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Kapitel 5: Analoge Modulationsverfahren

Inhaltsverzeichnis 5.1. EINLEITUNG .................................................................................................................................... 2 5.2. AMPLITUDENMODULATION.......................................................................................................... 3 5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.2.4. 5.2.5. 5.2.6.

FREQUENZTRANSLATION DURCH MISCHUNG ................................................................................. 3 KLASSISCHE AM MIT ENVELOPPENDETEKTION .............................................................................. 6 KOHÄRENTE AM-DEMODULATION ................................................................................................ 8 EINSEITENBANDMODULATION (ESB)........................................................................................... 10 RESTSEITENBANDMODULATION .................................................................................................. 11 MISCHUNG AUF DIE ZWISCHENFREQUENZ ................................................................................... 12

5.3. WINKELMODULATIONEN FM UND PM ...................................................................................... 13 5.3.1 ZEITSIGNAL UND FREQUENZSPEKTRUM ........................................................................................ 13 5.3.2 MODULATOREN FÜR PM UND FM ................................................................................................. 17 5.3.3 DEMODULATION VON PM UND FM ................................................................................................ 19 5.3.4 RAUSCHUNTERDRÜCKUNG / CAPTURE EFFEKT BEI FM .................................................................. 22 5.4 LITERATURVERZEICHNIS ........................................................................................................... 24

© Marcel Rupf / Roland Küng 2008

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5.1. Einleitung Es gibt heute nur noch wenige analoge Nachrichtensysteme, in denen analoge Quellensignale direkt, ohne vorherige Digitalisierung, versandt werden. Das a/b-Telefoniesystem, das im Englischen POTS (Plain Old Telephone System) genannt wird, der analoge Rundfunk im LW-, KW-, MW- und UKW-Band, das Fernsehen sowie der Sprechfunk in der Luftfahrt sind die bekanntesten analogen Nachrichtensysteme, die noch in Betrieb sind. Aber auch diese Systeme werden wohl bald durch digitale Nachrichtensysteme abgelöst. So steht zum Beispiel heute der digitale DAB-Rundfunk (Digital Audio Broadcast) in der Einführungsphase. In diesem Kapitel betrachten wir die analogen Modulationsverfahren, weil sie die Grundlage für die digitalen Modulationsverfahren bilden. Zudem bewirkt der Übertragungskanal auch an einer digitalen Modulation manchmal unerwünschte Amplituden- und Phasenmodulation. Des Weiteren ist der Mischprozess in jedem Funksystem beliebiger Modulation eng verwandt mit der Amplitudenmodulation. Als Basisbandübertragung bezeichnet man die Übertragung der Nutzinformation im Original-Frequenzband, z.B. im Frequenzbereich bis ca. 3.4 kHz beim Telefonieren. Wenn die Nutzinformation aber z.B. über einen Funk- bzw. HF-Kanal übertragen werden soll (Bandpassübertragung), muss das Nachrichtensignal zuerst in ein anderes Frequenzband verlegt werden. Diese Aufgabe löst man durch Modulation eines Trägersignals, d.h. durch Aufprägen der Basisbandinformation auf einen Träger. In Abbildung 5-1 ist die Bandpassübertragung schematisch dargestellt.

analoge Quelle

s(t)

y(t) Modulator

(HF-) Kanal

TrägerOszillator

Demodulator

analoge Senke

ev.TrägerOszillator

Abbildung 5-1: Bandpassübertragung mit moduliertem Träger. Die Signalinformation s(t) kann nun entweder durch eine zeitliche Modulation der Amplitude a(t) oder der Phase ϕ(t) auf einen cosinusförmigen Träger aufgebracht werden. Die allgemeine Form eines modulierten Trägersignals lautet demnach y(t) = a(t)·cos(2πf0t+φ(t)) Wir unterscheiden dabei die beiden grundsätzlichen Modulationsarten: und

Amplitudenmodulation: a(t) = f[s(t)] und φ(t) = φ0 Winkelmodulation: a(t) = A0 und φ(t) = f[s(t)]

wobei die Winkelmodulation weiter in Phasen- und Frequenzmodulation unterteilt wird.

