MFV 1

M AT H E M AT I S C H E F R Ü H F Ö R D E R U N G / V S K

Mathematische Frühförderung / VSK

Leitidee S ON JA K Ü PPER

Muster und Strukturen S O NJ A .K UEP PER @ O UT L O O K . DE

© Sonja Küpper

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

LEITIDEE M U S T E R Sonja U N D Küpper S TRUKTUREN

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I N H A LT S V E R Z E I C H N I S

SONJA KÜPPER [email protected]

DIENSTANSCHRIFT: SCHULE AN DER GLINDER AU SONNENLAND 27 22115 HAMBURG LZ.: 533/5160

Stand: August 2015 Dieses Dokument ist vollständig in Freizeit entstanden. Die Rechte liegen bei der Autorin.

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I N H A LT S V E R Z E I C H N I S Subjektives Bild von Mathematik .............................................................................................................. 4 Fachbezogenes Selbstkonzept ................................................................................................................. 5 Vorstellung von Mathematik in der Fachdidaktik ....................................................................................... 6 VSK-Richtlinie und Bildungsplan Grundschule ......................................................................................... 8 Leitidee Muster und Strukturen und ihre Bedeutung in der VSK ..............................................................10 Förderung der Musterkompetenz.............................................................................................................16 Weitere Anregungen................................................................................................................................17 Literatur ...................................................................................................................................................18 Andere Materialien ..................................................................................................................................19 Aufbau der Karteikarten...........................................................................................................................20

Kartei Musterkoffer ..................................................................................................................................21 Mustermusik..................................................................................................................................21 Mathematikübersetzer ...................................................................................................................23 Muster-Quartett .............................................................................................................................23 Lernumgebung Musterforscher .....................................................................................................25 Lernumgebung Fliesenleger ..........................................................................................................25

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Die kindliche Entwicklung des Musterverständnisses ..............................................................................12

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S U B J E K T I V E S B I L D V O N M AT H E M AT I K

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Erkenntnistheoretische Probleme: Die Parabel von den Blinden und dem Elefanten Der alten und vielfach überlieferten Geschichte nach wurden mehrere blinde Weise von ihrem König nach Indien geschickt um herauszufinden, was ein Elefant ist. Sie gingen hin und ertasteten das Tier. Abhängig von dem Körperteil, das sie erfühlt hatten und ihrem Vorwissen, gaben sie nach ihrer Rückkehr völlig unterschiedliche Auskünfte: Der, der den Rüssel ertastet hatte, sprach von einem Schlauch; der, der das Ohr ertastet hatte, von einem Putzlappen; der, der den Schwanz ertastet hatte, von einem Besen - usw. Jeder von ihnen dachte, in dem Elefanten ein anderes, ihm bereits vertrautes Objekt wiedererkannt zu haben, dabei hatten sie alle dasselbe Tier erkundet. Der König hörte sich die Berichte an und dachte nach. Erst durch Zusammenfügen

Der Blindenbrunnen in Bonn

der Einzelerfahrungen entstand ein zutreffenderer Eindruck vom Elefanten.

Wie den Weisen mit dem Elefanten ergeht es uns auch bei dem Versuch zu erklären, was Mathematik ist. Je nachdem, welche Erfahrungen wir mit dem Fach gemacht haben, variieren Verständnis und Einstellung erheblich. Dieses Phänomen der individuellen Bedeutungszuschreibung nennt man subjektive Theorien.

Subjektiven Theorien: Subjektive Theorien bezeichnen die individuellen, lebensgeschichtlich verankerten GrundüberSubjektive Theorien bezeichnen die zeugungen und Deutungsmuster eines Menschen. Sie haben individuellen, lebensgeschichtlich verhandlungsleitende Funktion und sind in der Regel unbeankerten Grundüberzeugungen und wusst. Sie beeinflussen das Unterrichtshandeln von LehrDeutungsmuster eines Menschen. kräften nachweislich stärker als die im Studium erlernten didaktischen Theorien (vgl. Wahl, 1991, 2006). Man unterscheidet subjektive Theorien unterschiedlicher Reichweite: einerseits übergreifende, allgemeine Grundüberzeugungen und andererseits lokal wirksame, handlungsleitende Verhaltens– und Beurteilungsmuster (auch Scripts genannt). Nur wer eine positive Haltung zur Mathematik hat, kann Kinder auch dafür begeistern. Subjektive Theorien sind jedoch nichts Unabänderliches, Statisches. Durch neue Lernerfahrungen können sie verändert werden. Gute Vorbilder: „Der Geist ist kein Schiff, das man beladen kann, sondern ein Feuer, das man entfachen muss.“ (Plutarch) Das fachliche Interesse der Lehrkraft, ihre Einstellung zur Mathematik, ist ein wichtiger Antrieb für mathematische Lernprozesse. Gerade jüngere Kinder sind in besonderer Weise empfänglich für die handelnd vertretenen Einstellungen ihrer Vorschullehrkraft. Die Haltung ist für die Kinder dabei auf vielerlei Weise erfahrbar: in der Auswahl der Unterrichtsthemen und methodischen Gestaltung des Unterrichts, im Interaktionsverhalten, persönlichen Statements und Rückmeldungen des Erwachsenen sowie bei der Beobachtung von deren Herangehensweise an mathematikhaltige Situationen, mathematische Phänomene und Probleme. Verständnis von Mathematik und Einstellung der Kinder zur Mathematik hängen ganz wesentlich von den subjektiven Theorien der unterrichtenden Lehrkraft ab. © Sonja Küpper

F ACHB EZ OGEN ES S ELB STKONZEP T

Der Erfolgskreislauf: Der Schlüssel zum Lernen ist das Selbstwirksamkeitserleben: „Nichts macht erfolgreicher als der Erfolg.“ (ebd. 104) Erfolgserleben ist wichtiger Motor zum Weiterlernen. Dies gilt auch und besonders für Kinder, denen die Erarbeitung mathematischer Inhalte besondere Mühe bereiErfolgstet. Für sie ist wichtig, dass bei (noch) zuversicht unvollständigen oder falschen Lösungen auch Ideen, Überlegungen und Bemühen gesehen und gewürdigt werden. Fehler sind ein normales Phänomen auf Lernwegen, dahinter können tolle Ideen stecken, auf jedem Fall geben sie Einblick in das Denken der Kinder. SelbstwertDie Aufgabengestaltung, ein gutes Klassenkligefühl ma, konstruktive Rückmeldung und ein wertschätzender Umgang mit Schülerprodukten sind hier entscheidend, denn ...

Lernerfolg

Freude / Stolz

Lernbereitschaft

Die Entmutigungstreppe: K schulisches Scheitern droht sich zu einem Teufelskreis zu entwickeln. Misserfolg stimmt traurig und führt weiter zu einer Lernabneigung. Die schlechten Leistungen werden als individuelles Versagen wahrgenommen. Daraus resultiert eine Selbstabwertung. Misserfolg Sich für unzureichend haltend, rechnet das (Vor-) Schulkind damit auch zukünftig die Leistungsanforderungen nicht erfüllen zu können. Die MissNiedergeschlagenheit erfolgserwartungen haben den Charakter einer sich selbst erfüllenden Prophezeiung. - Misserfolg droht zu Lernabneigung Misserfolg zu führen (vgl. Born und SelbstOehler 2008, 9). abwertung MisserfolgsMisserfolg erwartung

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Fachbezogenes Selbstkonzept: Jeder Mensch hat VorDas fachbezogene Selbstkonzept umstellungen von seinen individuellen Fähigkeiten, in dem eifasst die subjektiven Einschätzungen zu nen Fach traut man sich mehr zu als in dem anderen. Diese den eigenen Fähigkeiten und Ängsten in subjektiven Zuschreibungen für einzelne Fächer werden einem Unterrichtsfach. fachbezogenes Selbstkonzept genannt. Die Erwartungen an die eigenen Fähigkeiten und Erfolgsaussichten beeinflussen das Lernverhalten, die Haltung zum Fach und das Wohlbefinden. Je positiver die eigenen Leistungen wahrgenommen werden, desto geringer sind dich fachspezifischen Schulängste und umgekehrt. Lernstörungen wie Rechenschwäche führen zu einem „hohen Risiko von begleitenden sekundären psychosozialen Belastungen“ (Born, Oehler 2008, 9). Born und Oehler erklären diesen Befund mit der Entmutigungstreppe (ebd. 13). Lernen ist unter diesen Bedingungen nicht möglich, denn Mathematiklernen (wie auch das Lernen in jedem anderen fachlichen Schwerpunkt) braucht die Erwartung, erfolgreich lernen zu können.

