Klausur Wirtschaftsmathematik VO 20. M¨arz 2015 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausf¨ ullen!

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ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz!

Aufgabe

max. Punkte

1

12

2

12

3

12

4

12

5

12

Summe

60

Note:

erreichte Punkte

1. a) (3 Punkte) Berechnen Sie die folgende Doppelsumme: 3 ÿ 3 ÿ i i=1 k=0

3

·

3 4k

1 2

b) (3 Punkte) Vereinfachen Sie soweit m¨oglich: ˆ ıÔ ı x · x 45 Ù Ô 3

x

c) (6 Punkte) Wenn Anton von dem Geld, das er in der Tasche hat, Xaver Ä 2.- gibt, so hat Xaver dreimal so viel wie Anton. Gibt Xaver Anton Ä 3.-, so hat Anton dreimal so viel wie Xaver. Wie viel Geld hat jeder? Ausf¨uhrung Beispiel 1: L¨osung: a)

15 4 ;

29

b) x 60 , c) Anton: 4,5; Xaver: 5,5

Ausf¨uhrung Beispiel 1:

2. a) (2 Punkte) Bestimmen Sie a24 f¨ ur eine arithmetische Folge, wenn a17 = 35 und d = 7 sind. ¨ b) (2 Punkte) Entlang einer 100 m langen Strecke werden im Abstand von je 1 m Apfel ausgelegt. Am Anfang der Strecke steht ein Korb. Ein Spiel besteht nun darin, dass die ¨ Apfel einzeln geholt und in den Korb gelegt werden, der w¨ahrend des ganzen Spiels am Beginn der Strecke stehen bleibt. Welche Wegl¨ange wird insgesamt zur¨ uckgelegt, bis alle ¨ Apfel im Korb sind?

c) (8 Punkte) F¨ ur welche x œ R konvergiert die folgende Reihe? Ô

5xt (2x ≠ 3)t t=10 Œ ÿ

Ausf¨uhrung Beispiel 2: L¨osung: a) 84; b) 10100 m, c) konvergent f¨ ur 0 Æ x < 1 oder x >

9 4

Ausf¨uhrung Beispiel 2:

3. a) Gegeben ist die Funktion:

f : R æ R, x ‘æ a · ebx

i. (4 Punkte) F¨ ur welche Koeffizienten a œ R und b œ R \ {0} ist die Funktion f positiv und monoton fallend? ii. (3 Punkte) K¨onnen die Koeffizienten a, b auch so gew¨ahlt werden, dass f zus¨atzlich konkav ist? Begr¨ unden Sie analytisch! b) (5 Punkte) (unabh¨angig von a)) Zeichnen Sie in nachstehendes Koordinatensystem den Graphen einer stetigen Funktion, die auf dem Intervall [1; 9] definiert ist und die genau zwei lokale Extrema besitzt, die aber keine globalen Extrema sind. Kennzeichnen Sie in Ihrer Zeichnung alle Extremstellen, alle Extremwerte sowie die Bildmenge Ihrer Funktion. Bestimmen Sie graphisch die Steigung Ihrer Funktion an der Stelle x = 1. Tragen Sie dann alle (n¨aherungsweise) ermittelten Werte in die untenstehende Tabelle ein! Ausf¨uhrung Beispiel 3: L¨osung: a) a > 0 und b < 0; b) nicht m¨oglich; c) individuelle L¨osung 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

Extremstellen Extremwerte Bildmenge Steigung an der Stelle x = 1

4

5

6

7

8

9

Ausf¨uhrung Beispiel 3:

4. Eine neu gegr¨ undete ¨osterreichische Ratingagentur bewertet die Kreditrisiken ¨osterreichischer Firmen und gibt dabei jeder Firma eines der drei folgenden Ratings: AAA (sehr gute Bonit¨at), BBB (gute Bonit¨at) oder CCC (schlechte Bonit¨at). Aus historischen Daten hat die Agentur ¨ folgende Ubergangswahrscheinlichkeiten f¨ ur die drei Ratingklassen errechnet: Firmen mit dem Rating AAA bekommen im n¨achsten Jahr in 25% der F¨alle das Rating BBB und in 25% der F¨alle das Rating CCC, der Rest beh¨alt AAA. Firmen mit dem Rating BBB bekommen im n¨achsten Jahr in 75% der F¨alle wieder das Rating BBB und in 25% der F¨alle das Rating CCC. Firmen mit dem Rating CCC bekommen im n¨achsten Jahr zu 100% wieder das Rating CCC. ¨ a) (3 Punkte) Erstellen Sie eine passende Ubergangsmatrix. b) (3 Punkte) Wie viele Firmen werden voraussichtlich n¨achstes Jahr in den jeweiligen Ratingklassen sein, falls heuer 1600 Firmen das Rating AAA, 1200 Firmen das Rating BBB und 800 Firmen das Rating CCC haben. ¨ c) (3 Punkte) Die inverse Matrix der Ubergangsmatrix ist durch Q

R

2 ≠ 23 ≠ 13 c d 4 1d M =c ≠ a0 3 3b 0 0 1

gegeben. Berechnen Sie mithilfe von M , wie viele Firmen heuer in den jeweiligen Ratingklassen sind, falls n¨achstes Jahr 300 Firmen das Rating AAA, 600 Firmen das Rating BBB und 600 Firmen das Rating CCC haben. d) (3 Punkte) Wie viele Firmen werden voraussichtlich in f¨ unf Jahren das Rating AAA haben, wenn heuer 3200 Firmen in der Ratingklasse AAA sind. Ausf¨uhrung Beispiel 4: L¨osung:

Q

R

0.5 0.25 0.25 c d d a) A = c a 0 0.75 0.25b 0 0 1

b)

c)

1 1

2

800 1300 1500 2

600 600 300

d) 100

Ausf¨uhrung Beispiel 4:

5. Firma A produziert x Liter Mineralwasser und verlangt einen Preis von pA e je Liter. Der Konkurrent B produziert y Liter Mineralwasser und verlangt einen Preis pB e je Liter. Die Nachfrage nach den beiden Marken ist x = 29 ≠ 5 pA + 4 pB

y = 16 + 4 pA ≠ 6 pB

Firma A hat Gesamtkosten von KA (x) = 5 + x und Firma B hat Gesamtkosten von KB (y) = 3 + 2y. a) (8 Punkte) Die beiden Firmen kommen u ¨berein, ihren gemeinsamen Gewinn zu maximieren, so als w¨aren sie ein Anbieter. Zu welchen Preisen und in welchen Mengen werden die ¨ beiden Mineralwasser angeboten? Uberpr¨ ufen Sie die hinreichende Bedingung! b) (4 Punkte) Ein Antitrustgesetz verhindert die Absprache der beiden Firmen. Daher muss jede Firma ihren Gewinn unter der Annahme, dass der Preis des Konkurrenten gegeben ist, maximieren. Zu welchem Preis pA (in Abh¨angigkeit von pB ) wird A sein Mineralwasser anbieten, wenn der Preis des Konkurrenten B auf pB fixiert ist? Ausf¨uhrung Beispiel 5: L¨osung: a) pA = 9, pB = 8, x = 16, y = 4 A

B

≠10 8 H= ∆ fxx = ≠10 < 0 und det(H) = 56 > 0 ∆ Gewinnmaximum. 8 ≠12 b) p =

34+4pB 10 ,

G = ≠10 < 0 ÕÕ

Ausf¨uhrung Beispiel 5: