Kurzanleitung zum Versuch EPI Einzelphotoneninterferenz∗ Betreuer: Susanne H¨onig Tel.: 35679 B¨ uro: PHY C105 Stand: 12. Oktober 2011

Versuchsbeginn: Ort:

9:00 Uhr Physikgeb¨aude Raum D115

Wichtige Hinweise • Da in dem Versuchsraum D115 an einigen Tagen parallel ein anderer Versuch l¨auft, findet die Vorbesprechung m¨oglicherweise in einem anderen Raum (vermutlich D114) statt. • Bitte bringen Sie am Versuchstag einen USB-Stick mit, damit Sie die gemessenen Daten zur Auswertung direkt mitnehmen k¨onnen. • Das Protokoll k¨ onnen Sie mir am einfachsten per E-Mail ([email protected]) zukommen lassen - bevorzugt als LATEX-PDF (oder aber als Word-Dokument). Ich werde Ihnen eine E-Mail als Empfangsbest¨atigung schicken und benachrichtige Sie, wenn Sie das Protokoll und die Unterschrift abholen k¨onnen oder noch etwas nachbessern m¨ ussen. (Sollten Sie einige Tage nach Abgabe noch keine Empfangsbest¨ atigung erhalten haben, bitte ich Sie, mir das Protokoll nochmals zu schicken. Es ist leider schon vorgekommen, dass Protokolle im Spam-Filter h¨angen geblieben sind.) • Die Frist f¨ ur die Erstabgabe des Protokolls ist in der Regel eine Woche nach dem Versuchstag. In Absprache mit dem Betreuer kann diese Frist um maximal vier Wochen verl¨ angert werden.

∗

Autor: Jan Feldkamp. Bei Fehlern oder Anregungen bez¨ uglich dieser Anleitung, bitte E-Mail an: [email protected]

1

Inhaltsverzeichnis ¨ 1 Ubersicht u ¨ ber den Versuch

3

2 Theorie 2.1 Das klassische Teilchenexperiment . . . . . . . . . . 2.2 Das klassische Wellenexperiment . . . . . . . . . . . 2.3 Das quantenmechanische Experiment mit Elektronen 2.4 Identifizierung der realisierten Alternative . . . . . . 2.5 Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Longitudinale Koh¨arenz . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Transversale Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . 2.6 Einzelphotonenargument . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Poissonstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 4 5 7 9 10 11 12 14 14 14

3 Aufbau

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4 Aufgabenstellung

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5 Durchfu 17 ¨ hrung 5.1 Teil A: Messung mit dem Laser als Lichtquelle . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Teil B: Messung mit der Lampe als Lichtquelle . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Auswertung 21 6.1 Quantitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.2 Qualitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 A Checklisten 22 A.1 Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 A.2 Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

1

¨ Ubersicht u ¨ ber den Versuch

In dem Versuch Einzelphotoneninterferenz“ (EPI) wird das quantenmechanische Dop” pelspaltexperiment durchgef¨ uhrt. Der Versuch untersucht zun¨achst die Doppelspaltinterferenz mit einer Laserquelle. Im zweiten Versuchsteil allerdings - im Grenzfall einer sehr schwachen Lichtquelle - erlaubt er es, das Auftreffen einzelner Photonen am Detektor zu beobachten. Die konzeptionelle Herausforderung besteht nun darin, zu erkl¨aren, wie es zur Interferenz kommt, obwohl sich immer nur ein einziges Photon gleichzeitig im Apparat befindet. Der quantitative Teil der Auswertung besteht in der Darstellung und dem Anpassen der aufgenommenen Daten und, daraus folgend, die Bestimmung des Doppelspaltabstands.

¨ Abbildung 1: Ubersicht des Versuchsaufbaus

2

Theorie

Das Doppelspaltexperiment wird im Allgemeinen bereits in der Schule behandelt und dort mit klassischer Wellenmechanik beschrieben. Es lohnt sich jedoch, dieses Experiment in Hinblick auf die Quantenmechanik noch einmal eingehend zu studieren, da es 3

die Gelegenheit bietet, grundlegende Prinzipien und Formulierungen der Quantenmechanik an einem relativ einfachen Beispiel zu untersuchen. Das Verst¨andnis dieser Prinzipien ist in sehr vielen unterschiedlichen Bereichen der modernen Physik unerl¨asslich, z.B. R¨ontgen- und Neutronenbeugung, Elektronenmikroskopie, Supraleitung, Astronomie u.v.a. Aus diesem Grund soll dieses Experiment hier in den Spezialf¨allen klassische Teilchen (Kap. 2.1), klassische Wellen (Kap. 2.2), und Quantenmechanik (Kap. 2.3) beleuchtet werden. Die Quantenmechanik wird in der Feynman’schen Formulierung der Wahrscheinlichkeitsamplituden dargestellt. Der folgende Theorieteil ist in weiten Teilen dem ersten Kapitel aus Band III der Lectures On Physics“ bzw. Vorlesungen u ¨ber Physik“ von Richard P. Feynman [2] ” ” entnommen. Dieses Buch (im Speziellen Kapitel 1 ff.) sei dem Leser an dieser Stelle als weiterf¨ uhrende Literatur empfohlen.

2.1

Das klassische Teilchenexperiment

Feynman f¨ uhrt die Quantenmechanik anhand von drei Gedankenexperimenten ein. Als erstes stellen wir uns ein Experiment mit Gewehrkugeln vor, das schematisch in Abb. 2 gezeigt ist. Ein schlechtes Gewehr - das heißt mit starker Streuung der Austrittswinkel der Kugeln - ist auf einen Doppelspalt gerichtet. Hinter dem Doppelspalt ist ein Detek” tor“ angebracht. In diesem Fall k¨ onnte man sich einen Kasten gef¨ ullt mit Sand vorstellen, in dem man am Ende des Experiments nachsehen kann, wie viele Kugeln dort gelandet sind. Der Detektor ist in x-Richtung verschiebbar.

