Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach

FINANČNÁ MATEMATIKA Viktor PIRČ – Anna GRINČOVÁ

Košice 2008

RECENZOVALI: Prof. RNDr. Vincent Šoltés, CSc. RNDr. Jaroslav Skřivánek, PhD.

1. vydanie 2008 Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.

 Viktor Pirč, Anna Grinčová, 2008 ISBN: 978-80-8073-986-7

FINANČNÁ MATEMATIKA 3 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

OBSAH 1

ÚROKOVANIE............................................................................................................................................. 6 1.1 POJEM ÚROKU .......................................................................................................................................... 6 1.2 JEDNODUCHÉ DEKURZÍVNE ÚROKOVANIE ................................................................................................ 7 1.2.1 Exaktné a bankové úrokovanie........................................................................................................ 7 1.2.2 Budúca hodnota .............................................................................................................................. 8 1.2.3 Priemerná úroková miera postupnosti vkladov............................................................................... 9 1.2.4 Súčasná hodnota ............................................................................................................................. 9 1.2.5 Diskont .......................................................................................................................................... 10 1.3 ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE .......................................................................................................................... 11 1.3.1 Vzťah medzi jednoduchým a zloženým úrokovaním ...................................................................... 11 1.3.2 Diskontovanie pri zloženom úrokovaní ......................................................................................... 12 1.3.3 Inflácia .......................................................................................................................................... 12 1.3.4 Zmena úrokového obdobia. Nominálne a periodické úrokové sadzby .......................................... 13 1.4 ZMIEŠANÉ ÚROKOVANIE ........................................................................................................................ 14 1.5 SPOJITÉ ÚROKOVANIE ............................................................................................................................ 14

2

RENTOVÝ A UMOROVACÍ POČET ..................................................................................................... 19 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

3

OBLIGÁCIE A AKCIE.............................................................................................................................. 31 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4

ZÁKLADNÉ TECHNIKY ............................................................................................................................ 39 SÚČASNÁ HODNOTA ............................................................................................................................... 40 VNÚTORNÁ MIERA VÝNOSU ................................................................................................................... 41 DOBA NÁVRATNOSTI.............................................................................................................................. 43 ÚČTOVNÁ MIERA VÝNOSNOSTI .............................................................................................................. 44 POROVNÁVANIE INVESTÍCIÍ S RÔZNOU ŽIVOTNOSŤOU ............................................................................ 45 INFLÁCIA A TVORBA KAPITÁLOVÉHO ROZPOČTU ................................................................................... 45 ZÁVISLOSŤ A PODMIENENOSŤ INVESTIČNÝCH PRÍLEŽITOSTÍ .................................................................. 46 OBMEDZENÉ MNOŽSTVO KAPITÁLU ....................................................................................................... 46 OBNOVA ZARIADENÍ .............................................................................................................................. 47

RIZIKO A VÝNOS ..................................................................................................................................... 53 5.1 5.2 5.3

6

AKCIOVÉ SPOLOČNOSTI ......................................................................................................................... 31 OBLIGÁCIE ............................................................................................................................................. 32 CENA OBLIGÁCIE ................................................................................................................................... 32 PRIEMERNÁ DOBA SPLATNOSTI OBLIGÁCIE ............................................................................................ 33 HODNOTENIE AKCIÍ ZALOŽENÉ NA VÝNOSOCH....................................................................................... 35

ZÁKLADY TVORBY KAPITÁLOVÉHO ROZPOČTU ....................................................................... 39 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

5

POJEM FINANČNEJ RENTY....................................................................................................................... 19 POLEHOTNÁ RENTA. BUDÚCA HODNOTA. .............................................................................................. 19 POLEHOTNÁ RENTA. SÚČASNÁ HODNOTA .............................................................................................. 21 NIEKTORÉ ŠPECIÁLNE TYPY RENT .......................................................................................................... 22 KLASIFIKÁCIA PÔŽIČIEK ........................................................................................................................ 24 PRAVIDLÁ UMOROVANIA ....................................................................................................................... 24 JEDNORÁZOVÉ SPLÁCANIE PÔŽIČIEK ...................................................................................................... 25 ROVNOMERNÉ SPLÁCANIE PÔŽIČIEK ...................................................................................................... 26 ANUITNÉ SPLÁCANIE PÔŽIČIEK .............................................................................................................. 27

FINANČNÉ RIZIKO .................................................................................................................................. 53 PRIAMKA KAPITÁLOVÉHO TRHU............................................................................................................. 56 PRIAMKA TRHU CENNÝCH PAPIEROV...................................................................................................... 57

PRÍLOHY .................................................................................................................................................... 59 6.1 NÁHODNÉ JAVY A ICH PRAVDEPODOBNOSTI .......................................................................................... 59 6.1.1 Charakteristiky polohy a variability.............................................................................................. 59 6.2 POSTUPNOSTI, GEOMETRICKÝ RAD......................................................................................................... 61 6.3 METÓDA NAJMENŠÍCH ŠTVORCOV ......................................................................................................... 62

7

NIEKTORÉ MOŽNOSTI POUŽITIA MATEMATICKÝCH SOFTVÉROV ..................................... 63

FINANČNÁ MATEMATIKA 4 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 7.1 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE O NIEKTORÝCH MATEMATICKÝCH SOFTVÉROCH ............................................. 63 7.1.1 MAPLE.......................................................................................................................................... 63 7.1.2 MATLAB........................................................................................................................................ 63 7.1.3 MAXIMA ....................................................................................................................................... 63 7.1.4 OCTAVE........................................................................................................................................ 64 7.1.5 SCILAB.......................................................................................................................................... 64 7.1.6 PYLAB........................................................................................................................................... 64 7.1.7 GNUPLOT..................................................................................................................................... 64 7.2 NIEKTORÉ MOŽNOSTI POUŽITIA EXCELU.............................................................................................. 65 7.3 NIEKTORÉ FUNKCIE V MATLABE (POZRIEŤ HELP) ............................................................................... 77 7.4 NIEKTORÉ FUNKCIE V MAPLE .............................................................................................................. 77 7.5 NIEKTORÉ FUNKCIE V OCTAVE (JE NUTNÉ POZRIEŤ SI HELP) ............................................................. 77

FINANČNÁ MATEMATIKA 5 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

ÚVOD Táto učebnica je určená predovšetkým pre študentov, ktorí po skončení štúdia budú pracovať ako manažéri jednotlivých firiem, pri rozhodovaní o investovaní rôznych finančných zdrojov v čase možných zmien ekonomických podmienok. Učebnica však môže poslúžiť študentom všetkých študijných programov, pretože problémy rozoberané v tomto učebnom texte sú univerzálne a budú sa nejakým spôsobom dotýkať praxe absolventa každého odboru. Tento text si kladie za cieľ oboznámiť študenta s dôležitými postupmi finančnej matematiky, ale tiež priblížiť im niektoré pojmy a nástroje súčasných financií (akcie, obligácie, pojem rizika a výnosu, investičný rozpočet, porovnávanie investícií, umorovanie dlhu, atď.). Text pracuje so všeobecnými princípmi finančnej matematiky a vyhýba sa detailom. Ak však čitateľ porozumie všeobecným princípom, mal by zvládnuť aj ich modifikácie. Pre hlbšie štúdium má možnosť čitateľ použiť bohato citovanú literatúru. Použitý matematický aparát je zámerne volený čo najjednoduchší. Štúdium učebnice predpokladá vedomosti z matematiky v podstate na úrovni strednej školy. Ďalšie potrebné časti z matematickej analýzy a matematickej štatistiky sú uvedené v prílohách. Pri spracovaní textu bola použitá hlavne literatúra [6], [11], [15], [16], [17], [20], [24], [28], [31], [33]. Vzhľadom na rozsah textu zväčša neuvádzame dôkazy viet alebo odvodenie niektorých vzorcov. Čitateľ má však možnosť študovať uvedenú problematiku podrobnejšie v citovanej literatúre. Preberaná látka je podľa možnosti ilustrovaná na primerane volených príkladoch. V závere každej kapitoly sú zaradené cvičenia určené pre samostatnú prácu študentov. Výsledky cvičení sú uvedené v zátvorkách za jednotlivými príkladmi ♠ (výsledok). Pre lepšiu a rýchlejšiu orientáciu je učebná pomôcka doplnená zoznamom použitej literatúry a tiež anglicko-slovenským slovníkom najčastejšie používaných ekonomických pojmov. Zároveň sú uvedené isté možnosti použitia matematických softvérov ako napríklad MATLAB, MAPLE, EXCEL, OCTAVE. Pre výpočet niektorých príkladov bol použitý MATLAB (časť Štatistika) zakúpený Katedrou elektrotechniky, mechatroniky a priemyselného inžinierstva FEI TU v Košiciach. Medzi najznámejšie počítačové programy podporujúce riešenie problémov uvedených v texte ďalej patria: MINITAB (MINITAB Project, University Park, Pa.), SAS (Statistical Analysis System, SAS Institute, Cary, N.C.), SPSS*(Statistical Package for the Social Sciences, Version X, SPSS, Inc. Chicago), Statgraphic, LOTUS, STATISTIKA. Niektoré funkcie EXCELu použiteľné v oblastiach, ktorými sa zaoberá táto učebná pomôcka sú uvedené za zoznamom použitej literatúry, ako aj riešenia konkrétnych úloh. Touto cestou chceme poďakovať recenzentom Prof. RNDr. Vincentovi Šoltésovi, CSc. a RNDr. Jaroslavovi Skřivánkovi, PhD. za pozorné prečítanie rukopisu a cenné pripomienky. Autori

FINANČNÁ MATEMATIKA 6 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1

ÚROKOVANIE

Cieľ Oboznámenie sa s niektorými základnými pojmami, ktoré sa najčastejšie používajú pri výpočte úrokov a pri finančných operáciách.

Okruh otázok

• • • • • • •

Čo rozumiete pod pojmami úrok, úroková perióda, miera (sadzba)? Ako vypočítate úrok? Čo rozumiete pod pojmami jednoduché, zložené, spojité a zmiešané úrokovanie? Ako vypočítate budúcu hodnotu pri týchto úrokovaniach? Aký je vzťah medzi jednoduchým a zloženým úrokovaním? Čo rozumiete pod pojmom diskontovanie, obchodný diskont? Ako vypočítate budúcu hodnotu za n rokov pri m konverziách ročne a nominálnej úrokovej sadzbe j ? • Ako vypočítate mieru inflácie za dané obdobie?

1.1 Pojem úroku Peňažnú sumu, ktorú poskytuje veriteľ dlžníkovi za určitý poplatok, nazývame kapitál (istina). Poplatok, ktorý platí dlžník veriteľovi za používanie jeho peňazí sa nazýva úrok. Veľkosť úroku sa určuje ako percentová časť istiny za úrokové obdobie. Časové obdobie, za ktoré percentová miera určuje úrok ako časť kapitálu, sa nazýva úroková perióda. Percentovú mieru, zodpovedajúcu určitej perióde, nazývame úrokovou mierou. Pri konkrétnych výpočtoch vyjadrujeme úrokovú mieru v tvare desatinného čísla t.j. úroková miera/100. Takto vyjadrenú úrokovú mieru nazývame úrokovou sadzbou. Úrokové miery môžu byť ročné, polročné, štvrťročné, mesačné a týždenné. Pre úrokové miery sa používa označenie : ročná - per annum, p.a. polročná - per semestrem, p.s. štvrťročná - per quartalem, p.q. mesačná - per mensem, p.m. týždenná - per septimanam, p.sept. Proces spojený s výpočtom úrokov nazývame úrokovaním. Poznáme: • jednoduché úrokovanie (úrok v každej perióde sa určuje z konštantného začiatočného vkladu, resp. sa počíta za časť úrokovej periódy). • zložené úrokovanie (úrok v každej úrokovej perióde sa počíta z kapitálu zväčšeného o úroky z predchádzajúceho obdobia). Podľa splatnosti úroku hovoríme o: • dekurzívnom (polehotnom) úrokovaní (úrok je splatný na konci úrokovacej periódy).

FINANČNÁ MATEMATIKA 7 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

•

anticipatívnom (predlehotnom) úrokovaní (úrok je splatný na začiatku úrokovacej periódy).

V ďalšom sa budeme zaoberať dekurzívnym úrokovaním.

1.2 Jednoduché dekurzívne úrokovanie • • • • • • •

Budeme používať nasledujúce označenie: PV - začiatočná hodnota kapitálu (Present Value), FV - budúca hodnota kapitálu (Future Value), i ⋅ 100% - jednoduchá úroková miera (pre jedno úrokovacie obdobie), t - dĺžka úrokového obdobia, vyjadrená v jednotkách úrokovej periódy, u - úrok, i - úroková sadzba id - sadzba dane zo zisku (19%).

Potom

u = PV ⋅ i ⋅ t

1.2.1 Exaktné a bankové úrokovanie V prípade, že doba, za ktorú sa počíta úrok, je určená v dňoch, na výpočet veličiny t môžeme použiť dve metódy: n • ordinárna (banková) metóda t = , kde n je počet dní 360 n n • exaktná (presná) metóda t = , resp. t = v priestupnom roku, kde n je počet dní. 365 366

S jednoduchým úrokovaním sa stretávame najčastejšie pri vedení bankových účtov. Podľa najbežnejších praktík úrokovania sa lineárne úrokovanie deje na bankových účtoch pripisovaním úrokov a zvyšovaním hodnoty kapitálu na základe vkladového obdobia. Zvlášť sa úrokuje každý vklad, a síce na základe nasledujúcich základných informácií: 1. dátum vkladu ( D1 ): začiatok doby úrokovania, 2. dátum pripísania úrokov ( D2 ): koniec doby úrokovania, 3. nominálna úroková miera v % vzťahujúca sa na 1 rok . Dĺžka doby úrokovania je vlastne rozdiel t = D2 − D1 . V praxi sa často miesto skutočného úrokového obdobia používa v niektorých prípadoch doba - 30 dňový mesiac, miesto skutočného počtu dní v roku sa používa jednotne 360 alebo 365 (366) dní. Na možné denné úrokovanie v praxi sa využívajú rôzne spôsoby uvedené v nasledujúcej tabuľke: Spôsob Nemecký Francúzsky Anglický Presný

Počet dní v mesiaci 30 Skutočný Skutočný Skutočný

Počet dní v roku 360 360 365 Skutočný

FINANČNÁ MATEMATIKA 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Poznámka. S rozšírením výpočtovej techniky sú stále menej používané vypracované zjednodušené spôsoby a výpočty sa robia na základe skutočného kalendárneho obdobia. Príklad. Aký je úrok z vkladu 250 000 Sk za obdobie od 5.4.2006 do 31.12. 2006 pri ročnej úrokovej miere 2 %? Počítajme pomocou bankovej aj exaktnej metódy.

Riešenie: PV = 250 000 Sk, i = 0,02 . Počítame úrok pri jednoduchom úrokovaní. Počet dní úrokovania je (30 − 5) + 8 ⋅ 30 = 265 (banková metóda) 265 ub = PV ⋅ i ⋅ t = 250 000 ⋅ 0,02 ⋅ = 3 680,60 Sk. 360 Počet dní úrokovania je (30-5) + 31+30+31+31+30+31+30+31 = 270 (exaktná metóda) ue = PV ⋅ i ⋅ t = 250 000 ⋅ 0,02 ⋅

270 = 3 698,30 Sk. 365

Príklad. Odberateľ nám nezaplatil faktúru v hodnote 193 000 Sk, splatnú 7.7.2001. Podľa zmluvy účtujeme penále vo výške 0,05 % z faktúrovanej sumy za každý deň oneskorenia platby. Aké veľké je penále k 9.9.2001?

Riešenie: PV = 193000 Sk, i = 0,0005 . Penále je vlastne úrok pri jednoduchom úrokovaní. Počet dní je (31 − 7 ) + 31 + 9 = 64 P = PV ⋅ i ⋅ t = 193000 ⋅ 0,0005 ⋅ 64 =

= 6 176 Sk.

FV P = 6 176 Sk 193 000 0

64

t

1.2.2 Budúca hodnota

Ak úrok u pripočítame k začiatočnej hodnote PV , dostaneme konečnú (budúcu) hodnotu FV po čase t vyjadrenom v úrokovacích periódach. FV = PV + PV ⋅ i ⋅ t = PV (1 + i ⋅ t ) .

Veličinu (1 + it ) nazývame úročiteľom (úrokovacím faktorom) pre obdobie dĺžky t . Ak uvažujeme zdanenie úrokov ročnou úrokovou sadzbou id , potom FV = PV + PV ⋅ i (1 − id ) t = PV [1 + i (1 − id ) t ] . Poznámka. Podobne sa dajú odvodiť vzťahy so zdanením úrokov aj pre ostatné typy úrokovania. Príklad. Aká je budúca hodnota pôžičky 35 000 Sk pri ročnej úrokovej miere 8 % za 6 mesiacov?