(5.1)

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5.2. Amplitudenmodulation 5.2.1. Frequenztranslation durch Mischung In Abbildung 5-2 ist ein cosinusförmiges Nachrichten- bzw. Modulationssignal sm(t) dargestellt, das mit einem Produktmodulator bzw. Mischer die Amplitude eines Cosinusträgers moduliert. Die Modulationsfrequenz fm ist typisch viel kleiner als die Trägerfrequenz f0. y(t) = s(t)·cos(2πf0t)

s(t) = A·cos(2πfmt) cos(2πf0t)

Beispiel: A=1, fm = 1 kHz, f0 = 20 kHz s(t)

y(t)

Abbildung 5-2: Produktmodulation von cosinusförmigem Nachrichtensignal und Träger. Durch trigonometrische Umformung erhält man für das resultierende AM-Signal y(t) = A·cos(2πfmt)·cos(2πf0t) = (A/2)·cos(2π(f0-fm)t) + (A/2)·cos(2π(f0+fm)t)

(5.2)

und damit das in Abbildung 5-3 dargestellte Spektrum. Man vergleiche mit den Erkenntnissen aus [6]. S(f)

Basisband

A/2

-fm

- f0 „HF“-Band

f

fm

Frequenztranslation

+ f0

Y(f) A/4

f

-f0

f0-fm

f0

f0+fm

Abbildung 5-3: Cosinusförmiges Nachrichtensignal und AM-Spektrum.

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Durch die AM wird das Spektrum des cosinusförmigen Nachrichtensignals um +f0 und -f0 verschoben (Frequenztranslation). Das resultierende Spektrum setzt sich aus zwei Spektrallinien bei f0±fm mit je der halben Amplitude zusammen. Der Träger selbst tritt als Spektrallinie nicht in Erscheinung. Dieser Sachverhalt gilt nicht nur für cosinusförmige Nachrichtensignale, sondern für alle Nachrichtensignale s(t) allgemein. Mit Hilfe der Eulerformel für den Cosinus kann das AMSignal wie folgt dargestellt werden y(t) = s(t)·cos(2πf0t) = 0.5·ej2πfot ·s(t) + 0.5·e-j2πfot ·s(t) .

(5.3)

Die Multiplikation des Nachrichtensignals s(t) mit einer Exponentialfunktion verursacht eine Frequenzverschiebung des Nachrichtenspektrums S(f) [6]. Für das AM-Spektrum Y(f) des AM-Signals y(t) gilt:

AM-Signal: y(t) = s(t)·cos(2πf0t) AM-Spektrum: Y(f) = (1/2)·S(f+f0) +(1/2)·S(f-f0)

(5.4)

In Abbildung 5-4 ist die Produktmodulation von einem nichtperiodischen Basisband-Signal s(t) mit einem Cosinusträger im Spektrum dargestellt. Die AM bewirkt eine Frequenztranslation um ±f0. S(f)

-f0

B

S(f+f0)/2 USB

LSB

-f0

Y(f)

f

f0

S(f-f0)/2 USB

LSB

f0

f

Abbildung 5-4: Amplitudendichtespektrum Y(f) eines mit einem nichtperiodischen Basisband-Signal s(t) amplitudenmodulierten Trägers. Besitzt das Basisbandsignal eine einseitige Bandbreite B, so beansprucht das modulierte Signal die doppelte Bandbreite. Im einseitigen Spektrum, das der Darstellung am Spektrumanalyser entspricht, betragen die entsprechenden Bandbreiten B vor der Modulation bzw. 2B nach der Modulation. Da die Spektralanteile auf der negativen Frequenzhalbachse eines reellen Basisbandsignals s(t) dem konjugiert-komplexen Spektrumsverlauf auf der positiven Frequenzhalbachse entsprechen, ist im modulierten Signal y(t) die spektrale Information redundant vorhanden im:

Upper Side Band (USB), dem Seitenband oberhalb des Trägers f0, und im Lower Side Band (LSB), dem Seitenband unterhalb des Trägers f0. Man bezeichnet deshalb das im Blockschaltbild von Abbildung 5-2 dargestellte Verfahren als Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger (engl. Double-Sideband Suppressed Carrier bzw. DSSC) oft einfach mit Double Side Band (DSB) abgekürzt.

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Da beim unteren Seitenband für zunehmende Modulationsfrequenz die Frequenz der Spektrallinie immer tiefer wird, spricht man auch von Kehrlage. Beim oberen Seitenband von Gleichlage. Für die multiplikative Mischung können lineare Multiplikatoren (ICs) eingesetzt werden, so genannte Vierquadranten-Multiplikatoren [7]. In der Praxis multipliziert man das Nachrichtensignal s(t) aber ebenso oft mit einem rechteckförmigen Träger und setzt dazu einfache Schalter ein [7]. In Abbildung 5-5 ist das Prinzip eines Diodenschalters dargestellt.

