011001010010110 100010100010111 011010111001000 1110011010111100 000111000101101 1111001001111100 01001010001001 00100010110001

PIRAMIDES DE LA EXPLANADA DE GIZA KEOPS - KEFREN - MICERINOS HE DESARROLLADO UNA TEORIA SOBRE LAS PIRAMIDES Y SU DISPOSICION - CADA VEZ TENGO MAS CLARO QUE LAS MEDIDAS DE LAS PIRAMIDES Y SU SITUACION SE BASAN EXCLUSIVAMENTE EN DIBUJOS GEOMETRICOS FACILMENTE REPRODUCIBLES Y VERIFICABLES MATEMATICA Y TRIGONOMETRICAMENTE EXACTOS

LAS PIRAMIDES NO SE MIDEN - SE DIBUJAN SOLO FALTA DEMOSTRAR TAL AFIRMACION EL DESARROLLO GEOMETRICO ES SENCILLO UNA VEZ SE DA CON LA CLAVE “OCULTA” EN EL MISMO TRAZADO PARA ELLO HE ELEGIDO UN TEMA “ENIGMA” LA DISPOSICION DE LAS PIRAMIDES EN LA EXPLANADA DE GIZEH O GIZA

Antes de entrar en materia vamos a dar unas nociones de geometría básica para que las explicaciones posteriores se puedan entender

GEOMETRIA BASICA B

c c

c/2 a

a c/2 a

a

C

A b

Todo triángulo rectángulo se resuelve mediante el teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 ,esto es, un cateto elevado al cuadrado más el otro cateto elevado al cuadrado es igual a la hipotenusa elevada al cuadrado, por tanto la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado. Por tanto es fácil hallar una de las partes conocidas la demás.

A partir de este momento la raíz cuadra de un número será igual a RCUAD (x) y su cuadrado igual a ( x2 )

2a

En el ejemplo, suponiendo que ( a ) vale 1 ( 2a ) valdrá por tanto 2 y c por el teorema de Pitágoras será igual RCUAD (5).

Cuando trabajamos a escala, hay veces que al trabajar en centímetros, en el trazado gráfico las medidas del original en metros se solapan, y en el dibujo parecen exactas, por tanto, siempre hay que verificar el trazado geométrica y matemáticamente.

TEOREMA DE PITAGORAS

5

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los otros dos lados del triángulo) B 3 Cateto a

A

Segmento A-C = b Segmento A-B = c Segmento B-C = a 4

a2

=

c2

C Cateto b

c2 = a2 + b2

5*5=3*3+4*4

-

b2

b2

=

c2

-

a2

c=

a 2 + b2

B

RESOLUCION TRIANGULO RECTANGULO En este desarrollo matemático se nos presenta un problema, debemos hallar los catetos de un triangulo del cual solo conocemos la hipotenusa. En realidad sabemos mas cosas, primero que es rectángulo, y que sus lados son iguales por ser los lados de un cuadrado A- B

2,236067977500

A- C

1,581138830084

B-C

1,581138830084

x

Comprobar por Pitágoras

A

x x2 + x2 = (2,236)2 2x2 = (2,236)2 2x2 = 5 x2 = 5/2 x = rcuad (5/2) X = rcuad (2,5) x = 1,581

C

ESCALA

Un metro es igual a 100 centímetros, por tanto, si trabajamos con la pirámide de Keops que mide aproximadamente 230 metros, traducidos a centímetros da 23.000 y si tenemos en cuenta que el papel normal ( DIN A4 ) admite unos 23 cm. vemos que la relación es de 1 a 1.000, esto es, 10 metros en el terreno, es un centímetro en el papel, por tanto, vemos con que facilidad podemos solapar medidas en el trazado geométrico, pero para subsanar este posible error, está la verificación matemática, que cuando es exacta cumple hasta más allá de 16 decimales, que es con los que trabaja normalmente el ordenador. Al menos de forma visual, vemos que con que cumpla hasta el quinto, ya sería imposible discriminarlo tanto a nivel de instrumental como visual, pero para dar el visto bueno a la exactitud, es necesario que cumplan hasta el 12 decimal.