FINANČNÁ MATEMATIKA 9 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

6 roka, i = 0,08. Ide o jednoduché úrokovanie 12 6  FV = PV (1 + i ⋅ t ) = 35 0001 + 0,08 ⋅  = 36 400 Sk. 12  

Riešenie: PV = 35 000 Sk, t =

1.2.3 Priemerná úroková miera postupnosti vkladov

Majme rôzne vklady PVk s úrokovacími sadzbami rk a úrokovacie obdobia tk , kde k = 1, 2,K K . Potom celkový úrok je: PV1 ⋅ r1 ⋅ t1 + ... + PVK ⋅ rk ⋅ t K . Priemernou úrokovou sadzbou vkladov PVk , k = 1,2,K K rozumieme takú úrokovú sadzbu r * , pri ktorej vklady PVk , k = 1,2...K prinesú rovnaký zisk. Teda k

∑ PVi ⋅ ri ⋅ ni = i =1

k

k

i =1

i =1

∑ PVi ⋅ r * ⋅ ni = r * ∑ PVi ⋅ ni

Príklad. Jozef si 20.2.zobral od Petra pôžičku 500 Sk pri úrokovej miere 20 %, 10.5. od Jána 1 000 Sk pri úrokovej miere 15 % a 15.9. od Milana 1 000 Sk pri 10 % úrokovej miere. Všetky pôžičky má vrátiť 31.12. Vypočítajme akú úrokovú mieru mal dohodnúť pre všetky tri pôžičky, aby koncom roka zaplatil rovnako veľký úrok.

Riešenie: Určíme zodpovedajúce počty dní splatností jednotlivých pôžičiek od 20.2. do 31.12 je 365 – 51 = 314 dní, od 10.5. do 31.12 je 365 – 130 = 235 dní, od 15.9. do 31.12 je 365 – 258 = 107 dní. Potom 3

r = *

∑ PV ⋅ r ⋅ n i

i

j =1

3

∑ PV ⋅ n i

i

=

500 ⋅ 20 ⋅ 314 + 1000 ⋅ 15 ⋅ 235 + 1000 ⋅ 10 ⋅ 07 = 15,50 % 500 ⋅ 314 + 1000 ⋅ 235 + 1000 ⋅ 107

i

j =1

1.2.4 Súčasná hodnota

Ak zo vzťahu FV = PV (1 + i ⋅ t ) vyjadríme veličinu PV dostávame FV PV = . 1+ i⋅t Veličina PV vyjadruje súčasnú hodnotu kapitálu FV pri danej úrokovej sadzbe i za časové obdobie t . Príklad. Banka poskytuje na vkladoch 4,5 % ročný úrok. Karol potrebuje o 9 mesiacov vrátiť dlžobu 8 500 Sk. Koľko musí teraz vložiť do banky, aby o 9 mesiacov mal túto sumu k dispozícii? 9 Riešenie: i = 0,045, t = , FV = 8 500 Sk. 12 Hľadáme súčasnú hodnotu vkladu pri jednoduchom úrokovaní

FINANČNÁ MATEMATIKA 10 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

PV =

FV = 1 + i ⋅t

1.2.5 Diskont

8500 9 1 + 0,045 ⋅ 12

= 8 222,50 Sk.

Výpočet súčasnej hodnoty PV závislej od budúcej hodnoty FV sa nazýva diskontovanie. Metóda sa nazýva matematické diskontovanie (tiež odúročenie). V bankovej praxi je zaužívané, že úroky, ktoré si banka ponecháva vo forme diskontu sa počítajú nie na množstvo peňazí v súčasnosti PV , ale z množstva peňazí v budúcnosti. Nech d je úroková sadzba použitá pri výpočte diskontu. Obchodný diskont DO je rovný úroku z množstva kapitálu FV (splatnej hodnoty) podľa diskontnej sadzby d za obdobie t DO = FV ⋅ d ⋅ t

Pretože DO = FV − PV dostávame FV =

PV 1 − d ⋅t

Bankový diskont sa používa pri krátkodobých pôžičkách s dobou splatnosti, ktorá nepresahuje dĺžku úrokovacej periódy. Príklad. Vlastníme zmenku na 30 000 Sk splatnú 30.6. Peniaze však potrebujeme už 9.4. Predáme svoju zmenku v banke, ktorá si za túto službu zrazí obchodný diskont pri ročnej diskontnej sadzbe d = 0,09. Akú sumu nám banka nakoniec vyplatí?

Riešenie: FV = 30 000 Sk, d = 0,09 počet dní je (30 - 9) + 30 + 30 = 81 dní. Diskont určíme 81 = 607,50 Sk, teda banka nám vyplatí zo vzťahu Do = FV ⋅ d ⋅ t = 30 000 ⋅ 0,09 ⋅ 360 30 000 – 607,50 = 29 392,50 Sk. Príklad. Rozhodli sme sa predať banke zmenku nominálnej hodnoty 25 000 Sk, 60 dní pred dobou splatnosti. Banka si zrazí diskont a vyplatí nám 24 583,30 Sk. Akú diskontnú sadzbu si banka uplatňuje ? Riešenie: FV = 25 000 Sk, PV = 24 583,30 Sk, t = 60/360 dní . PV Zo vzťahu FV = si vyjadríme d 1 − d ⋅t 1  PV  360  24 583,30   ≈ 0,1 . 1 − d = 1 − = t  FV  60  25 000 

Úroková sadzba i zaručujúca veriteľovi pri jednoduchom úrokovaní rovnakú mieru d i zisku ako pri bankovom diskonte s diskontnou sadzbou d je i = alebo d = . 1 − d ⋅t 1+ i⋅t

FINANČNÁ MATEMATIKA 11 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad. Aká je mesačná úroková sadzba i zaručujúca veriteľovi pri jednoduchom úrokovaní rovnakú mieru zisku za obdobie 8 mesiacov ako pri bankovom diskonte s mesačnou diskontnou sadzbou d = 0,06 ?

Riešenie: Úrokovú sadzbu i určíme zo vzťahu medzi úrokovou a diskontnou sadzbou d 0,06 = 0,1154 i= = (11,54 %). 1 − 0,06 ⋅ 8 1 − d ⋅t

1.3 Zložené úrokovanie Ak je doba, za ktorú počítame úrok, dlhšia ako úrokovacia perióda, tak obyčajne počítame úroky pomocou zloženého úrokovania. Pri tomto úrokovaní sú úroky pravidelne pripisované v stanovených časových intervaloch. Vznikajú tak úroky z úrokov. Množstvo peňazí po prvom roku FV1 je zväčšené o úrok PVi a FV1 = PV + PV ⋅ i = PV (1 + i ) Po druhom roku je 2 FV2 = FV1 (1 + i ) = PV (1 + i ) Podobne pre n období dostaneme n FVn = PV (1 + i ) Príklad. Podnikateľ má teraz možnosť kúpiť nehnuteľnosť v hodnote 800 000 Sk, ktorej hodnota o 2 roky bude 1 050 000 Sk. Čo bude pre neho výhodnejšie, kúpiť nehnuteľnosť teraz alebo vložiť peniaze do banky s ročnou úrokovou mierou 8 % a nehnuteľnosť kúpiť o dva roky?

Riešenie: PV = 800 000 Sk, t=2 roky, i = 0,08. Potom t 2 FV = PV (1 + i ) = 800 000(1 + 0,08) =933 120 Sk, teda pre podnikateľa je výhodnejšie kúpiť nehnuteľnosť teraz. Príklad. Vklad 60 000 Sk vzrástol pri zloženom úrokovaní na dvojnásobok Sk za 12 rokov. Akou ročnou úrokovou sadzbou bol úročený?

Riešenie: PV = 60 000 Sk, FV = 120 000 Sk, t = 12 rokov. Úrokovú sadzbu i si vyjadríme zo vzťahu pre výpočet budúcej hodnoty pri zloženom úrokovaní 1

1

 120 000 12  FV  t  − 1 ≈ 0,06 . i=   − 1 =   PV   60 000 

1.3.1 Vzťah medzi jednoduchým a zloženým úrokovaním

Je zrejmé, že pri úrokovanom období kratšom ako úroková perióda je pri rovnakej úrokovej sadzbe pre majiteľa vkladu výhodnejšie jednoduché úrokovanie. Pri úrokovacom období dlhšom ako úroková perióda je to naopak. Zaoberajme sa úlohou stanoviť vzťah medzi úrokovými sadzbami pre jednoduché FV úrokovanie i1 a zložené úrokovanie i2 tak, aby po rovnakom úrokovom období n dali jednoduché rovnakú budúcu hodnotu FV . zložené Je zrejmé, že platí PV

0

1

2

t

FINANČNÁ MATEMATIKA 12 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

PV (1 + i1 ⋅ n ) = PV (1 + i 2 ) Odtiaľ dostávame i1

n

n ( 1 + i2 ) − 1 =

n

1.3.2 Diskontovanie pri zloženom úrokovaní

Podobne ako pri jednoduchom úrokovaní dostávame pre diskont D = FVn − PV Pre n = 1 a FVn = FV1 = 1 je d = 1− kde v =

1 = 1− v 1+ i

1 nazývame diskontný faktor. 1+ i

1.3.3 Inflácia

Vzorce pre zložené úrokovanie môžeme použiť na výpočty týkajúce sa inflácie. Najrozšírenejším spôsobom je použitie tzv. cenových indexov, ktoré sú založené na maloobchodnej cene tzv. spotrebného koša vybraných položiek tovarov a služieb. Pri stanovení ceny celého koša sa berú ceny jednotlivých položiek s určitou váhou. Cena určitých výrobkov môže narásť nielen vplyvom inflácie, ale tiež technickou inováciou. V USA sa používa tzv. CPI (Consumer Price Index), vo Veľkej Británii je to RPI (Retail Price Index), ktoré sú mesačne doplňované. Cenový index sa používa na výpočet miery inflácie rinfl (rate of inflation) za dané obdobie ako percentuálna zmena cenového indexu za dané obdobie, t.j. CPI t2 − CPI t1 100 % CPI t1 Príklad. Aká bola priemerná ročná miera inflácie v krajine X v období od konca roku 2000 do konca roku 2005, ak CPI2000 = 112,6 a CPI2005 = 208,3?

Riešenie:

CPIt+n = CPIt (1+ rinfl )n 208,3 =112,6(1+ rinfl )5, teda rinfl = 0,1309.

Veľmi často sa počíta priemerná ročná miera inflácie za dané obdobie. Vzorec n zloženého úrokovania FV = PV (1 + i ) aplikujeme na príslušné hodnoty cenového indexu tak, že FV ≈ CPI t + n , PV ≈ CPI t . Teda

CPI t + n = CPI t (1 + rinfl )

n

Inflácia ovplyvňuje mieru zisku. Preto rozlišujeme: nominálnu mieru zisku rnom (nominal rate of return), ktorá nerešpektuje infláciu, reálnu mieru zisku rreal (real rate of return), pričom 1+ rnom =(1+ rreal )(1+ rinfl )

FINANČNÁ MATEMATIKA 13 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad. Ak je nominálna miera zisku 6 % a miera inflácie je 3,3 %. Aká je reálna miera zisku?

Riešenie: rnom = 0,06, rinfl = 0,033 1 + rnom = (1+ rreal )(1+ rinfl ) 1+ 0,06 =(1+ rreal )(1+ 0,033) , teda rreal = 0,0261 ( 2,61 % ). 1.3.4 Zmena úrokového obdobia. Nominálne a periodické úrokové sadzby

Nech j je ročná (tzv. nominálna) úroková sadzba, m je počet úrokových periód za jeden rok (počet konverzií) a n je počet rokov. Potom úrokovú sadzbu i za jednu periódu určíme vzťahom j i= m Budúca hodnota FV pri zloženom úrokovaní je FV = PV (1 + i )

n

z čoho dostávame j  FV = PV 1 +   m

m⋅ n

,

odkiaľ ln n=

FV PV

m ⋅ ln(1 +

j ) m m

j  Skutočná ročná (tzv. efektívna) úroková sadzba i = 1 +  − 1 prevyšuje j.  m *

Príklad. Do banky, ktorá ponúka nominálnu ročnú úrokovú sadzbu j = 0,045 pri polročnom úročení, sme vložili 10 000 Sk. Aká bude hodnota vkladu po dvoch rokoch?

Riešenie: PV = 10 000 Sk, j = 0,045, m= 2, n =2 roky m⋅ N 2⋅2 j   0,045  FV = PV 1 +  = 10 000. 1 +  = 10 930,80 Sk. 2   m  Príklad. Po akom období, pri rovnakom zadaní ako v predchádzajúcom príklade, vzrastie hodnota vkladu na 20 000 Sk ?

Riešenie: 20000 FV ln 10000 ≈ 31 polrokov, čiže n=15,5 roka. PV = m⋅n = j  0,045    ln1 +  ln1 +  2    m ln

FINANČNÁ MATEMATIKA 14 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1.4 Zmiešané úrokovanie Nech sa dá úrokové obdobie vyjadriť v tvare n + t , kde n je celé číslo udávajúce počet rokov, i je ročná úroková sadzba a t je číslo menšie ako jedna, udávajúce časť roka. Potom niekedy počítame budúcu hodnotu takto n FV = PV (1 + i ) (1 + i ⋅ t ) Tento princíp nazývame zmiešaným úrokovaním. Príklad. Vypočítajme ako nám narastie vklad 250 000 Sk po uplynutí 6 rokov a 160 dní pri zmiešanom úrokovaní a ročnej úrokovej miere 5 %.

Riešenie: PV = 250 000 Sk, n = 6 rokov, t =

160 roka, i = 0,05 360

FV = PV (1 + i ) (1 + i ⋅ t ) = 250 000(1+ 0,05)6(1+ 0,05 n

160 ) = 342 468,90 Sk. 360

Príklad. Koľko musíme dnes vložiť do banky, ktorá poskytuje úrokovú sadzbu 0,035 pri zmiešanom úrokovaní, keď o 2 roky a 52 dní potrebujeme mať usporených 25 000 Sk?

Riešenie: FV = 25 000 Sk, n = 2 roky, t = 52/360 dní, i = 0,035

PV =

FV = (1 + i ) n (1 + i ⋅ t )

25000 = 23 220,40 Sk. 52  2 (1 + 0,035) 1 + 0,035 ⋅  360  

1.5 Spojité úrokovanie Súčasná výpočtová technika umožňuje výpočet úrokov pre dĺžku úrokovej periódy ∆t → 0 , teda pre počet konverzií m → ∞ . Takýto proces úročenia nazývame spojité úrokovanie. Ak t je dĺžka úrokového obdobia v rokoch, potom pre budúcu hodnotu FVt dostávame mt j  1 FVt = lim PV ⋅ +   m →∞  m Pretože m j  j lim 1 +  = e , m →∞  m dostávame t FVt = PV ⋅ eδ ⋅t = PV ⋅ e j⋅t = PV (1 + i ) , kde δ je intenzita úrokovania. Ak je intenzita úrokovania δ konštantná, možno ju reprezentovať ako nominálnu úrokovú sadzbu j , pričom i = e j − 1 je efektívna úroková sadzba. Za predpokladu, že intenzita úrokovania sa v čase mení, teda δ (t ) je funkciou času, budúcu hodnotu v závislosti na súčasnej hodnote môžeme vyjadriť takto

FINANČNÁ MATEMATIKA 15 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– t

FV 1 ln = δ (t ) dt PV t∫0 Príklad. Banka ponúka 3 % nominálnu úrokovú mieru pri spojitom úrokovaní. Akú hodnotu bude mať náš vklad 18 000 Sk po roku a 7 mesiacoch?

Riešenie: PV = 18 000 Sk, j = 0,03, t = FV = PV ⋅ e jt = 18 000 ⋅ e

19 0 , 03 12

19 mesiacov 12

= 18 875,60 Sk.

Príklad. Za aký čas sa môžeme stať milionárom, za predpokladu, že náš vklad 100 000 Sk bude dlhodobo spojito úrokovaný nominálnou úrokovou mierou 5 %?

Riešenie: PV = 100 000 Sk, j = 0,05. Zo vzťahu z predchádzajúceho príkladu vyjadríme t 1 000 000 1 FV 1 t = ⋅ ln = ⋅ ln ≈ 46 rokov. 100 000 j PV 0,05 Príklad. Intenzita úrokovania je δ (t ) = 1,02 ⋅ t . Aká bude budúca hodnota vkladu 20 000 Sk po 14 mesiacoch?

Riešenie: PV=20 000 Sk, δ (t ) = 1,02 ⋅ t , t0 = 0 , t1 = t1

14 12

FV = PV ⋅ et0

= 20 000 ⋅ e 0

∫ δ (t )⋅dt

∫1, 02 t⋅dt

= 20 000 ⋅ e

14  1, 02 t 2  12    2    0

14 roka 12

= 20 040,80 Sk.

Príklad. Pre 8 % nominálnu úrokovú mieru nájdime odpovedajúcu efektívnu úrokovú mieru pri polročnom, mesačnom, dennom a spojitom úrokovaní.