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V O R S T E L L U N G V O N M AT H E M AT I K Die Frage danach, was Mathematik ist, ist vermutlich ge„Ebenso wie bei vielen anderen Erscheinauso alt wie das Fach selbst. Im Verlaufe der Jahrhunderte nungsformen des Lebens ... kann Mathelassen sich verwoben mit allgemeinen wissenschaftstheorematik nicht eindeutig definiert werden. Jetischen Entwicklungen sowie ausgelöst durch Fachdiskurse de Definition wäre entweder nichtssagend unterschiedliche zentrale Betrachtungsweisen des Fachs oder einengend.“ (Beutelspacher 2004,3) ausmachen, die die Entwicklung der Mathematik nachhaltig geprägt haben. Mathematik ist ein großes, vielgestaltiges Fach und eine sich kontinuierlich entwickelnde Wissenschaft. So werden mehr als 60.000 mathematische Forschungsarbeiten pro Jahr veröffentlicht, etwa 170 pro Tag. „Ebenso wie bei vielen anderen Erscheinungsformen des Lebens ... kann Mathematik nicht eindeutig definiert werden. Jede Definition wäre entweder nichtssagend oder einengend.“ (Beutelspacher 2004,3) Ausgehend von ihrer Undefinierbarkeit hält Beutelspacher jedoch fest: „Man kann aber versuchen, Mathematik von verschiedenen Seiten zu beleuchten. Dabei offenbaren sich überraschende und tiefe Einblicke in das Wesen der Mathematik.“ (ebd.) Die Unvollständigkeit der Mathematik: Ein für das mathematische Selbstverständnis wichtiges Ereignis geschah auf der „Deutschen Physiker– und Mathematiker-Tagung“ 1930. Nachdem es in Geometrie und Zahlentheorie zu Erschütterungen des Grundlagenwissens gekommen war, bemühte sich die Mathematiker-Gemeinschaft das Fundament ihrer Disziplin, das bis dahin stillschweigend vorausgesetzt worden war, zu sichern. Einer ihrer Vorreiter war der bedeutende David Hilbert. Sein Ziel war es, die Arithmetik ausgehend von wenigen Grundannahmen vollständig logisch abzuleiten. Am letzten Tag hielt Hilbert eine Radioansprache, in der er sein Vorhaben vorstellte und allen Zweiflern selbstbewusst entgegenhielt: „Wir können wissen, wir werden wissen!“ Etwa zur gleichen Zeit Kurt Gödel meldete sich der damals 24-jährige Kurt Gödel nach einem der letzten Vorträge auf der Tagung zu Wort und kündigte die Ergebnisse seiner Habilitationsschrift an: Das Fundament der Mathematik wird nie vollständig begründbar sein. Es wird immer Aussagen geben, über deren Wahrheitswert man nichts sagen kann (1. Unvollständigkeitssatz), und die Widerspruchsfreiheit eines logischen Systems wie der Natürlichen Zahlen wird nie vollständig nachweisbar sein (2. Unvollständigkeitssatz). Entwicklungsfähigkeit: „'Hätte Hilbert Recht behalten, dann wäre die Mathematik ein abgeschlossenes System ohne Raum für neue Ideen', schreibt der Mathematiker Gregory Chaitin. Es ist beruhigend zu wissen, dass ein Computerprogramm gefüttert mit allen formalen Mitteln der Mathematik, einem lebendigen Mathematiker in einer Fähigkeit immer unterlegen bliebe: Er wäre nicht in der Lage, sich geistig zu entwickeln.“ (Zimpel 2008, 17) Nur der Mensch, so Zimpel weiter, besitzt die Fähigkeit „ Widersprüche auszuhalten, Fragen zu formulieren und sich dadurch ständig geistig weiterentwickeln zu können. Diese menschliche Eigenschaft ist das wahre Maß der Zahlen!" (ebd.)

Vorstellungen von Mathematik bei Erziehern In einer Umfrage wurden Erzieher(innen) zu ihren Vorstellungen von Mathematik und Mathematiklernen per Fragebogen befragt (Benz, 2007). Mathematik wurde von ihnen überwiegend positiv wahrgenommen. „Nützlich“, „wichtig“, „herausfordernd“ waren mit je etwa 50% die meist gewählten Adjektive. 40% fanden Mathematik interessant, jedoch 35% verwirrend und 24% unverständlich. Mathematiklernen wurde zumeist als schablonenhaf-

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tes Nachvollziehen verstanden. „Bei 68% aller Erzieherinnen stand der schematischformale Aspekt im Vordergrund. 16% der Erzieherinnen gaben bei dem Anwendungsaspekt die größte Zustimmung. Für den Prozessaspekt trifft dies lediglich bei 4% der Erzieherinnen zu. Bei den fehlenden 12% ließ sich kein Aspekt als vorherrschend feststellen.“ (3) Damit droht ein auf Training ausgerichtetes Lernverständnis tradiert zu werden, während das für die Entwicklung des mathematischen Verständnisses so wichtige aktiventdeckende Lernen kaum eine Relevanz zu haben scheint.

IN DER

F A C H D I DA K T I K

Definition von Mathematik Mathematik ist facettenreich. In der Fachdidaktik hat sich ein Verständnis von Mathematik als besonders sinnvoll herausgestellt:

Auch wenn er nicht der erste war, der dies formuliert hat, bezieht man sich dabei häufig auf den Mathematiker Keith Devlin. Muster und Strukturen haben eine über die Fachgrenzen hinausweisende allgemeine Bedeutung, begründet Devlin: „Es gibt

Mathematik ist also weit mehr als ein in sich geschlossenes Wissensgebiet, Sie hat hohe allgemeine Relevanz. Die Erkenntnisse der Mathematik reichen in alle Lebensbereiche hinein: Arbeitsteilig organisierte Gesellschaften, Warenhandel, technische Entwicklung und Demokratie sind ohne Mathematik nicht denkbar. Unzureichende mathematische Bildung reduziert Lebenschancen und Teilhabemöglichkeiten.

Aspekte von Mathematik: Beutelspacher bietet vier sich ergänzende Sichtweisen von Mathematik an:

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Mathematik ist der Versuch, logische Zusammenhänge zu entdecken,

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Mathematik ist eine Sammlung von Ideen,

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Mathematik ist ein Werkzeug, um die Welt zu beschreiben und

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Mathematik ist eine Weise, die Welt zu erfahren (2008, 5ff.) .

„Es gibt kaum ein Lebensgebiet, das nicht mehr oder weniger von der Mathematik als Wissenschaft von den Mustern beeinflusst wird. Denn abstrakte Muster bilden die eigentliche Essenz der Gedanken, der Kommunikation, aller Berechnungen der Gesellschaft und des Lebens schlechthin.“ (Devlin 2002, 12)

Relevanz von Mustern: Leben wäre ohne Musterbildung unvorstellbar: Herzschlag und Atemrhythmus, Tag und Nacht, der Jahreskreis, die Anordnung der Kerne in einer Sonnenblume oder von Blättern an Ästen,K Zugleich machen ansprechende Muster die Ästhetik der Mathematik aus. Sie sind das Herzstück der Mathematik und liegen schönen Anordnungen wie bei den Penrose-Parkettierungen oder Escher-Kunstwerken und interessanten Beweisen zugrunde. Auch beim Denken verwenden wir Muster. Musterbildung ist eine effiziente Möglichkeit, das Informationsaufkommen durch sinnvolle Bündelung überschaubarer zu halten. Durch Musterbildung ordnen wir unsere Umwelt machen sie „berechenbar“. Unser Alltag und das Zusammenleben sind deshalb stark durch Muster geordnet. Auch Lernen ist ohne Mustererkennung kaum möglich. Kinder mit Schwierigkeiten im Rechnen tun sich besonders schwer, die den Zahlen und Operationen zugrunde liegenden Muster zu verstehen und entsprechend Strukturierungen von Anschauungsmitteln zu nutzen. Mustertypen: Folgende Mustertypen lassen sich in der Vorschularbeit unterscheiden:

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räumliche Muster,

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zeitliche Muster,

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Bewegungs-, Handlungsmuster, Rituale,

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akustische Muster,

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numerische Muster.

Die Mustertypen können natürlich, wie etwa beim Tanzen, miteinander kombiniert werden.

Kreieren eines Musters aus Grundformen

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„Mathematik ist die Lehre von den Mustern und Strukturen.“ (Devlin)

kaum ein Lebensgebiet, das nicht mehr oder weniger von der Mathematik als Wissenschaft von den Mustern beeinflusst wird. Denn abstrakte Muster bilden die eigentliche Essenz der Gedanken, der Kommunikation, aller Berechnungen der Gesellschaft und des Lebens schlechthin.“ (2002, 12)

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V S K- RICHTLINIE UND Kompetenzaufbau: „Bildung ist der aktive Prozess der Auseinandersetzung mit sich und der natürlichen, sozialen, kulturellen und religiösen Umwelt. ... Je komplexer die Möglichkeiten der frühen Welterfahrung und Weltdeutung sind, desto besser sind Kinder später in der Lage, mit zunehmenden Anforderungen und Komplexität umzugehen. ... Das Ziel des Bildungsprozesses ist der Erwerb von Kompetenzen.“ (BSB 2008, 2ff.) Die „Richtlinien für Bildung und Erziehung in Vorschulklassen“ (Behörde für Bildung und Sport, 2008) unterteilt in Ich-, soziale, lernmethodische und Sachkompetenz. Für jeden der Kompetenzbereiche werden einzelne Kompetenzen ausgewiesen.

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„Bildung ist der aktive Prozess der Auseinandersetzung mit sich und der natürlichen, sozialen, kulturellen und religiösen Umwelt. ... Das Ziel des Bildungsprozesses ist der Erwerb von Kompetenzen.“ (BSB 2008, 2ff.)