LA VERIFICACION MATEMATICA ES NECESARIA PARA DAR POR VALIDA UNA REPRESENTACION O DIBUJO GEOMETRICO

En cualquier trazado geométrico, para trasladar una medida es imprescindible utilizar el compas sobre todo si la medida no es exacta, en el caso que la medida sea exacta sí se puede utilizar una regla calibrada, pero es mas exacto utilizar compas. Dicho esto, en los trazados que así lo requieran, se supondrá que la medida se ha copiado de esta forma y no se dibujarán los arcos, sencillamente para dar limpieza al dibujo y por la dificultad que entraña trazar arcos en un programa que no es de dibujo.

a

a

En una circunferencia hay ocho ángulos de 90 º, esto es, cuatro si tomamos los diámetros y otros cuatro si consideramos la diagonales. Además hay ocho ángulos de 45º, entre los diámetros y las diagonales. La suma de todos ellos es de 360 grados

45º

FOTO SATELITE DE GIZA - GIZEH

EL VERTICE DE LAS PIRAMIDES APARECE DESPLAZADO POR EL ANGULO DE LA FOTOGRAFIA

SI TRAZAMOS UNA LINEA RECTA DESDE LA ESQUINA DE LA PIRAMIDE DE KEOPS ESTA PASA POR EL EXTREMO DE LA DE KEFREN Y TERMINA EN LA MITAD DE LA DE MICERINOS

45º EL ANGULO QUE FORMA ESTA LINEA IMAGINARIA CON LA BASE DE LAS PIRAMIDES ES DE 45 GRADOS ES EL PRIMER PASO PARA RESOLVER EL ENIGMA DE LA DISPOSICION Y MEDIDAS DE LAS PIRAMIDES

LA RECTA QUE PASA POR EL VERTICE DE KEOPS NO PASA POR EL DE KEFREN LO QUE INDICA CLARAMENTE QUE LA BASE DE ESTA ES MENOR

2,50

2,30

ESTA ESCALA SOLO SIRVE DE REFERENCIA VISUAL

GEOMETRIA DE GIZA A CONTINUACION PASAMOS A DESVELAR EL “MISTERIOSO” TRAZADO DE GIZA - SOLAMENTE INTERVIENE LA GEOMETRIA Y LAS PIRAMIDES DE KEFREN Y MICERINOS SE RELACIONAN CON LA DE KEOPS EN TERMINOS DE GEOMETRIA Y DIBUJO

LO QUE MAS ME HA COSTADO DESCUBRIR ES COMO HACER EL DIBUJO DE FORMA COHERENTE SIN RECURRIR A MEDIDAS ESTO ES SOLO A BASE DE TRAZADOS GEOMETRICOS - LA CLAVE ESTA EN LA MEDIDA DE LA DIAGONAL DE UNA DOBLE PIRAMIDE Y DIGO QUE ES LO MAS COMPLICADO PORQUE EN UN PLANO DE LAS PIARMIDES ESTO NO ES VISIBLE - SOLO LA INTUICION Y LA SEGURIDAD DE QUE EL TRAZADO ES GEOMETRICO LLEVAN A RESOLVER EL PROBLEMA - UNA VEZ RESUELTO EL RESTO ES RELATIVAMENTE SENCILLO PERO ES NECESARIO ENTENDER EL PROCEDIMIENTO - A CONTINUACION VAMOS A VER PASO A PASO TODO EL DESARROLLO Y POSTERIORMENTE PASAREMOS COMO ES PRECEPTIVO A VERIFICARLO MATEMATICAMENTE

ALGUNOS CIENTIFICOS MANTIENEN LA TEORIA DE QUE LAS PIRAMIDES NO FUERON CONSTRUIDAS POR LOS EGIPCIOS - NO VAMOS A ENTRAR EN ESTE DEBATE PORQUE NO TENGO NI LOS DATOS NI LOS CONOCIEMIENTOS PARA REFUTAR O NEGAR TAL HIPOTESIS

GEOMETRIA DE GIZA

45º

45º

Toda la planificación y las medidas de las pirámides se obtienen a partir de los datos conocidos de la Gran Pirámide de Keops

45º

45º

KEOPS

Todos los pasos del trazado tienen importancia, pero este punto, generado con el radio de la diagonal de la doble pirámide y que corta a la recta trazada a 45 grados, es vital para el trazado posterior, que junto con el trazado con la semidiagonal generarán todas la demás medidas, tanto de la posición como del tamaño de las pirámides.

Este punto fija la posición

KEOPS

Hay otro punto tan importante como el anterior, es el generado con la semidiagonal de la doble pirámide que fija la dimensión de la nueva pirámide.

Este punto fija la dimensión

1) Vamos a partir del supuesto que la pirámide de Keops mide 1 metro de base para desarrollar todo el proceso

DESARROLLO GEOMETRICO Y MATEMATICO DE GIZA F

B

G

B

F

E

E

1

1

D

G

1

C

C

D

A

A 2

A- D

1,000000000000

D-C

1,000000000000

A- C

2,000000000000

C-B

1,000000000000

D-E

0,500000000000

E-F

0,500000000000

A- E

1,118033988750

E-B

1,118033988750

A- B

2,236067977500

2) A continuación trazamos dos paralelas a las bases de la pirámide, una perpendicular, y una línea a 45 grados .

