Kapitel 6: Trigonometrie

HTL 2

Cluster 3

6.1

Bestimme die Kraft auf Seil und Druckstab, hervorgerufen von einer belastenden Gewichtskraft von 5 000 N.

Seil 500N

100° Stab

60°

6.2

Ein Turmdach soll mit Kupfer gedeckt werden. Der Grundriss des Turms ist quadratisch und die Giebel stellen gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge von 4 m dar. Berechne die Menge an Kupferblech, inkl. 5 % Verschnitt, zum Decken der vier rautenförmigen Dachflächen.

6.3

In welchem Abstand d muss eine Person mit der Körpergröße h zu einem Spiegel der Höhe s stehen, damit diese sich vollständig sehen kann?

6.4

Begründe, warum ein Kinderwagen derselben Abmessungen mit vier Rädern stabiler gegen eine seitliche Kraft ist als sein dreirädriges Pendant.

S

a

F

S

M

a

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F

S

M

ó S

a

b

Kapitel 6: Trigonometrie

HTL 2

Cluster 3

6.5

Errechne, welche Person beim Tragen eines Schrankes über eine Treppe mit 30° den größeren Kraftaufwand hat! ð ’ D FP E FP P NJ J PV2

b F2

a

mg

ó F1

6.6

Erstelle eine geeignete Beschreibung des dargestellten Giebeldaches in der Ebene.

276 20°

358

6.7

Komplexe Zahlen Zeige, wie du unter Anwendung der komplexen Zahlen eine Halbkreisscheibe mit dem Radius R1 PLW]HQWULVFKHUKDOENUHLVIØUPLJHU$XVQHKPXQJPLWGHP5DGLXV R2 FPEHVFKUHLEHQNDQQVW

R1 R2

6.8

Komplexe Zahlen Ein Reinigungsroboter ist folgendermaßen programmiert: a. 9RP6FKUDQN6]XP7LVFK7XQGGLHVHOEH(QWIHUQXQJLPUHFKWHQ:LQNHOQDFKOLQNVxKLHULVWGLH7UHSSHLQGHQ.HOOHU b. Vom Schrank S zum Fenster F und dieselbe Entfernung im rechten Winkel nach rechts – hier ist die Treppe ins 2EHUJHVFKRÁ y c. Vom Schrank S zur Mitte zwischen den beiden vorigen Treppen – hier ist der $EIDOOHLPHU$ Unglücklicherweise ist der Schrank umgestellt worden. Beschreibe abstrakt (durch Angabe der Pfade) mit Hilfe der komplexen Zahlen, wie der Reinigungs Schrank S roboter trotzdem zum Abfalleimer findet. (Hilfe: Nimm die ursprüngliche Position GHV6FKUDQNVDQHLQHPZLOONÞUOLFKHQ3XQNWLQGHULPDJLQÆUHQ(EHQHDQOHJHGLH Tisch T „Stützpunkte Tisch und Fenster auf die Real-Achse). Fenster F

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x

Kapitel 6: Trigonometrie Cluster 3

6.9

Komplexe Zahlen

Elektrotechnik: Ohmscher Widerstand: __ ZR 5

1

Kapazitiver Widerstand:

Z j· ĈC __K _

Induktiver Widerstand:

Z j·ĈL __L _

1

Z ges Z ___ __1 + Z __2

Serienschaltung:

1 1 _ _ Z Z ges ___ __1

1

+_ Z __2

Z1·__ Z2 __

_ Z ges __ ___ Z1 + __ Z2

Parallelschaltung:

L

R

Berechne den Gesamtwiderstand folgender Abbildungen: 6.10

Komplexe Zahlen Elektrotechnik:

Ohmscher Widerstand:

Z __R 5

Kapazitiver Widerstand:

Z j· ĈC __K _

Induktiver Widerstand:

1 ZL _ j·ĈL __

Serienschaltung:

Parallelschaltung:

1

Z ges Z ___ __1 + Z __2 1 1 1 _ _ _ Zges __ Z1 + __ Z2 ___ Z1·__ Z2 __ _ Z ges __ ___ Z1 + __ Z2

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Kapitel 6: Trigonometrie

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Cluster 3

Berechne den Gesamtwiderstand folgender Schaltung: R

C

L

5 í XC í XL í 6.11

Komplexe Zahlen Für den dargestellten Parallelschwingkreis ist eine Tabelle mit f, XL , XC , Z, I, IL , und ICIÞUʼnĈʼnVļ zu erstellen.

