LECTURA N° 9: PRODUCTOS NOTABLES Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2006). Productos Notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado Cojedes.

Al iniciar nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a lo que hacemos referencia es al número como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre, en su inmensa necesidad de organizarse en sociedad, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin saber, a la intuición de número. El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, AlJwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos le dieron forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad. Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante operaciones de adición, multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, también se valen de las operaciones de adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan elemental; utilizan el álgebra y la aritmética para formalizar y sistematizar sus aplicaciones. Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto. Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no es muy frecuente encontrarse con un producto notable, pero se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente manera: 80

(5 + 3) 2 = 5 2 + 2 ⋅ (5 ⋅ 3) + 3 2 = 25 + 30 + 9 Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:

(5 + 3) 2 = (5 + 3) ⋅ (5 + 3) = 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 3 = 25 + 15 + 15 + 9 Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable puede aplicarse de la siguiente manera:

(3x + 5 y ) 2 = (3 x + 5 y ).(3x + 5 y ) = (3x).(3x ) + (3 x ).(5 y ) + (5 y ).(3x ) + (5 y )( . 5 y) (3x + 5 y ) 2 = (3x) 2 + 2 ⋅ (3x ⋅ 5 y ) + (5 y ) 2 = 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente enfoque: Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ”, calcula el área del y −” 4 terreno: Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho por lo que mide de largo; así:

( y − 4) ⋅ ( y − 4) = ( y − 4) 2 = y 2 + 2 ⋅ ( y ) ⋅ (−4) + (−4) 2

y−4

= y 2 − 8 y + 16 , es el área del terreno

El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con expresiones algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a una situación específica. Veamos algunos casos específicos de productos notables. EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS

Ejemplo 1: Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide " x + 7" unidades. Necesitamos conocer el área del cuadrado. Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por lo que x+7 mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo ⋅ Ancho x+7 Área = (Lado) 2 Entonces; aplicamos la fórmula: Área

= ( x + 7) ⋅ ( x + 7) = ( x + 7) 2 Ancho

Largo

Por Ley de Potenciación:

a ⋅ a = a2 81

Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría: (X + 7) . (X + 7) =

Luego: Área

X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72

= ( x + 7) 2

Desarrollamos esta potencia de la siguiente manera: Doble

(x + 7)2 = x Primer Segundo Término Término

2

+ 2 ⋅ ( x ) ⋅ (7 ) + (7 )2

Primer Término

El resultado es un polinomio de tres términos: “EL primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”

Segundo Término

Simplificando el resultado, tenemos que:

( x + 7) 2 = x 2 + 14 x + 49 De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:

Área

=x

2

+ 14 x + 49

Ejemplo 2: Vamos a desarrollar el Producto Notable: (5 + y ) 2

(5 + y ) 2 = (5 ) 2 + 2 ⋅ (5 ) ⋅ y + ( y ) 2 Simplificando queda:

Cuadrado er del 1 Término

El Doble del er producto: del 1 do término por el 2 término

Cuadrado do del 2 Término

(5 + y ) 2 = 25 + 10y + y 2 Ejercicios propuestos: 20- (x + 7)2

21- (3X/2 + 4/9) 2

22- ( a/5 + 5) 2

23- (x2 + 3) 2

24- (xy + xz) 2

25- (Xa+1 + 1) 2

26- (a2 b + ac) 2

27- (2xy + y2 ) 2

28- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos. 82

Ejemplo 3: Doble

( x − 3)2 = x Primer Segundo Término Término

2

+ 2 ⋅ ( x ) ⋅ (−3) + (−3)2 Primer Término

Segundo Término

Simplificando:

( x − 3) 2 = x 2 − 6 x + 9

El cuadrado de una diferencia es igual a: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

Ejercicios propuestos: 29- (X - 5)2

30- (2X/3 - 1/5) 2

31- (a/3 - 3) 2

32- (X2 - 2) 2

33- (Xa-1 - 1) 2

34- (2xy - x2 ) 2

35- Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2? 36- Calcula los productos: a) (–x – a) 2 b) (x + a) 2 ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por qué? 37- Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se compraron? 38- ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x – a) 2 b) x2 - a2 Después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?

EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Ejemplo 4:

Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos: Se necesita conocer el área de la región.

x −5

Sabemos que el área de un rectángulo se calcula multiplicando lo que mide de largo por el ancho.

x+7 Entonces:

Área

= ( x + 7 ) ⋅ ( x − 5) Largo

Ancho

83

Desarrollamos este producto de la siguiente manera:

(x + 7) ⋅(x − 5) = x Término Común

Términos no comunes

2

+ x ⋅ [7 + ( − 5 ) ] + 7 ⋅ ( − 5 ) Término común

El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica de los términos no comunes más el producto de los términos no comunes”.

Suma de términos no comunes

Producto de términos no comunes

Simplificando el resultado, queda:

( x + 7) ⋅ ( x − 5) = x 2 + x ⋅ ( 2) + ( −35) = x 2 + 2 x − 35 Trinomio

De esta manera se obtiene el área de la región rectangular: = x 2 + 2 x − 35

Área

Ejemplo 5: Desarrolla el producto: (3x − 9) ⋅ (3x + 2)

(3 x − 9 ) ⋅ (3 x + 2 ) = (3 x ) 2 + (3 x ) ⋅ (− 9 + 2 ) + (− 9 ) ⋅ 2 Término Común

Términos no comunes

Simplificando cada término:

(3x ) 2 = (3x ) ⋅ (3x ) = 9 x 2

(3x) ⋅ (−9 + 2) = (3 x) ⋅ (−7) = −21x (−9) ⋅ 2 = −18 Luego:

(3x − 9) ⋅ (3x + 2) = 9 x 2 − 21x − 18 El producto de los términos no comunes Producto del término común con la suma de los no comunes El cuadrado del término común

Ejercicios propuestos: 39- (x2 + 6) . (x2 – 2)

40- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)

41- (y – 3/5) . (y + 4)

42- (2x - 7) . (2x +2) 2

43- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x - 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b? 44- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de: a) (x + 3) por 84

b) (x - 1) es igual a cero? 45- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm. y en el otro se le resta x b 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura? x

46- Calcula el área del siguiente rectángulo: a

LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA:

Ejemplo 6: Se conocen las dimensiones de una región rectangular: Largo = x + 6 y Ancho = x − 6 Tenemos que calcular el área respectiva: Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la Fórmula: Área = Largo x Ancho. o Área = base x Altura

x −6

= ( x + 6) ⋅ ( x − 6)

Entonces, Área

x+6

Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:

( x + 6 ) ⋅ ( x − 6 ) = ( x )2 − (6 )2 Suma

Diferencia

er

1 Término al cuadrado

do

2 Término al cuadrado

Simplificando el resultado:

El resultado de este producto notable es un binomio: “El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”

x 2 − 36 Luego: El área de la región rectangular es:

x 2 − 62

Ejercicios propuestos: 47- (y – 3/5) . (y + 3/5)

.48- (x2 + 6) . (x2 – 6)

50- (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7)

49- (a3 + 1/5) . (a3 – 1/5) 51- (2x - 7) . (2x +7)

52- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en el otro se le resta 5 x

m ¿cuál será el área de la figura que se originó? 53- Calcula el área de la figura sombreada:

a

x a

EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS:

Ejemplo 7: Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus dimensiones: 85

Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5 Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula: Volumen = Largo x Ancho x Alto

x +5 x +5

Como las tres medidas son iguales entonces Volumen = (Lado)3

Entonces: Volumen = ( x + 5) ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 5) Por Ley de Potenciación: ( x + 5) ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 5) = ( x + 5) 3 Luego: Volumen = ( x + 5) 3 Para desarrollar esta potencia procedemos así:

( x + 5) 3 = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como ya sabemos calcular el cuadrado de una suma, tenemos que:

( x + 5) 3 = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5) ( x + 5) 3 = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación de polinomios ( x + 5) 3 = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 y esto por agrupación de términos semejantes ( x + 5) 3 = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53 El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.