Abbildung 5-5: Ringmischer. Der Ringmischer ist ein elektronischer Umschalter. Voraussetzung dazu ist ein viel grösseres Trägersignal sT(t) im Vergleich zum Modulationssignal s(t). Betrachtet man die Funktionsweise genauer an Hand der Abbildung 5-5 für den Fall eines Aufwärtsmischer, d.h. Ausgangsfrequenz liegt höher als Eingangsfrequenz, so liegt am Tor LO das LO-Signal VLO (5-5a), welches die Dioden als Schalterersatz betreiben soll. Am Tor IF (Intermediate Frequency) liegt das Eingangssignal VIF (5-5b) und am Tor RF das durch den Mischer erzeugte Zweiseitenbandsignal VRF (5-5c). Hat die Last ZRF Bandpasscharakter, so ist das kantige Signal in 55-c eindeutig als Zweiseitenbandsignal mit unterdrücktem Träger zu erkennen (Phasenumkehr 5-5d). Dank des LO-Baluns wir der Träger, der ja sehr stark sein muss um die Dioden zu schalten, mehr oder weniger gut am Tor RF eliminiert. Die Eingänge RF und IF sind austauschbar, allerdings mit gewissen Einbussen bei der LOIsolation und nur das IF Tor kann tiefe Frequenzen verarbeiten (d.h. DC gekoppelt). Durch entsprechende Wahl des DC-Wertes kann auch ein AM-Signal mit definiertem Modulationsindex erzeugt werden. Meist ist die Isolation LO nach RF besonders gut ausgeführt, damit das restliche LO-Signal nicht zur Antenne gelangt und unzulässigerweise abgestrahlt wird. Für Aufwärtsmischer (Spektrum wird zu höheren Frequenzen verschoben, Up-Converter) wird das IF Tor als Eingang benutzt, für Down-Converter entsprechend das RF Tor. Der Ringmischer schaltet damit während einer halben Periode von f0 die Nachricht s(t) direkt durch, d.h. y(t) = s(t), und während der anderen Halbperiode umgepolt durch, d.h. y(t) = -s(t).

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Die Fourieranalyse des so umgeschalteten Modulationssignals enthält die gewünschten Seitenbänder, ebenso aber auch Seitenbänder bei allen ungeraden Trägervielfachen. Letztere müssen mit Filtern entfernt werden.

5.2.2. Klassische AM mit Enveloppendetektion Wir wollen an dieser Stelle kurz auf die klassische Amplitudenmodulation eingehen, so wie sie heute noch im Mittelwellen- und Kurzwellenrundfunk verwendet wird. Sie unterscheidet sich von der reinen Zweiseitenband-Produktmodulation dadurch, dass eine Trägerkomponente mit übertragen wird. Dadurch lässt sich das Phasensynchronisationsproblem umgehen und es resultieren höchst einfache Empfängerlösungen. Die Trägerkomponente wird, wie in Abbildung 5-6 gezeigt, dadurch erzeugt, dass vor der Multiplikation ein Gleichspannungsanteil zum Nutzsignal s(t) addiert wird. Dies bedingt, dass s(t) selbst gleichspannungsfrei sein muss, was z.B. bei analogen Sprachsignalen der Fall ist. m·s(t)

y(t) = A·[1+m·s(t)]·cos(2πf0t)

Is(t)I ≤ 1

1

A·cos(2πf0t)

Beispiel: m=0.5, s(t) = cos(2πfmt), fm = 1 kHz, A=1, f0 = 20 kHz s(t)

y(t)

Abbildung 5-6: Blockschaltbild AM-Modulators, Zeitsignal und Modulationsindex Wird die Amplitude des Basisbandsignals mit der Bedingung Is(t)I ≤1 im Maximalpegel begrenzt, so lässt sich mit dem Modulationsgrad m das Verhältnis von Signalamplitude zu Trägeramplitude einstellen. Bewegt sich der Modulationsgrad in den Grenzen 0≤m≤1

(5.5)

so wird die Trägeramplitude a(t) = A[1+m·s(t)] nie negativ. Mit dem Beispiel des sinusförmigen Basisbandsignals s(t) resultiert für den modulierten Träger y(t) = a(t)·cos(2πf0t) = A[1+m·s(t)]·cos(2πf0t) (5.6) das in Abbildung 5-7 dargestellte Linienspektrum.