Lernfeld Mathematik: Das Lernfeld Mathematik gehört zum Bereich Sachkompetenz und wird knapp definiert: „Kinder machen Erfahrungen im Umgang mit Gegenständen und Dingen des täglichen Lebens. Dabei finden sie Zugang zu Formen, Größe und Gewicht dieser Dinge. Sie begreifen und beginnen erste Klassifizierungen vorzunehmen. Kinder nähern sich Zahlen, sie erwerben Zahlvorstellungen, probieren das Zählen selbst aus, und es können beim Kind erste Vorstellungen von mathematischen Grundoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division entstehen. Sie beginnen mit Messen und Vergleichen bezogen auf Länge, Höhe, Gewicht, Breite, Entfernung. Erste Einschätzungen im Umgang mit Zeit, mit Flächen und Körpern sowie mit graphischen Darstellungen werden gewonnen. Diese Eigenbeobachtungen zu verstärken, teilweise zu systematisieren und in Problemlösehandlungen überprüfbar zu machen ist die Aufgabe des Lernfeldes Mathematik.“ (ebd. 11)

Wertschätzung von Vielfalt: Mathematiklernen ist ein Prozess des gemeinsamen Arbeitens und Lernens. Da Mathematik abstrakt ist, braucht sie das um Verständigung bemühte gemeinsame Gespräch. Unterschiedliche Sicht– und Herangehensweisen, Fragen und Meinungsverschiedenheiten sind Gelegenheiten zur gemeinsamen Bedeutungsaushandlung und somit des mit– und voneinander Lernens. „Aus dem Wissen um die Heterogenität der Gruppe erwachsen Chancen sowohl für die Gestaltung von Lehr– und Lernprozessen als auch für das gemeinsame Lernen in der Gruppe.“ (ebd. S. 9) Individualisierung: Die Schule ist nicht Stunde Null im Mathematiklernen. Im familiären Alltag und in der Kita haben die Kinder vielfältige mathema-

tikhaltige Situationen erlebt. Mit entsprechend unterschiedlichen Vorerfahrungen und Vorwissen kommen sie in die Vorschule. Bei der Einschulung variieren die fachlichen Lernvoraussetzungen um mehrere Entwicklungsjahre, dem muss der Unterricht Rechnung tragen. „Die Vorschulklasse bietet die Möglichkeit einer individuelle angemessenen Förderung jedes Kindes in allen Entwicklungsbereichen. Dies vollzieht sich auf der Grundlage von diagnosegeleiteten Beobachtungen. Präventive Angebote und Maßnahmen zur Frühförderung unterstützen das Kind in seiner intellektuellen, motorischen, sozialen, gefühlsmäßigen und sprachlichen Entwicklung.“ (ebd. S. 2) Konsequenz aus dem Wissen um die Heterogenität der Lerngruppe muss eine Differenzierung des Unterrichtsangebots sein (ebd. S. 9).

Sprachbildung: In Vsk-Richtlinie und Bildungsplan übereinstimmend festgeschrieben ist die Sprachbildung. „Sprachförderung ist ein zentrales Anliegen der Arbeit in der Vorschule. K Jeder Unterricht in der Vorschulklasse ist immer auch Sprachunterricht." (BSB 2008, 3) Unterricht ist ohnehin sprachlich anspruchsvoll (Stichwort Bildungssprache). Mathematiklernen beinhaltet darüber hinausgehende Schwierigkeiten. Diese betreffen beispielsweise die Bedeutungsdifferenzen von Begriffen in Fach– und Alltagssprache. © Sonja Küpper

Sortieren der Bilder der Größe nach

B ILDUNGSPLAN G RUNDSCHULE Ergänzend zur Vsk-Richtlinie ist es hilfreich, in den Bildungsplan Grundschule Mathematik“ (2011) zu schauen. Er zeigt die Zielperspektive des Vorschulunterrichts auf und tätigt darüber hinaus grundlegende Aussagen zu Unterrichtsgestaltung und Aufbau des Fachs. Im Bildungsplan wird zwischen überfachlichen, inhaltsbezogenen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen unterschieden.

Allgemeine mathematische Kompetenzen: Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen nehmen nicht den Gegenstand, sondern den Arbeitsprozess in den Blick. Sie werden auch prozessbezogene Kompetenzen genannt. Allgemeine mathematische Kompetenzen sind: mit mathematischem Grundwissen und Grundfertigkeiten umgehen, mathematische Darstellungen verwenden, mathematisch argumentieren und kommunizieren, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen können nicht absolut, sondern nur bezogen auf einen Lerngegenstand, also in Verbindung mit einer mathematischen Leitidee, erlernt werden. Überfachliche Kompetenzen: Zu den überfachlichen Kompetenzen, die durchgängig durch alle Unterrichtsfächer zu fördern sind, gehören die Selbstkompetenz, sozial-kommunikative Kompetenz und lernmethodische Kompetenz. Die Vorschule stellt eine Übergangsphase dar. Anschlussfähigkeit an den Grundschulunterricht ist ein zentrales Ziel der Vorschularbeit (BSB 2008, 2). Dies meint jedoch nicht eine Vorziehung des Schulunterrichts für Kinder im ElemenLernmethodische Kompetenz Ich-Kompetenz taralter, sondern die entwicklungsangemesUnterschiedliche Selbstbewusstsein Lernwege sene Erarbeitung von Sachkompetenz SelbstverantworReflexionsfähigkeit tung für das schulische Lernen relevanten Kompe- Selbstwirksamkeit Von anderen LerLeitidee Muster und Strukturen nen tenzen. Eine Kopplung Leitidee Zahl Bereitschaft zu des KompetenzaufLeitidee Raum und Form lebenslangem Lernen baus nach VskLeitidee Messen Richtlinie mit der FachLeitidee Daten und Zufall struktur des BildungsSoziale Kompetenz Argumentieren und Kommunizieren plans ist deswegen Empathie und Problemlösen sinnvoll. Die GewichSprachbildung Modellieren tung der einzelnen SituationswahrWortschatz nehmung Grundwissen und Grundfertigkeiten Kompetenzen muss Sprachverständnis nutzen Verantwortungssituativ getroffen werübernahme Sprachproduktion den. Konfliktfähigkeit

Fachsprache

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Leitideen: Leitidee ist die Bezeichnung für die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen. Der Begriff Leitideen betont einerseits die zentrale Bedeutung der im Unterricht behandelten Konzepte sowie die Vernetzung der grundlegenden mathematischen Ideen bzw. Teildisziplinen und andererseits den kumulativen Kompetenzaufbau. Der Bildungsplan weist folgende Leitideen aus: Zahl, Messen, Raum und Form, Muster und Strukturen sowie Daten und Zufall. Nach dem Verständnis der Mathematikdidaktik kommt der Leitidee Muster und Strukturen grundlegende Funktion für die anderen Leitideen zu.

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L EITIDEE M USTER UND S TRUKTUREN

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Muster im Vorschulalltag: Muster werden häufig und in vielfältiger Form im Vorschulalltag eingesetzt. So schaffen Rituale Orientierung, gemeinsame Routinen Handlungssicherheit und verbindliche Raumstrukturen Ordnung. Alltagssituationen, wie die Sitzordnung, der Tagesablauf, das Tischdecken können mathematisch aufgegriffen werden.

„Mathematik wird häufig als ‚Wissenschaft von den Mustern‘ beschrieben. Durch die Gelegenheit 6, Muster und Strukturen aktiv zu erforschen, fortzusetzen, umzugestalten und selbst zu erzeugen, bauen Schülerinnen und Schüler Kompetenzen in diesem Bereich auf. Im Unterricht geht es nicht nur um Gesetze, Beziehungen und Strukturen aus der Welt der Zahlen, sondern auch um den Bereich Formen und Größen.“ (Hansestadt Hamburg 2011, 27)

Förderung des Musterverständnisses: Veränderungen von Mustern machen Alltagsmuster bewusst, ebenso wie das Sprechen darüber. Das Gespräch über Alltagsmuster hilft relevantes Vokabular zu entwickeln. Muster faszinieren Kinder von Anfang an. Das „gestaltende Tätigsein mit gleichem Material in großer Menge“ (Kerensa Lee), etwa beim Legen mit Münzen oder Bauen mit Bierdeckeln oder Plastikbechern zeigen das. Beim Gespräch darüber bieten sich ganz natürlich Situationen, diese Muster auch numerisch und topologisch zu beschreiben. Eine wichtige Aufgabe der Förderung besteht darin, den Transfer zwischen grafischer und numerischer Darstellung zu üben. Wie können Perlenmuster einfach beschrieben werden? Und wie lassen sich gegenständliche Anordnungen so strukturieren, dass die Anzahlen auf einem Blick erfassbar sind? Außerdem gibt es viele Anknüpfungspunkte auch in andere Lernbereiche hinein: Bandornamente drucken oder kleben, Siebdruck oder Frottagetechnik im Bereich Kunst, Rhythmen ausprobieren in Musik, Silben klatschen in der sprachlichen Förderung, Bewegungsmuster und räumliche Anordnungen im Sportunterricht,K Implizit bleibende Definitionen: Doch was bedeuten „Muster“ und „Strukturen“ genau? Wie Miriam Lüken (2012, 18f.) nachgewiesen hat, ist Muster ein Begriff, der inzwischen in viele Grundschulmaterialien Einzug gehalten hat. Obwohl er ein grundlegender Begriff der Mathematikdidaktik ist, wird er in der Regel nicht definiert, damit verbundene fachdidaktische Ideen weder begründet, noch belegt. Der Verwendungszusammenhang und das damit verbundene implizite Begriffsverständnis variieren erheblich. Aufgrund ihrer herausragenden Bedeutung ist eine Verständigung auf eine Definition jedoch unverzichtbar. Die Begriffe Muster und Struktur werden hier wie folgt verstanden:

Muster meint jegliche numerische, räumliche oder sonstige Regelmäßigkeit (Wiederholung oder Vorbild). Struktur bezeichnet die zugrundeliegende Ordnung, den zugrundeliegenden Bauplan, der die Teile zu einer Ganzheit zusammenfügt. Strukturen sind Beziehungsgefüge. Die Begriffe Muster und Struktur lassen sich jedoch nicht trennscharf voneinander abgrenzen.

