Klausursammlung Mathematische Methoden der Physik. Fachschaft Physik

Klausursammlung Mathematische Methoden der Physik Fachschaft Physik Stand: Januar 2008 Liebe Physik-Studis, hier findet ihr die Sammlung der Klausur...
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Klausursammlung Mathematische Methoden der Physik Fachschaft Physik Stand: Januar 2008

Liebe Physik-Studis, hier findet ihr die Sammlung der Klausuren zu dem Modul Mathematische Methoden der Physik. Um kurz ein wenig Verwirrung zu vermeiden: Dieses Modul gibt es erst seit 2005/2006 mit diesem Namen und einsemestrig. Im Jahr davor nannte sich das Ganze Einführung in die Theoretische Physik und ging über 2 Semester. Nicht wundern, wenn ihr also auch Klausuren dazu findet. Nun rechnet fleißig los. Eure Fachschaft Physik

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0.1

Vorklausur Einführung Huckestein WS 2004/05

Aufg. 1: (2+2+2+2 Punkte) Ein Massenteilchen bewege sich auf der Bahn r(t) = R cos(ωt)ex + R sin(ωt)ey + utez (hier seien R > 0 ω > 0 und u > 0 Konstanten) a) Skizzieren und beschreiben Sie die Bahn. 2 b) Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung a = ddt2r = ¨ r in kartesischen Koordinaten. c) Drücken Sie r(t) in Zylinderkoordinaten ρ(t) = · · · ϕ(t) = · · · z(t) = · · · aus. d) Berechnen Sie die Beschleunigung mittels der Zylinderkoordinaten-Darstellung der Bahn und bestimmen Sie auch hier den Betrag. Hinweis: In Zylinderkoordinaten gilt: e˙ ρ = ϕe ˙ ϕ und e˙ ϕ = −ϕeρ .

Aufg. 2: (3+2 Punkte) Ein geladenes Teilchen der Masse m und elektrischen Ladung q (m, q sind konstant) bewege sich in einem Magnetfeld und unterliege dabei nur der sogenannten Lorentz-Kraft, welche die Form q FL (t) = p(t) × B(t) m hat. Hierbei ist p(t) = mv(t) der Impuls des Teilchens und B(t) der Magnetfeldvektor am (momentanen) Ort des Teilchens. a) Zeigen Sie, dass die kinetische Energei des Teilchens, Ekin (t) =

|p(t)|2 2m

zeitlich konstant ist, d.h. dass ihre Zeitableitung verschwindet. Benutzen Sie hierzu die Newton’sche Bewegungsgleichung. Hinweis: Es gilt dtd |p|2 = 2p · dp = 2p · p˙ dt b) Bedeutet die Konstanz der kinetischen Energie, dass Wegen Ek in = auch der Impuls zeitlich konstant sein muss? Erläutern Sie!

p2 2m

= const.

Aufg. 3: (2+2+3+3 Punkte) Ein Teilchen der Masse m falle ohne Anfangsgeschwindigkeit zu Zeit t0 = 0 vom Punkt r0 = Hez unter dem Einfluss der Fallbeschleunigung a = −gez (mit g > 0) zu Boden 3

(z = 0). (Betrachten Sie im Folgenden nur den Zeitraum, in dem sich das Teilchen im Fall befindet). a) Geben Sie die Teilchenbahn r(t) sowie den Impuls p(t) an, und verifizieren Sie, dass diese die Newton’sche Bewegungsgleichung sowie die Anfangsbedingungen erfà 14 llen. b) Bestimmen Sie den Drehimpulsvektor L(t) = (r(t) − b) × p(t) des Teilchens bezüglich des Beobachtungspunktes b = Bex . (Dabei sei B konstant).   z(t) c) Skizzieren Sie die Bahn des Phasenraumvektors R(t) = pz (t) (z bzw. pz sind die ez -Komponenten des Teilchenortes bzw. des Impulses) d) Wie sähe die Bahn im Phasemraum aus, wenn das Teilchen zu Anfang bereits eine Geschwindigkeit v0 = kez in z-Richtung besäße? Skizzieren und erläutern Die die Fälle k > 0 und k < 0.