Abbildung 2: Schematischer Aufbau des klassichen Teilchenexperiments

Man kann mit diesem Aufbau nun die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Auftreffen einer Kugel im Detektor bestimmen, wenn dieser sich im Abstand x von seiner Ausgangsstellung befindet. Dies kann nur durch eine h¨aufige Wiederholung des identischen Experi4

ments geschehen – f¨ ur eine einzelne Kugel l¨asst sich nicht vorhersagen, wo sie auftrifft. Zu bemerken ist noch, dass die gemessenen Kugeln alle identisch sind und die gleiche Gr¨oße und Geschwindigkeit haben, ganz unabh¨angig von der Schussrate, welche man in diesem Zusammenhang als so etwas wie die Intensi¨at der Quelle bezeichnen k¨onnte. Außerdem ist festzustellen, dass in diesem Experiment der Detektor immer ganze Teilchen detektiert. Entweder wird eine Kugel gemessen oder nicht; es kommt aber nie vor, dass eine halbe Kugel in den Detektor und eine andere H¨alfte daneben einschl¨agt. Kugeln treffen immer in identischen Einheiten am Detektor auf. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P12 die sich in solch einem Experiment ergibt, ist in Abb. 2(c) dargestellt. Sie ist nach rechts gegen die Experimentkoordinate x aufgetragen. Man stellt fest, dass sie ein Maximum bei x = 0 besitzt und zu großen x-Werten hin abf¨allt. Das l¨ asst sich verstehen, wenn man beispielsweise Spalt 2 verschließt und die Kugeln ausschließlich durch Spalt 1 kommen l¨asst. Das Maximum der so gemessenen Wahrscheinlichkeitsverteilung P1 ist an dem Punkt zu finden, der sich durch eine Gerade mit dem Gewehr und Spalt 1 ergibt. Eine ¨ahnliche, aber etwas verschobene Verteilung P2 l¨asst sich durch das analoge Experiment mit Spalt 2 finden. Man erkennt nun, wie die Verteilung P12 zustande kommt: P12 = P1 + P2 ,

(1)

Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten werden addiert. Es tritt keinerlei Interferenz auf. Fazit: Gewehrkugeln kommen in gleichgroßen Einheiten im Detektor an und die Wahrscheinlichkeitsverteilung ihres Auftreffens zeigt keine Interferenz.

2.2

Das klassische Wellenexperiment

Im klassischen Wellenexperiment stellt man sich ein Wasserbecken vor, in dem ebenfalls ein Doppelspaltexperiment aufgebaut ist (siehe Abb 3). Die Quelle w¨are hier beispielsweise ein Korken, der auf der Wasseroberfl¨ache auf- und abbewegt wird und so sich kreisf¨ormig ausbreitende Wasserwellen erzeugt. Als Detektor k¨onnte man eine Reihe von schwimmenden Korken nehmen, die ausgelenkt werden, wenn Wellen am Detektor eintreffen. Um sp¨ ater die Analogie mit dem quantenmechanischen Experiment besser herstellen k¨ onnen, sei unser gemessenes Signal die Intensit¨at der Welle, d.h. das Quadrat der festgestellten Auslenkung. Der Einfachheit halber nehmen wir außerdem an, dass alle W¨ande des Beckens perfekte Absorber sind, also keine Reflexion an ihnen auftritt. Die erste fundamentale Beobachtung ist, dass zu jedem Zeitpunkt der gesamte De¨ tektor anspricht. Uberall wird gleichzeitig Energie im Detektor hinterlegt“. Die Gr¨oße ” der Energie, die im Detektor ankommt, h¨angt entscheidend von der Quelle ab. Hier kann also keinesfalls von diskreten Einheiten gesprochen werden, die auf den Detektor treffen. Die gemessene Intensit¨ at im Detektor h¨angt ebenfalls von der Quelle ab und ist nicht immer gleich, wie es im Teilchenexperiment der Fall war. Die Intensit¨ atsverteilung I12 , die man nun beobachtet ist in Abb. 3(c) dargestellt. Sie ist offensichtlich nicht die Summe der Einzelspaltverteilungen I1 und I2 . Sie zeigt 5

Abbildung 3: Schematischer Aufbau des klassichen Wellenexperiments

statt dessen das charakteristische Interferenzmuster f¨ ur den Doppelspalt. In der Wellenmechanik geht man nach dem Huygens’schen Prinzip davon aus, dass an jedem der Spalte eine neue Welle entsteht, deren Amplitude sich mit der des anderen Spaltes am Detektor u ¨berlagert. Auf diese Weise erh¨alt man an den Stellen, wo die beiden Wellenteile in Phase“ sind, Verst¨ arkung (konstruktive Interferenz). An den Stellen, an denen ” der Phasenunterschied zwischen ihnen gerade 180◦ betr¨agt, tritt Ausl¨oschung (destruktive Interferenz) auf. Dies kann offensichtlich nicht mehr stattfinden, wenn ein Spalt verschlossen wird, es entstehen daher die Verteilungen I1 und I2 , die keine Interferenzerscheinungen zeigen. (Von der in der Realit¨at auftretenden Einzelspaltbeugung wird hier im Moment abgesehen). Die augenblickliche H¨ ohe der Detektorkorken“ zu einem bestimmten Zeitpunkt im ” Detektor lassen sich, z.B. f¨ ur Spalt 1, beschreiben als (Realteil von) h1 eiωt , wobei die Amplitude“ h1 im Allgemeinen eine komplexe Gr¨oße ist, die auch die Phase δ enth¨alt. ” Die Intensit¨ at ist proportional zum Absolutquadrat der Wellenamplitude |h1 |2 . Analog gilt f¨ ur die Amplitude von Spalt 2 h2 eiωt und f¨ ur die Intensit¨at |h2 |2 . Wenn beide Spalte offen sind, ist die Amplitude demnach (h1 + h2 )eiωt und die daraus resultierende Intensit¨ at |h1 + h2 |2 . Ohne die Proportionalit¨ atskonstante ergibt sich demnach: I1 = |h1 |2 ,

I2 = |h2 |2 ,

I12 = |h1 + h2 |2 .

(2)

Rechnet man den Term |h1 + h2 |2 aus, sieht man, dass

|h1 + h2 |2 = |h1 |2 + |h2 |2 + 2|h1 ||h2 | cos δ,

(3)

wobei δ die Phasendifferenz zwischen h1 und h2 ist. Die zugeh¨origen Intensit¨aten 6

sind dann I12 = I1 + I2 + 2

�

I1 I2 cos δ.