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A A/2 mA/4

mA/2

Y(f) mA/2

mA/4

-f0-fm -f0+fm

A/2 mA/4

-fm

fm

f0-fm

mA/4

f0+fm

f

Abbildung 5-7: Linienspektrum Y(f) der klassischen Amplitudenmodulation mit Träger. Im Vergleich mit der Zweiseitenbandmodulation mit unterdrücktem Träger fällt der zusätzliche, starke Trägeranteil mit einer Leistung von A2/2 auf, während die gesamte Signalleistung nur m2A2/4 beträgt. Das Verhältnis von Signalleistung zu Trägerleistung beträgt damit

PSignal / PTräger =

m2 1 ≤ 2 2

(5.7)

Selbst bei maximalem Modulationsgrad m = 1 fällt doppelt soviel Leistung auf den Träger als auf das eigentliche Informationssignal. Dies ist der Hauptgrund, dass die klassische AM in Übertragungssystemen nur noch selten verwendet wird. Es ist daher naheliegend, den Träger zumindest stark zu reduzieren, so dass er trotzdem im Empfänger als Frequenzreferenz zur Verfügung steht. Andere Modulationsverfahren gehen haushälterischer mit der zur Verfügung stehenden Sendeleistung um. Gewöhnliche AM-Signale sind nicht nur bezüglich ihrer Leistung sondern auch bezüglich der Bandbreite sehr ineffizient. Ein Blick auf das amplitudenmodulierte Zeitsignal in Abbildung 5.6 zeigt den Vorteil dieser klassischen Modulationsart. Das Informationssignal s(t) ist in der Umhüllenden oder Enveloppe des Trägersignals enthalten und kann durch eine Gleichrichtung und nachgeschaltete Tiefpassfilterung bis auf einen konstanten DC-Anteil wieder zurückgewonnen werden. Weder die genaue Frequenz f0, noch die Phase ϕ0 muss bekannt sein. Man spricht daher bei der Enveloppendetektion auch von einer nicht-kohärenten Demodulation. In Abbildung 5-8 ist der Enveloppen- bzw. Hüllkurvendetektor in der einfachsten passiven Form dargestellt. Er besteht aus einem Einfach- oder Doppelweggleichrichter mit anschliessendem Tiefpassfilter. Seine Funktion ist identisch jenem eines gewöhnlichen Wechselspannungs-Gleichrichters mit anschliessender Filterung (Siebung des Wechselanteils mit einem Filter). Allerdings muss eine schnelle Diode gewählt werden, die der HF- Frequenz folgen kann. Eine positive Eingangsspannung lädt über die Diode den nachfolgenden Kondensator bis auf die Spitzenspannung auf. Sobald die Eingangsspannung unter den Wert der Kondensatorspannung fällt, sperrt die Diode, sie trennt also die Eingangsquelle vom Kondensator ab, bis deren Spannung wieder grösser als die Kondensatorspannung ist (zuzüglich Spannungsabfall über der Diode). Während der Sperrzeit der Diode entlädt sich der Kondensator langsam über R. Die Zeitkonstante des RC-Gliedes muss wesentlich länger sein als die Periodendauer des Eingangssignals, aber so kurz, dass die Entladung dem Signal bei der maximalen Modulationsfrequenz folgen kann. Das Ausgangssignal folgt also recht genau der Hüllkurve des gleichgerichteten modulierten Signals. Dieses Verfahren funktioniert nur dann gut, wenn die Trägerfrequenz viel grösser ist als die höchste auftretende Modulationsfrequenz. Bsp: Mittelwelle: fT = 560 kHz, fm = 3 kHz

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Abbildung 5-8: Enveloppen- bzw. Hüllkurvendetektor.

5.2.3. Kohärente AM-Demodulation Wie gewinnt der Empfänger am anderen Ende der Übertragungsstrecke das Basisbandsignal aus dem modulierten Träger zurück, wenn nicht klassische AM benutzt wird? Als Ansatz betreiben wir den Produktmodulator aus Abbildung 5-2 in umgekehrter Richtung und hoffen durch nochmaliges Mischen mit der Trägerfrequenz eine Basisbandkomponente zu erhalten. In Abbildung 5-9 ist die Schaltung dieses Produktdemodulators dargestellt. y(t) = s(t)·cos(2πf0t+φ0)

d(t) = s(t)·cos(2πf0t+φ0)·2·cos(2πf0t) 2·cos(2πf0t)

Abbildung 5-9: Blockschaltbild des kohärenten Produktdemodulators. Am Empfangsort taucht das Problem auf, dass zwar die nominelle Trägerfrequenz f0 am Empfänger „quarzgenau“ eingestellt werden kann, die absolute Phasenlage ϕ0, mit der das Trägersignal ankommt, aber unbekannt ist. Das Signal am Ausgang des Produktdemodulators in Abbildung 5-9 kann wie folgt trigonometrisch umgeformt werden d(t) = s(t)·cos(φ0) + s(t)·cos(4πf0t+φ0)

(5.8)

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Der erste Term ergibt die gewünschte Basisbandkomponente, während der zweite Term eine Spektralkomponente bei der doppelten Trägerfrequenz darstellt, die mit einem einfachen Tiefpassfilter eliminiert werden kann, wie Abbildung 5-10 zeigt.

S(f)cos ϕ0 S(f+2f0)/2

-2f0

S(f-2f0)/2

-f0

B

f0

2f0

f

Abbildung 5-10: Kohärente AM-Demodulation mit nachgeschaltetem Tiefpassfilter. In Gleichung (5.8) tritt die Hauptschwierigkeit zu Tage, mit welcher die kohärente oder phasensynchrone Demodulation zu kämpfen hat. Stimmen die Phasenlagen des empfangenen Trägers und des Empfängeroszillators nicht überein, so wird im schlimmsten Fall für ϕ0 = ±π/2 der Faktor cos ϕ0 = 0 und die Basisbandkomponente s(t) wird ausgelöscht. Deshalb findet man manchmal bewusst einen Restträger dem DSSC- Signal zu, welcher dann im Empfänger herausgefiltert, verstärkt und als Mischertaktsignal benutzt wird. Eine auch als integrierte Schaltung erhältliche Version ist die Regeneration mit einem PLL [7], wie dies Abb. 5-11 zeigt. Bei dieser Lösung ist die Empfangsträgerfrequenz identisch mit dem Sender und in der richtigen Phasenlage. Ein Bandpass oder Tiefpass filtert das Basisband heraus.

Abbildung 5-11: Abhilfe mit Regeneration des Restträgers Eine andere Abhilfe gegen das Phänomen der Auslöschung und gleichzeitig ein Hilfsmittel für die Phasensynchronisation im Empfänger stellt der Quadratur-Demodulator in Abbildung 5-12 dar [6]. Das Empfangssignal y(t) wird durch einen Quadratur-Demodulator zusätzlich mit einem um π/2 verschobenen Oszillatorsignal der Frequenz f0 multipliziert, so dass neben der sogenannten Inphasen-Komponente i(t) des gewöhnlichen Produktdemodulators noch eine um 90° verschobene Quadratur-Komponente q(t) erzeugt wird.

y(t) = s(t)·cos(2πf0t+φ0)

TP

i(t) = s(t)·cos(φ0)

TP

q(t) = s(t)·sin(φ0)

2·cos(2πf0t) -2·sin(2πf0t)

Abbildung 5-12: Quadratur-Demodulator mit Inphasen- und Quadratur-Komponente.

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In jeder beliebigen Phasenlage -π < ϕ0 ≤ π ist damit immer mindestens eine der beiden Komponenten ungleich Null, so dass nie eine Auslöschung auf beiden Kanälen gleichzeitig auftritt, siehe Abbildung 5-13. Q-Komponente

s(t) ϕ0

q(t) I-Komponente

i(t)

Abbildung 5-13: Signaldarstellung mit Inphasen- und Quadratur-Komponente. Mit einer sogenannten „Costas-Schleife“ kann durch Schieben der Empfangsoszillatorphase die Quadratur-Komponente auf Null geregelt werden, so dass die Inphasen-Komponente immer optimal ausgesteuert wird. In modernen Systemen werden die Inphasen- und Quadratur-Komponenten meist direkt zweikanalig abgetastet, in digitale I- und Q-Werte gewandelt und dann digital weiterverarbeitet [6].

5.2.4. Einseitenbandmodulation (ESB) Fast besser bekannt ist die Einseitenbandmodulation unter dem englischen Ausdruck "Single Sideband Modulation" oder SSB. Bei der Zweiseitenbandmodulation enthalten beide Seitenbänder dieselbe Information. Eines davon kann man sich sparen ohne Verlust an Information. Die Vorteile der ESB ergeben sich aus dem Bandbreitenbedarf für die Übertragung und der Leistungseffizienz, ihre Nachteile hingegen aus dem erhöhten Aufwand für die Erzeugung und die Demodulation. Zur Erzeugung der ESB gibt es zwei Methoden, die Filtermethode und die Phasenmethode. Bei der ersten wird eines der beiden Seitenbänder mit einem Filter entfernt. Dafür eigenen sich Quarz- und Keramikfilter, welche aber auf einer festen Zwischenfrequenz betrieben werden und eine weitere Mischstufe erforderlich machen. Ist die tiefste Modulationsfrequenz nahe bei null, so liegen die beiden Seitenbänder sehr nahe beieinander. Dann ist es äusserst schwierig, die beiden Bänder mit einem Filter zu trennen (z.B. nur 100 Hz Abstand, wenn Tonsignale bis hinab zu 50 Hz übertragen werden sollen. Schwierig ist es auch dann, wenn das Signal selber keine Amplituden und Phasenverzerrungen toleriert, wie dies beispielsweise beim Bildsignal des analogen TV der Fall ist. Bei der Phasenmethode löst man diese Aufgabe, indem die Ausgangssignale von zwei Modulatoren kombiniert werden, siehe Abbildung 5.14. Die beiden Modulatoren werden mit Trägersignalen gespeist, die sich um 90˚ in der Phase unterscheiden. Auch die Modulationssignale sind um 90˚ gegeneinander gedreht. Bei der Addition der beiden Ausgangssignale löscht sich, je nach Wahl der Phasenverschiebung, das eine oder andere Seitenband aus. In der gezeichneten Version ist es das obere Seitenband, welches ausgelöscht wird. Die erreichbare Unterdrückung des nicht erwünschten Seitenbandes ist abhängig von der Symmetrie der Schaltung und der erreichbaren Genauigkeit bei den 90˚-Phasenverschiebungen zwischen den Signalen, liegt jedoch bei etwa 35…40 dB ohne grossen Abgleichaufwand. Der schwierigste Teil dieser Schaltung ist der Phasenschieber für das Modulationssignal, der den ganzen zugehörigen Frequenzbereich