L

U

5 / & 8 6.12

R

C

í + û F 9

Berechne die Seilkräfte, wenn eine Gondel mit dem Eigengewicht von 1 150 kg mit 10 Insassen im Schnitt je 78,5 kg in der Mitte zweier 400 m und entfernter Stützen hängt. L H

M = mg L = 200m H = 37m

/ P + P

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Kapitel 6: Trigonometrie

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Cluster 3

6.13

Brechungsgesetz Snellins‘sches Gesetz der Brechung beim Übertritt eines Lichtstrahls vom dünneren ins dickere Medium: sin ð1

n _ sin ð 2

n2 sin ð1 _ sin ð n1  _ 2

Berechne unter Berücksichtigung des oben angeführten Gesetzes den Winkel ó zwischen eingehenden und ausgehenden Strahl durch ein Prisma.

n1 dünner

ó1 ó2

n2 dicker

õ ó1

ö ó2 õ

ó’2

ó’1

6.14

Fahrdynamik – Motorrad Durch die Neigung des Motorradfahrers in die Kurve kann dieser eine gewünschte Bahn erzielen. Zeige die Abhängigkeit des Kurvenradius vom Neigungswinkel. Stelle dir hierzu vor, der geneigte Reifen sei ein Kegel, welcher nun abgerollt wird. (Hinweis: Dies stellt eine Vereinfachung der realen Fahrdynamischen Verhältnisse am Rad dar.)

6.15

Ballistische Kurve Eine ballistische Kurve eines unter dem Winkel ð ’DEJHZRUIHQHQ*HJHQVWDQGHVOÆVVWVLFKXQWHU9HUQDFKOÆVVLJXQJGHV Luftwiderstandes folgendermaßen beschrieben: v t cos ð x (t)   0 À_s (t)  g y (t) v sin ð t – _ t2

2 3

2

0

2

3

Berechne die maximale Wurfweite smax , nach welcher der mit v0 PVJHZRUIHQH*HJHQVWDQGZLHGHUGLH$EZXUIHEHQH berührt. 6.16

Fahrdynamik Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Fahrzeug in einer Steilkurve fahren, damit dieses seitenkraftfrei durch die Kurve kommt? 5 P ð ’

m as = m v2/R

S

mg ó

6.17

Fahrzeug-Längsdynamik Welche Bremsverzögerung muss eintreten, damit ein Fahrzeug bei Bergabfahrt und Vollbremsung an die Grenze zum Überschlag kommt? *HIÆOOH  lv horizontale Schwerpunktslage _l   h vertikale Schwerpunktslage _l  

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Kapitel 6: Trigonometrie

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6.18

Fahrdynamik Bestimme den notwendigen Reibungskoeffizienten û, damit ein heckgetriebenes Fahrzeug auf einer Bergstraße mit 20 % Steigung den vollen Vortrieb nutzen kann. Steigung 20 % : ð ’ h Vertikale Schwerpunktlage Ć _l   lv

Horizontale Schwerpunktlage ì _ l   5HLEXQJVNUDIW 1RUPDONUDIW¹5HLEXQJVNRHIIL]LHQW)R )N·û 6.19

Knickung Die kritische Knickkraft lässt sich folgendermaßen berechnen: ó F

ÿ2E I L

FKrit Ni _ 2

6.20

l

Zeige für das nebenstehende Tragwerk, welche Wandstärke bei gleichbleibendem AuÁHQGXUFKPHVVHUIÞUHLQH5RKUNRQVWUXNWLRQDXV$OXQRWZHQGLJLVWXPHLQHU.UDIW)  8 000 N zu widerstehen. Stelle im Zuge dessen die allgemeine Funktion für die Wandstärke in Abhängigkeit des Winkels dar. ki  ]ZHLWHU(XOHUsVFKHU.QLFNIDOO ð ’ EAlu 1PP2 O P da PP

Ein Flugzeug fliegt mit der konstanten Geschwindigkeit vF . Ein permanenter Seitenwind lässt das Flugzeug jedoch vom geplanten Kurs abkommen. y Berechne die Kursabweichung ó und die reale Geschwindigkeit des Flugzeugs vreal . VWind 50 m _ _ vÀF  400 s

2 3 90  2 3 0

_V À Wind

m _ s

VF

Vreal

x

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Kapitel 6: Trigonometrie – Lösungen

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6.1

sin ñ

sin ð _ a

sin ò

_  b  _ c

sin ò sin ñ sin ð _ _ F  _ F FSeil Gewicht Stab sin 60° FSeil )Gewicht _ sin 20°  1 sin 100° FStab )Gewicht __ sin 20°  1

6.2

23

±2 Nach der Skizze liegen die Eckpunkte des Grundrisses auf ± 2 0 ±2 0 Die Giebelspitzen liegen jeweils auf 0 , ±2 _ _ 29 3 293 Die Winkel der Rauten ergeben sich wie folgt: __ ð ¼ AB AC Winkel ð õ gleichschenkligen Dreieck ABC:

2 32 3

_

ð sin _2

BC

_

_ 92 2 _ _  _ 4 ñ AB

xð

ð ’ ñ ’ _ _ e·f AD·BC )OÆFKHGHU5DXWH$  D™K  _  2  _  2 ļ ļ _ _ AD   %&   2 ļ _ 0 496 _ _ _ Fläche: ARaute †A – D† †B – C† ™9 P2 AGesamt mit Verschnitt ™$Raute P2

2 3 23

6.3

Einfallswinkel = Ausfallswinkel, daher liegt der Reflexionspunkt, um die Füße zu sehen h–a bei _ 2 . Entsprechend verhält es sich beim Reflexionspunkt zum a Erkennen des Kopfes. Dieser liegt auf der Höhe h – _2

S2

a

S1 h

h–a

s1 _ 2

g

a s2 _2 h–a G __ 2 tan ð 1 a d __ 2 tan ð 2

d

Man erkennt, dass unabhängig von der Entfernung der Winkel zum Erkennen der Füße bzw. des Scheitels sich ändert. Daraus ist abzuleiten, dass ein Spiegel, der die gegeben Ausmaße besitzt, die ausreichende Größe zum Erkennen der Person hat – unabhängig von der Entfernung. 6.4

Das Eigengewicht M wirkt der seitlichen Kraft F entgegen. Die jeweilige Kippachse verläuft über die äußerste Aufstandspunkte, d . h . über die Verbindung der linken Räder. Momentengleichgewicht: 9LHUUÆGULJHU.LQGHUZDJHQ)™K 0™D Dreirädriger Kinderwagen: )™K 0™® ® ist das Lot vom Schwerpunkt zur Kipplinie. a ð DUFFRV_b sin ð a ® _  2  sin ða Vergleich: M·a > M _ 2

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Kapitel 6: Trigonometrie – Lösungen Cluster 3

6.5

ç)  P™J )1 + F2 ç0  Momentgleichgewicht um Punkt 1: b

a

m·g cos ð _2 – m·g sin ð _2 – F2b cos ð 

2

b

a

F2 cos ðE P™J cos ð _2 – sin ð _2 b

3

a

cos ð _2 – sin ð _2

 cos ð b F2 P™J___ F2 1 F1 PJx)2 1 6.6

Es bietet sich an, den Ursprung des Koordinatensystems in den Giebel zu legen. Die beiden Seiten des Daches werden mit f und g beschrieben. ļ I { c·P‡ c * R } F _ tan 20° 1

g { c·P‡ c * R } F _ tan 20° y g

f

x

ÿ

1

ÿ

6.7

] U™Hiê  IÞU_2ŒUœļ_2 ªê_ 2

6.8

. 2 $

7 6x7 ™L 0XOWLSOLNDWLRQPLWL 'UHKXQJXP’QDFKOLQNV ) 6x) ™ ļL  0XOWLSOLNDWLRQPLWļL 'UHKXQJXP’QDFKUHFKWV 1 1 _2 .2  _2 2 2 T + (S – T 3·i) + 2 ) 6x) ™ ļL 3 3 1

$ _2 2 T + F + i (F – T) 3 6.9

ZR·__ ZL __

_ Z ges __ ___ ZR + __ ZL R·jĈL

R·jĈL R – jĈL

_ __ Z ges R + jĈL  R + jĈL R – jĈL ___ jĈLR2 + Ĉ2L2R

Ĉ2L2R R + (ĈL)

ĈR2L R + (ĈL)

__ __2 + j __ Z 2   2 2 2 ges  2 ___ R + (ĈL)

6.10

1

R·jĈL

RXL

_ _ _ Z ges jĈC + R + jĈL  ;c + R + X ___ L

200L 0°·250L 90° ___ Z ges L ļ’  200 + j 250  ___

50 000L 90°

L ļ’ __ 320,16 51,3° L

Zges ___

L ļ’ L’ ļMM

Zges ___

M L80°

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HTL 2

Kapitel 6: Trigonometrie – Lösungen

HTL 2

Cluster 3

6.11

6.12

Ĉ >Vļ@ 0 100 500 800 900 1 000 1 100 1 500 1 800

f >+]@ 0 15,9 79,57 127,3 143,2 159,1 175 238,7 286,4

XL >Ŀ@ 0 10 50 80 90 100 110 150 180

XC >Ŀ@ č 1 000 200 125 111,1 100 90,9 66,7 55,6

Z >Ŀ@ č 7,1 9,88 9,98 9,99 10 9,99 9,96 9,92

I >$@ č 1 407 1 011 1 001 1 000,2 1 000 1 000,2 1 003 1 008

IL >$@ 0 1 000 200 125 111,1 100 90,9 66,7 55,6

IC >$@ 0 10 50 80 90 100 110 150 180

0  PGondel + mInsassen J J 1 Winkel des Seils zur Horizontalen: H ð DUFWDQ_ L  ’ Die Masse der Gondel mit Insassen erzeugt eine Kraft, welche durch die Seilkraft in einem Kräftedreieck aufgenommen wird: FS1 M