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0.2

Klausur Dreher WS 2005/06

Aufg. 1: (5 Punkte) Ein Kegel der Höhe H, mit kreisförmigem Querschnitt und Maximalradius R (s. Skizze), besitze die homogene Massendichte σ0 = const. Berechnen Sie die Masse Z M=

σ0 dV Kegel

und das Massenträgheitsmoment bezüglich der Rotation um die Symmetrieachse Z Izz =

(x2 + y 2 )σ0 dV

Kegel

Drücken Sie Izz durch M und R aus. Aufg. 2: (5 Punkte) Ein Körper werde dem Einfluss von Gravitation und Luftreibung senkrecht nach oben (positive z-Richtung) geworfen. Die Vertikalkomponente der Geschwindigkeit, vz , gehorche dabei der Gleichung

m

dvz (t) = −αvz (t) − mg dt

(t ist die Zeit, m > 0 die (konstante) Masse des Körpers, g > 0 der (konstante) Betrag der Schwerebeschleunigung und α > 0 ein konstanter Reibungskoeffizient). Leiten Sie die Lösung vz (t) zum Anfangswert vz (t = 0) = v0 her. Tipp: Sollten Sie eine parikuläre Lösung benötigen, so kann eine solche durch geschicktes Raten ermittelt werden. Aufg. 3: (2 Punkte) Leiten Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung d2 f (x) − κf (x) = 0 dx2 her. κ > 0 soll hier eine reelwertige Konstante sein.

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Aufg. 4: (3+2 Punkte) In der x-y-Ebene sei das Vektorfeld

v(r) =

 v0  2 y e + 2xye x y L2

gegeben. v0 und L seien Konstanten. R a) Berechnen Sie das Wegintegral W := P v · dr von A = (0, 0) nach B = (L, L) entlang der Parabel P : y = x2 /L durch direkte Integration. R b) Es soll nun das Integral V := G v · dr von A nach B entlang der geraden Verbindungslinie mit Hilfe des Stokes’schen H Satzes bestimmt werden: i) Drücken Sie das Integral v · dr entlang des geschlossenen Weges: A → B entlang P und zurück B → A entlang G, allgemein durch W und V aus. ii) Wandeln Sie dieses Umlaufintegral in ein Flussintegral über die von P und G eingeschlossene Fläche um und berechnen sie dieses Flussintegral. iii) Bestimmen Sie aus a), i) und ii) den Wert von V . Aufg. 5: (2 Punkte) Zeigen Sie, dass das skalare Feld f (r) = Aei(kx+ly) eine Eigenfunktion des Laplace-Operators ∇ · · · = div grad · · · = ∇ · ∇ · · · ist, d.h. dass es eine Konstante λ gibt mit ∇f = λf Bestimmen Sie den Eigenwert λ. (A,k, und l seien Konstanten, x und y kartesische Koordinaten und i die imaginäre Einheit) Aufg. 6: (2+3 Punkte) a) Berechnen Sie zu 

 1 i 0 A= 0 1 i  i 0 1



 1 −i −1 und B =  −1 1 −i  −i −1 1

das Produkt A B. b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix   1 2 3 N =  −1 −1 −1  0 1 2 6

Tipp: Die Eigenwerte einer Matrix M sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P (λ) := det(M − λ1) Aufg. 7: (4+3 Punkte) Auf der Oberfläche O einer (gedachten) Kugel vom Radius R um den Ursprung sei die elektrische Flussdichte (oder “elektrische Feldstärke”) E(r) bekannt als E(r) = E0 cos2 ϑ sin2 ϕer + E0 sin2 ϑeϑ + E0 sin ϑ cos2 ϕeϕ

auf O

(1)

E0 sei eine Konstante, ϑ und ϕ Kugelkoordinaten. H a) Berechnen Sie den elektrischen Fluss O E · df von E durch die Kugeloberfläche O. Die Normalrichtung der Oberfläche soll dabei nach aussen zeigen. R 2π R Tipps: 0 sin2 xdx = π, sin x cos2 xdx = a cosn x mit a, n = const. b) Generell besteht zwischen E und der elektrischen Ladungsdichte σel. (r) (ein skalares Feld) der Zusammenhang ∇·E=

σel. ε0

Hier ist ε0 eine Naturkonstante. Bestimmen Sie die elektrische Ladung L innerhalb der Kugel, Z L= σel. (r)dV Kugel

Aufg. 8: (3+1+1 Punkte) a) Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f (x) = e−x sin(x) an der Stelle x0 = π bis zur 2. Ordnung (d.h. mit Restgliedern 3. Ordnung). Die Restglieder sollen hier nicht bestimmt/genähert werden. b) Berechnen Sie mit Hilfe der Entwicklung aus a) den Funktionswert von f (x) an der Stelle x = 0 in nullter, erster bzw. zweiter Ordnung. Welche Ordnung gibt die beste Näherung für den exakten Wert? c) In welchem Sinne ist die Näherung zweiter Ordnung besser als die Näherung nullter oder erster Ordnung? Erläutern Sie!