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abdecken muss. In neueren Systemen werden darum die I- und Q-Signale von s(t) direkt von einem DSP erzeugt und nach einer D/A-Wandlung an die beiden Mischer geführt.

s(t)

00 900

cos(2πf0t) sin(2πf0t)

y(t)

Abbildung 5-14: Prinzipschema des ESB-Modulators. Wie werden SSB Signale demoduliert? Genau gleich wie DSB-Signale mit einem Produktdemodulator nach Fig. 5-9. Das Problem der Auslöschung entsteht bei SSB nicht, weil eben nur ein Seitenband vorhanden ist. Hingegen muss ebenfalls der Träger lokal sehr genau erzeugt werden, sonst entstehen Frequenz Abweichungen die bei Sprache störend wirken (Micky Maus Effekt). Bei DSB andrerseits bewirkt eine Frequenzabweichung eine Schwebung der I- und Q-Signale mit der Frequenz der Abweichung. Die Einseitenbandmodulation wird unter anderem in der Trägerfrequenztechnik (Frequenzmultiplex) und im Amateurfunk verwendet.

5.2.5. Restseitenbandmodulation In manchen Fällen ist die benötigte Bandbreite der Zweiseitenbandmodulation zu gross, der Filteraufwand, der für eine reine Einseitenbandmodulation getrieben werden muss, aber auch zu gross. So sind zum Beispiel beim analogen TV an das Bildsignal hohe Anforderungen an Amplituden- und Phasengang gestellt, was im Widerspruch zu steilen analogen Filtern steht.

Abbildung 5-15: Spektrum VSB, Beispiel Basisbandspektrum des Analog TV (CCIR).

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In diesen Fällen ist die Restseitenbandmodulation eine günstige Zwischenlösung (englisch: Vestigial Sideband, VSB). Bei dieser macht man einen graduellen Übergang von der Zweiseiten- zur Einseitenbandmodulation. Man führt zuerst eine normale Zweiseitenbandmodulation durch und filtert den grösseren Teil des unerwünschten Seitenbandes weg. In der Empfänger-ZF filtert man das Spektrum mit einem Filter, welches bei der Trägerfrequenz noch die Hälfte des ursprünglichen Anteils passieren lässt und einen abnehmenden Anteil des Restseitenbandes für den Empfänger im Signal belässt. Das Filter muss eine Charakteristik aufweisen, welche eine ungerade Symmetrie bei den Amplituden der oberhalb und unterhalb des Trägers liegenden Seitenbänder ergibt, siehe Abbildung 5.15. Man kann zeigen, dass bei dieser ungeraden Filterung des Spektrums sich für alle Modulationsfrequenzen bei der Demodulation die Beiträge der beiden Seitenbänder zum korrekten Basisbandsignal addieren. Als Filter werden bevorzugt SAW Filter auf einer geeigneten Zwischenfrequenz (z.B. beim TV auf 45.75 MHz) verwendet. Die Restseitenbandmodulation wird dort eingesetzt, wo die Reduktion der Bandbreite des modulierten Trägers wichtig ist. Wie Abb. 5-15 zeigt, beträgt die Bandbreite des Basisbandsignals beim Fernsehen 6 MHz. Mit normaler Zweiseitenbandmodulation wäre für den modulierten Träger eine Bandbreite von 12 MHz erforderlich. Mittels Restseitenbandmodulation kann diese auf 7 MHz reduziert werden.

5.2.6. Mischung auf die Zwischenfrequenz In vielen Empfängern wird die Kanalfilterung auf einer festen Zwischenfrequenz realisiert. In Abbildung 5-16 ist der so genannte Heterodyn-Empfänger dargestellt [6].

Abbildung 5-16: Prinzipschema Überlagerungsempfänger. Bei diesen Mischprozessen handelt es sich immer um DSSC Modulation. Es entsteht immer ein oberes und ein unteres Seitenband. Beim Herabmischen interessiert man sich nur für die tiefer liegende Differenzfrequenz, die Zwischenfrequenz fZF. Durch das Konzept der Zwischenfrequenz, kann das unerwünschte Seitenband leicht mit dem ZF-Filter entfernt werden. Eine unerwünschte Folge der DSB Mischung ist das bekannte Problem des Spiegelbildempfangs. Das Frequenzband im Abstand 2 fZF vom Nutzsignal in Richtung der LO-Frequenz würde ebenfalls ins ZF-Filter fallen[7]. Das Bandpassfilter im Front-End hat die Aufgabe dieses Spiegelbild zu eliminieren. Der Lokaloszillator muss in seiner Frequenz dem Empfangskanal entsprechend veränderbar aber gleichzeitig sehr stabil sein. Der Lokaloszillator ist die Baugruppe in jedem abstimmbaren Empfänger, die letztlich die gewünschte Empfangsfrequenz bestimmt. Sie wird meist mit dem Begriff Synthesizer bezeichnet. Die „schmale“ Kanalfilterung kann auf der ZF viel einfacher als auf der Empfangsfrequenz vorgenommen werden, weil für die Realisierbarkeit das Verhältnis von Bandbreite zu Mittenfrequenz nicht zu klein sein darf und weil die Mittenfrequenz des ZF-Filters auch bei Kanalwechsel konstant bleibt.

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5.3. Winkelmodulationen FM und PM Bei der analogen Winkelmodulation wird die analoge Nachricht dem Winkel bzw. der Phase eines harmonischen Trägers aufgeprägt. Die Amplitude bleibt konstant. Die Winkelmodulation ist ein Oberbegriff für die Frequenzmodulation (FM) und die Phasenmodulation (PM).

5.3.1 Zeitsignal und Frequenzspektrum Im Folgenden nehmen wir an, dass die Nachricht s(t) den Spitzenwert Sp aufweist, d.h. Is(t)I < Sp. Bei der Phasenmodulation ist die Trägerphase φ(t) proportional zum informationstragenden Modulationssignal s(t), d.h.

PM-Signal: φ(t) = kPM·s(t)

(5.9)

yPM(t) = A0·cos[ω0·t + φ(t)] = A0·cos[ω0·t + kPM·s(t)] wobei A0 die Trägeramplitude, f0 die Trägerfrequenz und kPM [rad/V] die PM-Konstante darstellen. Die maximale Phasenänderung ∆φ = kPM·Sp

(5.10)

wird Phasenhub genannt. Bei der Frequenzmodulation ist die Momentan(kreis)frequenz ωFM(t) bzw. die Winkeländerung dθ(t)/dt proportional zur Nachricht s(t), d.h.

FM-Signal: ωFM(t) = dθ(t) / dt = ω0 + kFM·s(t)

(5.11)

t

y FM (t) = A 0 ⋅ cos[Θ(t)] = A 0 ⋅ cos[ω0 t+k FM ⋅ ∫ s(τ) ⋅ dτ] 0

wobei kFM [(rad/s)/V] die FM-Konstante darstellt. Die maximale Momentanfrequenzänderung ∆f = ∆ω/2π = kFM·Sp/2π wird Frequenzhub genannt (englisch: max. deviation). FM und PM sind stark verwandt. Ein PM-Signal kann auch mit einem einfachen FMModulator erzeugt werden, wenn das Nachrichtensignal zuerst differenziert wird, siehe Abbildung 5-18.

Abbildung 5-18: PM-Modulation durch Differentiation und FM-Modulation.

(5.12)

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Umgekehrt kann ein FM Signal mit einem PM-Modulator erzeugt werden, wenn das Nachrichtensignal zuerst integriert wird. In Abbildung 5-17 ist der Unterschied zwischen FM und PM dargestellt. Die Momentanfrequenz des FM-Signals folgt dem Nachrichtensignal. Die Momentanfrequenz des PMSignals dagegen ist proportional zur Ableitung des Nachrichtensignals, d.h. ωPM(t) = ω0 + kPM · dsm(t) / dt .

(5.13)

Abbildung 5-17: Unterschied zwischen FM und PM, siehe [3]. Um mehr über die FM und PM aussagen zu können, betrachten wir zuerst einmal das cosinusförmige Modulationssignal: s(t) = Sp·cos(ωm·t) .

(5.14)

Das cosinusförmig modulierte PM-Signal sieht wie folgt aus: yPM(t) = A0·cos[ω0·t + kPM·Sp·cos(ωm·t)].