(4)

Der letzte Term ist hier der Interferenzterm. Ein solcher Term trat beim Teilchenexperiment nicht auf. Fazit: Klassische Wellen hinterlegen“ zu jedem Zeitpunkt an allen Stellen des De” tektors Energie. Die Gr¨ oße dieser Energie ist kontinuierlich und nicht quantisiert. Es gibt Interferenz.

2.3

Das quantenmechanische Experiment mit Elektronen

Abbildung 4: Schematischer Aufbau des quantenmechanischen Aufbaus

Ein ¨ahnliches Experiment l¨ asst sich mit Elektronen durchf¨ uhren. Der Aufbau ist in Abb. 4 skizziert. Die Elektronenquelle ist beispielsweise ein stromdurchflossener Draht, der auf negativem Potential gegen¨ uber einem Geh¨ause liegt. Aus dem Draht austretende Elektronen werden im elektrischen Feld beschleunigt und k¨onnen durch eine klei¨ ne Offnung im Geh¨ ause der Elektronenkanone“ austreten. Der verschiebbare Detektor ” k¨onnte ein Geigerz¨ ahler oder ein Sekund¨arelektronenvervielfacher (SEV) sein, der an einen Lautsprecher angeschlossen ist, so dass auftreffende Elektronen h¨or- und z¨ahlbar gemacht werden. Die erste Beobachtung, die man macht, ist die, dass man Klicks“ vom Detektor ” h¨ort. Alle Klicks“ sind gleich und es gibt keine Halb-klicks“. Außerdem bemerkt man, ” ” dass die Klicks zwar in unregelm¨ aßigen Abst¨anden auftreten, die mittlere Z¨ahlrate aber stets gleich ist. Elektronen scheinen also wie die Gewehrkugeln in Kap.2.1 in ganzen Einheiten im Detektor aufzutreffen. Betreibt man gleichzeitig einen zweiten Detektor, 7

stellt man außerdem fest, dass immer nur einer der beiden Detektoren anspricht, nie beide gleichzeitig. Verschiebt man nun den Detektor und zeichnet so die Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ ur das Auftreffen der Elektronen auf, ergibt sich die Kurve in Abb. 4(c), deren Verteilung einem Interferenzmuster zu folgen scheint. Nach der Beobachtung, dass Elektronen in ganzen, gleichgroßen Einheiten ankommen, liegt zun¨achst die folgende Formulierung nahe: Annahme A: Jedes Elektron, das am Detektor auftrifft, geht entweder durch Spalt 1 oder es geht durch Spalt 2. Nach Annahme A lassen sich alle Elektronen, die am Detektor auftreffen in zwei Klassen aufteilen: (1) Elektronen die durch Spalt 1 kommen und (2) Elektronen, die durch Spalt 2 kommen. Diese Annahme l¨asst sich im Experiment leicht u ufen. Durch ¨berpr¨ Blockieren von Spalt 2, werden die Elektronen gemessen, die durch Spalt 1 kommen. Die gemessenen Z¨ ahlraten folgen der Verteilung P1 in Abb. 4(b). Das scheint ein sinnvolles Ergebnis zu sein. Verteilung P2 sieht qualitativ gleich aus und ist wie erwartet etwas verschoben. Eindeutig gilt f¨ ur das Experiment mit beiden Spalten nicht, dass P12 die Summe von P1 und P2 ist: P12 �= P1 + P2

(5)

Statt dessen tritt – in Analogie zu den Wasserwellen – Interferenz auf. Das bedeutet also zwingend, dass Annahme A falsch ist. Man k¨onnte denken, dass sich ein Elektron aufteilt und teilweise durch beide Spalte geht. Das steht allerdings in Widerspruch zur Beobachtung, dass in diesem Experiment – und auch in allen anderen bisher durchgef¨ uhrten – Elektronen immer als ganze, gleich große Einheiten auftreten. Andererseits k¨onnte man sich u ¨berlegen, ob kompliziertere Pfade als einfache, gerade Flugbahnen in der Lage sind das Ph¨ anomen zu beschreiben. Wie auch immer jedoch dieser Ansatz aus¨ sieht, wird es jedoch schwierig, zu erkl¨aren, warum beim Offnen des zweiten Lochs an einigen Stellen des Detektors die Intensit¨at geringer wird, als sie bei einem ge¨offneten Loch war. Bei aller konzeptioneller Verwirrung ist die mathematische Beschreibung des Experiments sehr simpel. Man definiert zwei komplexe Funktionen von x: φ1 und φ2 , die Wahrscheinlichkeitsamplituden genannt werden. Das Betragsquadrat von φ1 beschreibt ¨ die Verteilung, die man findet, wenn nur Spalt 1 ge¨offnet ist. Ahnliches gilt nat¨ urlich f¨ ur φ2 . Die Verteilung f¨ ur den Fall, dass beide Spalte ge¨offnet sind, ist dagegen das Betragsquadrat der Summe der beiden Wahrscheinlichkeitsamplituden. Es gilt also: P1 = |φ1 |2 ,

P2 = |φ2 |2 ,

P12 = |φ1 + φ2 |2 .

(6)

Diese Formulierung entspricht mathematisch genau dem Fall, den wir bei den Wasserwellen gesehen hatten. Fazit: Elektronen erreichen den Detektor in Einheiten, genau wie es klassische Teilchen tun, sind jedoch so verteilt, wie die Intensit¨at einer Welle. Diese Beobachtung ist das, was Welle-Teilchen-Dualismus“ genannt wird. ” 8

Zum Schluss noch zwei Anmerkungen: 1. Dieses Experiment hatte Feynman f¨ ur technisch undurchf¨ uhrbar gehalten, da die de-Broglie Wellenl¨ ange f¨ ur Elektronen sehr klein ist. Beispielsweise liegt sie f¨ ur ˚ Elektronen der Energie E = 50keV bei λ = h/p ≈ 0.05A. Der Spaltabstand f¨ ur das Doppelspaltexperiment m¨ usste dann ebenfalls in dieser Gr¨oßenordnung liegen und damit viel kleiner als ein Atomdurchmesser sein. Feynman f¨ uhrte es deshalb als reines Gedankenexperiment ein. Es wurde allerdings mittlerweile in modifizierter Form tats¨ achlich von einigen Gruppen in Elektronenmikroskopen realisiert [3, 4, ¨ 5, 6], in Ubereinstimmung mit den Feynman’schen Ergebnissen. 2. Feynman w¨ ahlt als Beispiel f¨ ur das quantenmechanische Experiment einen Aufbau mit Elektronen. Das Experiment ist aber genau so auf Photonen u ¨bertragbar, was ja auch in diesem Versuch gemacht wird.

2.4

Identifizierung der realisierten Alternative

Abbildung 5: Identifizierbare Alternativen im quantenmechanischen Experiment

Um die obige Annahme A, dass Elektronen entweder durch den einen oder den anderen Spalt gehen, weiter zu testen, kann man das Experiment aus dem vorigen Kapitel leicht modifizieren. Der ge¨ anderte Aufbau ist in Abb. 5 gezeigt. Direkt hinter dem Doppelspalt ist eine helle Lampe aufgebaut. Es ist bekannt, dass elektrische Ladungen Licht streuen k¨ onnen (Compton-Streuung). Wenn sich nun ein Elektron durch einen der Spalte bewegt, wird etwas Licht an ihm gestreut und man kann sehen, wo sich das Elektron befindet. Wenn es beispielsweise durch Spalt 1 geht, m¨ usste man in dessen Umgebung einen kleinen Lichtblitz beobachten k¨onnen. Falls es auf irgendeine Weise durch beide Spalte geht, m¨ ussten Blitze an beiden Spalten zu sehen sein. 9

F¨ uhrt man das Experiment durch, stellt man fest, dass jedes mal, wenn im Detektor ein Klick“ ert¨ ont, auch ein Lichtblitz an Spalt 1 oder Spalt 2 auftritt, aber nie an beiden ” gleichzeitig. Es ist jetzt also m¨ oglich, jedem Elektron zuzuschreiben, durch welchen Spalt es gegangen ist. Dieses Ergebnis spricht wiederum stark f¨ ur die Annahme A aus dem letzten Kapitel. Wenn man das Experiment nun so f¨ uhrt, dass zu jedem Detektorereignis notiert wird, durch welchen Spalt das Elektron gekommen ist, lassen sich also zwei Klassen von Elektronen definieren: Die, die durch Spalt 1 gegangen sind und die, die durch Spalt 2 gegangen sind. Man erh¨ alt die Verteilungen P1� und P2� . Diese sind identisch mit den Verteilungen P1 und P2 , die jeweils durch Blockieren des anderen Spaltes entstanden waren. Den Elektronen, die durch Spalt 1 kommen ist es demnach egal, ob Spalt 2 offen oder geschlossen ist. Sie verhalten sich in beiden F¨allen gleich. Wenn man nun so tut, als h¨ atte man die Lichtblitze nie beobachtet und alle Elek� , die nun oftronen der beiden Klassen in einen Topf wirft entsteht die Verteilung P12 fensichtlich wieder auch durch Addition der beiden Einzelwahrscheinichkeiten entsteht. Interferenz tritt nicht mehr auf: � P12 = P1� + P2� = P1 + P2

(7)

Schaltet man die zus¨ atzliche Lampe aus, erh¨alt man sofort wieder die eigentliche Verteilung P12 mit dem typischen Interferenzmuster. Wenn man also hinsieht, wo die Elektronen herkommen, verschwindet die Interferenz! Offenbar erfahren die Elektronen durch die Compton-Streuung, die ja zur Beobach¨ tung notwendig ist, eine so große Anderung ihres Querimpulses, dass das Interferenzmuster ausgewaschen wird. Es stellt sich heraus, dass dies eine prinzipielle Einschr¨ankung ist. Es ist noch kein Experiment gefunden worden, mit dem man die realisierte Alternative identifizieren k¨ onnte ohne dabei gleichzeitig die Interferenz zu zerst¨oren. In einem Zusatzexperiment kann man die Helligkeit der Beobachtungslampe“ dim” men. Man stellt fest, dass es nun Ereignisse gibt, die zwar ein Klicken im Detektor, aber keinen Lichtblitz an einem der Spalte erzeugen. Schl¨ usselt man das Ergebnis auf in (1) Ereignisse mit Lichtblitz an Spalt 1, (2) Ereignisse mit Lichtblitz an Spalt 2, und (3) Ereignisse ohne Lichtblitz, findet man, dass die Verteilungen der F¨alle 1 und 2 keine Interferenzerscheinungen zeigen, die Ereignisse (3) aber wieder der Interferenz¨ verteilung P12 folgen. Das Gesamtergebnis ist dann eine Uberlagerung dieser drei F¨alle. Nur diejenigen Ereignisse, die unbeobachtet geschehen, tragen zur Interferenz bei. Das Prinzip, dass keine Interferenz auftritt, wenn die realisierte Alternative ohne zus¨ atzliches Experiment identifiziert werden kann, ist ein wichtiges und allgemeing¨ ultiges Prinzip der Quantenmechanik!

2.5

Koh¨ arenz

Da die Koh¨ arenz ein wichtiger Begriff in der Quantenmechanik und im Speziellen in der Optik ist, soll er hier kurz erl¨ autert werden. Die folgenden Herleitungen st¨ utzen sich auf

10

pure Wellenmechanik, sind aber auch f¨ ur quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplituden zutreffend. 2.5.1

Longitudinale Koh¨ arenz

A

λ ξl

ξl

B

λ−Δλ Abbildung 6: Schema zur Herleitung der longitudinalen Koh¨arenzl¨ange: Zwei Wellenz¨ uge A und B mit unterschiedlichen Wellenl¨angen und dementsprechend unterschiedlich vielen Wellenbergen auf gleichem Raum.

Betrachten wir zun¨ achst die longitudinale Koh¨arenzl¨ange ξl . Man geht dazu von zwei Wellenz¨ ugen A und B mit Wellenl¨ angen von λ und λ − ∆λ aus, deren Beziehung untersucht wird. Auf dem ersten St¨ uck kann man noch von zusammenh¨angenden Wellenz¨ ugen sprechen, aber nach einer Distanz ξl sind sie genau gegenphasig, eine Superposition der Wellen h¨ atte ihre wohldefinierte Phase verloren. Es folgt 2ξl = N λ = (N + 1)(λ − ∆λ)

(8)

N λ = N λ − N ∆λ + λ − ∆λ

(9)

Hier ist N die Anzahl der Wellenberge in Wellenzug A. Nach einer Strecke von 2ξl befinden sich im Wellenzug B dann N+1 Wellenberge.

⇔ ⇒

N ∆λ = λ − ∆λ

N=

λ ∆λ

−1≈

λ ∆λ ,

(10) (11)

wobei im letzten Schritt n¨ aherungsweise angenommen wird, dass f¨ ur einfarbiges Licht ∆λ � λ gilt. In (8) eingesetzt, folgt dann: 11

ξl =

1 λ2 1 λ = ∆λ 2 ∆λ 2 λ

(12)

Der Term ∆λ/λ ist dabei ein Maß f¨ ur die Monochromasie. Je monochromatischer die Quelle ist, desto l¨ anger ist die longitudinale Koh¨arenzl¨ange. Die Koh¨arenzeigenschaften, der in diesem Versuch verwendeten Quellen sind in Tabelle 1 dargestellt. Quelle Laser Lampe

Wellenl¨ ange [nm] 670 546

Bandbreite [nm] 40 10

∆λ/λ 0.060 0.018

Long. Koh¨arenzl¨ange ξl [µm] 5.6 14.9

¨ Tabelle 1: Ubersicht u ¨ber verschiedene Quellen in diesem Versuch. Die relativ große Bandbreite des Lasers von 40nm r¨ uhrt daher, dass es sich nicht um einen modenstabilisierten Laser handelt. Ein Einmodenlaser besitzt eine wesentlich geringere Bandbreite und in Folge dessen eine h¨ ohere Koh¨arenz. Der stabilisierte He-Ne Laser, der f¨ ur die Definition des Meters verwendet wird, hat eine Ungenauigkeit der Wellenl¨ange von ∆λ/λ ≈ 10−11 , was einer Koh¨arenzl¨ange von einigen Kilometern entspricht.

Wenn die Wegdifferenz ∆s zweier Alternativen, durch die das Ereignis zu stande kommen kann, diese L¨ ange u uge nicht mehr koh¨arent, ¨berschreitet, sind die beiden Wellenz¨ und ein Interferenzexperiment ist nicht mehr m¨oglich. 2.5.2

Transversale Koh¨ arenz

Q1 Quelle

S1

Q2 s

e

d

Doppelspalt

Q2

Detektor

_

Q1 LQS

S2

LSD

Abbildung 7: Schema zur Herleitung der transversalen Koh¨arenzl¨ange: Youngscher Doppelspaltversuch. Die Quelle ist im Abstand LQS vom Doppelspalt aufgestellt, der Detektor im Abstand LSD dahinter.

12

F¨ ur die transversale Koh¨ arenzl¨ange ξt betrachtet man den Young’schen Doppelspalt: Eine chaotische Quelle der Ausdehnung d beleuchtet den Doppelspalt (Spaltbreite d). Dieser ist im Abstand LQS von der Quelle aufgebaut. Hinter dem Spalt befindet sich im Abstand LSD ein Schirm (oder eine andere Art Detektor). Von einer chaotischen Quelle spricht man dann, wenn alle Quellpunkte unabh¨angig voneinander Licht aussenden. Das ist z.B. bei einem Einmodenlaser nicht der Fall. Von einem Punkt Q1 am unteren Ende der Quelle werden Photonen ausgesandt, die durch die Spalte laufen und auf dem Schirm ein Interferenzmuster erzeugen (durchgezogene Linie). Auch die Photonen, die von einem Punkt Q2 am oberen Ende der Quelle ausgehen, erzeugen ein Interferenzmuster auf dem Schirm, welches entsprechend etwas verschoben zum ersten liegt (gestrichelte Linie). Man kann sich leicht u ¨berlegen, dass das resultierende Gesamtbild dann verschwimmt“, wenn das Hauptmaximum des einen ” Musters mit dem ersten Minimum des anderen Interferenzmusters u ¨bereinstimmt oder die Muster noch weiter gegeneinander verschoben sind. Das erste Minimum des Q1 Musters bildet sich aus, wenn die Wegdifferenz der beiden Alternativen durch Spalt 1 und Spalt 2 gerade λ/2 betr¨ agt. Wenn es sich um kleine Winkel α handelt, kann man f¨ ur das erste Minimum ansetzen: λ/2 . (13) d Auf der anderen Seite sieht man aus einfachen geometrischen Betrachtungen, dass f¨ ur das Hauptmaximum des Interferenzmusters aus Q2 gilt: α=

θ=

s LQS

f¨ ur LQS � s

,

(14)

Das Maximum des zweiten Strahls liegt genau im Minimum wenn θ = α. Wird α noch gr¨ oßer, wird die Koh¨ arenz noch schlechter. Die gemessene Gesamtintensit¨at ist also genau dann verschwommen, wenn gilt: α > θ.

(15)

Daraus folgt direkt die Beziehung: λ s > 2d LQS λLQS =: ξt (16) 2s Die neu definierte Gr¨ oße ξt heißt transversale Koh¨arenzl¨ange. Wird diese L¨ange im Experiment u berschritten, indem man beispielsweise Proben beleuchtet, deren Gr¨oße d ¨ die transversale Koh¨ arenzl¨ ange u ¨berschreitet, bekommt man ein verschmiertes – oder im Extremfall gar kein Interferenzmuster. Es wird deutlich, dass die Koh¨arenz von der ⇒

d
2.0V

16

Außerdem steht ein Digitaloszilloskop zur Verf¨ ugung, mit dem die Pulse des Photomultipliers und die TTL-Signale sichtbar gemacht werden k¨onnen. Einige wichtige Gr¨oßen des Versuchsaufbaus sind in der Tabelle 3 zusammengefasst.

