TEMA 5: LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. ECUACIONES Y SISTEMAS

5.1 DEFINICIÓN Si a es un número real positivo y distinto de 1, el logaritmo en base a de un numero N es el exponente al que hay que elevar a la base para obtener dicho número

Loga N = x

⇔

❑

ax = N

Ejemplos: ⇔

Log2 8 = x

❑



Log3 N = 4

❑



Loga 125 = 3 ❑



Log 3 27 = x



⇔

⇔

1

⇔

❑

-

Al número N cuyo logaritmo en base a es x se le llama antilogaritmo de x en dicho base

-

El logaritmo de la base es igual a 1: loga a = 1

-

El logaritmo de 1 en cualquier base es 0: loga 1= 0

-

Sólo tienen logaritmo real los números mayores de 0: N>0

5.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS -

El logaritmos de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

loga A·B = loga A + loga B

-

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor

-

El logaritmo de una igual al producto del el logaritmo de la base

loga A:B = loga A – loga B

potencia es exponente por

logaAn = n·logaA

Ejemplos: 

Sabiendo que log 2 = 0’301 y log 14 = 1’146, calcula: a)

log 7 =

b)

log 16 =

c)

log 2000 =

d)

3 log √ 32 =

5.3 PASO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA A UNA LOGARÍTMICA Y VICEVERSA

Aplicando la definición y las propiedades de los logaritmos, las expresiones algebraicas se convierten en logaritmos (tomar logaritmos), y algunas expresiones logarítmicas, en algebraicas (tomar antilogaritmos) Ejemplos:



Toma logaritmos en las siguientes expresiones: a)



Toma antilogaritmos en las siguientes expresiones

a)



A=

x2 y z3

log A = 2·log x + 7·log y – 5·log z = log x2 + log y7 – log z5 =

Halla el valor numérico de las siguientes expresiones:

a)

log5 125 + log5 25 =

5.4 CAMBIO DE BASE La relación que existe entre los logaritmos de un mismo número, N, calculados en dos bases distintas, a y b, viene dada por:

loga N =

log b N log b a



Calcula log3 20 utilizando base 10 log3 20 =



Expresa log6 30 como cociente de logaritmos en base 2 log6 30 =

log 2 30

log 2 6

=

=

5.5 ECUACIONES DE LOGARITMOS Para resolver las ecuaciones con logaritmos utilizamos las propiedades de los logaritmos para tener un logaritmo en cada lado de la igualdad y “tachamos” los logaritmos quedándonos una ecuación que sabemos resolver. Una vez resuelta la ecuación tenemos que comprobar que los resultados son “buenos” porque argumento no puede ser negativo Cuando haya un número solo sumando o restando, le multiplicamos por loga a (en la mayoría de los casos va a ser log 10)y de esa manera obtenemos un logaritmo para aplicar las propiedades Ejemplos:



2·log x – log(x+4)= log 2



log2 x + log2 (x + 14) = 5



2log x – 2 log (x–1) = 0

5.6 SISTEMAS DE ECUACIONES CON LOGARITMOS Pueden resolverse igual que las ecuaciones, es decir, utilizando las propiedades de los logaritmos para tener un logaritmo en cada lado de la igualdad y luego “quitarlo” o bien por reducción. Si alguno de los argumentos son potencias utilizamos las propiedades de los logaritmos para quitar dichas potencias y luego resolvemos por reducción Ejemplos: 

logx+ logy=3 {logx−logy=1



{

log x 3 + log y 2=9 logx +logy=4

Cuando en el sistema una ecuación es de logaritmos y la otra no, utilizamos las propiedades de los logaritmos para quitarlos de dicha ecuación y resolvemos el sistema que nos queda: 

logy=3 {logxx−+y=90



{logx+x +logy=log2 y =5 2

2

5.7 ECUACIONES EXPONENCIALES

Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente. Hay distintos tipos de ecuaciones exponenciales que vamos a separar en dos grupos: a)

Ecuaciones de primer grado (“Sencillas”)

b)

Ecuaciones de segundo grado

a)

Ecuaciones de primer grado Para resolverlas tenemos que conseguir una sola potencia en cada lado de la igualdad que tenga la misma base y, de esa manera, igualar los exponentes Recordatorio: am+n = am· an ; am-n = am: an ;



am·n =( am)n

5x+2 = 125

En el primer lado de la igualdad tengo una potencia y en el segundo un número. Pongo el número como producto de factores primos a ver si se quedan las dos potencias con la misma base, en ese caso igualamos exponentes y queda una ecuación que “sabemos resolver”



4· 32x-1 = 972



5·2x = 100

Vemos que todas las potencias son de 5x Cuando tenemos varias potencias iguales que se suman o restan, las operamos en un lado de la igualdad sumando y/o restando los coeficientes y nos queda una ecuación como la anterior



5x + 3·5x – 2·5x = 250



2x+1 – 3·2x + 2x+3 = 224



3x+2 + 4·3x-1 – 2·3x = 25

Cuando las potencias tienen las mismas bases pero sus exponentes son sumas o restas, lo primero que se hace es “deshacer” dichas operaciones con las propiedades de las potencias y, estaremos en una ecuación como la anterior

b)

Ecuaciones de segundo grado: hay dos tipos distintos:



36x – 7·6x + 6 = 0

Las potencias tienen distinta base pero siempre una es el cuadrado de la otra (en nuestro ejemplo 36 = 62) asi que utilizamos la propiedad de la potencia (62)x = 62x = 6x2 = (6x)2 Hecho esto se realiza un cambio de variable 6x = a, y se resuelve la ecuación de 2ºgrado. Una vez resuelta hay que deshacer el cambio de variable



2

2x-1

– 14·2

x-2

+6=0

Las bases de las potencias son iguales, pero cuando deshacemos las sumas y restas de los exponentes no nos quedan las mismas potencias porque una tiene como exponente 2x, estamos por tanto en el caso anterior



52x – 15·5x-1 = 10

5.8 SISTEMAS DE EXPONENCIALES Para resolver estos sistemas deshacemos las sumas y restas de los exponentes (en caso de tenerlos) y hacemos cambios de variable para resolver el sistema. Cuando tenemos la solución del sistema, deshacemos los cambios para calcular los valores de las incógnitas pedidas: 

{

2x −3 x−1=23 2x+1−3 y+1=−17