(5.15)

Das cosinusförmig modulierte FM-Signal sieht wie folgt aus: yFM(t) = A0·cos[ω0·t + (kFM/ωm)·Sp·sin(ωm·t)].

(5.16)

Man definiert den Modulationsindex βFM nun wie folgt: (kFM/ωm)·Sp = ∆ω/ωm = ∆f/fm = βFM

(5.17)

βFM stellt das Verhältnis zwischen Frequenzhub ∆f und Modulationsfrequenz fm dar. Der aktuelle Index variiert bei 100% Aussteuerung invers mit der Modulationsfrequenz. Bei technischen Systemen werden vorzugsweise der Hub und die maximale Modulationsfrequenz festgelegt. Bei cosinusförmiger Winkelmodulation mit einer festen Modulationsfrequenz kann man also nicht sagen, ob es sich um eine FM oder um eine PM handelt.

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Das Spektrum eines PM- oder FM-Signals kann nur für ein cosinusförmiges Nachrichtensignal elementar berechnet werden. Weil die PM und die FM keine linearen Modulationen sind, können die Resultate aber nicht verallgemeinert werden. Das cosinusförmig modulierte FM-Signal kann wie folgt in eine Reihe entwickelt werden ∞

y FM (t) = A 0 ⋅ ∑ J n (β FM ) ⋅ cos[(ω0 +nωm )t] ,

(5.18)

n=-∞

wobei Jn(βFM) Besselfunktionen 1. Art der Ordnung n darstellen und vom Modulationsindex βFM abhängen. Die Besselfunktionen weisen die folgende Symmetrie auf J-n(βFM) = (-1)n·Jn(βFM).

(5.19)

Ein cosinusförmig moduliertes FM-Signal besitzt ein Linienspektrum mit Linienabstand fm! Aus Abbildung 5-19 ist ersichtlich, dass für ein gegebenes βFM nur die Besselfunktionen bis zur Ordnung n = βFM + 1 wirklich relevant sind. Dem Modulationsindex βFM kommt demnach eine entscheidende Rolle für die Anzahl der auftretenden Seitenlinien zu.

Abbildung 5-19a:

Besselfunktionen erster Art bis 8. Ordnung

Die Bandbreite eines cosinusförmig modulierten FM-Signals beträgt also ungefähr B ≈ 2·( βFM+1)·fm = 2·(∆f+fm).

(5.20)

Diese Bandbreite wird häufig Carson-Bandbreite genannt. Sie kann auch zur Abschätzung der FM-Bandbreite für ein allgemeines Nachrichtensignal verwendet werden. Der Bandbreitenbedarf von Grosshub-FM (∆f >> fm) ist mit ungefähr 2*∆f viel grösser als von AM. Dafür ist die FM um einiges störresistenter als die AM (siehe 5.3.4). Beim UKW-Rundfunk beträgt die maximale Modulationsfrequenz max(fm) = 15 kHz und der

ZHAW, NTM1, FS2008, 5-16

Frequenzhub ∆f = 75 kHz. Die technische Bandbreite des UKW-Signals beträgt demnach 180 kHz. Die Begrenzung des Spektrums durch Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung bewirkt (kleine) nichtlineare Verzerrungen. Der Kanalabstand beträgt in der Regel 300 kHz. In Abbildung 5-19 sind einige typische Spektren für unterschiedliche Modulationsindizes dargestellt, wobei der Frequenzhub konstant gehalten wird. Bei kleinen Modulationsfrequenzen ist βFM bzw. die Anzahl (nichtverschwindender) Spektrallinien gross, dafür liegen sie nahe beieinander. Je grösser die Modulationsfrequenz wird, umso geringer wird βFM bzw. die Anzahl Spektrallinien. Sie bleiben aber immer innerhalb der Carson-Bandbreite.

Abbildung 5-19b: FM-Spektren für fm und unterschiedliche Modulationsindexe. Bei der PM wird der Phasenhub ∆φ konstant gehalten. Aus den Gleichungen (5.10) und (5.15) folgt, dass der Modulationsindex mit dem Phasenhub identisch ist, d.h. βPM = ∆φ. Bei der PM ist damit die Anzahl der Spektrallinien konstant. Je grösser nun die Modulationsfrequenz fm gewählt wird, umso breiter wird das Spektrum! Im Gegensatz zur AM bleibt der Trägeranteil bei der FM nicht konstant. Er kann auch null werden, nämlich für βFM = 2.4 bzw. 5.5 bzw. 8.7. In Abbildung 5-19 ist auch ersichtlich, dass für Kleinhub-FM βFM = ∆f / fm