45º

3) Se marcan los dos puntos básicos uno con la diagonal (A-B) y otro con la semidiagonal (A-E) B

A partir de este momento las medidas que ya están resueltas no las repetiremos.

E

B

K 45º

E

J

A 45º

A- B

2,236067977500

B-H

2,236067977500

B-J

2,236067977500

A- H

3,162277660168

A- J

3,162277660168

B

4) Por el punto B se traza una línea a 45 grados

6) A partir de estas medidas podemos saber lo que miden los lados del cuadrado AH AJ ( Teorema de Pitágoras )

E 90º B

c a 900

A

b

C

5) Las líneas AB - BH - BJ miden lo mismo por ser las semidiagonales de un cuadrado ya que están trazadas a 45 º sobre los lados de las líneas AH - AJ H

K

G

B 45º E

L

J

A

7) Por los puntos K-J-H se trazan perpendiculares

L-J

1,000000000000

L-K

1,000000000000

K-J

1,414213562373

A- J

3,162277660168

A- H

3,162277660168

J-H

4,472135955000

K-H

5,886349517373

G-H

4,162277660168

M-H

4,162277660168

45º

E 90º B

M

N H

K

A- H

3,162277660168

A- J

3,162277660168

A- E

1,118033988750

E-H

2,044243671418

B-R

1,581138830084

B-X

1,581138830084

E-R

0,463104841334

H-T

2,044243671418

X-H

1,581138830084

U-V

0,463104841334

U-H

2,890997124915

U-B

0,654929147416

H-N

3,162277660168

H-T

2,044243671418

S-U

1,118033988750

S-V

1,581138830084

S-E

3,162277660168

B-Y

0,926209682669

Y-Z

1,309858294831

B 45º E

L

J

A

8) Trazamos perpendiculares por los puntos E-B-U y por el punto U una recta a 45 grados.

45º

Y

S

O

V

U

P

E

B

Z

M

N

T

X

R

H

J

La distancia desde el extremo del cuadrado al de la pirámide mide lo mismo que la base de la pirámide

Q Y

S

U-V

0,463104841334

Z-B

0,926209682669

Z-Y

1,309858294831

V-S

1,581138830084

B-J

2,236067977500

J-Q

0,926209682669

U

P

Z

V

B

KEOPS

Por la dificultad que implica dibujar con este programa he procurado aumentar la escala en esta vista parcial para que se vea mejor el procedimiento.

KEFREN

LADO CUADRADO La distancia que hay del borde del cuadrado al extremo de la pirámide es igual a la semidiagonal de la misma.

Y

S

V-S

1,581138830084

Z-B

0,926209682669

S-P

0,654929147416

Z-Y

1,309858294831

U-B

0,654929147416

P

Z

SEMIDIAGONAL

U

V

B

LADO CUADRADO

Hemos visto que numéricamente las medidas cuadran perfectamente y si trabajamos con cuidado también gráficamente.

LADO CUADRADO

SEMIDIAGONAL

K

B 45º E

J

A

9) Trazamos una recta a 45º desde el punto V que nos dará la base de la pirámide

45º

Y V

U

S

O

E

V-B

0,463104841334

a-b

0,463104841334

(a-b)/2

0,231552420667

S-a

1,581138830084

c-d

0,463104841334

h-g

0,654929147416

(h-g)/2

B

Z

0,327464573708 M

e c

R

a

d b

f

T

X

H

MICERINOS

m

1,00000000000

n

1,118033988750

a e

g

V-B

0,463104841334

a-b

0,463104841334

(a-b)/2

0,231552420667

B-X

1,581138830084

c-d

0,463104841334

h-g

0,654929147416

(h-g)/2

0,327464573708

B-X

1,581138830084

a -b

0,463104841334

a-n

1,118033988750

m-n

1,000000000000

m-a

1,500000000000

B

k

c h M

d b

f N

X

LOS DATOS OBTENIDOS SON TEORICOS ESTO ES TRAZADOS CON UNA PIRAMIDE DE BASE UNIDAD PARA FACILITAR LA COMPRENSION DEL PROCEDIMIENTO A PARTIR DE ESTE MOMENTO LOS DATOS SERAN REALES YA QUE TRABAJAREMOS CON LA BASE DE LA PIRAMIDE ORIGINAL POSTERIORMENTE MOSTRAREMOS COMO SE REALIZAN LOS TRAZADOS GRAFICOS PARA OBTENER LAS BASES Y ALTURAS DE TODAS LAS PIRMIDES DE GIZEH O GIZA

