Kapitel 9 Fuzzy-Regelung
29. Juni 2005
kognitiv versus klassisch
Ansatz nach Mamdani
Takagi und Sugeno
Plan
I
Kl¨arung der prinzipiellen Unterschiede zwischen der klassischen Regelungstechnik, und der Fuzzy-Regelung,
I
Vorstellen von zwei intuitiv motivierte Methoden der Fuzzy-Regelung,
I
einzelnen Schritte des Entwurfs und Probleme, die bei Entwurf und Optimierung eines Fuzzy-Reglers auftreten k¨onnen,
I
Entwicklung eines Fuzzy-Reglers, dem eine saubere Semantik auf der Basis von Gleichheitsrelationen zugrundeliegt. Es stellt sich heraus, daß dadurch einer der intuitiv motivierten Fuzzy-Regler auf einer formalen Basis hergeleitet werden kann.
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Ansatz nach Mamdani
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Allgemeiner Ansatz
I
Methoden der Fuzzy-Regelung werden anhand eines sehr vereinfachten Modells einer Regelstrecke vorgestellt,
I
Fuzzy-Regelung wird als M¨oglichkeit aufgefaßt, nichtlineare Kennfeldregler zu definieren, wobei die nichtlineare ¨ Ubertragungsfunktion definiert werden kann, ohne jeden einzelnen Wert des Kennfeldes angeben zu m¨ ussen,
I
Entwicklung entspricht einer Art wissenbasierter Interpolation.
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Modell eines regelungstechnischen Problems I
gegeben: technisches System (z.B. Motor, Klimaanlage)
I
wir schreiben ein gew¨ unschtes Verhalten vor (z.B. bestimmte Drehzahl, Raumtemperatur)
I
Ausgangsgr¨oße: eine Gr¨oße, die sich im Laufe der Zeit ver¨andern kann, die auf einen vorgegebenen Sollwert eingestellt werden soll (Drehzahl, Raumtemperatur),
I
Ausgangsgr¨oße wird durch eine Stellgr¨oße, die wir regulieren k¨ onnen, beeinflußt ( Stromzufuhr, Gaspedal, Gr¨oße der ¨ Offnung des Thermostatventils),
I
St¨orgr¨oßen, die ebenfalls einen Einfluß auf die Ausgangsgr¨oße aus¨ uben und sich im Zeitverlauf ¨andern k¨onnen (Beladung, Außentemperatur, Sonneneinstrahlung durch ein Fenster).
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Meßwerte
I
der aktuelle Stellwert wird auf der Basis der aktuellen ¨ Meßwerte f¨ ur die Ausgangsgr¨oße ξ und f¨ ur die Anderung der dξ Ausgangsgr¨oße M ξ = dt bestimmt,
I
Wird die Ausgangsgr¨oße in diskreten Zeittakten gemessen, setzt man M ξtn+1 = ξtn+1 − ξtn , so daß M ξ nicht zus¨atzlich gemessen werden muß.
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Stabbalance-Problem
m
g F M m g θ θ
M
F
Kraft punktf¨ormige Masse punktf¨ormige Masse Erdbeschleunigung Neigungswinkel
Takagi und Sugeno
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Meßgr¨oßen und Stellgr¨oße
Meßgr¨oßen Winkel θ und Winkelgeschwindigkeit θ˙ =
dθ dt ,
Ausgangsgr¨oße Winkel relativ zur vertikalen Achse, Stellgr¨oße Kraft F . Eine negative Winkelgeschwindigkeit entspricht einer Bewegung des Stabes im Uhrzeigersinn.
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Bezeichnungen
I
i.A. wird nicht nur ξ und ξ˙ gemessen, sondern auch h¨ohere Ableitungen von ξ oder weitere Gr¨oßen,
I
aktuelle Stellgr¨oße darf als weitere Meßgr¨oße verwendet werden,
I
Meßgr¨oßen bzw. Eingabegr¨oßen ξ1 , . . . , ξn mit Werten aus Xi und eine Stellgr¨oße“ η mit Werten aus Y ” L¨ osung der regelungstechnischen Aufgabe: Bestimmung einer geeigneten Kontrollfunktion
I
ϕ : X1 × . . . × Xn → Y mit: (x1 , . . . , xn ) 7→ y x1 , . . . , xn – Meßwerte, y – Stellwert
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Fortsetzung– Stabbalance-Problem X1 = [−90, 90] f¨ ur den Winkel (in Grad), X2 = [−45, 45] f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit (in Grad pro Sekunde) Y = [−10, 10] f¨ ur die Kraft (in Newton) I
klassisch wird ϕ oft als L¨osung von Differentialgleichungen ermittelt, ¨ (M+m)sin2 θ·l·θ+m·l·sinθ·cosθ· θ˙2 −(m+M)·g ·sinθ = −F ·cosθ F (t) muß so bestimmt werden, daß limt→∞ {θ(t)} = 0 und θ˙ geeigneten Verlauf hat.