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0.3

Probeklausur Dreher WS 2006/07

Aufg. 1: (2+1 Punkte) a) Zeigen Sie, ausgehend von der Polardarstellung einer komplexen Zahl z ∈ C, dass für z 6= 0 gilt: ln(z) = ln |z| + i arg(z) Geben Sie die Zahlen ln(−2) und ln(−1) explizit mit Real- und Imaginärteil an. b) Berechnen Sie (ohne Substitution) Z

−1

−2

1 dx x

Die Integrationsvariable x soll reell sein. Aufg. 2: (1+3+3 Punkte) Ein Handtuch der Masse m und der Länge L rutscht über die Stange des Handtuchhalters zu Boden (s. Querschnittsskizze). Dabei soll x(t) die Auslenkung gegenüber der Position sein, in der sich beide Enden auf gleicher Höhe befinden. Bei der Bewegung wirkt neben der Schwerkraft eine Reibungskraft an der Stange, so dass die Bewegung durch m¨ x = mg

2x − λx˙ L

beschrieben wird, so lange sich das Tuch nicht von der Stange gelöst hat. (mit Schwerebeschleunigung g > 0 und Reibungskoeffizient λ > 0). a) Welche Dimension (Einheit) hat der Reibungskoeffizient λ? b) Geben Sie den Typ der Differentialgleichung möglichst präzise an und leiten Sie die allgemeine Lösung her. c) Bestimmen Sie die Lösung für den Spezialfall, dass sich das Tuch zur Zeit t = 0 in Ruhe befindet und um x(0) = x0 gegenüber der Gleichgewichtsposition verschoben ist. Tipp: Kürzen Sie, zur übersichtlicheren Rechnung, konstante Ausdrücke mit m, g, L und λ in der allgemeinen Lösung durch neue Namen ab. Aufg. 3: (2+3+2 Punkte) Ein kleines Teilchen gleitet an der Innenwand einer Hohlkugel auf der Bahn r(t) = R   t π + arctan ϑ(t) = 2 τ ϕ(t) = ωt 8

(mit Konstanten R, ω, τ > 0) a) Beschreiben/skizzieren Sie die Bahn für t ≥ 0. b) Berechnen Sie Geschwindigkeit v = r˙ des Teilchens in Kugelkoordinaten. c) Geben Sie die kinetische Energie, E = m2 v 2 , an. Tipps: 1 - arctan0 (x) = 1+x 2 1 - cos(arctan(x)) = √1+x 2 - Ableitung der Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten: ˙ ϑ + ϕ˙ sin ϑeϕ e˙ r = ϑe ˙ r + ϕ˙ cos ϑeϕ e˙ ϑ = −ϑe ˙ e˙ ϕ = −φ(sin ϑer + cos ϑeϑ )

Aufg. 4: (2+3 Punkte) 

 x a) Ein R3 -Vektor ~r sei als Spaltenvektor seiner Komponenten vorgegeben, ~r =  y  z b) Geben Sie diejenige Matrix M an, die zu einem beliebigen Vektor ~u die Bildung des     kx ux Kreuzprodukts ~k = ~r × ~u beschreibt gemäss  ky  = M  uy  kz uz   ωx c) Betrachte Sie nun ein Teilchen, das mit der Winkelgeschwindigkeit ω ~ =  ωy  um ωz eine Achse rotiert. ~ = m~r × Leiten Sie mit Hilfe von a) die Trägheitsmatrix I her, die den Drehimpuls L (omega ~ × ~r) mit der Winkelgeschwindigkeit verknüpft gemäss     ωx Lx  Ly  = I  ωy  Lz ωz Geben Sie die Matrix I explizit an. Tipps: - Bestimmen Sie zunächst die Abbildungsmatrix I für die Geschwindigkeit ~v = omega ~ × ~r. Benutzen Sie hierbei die Antisymmetrie des Kreuzproduktes und das Ergebnis aus a). ~ = m~r × ~v zu - Bilden Sie nun die Verkettung mit der Kreuzprodukt-Abbildung, um L erhalten.