B

K 45º

E

J

A 45º

A- B

511,978032905205

B-H

511,978032905205

B-J

511,978032905205

A- H

724,046277771639

A- J

724,046277771639

B

Por el punto B se traza una línea a 45 grados

A partir de estas medidas podemos saber lo que miden los lados del cuadrado AH AJ ( Teorema de Pitágoras )

E

90º B

c

a 900

A

b

C

Las líneas AB - BH - BJ miden lo mismo por ser las semidiagonales de un cuadrado ya que están trazadas a 45 º sobre los lados de las líneas AH - AJ H

K

G

B 45º E

L

J

A

Por los puntos K-J-H se trazan perpendiculares

L-J

228,963536912532

L-K

228,963536912532

K-J

323,803339190616

A- J

724,046277771639

A- H

724,046277771639

J-H

1.023,9560658104

K-H

1.347,7594050010

G-H

953,009814684172

M-H

953,009814684172

45º

E 90º B

M

N H

K

A- H

724,046277771639

A- J

724,046277771639

A- E

255,989016452602

E-H

468,057261319037

B-R

362,023138885820

B-X

362,023138885820

E-R

106,034122433217

H-T

468,057261319037

X-H

362,023138885820

U-V

106,034122433217

U-H

661,932926924590

U-B

149,954894019385

H-N

724,046277771639

H-T

468,057261319037

S-U

255,989016452602

S-V

362,023138885820

S-E

724,046277771639

B-Y

212,068244866435

Y-Z

299,909788038770

B 45º E

L

J

A

Trazamos perpendiculares por los puntos E-B-U y por el punto U una recta a 45 grados.

45º

Y S

O

V

U

P

E

B

Z

M

N

T

X

R

H

J

La distancia desde el extremo del cuadrado al de la pirámide mide lo mismo que la base de la pirámide

Q Y

S

U-V

106,034122433217

Z-B

212,068244866435

Z-Y

299,909788038770

V-S

362,023138885820

B-J

511,978032905205

J-Q

212,068244866435

U

P

Z

V

B

LADO CUADRADO La distancia que hay del borde del cuadrado al extremo de la pirámide es igual a la semidiagonal de la misma.

Y

S

V-S

362,023138885820

Z-B

212,068244866435

S-P

149,954894019385

Z-Y

299,909788038770

U-B

149,954894019385

P

Z

SEMIDIAGONAL

U

V

B

K

B

45º E

J

A

9) Trazamos una recta a 45º desde el punto V que nos dará la base de la pirámide

45º

Y V

U

S

O

E

V-B

106,034122433217

a-b

106,034122433217

(a-b)/2

53,017061216609

S-a

362,023138885820

c-d

106,034122433217

h-g

149,954894019385

(h-g)/2

74,977447009693

B

Z

M

e c

R

a

d b

f

T

X

H

MICERINOS

m

1,00000000000

n

1,118033988750

V-B

106,034122433217

a-b

106,034122433217

(a-b)/2

53,017061216609

B-X

362,023138885820

c-d

106,034122433217

h-g

149,954894019385

(h-g)/2

a e

g

B

74,977447009693

B-X

362,023138885820

a -b

106,034122433217

a-n

255,988016452602

m-n

228,963536912532

m-a

343,445305368799

k c h M

d b

f N

X

228,96353 Base Keops

Hemos visto como a partir de dos cuadrados se planificó todo el complejo de Giza. Partiendo de la pirámide de Keops, hemos obtenido la posición y dimensiones de Kefren y Micerinos. A partir de este momento vamos a ver con que sencillez se resuelven gráficamente sus dimensiones tanto en planta como en altura.

145,62305 Altura Keops

Todas las medidas han sido obtenidas por el teorema de Pitágoras, cumplen todos los requisitos, deben sumar por cada triángulo trazado, esto es, todos los parciales, deben ser iguales al total, la resta de segmentos, debe cumplir, resumiendo, se deben verificar todas y cada una de las operaciones para dar por válida la construcción geométrica

pirámide

base

altura

relación

Keops

228,96353

145,62305

1,5723028

Kefren

212,06824

141,37882

1,5000000

Micerinos

106,03412

67,43874

1,5723028

Al principio cuesta entender que unos números decimales sean la base constructiva de la pirámide, pero si lo analizamos en profundidad veremos que tiene una base totalmente lógica. En principio hay que recordar que los datos se obtienen a partir de trazados geométricos sencillos, fácilmente reproducibles y exactos, en cuanto que los números son una consecuencia, pero el trazado, en si mismo, es una unidad geométrica. Vamos a intentar demostrar que, aunque parezca imposible, esos números tan complicados son unidades exactas y fácilmente reproducibles.