I
dazu muß die Gleichung ein gutes Modell der Realit¨at sein, d.h. man braucht physikalische Kenntnisse u ¨ber den Prozeß!
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Alternative
I
ein Mensch kann Fahrrad fahren, ohne u ¨berhaupt zu wissen, was Differentialgleichungen sind,
I
bei der klassischen regelungstechnischen Methode wird der Prozeß modelliert,
I
stattdessen soll das Verhalten eines Menschen, der diesen Prozeß regeln kann, zu modelliert und zu simuliert werden.
I
Das Aufstellen eines Modells f¨ ur das Verhalten eines menschlichen Regelungsexperten “heißt kognitive Analyse ” der Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischen Regeln.
I
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Fuzzy IF-THEN-Regeln
Wenn θ ungef¨ahr Null und θ˙ ebenfalls ungef¨ahr Null ist, dann muß auch F ungef¨ahr Null sein. I
Pr¨amisse beschreibt eine Situation in Form einer (unscharfen) Spezifikation der Werte der Meßgr¨oßen, Konklusion gibt einen geeigneten (unscharfen) Stellwert f¨ ur diese Situation,
I
eine automatisierte Regelung erfordert aber, daß bei gegebenen scharfen Werten f¨ ur die Meßgr¨oßen ein geeigneter scharfer Wert f¨ ur die Stellgr¨oße berechnet wird.
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Architektur eines Fuzzy-Reglers
Wissensbasis
Fuzzyfikationsinterface
fuzzy
Entscheidungslogik
fuzzy
nicht fuzzy
Defuzzyfikationsinterface
nicht fuzzy Meßwerte
geregeltesSystem
Reglerausgabe
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Komponenten eines Fuzzy-Reglers I
Fuzzifizierungs-Interface nimmt den Meßwert auf, transformiert ihn gegebenenfalls in einen geeigneten Wertebereich (Skalierung), umwandeln des Meßwertes in einen linguistischen Term oder eine Fuzzy-Menge,
I
Wissensbasis beinhaltet zum einen Informationen u ¨ber die Wertebereiche der Meß- und Stellgr¨oßen, eventuelle Normierungen und die zu den linguistischen Termen assoziierten Fuzzy-Mengen (Datenbasis), enth¨alt eine (Fuzzy-)Regelbasis,
I
Entscheidungslogik aus den Meßgr¨oßen werden mit Hilfe der Wissensbasis Informationen u ¨ber die Stellgr¨oße gewonnen, Defuzzifizierungs-Interface bestimmt aus den gewonnenen Informationen u ¨ber die Stellgr¨oße einen scharfen Stellwert.
I
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Partitionierung
I
Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischen Regeln,
I
linguistische Terme werden festgelegt: jede der Mengen X1 , . . . , Xn und Y wird mit Hilfe von Fuzzy-Mengen partitioniert“, ” auf X1 definiert man p1 verschiedene Fuzzy-Mengen (1) (1) µ1 , . . . µp1 ∈ F(X1 ) und assoziiert jede dieser Fuzzy-Mengen mit einem linguistischen Term (negativ klein, negativ mittel, ungef¨ahr Null)
I
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Partitionierung auf R Falls X1 = [a, b] ⊂ R, im Inneren“oft Dreiecksfunktionen: ” µx0 ,ε (x) = 1 − min{ε · |x − x0 |} am linken Rand“ ” (1) µ1 (x)
( 1, = 1 − min{ε · (x − x1 ), 1},
am rechten Rand“ ” ( 1, (1) µp1 (x) = 1 − min{ε · (xp1 − x), 1},
falls x ≤ x1 ; sonst.
falls xp1 ≤ x; sonst.