Riešenie: j = 0,08. m

•

j  Pre zložené úrokovanie i = 1 +  − 1 .  m *

2

Polročné úrokovanie

 0,08  i = 1 +  − 1 = 0,0816 . 2  

Mesačné úrokovanie

 0,08  i = 1 +  − 1 = 0,08299 . 12  

Denné úrokovanie

 0,08  i* =  1 +  360  

*

12

•

*

360

− 1 = 0,08328 .

Pre spojité úrokovanie i* = e j − 1 a teda i* = e 0,08 − 1 = 0,08329 .

FINANČNÁ MATEMATIKA 16 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Vzťah hodnôt nejakej istiny v dvoch časových okamžikoch t1 a t2 pri spojitom úrokovaní je t −t Vt2 = Vt1 (1 + i ) 2 1 , špeciálne

Vt = V0 (1 + i ) , t

kde t , t1 a t2 sú ľubovoľné časové okamžiky (aj záporné).

Zhrnutie Úrok Diskont Úroková sadzba Diskontná sadzba Úroková perióda Jednoduché úrokovanie Zložené úrokovanie Zmiešané úrokovanie

Poplatok, ktorý platí dlžník veriteľovi za používanie jeho peňazí. Úrok zaplatený na začiatku úrokového obdobia. Pomerná časť úroku zo zapožičanej istiny. Pomerná časť diskontu z vrátenej čiastky. Časové obdobie, pre ktoré sa stanovuje úroková sadzba. FV = PV (1 + i ⋅ t ) j  FV = PV (1 + i ) alebo FV = PV 1 +   m n FV = PV (1 + i ) (1 + i ⋅ t )

m⋅n

n

t1

Spojité úrokovanie

∫ δ (t )⋅dt t FV = PV (1 + i ) = PV ⋅ e j ⋅t alebo FV = PV ⋅ et0

Cvičenia 1. V banke môžete uložiť úspory pri 9 % - nej ročnej úrokovej miere. Aký veľký bude úrok po uplynutí 8 mesiacov pri vklade 15 000 Sk? ♠(u = 900 Sk) 2. Po 11 mesiacoch vyberáte 15 283,30 Sk aj s úrokom. Aký bol váš pôvodný vklad pri úrokovej sadzbe 0,1? ♠ (PV = 14 000 Sk) 3. Pri akej ročnej úrokovej miere bude o 5 mesiacov úrok 4 000 Sk z vkladu 120 000 Sk? ♠ (i = 8 %) 4. Do banky si uložíte 200 000 Sk. Po 200 dňoch si vyberáte vklad aj s úrokom. Koľko vám banka vyplatí pri 14 % ročnej úrokovej miere? ♠ (FV = 215 555,60 Sk) 5. Kapitál v hodnote 15 000 Sk, vložený 14. 3. 2000 pri 19 % ročnej úrokovej miere, priniesol úrok 2 375 Sk. Zistite dátum vyberania vkladu. ♠ (t = 300 dní, 14.1.2001) 6. Budúca hodnota vkladu pri 10 % ročnej úrokovej miere bude za istý čas 18 000 Sk. Ak by sme tento vklad uložili pri 12 % ročnej úrokovej miere, priniesol by za ten istý čas úrok 510 Sk. Vypočítajte veľkosť vkladu a na koľko dní bol uložený. ♠ (PV = 17 575, t = 87 dní) 7. Aká je úroková a diskontná ročná sadzba pokladničnej poukážky v cene 1 950 Sk s dobou splatnosti 100 dní a nominálnou hodnotou 2 000 Sk? ♠ (i = 0,0923, d = 0,0899) 8. 100-dňová zmenka má ročnú diskontnú mieru 4,94 %. Aká je odpovedajúca ročná úroková sadzba pri jednoduchom úrokovaní? ♠ (i = 0,05) 9. Koľko vyplatí banka klientovi za eskont zmenky nominálnej hodnoty 10 000 Sk, 35 dní pred dobou splatnosti a pri 9 % ročnej diskontnej miere? ♠ (PV = 9 912,50 Sk)

FINANČNÁ MATEMATIKA 17 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

10. Zmenka s nominálnou hodnotou 5 000 Sk je bankou niekoľko dní pred dobou splatnosti vyplatená klientovi v hodnote 4 983,30 Sk pri ročnej diskontnej sadzbe 0,08. O koľko dní sa jedná? ♠ (t = 15 dní) 11. Aká je nominálna hodnota zmenky, ktorú eskontujete banke 72 dní pred dobou splatnosti, keď si banka uplatňuje 7 % ročnú diskontnú mieru a vám vyplatí 9 860 Sk? ♠ (FV = 10 000 Sk) 12. O 15 mesiacov budete kupovať auto v cene 365 000 Sk. Koľko musíte vložiť teraz do banky pri 16,5 % ročnej úrokovej miere, aby ste v danom čase mali pripravenú potrebnú hotovosť? ♠ (PV = 301 568 Sk) 13. Karol pri návšteve USA vložil do tamojšej banky 1 dolár pri 15 % ročnej úrokovej miere. O koľko rokov si tam môže prísť jeho potomok vybrať milión dolárov? ♠ (t = 98,9 rokov) 14. Do jednej banky ste vložili 20 000 Sk pri ročnej úrokovej sadzbe i a do druhej banky ste vložili 50 000 Sk pri ročnej úrokovej sadzbe i´. Po 4 rokoch máte na oboch kontách spolu 97 306,50 Sk. Ak by ste kapitály na začiatku vymenili, mali by ste spolu 100 414,80 Sk. Vypočítajte i a i´. ♠ (i = 0,1, i´ = 0,08) 15. Máte dva kapitály. Jeden z nich v hodnote 17 000 Sk je uložený pri 20 %, druhý v hodnote 18 315 Sk je uložený pri 15 % ročnej úrokovej miere. Vypočítajte o koľko rokov budú mať rovnaké budúce hodnoty. ♠ (t = 1,75 roka) 16. Podnikateľ si pri 12 % ročnej úrokovej miere požičal kapitál, ktorý v dobe splatnosti o 10 rokov bude mať hodnotu 700 000 Sk. Vďaka úspešným obchodom vráti pôžičku už po 9 rokoch. Koľko zaplatí? ♠ (PV = 625 000 Sk) 17. Do banky si dnes uložíte 18 000 Sk pri štvrťročnom úrokovaní a 16 % nominálnej úrokovej miere. Po troch rokoch si z konta vyberiete 6 000 Sk. Koľko budete mať na konte po uplynutí ďalších piatich rokov? ♠ (FV = 49 998 Sk) 18. Uvažujete o nákupe vkladového listu o nominálnej hodnote 20 000 Sk, ktorý má mať o 5 rokov hodnotu 26 000 Sk za predpokladu štvrťročného úrokovania. Akej nominálnej úrokovej miere odpovedá výnos z tohto vkladového listu? ♠ (j = 5,282 %) 19. V banke si otvoríte účet s vkladom 20 000 Sk. Banka poskytuje 11 % nominálnu úrokovú mieru pri polročnom úrokovaní. Na konci prvého a druhého roka zvýšite vždy vklad o ďalších 5 000 Sk. Akú sumu budete mať po uplynutí 7 rokov? ♠ (FV = 60 368,60 Sk) 20. K 1.3. 2001 chcete mať hotovosť 500 000 Sk. Preto 1.3.1996 a 1.3.1998 vložíte do banky 100 000 Sk pri polročnom úrokovaní a 10 % nominálnej úrokovej miere. Koľko musíte vložiť 1.3.2000, aby ste potrebnú hotovosť mali v požadovanom termíne k dispozícii? ♠(PV = 184 218,60 Sk) 21. Na koľko narastie vklad 15 000 Sk uložený 3 roky pri 10,5 % nominálnej úrokovej miere, keď úroky sa pripisujú polročne, štvrťročne, resp. mesačne? ♠ (20 390,30 Sk 20 470,50 Sk 20 525,70 Sk) 22. Rozhodli ste sa svojmu práve narodenému dieťaťu založiť účet spojený s 13 % nominálnou úrokovou mierou a dnes uložiť na účet takú hotovosť, aby vaše dieťa v deň svojich 18. narodenín mohlo z účtu vybrať 500 000 Sk. Koľko musíte vložiť dnes na účet pri mesačnom úrokovaní? ♠ ( PV = 48 773,80 Sk) 23. Do banky s 5 % ročnou úrokovou mierou bolo na začiatku roka uložených 100 000 Sk. Akú hodnotu bude mať vklad po 30 mesiacoch, keď je pre medziobdobie kratšie ako 1 rok používané jednoduché úrokovanie? ♠ (FV = 113 006,30 Sk) 24. Banka poskytuje 8,5 % ročný úrok pri zmiešanom úrokovaní. Koľko musíme vložiť dnes, ak potrebujeme 12 000 Sk o 2 roky a 4 mesiace? ♠ (PV = 9 912,60 Sk)

FINANČNÁ MATEMATIKA 18 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

25. Otec vkladal do banky pre deti pri 6,5 % ročnej nominálnej úrokovej miere a spojitom úrokovaní nasledujúce vklady : 1. rok 20 000 Sk, 2.rok 14 000 Sk a 3. rok 25 000 Sk. Koľko musí vložiť v 5. roku, aby v 7. rok mohol vybrať 100 000 Sk? ♠ (PV = 16 386 Sk) 26. Vklad 100 000 Sk vzrástol pri spojitom úrokovaní za 4 roky a 3 mesiace na 152 960 Sk. Aká je nominálna úroková sadzba? ♠ (j = 0,1) 27. Rozdiel 2 vkladov je 2 000 Sk. Väčší z nich, uložení pri 15 % ročnej nominálnej úrokovej miere prinesie za 2 roky 2 krát väčší úrok ako menší z nich, uložený pri 12 % ročnej nominálnej úrokovej miere a spojitom úrokovaní za 1,5 roka. Vypočítajte veľkosť vkladov. ♠ (PV1 = 15 697 Sk, PV2 = 17 697 Sk) 28. Po akom čase sa vám na účte zdvojnásobí počiatočný vklad pri 12,5 % nominálnej úrokovej miere a spojitom úrokovaní? ♠ (t = 5,55 rokov) 29. Karol si 20.2. zobral od Ivana pôžičku 600 Sk pri 20 % ročnej úrokovej miere, 10.5. od Jána 1 100 Sk pri 14 % ročnej úrokovej miere a od Milana 15.9. pôžičku 900 Sk pri 11 % ročnej úrokovej miere. Všetky 3 pôžičky má vrátiť 30.12. Určte akú ročnú úrokovú mieru mal dohodnúť pre všetky 3 pôžičky, aby zaplatil rovnako veľký úrok. ♠ ( r * = 15,55 %) 30. Spoločnosť si 16.5. požičala 60 000 Sk pri 12 % ročnej úrokovej miere, 1.7. si požičala 40 000 Sk pri 14 % ročnej úrokovej miere a 1.8. si požičala 50 000 Sk. Všetky pôžičky splatila 30.12. Aká veľká bola ročná úroková miera pri tretej pôžičke, ak priemerná ročná úroková miera pre všetky tri pôžičky bola 12,248 %? ♠ ( r3 = 11 %)

31. Intenzita úrokovania je δ (t ) = 0,05.0,96t . Aká je súčasná hodnota sumy 20 000 Sk splatnej o 5 rokov? ♠ (PV= 15 953 Sk) 32. Intenzita úrokovania pre určité bankové vklady je 0,15 na začiatku roka, v polovici roka 0,10 a na konci roka 0,08. Nájdite budúcu hodnotu vkladu 5 000 Sk na konci roka, ak predpokladáme, že intenzita úrokovania bola ♠ (FV=5 553,50 Sk) a) kvadratickou funkciou času v priebehu roka, ♠ (FV=5 567,50 Sk) b) lineárnou funkciou času v priebehu každého polroka.

FINANČNÁ MATEMATIKA 19 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2

RENTOVÝ A UMOROVACÍ POČET

Cieľ Oboznámenie sa s niektorými základnými pojmami, ktoré sa najčastejšie používajú pri výpočte renty a pri vypracovaní plánov splácania pôžičiek.

Okruh otázok

• Čo rozumiete pod pojmom finančná renta? • Ako vypočítate budúcu hodnotu pri sporení so začiatočným vkladom PV a pravidelnými ročnými vkladmi R po n časových periódach? Ako to bude pri spojitom úrokovaní? • Ako vypočítate súčasnú a budúcu hodnotu polehotnej renty? • Aká je súčasná hodnota pre večnú rentu? • Uveďte, ako zostavíte plány jednorázového, rovnomerného a anuitného splácania pôžičiek?

2.1 Pojem finančnej renty Finančnou rentou (dôchodkom) nazývame postupnosť platieb (anuít) v rovnako veľkých časových intervaloch. Renty môžeme klasifikovať podľa: • podmienok platenia: nepodmienené (jednotlivé platby nepodliehajú žiadnej podmienke) a podmienené (výplata renty je viazaná na splnenie určitých podmienok), • počtu platieb: konečné alebo nekonečné, • veľkosti jednotlivých platieb: konštantné a premenlivé, • dĺžky periódy medzi jednotlivými platbami: ročná, polročná a pod., • termínu jednotlivých platieb: polehotná (platby na konci každej periódy - ordinárna anuita) alebo predlehotná (platby na začiatku každej periódy - duálna anuita), • termínu pripočítavania úrokov: s dekurzívnymi úrokmi (úroky sa pripočítavajú na konci časovej periódy) alebo s anticipatívnymi úrokmi (úroky sa pripočítavajú na začiatku časovej periódy).

2.2 Polehotná renta. Budúca hodnota. Nech všetky platby na konci prvého, druhého, K , n -tého úrokového obdobia sú vo výške R . Nech i je používaná úroková sadzba pre jedno úrokovacie obdobie. Prvá platba renty prinesie po skončení trvania renty (po n platbách) výnos R (1 + i ) n −1 , druhá výnos R(1 + i ) n −2 K a posledná, n -tá platba, prinesie výnos R(1 + i ) 0 . Môžeme to znázorniť časovým diagramom.

FINANČNÁ MATEMATIKA 20 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– R

0

R

1

R

2

n-2

R

R

n-1

n

R(1+i)0 R(1+i)1 R(1+i)2 R(1+i)n-2 R(1+i)n-1

Pre budúcu hodnotu renty S n po n časových periódach, teda po n splátkach, dostávame n

S n = R + R (1 + i ) + ... + R (1 + i ) n −1 = R ∑ (1 + i ) k −1 k =1

Odtiaľ dostávame (súčet geometrického radu) 1 − (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 = R Sn = R (2.1) 1 − (1 + i ) i Počet periód n renty, ktorej periodická splátka je R a budúca hodnota S n určíme takto:  i ⋅ Sn  ln + 1 R  n=  ln(1 + i ) Zo vzťahu pre výpočet S n sa teda budúca hodnota polehotnej renty rovná anuite násobenej podielom úrokovej sadzby za celé obdobie a úrokovej sadzby za jednu periódu. Tento podiel (1 + i) n − 1 sn  i = i nazývame polehotný sporiteľ. Udáva koľkokrát prevýši budúca hodnota renty s ordinárnou anuitou hodnotu jednej platby pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu.

Pri sporení so začiatočným vkladom PV a s pravidelnými vkladmi R dostávame pre budúcu hodnotu S n vzťah S n = PV (1 + i ) n + R

(1 + i ) n − 1 i

Príklad. Do banky si koncom každého roka vložíme 12 000 Sk pri 6 % ročnej úrokovej miere. Aká suma sa nám nahromadí po 10 rokoch?

Riešenie: R = 12 000 Sk, i = 0,06, n = 10. Pre budúcu hodnotu renty platí n 10 ( ( 1 + i) − 1 1 + 0,06) − 1 = = = 158 169,50 Sk . Sn R 12 000 i 0,06 Uvažujme p -termínovú rentu ( p - splátok ročne) počas n rokov s nominálnou úrokovou sadzbou j pri m konverziách za rok. Podobne ako sme dostali vzťah (2.1) dostávame pre p ≥ 1

FINANČNÁ MATEMATIKA 21 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– mn

j  1 +  − 1 m Sn = R  (2.2) m p j  1 +  − 1  m Príklad. Bude nám stačiť suma, ktorú usporíme počas 6 rokov pri pravidelných mesačných vkladoch 8 000 Sk pri 4 % nominálnej úrokovej miere a štvrťročnom úročení na kúpu pozemku, ktorý by mal o 6 rokov stáť 600 000 Sk? Riešenie: R = 8 000 Sk, m = 4, p = 12, n = 6, j = 0,04. Počítame budúcu hodnotu vkladov R počas d rokov pri m konverziách a p splátkach ročne a nominálnej úrokovej miere j 4 .6 mn j   0,04  1 +  −1 1 +  − 1 m 4    = 4 000 = 649 516 Sk . Usporená suma bude stačiť. S =R n

4

m

j p  1 +  − 1  m

 0,04 12 1 +  −1 4  

2.3 Polehotná renta. Súčasná hodnota Označme An súčasnú hodnotu renty. R

0

1

R

2

R

R

n-2

R

n-1

n

R

(1+i)1 R

(1+i)2 R (1+i)n − 2 R (1+i)n −1 R

(1+i)n Táto hodnota je rovná súčtu diskontovaných hodnôt všetkých platieb renty k nejakému časovému bodu v minulosti, obyčajne k začiatku prvého úrokovacieho obdobia −n 1 − (1 + i ) R R R + + ... + =R = R ⋅ an i , An = 1 + i (1 + i ) 2 (1 + i ) n i kde 1 − (1 + i ) − n an i = i

FINANČNÁ MATEMATIKA 22 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

je polehotný zásobiteľ. Udáva súčasnú hodnotu renty so splátkou R = 1 peňažných jednotiek pri ročnej úrokovej sadzbe i pre jednu periódu renty. Z vyjadrenia súčasnej hodnoty An a budúcej hodnoty S n (ak zoberieme za bod porovnania koniec renty) dostávame S n = An (1 + i ) n Uvažujme p -termínovú rentu ( p -splátok ročne) počas n rokov s nominálnou úrokovou sadzbou j pri m konverziách za rok dostávame pre p ≥ 1 − m ⋅n

j  1 − 1 +  m An = R  m j p  1 +  − 1  m

Príklad. Vlastníme malý obchod s potravinami, v ktorom chceme zamestnať predavačku s mesačným platom 8 500 Sk v nasledujúcich troch rokoch. K tomu, aby sme zabezpečili stále platby (aj v prípade nulového zisku z obchodu), si v banke založíme účet pri 10 % ročnej úrokovej miere a mesačnom úrokovaní. Koľko musíme dnes vložiť do banky?