Como vemos, las medidas que necesita la altura son 90, las mismas que las de la base, evidentemente cada una con su unidad. Por tanto, si cambiamos las medidas de cada pieza, manteniendo su trazado primitivo, seguirá habiendo un número exacto de piezas, con lo que el problema parece que tiene una fácil solución.

Más adelante veremos que también admitimos que utilizaban el codo y el metro piramidal, pero es en pura teoría, las dos medidas son razones geométricas, o constructivas y no hay ningún codo, dedo, ni nada parecido de ningún Faraón, esto es palabrería y pura especulación.

Obtener gráficamente el número Phi y sus derivados es muy sencillo partiendo de un cuadrado de una unidad de lado. Como veremos más adelante es la base constructiva de la pirámide.

NUMERO AUREO

El número Phi fue “descubierto por Phidias el griego”, otros se lo atribuyen a Pitágoras, pero lo más curioso es que los constructores de las pirámides lo utilizaron miles de años antes.

Para algunos el número Phi es 1,618033, para otros 0,618033.

0,5

0,5

1,25 1,00

0,5 0,6180339887

PHI =

(

5 -1

) /

1,1180339887 2 1,6180339887

GENERACION DE SEGMENTOS DE MEDICION

B

1,618033988750

A

A- B

1,618033988750

C-B

1,000000000000

C-A

1,272019649514

1,00

Hemos visto que fácilmente se halla 1,618033 y a partir de este 1,272019 SE PARTE DE ALGUN NUMERO ENTERO EL RESTO ES PURA GEOMETRIA C

1,272019649514

A

Está suficientemente claro, no medían con números con decimales, medían con segmentos geométricos. De esta forma tan sutil podemos llegar a entender porqué la base de la Pirámide de Keops mide 90 unidades geométricas y la altura otras 90, cada una en su unidad.

Una, 1,618 es el número Phi y la otra, 1,272 es la raíz cuadrada de Phi. En general, muchas de las medidas, por no decir todas, se generan a partir de triángulos rectángulos, fáciles de dibujar y fáciles de verificar.

1,25

ALTURA DE LA PIRAMIDE 1,6180339887 = PHI +1 El siguiente paso es hallar la base de la pirámide, para ello trazamos una tangente a la circunferencia de radio 1, que a su vez será perpendicular al radio en el punto de contacto. Por tanto, con los dos datos conocidos, altura y radio determinaremos la base, que nos permitirá continuar con el proceso. Esto a efectos de cálculo. La solución gráfica es mucho mas sencilla, como veremos a continuación.

Altura

1,118033988750 0,500000000000 1,618033988750

1,25 Radio = 1

0,5

1,25

SEMIBASE DE LA PIRAMIDE 114,4817684563 El procedimiento es sencillo, conocida la altura, con este segmento como radio, trazamos el arco BD hasta que corte la línea base, el segmento A - D , es la semibase de la pirámide.

PROCESO SIMPLIFICADO Altura

C

B

1,25

Radio = 1

D Como ya sabemos, para hallar un dato real, se multiplica el teórico por 90, radio real.

AB

Radio

1,0000000000

AC

Altura

1,6180339887

AD

Semibase

1,2720196495

A

E

0,5

1,25

Altura

Radio = 1

METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA PIARMIDE DE KEOPS

LAS PIRAMIDES NO SE MIDEN SE DIBUJAN

Base

0,5

1

Hipotenusa

SEMIBASE = 114,4817684563 ALTURA = 145,6230589875

B

m a c ag e D

E

n h

A

b

k

El ángulo que forma la altura con el radio de tangencia, es el mismo que forman la tangente con la base de la pirámide.

C

Más adelante veremos que este ángulo, aparentemente complejo, se traza y se resuelve con una sencilla solución gráfica.

RESOLUCION GRAFICA DEL ANGULO DE LA PIRAMIDE ( La comprobación numérica la desarrollaremos en la pagina siguiente ) 1 - Con radio AB trazamos el círculo CD, sobre la perpendicular AC - AD 2 - Por el punto medio de AC ( E ) trazamos un círculo con radio ED - EG - EF 3 - Con centro en A trazamos el circulo FH 4 - Por H trazamos una perpendicular a AH hasta que corte al círculo CD en B 5 - Unimos A con B 6 - Los segmentos AH - AB determinan el ángulo de la pirámide

D

510 49´ 38´´

H

F

B

A

E

C

G

RESOLUCION NUMERICA DEL ANGULO DE LA PIRAMIDE D

H

F

B

A

E

C

Toda la resolución se basa en el Teorema de Pitágoras y las conocidas fórmulas del seno, arco seno y ángulo. A- D