Triple

( x + 5 )3 = ( x )3 + 3 ⋅ ( x ) 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ ( x ) ⋅ (5 ) 2 + (5 )3 Primer Segundo Término Término

Primer Término

Segundo Término

Luego; simplificando cada término:

( x) 3 = x 3

,

(5) 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 , 86

3 ⋅ ( x ) 2 ⋅ (5) = 15 ⋅ x 2 3 ⋅ ( x ) ⋅ (5) 2 = 3 ⋅ x ⋅ 25 = 75x

De esta manera tenemos que:

( x + 5 ) 3 = x 3 + 15 x 2 + 75 x + 125 Ejemplo 8: Desarrollar el producto notable: ( 2 x + 1) 3 Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos: El cubo del primer término

(2x) 3

El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término

3 . (2x) 2 . 1

El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo

3 . 2x . 13

El cubo del segundo término

13

Sumando estos términos

( 2 x + 1 ) 3 = ( 2 x ) 3 + 3 ⋅ ( 2 x ) 2 ⋅ (1 ) + 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (1 ) 2 + (1 ) 3 Simplificando cada término del resultado

( 2 x )3 = ( 2 x ) ⋅ ( 2 x ) ⋅ ( 2 x )

= 8x 3 3 ⋅ ( 2 x ) 2 ⋅ (1) = 3 ⋅ 4 x 2 ⋅ 1 = 12 x 2 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (1) 2 = 3 ⋅ 2 x ⋅ 1 = 12 x 2 = 6x

(1) 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

Luego, el polinomio se reduce a:

( 2 x + 1) 3 = 8x 3 + 12 x + 6 x + 1 Ejercicios propuestos: 54- (x + 3)3

55- (3X/2 + 4/5) 3

56- ( y/3 + 3) 3

57- (x2 + 5) 3

58- (xy + xz) 3

59- (a2 b + ac) 3

60- (2xy + y2 ) 3 61- Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su arista en x unidades? 87

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.

Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos. Veamos esto en un ejemplo: Ejemplo 9: Desarrolla el producto notable: ( y − 2) 3

( y − 2)3 = ( y )3 + 3 ⋅ ( y )2 ⋅ (−2) + 3 ⋅ ( y ) ⋅ (−2)2 + (−2)3 Primer Segundo Término Término

Simplificando cada término en el resultado: * ( y) = y 3

Luego simplificando cada polinomio resultante es:

3

* 3 ⋅ ( y ) ⋅ ( 2 ) = −6 y 2

término,

el

2

( y − 2) 3 = y 3 − 6 y 2 + 12 y − 8

* 3 ⋅ ( y ) ⋅ ( −2) = 3y ⋅ ( 4) 2

= 12 y * ( −2) = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) 3

= −8 En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. Ejercicios propuestos: 62 (X – 1/2)3

63- (2X/3 - 1/5) 3

64- (a/3 - 3) 3

65- (X2 - 5) 3

66- (xy - xz) 3

67- (2xy - x2 ) 2

68- Compara los siguientes cubos

a) (x - p) 3 b) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?

69- Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase? 70- Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ? 71- Simplifica las siguientes operaciones: a) 3 ⋅ ( 2 x + 1) 2 − ( 4 x + 1) ⋅ ( 4 x − 1) =

[

]

c) 2 ⋅ (3x + 1) 3 − ( x − 6) 3 =

b) 2 ⋅ (7 x + 3) ⋅ (7 x − 11) − 4 ⋅ ( x − 9) 2 = 72- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia. 88