IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS

IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS pfernandezdiez.es IX.1.- INTRODUCCIÓN Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de tr...
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IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS pfernandezdiez.es

IX.1.- INTRODUCCIÓN Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisión de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y calentamiento en la industria química, etc. Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es conveniente hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen como aletas, así como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (sección recta), que se corresponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie, tales como las rectangulares, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con dimensiones en las que la relación (longitud/espesor) es del orden de 5/1 ÷ 50/1, y espesores del orden de 0,5 ÷10 mm. Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo longitudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta. Cuando las aletas son sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su disposición puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la base sea pequeña frente a la superficie de esta última. Las protuberancias se tratan con distribución de temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la relación entre la longitud L de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la base, es elevada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando esta hipótesis no se cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres dimensiones. Las aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, siendo el más frecuente un tubo en el que el número de aletas o protuberancias es variable, con una separación del orden de 1 a 6 centímetros para las aletas, y una distribución de retícula cuadrada o trianpfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-167

gular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades térmicas, los elementos se acoplan en serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor. Cuando el fluido que circula por las aletas está confinado y se mueve mediante un sistema de bombeo, hay que tener en cuenta la energía necesaria para mantener el coeficiente de convección hC a través de las aletas, procurando que la energía térmica extraída sea máxima frente a la energía utilizada en mover el fluido.

a) Aletas longitudinales

b) Aletas transversales

c) Tubos aplastados con aletas continuas

Fig IX.1.- Diferentes tipos de aletas

Esta situación conduce a un estudio de métodos y costes de fabricación, mantenimiento y rendimiento de los elementos de las aletas, cuyos valores óptimos pueden no coincidir con los óptimos térmicos, por lo que un análisis de estos últimos es importante desde el punto de vista de la fabricación de modelos normalizados, así como de la elección del modelo más adecuado para el usuario. IX.2.- TRANSFERENCIA TÉRMICA EN ALETAS LONGITUDINALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE Los perfiles rectangulares sobre superficies planas constituyen el caso más simple de superficies ampliadas. Se pueden disponer en una pared plana, o sobre la longitud axial de un tubo en dirección longitudinal, con hélices de paso elevado o sobre superficies arbitrarias de gran radio de curvatura. El conjunto constituido con aletas longitudinales rectangulares es de fácil fabricación por extrusión, fundición, colada continua, etc. En casos especiales, las aletas longitudinales se mecanizan sobre el material de aleación de la base. Las aletas unidas a la base sin discontinuidades, mediante soldadura o presión, no tienen resistencias térmicas de contacto y son adecuadas para temperaturas elevadas dado que la base no se altera por dilataciones térmicas diferenciales siempre que no sufran efectos corrosivos o una excesiva deformación. En régimen estacionario, el calor que se conduce a través de un sistema de aletas se elimina al exterior mediante un proceso de convección, siendo la energía disipada, en la unidad de tiempo, proporcional a su área suFig IX.2.- Aleta de sección transversal constante perficial. En primer lugar vamos a considerar una aleta de sección transversal constante, de longitud a igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig IX.2 hemos representado una de sección transversal rectangular, de altura L, el método es válido para cualquier otra geometría, por la forma que toma el núpfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-168





mero de Biot. El calor se transmite por conducción a través del material de la aleta y luego se elimina por convección al fluido que le rodea. La temperatura del fluido ambiente es TF, y el coeficiente de transmisión de calor por convección es hC, siendo constantes ambos valores. El balance de flujos térmicos en régimen estacionario, en la unidad de tiempo, en el volumen elemental situado en la posición x, es igual a la suma del calor conducido en dicho tiempo fuera del volumen en (x + Δx) más el calor transferido por convección en dicho tiempo, desde la superficie del volumen elemental, es decir: Qx - ( Qx +

∂Q x Δx ) - QC = 0 ∂x



∂Qx Δx + QC = 0 ∂x

∂Q x 2 ⎧ Q x = - k S ( ∂T )x ⇒ = - kS(∂ T )x siendo: ⎨ ∂x ∂x ∂x 2 ⎩ QC = hC dA ( Tx - TF ) = hC ( p Δx ) ( Tx - TF )

en las que p es el perímetro y S el área de la sección transversal. La ecuación diferencial de la distribución de temperaturas es: -kS(