Riešenie: R = 8 500 Sk, n = 3, m= 12, p= 12, j = 0,1. Počítame vlastne súčasnú hodnotu renty − m ⋅n −3⋅12 j   0,1  1 − 1 +  1 − 1 +  m 12    = 8 500 = 263 436 Sk . A =R n

m

j p  1 +  − 1  m

12

 0,1 12 1 +  −1  12 

Príklad. Banke máme splatiť pôžičku šiestimi splátkami vo výške 32 000 Sk postupne na konci každého z nasledujúcich šiestich rokov. Banka však súhlasí s tým, aby sme splatili pôžičku jednorazovo buď na začiatku prvého roku alebo na konci šiesteho roku, podľa vlastného výberu. O aké jednorazové čiastky sa jedná, keď si banka účtuje úrokovú sadzbu 0,12?

Riešenie: R = 32 000 Sk, i = 0,12. 1 − (1 + i ) Súčasná hodnota pôžičky je An = R i a budúca hodnota pôžičky je S n

−n

1 − (1 + 0,12) = 32 000 0,12

−6

= 131 565 Sk

n 6 ( ( 1 + i) − 1 1 + 0,12) − 1 =R = 32 000 = 259 686 Sk .

i

0,12

2.4 Niektoré špeciálne typy rent Podobnými matematickými úvahami ako v predchádzajúcich prípadoch sa dajú odvodiť vzťahy pre ďalšie typy rent. Uvedieme stručný prehľad základných vzťahov.

FINANČNÁ MATEMATIKA 23 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Budúca hodnota predlehotnej renty S n' ku koncu n-tej periódy je S n' = (1 + i ) S n Odložená renta. Rentu nazývame odloženou, ak sa prvá rentová splátka nezačne platiť v momente začiatku renty, ale až po určitom období t (po čakacej dobe).

Nech t S n je budúca hodnota odloženej polehotnej renty (teda ku koncovému okamžiku t+n periód). Nech t An je súčasná hodnota tejto renty. Potom S n = S n a t An = An (1 + i ) −t Prerušená renta. Ak je medzi platbami čakacia doba, ide o skladanie odložených rent. t

Príklad. Náš dlh 50 000 Sk máme Mirovi vrátiť dvoma rovnakými splátkami po roku a po troch rokoch pri úrokovej miere 9 %. Aké veľké budú tieto splátky?

Riešenie: A = 50 000 Sk, i = 0,09. Súčasná hodnota dlhu je súčet splátok odúročených o 1 a 3 roky A=

R

+

R

(1 + i )1 (1 + i )3

z toho R = A

(1 + i )3 = 50 000 (1 + 0,09)3 = 29 592,50 Sk . (1 + i )2 + 1 (1 + 0,09)2 + 1

Večná renta je renta, ktorá nie je postupnosťou platieb ukončená. Jej súčasná hodnota je R R R A∞ = + + ... = 2 1 + i (1 + i ) i

Renta pri spojitom úrokovaní. Uvažujme polehotnú rentu, pri ktorej sa narastanie úrokov uskutočňuje spojito (počet konverzií m → ∞ ). Potom na základe (2.2) e j ⋅n − 1 S = lim S R , = j n m →∞ p e −1 kde R je periodická splátka renty, p je počet splátok renty za rok, j je nominálna úroková sadzba spojitého úrokovania, d je počet rokov splácania renty a n = d ⋅ p je počet splátok renty. Príklad. O 4 roky budeme potrebovať sumu 50 000 Sk. Banka nám poskytuje 3,6 % nominálnu úrokovú mieru pri spojitom úrokovaní. Rozhodneme sa každý mesiac vložiť určitú čiastku. Aká bude jej veľkosť?

Riešenie: Sn = 50 000 Sk, p = 12, d = 4, j = 0,036. Veľkosť jednotlivých vkladov R vyjadríme zo vzťahu pre budúcu hodnotu pri spojitom úrokovaní j 0 , 036  p   e 12 − 1  e − 1   R = S n  j⋅d  = 50 000  0 , 036⋅4  = 970 Sk . (e − 1) (e − 1)

FINANČNÁ MATEMATIKA 24 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad. Aká veľká by mala byť ročná úroková sadzba pre nekonečné vyplácanie sumy vo výške 20 000 Sk na konci každého roka, ak sme teraz do banky vložili 200 000 Sk?

Riešenie: R = 20 000 Sk, A∞ = 200 000 Sk. Úrokovú sadzbu si vyjadríme zo vzťahu pre výpočet súčasnej hodnoty nekonečnej renty 20 000 R i= = = 0,1 . A∞ 200 000

2.5 Klasifikácia pôžičiek V umorovacom počte študujeme metódy splácania dlhodobých pôžičiek, úverov, hypoték a pod. Umorovaním nazývame proces vyskytujúci sa pri splácaní úrokovanej pôžičky, t.j. takej pôžičky, u ktorej sa predpokladá, že dlžník vráti veriteľovi podľa dohodnutých podmienok okrem požičanej sumy aj úroky z tejto sumy.

Ekonomická analýza dlhodobých pôžičiek spočíva v nasledujúcich krokoch: 1. Vypracovanie plánov splácania pôžičiek. Umorovací plán pôžičky udáva, koľko z pravidelnej splátky pre každú periódu pripadá na zúročenie zvyšku dlhu, koľko na umorenie dlhu a koľko je zvyšok dlhu po zaplatení umorovacej splátky. 2. Zhodnotenie týchto plánov pre dlžníka. 3. Určenie výnosnosti (efektívnosti) pôžičky pre veriteľa. Klasifikácia pôžičiek podľa spôsobu splácania (umorovania pôžičky):

1. Pôžičky bez záväzného splácania (tzv. úrokové dlžoby). Dlžník spláca veriteľovi v určených termínoch len dohodnuté úroky, má však právo kedykoľvek vykúpiť pôžičku. 2. Pôžičky s povinným splatením v dohodnutom termíne. Dlžník vráti veriteľovi pôžičku naraz v uvažovanom termíne. Okrem toho spláca úroky, buď pravidelne v určených časových intervaloch alebo na konci splatnosti pôžičky. 3. Pôžičky s postupným splácaním v niekoľkých periodických termínoch, po častiach.

2.6 Pravidlá umorovania Keď si zoberieme obchodný úver, alebo keď si zoberieme dlhodobý bankový úver na nákup bytu, tak banka si pripraví na požičanú sumu, na základe úrokovej miery, plán splácania úveru, ktorým nám dá na vedomie, aké čiastky máme platiť v priebehu trvania úveru a v akých cykloch. Podobne pri akýchkoľvek prípadoch pôžičky, je potrebné zostaviť plán. V tejto časti sa budeme zaoberať tým, ako sa tieto plány splácania úveru zostavujú, prípadne ako ich môžeme kontrolovať. Základná úloha je nasledovná. V určitom časovom bode ( t = 0 ) dostaneme pôžičku H , ktorú budeme splácať v nadväzujúcich obdobiach t1 , t2 ,K, tn splátkami A1 , A2 ,K, An , pričom k celej sume pôžičky je potrebné pripočítať úrok.

FINANČNÁ MATEMATIKA 25 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Najprv sa pozrime na základné pojmy a označenia súvisiace s úlohou: t - obdobie (v súčasnosti t = 0 ), n - počet splátok, H - začiatočná hodnota splácaného úveru, Ht - zostatok dlhu na konci t -tej periódy splácania, q - dohodnutá úroková sadzba, - veľkosť úroku na konci t- tej periódy, kt - hodnota splácaného kapitálu v čase t (umorovacia splátka), St - veľkosť celkovej splátky (anuita). At Teoreticky môžeme zostaviť rôzne plány splácania úveru (plány umorovania pôžičky). Tieto plány spĺňajú nasledovné základné požiadavky: • • •

•

•

Čiastky splácania úveru sa musia rovnať hodnote úveru S1 + S 2 + ... + S n = H . Splácať je potrebné len hodnotu úveru, ale v celej čiastke. V priebehu umorovania zmena, ktorá sa udeje v čase t medzi H t −1 a H t je S t = H t −1 − H t . Táto požiadavka udáva, že čiastky platené ako úrok neznižujú hodnotu vybraného úveru. Hodnota celkovej splátky v určitom čase t, musí byť rovná hodnote časti úveru v čase t a príslušnému úroku po skončení periódy t úverovania At = q ⋅ H t −1 + St alebo At = k t + S t . Táto podmienka formalizuje tú jednoduchú skutočnosť, že každá splátka dlhu (anuita), sa skladá z dvoch častí: príslušného úroku a príslušnej časti úveru. Suma jednotlivých celkových splátok, ktoré splácame, musí byť zhodná s hodnotou pôžičky na začiatku čiže An A A2 H= 1 + + ... + 1 + q (1 + q ) 2 (1 + q ) n

2.7 Jednorázové splácanie pôžičiek Podľa tejto konštrukcie úveru sumu H splatíme až po skončení n-tej periódy, teda bude to len jedna splátka a po častiach sa budú platiť len úroky (jednorázové splatenie po dobe splatnosti). Ako príklad môžeme spomenúť dlhopis s fixným úrokovaním. Aj štátne pôžičky zmluvy sú často založené na takýchto dohodách. Prirodzene aj v prípade splatenia jednou sumou po dobe splatnosti sa môže stať, že počas určitej dĺžky času sa nesplácajú úroky, ale týmito otázkami sa nebudeme teraz zaoberať. V prípade jednorázovej splátky plán splácania úveru môže mať nasledujúcu formu Obdobie t 1 2 . n

Zostatok úveru Ht H H

Úrok kt q.H q.H

Umor. splátka St 0 0

Celk. splátka At q.H q.H

H

q.H

H

H+q.H

FINANČNÁ MATEMATIKA 26 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Vidíme, že v tejto forme splácania úveru sú čiastky splácania počas celého tohto obdobia konštantné až na konečnú splátku. O jednorázovom splácaní hovoríme vtedy, keď sa poskytnutý úver-jeho suma počas trvania pôžičky nemení. Príklad. Aké budú platby pri dlhopise s nominálnou hodnotou 25 000 Sk, keď dlhopis má dobu splatnosti 4 roky, úroky budú platené ročne a na konci štvrtého roka bude dlhopis jednorazovo splatený, pričom nominálna úroková miera je 12 %.

Riešenie: H = 25 000 Sk, q = 0,12. Obdobie t 1 2 3 4

Zostatok úveru Ht = Ht-1 – St-1 25 000 25 000 25 000 25 000

Úrok kt = 0,12 ⋅ Ht 3 000 3 000 3 000 3 000

Umor.splátka St = A - kt 0 0 0 25 000

Celk.splátka At = A 3 000 3 000 3 000 28 000

2.8 Rovnomerné splácanie pôžičiek Pri splácaní môžeme udať aj také podmienky, že po každej perióde splácania sa budú platiť umorovacie splátky v rovnakej výške (rovnomerné splácanie). Teda predpokladáme, že úvery v následnom čase sa splácajú rovnakými čiastkami, pričom S1 = S 2 = ... = S n = H / n . V tomto prípade sa zostatok úveru pravidelne znižuje preto sa znižuje aj úrok, to znamená, že pri splácaní je treba platiť stále menšiu čiastku. V prípade rovnomerného splácania platí: a) v každom časovom bode poznáme zostatok úveru (H t −1 ) , ktorého hodnota sa zakaždým znižuje o H n , b) na vyššie uvedenú sumu úveru pripadá úrok: ten sa z dôvodu každoročne sa znižujúceho zostatku úveru tiež znižuje, c) v tomto prípade v každom období je umorovacia splátka rovnaká H n , d) celkové splátky v jednotlivých časových obdobiach udáva úrok a hodnota umorovacích splátok. Pozor, platná doba úročenia pôžičky sa musí zhodovať s cyklom splácania splátok. Obdobie t 1 2

Zostatok úveru Ht H H-H/n

Úrok kt q.H q.H(1-1/n)

Umor.splátka St H/n H/n

Celk.splátka At H(1/n+q) H[1/n+q(1-1/n)]

n

H-(n-1)H/n

q.H/n

H/n

(1+q)H/n

FINANČNÁ MATEMATIKA 27 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad. Zobrali sme si pôžičku 80 000 Sk, ktorú budeme v nasledujúcich 5 mesiacoch pravidelne splácať rovnakými umorovacími čiastkami. Aké veľké budú anuity, keď za každou splátkou je potrebné platiť mesačne úrok? Nominálna úroková miera je 24 %.

80 000 0,24 = 0,02 , St = = 16 000 Sk. 12 5 Zostatok úveru Úrok Umor.splátka Ht = Ht-1 – St-1 St = A - kt kt = 0,02 ⋅ Ht 80 000 1 600 16 000 64 000 1 280 16 000 48 000 960 16 000 32 000 640 16 000 16 000 320 16 000

Riešenie: H = 80 000 Sk, q = Obdobie t 1 2 3 4 5

Celk.splátka At = A 17 600 17 280 16 960 16 640 16 320

2.9 Anuitné splácanie pôžičiek Tretí spôsob splácania úveru predstavujú všeobecne rozšírené konštrukcie, kedy sú celkové splátky pôžičky rovnaké A = A1 = A2 = ... = An ( A - anuita). Zoberme si príklad obchodných pôžičiek, alebo dlhodobých hypoték. V konštrukciách splácania úverov pre rovnaké čiastky splácania zo vzťahu An A A2 , H= 1 + + ... + 2 1 + q (1 + q ) (1 + q ) n pre A = A1 = A2 = ... = An dostaneme 1 1 1 H = A( + + ... + ) = A.s n , kde 2 1 + q (1 + q) (1 + q) n sn =

1 − (1 + q ) − n , q

je polehotný zásobiteľ. V prípade splácania rovnomerným spôsobom sa zostatok úveru znižuje najprv o malú hodnotu, ale každým rokom táto hodnota, ktorá sa odpisuje je väčšia. Príklad. Ideme urobiť plán splácania pôžičky 200 000 Sk. Budeme ju splácať 5 rokov rovnakými celkovými ročnými splátkami. Predpokladajme, že ročná úroková miera na krátkodobé úvery je 30 %.

Riešenie: H = 200 000 Sk, q = 0,3, n = 5 rokov. Najprv potrebujeme vypočítať veľkosť jednej splátky A = H Obdobie t 1 2 3 4 5

Zostatok úveru Ht = Ht-1 – St-1 200 000 177 883,70 149 132,50 111 755,90 63 166,40

Úrok kt = 0,3 ⋅ Ht 60 000 53 365,10 44 739,80 33 526,80 18 949,90

q

= 82 116,30 Sk . −n 1 − (1 + q ) Celk.splátka Umor.splátka At = A St = A - kt 22 116,30 82 116,30 28 751,20 82 116,30 37 376,50 82 116,30 48 589,10 82 116,30 63 166,40 82 116,30

FINANČNÁ MATEMATIKA 28 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad. Dlh vo výške 30 000 Sk má byť splatený polehotnými ročnými splátkami vrátane úrokov. Prvá splátka je odložená o rok, ďalšia bude vo výške 6 000 Sk a každá ďalšia je v porovnaní s predchádzajúcou stále o 5 000 Sk vyššia. Zostavme umorovací plán pri ročnej úrokovej sadzbe 0,1. Určme aká bude výška poslednej splátky.