Einbettung im Bildungsplan Grundschule: Laut „Bildungsplan Grundschule Mathematik“ ist Muster und Strukturen eine von fünf Leitideen. Sie besteht aus zwei Bereichen: 1) Funktionale Zusammenhänge herstellen und 2) Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen. Beiden Bereichen werden mehrere Kompetenzen zugeordnet. Alltagsnahe Fördervorschläge: Es gibt viele Möglichkeiten Kompetenzentwicklung der Schulkinder zur Leitidee Muster und Strukturen in der mathematischen Frühförderung zu unterstützen. Viel zu viele, um sie vollständig aufzählen zu können. Auch diese Auflistung ist exemplarisch gemeint, versteht sich als Anregung.

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UND IHRE

B EDEUTUNG IN DER V S K

Funktionale Zusammenhänge herstellen

Eins-zu-Eins-Zuordnungen herstellen,

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Größer-kleiner-Beziehungen,

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Gesetzmäßige Zuordnungen erkennen,

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Tabellen verwenden,

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Einfache arithmetische und geometrische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen,

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Selbst einfache geometrische und arithmetische Muster bilden,

Größer-Kleiner-Beziehung: Qualitatives Vergleichen Objekten; Sortieren der Löffel nach Tee– und EsslöfKompetenzen der Leitidee Muster und Strukturen laut Bildungsplan Grundschule feln; Schrauben, Stifte, Bücher, Stofftiere der Größe nach ordnen; Zuordnung der Puppenkleidung zu unterschiedlich großen Puppen,K

♦

Sachsituationen mathematisch modellieren.

♦

Nutzen von Strukturierungen bei Zahldarstellungen

Sachsituationen mathematisch modellieren: Durchzählen der Kinder, Gestalten von Umfragen und Abstimmungen, Aufräumen in der Klasse, Prüfen von Spielen auf Vollständigkeit, Ver- und Aufteilsituationen,K Materialien von Kalkulie: Zu den o.g. Kompetenzen enthält der Baustein 1 von „Kalkulie“ (Gerlach et al., 2007) viele Materialien und Anregungen.

Bedeutung für den Zahlbegriffserwerb: Die Entwicklung des Musterverständnisses spielt eine wichtige Rolle beim Erwerb mathematischer Kompetenzen. Dies sei exemplarisch an der Leitidee Zahl dargestellt. Für Schulanfänger wurde der Zusammenhang zwischen Musterverständnis und Zahlbegriffsentwicklung empirisch nachgewiesen (Lüken 2012, 212f.). Unser Zahlensystem wurde ausgehend von Mustern entwickelt und ist von Strukturen durchzogen. Grundsätzlich müssen Sachsituationen als mathematisch interpretierbar, die Anzahlbestimmung als wichtiges Instrument zum Herstellen eines Überblicks über Objektmengen und – veränderungen verstanden werden. Beim Zählen muss eine EinsOrdnen der Zahlkarten der Größe nach zu-Eins-Zuordnung von Zählobjekt und Zählzahl durchgeführt werden. Zahlen müssen im Sinne einer Größer-Kleiner-Beziehung als wohlgeordnet und aufeinander bezogen erkannt werden. Die Interpretation von Zahldarstellungen an Anschauungsmitteln erfordert die Einsicht in deren Darstellungsmuster, wie etwa die Fünferbündelung. Diese Muster zu erkennen ist ein durchaus anspruchsvoller Prozess (vgl. Söbbeke 2005). Die Nutzung gegliederter Anordnungen bei der Anzahlbestimmung und der Zahlherstellung an den Anschauungsmitteln ist wichtige Bedingung für die Ablösung vom Zählen, einem entscheidenden Nadelöhr in der Zahlbegriffsentwicklung. Geordnete Zahldarstellungen lassen sich darüber hinaus als Zerlegungsaufgaben verstehen. Die sinnvolle Nutzung der den Anschauungsmitteln immanenten Fünfer– und Zehnerstruktur führt weiter zur Einsicht ins Stellwertsystem. Systematisch variierte Aufgaben fördern die Einsicht in Rechengesetze. Diese mathematischen Strukturen sieht man nicht einfach, sondern muss sie in die Darstellung hineininterpretieren. Diese Muster und Strukturen erkennen und nutzen zu können ist eine wichtige Aufgabe des mathematischen Erstunterrichts. © Sonja Küpper

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♦

Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen

Eins-zu-Eins-Zuordnung: Abzählverse, Tisch decken, Objekte (z.B. Naschis) verteilen, Muttern auf Schrauben drehen, Eier in Eierbecher stellen, Sitzplätze im Playmobil-Bus vergeben, Scheren in Scherenhalter sortieren, Socken bzw. Schuhe zu Paaren zusammenräumen,K

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D IE KINDLICHE E NTWICKLUNG Bedeutung des Denkens in Mustern: Das Bewusstsein für Muster hat eine existenzielle Bedeutung. Das Erkennen von Mustern macht die Welt berechenbar, vermittelt ein Gefühl von Sicherheit und Ordnung. So entstand die Mathematik ursprünglich als Antwort auf die Belange komplexer werdender Gesellschaften (vgl. Schmandt-Besserat 1992). Muster ermöglichen es, einen Überblick zu behalten. Durch die Zusammenfassung von Einzelelementen zu sinnvollen Einheiten, die Kognitionspsychologen bezeichnen diese als „Superzeichen“, wird das Informationsaufkommen auf ein erträgliches und bearbeitbares Maß reduziert. Unserer „Die Faszination für Muster erfasst jeden lerUmwelt ohne diese Schutzmechanismen ausgeliefert zu nenden und neugierigen Geist. Dies umso sein, würde uns völlig überfordern. Man spricht dabei von mehr, als dass Denken eine strukturierensensory overload-Situationen, wie sie bei Menschen mit de, ordnende Tätigkeit ist. Strukturen werautistischen Denkstil auftreten können. Rituale und andeden im Austausch mit der Umwelt entre Muster sind deswegen im Vorschulalltag sehr deckt, aufgebaut und erworben – und sind wichtig. Muster sind zugleich Voraussetzung für das nicht Lernstoff, der sich verordnen Lernen. Ohne Wahrnehmung von Regelmäßigkeiten ist lässt.“ (Wälti, Hirt 2007, 17). Erkenntnis nicht möglich. Entwicklungsmodelle: Um das Verständnis der Vorschulkinder von Mustern zu analysieren gibt es zwei relevante Modelle. Das eine setzt sich mit dem Prozess der Mustererkennung auseinander, das andere mit der Entwicklungsetappen des Musterverständnisses.

1. Prozess der Mustererkennung Erkenntnisschritte: Die Mustererkennung vollzieht sich in drei aufeinanderfolgenden Schritten. Zuerst müssen Mustermerkmale erkannt, die Musterbestandteile hinsichtlich ihrer Merkmale kategorisiert werden. Im zweiten Schritt werden die gebildeten Kategorien verglichen und dabei eine geordnete Beziehung zwischen den Bestandteilen hergestellt. Abschließend werden die Erkenntnisse verallgemeinert und sind dann auf andere Darstellungen desselben Mustertyps übertragbar.

Merkmale identifizieren und kategorisieren

Kategorien vergleichen und geordnete Beziehungen herstellen

Ergebnisse generalisieren und übertragen

Förderung der Mustererkennung: Wie gezeigt, durchzieht die Mustererkennung und –anwendung unseren Alltag. Typische Spielsituationen sind das Auffädeln von Perlen, Gestalten mit Legematerialien oder Hüpfspiele. Das Bilden von Mustern üben Kinder bspw. bei den Spielen „Mustermusik“ oder „Musterkoffer“ oder bei der Lernumgebung „Musterforscher“. Für die Entwicklung besonders förderlich sind Aufgaben, bei denen das Kind das Muster auf andere Materialien, in neue Darstellungen übertragen soll, z.B. Klatschen statt mit Plättchen legen, mit Zahlen statt bildlich darstellen. Den Transfer zwischen den Darstellungen können sie bei der Lernumgebung „Fliesenleger“, beim „Mathematikübersetzer“ oder beim „Musterquartett“ üben. Diese werden im Anhang bei den Karteikarten beschrieben.