∂ 2T ) Δ x + hC p Δ x ( Tx - TF ) = 0 ∂x 2 x



(

h p ∂ 2T )x - C ( Tx - TF ) = 0 2 kS ∂x

Definimos una función Φ(ξ) de temperaturas, con ξ = x en la forma: L

Φ (ξ ) =

Tx − TF Tb − TF

⎧ ⎪ por lo que: ⎨ ⎪ ⎩

;

Tx = TF + Φ ( ξ )(Tb − TF )

dT = (T - T ) dΦ ( ξ ) d ξ = ξ = x ; dξ = 1 b F dx dx L dx L dξ 2 2 d 2T = Tb - TF d Φ ( ξ ) d ξ = Tb - TF d Φ ( ξ ) L dx dx 2 dξ 2 L2 dξ 2

=

Tb - TF dΦ ( ξ ) L dξ

Sustituyendo en: (

∂ 2T h p )x - C (Tx - TF ) = 0 ∂x 2 kS

se obtiene: d 2Φ ( ξ ) h p L2 - C Φ (ξ ) = 0 2 dξ kS

La distribución de temperaturas se puede expresar en forma adimensional, en función del número de Biot; teniendo en cuenta que el perímetro p multiplicado por la longitud L de la aleta, es igual al área total de la superficie lateral (A = p L), resulta: p L2 S

= A L = L* S

que tiene dimensiones de longitud, por lo que se puede considerar como la longitud característica L* de la aleta; el número de Biot se define en la forma: pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-169

Bi =

hC p L2 h L* = C kS k

La expresión de la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas en forma adimensional, correspondiente a la aleta, en función del número de Biot, es: d 2Φ - Bi Φ = 0 dξ 2

cuya solución general es ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Φ ( ξ ) = C1 e-

Bi ξ +

C2 e

Bi ξ

Los valores de las constantes de integración C1 y C2 se determinan una vez se especifiquen las condiciones de contorno para los diferentes casos. Condiciones de contorno.- La temperatura que se suele conocer inicialmente es la correspondiente a la base de la aleta (x = 0), (Tx=0 = Tb), que es la primera condición de contorno, por lo que: Tb - TF = 1 ; C1 + C2 = 1 Tb - TF

x = 0 ; ξ = 0 ; Φ( 0 ) =

común a los tipos de aletas de sección transversal constante. El calor que entra a la aleta por conducción por la base (x = 0), es: ∂Φ ( ξ ) Q = - k S ( ∂T )x=0 = - k S ( Tb - TF ) ( )ξ =0 = k S (Tb - TF ) ∂x L ∂ξ L

Bi ( C1 - C2 )

La segunda condición de contorno toma diversas formas, según sea: a) ALETA MUY LARGA.- La temperatura de su extremo libre es igual a la del medio exterior del fluido que la rodea: T -T Tx→∞ = TF ; ξ = x = 1 ; Φ ( 1) = F F = 0 = C1 e L Tb - TF

Bi +

C2 e

Bi

y como L es muy grande y Bi es proporcional en este caso a L2 resulta que Bi es también muy grande, siendo la distribución de temperaturas correspondiente: 0 + C2 e

Φ (ξ ) =

Bi

⎧ C = 0 = 0 ⇒ ⎨ 2 ⎩ C1 = 1

Tξ - TF Tb - TF

= e-

Bi ξ

;

Tξ = TF + ( Tb - TF ) e -

Bi ξ

El calor intercambiado por convección con el exterior se calcula teniendo en cuenta que es igual al que entra por la base de la aleta (x = 0) por conducción: Q= -kS(

∂T ) = k S ( Tb - TF ) ∂x x=0 L

Bi (C1 - C2 ) =

C1 = 1 = k S (Tb - TF ) C2 = 0 L

Bi

b) ALETA CON SU EXTREMO LIBRE TÉRMICAMENTE AISLADO.- Este tipo de aletas no disipa calor por el extremo libre (x = L) ó (ξ = 1), por lo que: dT dx

x=L =

0 ;