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Partitionierung I
I
I
linguistische Terme wie ungef¨ahr Null“, positiv klein“ ” ” k¨ onnen, bezogen auf die Meßgr¨oße ξ1 , durchaus etwas anderes bedeuten als f¨ ur die Meßgr¨oße ξ2 Dreiecksfunktionen werden vor allem deswegen verwendet, weil die innerhalb des Fuzzy- Reglers durchzuf¨ uhrenden Berechnungen bei st¨ uckweise linearen Funktionen sehr einfach werden h¨aufig werden die Fuzzy-Mengen so gew¨ahlt, daß sie der Disjunktheitsforderung (1)
(1)
i 6= j ⇒ sup{min{µi (x), µj (x)}} ≤ 0.5.
I
entsprechen. entsprechende Partitionierung µ1 , . . . µp ∈ F(Y ) wird auch f¨ ur Y vorgenommen.
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Partitionierung Stabbalance
negativ groß
negativ klein 1
positiv klein
positiv groß
0.5
-90
negativ mittel
ungef¨ahr Null
positiv mittel
90
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Partitionierung Stabbalance
I
f¨ ur X1 wie Abbildung, Dreiecke haben eine Breite von 45 (ein Viertel des Grundbereichs),
I
f¨ ur X2 (Winkelgeschwindigkeit) Tr¨agermengen mit eine Breite von 22.5,
I
f¨ ur Y = [−10, 10] Tr¨agermengen der Fuzzy-Mengen mit einer Breite von 5
Die Partitionierungen und zug¨ohrigen linguistischen Terme bilden die Datenbasis
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Regelbasis
I
Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B | (r = 1, . . . , k).
I
Ai1,r , . . . , Ain,r und B sind linguistische Terme, die den (1)
(n)
Fuzzy-Mengen µi1,r , . . . µin,r bzw. µir gem¨aß den Partitionierungen der Mengen X1 , . . . , Xn bzw. Y entsprechen I
Kontrollregeln werden beim Ansatze von Mamdani nicht als Implikationen, sondern im Sinne einer st¨ uckweise definierten Funktion verstanden werden.
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Regelbasis Stabbalance
θ ng ng nm nk θ˙ uN pk pm pg
nm ng
nm
nm
nk pk nk nk
uN pg pm pk uN nk nm ng
pk
pm
pg
pk pk
pm
pg pm
nk if θ is ungef¨ahr Null and θ˙ is negativ mittel then F is positiv mittel.
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Entscheidungslogik I
zun¨achst wird jede Regel Rr einzeln ausgewertet, if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B
I
man bestimmt den Erf¨ ullungs- oder Akzeptanzgrad zu dem die Pr¨amisse bei vorgegebenen Meßwert erf¨ ullt ist, f¨ ur j = 1, . . . n berechnet man µ(j) (xj ), d.h. wie gut xj dem lingustischen Term von µ(j) entspricht
I
da (x1 , . . . , xn ) die Terme Ai1,r , . . . Ain,r erf¨ ullen soll, m¨ ussen (j)
die Werte µij,r (xj ) konjunktiv verkn¨ upft werden, (1)
(n)
αr := min{µi1,r (x1 ) . . . µin,r (xn )} αr gibt den Erf¨ ullungsgrad der Regel Rr an.
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Ausgabe
I
als Ausgabe von Rr ergibt sich die Fuzzy-Menge von Stellwerten, die man durch Abschneiden“ der Fuzzy-Menge ” µir der Regel Rr beim Grad αr
I
zu jedem m¨oglichen Stellwert y berechnen wir: output(Rr )
µx1 ...,xn
I
(1)
(1)
(n)
(y ) = min{µi1,r (x1 ) . . . µin,r (xn ), µir (y )} (n)
falls µi1,r (x1 ) = . . . = µin,r (xn ) = 1, folgt output(R )
µx1 ...,xn r (y ) = µir (y ), (j) output(R ) falls f¨ ur ein j gilt µij,r (xj ) = 0 dann folgt µx1 ...,xn r (y ) = 0.
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Output-Stabbalance I
I I
˙ = −2.25◦ · s −1 . Sei θ = 36◦ , (θ) Es gibt nur zwei Regeln, f¨ ur die der Wert αr nicht Null wird, n¨amlich: ˙ is ungef¨ahr Null then F R1 if θ is positiv klein and theta is positiv klein, und ˙ is ungef¨ahr Null then R2 if θ is positiv mittel and theta F is positiv mittel.