Riešenie: H = 30 000 Sk, q = 0,1. Celk.splátka Úrok Obdobie Zostatok úveru Umor.splátka At = A t Ht = Ht-1 – St-1 St = A - kt kt = 0,1 ⋅ Ht 1 30 000 3 000 - 3 000 0 2 33 000 3 300 2 700 6 000 3 30 300 3 030 7 970 11 000 4 22 330 2 233 13 767 16 000 5 8 563 856,30 8 563 9 419,30 Výška poslednej splátky A5 = S5 + k5 = 8 563 + 856,30 = 9 419,30 Sk, kde S5 = H – (S1 + S2 + S3 + S4) = 30 000 – (-3 000 + 2 700 + 7 970 + 13 767) = 8 563 Sk.

Zhrnutie Postupnosť platieb v istých časových intervaloch (1 + i ) n − 1 Budúca hodnota polehotnej renty S n = R i 1 − (1 + i ) − n Súčasná hodnota polehotnej renty An = R i R Súčasná hodnota večnej renty A∞ = i Renta

Cvičenia 1. Pri narodení syna otec založil viazaný vklad, na ktorý prispieva mesačne sumou 1 500 Sk. Banka poskytuje na vklad mesačné úroky pri nominálnej úrokovej sadzbe 0,04. Akú sumu dostane dieťa po dovŕšení 18. rokov? ♠ (S = 473 388,70 Sk) 2. Počas 2 rokov budete sporiť pri pravidelných štvrťročných vkladoch 25 000 Sk pri 9,5 % nominálnej úrokovej miere a štvrťročnom úročení na kúpu zariadenia bytu, pričom predpokladáte, že zariadenie bude stáť 245 000 Sk. Nasporíte si za tento čas potrebnú čiastku? ♠ (S = 217 438,60 Sk, nie) 3. Uvažujte o ročnom úrokovaní a 8 % nominálnej úrokovej miere. Ako dlho musíte vkladať koncom každého roka sumu 15 000 Sk, aby sa vám naakumuloval kapitál 100 000 Sk? ♠ ( n = 5,55 roka) 4. Chcete si kúpiť dom, ktorého hodnota je 1 200 000 Sk. V hotovosti máte 500 000 Sk a zvyšok dostanete na 30 ročnú hypotéku pri 14 % nominálnej úrokovej miere a mesačnom úrokovaní. Dohodnete sa na mesačných splátkach. Aká bude ich veľkosť? ♠ (R = 8 294,10 Sk) 5. Vkladateľ chce dosiahnuť 25 000 Sk pri pravidelných vkladoch 1 000 Sk na konci každého štvrťroka. Ako dlho musí šetriť pri nominálnej úrokovej miere 10 %? Úročí sa 4 krát ročne. ♠ (n = 4,9 roka) 6. Pôžičku máte splatiť veriteľovi šiestimi splátkami vo výške 5 000 Sk postupne na konci každého z nasledujúcich šiestich rokov. Veriteľ však súhlasí s tým, aby ste splatili pôžičku

FINANČNÁ MATEMATIKA 29 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

jednorazovo na konci šiesteho roka. O akú čiastku sa jedná, keď si veriteľ účtuje ročnú úrokovú mieru 8 %? ♠ (A = 23 114,40 Sk, S = 36 679,60 Sk) 7. Aká je súčasná hodnota hypotéky splácanej splátkami 38 851,40 Sk na konci každého z nasledujúcich 10 rokov pri úrokovej sadzbe 0,05? ♠ (A = 300 000 Sk) 8. Otec odkázal v závete 600 000 Sk uložených v cenných papieroch úročených sadzbou 8 % svojim trom synom, ktorí mali v čase jeho smrti 12,14 a 17 rokov. Každý syn má dostať po dovŕšení 18. rokov rovnakú čiastku. Aká veľká bude táto čiastka? ♠ (R = 261 880 Sk) 9. Jana si požičala od Evy 100 000 Sk. Eva súhlasila, že dlh bude splatený formou rovnakých čiastok po uplynutí dvoch a štyroch rokov. Aká je veľkosť týchto splátok pri úrokovej miere 8 %? ♠ (R = 62 800 Sk) 10. Akými čiastkami na konci každého z nasledujúcich 15 mesiacov usporíte 28 000 Sk pri ročnej úrokovej sadzbe 0,07 a spojitom úrokovaní? ♠ (R = 1 791,40 Sk) 11. Za aký čas usporíte 420 000 Sk na auto pri nominálnej úrokovej sadzbe 0,105 a spojitom úrokovaní, keď budete sporiť čiastkou 5 000 Sk na konci každého mesiaca? ♠ (n = 5,27 roka) 12. Určite, koľko musíte mať na účte v banke pri 17 % nominálnej úrokovej miere, ak vám majú byť poskytnuté pravidelné polročné platby v sume 16 000 Sk na neobmedzenú dobu? ♠ (A = 195 921,50 Sk) 13. Peter vyhral v ŠPORTKE 1 000 000 Sk. Uložil ich na účet do banky, ktorá poskytuje polročný úrok pri 12 % nominálnej úrokovej miere. Aké veľké sumy môže vyberať každý mesiac, aby počiatočná hodnota vkladu zostala zachovaná? ♠ (R = 9 758,80 Sk) 14. Koľko splátok potrebujete na vyplatenie pôžičky vo výške 150 000 Sk, ak každoročne platíte 35 000 Sk pri ročnej úrokovej miere 8,5 %? ♠ (5,55 splátok) 15. Aká bude výška poslednej splátky z predchádzajúceho príkladu ? ♠ (A5 = 12 077,50 Sk) 16. Klient každoročne 1. septembra v priebehu rokov 1980-1995 vrátane, vkladal 20 000 Sk na účet v banke. 1. septembra 1998 všetky úspory vybral. O akú sumu išlo, keď banka úrokovala vklady s 8,5 % ročnou úrokovou mierou? ♠ (S16 = 632 640,20 Sk, FV3 = 808 064,50 Sk) 17. Brat má sestre vyplatiť dedičský podiel 350 000 Sk o 5 rokov. Koľko musí uložiť koncom každého roka na účet v banke, aby nasporil dedičský podiel pri 11 % ročnej úrokovej miere? ♠ ( R = 56 200 Sk) 18. Ako sa budú vyvíjať výplaty pri dlhopise s nominálnou hodnotou 15 700 Sk, keď dlhopis má dobu splatnosti 4 roky, úroky budú platené ročne a na konci štvrtého roka bude dlhopis jednorazovo splatený pričom nominálna úroková miera je 12 %. ♠ (A4 = 17 584 Sk) 19. Vypožičali ste si 50 000 Sk. Úver je splatný za dva roky, splátky sú polročné a nominálna úroková miera je 12 %. Vypočítajte veľkosť jednej splátky (sú rovnaké) a zostavte umorovací plán. ♠ (A = 14 429,60 Sk) 20. Dlh vo výške 7 200 000 Sk má byť splatený ročnými splátkami v priebehu 8 rokov tak, aby na umorenie dlhu pripadali každoročne rovnaké čiastky. Zostavte umorovací plán, ak úroková sadzba je 0,15. ♠ ( S = 900 000 Sk) 21. Pôžička 84 000 Sk má byť splatená rovnakými ročnými splátkami behom 6 rokov pri úrokovej sadzbe 0,2. Zostavte umorovací plán. ♠ (A = 25 259,30 Sk) 22. Zostavte umorovací plán pre splácanie pôžičky 380 000 Sk formou rovnakých ročných splátok v priebehu 4 rokov pri q = 0,15. ♠ ( A = 133 100,80 Sk) 23. Dlh v sume 30 000 Sk je vydaný pri 8 % ročnej úrokovej miere a musí byť vrátený o 2 roky štyrmi splátkami. Zostavte umorovací plán za predpokladu, že na umorenie dlhu pripadajú polročne rovnaké čiastky. ♠ (S = 7 500 Sk)

FINANČNÁ MATEMATIKA 30 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

24. Podnikateľ si požičal 18 000 Sk a dohodol si splácanie rovnakými ročnými splátkami v priebehu 3 rokov pri ročnej úrokovej miere 0,13. Zostavte umorovací plán splácania dlhu. ♠ (A = 7 623,40 Sk) 25. Veriteľ požaduje splatenie dlhu 100 000 Sk, ktorý je vydaný pri 6 % ročnej úrokovej miere na 5 rokov formou konštantných ročných umorovacích splátok. Zostavte umorovací plán. ♠ (S = 20 000 Sk) 26. Pôžička vo výške 40 000 Sk má byť splácaná ročnými splátkami. Prvá splátka vo výške 10 000 Sk je splatná po 2. roku. Ďalšie splátky sa majú postupne zvyšovať o 5 000 Sk. Po koľkých rokoch bude dlh splatený pri ročnej úrokovej miere 18 % ? Aká bude výška poslednej splátky ? Zostavte umorovací plán. ♠ ( 6 rokov, A6 = 6 600,90 Sk) 27. Dlh vo výške 40 000 Sk je vydaný pri 4,4 % úrokovej miere. Zostavte umorovací plán, ak chceme dlh splatiť konštantnými ročnými anuitami v hodnote 9 000 Sk. Aká bude posledná vyrovnávacia splátka ? ♠ (5,05 roka, A6 = 491,90 Sk)

FINANČNÁ MATEMATIKA 31 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3

OBLIGÁCIE A AKCIE

Cieľ Oboznámenie sa s niektorými ohodnoteniami finančných tokov za účelom ich porovnávania.

Okruh otázok • Ako vypočítate cenu obligácie, dobu splatnosti obligácie. Aká je priemerná doba splatnosti obligácie? • Ako vypočítate cenu akcie, ak sa predpokladá nárast dividendy? • Kedy môže byť dlžník motivovaný rýchlejšie splácať dlžobu?

3.1 Akciové spoločnosti V tejto kapitole sa budeme zaoberať dlhodobými cennými papiermi (obligácie, akcie), ktoré vydávajú firmy, banky a ďalšie oprávnené subjekty s cieľom získať potrebný kapitál. Keď sa človek „snaží“ a nahromadí väčšie množstvo peňazí, má možnosť odložiť dnešnú spotrebu a naložiť s časťou finančných prostriedkov tak, aby v budúcnosti mohol dosiahnuť väčšiu spotrebu. Má možnosť napríklad uložiť svoje finančné prostriedky v banke (získa úroky) alebo investovať do nejakej inej aktivity. Má možnosť získať oveľa viac, ako uložením peňazí v banke, ale na druhej strane zisk môže byť menej istý. Keď finančné prostriedky nie sú postačujúce na to, aby investoval samostatne, jeho finančné možnosti budú možno postačujúce na kúpu podielov alebo akcií v niektorom podniku. Keď existuje viacej ľudí, ktorí majú podobné zámery, môžu si vytvoriť akciovú spoločnosť. Ak budú mať šťastie a príjmy prevýšia náklady, budú sa môcť tešiť z nárastu svojich akcií. Ak na druhej strane podnik zle hospodáril, môže stratiť časť, prípadne celý investovaný kapitál. Nestratia však viac, napríklad neprídu o svoj dom. Spoločnosti s ručením obmedzeným (s.r.o.) ručia len svojím majetkom. Či niečo zostane pre majiteľov nie je isté. Keď sa rozhodujem či investujem do takýchto akcií, očakávam samozrejme väčší zisk než úrok z úspor na bankových účtoch. Na druhej strane si musím uvedomiť väčšie riziko. Keď sa akciovej spoločnosti darí, majitelia budú mať slušné zisky, ktoré sa dajú použiť na vyplatenie dividend (určitá forma úroku z vloženého kapitálu), alebo zvýšením hodnoty samotných akcií. Prevládajúcou formou podnikania v trhových ekonomikách sú akciové spoločnosti, ktoré pre svoju činnosť získavajú kapitál: • z vkladov akcionárov, čo predstavuje vlastný kapitál, resp. tiež z rôznych druhov rezervných fondov, • bankovými úvermi, alebo emisiou vlastných obligácií, čo reprezentuje cudzí kapitál . Akcia predstavuje podiel na základnom kapitále spoločnosti. Má presne stanovenú nominálnu hodnotu, ktorá sa uvádza v peniazoch (v USA existuje možnosť emisie bez nominálnej hodnoty ).

V tejto kapitole sa budeme zaoberať dlhodobými cennými papiermi (obligácie, akcie), ktoré vydávajú firmy, banky a ďalšie oprávnené subjekty s cieľom získať potrebný kapitál.

FINANČNÁ MATEMATIKA 32 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3.2 Obligácie Obligácia je dlhodobý úverový cenný papier, ktorý má pevne stanovený čas splatnosti a emitent sa v tomto dokumente zaväzuje, že v stanovenom čase splatí buď jednorazovo, alebo v určených termínoch po častiach, nominálnu hodnotu a bude v určených termínoch platiť odmeny svojim veriteľom v podobe úroku, prémie a pod. Emitent sa prostredníctvom obligácií snaží získať peňažné prostriedky na isté obdobie. Veriteľ v prípade potreby môže na sekundárnom trhu predať obligácie.

Obligácie delíme na obligácie s nulovým kupónom (zero coupon bonds) a kupónové obligácie (coupon bonds). Kupón je nominálny úrok, ktorý vypláca obligácia v pravidelných časových intervaloch, až do doby splatnosti. S posledným kupónom je v deň splatnosti majiteľovi vyplatená aj nominálna hodnota obligácie. Obligácie s nulovým kupónom neprinášajú úrok, sú emitované s diskontom, ktorý je súčasťou nominálnej hodnoty obligácie a musí byť preplatená k vopred stanovenému dátumu. Výška kupónových platieb sa obvykle udáva v percentách z nominálnej hodnoty obligácie ako tzv. kupónová sadzba.

3.3 Cena obligácie Nech F je nominálna hodnota obligácie, c je kupónová sadzba ( Fc je výška kupónovej platby), n je doba splatnosti (počet kupónových platieb) a i je úroková sadzba odpovedajúca tejto obligácii (tzv. výnosnosť do splatnosti). Nech sú úrokové miery c a i konzistentné s dĺžkou období medzi kupónovými platbami. Potom sa cena obligácie V vypočíta nasledovne −n F ⋅c F ⋅c F ⋅c + F 1 − (1 + i ) F V= + + ... + = F ⋅ c + 2 n (1 + i )n 1 + i (1 + i ) (1 + i ) i Príklad. Spoločnosť vydala obligácie s dobou splatnosti 10 rokov, s nominálnou hodnotou 15 000 Sk, so štvrťročnými kupónmi a výnosom 0,06 za rok. Obligácie sa predávajú za cenu 17 500 Sk. Akú nominálnu úrokovú mieru majú štvrťročné kupóny? 0,06 Riešenie: F = 15 000 Sk, V = 17 500 Sk, n = 10 ⋅ 4 = 40, i = = 0,015. 4 −n 1 − (1 + i ) F + vyjadríme Zo vzťahu pre výpočet ceny obligácie V = F ⋅ c (1 + i )n i

c=

(

i V − F (1 + i )

(

−n

)

)

F 1 − (1 + i ) vzhľadom na konzistentnosť −n

a kupónovej sadzby, v našom prípade c predchádzajúceho vzťahu dosadíme nie c ale , lebo kupóny sa vyplácajú štvrťročne 4 −40 c 0,015 17 500 − 15 000(1 + 0,015) = = 0,0206 z toho c = 0,0206 ⋅ 4 =0,0824 (8,24 %). − 40 4 15 000 1 − (1 + 0,015)

(

(

úrokovej

)

)

do

FINANČNÁ MATEMATIKA 33 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Ak sa obligácia predáva pod nominálnu hodnotu ( V < F ), potom hovoríme o predaji s diskontom F − V . Ak sa obligácia predáva nad nominálnu hodnotu t.j.( V > F ), potom sa hovorí o predaji s prémiou V − F . Poznámka. Pre výpočet sadzby i boli odvodené aproximatívne vzorce (uvedené napríklad v [Cipra, T.: Finanční matematika v praxi.] ). Pre V > 0 , pre konštantné platby F ⋅ c > 0 a F ≥ 0 môžeme použiť aproximatívnu hodnotu F −V F ⋅c + n , ia = F +V 2 kde n je doba splatnosti. Tvrdenie. Ak V je cena obligácie s pravidelnými kupónovými platbami, F je nominálna hodnota obligácie, i je výnosnosť do splatnosti a c je kupónová sadzba, potom platí: V < F ⇔ i > c, V = F ⇔ i = c, V > F ⇔ i 0 pre každé i a CF1 + CF2 + ... + CFn > I , tak rovnica CFn CF1 CF2 + + ... + −I 0= 2 1 + r (1 + r ) (1 + r ) n má práve jedno riešenie na intervale 〈 0; ∞) . Ak v postupnosti finančných tokov (CF0 , CF1 , CF2 ,..., CFn ) pripúšťame i záporné hodnoty, formulácia kritéria pre prijatie projektu je zložitejšia . Príklad. Investícia do projektu je 3 000 Sk. V prvom roku to bude ešte finančná strata veľkosti 8 000 Sk ale v druhom roku už príjem 16 000 Sk. Aká je jeho vnútorná miera výnosu?