dT dx

pfernandezdiez.es

x=L =

Tb - TF dΦ ( ξ ) L dξ

ξ =1 =

0



dΦ( ξ ) dξ

ξ =1 =

0 Superficies ampliadas.IX.-170

Las constantes C1 y C2 se obtienen en la forma: dΦ ) = 0 dξ ξ =1

- Bi C1 e -



Bi ⎫ C1 = C 2 e e − e Bi ⎬ ⇒ C2 − e C1 + C 2 = 1 ⎭

Bi +

Bi Bi

Bi =

Bi C2 e

0

C1 = C2 e e−



⎧ e − Bi ⎪ C2 = Bi e + e− + C2 = 1 ⇒ ⎨ e Bi ⎪ C1 = ⎩ 2 Ch Bi

=

Bi

Bi Bi

e − Bi 2 Ch Bi

por lo que la distribución de temperaturas es:

Φ (ξ ) =

Tξ - TF Tb - TF

= e

Bi e - Bi ξ + e - Bi e Bi ξ

e

Bi

+ e-

+ e

Bi

Bi ( 1 - ξ )

+ ee Bi + e -

Bi ( 1 - ξ ) Bi

=

Ch{ Bi (1 - ξ )} Ch

Bi

La temperatura TL en el extremo libre de la aleta, ξ = 1, es: TL - TF 1 = Tb - TF Ch Bi

;

TL = TF +

Tb - TF Ch

Bi

El calor disipado por la aleta por convección en la unidad de tiempo, se determina como en el caso anterior, considerando que es el mismo que entra por conducción por la base de la aleta (x = 0), es decir: Q = - k S ( ∂T )x=0 = k S ( Tb - TF ) ∂x L Tb - TF L

= kS

Bi (C1 - C2 ) =

Bi e

Bi -

e-

Bi

2 Ch Bi

= kS

Tb - TF L

T-T Bi Sh Bi = k S b F L Ch Bi

Bi Th Bi

c) ALETA CON CONVECCIÓN DESDE SU EXTREMO LIBRE.- La condición de contorno en el extremo libre es: - k dT )x=L = hC(T - TF )x=L = hC Φ(1)(Tb - TF ) dx T -T dT -k ) = - k b F dΦ )ξ =1 dx x=L L dξ

⎫ ⎪ hC L hC L dΦ ⎬ ⇒ d ξ )ξ =1 = - k Φ ( 1) = - k ( C1 e ⎪⎭

Bi

+ C 2e

Bi

)

que igualada a: dΦ ) = dξ ξ =1

Bi C1 e-

Bi +

Bi C2 e

Bi

permite obtener la segunda relación entre las constantes C1 y C2: -

hC L (C1 e k

Bi +

Bi

C2 e

) = - Bi C1 e -

h L C1 e - Bi ( - Bi + C ) + C 2 e k

Bi

+

Bi ( Bi + hC L ) = 0 k

y como C1 + C 2 = 1 resulta: C1 =

hC L ) e Bi k h L ) + C (e k

( Bi + Bi ( e

Bi +

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e - Bi

Bi - e- Bi

)

Bi

Bi C2 e

= 1 2

hC L ) k C1 = C2 h L e - Bi ( Bi - C ) k e



Bi (

Bi +

hC L ) e Bi k h L Bi Ch Bi + C Sh Bi k ( Bi +

Superficies ampliadas.IX.-171

( Bi -

C2 =

Bi ( e

Bi

+ e-



Bi -

e-

Bi

)

hC L - Bi )e k h L Bi Ch Bi + C Sh Bi k ( Bi -

= 1 2

La distribución de temperaturas es: T( ξ ) - TF Φ(ξ ) = = C1 eTb - TF

=

Bi ξ

+C2 e

Bi ξ

1 e = 2

Bi (

hC L )e k

Bi +

Bi ξ

+ e−

Bi } +

Bi } =

Bi =

hC p L2 kS

Bi -

hC L )e k

hC L S Bi = k pL

;

Bi ξ

=

=

Bi Sh{ (1 - ξ ) pL S Bi Ch Bi + Sh Bi pL

Ch {(1 - ξ ) =



Bi (

hC L Sh Bi k

Bi Ch Bi +

hC L Sh{ (1 - ξ ) k h L Bi Ch Bi + C Sh Bi k

Bi Ch {(1 - ξ )





Bi

hC L - Bi )e k h L ) + C (e k

S

Bi } +

Bi }

El calor disipado en la unidad de tiempo es: kS Q= (Tb - TF ) L

= k S ( Tb - TF ) L

=

kS Bi (C1 - C2 ) = (Tb € - TF ) 2L hC L Ch k h L Bi + C Sh k

Bi Sh

Bi

Bi +

Bi Ch

k S ( Tb - TF ) L

Bi

Th Bi + 1+

S Bi pL

S Bi Th Bi pL

e

Bi

Bi

Bi

hC L hC L ) - e − Bi ( Bi ) k k h L Bi Ch Bi + C Sh Bi k

( Bi +

Th

= k S ( Tb - TF ) L

Bi

Bi 1+

Bi + hC L k Bi

=

hC L k Bi

Th

=

Bi

hC p L2 h 2 a L2 2 hC L2 ≅ C = = m 2 L2 kS kae ke = 2 hC Bi = m L ; m = ke

Bi = =

= k S ( Tb - TF ) m

Th(m L ) + 1+

hC km

hC Th(mL ) km

d) ALETA ENTRE DOS PAREDES A TEMPERATURAS DISTINTAS TB Y TL.- La condición de contorno en el extremo TL es: x = L ; T = TL ; ξ = x = 1 L

Φ (1 ) =

TL - TF = C1 e Tb - TF

Bi +

C2 e

Bi =

C1 = 1 - C 2 = ( 1 - C2 ) e = e-

C2 =

Φ (1) - e-

Bi

2 Sh Bi

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;

C1 = 1 -

Φ (1) - e-

Bi

2 Sh €Bi

=

e

Bi

Bi

Bi +

+ C2 ( e

C2 e

Bi

- e-

Bi = Bi

) = e-

Bi

+ 2 C2 Sh Bi

- Φ (1)

2 Sh Bi Superficies ampliadas.IX.-172

en las que Tb, TL y TF son conocidas por lo que Φ(1) también lo es. Distribución de temperaturas:

Φ (ξ ) =

e Bi - Φ ( 1) e 2 Sh Bi =

e

Bi ξ

Bi ( 1 - ξ ) -

+

Φ (1 ) - e - Bi e 2 Sh Bi

Φ ( 1) e -

Bi ξ

Bi ξ

+ Φ (1 ) e 2 Sh Bi

=

Bi ξ - e − Bi ( 1 - ξ )

=

Sh { Bi ( 1 - ξ )} + Φ (1 ) Sh ( Bi ξ ) Sh

Bi

El calor Q para cualquier valor de ξ es: dΦ ( ξ ) Q = - k S dT = - k S ( Tb - TF ) = - k S ( Tb - TF ) dx L dξ L

Bi

- Ch{ Bi (1 - ξ )} + Φ (1 ) Ch ( Bi ξ ) Sh Bi

El calor disipado por la aleta es igual al calor entrante por la pared a Tb, menos el calor saliente por la pared a TL, es decir: Q = Qξ=0 - Qξ =1 = - k S ( Tb - TF ) L

Bi

Φ ( 1) - Ch Bi - Φ (1 ) Ch Bi + 1 = Sh Bi ( 1 - Ch Bi ) { Φ ( 1 ) + 1 } = - k S ( Tb - TF ) Bi L Sh Bi

IX.3.- CAMPO DE APLICACIÓN DE LAS ALETAS RECTAS DE PERFIL UNIFORME La condición

dQ = 0 aplicada a la ecuación: dL

Q = k S ( Tb - TF ) m

es:

Th( m L ) + 1+

hC km

hC Th( m L) km

h h h m m {1 + C Th ( m L )} - { Th ( m L ) + C } C dQ km k m k m Ch 2 ( m L ) Ch 2 ( m L) = k S ( Tb - TF ) m =0 dL h {1 + C Th ( m L)} 2 km

1+

hC h h h Th ( m L ) = { Th ( m L ) + C } C ; 1 = ( C ) 2 = m = km km km km

2 hC ke

=

hC e 2k

que se cumple para cualquier valor de L, e indica las condiciones técnicas a tener en cuenta para colocar aletas sobre una superficie y el efecto que estas producen. Esta ecuación indica que si la resistencia térmica por unidad de superficie frontal de la aleta es menor que la resistencia térmica correspondiente a la convección, hay que colocar aletas, mientras que en el caso contrario, las aletas producen un efecto refrigerante. Al sustituir este valor en la segunda derivada se obtiene un punto de inflexión, que se corresponde con una evacuación de calor del tubo sin aletas. a) Cuando

hC e > 1 , resulta que poner aletas produce un efecto aislante o refrigerante, por cuanto 2k