4

Aufgabenstellung

Die Aufgaben im Versuch gliedern sich wie folgt: • Justage der Versuchsanordnung mit ge¨offnetem Deckel und Laserlicht • Bei geschlossenem Deckel: jeweils Messung der Einzelspaltmuster bei Laserlicht • Messung des Interferenzmusters des Doppelspaltes bei Laserlicht • Einsatz der Lampe und Messung der Spannungskurve f¨ ur den Sekund¨arelektronenvervielfacher √ ¨ • Wiederholte Messung der Z¨ ahlrate, Uberpr¨ ufung der Poissonstatistik σ ∝ n ¯ • Jeweils Messung der Einzelspaltmuster bei Beleuchtung mit der Lampe • Messung des Interferenzmusters des Doppelspaltes bei Beleuchtung mit der Lampe

5

Durchfu ¨ hrung

Zur Messung der Photodiodenstr¨ ome, bzw. zum Z¨ahlen der Photonen im Photomultiplier steht ein LabView-Programm zur Verf¨ ugung. Die Messreihen werden als ASCIITextdatei gespeichert, die sich mit sowohl mit Texteditoren (z.B. WordPad) als auch mit allen g¨ angigen Datenverarbeitungsprogrammen (Origin, Igor Pro, Excel, ...) ¨offnen l¨asst. Die Schrittweite, mit der das jeweilige Muster abgetastet wird betr¨agt f¨ ur alle Messreihen 50µm.

5.1

Teil A: Messung mit dem Laser als Lichtquelle

1. Zun¨ achst muss die Versuchsanordnung bei ge¨offnetem Deckel per Auge justiert werden. Dazu muss der Raum evtl. abgedunkelt werden. Es liegen Pappstreifen bereit, mit denen der Strahlengang nachvollzogen und u uft werden kann. Die Laser¨berpr¨ quelle wird mit den Messingschrauben in der Ebene und mit der Plastikschraube in der H¨ ohe so eingestellt, dass erstens der Doppelspalt m¨oglichst homogen ausgeleuchtet ist und zweitens das Doppelspaltinterferenzmuster mittig auf den Detektor trifft. (Wenn es zu weit seitlich auftritt, l¨asst es sich sp¨ater m¨oglicherweise nicht mehr komplett mit dem Detektorspalt abtasten). Die Justage kann auch die Verschiebung der einzelnen Spalte in ihren Magnethalterungen erfordern, wenn das gew¨ unschte Ergebnis nicht mit reiner Justage der Laserquelle zu erreichen ist. 17

2. Bei ge¨ offnetem Deckel m¨ ussen mit der Mikrometerschraube in der Mitte des Aufbaus f¨ unf verschiedene Positionen des Blockerspalts angefahren, visuell mit Hilfe eines Papierstreifens u uft und notiert werden, und zwar: 1) Doppelspalt kom¨berpr¨ plett blockiert, 2) nur der linke Spalt ist offen, 3) beide Spalte, bzw. der Doppelspalt ist offen, 4) nur der rechte Spalt ist offen, 5) Doppelspalt wieder komplett blockiert. Diese Positionen m¨ ussen sp¨ater bei den Versuchen mit geschlossenem Deckel wieder angefahren werden. 3. Der Deckel wird nun geschlossen und verriegelt. In der Doppelspaltkonfiguration ist kurz zu u ufen, ob das Muster am Detektor mit gutem Kontrast und ei¨berpr¨ nigermaßen mittig zu messen ist, indem der Detektorspalt einmal testweise u ¨ber sein gesamtes Gesichtsfeld“ gefahren wird, wobei man den Diodenstrom im Auge ” beh¨ alt. Die Position des Maximums im Beugungsmuster ist zu notieren – sie wird sp¨ ater gebraucht. Falls sich herausstellt, dass der Kontrast zwischen Maxima und Minima sehr schwach ist, oder das Muster zu sehr am Rand liegt, muss der Deckel nochmals ge¨ offnet und die Anordnung nachjustiert werden. 4. Der Blockerspalt wird jetzt auf dunkel“ eingestellt, d.h. beide Spalte sind blo” ckiert. Mit dem LabView Programm EPI“ wird nun der Dunkelstrom gemessen. ” (Nach dem Aufrufen des LabView Programms wird das Virtuelle Instrument“ mit ” einem Klick auf den Pfeil in der linken oberen Ecke gestartet.) 5. Der Blockerspalt wird auf eine der Einzelspaltpositionen eingestellt. Mit der Mikrometerschraube am Detektorspalt wird nun das Einzelspaltmuster in 50µmSchritten abgetastet und vermessen. Ein Klick im LabView-Programm speichert den jeweiligen Messwert. Legen Sie sich vorher einen Ordner mit ihrem Gruppennamen an und speichern Sie die Werte dort. Bitte speichern Sie nichts auf dem Desktop des Computers. Vergessen Sie nicht, die Startposition und Schrittweite der Mikrometerschraube, sowie den von LabView vorgegebenen Dateinamen zu notieren. 6. Der Blockerspalt wird auf die zweite Einzelspaltposition gestellt. Nachdem im Programm die Einstellung Messspalt“ ge¨andert wurde, kann man mit einem Klick auf ” Neue Messreihe beginnen“ die Z¨ahler auf Null setzen und das zweite Einzelspalt” muster ebenso vermessen. 7. Nun wird der Blockerspalt auf Doppelspaltposition gefahren und am Detektor wird das Doppelspaltmuster vermessen.

5.2

Teil B: Messung mit der Lampe als Lichtquelle

Die Inbetriebnahme des Photomultipliers sollte in der Regel zusammen mit dem Betreuer gemacht werden. 1. F¨ ur diesen Versuchsteil wird zun¨achst der Laser aus- und daf¨ ur die Lampe auf niedriger Regelstufe (3) eingeschaltet. Bei ge¨offnetem Deckel wird die Lampe mit 18