1,0000000000

A- E

0,5000000000

E-D

1,1180339887

SENO

0,4472135955

ARCO

0,4636476090

ANGULO

26,5650511771

ANGULO

260 33´ 54´´

G

A- B

1,0000000000

A- E

0,5000000000

E-C

0,5000000000

E-D

1,1180339887

E-F

1,1180339887

A- F

0,6180339887

A- H

0,6180339887

H-B

0,7861513778

SENO

0,7861513778

ARCO

0,9045568943

ANGULO

51,8272923730

ANGULO

510 49´ 38´´

Además del ángulo de la pirámide este trazado resuelve la pendiente del corredor de entrada en el triángulo ADE, ángulo 260 33´ 54´´

B

El ángulo que forma la altura con el radio de tangencia, es el mismo que forman la tangente con la base de la pirámide.

m a c

e D

a g E

n

h

A

b

D

H

F

B

A

E

C

G

k

C

PENDIENTE PIRAMIDE

Como habíamos visto se puede obtener la pendiente del ángulo por trazado geométrico

ANGULO

ANGULO

260 33´ 54,18´´

630 26´ 5,81´´

26,5650511771

63,4349488229

ANGULO Seno

0,4472135955

Arco seno

0,4636476090

180 / PI

PENDIENTE DEL CORREDOR DE ENTRADA Se obtiene automáticamente si una medida es el duplo de la otra.

Esta construcción sirve además para obtener la raíz de 5 en la hipotenusa Si se multiplica el Arco seno por la constante 180 / PI, se obtiene el ángulo con decimales. Pasar a grados, minutos y segundos

57,2957795131

c = a2 + b2 c=

5

Ascendente y descendente

1

1

2 PIRAMIDE DE KEOPS

2

HASTA ESTE MOMENTO, PARA RESOLVER LOS TRIANGULOS SOLO HEMOS ACUDIDO AL TEOREMA DE PITAGORAS. PERO TODO PUEDE EMPEORAR, Y NECESITAMOS SABER ALGO MAS, UN POCO DE TRIGONOMETRIA. SIN PROFUNDIZAR, A CONTINUACION DAMOS UNA LIGERA PINCELADA, POR EJEMPLO NO HAY QUE CONFUNDIR LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS CON LAS RAZONES, ESTAS SON DIVISIONES. PERO LO QUE SI ENCIERRA DIFICULTAD Y NO ES PROPIO DE ESTA PRESENTACION ES HALLAR LOS ANGULOS A PARTIR DE LOS SENOS, PERO SI LO EXPLICAMOS PARA PODER CONSULTARLO.

LINEAS TRIGONOMETRICAS H

G

D

Se llama circunferencia goniométrica a la que tiene por radio la unidad.

B

F

A

C

E

Radio

A- B

Seno

A- C

Coseno

C-B

Tangente

E-D

Cotangente

H-G

Secante

A- D

Cosecante

A- G

Seno verso

C-E

Coseno verso

F-H

B

TRIGONOMETRIA c

Rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

a

Trigonometría (medida de los triángulos ) proviene del griego trigonon, triangulo y metron, medida. A sen A = a / c cos A = b / c tan A = a / b cot A = b / a sec A = c / b coc A = c / a

( cateto opuesto / hipotenusa ) ( cateto adyacente / hipotenusa ) ( cateto opuesto / cateto adyacente ) ( cateto adyacente / cateto opuesto ) ( hipotenusa / cateto adyacente ) ( hipotenusa / cateto opuesto )

sen B = b / c cos B = a / c tan B = b / a cot B = a / b sec B = c / a coc B = c / b

( cateto opuesto / hipotenusa ) ( cateto adyacente / hipotenusa ) ( cateto opuesto / cateto adyacente ) ( cateto adyacente / cateto opuesto ) ( hipotenusa / cateto adyacente ) ( hipotenusa / cateto opuesto )

C

b

Relación fundamental de la trigonometría sen2 A + cos2 A = 1

sen A = cos B cos A = sen B tan A = cot B sec A = coc B coc A = sec B cot A = tan B

(a/c) ( b / c) (a/b) (c/b) (c/a) (b/a)

B

HALLAR EL ANGULO EN FUNCION DEL SENO Para hallar el ángulo en función del seno se deben realizar varias operaciones. Con calculadoras, o bien ordenadores, estas operaciones se realizan de forma automática, pero vamos a explicar todo el proceso para entenderlo y poder realizarlo a mano. En principio hay que hallar el arco seno del seno conocido. Esta operación es la más compleja de todo el proceso, está basada en la serie de Taylor. Cuantos más términos calculemos, mayor aproximación obtenemos. La serie se cierra cuando el resultado de la última operación es cero, esto es, cuando el resultado de una suma parcial da cero. En trigonometría, el arco seno está definido como la función inversa del seno de un ángulo.