Riešenie: Vnútornú mieru výnosu r nášho projektu nájdeme riešením rovnice: − 8 000 16 000 0= + − 3 000 na intervale 〈 0; ∞) . 1+ r (1 + r ) 2 Po substitúcii d=1/(1+r) dostávame rovnicu 16d 2 − 8d − 3 = 0 , 3 1 1 3 = s a d 2 = − . Vyhovuje len riešenie d = ktorá má dve riešenia d1 = 4 4 1+ r 4 odpovedajúcim r = 0,33 a teda IRR = 0,33. Na každý problém výberu investičných projektov, ktorý môže byť riešený metódou IRR , sa dá s rovnakým výsledkom použiť i metóda NPV . Mnoho firiem používa kritérium vnútornej miery výnosu radšej než súčasnú hodnotu. Metóda IRR skrýva v sebe istú pascu, ak je štruktúra očakávaných finančných tokov taká, že NPV nie je klesajúcou funkciou ceny kapitálu.

FINANČNÁ MATEMATIKA 42 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Uvažujme dva projekty A a B, ktorých postupnosti finančných tokov (CF0 , CF1 ) sú A:(-2m, 3m) a B:(2m, -3m) (veriteľ a dlžník, m > 0 ). Dostávame − 2m 3m IRR A : 0 = + ⇒ IRR A = 0,5 0 (1 + r ) (1 + r )1 2m − 3m IRRB : 0 = ⇒ IRR B = 0,5 . + 0 (1 + r ) (1 + r ) 1 Vidíme, že úpravou rovnice pre výpočet IRR A dostávame rovnicu pre výpočet IRRB . Obidva projekty majú IRR 50%. To ale neznamená, že sú obidva projekty rovnako príťažlivé. Príklad. Máme projekt, do ktorého sme na začiatku investovali 60 dolárov. V 1. roku predpokladáme zisk 155 dolárov. V druhom roku ale musíme investovať do projektu 100 dolárov.

Riešenie: 155 − 100 − 60 . NPV = + 1 + r (1 + r )2 Výpočtom NPV pre rôzne hodnoty r dostávame

r NPV

0 -5,00

10 -1,74

20 -0,28

30 0,06

40 -0,31

IRR je 2,5% a 3,33%. NPV je kladné iba pre hodnoty 2,5 < r < 3,33 . Príklad. Z hľadiska IRR porovnajme projekty A=(-100, 100, 50) $ a B=(-60, 50, 50) $.

Riešenie pomocou MATLABu: >plot([100/(1+r)+50/((1+r)^2)-100,50/(1+r)+50/((1+r)^2)60],r=0..0.5,linestyle=[2,3],color=[red,blue]);

FINANČNÁ MATEMATIKA 43 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

>>> IRRa=fzero('100*(1+x)^(-1)+50*(1+x)^(-2)-100',[0 2]) IRRa = 0.3660 >> IRRb=fzero('50*(1+x)^(-1)+50*(1+x)^(-2)-60',[0 2]) IRRb = 0.4201 >> IRRbminusa=fzero('(50*(1+x)^(-1)+50*(1+x)^(-2)-60)-(100*(1+x)^(-1)+50*(1+x)^(-2)100)',[0 2]) IRRbminusa = 0.2500

4.4 Doba návratnosti Doba návratnosti (Payback Period - PP ) projektu je čas potrebný na opätovné získanie investovaných prostriedkov z finančných prítokov projektu. Ak napríklad 10000 Sk investície prináša 4000 Sk ročne, doba návratnosti je 10000/4000=2,5 roka. Vo všeobecnosti je teda pri konštantných ročných výnosoch CF I PP = CF Príklad. Porovnajme dobu návratnosti projektov (nie s konštantnými ročnými výnosmi) A(- 8 000,4 000, 3 000, 2 000) Sk a B(-8 000,3 000, 5 000, 1 000) Sk.

Riešenie: 8 000 = 1 ⋅ 4 000 + 1 ⋅ 3 000 + 8 000 = 1 ⋅ 3 000 + 1 ⋅ 5 000

1 ⋅ 2 000 2

PPA = 1+1+0,5=2,5 roka, PPB = 1+1=2 roky.

FINANČNÁ MATEMATIKA 44 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Projekt je akceptovaný, keď má dobu návratnosti kratšiu, ako je hraničná doba určená manažmentom. Pri porovnávaní dvoch projektov s rovnakými ďalšími charakteristikami rozhoduje kratšia doba návratnosti. Tento prístup prináša často rad problémov. Ich príčinou je najmä ignorovanie výnosov po dobe návratnosti a zanedbanie časovej štruktúry výnosov. Napriek tomu je metóda široko používaná. Na jej obranu možno uviesť tri argumenty: 1. Po požadovanej dobe návratnosti môže byť u niektorých projektov neurčitosť taká veľká, že požiadavka návratnosti investovaného kapitálu v rámci tejto doby je dobrý spôsob ako sa vyhnúť riziku. 2. V praxi je bežne používaná spolu s inými kritériami. 3. Jednoduchosť.

4.5 Účtovná miera výnosnosti Účtovná miera výnosnosti je niekedy nazývaná aj výnosom na vložený kapitál alebo výnos investícií. Účtovnú mieru výnosu (Accounting Rate of Return - ARR ) vypočítame podľa vzorca PRZ ARR = 2 ⋅ , (I + S ) kde PRZ je priemerný ročný zisk z investície po zdanení, S je zvyšková hodnota aktíva na konci životnosti. Táto metóda môže byť zavádzajúca: • Zisk nie je vo všeobecnosti finančný prítok a môže mať i odlišné zloženie. • Ignoruje sa časová hodnota peňazí. Pravidlom pre rozhodovanie je akceptácia všetkých projektov, ktorých ARR je aspoň cieľové ARR organizácie. ARR ignoruje časovú hodnotu peňazí. Príklad. Uvažujeme 2 aktíva A a B so začiatočnou cenou 10 000 Sk, trvaním 6 rokov a pravidelnými odpismi s nulovou zvyškovou hodnotou. Cena kapitálu je 15 %. Aká bude ich ARR ? Ako budeme postupovať pri rozhodovaní o akceptovaní projektu?

rok 1 2 3 4 5 6

A Ročný zisk 5 000 6 000 1 000 800 900 1 000

B Ročný zisk 500 600 500 800 600 18 000

Riešenie: Účtovná výnosnosť sa vypočíta zo vzťahu 2 ⋅ ( priemerný zisk z investície za rok ) ARR = (I + S ) 2 ⋅ (5 000 + 6 000 + 1 000 + 800 + 900 + 1 000) / 6 ARRA = = 0,49 , (10 000 + 0) 2 ⋅ (500 + 600 + 500 + 800 + 600 + 18 000 ) / 6 = 0,7 . ARRB = (10 000 + 0)

FINANČNÁ MATEMATIKA 45 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Na základe tohto kritéria (účtovná výnosnosť) sa javí ako výhodnejší projekt B (vyššia výnosnosť). Ale vypočítajme ešte aj vnútorné výnosnosti, doby návratnosti a čisté súčasné hodnoty pre obidva projekty. IRRA = 0,20 , IRRB = 0,14 , PPA = 1,16 roka, PPB = 5,39 roka, NPVA = 879,39 Sk, NPVB = -245,17 Sk. Na základe ďalších troch kritérií je lepší projekt A. Záver: Pri rozhodovaní o akceptácii projektu je potrebné zvážiť aj ostatné kritériá.

4.6 Porovnávanie investícií s rôznou životnosťou Pri porovnávaní projektov metódou NPV (resp. IRR ) je nutné prihliadať na budúcnosť investície s kratšou životnosťou. Treba zvažovať toľko pokračovaní projektov, aby mali rovnakú životnosť. V praxi nemáme vždy možnosť porovnávať projekty s rovnakou životnosťou, iba ak by sme išli mnoho rokov dopredu. Stačí požadovať len približne rovnakú životnosť. Časový nesúlad životností dvoch alternatív je tým menej dôležitý, čím: 1. kratší je tento časový nesúlad, 2. ďalej v budúcnosti je tento časový nesúlad, 3. menej sa líši miera výnosu budúcich investícií od ceny kapitálu.

4.7 Inflácia a tvorba kapitálového rozpočtu Keby rástli všetky ceny (včítane zdanenia a ceny kapitálu zväčšenej o jednotku) rovnakou relatívnou rýchlosťou, nebolo by potrebné infláciu vôbec uvažovať. V skutočnosti však pri nástupe inflácie často nárast miezd predchádza rastu tržieb a dochádza i k ďalším cenovým disproporciám, ktoré musia byť pri vysokej miere inflácie zohľadnené. S infláciou je spojené i narastanie neurčitosti. Ak je miera inflácie nízka, netreba s ňou pri tvorbe kapitálového rozpočtu počítať. Porovnajme niekoľko spôsobov výpočtu NPV . Neuvažujeme infláciu: NPV1 =

CFn CF1 CF2 + + ... + −I 2 1 + k (1 + k ) (1 + k ) n

Uvažujeme rast cien rovnakou rýchlosťou:

FINANČNÁ MATEMATIKA 46 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

NPV2 =

CF1 ⋅ q1 CF2 ⋅ q1 ⋅ q2 CFn ⋅ q1 ⋅ ... ⋅ qn + + ... + −I, 2 (1 + k )q1 (1 + k ) q1 ⋅ q2 (1 + k ) n q1 ⋅ ... ⋅ qn

kde qi je koeficient cenového rastu v i -tom roku (qi = 1 + rinf l ) . Uvažujeme nerovnomerný rast cien:

NPV3 =

CF1 CF2 CFn + + ... + −I 1 + k1 (1 + k1 )(1 + k 2 ) (1 + k1 ) ⋅ ... ⋅ (1 + k n )

Odhad budúcej ceny kapitálu možno robiť na základe časovej štruktúry úrokovej miery.

4.8 Závislosť a podmienenosť investičných príležitostí Často je hodnotených viac investičných príležitostí, pričom akceptovaná môže byť jedna alebo viaceré z nich. Investície sa pritom môžu vzájomne podmieňovať alebo ovplyvňovať svoju ziskovosť. Investičné príležitosti nazveme vzájomne nezávislými, ak finančné toky a miera výnosu ktorejkoľvek z nich alebo rozhodnutie o tom, či bude prijatá, nezávisí od prijatia, finančných tokov alebo mier výnosov ostatných. Vzájomne nezlučiteľné investičné projekty sú teda závislé. Ak sú investičné príležitosti závislé, spočíva rozhodovanie vo výbere množiny projektov s najvyššou kumulovanou NPV , ak je táto kladná. Všeobecný návod na analýzu systému množín investičných príležitostí: • Vytvoríme všetky prípustné kombinácie investičných príležitostí (nanajvýš 2n kombinácií, ak n je počet projektov). • Určime začiatočné ceny, budúce finančné toky (odhad) a NPV jednotlivých kombinácií. • Vyberieme kombináciu s najvyššou hodnotou NPV . Ak je táto hodnota kladná, prijmeme túto kombináciu.

Táto schéma nemusí byť vždy dodržaná a v mnohých prípadoch sa dá značne zjednodušiť. Ak sú jednotlivé investičné príležitosti nezávislé, môžu byť uvažované zvlášť a prijímajú sa tie, s kladným NPV ( n hodnotení). Niekedy sa analýza zjednoduší rozdelením investičných projektov do disjunktných (bez spoločného prvku) skupín tak, že každý projekt je nezávislý so všetkými ostatnými z iných skupín. Optimálnu kombináciu potom dostaneme ako kompozíciu najlepších kombinácií jednotlivých skupín (nanajvýš 2 n1 + 2 n2 + ... + 2 nk hodnotení, kde n1 + n2 + ... + nk = n ).

4.9 Obmedzené množstvo kapitálu Niekedy sú fondy na investovanie obmedzené a žiadne vonkajšie zdroje nie sú prístupné. Často je podobná situácia charakteristická pre podnikovú divíziu alebo rozpočtovú organizáciu. Platnosť obmedzení je samozrejme relatívna.

FINANČNÁ MATEMATIKA 47 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Ak A1 , A2 ,..., An sú investičné príležitosti a I 1 , I 2 ,..., I n odpovedajúce začiatočné ceny (kapitálové výdavky), úlohou je vybrať kombináciu {i1 , i2 ,..., i s } ⊆ {1,2,..., n} tak, aby NPV ( Ai1 & Ai2 & ... & Ais ) bola maximálna a aby bola splnená podmienka I i1 + I i2 + ... + I is ≤ L , kde L je limitované množstvo kapitálu. Príklad. Pre investovanie je určená obmedzená čiastka 200 000 Sk. Firma môže investovať do projektov A až D. C a D sa navzájom vylučujú. Veľkosti finančných tokov v prípustných kombináciách sa neovplyvňujú. Ktorá kombinácia projektov je pre investora najvýhodnejšia?

Projekt A B C D

PV 140 000 130 000 180 000 100 000

I 100 000 120 000 100 000 80 000

Riešenie: Prípustné kombinácie Investícia A&C 200 000 A&D 180 000 B&D 200 000 Najvhodnejšie sa javí investovať do projektov A a C.

NPV = PV - I 40 000 10 000 80 000 20 000 NPV kombinácie 120 000 60 000 30 000

Vo všeobecnosti pri výbere vhodnej kombinácie investičných príležitostí pri obmedzenom množstve kapitálu postupujeme nasledovne: • Vytvoríme všetky prípustné kombinácie investičných príležitostí. • Určíme začiatočné ceny, budúce finančné toky (odhad) a NPV jednotlivých kombinácií. Vylúčime kombinácie s celkovými kapitálovými výdavkami presahujúcimi limitovanú čiastku. • Vyberieme kombináciu s najvyššou hodnotou NPV . Ak je táto hodnota kladná, prijmeme túto kombináciu. Procedúra sa dá zjednodušiť, ak sú jednotlivé projekty nezávislé. Maximalizovať NPV pri ohraničenom rozpočte vtedy znamená maximalizovať NPV pripadajúce na jednotku investície. Vyberáme teda projekty s najvyššou hodnotou indexu súčasnej hodnoty NPV PI = , pokým nie je rozpočet vyčerpaný. I

4.10 Obnova zariadení Každá organizácia sa občas stretáva s rozhodovacím problémom náhrady zariadenia zariadením novým (obrábací stroj, kopírovacie zariadenie, diagnostický prístroj...). Manažéri musia rozhodnúť medzi dvoma variantami: nechať naďalej v prevádzke pôvodné zariadenie s tým, že budú rásť náklady na jeho udržiavanie a opravy alebo nahradiť ho novým za cenu veľkej začiatočnej investície. Jednou z možností ako posúdiť disponibilné finančné informácie z hľadiska udržiavania pôvodného zariadenia, je určenie minimálnej výšky nákladov na jeho udržiavanie.

FINANČNÁ MATEMATIKA 48 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad. Firma kúpila určité zariadenie za 50 000 $, ktorého hodnota bude postupne klesať tak, ako je uvedené v tabuľke. Predpokladajme, že firma dosahuje ročnú mieru návratnosti kapitálu 5%. Stanovme priemerné celkové náklady, diskontné faktory, stratu ceny zariadenia a súčasné hodnoty prevádzkových nákladov pre všetky roky prevádzky.