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DES

M U S T E R V E R S TÄ N D N I S S E S

Kinder mit Lernschwierigkeiten: Die Mustererkennung setzt voraus, dass die Kinder eine Situation als mathematikhaltig wahrnehmen, eine zentrale Hürde für Kinder mit Lernerschwernissen. Diese tendieren eher zu alltagspraktischen Deutungen (Materialeigenschaften, Ähnlichkeit zu Realobjekten). Durch die Mathematikbrille zu schauen, sollten sie explizit üben können. Förderlich ist dabei das angeleitete Unterrichtsgespräch, das konsequent auf die mathematische Betrachtung abhebt und durch lautes Denken kognitive Modelle anbietet.

Bedeutung des Modells: Das Entwicklungsmodell zum Musterverständnis nimmt die entwicklungspsychologische Dimension in den Blick. Das Verstehen der Konstruktionsweise von Mustern ist ein Lernprozess, ein wichtiger noch dazu. Das Musterverständnis ergibt sich nicht von selbst, sondern erfordert vielfältige, fachlich reichhaltige Lerngelegenheiten.

Weiterentwickeln vorgegebener Muster

Entwicklungsverlauf: Auch wenn Stufenmodell dies suggerieren, so ist Entwicklung kein linearer, in separierbarer Etappen gegliederter Prozess. Der amerikanische Entwicklungspsychologe Robert S. Siegler skizziert Entwicklung als Modell überlappender Wellen: Entdeckung geschehe plötzlich, Strategiewechsel hingegen graduell, Menschen verfügen dadurch zu jedem Zeitpunkt über eine Auswahl unterschiedlich elaborierter Strategien. So verfügen bereits fünfjährige Kinder über ca. fünf bis sechs unterschiedliche Strategien zur Lösung einfacher Additionsaufgaben. Selbst kleine Kinder wählen adaptiv einen geeigneten Lösungsansatz aus. Bei der Bearbeitung von Musterfolgeaufgaben spielen neben situativen Merkmalen und persönlicher Verfassung die Anforderungen der Aufgabe eine Rolle. Muster können unterschiedlich schwierig sein, abhängig von Anzahl und Art der Merkmale, Komplexität der Regel und Vorerfahrungen im Lösen solcher Aufgaben. Es ist daher völlig normal, dass ein Kind Entwicklungsstufen, die es bei einzelnen Aufgaben schon genommen hat, in anderen Zusammenhängen (noch) nicht bewältigt. Auch wenn sie die individuelle Entwicklung nicht genau abbilden können, helfen Stufenmodelle etwa bei der Einschätzung einer Lösung und beim Erkennen der Zone der proximalen Entwicklung. Entwicklungsetappen: Das Musterverständnis entwickelt sich entlang drei aufeinander aufbauender Niveaustufen: 0.

Von Geburt an ist das Kind eingebettet in einen verlässlichen Alltag aus Mustern. Daraus bilden sich Gewohnheiten. Bei Alltagshandlungen übernimmt das Kind zunehmend mehr Eigenverantwortung. Dies gilt in der Vorschule bspw. für das Begrüßungsritual oder den Frühstücksspruch.

1.

Das Kinder lernt, Musterfolgen nachzubilden. Im VSK-Alltag weiß es, in welcher Reihenfolge der Kalender besprochen wird, wie die Kinder sich bei Ausflügen aufstellen sollen usw. Mit Legematerialien lässt sich die Musterfolgekompetenz gezielt fördern. Dazu legt das Vorschulkind diese anfangs unter oder oberhalb des Originals nach.

2.

Als zweites setzten sie eine vorgegeben Musterfolge fort. Das Muster zu erkennen und sinnvoll fortsetzen zu können, ist eine große Herausforderung für kleine Kinder, die anfangs nur in Ansätzen gelingt. Nach zuerst beliebigem Fortsetzen beginnt das Kind das letzte Element zu wiederholen. Später erkennt es zwar die Elemente der Folge, schafft die korrekte Reihung jedoch noch nicht, sondern wiederholt die © Sonja Küpper

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

2. Entwicklung der Musterfolgekompetenz

13

D IE KINDLICHE E NTWICKLUNG Elemente erst in beliebiger und dann in inverser Reihenfolge. Danach wird das Muster korrekt fortgesetzt. 3.

Das Kind kann ein gegebenes Muster nicht nur sinnvoll fortsetzen, sondern auch beschreiben und auf andere Darstellungen übertragen. 3. Beschreiben und Übertragen des Musters

14

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Das Kind beschreibt die relevanten Merkmale und deren Beziehungen.

2. Fortsetzen der Musterfolge Das Kind kann eine vorgegebene Musterfolge weiterführen. Dabei lernt es zuerst die richtigen Elemente zu verwenden und

1. Nachbilden der Musterfolge Türme aus Kappla-Hölzern als dreidimensionales Muster

Das Kind kann eine vorgegebene Musterfolge reproduzieren.

0. Erleben von Mustern Das Kind erfährt den Alltag als geordnet. Schlüsselreize stimmen auf Situationen ein und wecken Erwartungen.

Förderung der Musterfolge-Kompetenz: Die Entwicklung des Musterverständnisses kann auf vielfältige Weise gefördert werden.

♦

Reproduktion von Musterfolgen: Bei der Reproduktion einer Musterfolge muss jedem Element ein gleiches Element zugeordnet werden. Dazu ist es sinnvoll am Anfang sich möglichst stark unterscheidende und möglichst wenige Elemente zu verwenden. Außerdem sollten die Muster am Anfang möglichst kurz sein. Die Anforderung wird vereinfacht, wenn die Parallelisierung auch räumlich möglich ist, indem das Muster ober– oder unterhalb des Originals nachgebildet werden kann. Eine passende Rastervorlage kann bei der Orientierung helfen. Die Reproduktion eines Musters setzt die Eins-zu-Eins-Zuordnung und Klassifikation voraus. Sofern Kinder mit der Nachbildung von Mustern überfordert sind, sollten erst Übungen dazu gemacht werden.

♦

Fortsetzen von Musterfolgen: Musterfolgen können mit Legeplättchen, Muggelsteinen, Wendeplättchen o.ä. gelegt und weitergeführt werden. Im Handel sind auch spezielle Materialien erhältlich. Darüber hinaus finden sich Aufgaben zum Weiterzeichnen in vielen Vorschul– und Klasse 1-Heften. Aufgrund der Geläufigkeit des Materials, der Anschlussfähigkeit an Aufgaben zur Leitidee Zahl und der überschaubaren Anzahl an Merkmalen empfiehlt sich das Arbeiten mit Wendeplättchen. Ihr Nachteil ist, dass der Helligkeitsgrad beider Farben gleich ist und so werden beim Kopieren selbst gestalteter Vorlagen die Farben zu identischen Graustufen. Ein eigenes Musterbuch lässt sich damit leider nicht erstellen. Vorlagen zum Fortsetzen von Musterfolgen finden Sie auch in der Werkstatt „Folgen mit Farben und Formen“

© Sonja Küpper

DES

M U S T E R V E R S TÄ N D N I S S E S

von PIK AS.

♦

3. Die Entwicklung eigener Muster

Unter dem Titel „Gestaltendes Tätigsein mit gleichem Material in großen Mengen“ entwickelte Kerensa Lee ein Konzept zum selbstgesteuerten Lernen im Bereich Muster und Struktur. Zur Verfügung gestellt werden große Mengen einfacher und identischer Materialien wie Würfel, Eisbecher, Münzen oder Legeplättchen. Die Einfachheit des Materials und seine Fülle animieren zum Anfassen und Umordnen. Gerade durch die Zufälligkeit des anfänglichen Handelns entstehen Ideen und Themen, die von den Kindern im Folgenden ausprobierend bearbeitet werden. Dabei entstehen gegenständliche Darstellun-

Treppenmuster aus rechteckigen Pappkarten

gen, Zeichen oder Symbole, geometrische Figuren und Muster. Reguläre Formen, Symmetrien und Kongruenzen können entdeckt werden, ebenso wie Zusammenhänge zwischen Geometrie und Arithmetik (bspw. beim Legen eines Quadrats).

Der Prozess der Ideenentwicklung vollzieht sich nach Kerensa Lee (2010, 23) in drei Phasen: 1.

Kreieren: das Abbilden, (Re-) Produzieren und Modellieren bereits verinnerlichter Strukturen

2.

Durcharbeiten: ein fokussiertes Gestalten. ein Frageaspekt oder eine noch nicht erschlossene Struktur rückt in den Vordergrund. Sichtbar werden Aspekte des Schmückens, Zerstörens und die wiederholte Reproduktion eines bestimmten Themas oder Problems,

3.

Entdecken: „Eine neue Struktur wird durch Optimieren oder Modifizieren erschlossen.“ (Lee)

Entdecken

Durcharbeiten

Kreieren

© Sonja Küpper

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Beschreiben und Übertragen von Mustern: Zum Beschreiben und Übertragen von Mustern bieten sich Alltagshandlungen als Einstieg an. Irritationen in Abläufen (gezielte leichte Variationen) können helfen, automatisierte Abläufe zu vergegenwärtigen. Die Dokumentation selbstverständlicher Muster wie bspw. dem Tagesablauf zur Information von Gäste oder Vertretungslehrkräfte verdeutlicht darüber hinaus die Alltagsrelevanz der Mathematik. Das Übertragen der Muster wird beim „Musterquartett“, dem „Mathematikübersetzer“ geübt. Das Beschreiben von Mustern bei den Lernumgebungen „Musterforscher“ und „Fliesenleger“.

15

F ÖR DE RU NG DER M USTE RKOM PETEN Z

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„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Alltägliche Muster aufgreifen: Zum Einstieg in den Bereich Muster und Strukturen bieten sich die Alltagsmuster an. Wie lässt sich der Tagesablauf noch darstellen? Wie können einem Besucher gemeinsame Regeln kindgerecht notiert werden? Was wäre, wenn man den Ablauf zur Vorbereitung des gemeinsamen Frühstücks verändern würde? Wie kann ein neues Kind über die Ordnung in der Klasse informiert werden? Welchen Instrumenten Möglichketen der Abstimmung und Erhebung von Häufigkeiten werden in der Klasse verwendet? Und so weiter. Es ist nicht schwer, Beispiele zu finden. Durch Dokumentation, Variation und Beschreibung der den gemeinsamen Alltag durchziehenden Muster entstehen ganz natürlich Lernsituationen mit mathematischem Potential. Nancy Hoenisch, die in den USA als Vorschullehrerin einer Klasse für Kinder mit besonderem Förderbedarf arbeitet, gibt in ihrem Buch vielfältige Anregungen dazu. Materialien aus dem Internet: Das Projekt MATHElino hat zur Leitidee Muster und Strukturen vielfältige Lernsituationen entwickelt, dabei wurde besonders auf fachliche Impulse durch die Lehrkraft Wert gelegt. Entsprechende Aufträge und Impulsfragen wurden formuliert und beigefügt. Die Werkstatt „Folgen mit Farben und Formen“ von PIK AS ist ebenfalls im Internet verfügbar.

Grafische Muster: Darüber hinaus bieten Muster-Bilder vielfältige Gesprächsanlässe. Beispiele dafür sind die Aufräum-Bücher von Ursus Wehrli,

das Fußspurenbuch von Gerda Muller

sowie die Grafiken von Escher, Penrose oder Mandelbrot. Wie wäre es denn, selbst ein Spurensucher-Buch zu erstellen? Oder ein Buch mit schönen Zahlen?

Fehlende Eindeutigkeit: Grundsätzlich gilt, dass sich eine Musterfolge, mathematisch betrachtet, nicht eindeutig durch ihr Anfangsstück definieren lässt. Es ist daher unverzichtbar, bei scheinbar unzutreffenden Lösungen das Kind um eine Begründung seines Lösungsansatzes zu bitten. Womöglich steckt viel mehr, eine kreative und durchaus korrekte Idee, dahinter.

Ordnung schaffen vor dem Zählen

© Sonja Küpper

UND WEITERE

A NREGUNGEN

Akustische Muster: Muster können nicht nur betrachtet und bearbeitet werden, sondern in der Gruppe kreativ entwickelt werden. Ein toller Einstieg bietet das gemeinsame Musizieren, insbesondere das Erzeugen von Rhythmen. Bei Bodypercussion sind dazu nicht einmal Instrumente erforderlich. Entsprechende Videos finden Sie auf der Karteikarte „Mustermusik“. Das Buch von Vogel und Dohmas hat zwar ältere Kinder im Blick, zeigt aber schöne, auch für Vorschulklassen geeignete, Beispiele individueller Notation von Rhythmen.

Die Bedeutung des Unterrichtsgesprächs Gemeinsame Bedeutungsaushandlung: Muster und Strukturen sind selbstverständlicher Bestandteil des Vorschulalltags. Ein Zusammenleben in der Klasse wäre ohne feste Abläufe, Regeln, Rituale und Ordnungen nicht vorstellbar. Doch macht dieses musterbasierte Arbeiten an sich schon Mathematik aus? Natürlich nicht. Es geht darum, diese Muster bewusst wahrzunehmen, zu beschreiben, begründen und zu variieren. Wichtig für das Lernen ist nicht nur die Möglichkeit, Erfahrungen mit Mustern zu sammeln, sondern besonders auch gemeinsam darüber zu sprechen. Bedeutungsgebung ist im Mathematikunterricht zwingend ein dialogischer Prozess, da Mathematik abstrakt und damit nicht unmittelbar erfahrbar ist. Gemeinsame Gespräche fördern gemeinsame Deutungsweisen. Gerade unterschiedliche Lösungsansätze und noch unvollständige Lösungsangebote bieten außerordentliches Potential für die gemeinsamen mathematischen Gespräche:

„Indem sie miteinander reden, lernen die Kinder, aufeinander einzugehen, logisch zu denken und ihre Behauptungen zu überprüfen. 6. Finden Kinder verschiedene Antworten auf die gleiche Frage, werden sie herausgefordert zu erzählen, wie sie zu ihrer Antwort kamen, spornt sie das an, ihre Lösung zu verteidigen, indem sie sie beweisen. Dabei merken sie, dass Mathematik weder willkürlich noch unbegreiflich ist.“ (Hoenisch 2007, 13)

re Kindern mit mathematischen Entwicklungsrisiken fällt es schwer, hinter der Oberfläche der materiellen Ausgestaltung das mathematische Muster zu erkennen. Sie tendieren zu alltagspraktischen Deutungsmustern. Die Fokusverschiebung vom szenischen Spielen zum mathematischen Gestalten muss angeleitet und begleitet werden, braucht das einbettende Gespräch. Ebenso werden den Vorschulkindern im gemeinsamen Gespräch relevante Begriffe, grundsätzliche Fragestellungen und Argumentationsmuster nahegebracht.

Unterstützung schwächerer Kinder: Insbesonde-

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„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Weiterführende Literatur: Mathematik ist schön, Muster sind ansprechend. Das ist die klare Botschaft des Buches „Zahlen, Spiralen und magisches Quadrate“. Es demonstriert älteren Kindern und Erwachsenen reichlich illustriert und einfach erklärt die Faszination von Mathematik. Auch Keith Devlin hat viele, interessante und gut lesbare Bücher über Bedeutung und Wesen der Mathematik geschrieben. Außerdem gibt es einen tollen Film über die Bedeutung von Fraktalen, einer besonderen Form der Muster, „Fraktale, die verborgene Ordnung der Natur“, zu finden im Internet.

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L I T E R AT U R Benz, Christiane (2007): 'Zahlen sind nichts Schlimmes' - Vorstellungen von Erzieherinnen über Mathematik im Kindergarten. Online verfügbar unter www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/ BzMU2008/BzMU2008/BzMU2008_BENZ_Christiane.pdf, zuletzt geprüft am 03.08.15

Beutelspacher, Albrecht (2004): In Mathe war ich immer schlecht. [Berlin: Viehweg] Born, Armin; Oehler, Claudia (2008): Kinder mit Rechenschwäche erfolgreich fördern. Ein Praxishandbuch für Eltern, Lehrer und Therapeuten. 2., überarb. und erw. Aufl. Stuttgart: Kohlhammer.

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„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Dahl, Kristin; Nordqvist, Sven; Kutsch, Angelika (1996): Zahlen, Spiralen und magische Quadrate. Mathe für jeden. Hamburg: Oetinger. Devlin, Keith J. (2002): Muster der Mathematik. Ordnungsgesetze des Geistes und der Natur. 2. Aufl. Heidelberg, Berlin: Spektrum, Akad. Verl. Gerlach, Maria; Fritz, Annemarie; Ricken, Gabi; Schmidt, Siegbert (2007): Kalkulie. Diagnose- und Trainingsprogramm für rechenschwache Kinder. Berlin: Cornelsen. Hoenisch, Nancy; Niggemeyer, Elisabeth (2007): Mathe-Kings. Junge Kinder fassen Mathematik an. 2., vollst. überarb. Aufl. Weimar, Berlin: Verl. Das Netz. Lee, Kerensa (2010): Kinder erfinden Mathematik. Gestaltendes Tätigsein mit gleichem Material in grosser Menge. Weimar, Berlin: Verl. Das Netz (Betrifft Kinder extra). Lüken, Miriam M. (2012): Muster und Strukturen im mathematischen Anfangsunterricht. Grundlegung und empirische Forschung zum Struktursinn von Schulanfängern. Münster [u.a.]: Waxmann (Empirische Studien zur Didaktik der Mathematik, 9). Muller, Gerda (2008): Was war hier bloß los? Ein geheimnisvoller Spaziergang. Weinheim [u.a.]: Beltz & Gelberg (Minimax). Royar, Thomas; Streit, Christine (2010): MATHElino. Kinder begleiten auf mathematischen Entdeckungsreisen. 1. Aufl. [Stuttgart], Seelze: Klett; Kallmeyer. Schmandt-Besserat, Denise; Hallo, William W. (1992): Before writing. From counting to cuneiform. Austin: University of Texas Press. Söbbeke, Elke (2005): Zur visuellen Strukturierungsfähigkeit von Grundschulkindern - epistemologische Grundlagen und empirische Fallstudien zu kindlichen Strukturierungsprozessen mathematischer Anschauungsmittel. Hildesheim, Berlin: Franzbecker (Texte zur mathematischen Forschung und Lehre, 42). Vogel, Corinna; Domahs, Frank (2007): Alles ist Musik! Kinder experimentieren mit Rhythmus und Klang. Unter Mitarbeit von Armin Kaster. Mülheim an der Ruhr: Verl. an der Ruhr (Mus-e-Edition - Künstler für Kinder). Wehrli, Ursus (2012): Kunst aufräumen - Ursus Wehrli. Unter Mitarbeit von Götz von Olenhusen, Albrecht. 10. Aufl. Königstein: Kein & Aber. Wahl, Diethelm (2006): Lernumgebungen erfolgreich gestalten. Vom trägen Wissen zum kompetenten Handeln. 2. Aufl. Bad Heilbrunn: Klinkhardt. Wahl, Diethelm (1991): Handeln unter Druck. Der weite Weg vom Wissen zum Handeln bei Lehrern, Hochschullehrern und Erwachsenenbildern. Weinheim: Dt. Studien-Verl. © Sonja Küpper

