Aufgaben zum Impuls 792. (LK 2010, ohne Hilfsmittel) Auf einer horizontalen Luftkissenbahn befinden sich zwei Gleiter der Massen m1 und m2 in der Ruhelage. Zwischen diesen ist eine gespannte Feder angebracht. Nach dem Entspannen der Feder bewegen sich die Gleiter gleichförmig mit den Geschwindigkeiten u1 und u2 sowie den kinetischen Energien E1 und E2 in entgegen gesetzte Richtungen voneinander weg. Reibungsverluste werden vernachlässigt. a) Es gelten die Gleichungen

u1 m =− 2 u2 m1 und

E1 m2 = E2 m1 Leiten Sie diese Gleichungen her. Nutzen Sie dabei auch die Gleichungen

p = m ⋅ v und Ekin =

m 2 ⋅v 2

b) Unter welcher Bedingung ist die kinetische Energie des Gleiter 1 nach dem Stoß ungefähr Null? 864. (LK 2013) Ein Körper 1 bewegt sich waagerecht und trifft vollkommen elastisch auf einen 2. Körper. Von dem Stoßvorgang wird das unten stehende v(t)-Diagramm aufgenommen. In welchem Verhältnis stehen die Massen der beiden Körper?

716. Auf einem Güterbahnhof läuft ein Waggon mit einer Masse von 15,0 t von einem 1,8 m hohen Ablaufberg ab. Dabei werden 92% der potentiellen Energie des Waggons in kinetische Energie umgewandelt. Anschließend rollt er auf einer horizontalen Strecke 270 m weiter, die Reibungszahl beträgt 6,00*10-3. Danach stößt er auf einen dort haltenden zweiten Waggon der Masse 22,0 t, wobei die Kupplung einrastet. a) Beschreiben Sie die Energieumwandlungen. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsbeträge der beiden Waggons nach dem Ankoppeln.

Lösungen 792. Der beschriebene Versuch stellt einen elastischen Stoß dar, da sich die beiden Gleiter nach dem Stoß unabhängig voneinander weiter bewegen. Es gilt also sowohl der Impulserhaltungssatz als auch der Satz von der Erhaltung der kinetischen Energien beim Stoß. Es werden die Impulse vor und nach dem Ereignis betrachtet: Vor dem Ereignis sind beide Gleiter in Ruhe und haben damit keinen Impuls. Die Summe aller Impulse ist damit auch Null. Nach dem Impulserhaltungssatz ist die Summe der Impulse nach dem Stoß dann aber immer noch Null. Es gilt also nach dem Stoß:

p1 + p2 = 0 Die Impulse ergeben sich aus Masse und Geschwindigkeit.

p1 = m1 ⋅ u1 p 2 = m2 ⋅ u 2 und eingesetzt:

m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 = 0 Diese Gleichung kann nun in die geforderte Form umgestellt werden:

m1 ⋅ u1 = − m2 ⋅ u2 m1 ⋅ u1 = − m2 u2 u1 m =− 2 u2 m1 Energie: Die beiden Gleiter erhalten ihre kinetische Energie aus der Feder. Nach dem Stoß haben die Gleiter die kinetischen Energien

m1 2 ⋅ u1 2 m E2 = 2 ⋅ u22 2 E1 =

Diese beiden Gleichungen können nach den Geschwindigkeiten umgestellt werden:

u12 =

2 ⋅ E1 m1

u22 =

2 ⋅E2 m2

Die Quadrate bleiben für die folgende Einsetzung erhalten. Die oben hergeleitete Beziehung wird quadriert und die Geschwindigkeiten eingesetzt:

u12 m22 = u22 m12 2 ⋅ E1 m1 m22 = 2 ⋅ E2 m12 m2 Durch das Quadrieren ist das Minus verschwunden. Den unschönen Doppelbruch kann man etwas freundlicher schreiben:

2 ⋅ E1 m2 m22 ⋅ = m1 2 ⋅ E2 m12 Durch einfaches Kürzen erhält man jetzt die geforderte Gleichung:

E1 m2 m22 ⋅ = m1 E2 m12 E1 m2 = E2 m1 b) Man betrachtet die soeben hergeleitete Gleichung:

E1 m2 = E2 m1 Nach der Energie von Gleiter 1 umgestellt, lautet sie

E1 =

m2 ⋅ E2 m1

Für den gesuchten Zustand der Energie von Gleiter 1 gibt es nach dieser Gleichung drei Möglichkeiten: 1. m2 ist etwa Null 2. E2 ist etwa Null 3. m1 ist sehr groß Am Besten wäre es, alle drei Möglichkeiten treten auf. Das bedeutet aber, dass die Masse des 1 Körpers sehr viel größer als die Masse des 2. Körpers ist. Also:

m1 >> m2 864. Für einen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz, die Summe der Impulse vor dem Stoß ist so groß wie die Summe der Impulse nach dem Stoß:

p1 + p2 = p1' + p'2 Aus dem Diagramm ist zu entnehmen, dass die Geschwindigkeit des Körpers 2 vor dem Stoß 0 ist. damit auch der Impuls dieses Körpers 0.

p1 = p1' + p'2 Weiterhin ist aus dem Diagramm zu entnehmen:

m s m v1' = 0,7 s m v '2 = 2,8 s v1 = 2,1

Der Impulserhaltungssatz schreibt sich vollständig:

m1 ⋅ v1 = m1 ⋅ v1' + m2 ⋅ v '2 Diese Gleichung wird nach dem Massenverhältnis umgestellt:

m1 ⋅ v1 − m1 ⋅ v1' = m2 ⋅ v '2

(

)

m1 ⋅ v1 − v1' = m2 ⋅ v '2 m1 v '2 = m2 v1 − v1' und die gegebenen Größen eingesetzt:

m 2,8 m1 s = m2 2,1m − 0,7 m s s m1 =2 m2 Körper 1 ist doppelt so schwer wie Körper 2.

716. geg.:

ges.:

m1 = 15,0 t

v

h = 1,8m η= 0,92 s = 270m µ = 6,00 ⋅10−3 m2 = 22,0 t Lösung:

a) Der Waggon hat am Beginn der Reise keine Geschwindigkeit und damit auch keine kinetische Energie. Bezüglich des Bergfußes besitzt er potenzielle Energie. Beim Hinabrollen am Berg wandelt er die potenzielle Energie in kinetische Energie um und gewinnt dadurch an Fahrt. Durch die dabei auftretende Reibung wird ein Teil der potenziellen Energie in thermische Energie umgewandelt. Nachdem der Waggon unten angekommen ist, hat er seine gesamte potenzielle Energie in thermische und kinetische Energie umgewandelt. Die kinetische Energie lässt ihn weiter rollen. Aufgrund der immer wirkenden Reibung wandelt er aber die kinetische Energie in thermische um und wird dadurch langsamer. Beim Auftreffen auf den zweiten Waggon findet ein unelastischer Stoß statt. Dabei wird von der noch vorhandenen kinetischen Energie wieder etwas in thermische Energie umgewandelt. Der Rest steckt dann in den beiden gekoppelten Waggons, die mit der in Aufgabe b gesuchte Geschwindigkeit weiter rollen. Im Endeffekt wird diese durch Reibung weiter in thermische Energie umgewandelt und die Waggons bleiben stehen. Die gesamte potenzielle Energie, die der Waggon zu Beginn auf dem Gipfel hatte, ist vollständig in thermische Energie umgewandelt worden. b) Die potentielle Energie am Anfang wird in kinetische Energie am Ende und Reibungsarbeit umgewandelt:

Epot = Ekin + WR Da von der potentielle Energie nur 92% genutzt werden, muss das in der Gleichung berücksichtigt werden:

Epot ⋅η = Ekin + WR Nun können die bekannten Formeln eingesetzt werden:

m ⋅ g ⋅ h ⋅η =

m 2 ⋅ v + µ⋅ m ⋅ g ⋅ s 2

Die Masse kürzt sich raus:

1 g ⋅ h ⋅η = ⋅ v 2 + µ⋅ g ⋅ s 2 und es kann nach v umgestellt werden:

1 2 ⋅ v = g ⋅ h ⋅η− µ⋅ g ⋅ s 2 v 2 = 2 ⋅ g ⋅ (h ⋅η− µ⋅ s) v = 2 ⋅ g ⋅ (h ⋅η− µ⋅ s) v = 2 ⋅ 9,81 v = 0,84

m s

m ⋅ (1,80m ⋅ 0,92 − 6,00 ⋅10 −3 ⋅ 270m) 2 s

Mit der Gleichung für die Erhaltung des Impulses beim unelastischen Stoß kann die gesuchte Geschwindigkeit berechnet werden.

u=

m1 ⋅ v 1 + m 2 ⋅ v 2 m1 + m 2

Da der zweite Waggon steht, ist seine Geschwindigkeit Null und die Gleichung heißt

u=

m1 ⋅ v1 m1 + m2

m s u= 3 3 15 ⋅10 kg + 22 ⋅10 kg m u = 0,34 s 15 ⋅103 kg ⋅ 0,84

Antwort:

Die beiden gekoppelten Waggons bewegen sich mit 0,34 m/s weiter.