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Ansatz nach Mamdani
Output-Stabbalance I αr = 0.4 = min{0.4, 0.8} und wir erhalten: 2 falls 0 ≤ y ≤ 1, 5 · y, 0.4, falls 1 ≤ y ≤ 4, output(R ) µ36,−2.25 1 (y ) = 2 2 − 5 · y falls 4 ≤ y ≤ 5, 0, sonst. αr = 0.6 = min{0.6, 0.8} und wir erhalten: 2 5 · y − 1, falls 2.5 ≤ y ≤ 4, 0.6, falls 4 ≤ y ≤ 6, output(R ) µ36,−2.25 2 (y ) = 2 3− 5 ·y falls 6 ≤ y ≤ 7.5, 0, sonst.
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kognitiv versus klassisch
Winkel θ
1
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Winkelgeschwindigkeit
Kraft F
1
0.4 θ˙ 0
22.5 36 45 positiv klein
1
-11.5 -2.25 11.25 ungef¨ahr Null Auswertung der Regel R1
0
1
2.5 5 positiv klein
1
0.6 0.4 θ˙ 22.5 36 45 67.5 positiv klein
-11.5 -2.25 11.25 ungef¨ahr Null Auswertung der Regel R2
2.5
F 5 7.5 positiv klein
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Auswertung
I
Fuzzy-Mengen, die aus der Auswertung der anderen Regeln kommen, brauchen nicht ber¨ ucksichtigt zu werden,
I
nachdem die Entscheidungslogik jede einzelne Regel ausgewertet hat, m¨ ussen die Ergebnis-Fuzzy-Mengen mittels Maximumbildung zu einer Fuzzy-Menge zusammengesetzt werden
I
µx1 ...,xn (y ) = maxr =1,...k {min{µi1,r (x1 ) . . . µin,r (xn ), µir (y )}}
I
diese Fuzzy-Menge geht an das Defuzzyfizierungs-Interface.
(1)
(n)
kognitiv versus klassisch
Ansatz nach Mamdani
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Die Fuzzy-Menge µoutput 36,−2.25
1
0.6 0.4
1
3.5 4
6
7.5
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Takagi und Sugeno
Max-Kriterium-Methode
I
es wird ein beliebiger Wert y ∈ Y ausgew¨ahlt, f¨ ur den die Fuzzy-Menge µoutput ihren maximalen Zugeh¨ o rigkeitsgrad x1 ,...,xn annimmt, (im Beispiel y ∈ [4, 6])
I
Vorteil: Methode ist auch anwendbar, wenn Y eine keine Teilmenge der reellen Zahlen ist,
I
Nachteil: das Verhalten des Fuzzy-Reglers ist nicht-deterministisch, kann sehr sprunghaft sein.
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Mean-of-Maxima-Methode (MOM)
Y muß ein Intervall sein, 0 output 0 output Max(µoutput x1 ...,xn ) = {y ∈ Y | ∀y ∈ Y : µx1 ...,xn (y ) ≤ µx1 ...,xn (y )}
muß nicht leer und (Borel-)meßbar sein. 1 · η= Max(µoutput x1 ...,xn ) η=R
1 dy y ∈Max(µoutput x1 ...,xn )
X
y
y ∈Max(µoutput x1 ...,xn )
Z ·
y ∈Max(µoutput x1 ...,xn )
ydy
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Ansatz nach Mamdani
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Beispiel Fuzzy-Regler soll ein Modellauto so lenken, daß es Hindernissen automatisch ausweicht. Ergebnis der Entscheidungslogik bei Hindernis genau in Fahrtrichtung 1
Weiche nach links oder nach rechts aus
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Mean-of-Maxima-Methode (MOM)
I I
I
I
I
I
nicht unbedingt η ∈ Max(µoutput x1 ...,xn ), f¨ uhrt (bei Dreiecksfunktionen auf Y ) zu einem unstetigem Verlauf der Stellgr¨oße. oft wird Max(µoutput x1 ...,xn ) durch die Fuzzy-Menge µir bestimmt, bei der der Erf¨ ullungsgrad der Pr¨amisse von Rr am gr¨oßten ist, Max(µoutput x1 ...,xn ) ist dann ein symmetrisches Intervall um den Punkt yir , bei dem µir den Wert 1 hat, erreicht eine andere Regel Rs h¨ohere Priorit¨at pendelt ¨andert sich das Verhalten sprunghaft zu yis . ¨ ruckartige Anderungen in der Regelstrecke und starke Belastung der Stelleinrichtung sind die Folge
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Schwerpunktsmethode (Centre-of-Gravity-Methode, COG) I
Voraussetzungen wie bei MOM,
I
η berechnet sich als Wert, der unter dem Schwerpunkt der durch µoutput ache liegt, x1 ...,xn und der y-Achse begrenzten Fl¨ Z 1 · y · ∈ µoutput η=R x1 ...,xn (y )dy output µ (y )dy y ∈Y x ...,x n 1 y ∈Y
I
Vorteil: fast immer ein relativ glattes Regelverhalten,
I
Nachteile: Schwerpunktsbildung ist formal aus der Sicht der Theorie der Fuzzy-Mengen kaum zu rechtfertigen, ist sehr aufwendig zu berechnen, Anomalien k¨onnen trotzdem auftreten.