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Superficies ampliadas.IX.-173

el calor que se elimina es inferior al del tubo sin aletas, que se interpreta como que las aletas absorben calor del medio ambiente y lo transmiten al fluido (Vaporizador de una máquina frigorífica) b) Cuando

hC e = 1 , las aletas no producen ningún efecto, y es equivalente al tubo sin aletas 2k

hC e < 1, la adición de aletas produce un incremento del flujo de calor al fluido ambien2k te, (sistema de calefacción)

c) Cuando

En los procesos de calefacción, por razones de tipo económico, es mejor que la superficie primaria h e carezca de aletas, a menos que se cumpla que C 5000 W/m2ºC, h e que proporcionan valores de C del orden de la unidad, por lo que el empleo de la aleta sería antie2k conómico. Con aletas de dimensiones normales se hace un intercambio térmico muy efectivo, entre la superficie y el gas que la rodea. En los gases convectores es frecuente obtener coeficientes de película del orh e den de 50 a 120 W/m2ºC, que permiten valores de C lo bastante bajos como para que las aletas 2k ejerzan su efecto y de ahí el que algunas de sus aplicaciones más interesantes lo sean por ejemplo en: - Motores enfriados por aire - Precalentadores de aire y economizadores de calderas - Serpentines de calentamiento y enfriamiento de los acondicionadores de aire - Radiadores de automóviles - Intercambiadores de calefacción agua-aire, etc. Para aletas con convección en el extremo se puede hacer uso del concepto de longitud corregida LC despreciando los efectos de convección en dicho extremo, mediante la expresión: LC = L + e , y se tra2 tan como aletas con su extremo libre aislado térmicamente. pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-175

IX.5.- CASOS ESPECIALES Una de las características fundamentales del análisis de protuberancias de sección constante, consiste en que dado el pequeño espesor de las mismas se puede considerar la conducción como unidireccional y, por lo tanto, que la variación de la temperatura a través de su sección transversal permanece prácticamente constante. Esta suposición se puede aplicar a una serie de situaciones como: - Determinadas superficies conductoras, hilos o placas, recubiertas con un aislante, de forma que transversalmente a ellas, entre el hilo o placa y el medio que les rodea, apenas varía la temperatura, pero que a lo largo de los mismos existe una diferencia de temperatura significativa; esta situación no se corresponde físicamente con la de la protuberancia, pero el proceso térmico que acontece sí, ya que en la protuberancia existe un gradiente de temperaturas a lo largo de

Fig IX.3.- Aleta de sección variable

ella, pero no transversalmente, por lo que esta casuística se puede aplicar de alguna forma a dicha situación.

- La instalación de un termopar utilizado para medir la temperatura de una corriente de gases calientes, hace que la esfera del termopar se encuentre a una temperatura inferior a la de los gases cuya temperatura va a medir, existiendo un flujo térmico conductivo a lo largo de los hilos del termopar que le unen con la pared más fría, que está equilibrado por la convección desde los gases, por lo que la variación de la temperatura transversal de los hilos del termopar es prácticamente uniforme, existiendo una diferencia de temperaturas entre el termopar (caliente) y el equipo de registro (frío) similar a la de la protuberancia, lo que permite determinar el error esperado en la lectura del termopar. - Existen intercambiadores de calor de placas perforadas que se pueden asimilar a aletas, ya que la variación de la temperatura a través de ellas es pequeña comparada con la variación de temperaturas en la región que separa la corriente caliente de la corriente fría. - Los conductores de cobre en un circuito impreso se pueden considerar como aletas, al igual que la porción del circuito que los separa. En estos ejemplos se observa que la situación no guarda parecido alguno con el caso geométrico de la protuberancia y, sin embargo, la suposición de que la variación de la temperatura es mínima en la sección transversal del hilo o de la placa permite obtener una ecuación diferencial similar a la deducida para la protuberancia. IX.6.- ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE Para aquellos tipos de aleta en los que su perfil no sea constante, podemos considerar un elemento diferencial de anchura dx, tal como se muestra en la Fig IX.3, sobre el que se definen los siguientes calores: El calor entrante por conducción en x, es: Q1 = − k S ∂T 〉 x ∂x pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-176

