) f(x) = Log (2x – 8) Como x está no logaritmando, temos a seguinte condição: 2x – 8 > 0  x > 4 D = {x   / x > 4} b) y = Log (x-1) 3 Como x está na base, temos as seguites condições: x–1>0x>1 e x–1≠1x≠2 D = { x   / 2 ≠ x > 1} c) y = Log (x-1) (x2 – 4) Como x se apresenta no logaritmando e na base, temos: 1) x2 – 4 > 0 2) x - 1 > 0 e x - 1  1 x=2 x>1 x 2

D = {x   / x > 2} ou ]2, +)

4- Equações Logarítmicas Para resolvermos equações logarítmicas devemos seguir alguns passos: 1º) Instituem-se as condições de existência dos logaritmos;

2º) Utilizam-se as propriedades dos logaritmos para resolver a equação; 3º) Verificar se o resultado do 2º passo pertence ao conjunto solução do 1º passo.

Exemplos: 1- Resolva a equação Log 2 (x + 3) + Log 2 x = 2. 1º passo: Condição de existência (C.E.). 1) x + 3 > 0  x > -3 2) x > 0

2º passo: Resolvendo a equação. Log 2 (x + 3) + Log 2 x = 2 (propriedade) Log 2 [(x + 3).x] = 2 Log 2 (x2 + 3x) = 2 (definição) x2 + 3x = 22 x2 + 3x – 4 = 0 (aplicando a fórmula de Bháskara)  x' 1   x"   4

3º passo: observe que apenas x = 1 satisfaz a C.E. (x > 0), logo, S = {1} 2- Encontre o conjunto solução da equação Log 2 1º passo: Condição de existência (C.E.). I) x > 0  x > 0 II) -x + 5 > 0  x < 5

x

+ Log 4 (-x + 5) = 1.

2º passo: Resolvendo a equação. Log 2 Log

Log

x 

2

Log

+ Log 4 (-x + 5) = 1 ( mudança de base)

x

Log

x 

2

2

1

( Log

1

(m.m.c. = 2)

4

( x  5)

2

4  2

)

2

2 . Log

x  Log

2

Log

2



Log

2

x  Log

Log

2

x (  x

x (  x  x

( x  5)

Log

2

2

2

x



2

 Log 2

2

( x  5)  2 2

( x  5)  2

( x  5)  2

(propriedade) (propriedade)

 5)  2

 5)  2

2

 5x  4  0

(definição) (fórmula de Bháskara)

x' 4   x"  1

3º passo: observe que os resultados 4 e 1 pertencem ao conjunto C.E., logo, S = {1, 4} 5- Inequações Logarítmicas Se uma inequação apresenta a variável independente no logritmando ou na base de um logaritmo, denomina-se a mesma de inequação logarítmica. Para resolver inequações logarítmicas devemos seguir, como nas equações, os seguintes passos: 1º) Instituem-se as condições de existência dos logaritmos; 2º) Resolve-se a inequação logarítmica: 2.1- Se a base for maior que 1 (b > 1), conserva-se o sinal da desigualdade. 2.2- Se a base estiver entre 0 e 1(0 < b < 1), inverte-se o sinal da desigualdade. 3º) Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo. Exemplos 01- Resolva a inequação Log (3x – 6) – Log (x + 2) > 0. 1º passo: Condição de existência (C.E.). I) 3x – 6 > 0  x > 2 II) x + 2 > 0  x > -2

2º passo: Resolvendo a inequação. Log (3x – 6) – Log (x + 2) > 0 Log (3x – 6) > Log (x + 2) (b > 1, permanece o sinal da inequação) 3x – 6 > x + 2  x > 4 Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = {x   / x > 4}, porém, vamos ao 3º passo.

3º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo.

02- Encontre o conjunto solução da inequação Log ½ (1 – x2)  -3. 1º passo: Condição de existência (C.E.). 1 – x2 > 0 (a = -1  a < 0) 1 – x2 = 0 

 x' 1   x"   1

2º passo: Resolvendo a inequação. Log ½ (1 – x2)  -3 (sendo b = ½, inverte-se o sinal da inequação) 1 – x2  (1/2)-3 1 – x2  8 -x2 - 7  0 (-1) x2 + 7  0 x2 + 7 = 0  {x’ e x”   ------------------------------------------------------m/a

x

Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = , porém, vamos ao 3º passo.

3º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo.

6- Característica e Mantissa de um logaritmo Procurando na tábua dos logaritmos ou na calculadora científica o logaritmo de 235,4 encontramos, como resultado, aproximadamente 2,378. Separando a parte inteira da decimal, temos: 2,378 = 2 + 0,378. A parte inteira (2) denomina-se característica e a parte decimal (0,378) de mantissa. Para calcular a característica do Log 235,4 deve-se subtrair a quantidade de dígitos da parte inteira do logaritmando (3) de um (1) encontrando 2 como resultado. Esse cálculo é feito quando o logaritmando assumir um valor real positivo e maior que 1. Já, a mantissa (0,378) é encontrada na tábua dos logaritmos. Quando o logaritmando for um número real positivo e menor que 1 (um), a característica será a quantidade de zeros que antecedem o 1º dígito não-nulo acompanhada do sinal negativo (-). Exemplos: 1) Determine a característica de cada número abaixo: a) Log 2,345 b) Log 367,45 c) Log 0,356 d) Log 0,045

e) Log 0,003004

Solução a) Log 2,345 b) Log 367,45 c) Log 0,356 d) Log 0,045 e) Log 0,003004

 C = 1 – 1 = 0, logo, o resultado do logaritmo é 0, mantissa.  C = 3 – 1 = 2, logo, o resultado do logaritmo é 2, mantissa.  C =-1, logo, o resultado do logaritmo é -1, mantissa  C = -2, logo, o resultado do logaritmo é -2, mantissa  C = -3, logo, o resultado do logaritmo é -3, mantissa

2) Qual é a característica de um número real positivo menor que 1 que apresenta, na forma decimal, 4 zeros antecedendo o primeiro dígito não-nulo? Solução Observe o seguinte número Log 0,00035. A quantidade de zeros que antecede o 1º dígito não-nulo 4, logo, a característica é -4.

BIBLIOGRAFIA Guidorizzi, Hamilton, Um curso de Cálculo, Vol. 1, Livros Técnicos e Científicos, 5 a edição, 2001. L.Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, Harbra, São Paulo, 1977. Stewart, James, Cálculo, Vol. 1, Editora Pioneira, 4a. edição, 2001.