dem Gr¨ unfilter in den Strahlengang gebracht. Der Gr¨ unfilter kann zwischenzeitlich abgezogen werden, um die Ausleuchtung des Quellspaltes zu pr¨ ufen. Auf Dauer sollte die Lampe jedoch nicht bei Intensit¨aten u ¨ber 4“ betrieben werden. Wenn der ” Quellspalt gut ausgeleuchtet wird, und sich die restliche Anordnung nicht ver¨andert hat, ist sichergestellt, dass das Interferenzmuster am Detektor zu sehen ist. 2. Nachdem die Lampe installiert wurde, kann der Deckel geschlossen und anschließend der Photomultiplier in Betrieb genommen werden. Der Shutter bleibt vorerst geschlossen. Wenn sicher gestellt ist, dass der Hochspannungsregler auf 0“ steht, ” kann die Hochspannung eingeschaltet werden. 3. Das Digitaloszilloskop wird nun in Betrieb genommen. Ein Kanal wird an den Ausgang des Photomultipliers, der andere am Ausgang der TTL-Stufe angeschlossen. Nach dem Einschalten des Oszilloskops sind in etwa folgende Werte einzustellen: 50 mV/div., Zeitbasis: 200 ns/div., Trigger: ca. 20 mV/div. 4. Die Hochspannung kann jetzt langsam erh¨oht werden. Eine volle Umdrehung stellt 100V dar. Bei 350V-400V sollten vereinzelt Pulse (1-10 pro Sek.) zu sehen sein. Das ist die Dunkelz¨ ahlrate. Wird nun der Shutter ge¨offnet, sollte diese Pulsrate stark ansteigen. Ist alles korrekt eingestellt, wird wieder das USB-Z¨ahlger¨at mit dem Photomultiplier verbunden. 5. Bei geschlossenem Shutter wird eine Dunkelmessung der Z¨ahlrate bei verschiedenen Spannungen von 300V bis 700V in Schritten von 50V aufgenommen. 6. Bei ge¨ offnetem Shutter werden an der vorher notierten Maximumsposition, ebenfalls die Z¨ ahlraten bei verschiedenen Spannungen gemessen. Diese Messung der ¨ Hellz¨ ahlraten“ wird zusammen mit der Dunkelmessung in einem Ubersichtsdia” gramm dargestellt. Die Arbeitsspannung, bei der die Z¨ahlratenkurve in ihr Plateau u ¨bergeht, ist ein geeigneter Messpunkt. Die meisten Photonen werden jetzt gez¨ahlt, wobei die Dunkelz¨ ahlrate noch niedrig ist. Ein typischer Verlauf f¨ ur die Z¨ahlraten ist in Abbildung 10 dargestellt. 7. Ist die Arbeitsspannung gefunden und eingestellt, werden bei dieser Spannung mehrmals die Dunkelz¨ ahlereignisse w¨ahrend einer l¨angeren Messzeit gemessen (bei geschlossenem Shutter ca. N=10 mal f¨ ur 10s oder l¨anger). Der so gewonnene Mittelwert µd repr¨ asentiert den Untergrund, der von den sp¨ater aufgenommenen Messwerten abgezogen werden muss. 8. Außerdem werden mehrmals hintereinander die Hellz¨ahlereignisse gemessen (bei ge¨ offnetem Shutter und Beleuchtung mit der Lampe N ≈ 20 mal f¨ ur 10s oder l¨anger), um sich von der G¨ ultigkeit der Poisson-Statistik u ¨berzeugen zu k¨onnen. Die jeweiligen Mittelwerte der Dunkel- und Hellmessungen werden durch das arithmetische Mittel gebildet:

19

n

Arbeitspunkt

Hell

Dunkel

U

Abbildung 10: Erwarteter Verlauf der Z¨ahlraten in Abh¨angigkeit der Photomultiplierspannung bei ge¨ offnetem und geschlossenem Shutter. Der Arbeitspunkt liegt am Beginn des Plateaus der Hellz¨ahlrate.

µd,h

N 1 � = ni N n

(21)

i

Laut Poissonstatistik sollte die Standardabweichung in der letzteren hellen“ Mess” reihe gleich der Wurzel des Mittelwertes sein. Es gilt dann f¨ ur die Standardabweichung � �N �� (µh − ni )2 √ σh = � = µh N −1 n

(22)

i

bzw. f¨ ur die Varianz

σh2 =

N � (µh − ni )2

N −1

ni

= µh

(23)

Hierbei ist darauf zu achten, dass die obigen Formeln auf die absolut gez¨ ahlten Werte anzuwenden ist und nicht auf die Z¨ ahlrate (pro Sekunde)! 9. Nach diesen vorbereitenden Messungen wird – ganz analog zum ersten Versuchsteil – die Z¨ ahlratenverteilung bei den drei Spaltkonfigurationen gemessen: linker Einzelspalt, rechter Einzelspalt, Doppelspalt. Die Messzeit pro Punkt sollte dabei so gew¨ ahlt werden, dass im Maximum mindestens einige Hundert Ereignisse gez¨ahlt werden, um eine ausreichend gute Statistik zu bekommen. Das ist f¨ ur gew¨ohnlich bei etwa 3s Messzeit pro Punkt gut erf¨ ullt. Zu beachten ist, dass der Photomultiplier eine Quanteneffizienz von 4% besitzt, so dass die Z¨ahlrate mit einem Faktor 100/4 = 25 multipliziert werden muss, um die tats¨achliche Photonenzahl zu erhalten. 20

6 6.1

Auswertung Quantitativ

Die Intensit¨ at I auf dem Detektor, die unter dem Winkel θ beobachtbar ist, ergibt sich mit einer Einzelspaltbreite a, einer Lichtwellenl¨ange λ und der Ausgangsintensit¨at I0 nach der Einzelspaltfunktion: I(θ) = I0

�

sin α α

�2

, mitα =

πa sin θ λ

(24)

F¨ ugt man einen zweiten Spalt im Abstand d vom ersten hinzu, ergibt sich Fraunhoferbeugung nach der Doppelspaltfunktion: 2

I(θ) = I0 (cos β)

�

sin α α

�2

, mitα =

πa sin θ λ

und β =

πd sin θ λ

(25)

Nimmt man an, dass die Photonen vom Doppelspalt unter kleinen Winkeln θ im Detektorabstand L an einer Detektorposition x auftreffen, ist die N¨aherung sin θ ≈ tan θ = x/L g¨ ultig. Beachtet man weiterhin einen Wert U als m¨oglichen Untergrund und die Tatsache, dass der Mittelpunkt des Musters um einen festen Wert x0 verschoben ist, ergibt sich beispielsweise als Anpassfunktion (Fitfunktion) f¨ ur den Einzelspaltfall folgender Ausdruck: 

I(x) = I0 

sin

�

πa(x−x0 ) λL

πa(x−x0 ) λL

� 2

 +U

(26)