El calor saliente por conducción en (x + dx), es: Q2 = Q1 +

∂Q1 ∂ 2 Q1 dx 2 ∂Q1 dx + + ... = Q1 + dx 2 ∂x 2! ∂x ∂x

El calor disipado por convección en el elemento diferencial es: QC = hC dA ( Tx - TF ) El balance de flujos térmicos es: Q1 = Q2 + QC = Q1 +

∂Q1 dx + QC ⇒ ∂x

∂Q1 dx + QC = 0 ∂x

Llamando Φ = Tx - TF a la diferencia entre las temperaturas de la aleta y del fluido en que está inmersa, se tiene: ∂ (- k S dΦ ) dx + hC Φ dA = 0 ∂x dx

;

2 - k dS d Φ dx - k S d Φ dx + hC Φ dA = 0 dx dx dx 2

en la que S es la sección transversal variable y dA la superficie lateral del elemento elegido de la aleta expuesta a la convección. Dividiéndola por (k S dx) se obtiene: d 2Φ + 1 dS d Φ - hC ( 1 dA ) Φ = 0 S dx dx k S dx dx 2

que es de aplicación general a cualquier tipo de configuración de superficie ampliada en la que la conducción de calor sea monodimensional. Para el caso particular de aleta recta de sección transversal constante, se tiene: ⎧ S = Cte ⇒ dS = 0 ⎨ A = p x ⇒ dA = p dx ⇒ ⎩

d 2Φ - p hC Φ = 0 kS dx 2

ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE.- Este tipo de aletas, Fig IX.4, se utiliza principalmente en cambiadores de calor líquido-gas, y en cilindros de motores refrigerados por aire; para su estudio se supondrá que el espesor de la aleta (e b ⇒ f = 1, se satisface la condición monodimensional: ⎨ dA ⎩ dx = 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial general se obtiene: d 2Φ + ( L b ) d Φ - hC ( L 2 f ) Φ = 0 b x L dx k bx dx 2

d 2Φ + 1 dΦ - n 2 Φ = 0 , con: n = x dx x dx 2

2 f hC L =m kb

L

siendo la solución de esta ecuación diferencial: Φ = B I0 ( 2 n x ) + C K 0 ( 2 n x ) ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR.- Para calcular las constantes de integración de la aleta triangular B y C, partiremos de las condiciones en los extremos; de acuerdo con la Fig IX.7, se tiene: a) Para: x = xe = 0, C = 0, por cuanto la función de Bessel modificada K0 tiende a infinito cuando el argumento tiende a cero; por lo tanto:

Φ = B I0 ( 2 n x ) b) Para: x = L, T = Tb que se supone constante, luego, Φ = Φb, y por lo tanto, el valor de B es:

Φ b = B I0 ( 2 n L )



B=

Φb I0 ( 2 n L )

La distribución de temperaturas es: Φ =

Φb I (2 n x ) I0 ( 2 n x ) ⇒ Φ = 0 Φb I0 ( 2 n L ) I0 ( 2 n L )

El calor disipado al exterior por la aleta longitudinal de anchura unidad será igual al que penetra por conducción por su base, por lo que:

Q = - k ( S dΦ )x=L = - k b Φ b dx pfernandezdiez.es

2 n I (2 n L ) 1 k b Φ b n I1( 2 n L ) 2 L =I0 ( 2 n L ) L I0 ( 2 n L ) Superficies ampliadas.IX.-182

Método gráfico.- Las ecuaciones de Φ y de Q se pueden expresar en forma adimensional, haciendo:

βt = 2 n L =

8 f hC L2 kb

;

ηt =

x L

I (β η ) La distribución de temperaturas es: Φ = 0 t t = G 3 ( β t ηt ) Φb I0 ( β t )

El flujo de calor es: Q = - Φ b k b

β t I1 ( β t ) β = - Φb k b t G4 ( β t ) 2 L I0 (β t ) 2L

en las que se han definido las nuevas funciones, G3(βt ηt) y G4(βt), Fig IX.8 y 9, en la forma: G 3 ( βt η t ) =

I0 ( β t ηt ) I0 ( β t )