ANDERE

M AT E R I A L I E N

Wittmann, Erich Ch; Müller, Gerhard N. (2008): Muster und Strukturen als fachliches Grundkonzept. In: Gerd Walther (Hg.): Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret. 1. Aufl. Berlin: Cornelsen Scriptor, S. 42–65. Zimpel, André Frank (2008): Der zählende Mensch. Was Emotionen mit Mathematik zu tun haben. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.

♦

Richtlinie für Bildung und Erziehung in Vorschulklassen http://www.hamburg.de/contentblob/73096/data/anlage-2-richtlinie-vsk.pdf

♦

Bildungsplan Grundschule Mathematik http://www.hamburg.de/contentblob/2481796/data/mathematik-gs.pdf

♦

Projekt MATHElino der PH Freiburg http://mathelino.ph-freiburg.de/ Deren Unterrichtsanregungen sind zu finden unter: http://mathelino.ph-freiburg.de/material/download/

♦

„Muster-Werkstatt“ von PIK AS (Technische Universität Dortmund) http://pikas.dzlm.de/material-pik/themenbezogene-individualisierung/haus-6-unterrichts-material/ folgen-mit-farben-und-formen/folgen-mit-farben-und-formen.html

♦

Homepage mit vielen Muster-Bildern: http://mathekiste.wordpress.com

Filmtipp: „Fraktale, die verborgene Ordnung der Natur – Mandelbrot und seine Welt“ (arte) zu finden auf Youtube: http://www.youtube.com/watch?v=qqRiZWGwk-A

© Sonja Küpper

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Linktipps:

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A U F B AU D E R K A R T E I K A R T E N

Vorderseite Die Karteikarten für Übungen und Spiele sind einseitig bedruckt. Die Lernumgebungen verfügen zusätzlich über eine Rückseite mit zusätzliche Informationen. Die erste Zeile enthält folgende Informationen: Kartennummer, Titel, Sozialform.

20

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Die Kartennummer ist zweiteilig. Als römische Zahl wird die Leitidee angegeben: I: Muster und Strukturen, II: Zahl, III: Raum und Form, IV: Messen. Dem schließt sich die laufende Nummer für die Leitidee an. Die Sozialform wird durch folgende Abkürzungen angegeben: Kl: Klassenunterricht, KG: Kleingruppe, PA: Partnerarbeit, EA: Einzelarbeit. Der zweiten Zeile können Sie die Beschreibung des Lernangebots entnehmen. Darüber hinaus befinden sich auf der rechten Seite Hinweise zur räumlichen Gestaltung. Dem schließen sich in den Folgezeilen der didaktische Kommentar und das erforderliche Material an.

Rückseite Bei den Lernumgebungen befinden sich auf der Rückseite (beim Druck unterhalb der Vorderseite) noch die Punkte Ablauf, mögliche Fragestellungen und Formen der Ergebnissicherung.

© Sonja Küpper

Aufgabe:

Musterkoffer

Kl

I.1. Musterkoffer funk oniert wie „Ich packe meinen Koffer“ nur mit Geräuschen oder Bewegungen: Der Startspieler gibt das erste Geräusch vor. Jeder Nachfolger wiederholt die bisherige Musterke+e und fügt ein weiteres Element an. Zum Abschluss wiederholen alle Mitspieler gemeinsam das vollständige Muster.

Im Stuhlkreis

Beschreibung

Fragen zum Weiterdenken:

Material

Was macht das Muster einfach / schwer?

♦

Welchen Teil des Musters kannst du dir am besten merken?

♦

Hast du Tricks, mit denen du dir das Muster besser merken kannst?

♦

Was können wir vereinbaren, damit das Muster nicht zu schwer wird?

Muster wird hierbei zuerst einmal im einfachsten Sinne, als Vorlage, verstanden. Die Kinder üben im ersten Schri+ die Reproduk on der Vorgabe. Dabei erfahren sie, wie schwer es ist, sich ungeordnete Informa onen einzuprägen. Die weiterführenden Fragen ermöglichen es den Kindern, Ordnen als grundlegende mathema sche Handlung kennenzulernen. Diese Diskussion führt zur Thema sierung von Mustern als Superzeichen.

keins

Im Stuhlkreis, an den Tischen, „ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D .evtl. “ (S ELTER) vor dem Spiegel

Didak scher Kommentar

♦

Küpper L M&S

21

Aufgabe:

Mustermusik

Kl

I.2. Beschreibung

Durch Klatschen, Stampfen, Schnipsen, Schnalzen,… wird ein Muster vorgemacht. Alle anderen machen es nach und setzen es fort. In der Musikdidak k werden solche Übungen Bodypercussion genannt. Um sich die Bewegungen einzuprägen, ist es hilfreich sie parallel mithilfe sinnloser Silben zu begleiten. Ergänzend kann das Muster bildlich mit Fotokarten oder Symbolen dargestellt werden. ForBührend kann der Geräuschrhythmus mit einem Schri+rhythmus kombiniert werden.

Varia on 1: Die bes mmenden Mustermerkmale werden mit anderen (relevanten, aber nicht bes mmenden) Merkmalen kombiniert. Varia on 2: Kinder können das gleiche Muster mit anderen Geräuschen nachmachen und gemeinsam überlegen, ob es wirklich iden sch ist.

Didak scher Kommentar

Material

In der Grundform der Aufgabe üben die Kinder die Reproduk on eines Musters. Das Anspruchsniveau kann dabei beliebig variiert werden. Wenn das Muster in andere Darstellungen überführt wird, werden darüber hinaus der Transfer und das Beschreiben geübt. Gerade Musterstörungen bieten vielfäl ge Gesprächsanlässe und fordern eine mathema sche Auseinandersetzung mit dem Thema Rhythmus.

Bsp. Bodypercussion: Unter dem S chwort finden sich viele Videos auf Youtube, bspw.: h+p://www.youtube.com/watch?v=4ocaxLQ4ig8

© Sonja Küpper Küpper L M&S

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„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Rückseite der Karteikarte

Rückseite der Karteikarte

© Sonja Küpper

Aufgabe:

Kl

Mathematikübersetzer

I.3. Zu vorgegebenen Mustern sollen möglichst viele alterna ve Darstellungen gefunden und auf die Rich gkeit hin überprüM werden. Das Ausgangsmuster kann in unterschiedlicher Form präsen ert werden: aus Material gelegt, als Zeichnung oder Zahlenfolge. Eine visuelle Darstellung empfiehlt sich, da der Eins-zu-EinsVergleich mit akus schen oder Bewegungsmustern besonders schwierig ist. Weiterführende Fragen:

♦

Was fällt dir an dem Muster auf?

♦

Welches Muster gefällt dir besonders gut? Und warum?

♦

Sind die Muster wirklich gleich?

♦

Kannst du dein Muster beschreiben?

♦

Welche Muster ähneln sich?

Didaktischer Kommentar

Beim Mathema kübersetzer wird Entwicklungsstufe 3 des Musterverständnisses, Beschreiben und Transfer, gefördert. Falls Kinder dies noch nicht leisten können, könnten Sie das Muster erst einmal nachbilden. Wenn das Muster aus Gefäßen gestaltet wird, könnte eine auf Ähnlichkeit basierende ÜbersetzungsvorschriM vorgegeben werden, bspw. in jeden Eierbecher einen Legostein derselben Farbe. Durch das Herausnehmen parallelisierende Ablegen der Gegenstände aus den Gefäßen wird die Übersetzung zur eigenständigen Folge.

Material

Legeplä+chen wie Fröbelplä+chen, Pa+ernblocks, Muggelsteine usw., Perlen und Band, Knete, Stempel, Kartoffeldruck, geometrische Grundformen aus Pappe, Hammerspiel, Alltagsmaterialien in ausreichender Menge wie Knöpfe, Wäscheklammern, Streichhölzer, Büroklammern, Münzen, Eierbecher, Schalen, Teller usw.