Rok teraz 1 2 3 4 5 6 7

Zostatková cena ($) 50 000 20 000 15 000 12 000 10 000 9 000 5 000 1 000

Prevádzkové náklady($) 7 000 7 700 8 500 9 500 10 500 13 000 18 000

Riešenie: Z tabuľky je zrejmé, že hodnota zariadenia postupne klesá z 50 000 až na 1 000$. Takýto pokles hodnoty predstavuje pre firmu stratu určitej čiastky peňazí, ktoré mohla firma získať, keby odpredala zariadenie pred rokom. V dôsledku opotrebovania zariadenia prevádzkové náklady neustále rastú. Zdá sa byť logické považovať za najvýhodnejšiu tú dobu k obnove zariadenia, keď náklady spolu so stratami hodnoty zariadenia dosahujú minimálne hodnoty. Napríklad na konci 1. roka budú celkové náklady: Strata z poklesu zostatkovej ceny: 50 000-20 000=30 000$ Prevádzkové náklady: 7 000$ Celkové náklady: 30 000+7 000=37 000$. Pretože zariadenia bolo v prevádzke 1 rok, celkové priemerné náklady sú: 37 000:1=37 000$. Na konci 2. roka budú celkové náklady: Strata z poklesu zostatkovej ceny: 50 000-15 000=35 000$ Prevádzkové náklady: 7 000+7 700=14 700$ Celkové náklady: 35 000+14 700=49 700$ Celkové priemerné náklady: 49 700:2=24 850. Počítané hodnoty pre ďalšie roky sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Rok

Zostatková cena

Prevádzkové náklady

1 2 3 4 5 6 7

20 000 15 000 12 000 10 000 9 000 5 000 1 000

7 000 7 700 8 500 9 500 10 500 13 000 18 000

Strata poklesu ceny 30 000 35 000 38 000 40 000 41 000 45 000 49 000

z Prevádzkové náklady kumulatívne 7 000 14 700 23 200 32 700 43 200 56 200 74 200

Celkové Celkové náklady priemerné náklady 37 000 37 000 49 700 24 850 61 200 20 400 72 700 18 175 84 200 16 840 101 200 16 867 123 200 17 600

FINANČNÁ MATEMATIKA 49 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Zo stĺpca priemerných celkových nákladov je zrejmé, že náklady sú najmenšie na konci 5. roka. To je zároveň obdobie, kedy by malo dôjsť, za predpokladu že nedôjde k žiadnej zmene, k obnove tohto zariadenia. Predchádzajúci výpočet ale nebral do úvahy, že časom sa hodnota peňazí mení. Princíp diskontovania môžeme využiť k tomu, aby sme skúmali celkové priemerné náklady z hľadiska ich čistej súčasnej hodnoty. Zostatková cena na konci 1. roka je 20 000$. To je však hodnota budúca, jej súčasná hodnota je nižšia. Predpokladajme, že firma dosahuje ročnú mieru návratnosti kapitálu 5% pri mesačnom úrokovaní. Zo vzťahu pre zložené úrokovanie s nominálnou úrokovou mierou j pri m konverziách ročne je FV PV = m⋅n = FV ⋅ d j  1 +   m 1 , ak uvažujeme n = 1 rok. diskontný faktor d = m j  1 +   m 1 Hodnota diskontného faktora na konci 1. roka je = 0,9513 . 12  0,05  1 +  12   Súčasná hodnota zostatkovej ceny na konci 1. roka je 20 000 ⋅ 0,9513 = 19 027 $. Tomu zodpovedá strata z poklesu ceny 50 000 − 19 027 = 30 973 $. Analogicky dopočítané spomínané veličiny aj pre ďalšie roky sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Rok

Zostatková cena

1 2 3 4 5 6 7

20 000 15 000 12 000 10 000 9 000 5 000 1 000

Diskontný faktor 0,9513 0,9050 0,8610 0,8191 0,7792 0,7413 0,7052

Súčasná hodnota zostatkovej ceny 19 027 13 575 10 332 8 191 7 013 3 706 705

Súčasná hodnota straty z poklesu 30 973 36 425 39 668 41 809 42 987 46 294 49 295

Diskontovaním dochádza k zväčšeniu straty ceny. Analogicky môžeme prepočítať aj súčasné hodnoty prevádzkových nákladov. V tomto prípade bude ale lepšie, ak použijeme diskontnú sadzbu z polovice jednotlivých rokov, lebo priemerné hodnoty ročných prevádzkových nákladov sú dosahované približne v polovici roka. Hodnota diskontného faktora na konci 1. roka je

1 j  1 +   m

1 ⋅m 2

=

1 6 = 0,9754 .  0,05  1 +  12  

FINANČNÁ MATEMATIKA 50 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Súčasná hodnota prevádzkových nákladov v 1. roku je 7 000 ⋅ 0,9754 = 6 828 $. Údaje pre ďalšie roky sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Rok 1 2 3 4 5 6 7

Súčasná hodnota Súčasná hodnota straty z poklesu prevádzkových nákladov 30 973 6 828 36 425 13 972 39 668 21 457 41 809 29 453 42 987 37 842 46 294 47 722 49 295 60 736

Celkové náklady Priemerné celkové náklady 37 801 50 397 61 144 71 262 80 829 94 015 110 031

37 801 25 198 20 381 17 816 16 166 15 669 15 719

Z tabuľky vyplýva, že najvýhodnejšou dobou pre obnovu zariadenia je koniec 6. roka. Stanovenie najvhodnejšej doby obnovy pomocou súčasných hodnôt bolo prevedené za predpokladu, že miera výnosnosti kapitálu 5% bude po celú dobu prevádzky zariadenia konštantná. Prakticky je však možné upraviť parametre tohto základného modelu tak, aby čo najlepšie odpovedali reálnej situácii.

Vzhľadom k daňovým a legislatívnym podmienkam vyžaduje finančné rozhodovanie skutočných odborníkov. V princípe však väčšina riešení finančných problémov využíva úrokové sadzby a súčasné hodnoty v rôznych podobách. Správne vyhodnotenie plánovaných projektov pomocou finančných analýz, využívajúcich súčasné hodnoty, zjednodušuje manažérom určiť ich priority.

Zhrnutie CFn CF1 CF2 + + ... + −I 2 1 + k (1 + k ) (1 + k ) n CFn CF1 CF2 Vnútorná výnosnosť IRR: 0 = + + ... + −I 2 1 + r (1 + r ) (1 + r ) n I Doba návratnosti PP = CF Účtovná miera výnosnosti ARR = 2 ⋅ (priem. ročný zisk z investícií po zdanení )/(I+S) NPV Index súčasnej hodnoty PI = I

Čistá súčasná hodnota

NPV =

Cvičenia 1. Máte možnosť investovať do dvoch projektov A(- 4 000, 1 000, 1 500, 1 300, 1 500) Sk a B(- 4 000, 1 900, 1 700, 800, 600) Sk. Ktorý z projektov bude uprednostnený z hľadiska doby návratnosti? ♠ (PPA = 3,13 roka, PPB = 2,5 roka, projekt B ) 2. Ak sa projekty v predchádzajúcom príklade vylučujú a cena kapitálu je 10 %, ktorý z nich bude akceptovaný? ♠ (NPVA = 150 Sk, NPVB = 143 Sk, projekt A)

FINANČNÁ MATEMATIKA 51 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3. Obchodník uvažuje o investícii, ktorá vyžaduje okamžitý výdaj 10 000 Sk a prinesie v ďalších troch rokoch po 4 500 Sk. Posúďte investíciu z hľadiska NPV, ak cena kapitálu je 0,08? ♠ (NPV = 1 596,90 Sk, prijateľná) 4. Podnikateľ uvažuje investovať do nového výrobného zariadenia. Aká je doba návratnosti tejto investície, ak čisté ročné peňažné toky z investície sú : (- 10, 4, 3, 5, 5) mil. Sk. ♠ (PP = 2,6 roka) 5. Spoločnosť uvažuje o podnikateľskom projekte, ktorý vyžaduje okamžité náklady 65 000 Sk a bude vytvárať príjmy 20 000 Sk na konci každého z nasledujúcich šiestich rokov, pričom predpokladáme 13 % ročnú úrokovú mieru. Na základe hodnoty NPV rozhodnite, či projekt bude akceptovaný. ♠ (NPV = 14 951 Sk, akceptovaný) 6. Ak je cena kapitálu 11 % a požadovaná návratnosť 3 roky, rozhodnite z hľadiska NPV a PP o prijatí projektu, ktorý vyžaduje začiatočnú investíciu 200 000 Sk a z ktorého sa očakávajú príjmy 45, 60, 100, 100 a 110 tis. Sk. ♠ (NPV = 34 817,40 Sk, PP = 2,95 roka) 7. Postavenie banky predpokladá výdavky na kúpu pozemku 2 500 000 Sk a 900 000 Sk na konci 1. a 2. roku na výstavbu. Budova bude postavená na konci 3. roku a staviteľská firma ju predpokladá predať za cenu 6 000 000. Určte NPV tejto investície pri 14 % ročnej úrokovej miere. ♠ (NPV = 67834,60 Sk) 8. Máte dva projekty A(- 1 000, 1 000, 500) Sk a B(- 2 000, 1 700, 1 000) Sk. Vypočítajte vnútorné miery výnosu investícií. ♠ (IRRA = 0,366, IRRB = 0,25) 9. Projekt stojí 40 000 Sk a prinesie 25 000 Sk o rok a 20 000 Sk o dva roky. Určte IRR a PP projektu. ♠ (PP = 1,75 roka, IRR = 0,2583) 10. Vyberte vhodnú investíciu spomedzi vzájomne nezlučiteľných príležitostí A(-0.2, -0.3, 1.1, 0.6), B(-0.7, 0.3, 0.6, 0.5, 0.1), C(-0.8, -0.1, 1.0, 0.1), D(-2.0, 0.7, 1.2, 1.0) mil. Sk. Použite metódu NPV pri cene kapitálu 15 %. ♠ (NPVA = 0,7654 mil Sk, NPVB = 0,4 mil. Sk, NPVC = -0,0651 mil. Sk, NPVD = 0,1736 mil. Sk, najlepší je projekt A) 11. Uvažujte dva vzájomne sa vylučujúce investičné projekty : A : I = 2 000, C = 1 200 Sk počas siedmich rokov, B : I = 3 000, C = 1 850 Sk počas 5 rokov, cena kapitálu je 10 %. Ktorý projekt budete preferovať? ♠ (NPVA = 3842 Sk, NPVB = 4013 Sk, preferovať budete B) 12. Podnikateľ chce kúpiť stroj, ktorého cena je 1 600 000 Sk a životnosť 20 rokov. Prevádzka stroja si vyžaduje každý rok vynaložiť 40 000 Sk, ale zaručuje príjmy 320 000 Sk ročne pri cene kapitálu 7 %. Posúďte jeho prijateľnosť. ♠ (NPV = 306 923 Sk, prijateľný) 13. Nájdite účtovnú výnosnosť projektu s očakávanými výnosmi 250, 280, 330, 270, 220 a 180 tis. Sk a s nákladmi 300, 200, 250, 250, 180 a 160 tis. Sk počas nasledujúcich 6 rokov. Projekt predpokladá na začiatku nákup zariadenia v cene 84 tis. Sk, ktoré bude odpisované ročne čiastkou 14 tis. Sk. Jeho predpokladaná zvyšková hodnota je 14 tis. Sk. ♠ (ARR = 0,67) 14. Máte dva nezlučiteľné projekty A(-2 000, 1 500, 2 000) a B(-3 000, 2 400, 1 440). Porovnajte ich z hľadiska NPV, PP a IRR pri cene kapitálu 9 %. ♠ (NPVA = 1 060 Sk, NPVB = 414 Sk, PPA = 1,25 roka, PPB = 1,42 roka, IRRA = 0,443, IRRB = 0,2) 15. Začiatočná investícia do projektu je 5 000 000 Sk. Životnosť projektu je 5 rokov s pravidelnými ročnými odpismi 1 000 000 Sk a nulovou zvyškovou hodnotou. Predpokladané ročné výnosy po zdanení sú postupne 600 000, 1 800 000, 2 000 000, 2 800 000 a 3 000 000 Sk. Rozhodnite, či projekt bude akceptovaný na základe a) NPV, ak cena kapitálu je 16 % ♠ (NPV = 1 352 181 Sk, akceptovaný) b) PP, ak požadovaná doba návratnosti je 4 roky ♠ (PP = 3,21 roka, akceptovaný) c) ARR, ak požadovaná účtovná výnosnosť je 24 % ♠ (ARR = 81,6 %, akceptovaný).

FINANČNÁ MATEMATIKA 52 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

16. Firma má k dispozícii 315 000 USD a uvažuje o niektorých výrobných zlepšeniach prinášajúcich trvalé zvýšenia peňažných prítokov. Projekt A B C D E

Náklady 300 000 100 000 100 000 20 000 30 000

Prítoky 57 000 20 000 12 000 22 000 7 500

A, B sa vzájomne vylučujú. Ak je prijatý A, náklady E budú len 10 000 USD. Ak je prijatý B, bude usporených 5 000 Sk pri inštalácii E a ročné prítoky E budú 9 000 USD. Všetky ostatné projekty sú nezávislé. Ktoré projekty by mala firma akceptovať? ♠ (B & D & E) 17. Podnik má na investovanie 500 000 Sk. Uvažujme štyri nezávislé projekty. Projekt A B C D

Zač. cena 250 000 100 000 200 000 150 000

Súč.hodnota 330 000 200 000 280 000 300 000

Ktoré projekty by mala firma prijať? ♠ (B & C & D) 18. Firma zvažuje tri projekty A, B a C, ktorých začiatočné ceny sú postupne 1, 3 a 5 mil. Sk a čisté súčasné hodnoty z nich plynúcich peňažných prítokov sa odhadujú na 0.2, 2.1 a 3.2 mil. Sk. Projekt A prijatý spolu s B by si znížil začiatočnú investíciu na 3.6 mil. Sk, kým projekt B spolu s C na 6 mil. Sk a čistá súčasná hodnota prítokov z tohto druhého spojenia by bola 5.8 mil. Sk. Ktoré projekty by mala firma vybrať, keď všetky ostatné peňažné toky sú nezávislé? ♠ (B&C) 19. Investor zvažuje 6 nezávislých projektov A až F, ktorých začiatočné ceny sú postupne 50, 140, 100, 120, 150 a 70 mil. Sk a čisté súčasné hodnoty 20, 90, 80, 60, 90 a 65 mil. Sk. Ktoré projekty si má vybrať, ak má k dispozícii 300 mil. Sk? ♠ (C&D&F) 20. Uvažujte projekt so začiatočnou investíciou 300 000 Sk. Životnosť projektu je päť rokov s pravidelnými odpismi 60 000 Sk. Predpokladané ročné výnosy po zdanení sú postupne 35 000, 42 000, 95 000, 140 000 a 100 000 Sk. Nájdite NPV tohto projektu pri 12 % ročnej úrokovej miere a posúďte, či bude projekt akceptovaný. ♠ (NPV = -21 934 Sk, neakceptovaný)

FINANČNÁ MATEMATIKA 53 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

5

RIZIKO A VÝNOS

Cieľ Zníženie rizika pri investovaní vytváraním vhodných kombinácií východiskových zložiek.

Okruh otázok

• • • •

Čo rozumiete pod pojmom diverzifikácia portfólia? Ako vypočítate výnosnosť a riziko portfólia? Aký spôsob merania rizika portfólia poznáte? Čo je prípustná a efektívna množina portfólií?

5.1 Finančné riziko Finančné transakcie sú ovplyvňované mnohými náhodnými faktormi, ktorých dopad na konkrétnu ekonomickú veličinu zväčša nie je možné presne určiť. Veličinu vtedy považujeme za náhodnú veličinu (viď príloha). Snažíme sa stanoviť jej očakávanú hodnotu, prípadne variabilitu. V tejto kapitole budú takýmito veličinami budúce miery výnosu a riziká kapitálových aktív. Mierou výnosu (výnosnosťou) aktíva za isté časové obdobie nazveme podiel hodnoty dodatočných finančných tokov z aktíva na začiatku obdobia. Kvôli názornosti pod aktívami budeme rozumieť zväčša rizikové cenné papiere a budeme uvažovať obdobie v dĺžke jedného roka, hoci nasledujúce úvahy budú mať všeobecnú platnosť. Mieru výnosu cenného papiera alebo portfólia označíme r , strednú (očakávanú) hodnotu, resp. smerodajnú odchýlku (riziko) miery výnosu označíme r , resp. σ . Pre označenie kovariancie výnosnosti použijeme kij , ako je to bežné vo finančnej literatúre. Uvažujme portfólio vytvorené z n rizikových cenných papierov (alebo portfólií, či n iných aktív) s mierami výnosu r1, , r2 ,...rn a kovariančnou maticou K = (k ij )i , j =1 , kde kii = σ i2 je rozptyl miery výnosu i -teho cenného papiera (ďalej len CP ) a kij je kovariancia miery výnosu i -teho a j -teho CP (pozri prílohy). Nech w1 , w2 ,..., wn sú váhy príslušnej kombinácie n

( wi ≥ 0 a ∑ w i = 1 ), váha wi je pomerná časť hodnoty i -teho CP z hodnoty celého i =1

portfólia. Pre strednú hodnotu rP a smerodajnú odchýlku σ P miery výnosu portfólia platí n

rP = ∑ wi ⋅ ri i =1

n

n

i =1

j =1

σ = ∑∑ w ⋅ w ⋅ k = w ⋅ K ⋅ w , T

2

P

i

j

ij

kde w je riadkový vektor váh a w T je odpovedajúci stĺpcový vektor váh. Ak uvažujeme portfólio vytvorené z dvoch CP s očakávanými mierami výnosu r1 a r2 , smerodajnými odchýlkami σ 1 a σ 2 a váhami w a 1 − w , potom

FINANČNÁ MATEMATIKA 54 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

rP = w ⋅ r1 + (1 − w) ⋅ r2

σ = w ⋅ σ + 2w(1 − w)σ ⋅ σ + (1 − w) ⋅ σ . 2

P

2

2

2

1

1

2

2

2

Prípustná množina portfólií vytvorených z viacerých CP má tvar dáždnika. Body J , K na obrázku reprezentujú portfóliá s najväčším a najmenším možným rizikom v danej prípustnej množine portfólií a body L, N predstavujú portfóliá s najmenšou a najväčšou možnou očakávanou mierou výnosu. Efektívne portfólio má spomedzi prvkov prípustnej množiny najväčšiu očakávanú mieru výnosu pri danej smerodajnej odchýlke miery výnosu a súčasne najmenšiu smerodajnú odchýlku pri danej očakávanej miere výnosu. Efektívnou množinou nazývame množinu efektívnych portfólií.