c a=3 b=4 c=5

a

A

C

b

Angulo A

Angulo B

Seno

0,6000000

0,8000000

Coseno

0,8000000

0,6000000

Tangente

0,7500000

1,3333333

Cotangente

1,3333333

0,7500000

Secante

1,2500000

1,6666666

Cosecante

1,6666666

1,2500000

Arco Seno

0,6435011

0,9272952

arco seno x = x + (1/2*x 3/3) + (1*3/2*4)*(x 5/5) + (1*3*5)/(2*4*6)*(x 7/7) + (1*3*5*7)/(2*4*6*8)*(x 9/9) …

HALLAR EL ANGULO EN FUNCION DEL SENO 1 c=5

Conocido el ángulo en 2 grados con decimales, hay que traducirlo a grados minutos y segundos

Una vez conocido el arco seno vamos a traducirlo a grados. Para ello multiplicamos el arco seno por 57,29578, que es el resultado de dividir 180 / PI.

3

Separamos la parte entera de la decimal 0,869897 Pasamos a minutos 0,869897 * 60 = 52,193820 Pasamos a segundos 0,193820 * 60 = 11,629200

a=3

c 2 = a 2 + b2 b=4

Angulo A

Angulo B

Arco Seno

0,6435011

0,9272952

180 / PI

57,295779

57,295779

Grados

36,869897

53,130102

Grados

36

53

Minutos

52

07

Segundos

12

48

TRAZAR UNA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

SEMEJANZA DE TRIANGULOS C

A

b

a h C

1/2

D

m

n c

B

B

a2 = c * m

Unase el punto dado A con el centro de la circunferencia B y tomando el segmento AB como diámetro, trácese una circunferencia auxiliar, que cortará a la circunferencia dada en dos puntos de contacto C y D que son los puntos de tangencia de los segmentos AC y AD, que a su vez son perpendiculares con los radios CB y BD de la circunferencia.

c/b=b /n

b2 = c * n

m/h=h/n

h2 = m * n

a2 / b2 = m / n b2 = h2 + n2 a2 = h2 + m2 c 2 = b2 + a2

a/c=h /b

ab = ch

A

Este sencillo ejemplo sirve para comprobar todas las fórmulas. Verificar con teorema Pitágoras.

HALLAR UN LADO EN FUNCION DEL SENO

B

Hipotenusa y ángulo B

a

=

c

x

Sen A

a

= c

x

Cos B

b

=

c

x

Cos A

b

=

c

x

Sen B

a

=

c

/

Cosc A

a

= c

/

Sec B

b

=

c

/

Sec A

b

=

/

Cosc B

Cateto a y ángulo A

c

Cateto a

Hipotenusa y ángulo A

Cateto a y ángulo B

b

= a

x

Cotag A

b

= a

x

Tang B

c

= a

x

Cosec A

c

= a

x

Sec B

b

= a

/

Tang A

b

= a

/

Cotag B

c

= a

/

Sen A

c

= a

/

Cos B

Cateto b y ángulo A

Cateto b y ángulo B

3

Cateto b A

4

C

Angulo ( A )

Angulo ( B )

Seno

0,600000

0,800000

Coseno

0,800000

0,600000

a

= b

x

Tang A

a

= b

x

Cotag B

Tangente

0,750000

1,333333

c

= b

x

Sec A

c

= b

x

Cosc B

Cotangente

1,333333

0,750000

a

= b

/

Cotag A

a

= b

/

Tang B

Secante

1,250000

1,666667

c

= b

/

Cos A

c

= b

/

Sen B

Cosecante

1,666667

1,250000

TENIAMOS PENDIENTE EL DESARROLLO MATEMATICO DE UNA CONSTRUCCION GRAFICA - LO HEMOS DEJADO PARA ESTE MOMENTO PORQUE ERA NECESARIO SABER ALGO MAS DE TRIGONOMETRIA. CUANDO SE TRAZA LA BISECTRIZ DE UN ANGULO ESTO ES - SE LE DIVIDE EN DOS ANGULOS IGUALES A CADA UNO DE LOS ANGULOS SE LES LLAMA ANGULO MITAD Y HAY QUE APLICAR UNAS FORMULAS TRIGONOMETRICAS PARA PODER RESOLVERLOS

Sen A/2

Rcuad ((1-CosA)/2))

Cos A/2

Rcuad ((1+CosA)/2))

Tag A/2

Rcuad ((1-CosA)/(1+CosA))

Altura

seno

0,786151377757

coseno

0,618033988750

tangente

1,272019649514

DATOS CONOCIDOS Base

114,4817684563

Tangente

0,485868271757

Tag A/2 = 0,485868271757

HALLAR ( C - B ) C-B (a)

b X Tangente A/2

C-B (a)

55,623058987491

C

Nota: Loa ángulos, los senos los he realizado con un programa preparado para tal efecto.