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0.4

Klausur Dreher WS 2006/07

Aufg. 1: (5 Punkte) Berechnen Sie die Lösung der Differentialgleichung df (x) = sin(x)f (x) dx zum Anfangswert f(π)=1 Aufg. 2: (3+3+3 Punkte) Gegeben seien, jeweils in Zylinderkoordinaten (ρ,ϕ,z), das skalare Feld S(r) = z cos ϕ + 3ρ cos2 ϕ

1 2zρ2 4 L2

sowie das Vektorfeld a(r) = ρ2 cos2 ϕeρ + ρz sin ϕeϕ +

z 2 ρ2 ez L2

und der Zylinder (Skizze!) 0 ≤ ρ ≤ R,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

0≤z≤L

mit Konstanten R und L. R a) Berechnen Sie das Volumenintegral Zyl S(r)dV R b) Berechnen Sie den Fluss ∂Zyl a(r) · df von a durch die Zylinderoberfläche (d.h. Mantel, “Deckel” und “Boden”). Hierbei soll die Normalenrichtung der Oberfläche nach aussen zeigen. c) Zeigen sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes, dass die Ergebnisse von a) und b) gleich sein müssen. Tipps: 1 ∂S ∂S ∂S eρ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂ 1 ∂aϕ ∂az ∇·a= (ρaρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 2π 2π Z Z 2 cos xdx = sin2 xdx = π ∇S =

0

0

Aufg. 3: (2+3 Punkte) a) Schreiben sie die drei Gleichungen 2x − 3y + z = 10, y + 2z = −2 und 3(y − z) − x = 1 10



 x als Matrixgleichung mit dem Spaltenvektor  y . z b) Zeigen Sie anhand der Determinante der Koeffizientenmatrix aus a), dass obiges Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (die Lösung soll hier nicht berechnet werden). Aufg. 4: (5 Punkte) Leiten Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 3. Ordnung, d3 f (t) − γf (t) = 0 dt3 her (γ > 0 sei eine Konstante und t ∈ R). Hier ist es ausreichend, die allgemeine Lösung als komplexwertige Funktion anzugeben. Aufg. 5: (3+2 Punkte) a) Zeigen Sie durch Taylor-Entwicklung, dass für |x|  1 gilt 1 ≈1+x 1−x b) Leiten Sie eine “verbesserte” Näherung für dritter Odrnung her.

1 1−x

bei x ≈ 0 in Form des Taylor-Polynoms

Aufg. 6: (2+5 Punkte) Ein skalares Feld Φ sei in Kugelkoordinaten (r,ϑ,ϕ) durch Φ(r) = r2 cos ϕ sin ϑ gegeben. a) Geben Sie den Gradienten g(r) R:= gradΦ explizit an. b) Berechnen Sie das Wegintegral g · dr entlang des skizzierten Weges: i) Von A = Rez nach B = Rex entlang des Viertelkreises mit Radius R und anschliessend ii) von B nach C = Rey entlang des entsprechenden Viertelkreises mit Radius R. durch explizite Integration in Kugelkoordinaten. Führen Sie die Integration über die Teilwege seperat aus und fassen Sie die Teilbeträge zusammen. Tipp 1: Das Ergebnis von b) kann überprüft werden durch die “Potentialdifferenz” zwischen den Punkten A, B und C. Tipp 2: In Kugelkoordinaten gilt dr = er dr + reϑ dϑ + r sin ϑeϕ dϕ 1 ∂f 1 ∂f ∂f ∇f = er + eϑ + eφ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂φ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂aϕ ∇ · a = 2 (r2 ar ) + (sin ϑaϑ ) + r ∂r r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ 11

Aufg. 7: (4+3 Punkte) Für zwei beliebige R3 -Vektoren p und q soll die Identität |p × q|2 = |p|2 |q|2 − (p · q)2

(2)

auf verschiedene Weise bewiesen werden: a) Leiten Sie (1) her durch koordinatenfreie Rechnung mit Hilfe der bekannten Regeln (für beliebige Vektoren a,b, c): (a × b) · c = (b × c) · a (zyklische Vertauschung im Spatprodukt) a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) (“bac-minus-cab”-Regel)

b) Begründen Sie (1) mit Hilfe des Winkels α zwischen p und q.

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