Príklad. Nech portfólio P je tvorené akciami A, B, C podľa tabuľky Akcie Počet Cena jednej akcie Miery výnosu 0.12, 0.10, 0.13, 0.14, 0.11 40 100 A 0.09, 0.08, 0.07, 0.10, 0.09 50 100 B 0.19, 0.18, 0.20, 0.18, 0.21 30 200 C

Aký je odhad strednej hodnoty a smerodajnej odchýlky miery výnosu tohto portfólia, ak výnosy za obdobie posledných 5 rokov boli také, ako je uvedené v tabuľke. Riešenie: Cena portfólia je 100*40+100*50+200*30=15 000. Váhy CP sú wA =100*40/15 000=0,2667, wB =100*50/15 000=0,3333, wC =200*30/15 000=0,4. Očakávané miery výnosu sú rA = (0,12+0,10+0,13+0,14+0,11)/5=0,12 rB = (0,09+0,08+0,07+0,10+0,09)/5=0,086 rC = (0,19+0,18+0,20+0,18+0,21)/5=0,192 Očakávaná miera výnosu portfólia je rP = wArA + wB rB + wC rC =0,2667.0,12+0,3333.0,086+0,4.0,192=0,1375 Smerodajné odchýlky miery výnosu sú 1 n σ A2 = k AA = ∑ (rAi − rA ) 2 = 0.2000 n i =1

FINANČNÁ MATEMATIKA 55 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1 n ∑ (rB − rB )2 = 0.1040 B BB n i=1 i 1 n σ C2 = kCC = ∑ (rCi − rC ) 2 = 0.1369 n i=1

σ =k = 2

Ostatné kovariancie sú

1 n ∑ (rA − rA )(rBi − rB ) = 0.0400 n i=1 i 1 n = kCA = ∑ (rAi − rA )(rCi − rC ) = -0.0200 n i=1 1 n = kCB = ∑ (rBi − rB )(rCi − rC ) = -0.0320 n i=1 0.0400 − 0.0200   0.2000   0.1040 − 0.0320  K =  0.0400  - 0.0200 - 0.0320 0.1369  

k AB = k BA =

k AC k BC Kovariančná matica má tvar Rozptyl miery výnosu portfólia je

0.0400 − 0.0200  0.2667   0.2000    σ P = wKw = (0.2667, 0.3333, 0.4) 0.0400 0.1040 − 0.0320  0.3333  =0.00004199  - 0.0200 - 0.0320 0.1369  0.4000   Smerodajná odchýlka miery výnosu portfólia je σ P = 0.00004199 = 0.00648 2

T

(riešenie pomocou MATLABU): >> A=[0.12,0.10,0.13,0.14,0.11]; >> B=[0.09,0.08,0.07,0.10,0.09]; >> C=[0.19,0.18,0.20,0.18,0.21]; >> rA=mean(A),rB=mean(B),rC=mean(C) rA = 0.1200 rB = 0.0860 rC = 0.1920 >> sA=std(A,1),sB=std(B,1),sC=std(C,1) sA = 0.0141 sB = 0.0102 sC = 0.0117 >> covAB=cov(A,B,1),covAC=cov(A,C,1),covBC=cov(B,C,1) covAB = 1.0e-003 * 0.2000 0.0400 0.0400 0.1040 covAC = 1.0e-003 * 0.2000 -0.0200 -0.0200 0.1360 covBC = 1.0e-003 * 0.1040 -0.0320 -0.0320 0.1360 >> rp=0.2667*rA+0.3333*rB+0.4*rC rp = 0.1375 >> K=cov([A(:),B(:),C(:)])

FINANČNÁ MATEMATIKA 56 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

K= 1.0e-003 * 0.2000 0.0400 -0.0200 0.0400 0.1040 -0.0320 -0.0200 -0.0320 0.1369 >> w=[0.2667,0.3333,0.4],wT=[0.2667;0.3333;0.4] w= 0.2667 0.3333 0.4000 wT = 0.2667 0.3333 0.4000 >> sPnadruhu=w*K*wT sPnadruhu = 4.1993e-005 teda σ P = 0.000041993 = 0.00648

5.2 Priamka kapitálového trhu Uvažujme portfóliá vytvorené zo skupiny rizikových CP a s časťou investície v bezrizikovom aktíve, ktoré je určené zaručenou mierou výnosu rf a nulovou smerodajnou odchýlkou miery výnosu. Portfólio M s parametrami rM ,σ M sa nazýva trhové portfólio, v ktorom je každý CP zastúpený takou pomernou časťou wi ako na celom trhu rizikových CP . Keďže kovariancia mier výnosu bezrizikového aktíva s mierou výnosu ktorejkoľvek skupiny rizikových CP je nulová, portfólio vytvorené z rizikových CP a bezrizikového aktíva bude ležať na polpriamke (dotyčnica k efektívnej množine) so začiatočným bodom (0, rf ) a prechádzajúcej bodom (σ M , rM ) . Jej rovnica má tvar rP = rf +

rM − rf

σM

σP ,

a nazýva sa priamka kapitálového trhu ( CML − Capital Market Line) a je súčasne efektívnou množinou portfólií v prípade kombinovania rizikových CP a bezrizikového aktíva.

FINANČNÁ MATEMATIKA 57 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

5.3 Priamka trhu cenných papierov Priamka kapitálového trhu sa týkala len efektívnych portfólií. Podobný vzťah sa dá odvodiť aj pre ľubovoľné prípustné portfólio. V tomto prípade hovoríme o priamke trhu cenných papierov ( SML − Security Market Line) ri = rf + (rM − rF )β i ,

kde β i =

Cov(ri , rM )

σ M2

je koeficient vyjadrujúci mieru rizika.

Poznámka. Podrobnejšie sa s danou tematikou môžete oboznámiť v [Cipra, T.: Finanční matematika v praxi].

Zhrnutie Miera výnosu portfólia

n

rP = ∑ wi ⋅ ri i =1

Rozptyl výnosu portfólia

n

n

σ = ∑∑ w ⋅ w ⋅ k = w ⋅ K ⋅ w 2

P

i

i =1

j

T

ij

j =1

rM − rf

σP

Priamka kapitálového trhu

rP = rf +

Priamka trhu cenných papierov

ri = rf + (rM − rF )β i

σM

Cvičenia 1. Nech portfólio P je tvorené akciami A, B, C podľa tabuľky Akcie Počet Cena jednej akcie Miery výnosu 0.16, 0.18, 0.14, 0.16 40 100 A 0.24, 0.28, 0.22, 0.26 50 100 B 0.27, 0.24, 0.30, 0.27 30 200 C Aká je stredná hodnota a smerodajná odchýlka miery výnosu tohto portfólia, ak výnosy za obdobie posledných 4 rokov boli také, ako je uvedené v tabuľke. ♠ ( rP = 0.2340, σ P = 0.00333 ) 2. Nech portfólio P je tvorené akciami A, B, C podľa tabuľky Akcie Počet Cena jednej akcie Miery výnosu A 100 40 0.18, 0.20, 0.10, 0.12 B 100 50 0.26, 0.30, 0.20, 0.24 C 200 30 0.37, 0.34, 0.30, 0.27 Aká je stredná hodnota a smerodajná odchýlka miery výnosu tohto portfólia, ak výnosy za obdobie posledných 4 rokov boli také, ako je uvedené v tabuľke. ♠ ( rP = 0.2513, σ P = 0.0351 )

FINANČNÁ MATEMATIKA 58 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3. Vypočítajte očakávanú výnosnosť portfólia P, vytvoreného z dvoch CP A1 , A2 , keď r1 = 0.2, r2 = 0.25, σ P2 = 0.00856 a kovariančná matica ich výnosností je  0.008 0.0085   . ♠ ( rP = 0.22) K =   0.0085 0.01  4. Nájdite smerodajnú odchýlku výnosnosti portfólia pozostávajúceho z troch CP v hodnotovom pomere 7 : 10 : 3 , keď kovariančná matica výnosností týchto CP je  0.0012 0.0011 0.0011    K =  0.0011 0.0012 0.0012  . ♠ ( σ P = 0.034 )  0.0011 0.0012 0.0013    5. Investor plánuje nakúpiť akcie A1 , A2 , ktorých výnosnosti sú 9% a 10%, smerodajné odchýlky výnosností sú 4% a 5% a korelačný koeficient ich výnosností je 0,5. Nájdite očakávanú výnosnosť a smerodajnú odchýlku portfólia, ktoré vznikne investovaním 75% prostriedkov akcií A1 a zvyšku do akcií A2 . ♠ ( rP = 9.25%, σ P = 3.8% ) 6. Nájdite portfólio s čo najmenším rizikom, vytvorené z dvoch akcií, ktorých charakteristiky sú r1 = 0.04, r2 = 0.092, σ 12 = 0.013, σ 22 = 0.0176, ρ = −0.7 . ♠ ( w = 0.538 , rP = 0.064, σ P = 0.1131 ) 7. V akom pomere nakúpi investor akcie A1 , A2 , keď chce minimalizovať riziko výnosností? Stredné hodnoty a smerodajné odchýlky výnosností sú u týchto akcií r1 = 0.18, r2 = 0.2, σ 12 = 0.08,σ 22 = 0.1 a korelačný koeficient je ρ = 0.7 . ♠ ( A1 : A2 = 5 : 2 ) 8. Poznáme dve efektívne portfóliá P1 , P2 s charakteristikami (σ 1 , r1 ) = (0.2, 0.121) a (σ 2 , r2 ) = (0.18, 0.111) . Nájdite rovnicu priamky kapitálového trhu. ♠ ( r = 0.5σ + 0.021 ) 9. Na trhu CP je popri investovaniu do rizikových CP možnosť bezrizikovej výpožičky pri úrokovej sadzbe rf . Poznáme dve efektívne portfóliá s charakteristikami

(σ 1 , r1 ) = (0.1, 0.105) a (σ 2 , r2 ) = (0.5, 0.405) . Aká je úroková sadzba

priamky kapitálového trhu. ♠ ( rf = 0.03, r = 0.75σ + 0.03 ) 10. Doplňte nasledujúcu tabuľku a nájdite rovnicu trhu cenných papierov. CP ri σi βi 1 0.04 0.6 2 0.13 0.07 1.1 ♠ ( r1 = 0.1224, ri = 0.β i + 0. )

rf ? Nájdite rovnicu

FINANČNÁ MATEMATIKA 59 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

6

PRÍLOHY

6.1 Náhodné javy a ich pravdepodobnosti Pravdepodobnostné modely sa zaoberajú popisom procesov, ktoré sú ovplyvňované množstvom činiteľov, pričom tieto činitele poznáme iba čiastočne, alebo ich nevieme určiť vôbec . Tieto činitele spôsobujú, že pri rovnakých základných podmienkach výsledok procesu je náhodný. Veličinu X, ktorej hodnoty sú úplne určené výsledkom náhodného procesu, nazývame náhodnou premennou (veličinou). Náhodné premenné delíme na diskrétne a spojité. Diskrétne náhodné premenné sú často charakterizované pravdepodobnostnou tabuľkou xi pi

x1

x2

K

p1

p2

K

Kde pi = P( X < x ) =

∑p

xi < x

i

∑

a platí rovnosť

n

i =1

xn pn

pi . Štatistickým odhadom pravdepodobnosti

m , kde m je počet tých pokusov z celkového počtu n pri ktorých n nastala hodnota xi . Jednou z možnosti popisu rozdelenia je zadanie distribučnej funkcie, ktorá každému reálnemu číslu priradí pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnoty menšie než toto číslo, t.j. pi je relatívna početnosť

F ( x) = P ( X ≤ x ) =

∑p

xi < x

i

Poznámka. Niekedy je distribučná funkcia definovaná ako F ( x) = P( X < x ) =

∑p

xi < x

i

. Pozor

na definíciu hlavne pri používaní matematického softvéru. Spojitou náhodnou premennou nazveme premennú X pre ktorú existuje taká nezáporná funkcia f ( x) , že distribučná funkcia x

F ( x) =

∫ f (t )dt

−∞

Funkcia

∫

∞

−∞

f ( x)

je hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej. Je zrejmé, že

f ( x)dx = F (∞) = 1 a

P( x1 ≤ x < x 2 ) =

x2

∫ f (t )dt = F ( x

2

) − F ( x1 )

x1

6.1.1 Charakteristiky polohy a variability

V praxi často sledujeme priemerné (očakávané) tempo rastu výroby, priemerné ceny, priemerné mzdy a pod. Používame pri tom jednoduchý aritmetický priemer hodnôt

FINANČNÁ MATEMATIKA 60 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

sledovaného kvantitatívneho znaku. Podobnú základnú, informáciu o rozložení náhodnej premennej X nám poskytuje stredná (očakávaná) hodnota µ = E ( X ) náhodnej premennej X (tzv. charakteristika polohy), kde ∞

E ( X ) = ∑ xi ⋅ pi , resp. E ( X ) = ∫ x ⋅ f ( x)dx i

−∞

pre diskrétnu, resp. pre spojitú náhodnú premennú. Nech postupnosť hodnôt x1 ,K, x n predstavuje nezávislé realizácie náhodnej premennej X , potom pre veľké n je E( X ) ≈ x =

1 (x1 + K + xn ) n

Aritmetický priemer x je štatistickým odhadom strednej hodnoty E ( X ) . Charakteristickou variability náhodnej premennej je rozptyl (variancia, disperzia) D( X ) pričom

(

D ( X ) = E [ X − E ( X )] 2

)

Druhá odmocnina z rozptylu je smerodajná odchýlka σ = σ X = D ( X ) . Ako odhad smerodajnej odchýlky sa používa modifikovaná výberová odchýlka, resp. štatistická smerodajná odchýlka 1 n ( xi − x ) 2 , resp. s x = ∑ n − 1 i =1

s *x =

1 n ( xi − x ) 2 ∑ n i =1

Najdôležitejším rozdelením spojitej náhodnej premennej je normálne rozdelenie N ( µ , σ 2 ) , kde hustota pravdepodobnosti je daná vzťahom f ( x) =

1

σ 2π

e

1  x−µ  −   2 σ 

, x ∈ R , µ = E ( X ) , σ = σ X = D( X )

Rozdelenie N (0,1) nazývame normované normálne rozdelenie. Prostriedkom merania „tesnosti“ vzťahu medzi dvoma náhodnými premennými je kovariancia a je definovaná vzťahom Cov XY = E{[X − E ( X )] ⋅ [Y − E (Y )]} = E ( XY ) − E ( X ) ⋅ E (Y )

Ak náhodné premenné X , Y zo systému ( X , Y ) sú nezávislé, Cov XY = 0 . Majme systém náhodných premenných ( X 1 ,K, X s ) a nech Covij = Cov X iYi a σ i = σ X i . Potom maticu  σ 12   Cov 21  K   Cov s1 

Cov12

σ

2 2

K Cov s 2

K Cov1s   K Cov 2 s  K K  K σ s2 

FINANČNÁ MATEMATIKA 61 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

nazývame kovariančnou maticou. Štatistickým odhadom kovariancie Cov X iYi je 1 n 1 n ( xi − x ) ⋅ ( yi − y ) = ∑ xi ⋅ yi − x ⋅ y ∑ n i =1 n i=1 * Výberová modifikovaná kovariancia je k xy číslo k xy =

n 1 n ⋅ k xy ( xi − x ) ⋅ ( yi − y ) = ∑ n − 1 i=1 n −1 Mieru lineárnej závislosti medzi náhodnými premennými X , Y udáva koeficient korelácie CorrXY a je daný vzťahom k xy* =

CorrXY =

Cov XY σ X ⋅σY

Koeficient korelácie nadobúda hodnoty z intervalu − 1,1 . Ak je koeficient korelácie CorrXY nulový, hovoríme, že náhodné premenné X , Y sú nekorelované. Majme systém náhodných k k* premenných ( X 1 ,K, X s ) a nech rij = ij = * ij * ≈ CorrX i X j , potom maticu si ⋅ s j si ⋅ s j  1 r12   r21 1 K K  r  s1 rs 2 kde rij = r ji nazývame korelačnou maticou.

K r1s   K r2 s  , K K  K 1 

6.2 Postupnosti, geometrický rad Postupnosť reálnych čísel je funkcia, ktorej definičným oborom je množina prirodzených čísel a oborom hodnôt je podmnožina množiny R . Hodnotu a n = f (n)

nazývame n -tým členom postupnosti. Nekonečnú postupnosť zapisujeme v tvare (a n )n =1 . ∞

∞

 1   Dôležitou postupnosťou je postupnosť  1 +   , pričom platí   n   n=1 n  1 lim 1 +  = e ≈ 2,718182... . n →∞  n Geometrická postupnosť je postupnosť, kde podiel dvoch po sebe idúcich členov (koeficient q ≠ 0 ) je konštantný, teda an+1 = an ⋅ q . Súčet prvých n členov pre q ≠ 1 je 1 − qn sn = a + a ⋅ q + a ⋅ q 2 + ... + a ⋅ q n−1 = a 1− q Nekonečný geometrický rad je rad utvorený z členov geometrickej postupnosti n

FINANČNÁ MATEMATIKA 62 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

a + a ⋅ q + a ⋅ q 2 + ... + a ⋅ q n−1 + ... . Pre |q|