I
heißt auch Centre-of-Area-Methode (COA)
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Ansatz nach Mamdani
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Beispiel Defuzzyfizierung f¨ ur Stabbalance mit Mittelwerts- und Schwerpunktmethode
1
0.6 0.4
1
3.5 4 COG MOM
6
7.5
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Ansatz nach Mamdani
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Konvexe Fuzzy-Mengen
I
Anomalie bei Defuzzyfizierung mit MOM oder CGA tritt bei konvexen Fuzzy-Mengen nicht auf,
I
Konvexe Fuzzy-Mengen k¨onnen als Repr¨asentation eines einzelnen (unscharfen)Wertes oder Intervalls aufgefaßt werden,
I
manchmal sind aber zwei gegens¨atzliche Kontrollaktionen plausibel,
I
die Kontrollregeln beschreiben in diesem Fall ein nicht-deterministisches Verhalten des Kontrollexperten, der sich zwischen zwei Alternativen (z.B. nach links oder nach rechts auszuweichen) entscheiden kann
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Ansatz nach Mamdani
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Defuzzifizierung
(i) Umwandlung einer Fuzzy-Menge in scharfe Werte, (ii) Auswahl einer Aktion unter mehreren Kontrollaktionen. I
falls die zu defuzzifizierende Fuzzy-Menge einen einzelnen (unscharfen) Stellwert repr¨asentiert, entf¨allt (ii),
I
falls die Fuzzy-Menge aber eine Menge mit mehreren Elementen darstellt, m¨ ussen die Aufgaben (i) und (ii) durchgef¨ uhrt werden, wobei die Reihenfolge beachtet werden muß,
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Ansatz nach Mamdani
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Defuzzifizierung
I
zuerst (ii): bestimmen eine (Teil-)Fuzzy-Menge aus µoutput x1 ...,xn , die nur ein Element wiedergibt und defuzzyfizieren diese (z.B. mit MOM oder COG),
I
zuerst (i), wir erhalten eine mehrelementige Menge m¨oglicher Werte und w¨ahlen danach einen beliebigen Wert aus
I
Ausweg: Kontrollregeln so formulieren, daß sie einen deterministischen Kontrollexperten modellieren,
I
bessere Zuverl¨assigkeit und Vorhersagbarkeit,
I
formal: bei der Spezifikation der Regeln werden keine Relationen R ∈ ((X1 × ... × Xn ) × Y ) beschrieben, sondern sich auf eine Funktion ϕ : X1 × ... × Xn → Y
kognitiv versus klassisch
Ansatz nach Mamdani
Takagi und Sugeno
Der Unterschied
I
ist eine Modifizierung des Ansatzes von Mamdani,
I
die Mengen X1 , . . . Xn f¨ ur die Meßgr¨oßen werden wie bei Mamdani durch Fuzzy-Mengen partitioniert,
I
die m¨oglichen Stellwerte Y werden nicht partitioniert,
I
Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η = fr (ξ1 . . . ξn )
I
f : X1 × ... × Xn → Y , meist linear: fr (x1 , . . . , xn ) = P i=1,.k αr · fr (ξ1 . . . ξn ) P η(ξ1 . . . ξn ) = i=1,.k αr
P
(r )
ai xi
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Tagaki-Sugeno
I
die mit den Erf¨ uullungsgraden der Pr¨amissen gewichtete Summe der Ausgabewerte der einzelnen Regeln wird als Stellwert verwendet,
I
eine Defuzzifizierung ist daher beim Sugeno-Regler nicht notwendig.