Ausstellungs sche oder Pinnwände „ JvorE D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R ) breiten

Beschreibung

Küpper L M&S

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Aufgabe:

PA, KG

Muster-Quartett

I.4. Beschreibung

Je vier selbst erstellten Musterkarten des gleichen Musters in unterschiedlicher Darstellung ergibt ein Quarte+. Fünf bis acht Quarte+e in einem Spiel scheinen besonders geeignet zu sein. Gespielt wird nach den klassischen Quarte+-Regeln.

Varia on 1: Die Spieler halten ihre Karten als Stapel, sodass sie nur die oberste Karte sehen können. Einen S ch gewonnen hat, wer die größte Ausprägung des gewünschten Wertes hat. Den Wunschwert festlegen dürMen die Kinder reihum. Möglich sind: Gesamtlänge des Musters, größte Anzahl von aufeinanderfolgenden iden schen Merkmalen, Anzahl der Mustermerkmale.

Didaktischer Kommentar

Beim Muster-Quarte+ wird die Übertragung der Musterdarstellungen geübt. Bei Varia on 1 geht es darüber hinaus um Beschreiung und Analyse des Musters. Dabei können die Kinder bei der Festlegung des Wunschwertes sowohl zufällig wie auch strategisch vorgehen. Ein gemeinsames Gespräch über das individuelle Vorgehen ist gerade für schwächere Kinder sehr hilfreich. Die Mitspieler dienen zugleich als Hilfe und Korrek v.

Material

Je 4 Karten mit unterschiedlichen Darstellungen desselben Musters müssen im Voraus erstellt werden: Fotos von der Übung Mathema kübersetzer oder von den Kindern selbst angefer gte Quarte+e. © Sonja KüpperKüpper L M&S

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

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Rückseite der Karteikarte

Rückseite der Karteikarte

© Sonja Küpper

Lernumgebung Musterforscher

Kl

Beschreibung

Bei der Lernumgebung Musterforscher sollen die Kinder Muster in ihrer Umwelt entdecken und erkunden. Dabei werden einführend die zentralen Begriffe „Muster“, Element“ und „Regel“ geklärt. Nach einer Erkundungsphase tragen die Kinder ihre Muster im Plenum zusammen, stellen sie sich wechselsei g vor, analysieren und ordnen sie nach subjek ven Kriterien. In der gemeinsamen Diskussion werden Forschungsfragen und weiterführende Vorhaben entwickelt und vereinbart. Diese bearbeiten die Kinder dann in der zweiten Erkundungsphase. Die Erkenntnisse werden im Abschlussplenum zusammengeführt und die Musterausstellung vorbereitet.

Ausstellungsfläche ten

Aufgabe:

Didaktischer Kommentar

Mustererkennung hat für die weitere mathema sche Entwicklung eine bedeutende Rolle. Muster und Strukturen sind für die anderen Lei deen grundlegend. Es handelt sich zentrale Begriffe, die in anderen Zusammenhängen wieder aufgegriffen werden können. Ebenso können die Forschungsfragen in die anderen Lei deen hineinreichen. Das ist durchaus erwünscht. Such– und Analysestrategien können die Kinder ihrem Entwicklungsniveau und ihren Präferenzen gemäß wählen.

Material

Musterbeispiele, kleine Pappkarten, Pinnwände, Tafel o.ä., um die Muster auszustellen und zu ordnen

I.5.

vorberei-„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D Ausstellungswand . “ ( S ELTER)

Küpper L M&S

25

Aufgabe:

Kl

Lernumgebung Fliesenleger

I.6. Beschreibung

Die Kinder sollen mit den Pappquadraten auf den Rastervorlagen experimentieren und schöne „Wände“ erstellen. Im zweiten Schritt geht es darum, bei der Betrachtung der Kinderprodukte Muster als etwas Regelhaftes zu erkennen, um dann selber Musterwände anzufertigen. Die Musterwände werden anschließend arithmetisch interpretiert und als Einkaufsliste für den Fliesenleger dargestellt. Dabei können auch die verschiedenen Musterdarstellungen zur selbst Zerlegung miteinander verglichen werden. Aufgrund des Aufbaus der Arbeitsblätter steht es den Kindern frei, Zehner– oder Zwanzigerwände zu bearbeiten. Bei der Zahlnotation sind sowohl ikonische wie auch symbolische Darstellungen möglich.

Didaktischer Kommentar

Die Kinder sollten schon Erfahrungen mit Mustern gesammelt haben. Neben der Erkundung Karomustern geht es um den Transfer zwischen geometrischer und arithmetischer Darstellung. Das Erstellen des Einkaufszettels führt zur Zahlzerlegung, während der Vergleich unterschiedlicher Fliesenanordnungen zur selben Zerlegung die Invarianz thematisiert. Die Rastervorlagen ist die gleiche Struktur zugrunde gelegt, wie den Anschauungsmitteln. Die Kinder dürfen selbst entscheiden, ob sie mit 10 oder 20 Fliesen arbeiten wollen. Die Zahlnotationen können die Kinder enaktiv (Musterfliesen in Schalen), ikonisch (abzeichnen, Strichliste,K) oder symbolisch in Form von Ziffern vornehmen. Damit die Aufgaben vergleichbar bleiben, sollten zumindest anfangs lückenfreie Wände hergestellt werden.

Material

Pappquadrate der Größe 2,5 x 2,5 cm² in zwei Farben herstellen, Arbeitsblattvorlagen, Fotos von gefliesten Flächen oder Mosaiken.

© Sonja KüpperKüpper L M&S

Ablauf

1.

Anfangsplenum: gemeinsame Betrachtung von Mustern, Faszina on von Mustern, Klärung der grundlegenden Begriffe „Muster“, „Element“, „Regel“ und des ErkundungsauMrags

2.

Erkundung 1: Sammeln, Dokumen eren und Beschreiben von Mustern in der Umwelt

3.

Zwischenplenum: Vorstellen der Muster, Beschreiben und Vergleich der Muster, Fes gen der eingeführten Begriffe, Aufgreifen von fachlichen Ideen, Vermutungen und Fragen der Kinder, Finden von Forschungsfragen, BeobachtungsauMrägen

4.

Erkundung 2: Bearbeiten der Forschungsfragen

5.

Abschlussplenum: Zusammentragen der Ergebnisse, Sor eren und Zusammenfassen der Erkenntnisse, Erstellen der Musterausstellung

zu I.5.

Welche Muster sind gleich?

♦

Welche Muster ähneln sich?

♦

Welches Muster gefällt dir besonders gut? Und warum?

♦

Gibt es Muster, die bes mmte Kriterien (bspw. besonders schön, genau 3 Elemente, eine möglichst einfache Regel,...) erfüllen?

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

Mögliche Frage- ♦ stellungen ♦

Ergebnissicherung

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Ablauf

Wie unterscheiden sich die Muster?

Die gefundenen Muster halten die Kinder auf Pappkarten fest. In den Plenumsgesprächen findet die Herausarbeitung der zentralen Aussagen, deren Zusammenführung und Reflexion des Forschungsprozesses sta+. Die gemeinsame Musterausstellung ist die materialisierte Form der gewonnenen Einsichten. Eine Einladung zum Elternnachmi+ag könnte der krönende Abschluss und Gelegenheit, das Gelernte zu präseneren, sein.

Küpper L M&S

1.

Anfangsplenum: Betrachten gefliester Wände, Vorstellen des Materials und Klären des Arbeitsauftrags

2.

Erkundung 1: Freies Experimentieren mit den Pappquadraten auf dem Raster, Herstellen schöner Wände, Abzeichnen der Muster auf das Arbeitsblatt, Notieren des Einkaufszettels

3.

Zwischenplenum: Betrachten und Besprechen der Arbeitsblätter, Wiederholen des Begriffs Muster, Klärung, welche Wände als Muster akzeptiert werden, Sortieren der Musterwände nach Zerlegung, Sammeln von Forscherfragen und Aufträgen, Tipps für das Notieren des Einkaufszettels

4.

Erkundung 2: Bearbeiten von Forscherfragen, evtl. Erstellen von großen Musterwänden,

5.

Abschlussplenum: Besprechen ausgewählter Musterwände, Diskussion und Zusammenfassung der Erkenntnisse, Sortieren der Musterwände

zu I.6.

Mögliche Frage- ♦ stellungen ♦

Warum ist diese Wand eine Musterwand? Welche Fliesen muss der Fliesenleger besorgen, um deine Wand nachbauen zu können?

♦

Wie kannst du den Einkaufszettel möglichst einfach schreiben?

♦

Welche anderen Wände könnte er mit den gleichen Fliesen bauen?

♦

Was ist den Musterwänden gemeinsam und was unterscheidet sie?

♦

Finde möglichst viele Musterwände zum selben Einkaufszettel!

♦

Der Fliesenleger hat genau K Plättchen in einer bestimmten Farbe. Welche Musterwände kann er damit bauen?

Dokumentation der Muster, Unterrichtsgespräch, Sortieren und Ausstellen der Musterwände nach KriteErgebnisrien sicherung © Sonja Küpper

Küpper L M&S

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© Sonja Küpper

„ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R )

28 „ J E D E R M E N S C H I S T E I N M AT H E M AI T K E R , AU C H J E D E S K I N D . “ ( S E L T E R ) © Sonja Küpper