Hierbei w¨ are x die freie Variable und I0 , x0 , U, a, L, λ die Parameter (Fitparameter). Bei (in gewissen Grenzen) bekannten Werten f¨ ur L und λ, sowie abgesch¨atzten Startwerten f¨ ur I0 , x0 und U lassen sich die Daten mit einem Fitprogramm (z.B. Origin, Igor Pro, . . . ) anpassen und auf diese Weise die Spaltgr¨oße a bestimmen. Generell gilt: je besser die Startwerte, desto einfacher der Fit. Die Fits sind jeweils bei den zwei Versuchsteilen f¨ ur beide Einzelspalt- sowie die Doppelspaltmessung durchzuf¨ uhren. Aus den Einzelspaltversuchen l¨asst sich die Spaltbreite a bestimmen, der Doppelspaltversuch liefert mit dieser Kenntnis zus¨atzlich den Spaltabstand d. Diskutieren Sie kurz die Ergebnisse und eventuelle Unterschiede aus beiden Versuchsteilen. Die Graphen f¨ ur die Daten und Fits von Einzel- und Doppelspaltmessungen in jedem Versuchsteil k¨ onnen in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt werden. Bitte geben Sie außer des Ergebnisses f¨ ur den Spaltabstand d auch die erhaltenen Fitparameter an, an denen man eventuelle Fehler leichter ablesen kann.

6.2

Qualitativ

Außer der quantitativen Auswertung sollte im Protokoll auch eine kurze Erl¨auterung zur quantenmechanischen Interpretation, dem Welle-Teilchen-Dualismus und dem scheinba21

ren Paradoxon“ der Interferenz bei einzelnen Photonen gegeben werden. ”

A

Checklisten

A.1 ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷

Versuch

Voraussetzung: Versuch gut vorjustiert Messung des Dunkelstroms Laser: Messung linker Einzelspalt Laser: Messung rechter Einzelspalt Laser: Messung Doppelspalt Messreihe: Z¨ ahlrate in Abh¨ angigkeit der Photomuliplierspannung Mehrmalige Messung der Dunkelz¨ahlrate Mehrmalige Messung der Z¨ ahlrate bei Beleuchtung Lampe: Messung linker Einzelspalt Lampe: Messung rechter Einzelspalt Lampe: Messung Doppelspalt

A.2

Protokoll

Das Protokoll sollte nicht ausschließlich, aber unbedingt auch folgende Punkte enthalten: ✷ Kurzer Theorieteil ✷ Ben¨otigte Formeln f¨ ur die Auswertung ✷ Graphen der Daten und Fits der Einzelspaltmessungen mit Laser ✷ Graph der Daten und Fits der Doppelspaltmessungen mit Laser ✷ Einstellung der Hochspannung am Photomultiplier, Messkurve ✷ Graphen der Daten und Fits der Einzelspaltmessungen mit Lampe ✷ Graph der Daten und Fits der Doppelspaltmessungen mit Lampe ✷ Begr¨ undung der Aussage u ¨ber Einzelphotonen“ ” ¨ ¨ ✷ Uberpr¨ ufung der Ubereinstimmung mit der Poissonstatistik

Literatur [1] Ausf¨ uhrliche Herstelleranleitung Two-Slit Interference, One Photon At A Time“ ” Instructor’s Manual [2] Richard P. Feynman, Lectures On Physics“ bzw. Vorlesungen u ¨ber Physik“, Band ” ” III, Kapitel 1 (Alternativ, da fast identisch: Band I, Kapitel 37) [3] C. J¨ onsson, Elektroneninterferenzen an mehreren k¨ unstlich hergestellten Feinspal” ten“, Zeitschrift f¨ ur Physik, 161, 454-474 (1961) [4] P.G. Merli et al., On the statistical aspect of electron interference phenomena“, ” Am. J. Phys 44, (3), March 1976

22

[5] G. M¨ ollenstedt und H. Lichte, Young-Fresnelscher Interferenzversuch mit zwei ne” beneinander stehenden Spiegeln f¨ ur Elektronenwellen“, Optik 51, 423 (1978) [6] A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron buildup of an interference ” pattern“, Am. J. Phys. 57, (2), Feb. 1989 [7] National Institute for Standardization. http://museum.nist.gov/object.asp? ObjID=50

23

Abbildung 11: Oberfl¨ ache des LabView Programms EPI. Die wichtigsten Funktionen sind rot eingekreist: Starten des Programms, Messwerterfassung in den Messmodi Photodiode und Photomultiplier.

24

Tabelle 2: Berechnete Werte der Poissonverteilung f¨ ur den Erwartungswert λ = 0.0017

Ereignisse k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Wahrscheinlichkeit f (k, λ = 0.0017) 0.998301 0.00169711 1.44255e-06 8.17442e-10 3.47413e-13 1.1812e-16 3.34675e-20 8.12781e-24 1.72716e-27 3.26241e-31 5.5461e-35 8.57125e-39 1.21426e-42 1.58788e-46 1.92814e-50 2.18522e-54 2.3218e-58 2.3218e-62 2.19281e-66 1.96199e-70

Gro ¨ße Interferenzfilter der Lampe Wellenl¨ ange des Lasers Spaltbreite (Quell-, Detektor- und Doppelspalt) Abstand Doppelspalt-Detektor Lichtweg insgesamt (Quelle-Detektor) Effizienz des Photomultipliers

Wert λLampe = (546 ± 5)nm λLaser = (670 ± 20)nm a ≈ 0, 09mm LSD ≈ 0, 5m LQD ≈ 1m � = 4%

Tabelle 3: Wichtige Gr¨ oßen der Messandordnung. Die angegebenen Abst¨ande sind ungef¨ahre Angaben und m¨ ussen evtl. vor Ort genauer ausgemessen werden. Zur Genauigkeit der Spaltbreite a, vergleiche auch Abbildung 12.

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a)

b)

Abbildung 12: Rasterelektronenmikroskopieaufnahme des Doppelspaltes. Der markierte Aussschnitt in a) ist vergr¨oßert in b) dargestellt. Man erkennt, dass die Schlitze auf der Mikrometerskala gewisse Fertigungsungenauigkeiten aufweisen.

26