FS2

:LQNHOVXPPH’ ð + 2 ñ ñ ’xð  sin (2ð) _ M sin (2ð) _ M

sin ñ

sin ñ

_  F  _ F S1 S2 sin ñ

_ F S1

sin ñ FS1 0_ sin (2ð)

FS1 1 )S2 Alternative: M _ 2

sin (ð  _ FS1 M _ 2

sin (ð)  1 FS1 __ 6.13

ó  ð1 – ð2) + (ð1’ – ð2’) ò ð2 + ð2’ sin ð1 QVLQð2 bei kleinen Winkeln ð1 Qð2 ð1 – ð2  Qx ð2 ð1’ – ðt  Qx ð2’ ó  Qx  ð2 – ð2’   Qx ò

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Kapitel 6: Trigonometrie – Lösungen Cluster 3

6.14 ą s

s

h

Ĉ r

Die Mantellinie s des Kegels stellt den Radius der Abwicklung und damit den Kurvenradius dar.

s

r sin ê

_

Beispieltabelle: Reifen-Radius: 35 cm :LQNHO>’@ 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

:LQNHO>UDG@ 0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0873 0,1047 0,1222 0,1396 0,1571 0,1745

2

v t cos ð 6.15 À_V W   x (t)   0 g y (t) v0t sin ð – _2 t2

2 3

Kurvenradius 20,05 10,03 6,69 5,02 4,02 3,35 2,87 2,51 2,24 2,02

3

smaxEHL\ W   g

v0t sin ð – _2 t2  x

W __ v0 cos ðZREHL[ Vmax s

g

s

2

3

2

max max __ v0 sin ð __ v0 cos ð – _ 2 v0 cos ð  

s

g

2

s

max max _ __ v0 sin ð __ v0 sin ð   2 v0 cos ð

3

2

g smax

__ v0 sin ð _ 2 v0 cos ð v20 2 sin ð cos ð

smax __  g v20

g sin (2 a) smax _ smax m

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Kapitel 6: Trigonometrie – Lösungen Cluster 3

6.16

Die Kraftkomponenten parallel zur Fahrbahn müssen sich aufheben! v2 m g sin ð P_ R cos ð _____ Y 9R g tan ð Y PV NPK

6.17

h

m.a

m.g

Fh – ΔF

ó

Fv + ΔF

lv

l

Überschlagsgrenze: Fh  ç M|Vorderachse  Fh®xŁ)® + m a h + m g sin (ð h – m g cos (ð ® v  FhxŁ)  m a h + m g sin (ð h – m g cos (ð ® v  h

®v

h

m a _® + m g sin (ð _® – m g cos (ð _®   a

2

®v

h

3

g cos (ð _® – sin (ð) _® ____  h _ ®

15 % Steigung: ð ’ D PV2 6.18

m.a

Fv

m.g lv

ó

h

Fh

l

ç M|Vorderachse  m g cos (ð ®v + m g sin (ð h – Fh®  ®v

h

m g cos (ð) _® + m g sin (ð _® – Fh 

2

®v

h

Fh PJ cos (ð) _® + sin (ð) _®

3

ç Fx  m g sin (ð  û Fh

2

®v

h

m g sin (ð  û m g cos (ð _® + sin (ð _® û û

sin (ð ___  ®v h cos (ð _® + sin (ð _® sin (ð ___ cos (ð ·ì + sin (ð ·Ć

3

0,295

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Kapitel 6: Trigonometrie – Lösungen

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Cluster 3

6.19

ÿ2E I L

FKrit Ni _ 2 I

(d4a – d4i )

ÿ __ 64

ó FL

Längskraft auf die Tragwerksrohre: Da ð ’)L )VLQð ÿ2 E I L F sin (ð L2 __  2  ÿ E

FKrit Ni _ 2 º FL )VLQð ,

PP4 I

d4i  G4a – 64 _ÿ di PP V PP F sin (ð) L2 ÿ E

V G4a – 64 __  G4a – k sin (ð) F·® 3 64 ÿ E

PLWN _ 3 50 6.20 À_vF  400

k l  2 90 03

À_vWind

À_vreal À_vF + À_vWind

2 3

140 À_vreal  400

vreal y

ó DUFWDQ_ vreal x ’

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F FL

FL

F

FL