1/2 1/2

B

Base

A

A- B

106,034122433217

A- D

99,969929346257

A- C

173,152996856788

A- E

122,437658260207

C-E

212,068244866435

B-D

35,344707477739

D-E

70,689414955478

C-B

106,034122433217

C-D

141,378829910956

A

METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA PIRAMIDE DE KEFREN C SE DIBUJA A PARTIR DE LA DE KEOPS ES UN POCO LARGO DE EXPLICAR EL DESARROLLO MATEMATICO PERO COMO VEMOS EL GRAFICO ES MUY SENCILLO LO MAS CURIOSO DE TODO ES QUE LA BASE ES IGUAL A LA QUE SE OBTIENE DEL PLANO DE GIZA

Base

B

D

0,5

E

A- B

114,481768456266

A -E

57,240884228133

B-C

57,240884228133

A- C

127,994508226301

A- F

127,994508226301

G-F

90,505784721455

A- G

90,505784721455

E-D

28,620442114067

A- D

63,997254113151

A- H

63,997254113151

G-H

26,508530608304

H-K

26,508530608304

G-K

53,017061216609

X2=

106,034122433217

X2=

212,068244866435

PIRAMIDE DE KEFREN A PARTIR DE LA DE KEOPS ( desarrollo numérico de la base ) AG = AE x Sen A GF = AF x Cos A Sen 45º = 0,707106781187 Cos 45º = 0,707106781187 G

F

H

C

D

K

Como vemos la base de Keops es igual a la que se obtiene por trazado en la explanada de Giza.

45º

A

E

B

Como dividir un segmento en tres partes iguales F

E

También funciona la resolución construyendo un rectángulo sobre el segmento a dividir en tres partes AC

H

Para la demostración numérica suponemos que el segmento AC mide tres unidades, por tanto AB medirá una y media, AE tendrá tres unidades.

A

G

B

C

A su vez, el segmento BG es la sexta parte del segmento AD Esta introducción nos servirá porque en la Cámara de la Reina hay que solucionar algunos problemas de este tipo.

D

A- C

3,0000000000

A- B

1,5000000000

B-F

3,0000000000

A- E

3,0000000000

A- G

1,0000000000

G- B

0,5000000000

A- F

3,3541019662

G- H

2,0000000000

A- H

2,2360679775

Como los dos triángulos semejantes ABF - AGH cumplen el teorema de Pitágoras, la solución gráfica es correcta.

B-C

106,034122433217

C-D

106,034122433217

B-E

53,017061216609

E-F

106,034122433217

B-F

118,549752847605

B-G

35,344707477739

H-G

70,689414955478

G-C

70,689414955478

C-H

99,969929346257

C-K

149,954894019385

G-A

141,378829910956

B-L

141,378829910956

LA ALTURA ES IGUAL A CUATRO SEGMENTOS DE LA BASE ESTO ES

L

141,378829910956 F

K

D

H

1/2

1/3

A METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA ALTURA DE KEFREN

DIVIDIR UN SEGEMENTO EN TRES PARTE IGUALES

Base

B

G

E

( 35,344707477739 / 10 ) / 3 = 1,178156915925

106,034122433217 / 1,178156915925 = 90 (3,5344707477739 /3) x 4) / 3 = 1,570875887900

141,378829910956 / 1,570875887900 = 90 HEMOS VISTO COMO SE HALLA LA BASE A PARTIR DE ESTA VAMOS A HALLAR LA ALTURA DE LA PIRAMIDE

C

¿ DE DONDE SALEN LOS DIVISORES ?

F-B

3,534470747774

DICHO DE OTRA FORMA LOS SEGMENTOS GRAFICOS QUE DIVIDEN LA BASE Y LA ALTURA EN 90 TRAZADOS

A- B

4,712627663699

A- F

1,178156915925

F-D

1,178156915925

D-E

1,178156915925

E-B

1,178156915925

A- B

4,712627663699

C-B

4,712627663699

C-G

1,570875887900

G-H

1,570875887900

H- B

1,570875887900

141,378829910956 / HB = 90 106,034122433217 / AF = 90 C

G

H

1/3

A

1/4

F

D

E

B

Cada vez está más claro que el método gráfico es la base constructiva, pero ello implica tener herramientas adecuadas, por ejemplo compases, este extremo es negado por los arqueólogos, lo que nos lleva a suponer que los egipcios no pudieron construir la pirámides.

A- B

106,034122433217

B-C

106,034122433217

A- C

212,068244866435

B-C

141,378829910956

A