; G4 ( β t ) =

I1 ( β t ) I0 ( β t )

Para cálculos rápidos se utilizan las gráficas de G3(βt ηt) y G4(βt), Fig IX.8 y 9

Fig IX.8.- La función G3 para la distribución de la temperatura en la aleta recta de perfil triangular

Fig IX.9.- La función G4 para el flujo calorífico en la aleta recta de perfil triangular pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-183

IX.7.- PERFIL OPTIMO DE LA ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR dQ El perfil óptimo de la aleta triangular longitudinal de sección Ω = b L se obtiene haciendo =0 2 db con Q en la forma:

Q=-

k b Φ b n I1 ( 2 n L ) L

I0 ( 2 n L )

= n=

2 hC L kb

= - Φ b 2 hC k b

2 hC I1 ( 4 Ω ) kb = - Φ b 2 hC k b 2 hC ) I0 ( 4 Ω kb

I1 ( 2 L I0 ( 2 L

2 hC ) k b3 2 hC ) k b3

Derivándola respecto de b se obtiene la condición de máximo:

4 3

I1 ( 4 Ω I0 ( 4 Ω

2 hC ) k b3 = Ω 2 hC ) k b3

2 hC {1 - ( k b3

I1 ( 4 Ω I0 ( 4 Ω

2 hC ) k b3 ) 2 } 2 hC ) k b3





2 hC = 2 ,6168 k b3

⎧ Ω 2 hC ⎪ Base: bópt = 1,6718 3 k de la que se deducen: ⎨ , condiciones óptimas función de la secΩk 2Ω ⎪ Longitud: Lópt = 1,196 3 h = b C ópt ⎩ ción Ω del perfil.

Teniendo en cuenta la carga térmica: Q = - Φ b 2 hC k bópt

Ω ópt =

I1 ( 2,6168 ) = - 0 ,7754 Φ b 2 hC k bópt I 0 ( 2 ,6168 )

⇒ bópt =

Q 0 ,8273 ( )2 k hC Tb - TF

Q Q 0 ,3483 0 ,8420 ( )3 ; Lópt = ( ) 2 Tb - TF hC Tb - TF k hC

Igualando los valores de bópt o de Lópt, se obtiene la relación entre el perfil óptimo Ω (de mínimo material) y la carga térmica Q:

Ω ópt =

Q 0 ,3486 ( )3 2 T k hC b - TF

IX.8.- RENDIMIENTO DE LA ALETA Se define el rendimiento de una aleta µ, como la relación entre la cantidad de calor transferida realmente por la aleta Qa y el calor transferido a través de una aleta ideal Qi:

η=

Qreal Qideal

La aleta ideal transfiere la máxima cantidad de calor respecto a una aleta cualquiera del mismo tamaño e igual temperatura en la base. La aleta ideal tiene una conductividad térmica infinita y, por consiguiente, toda ella es isotérmica, por lo que estará a la temperatura de la base Tb. La transferencia de calor, por unidad de tiempo, desde una aleta ideal es: Qi = hC A a ( Tb - TF )

siendo (Aa = p L) la superficie lateral de la aleta expuesta al fluido a temperatura TF. pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-184

Por lo tanto, la transferencia de calor por unidad de tiempo, procedente de la aleta real, en función del rendimiento, es: Qreal = Q = η hC Aa (Tb - TF )

Si se tiene en cuenta la sección At, perteneciente al tubo, el calor Q total disipado por la aleta y el tubo es: Q = Qt + Qa = hC ( At + η Aa ) ( Tb - TF )

Casos particulares: a) ALETA LONGITUDINAL DE SECCIÓN UNIFORME, DE SUPERFICIE CONSTANTE Y EXTREMO LIBRE AISLADO

η=

Bi k S ( Tb - TF ) Th Bi Th Bi L = hC p L ( Tb - TF ) Bi

;

Bi =

hC p L2 kS

;

p = 2 (a + e) ≅ 2 a

que viene representada en la Fig IX.10.

Fig IX.10.- Eficiencia de las aletas de sección uniforme y de sección triangular

b) ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR k b Φ b n I1 ( 2 n L )

η=

L I0 ( 2 n L ) n = 2 hC L Φ b 2 hC L kb

I1 ( 2 n L ) L I0 ( 2 n L )

= n=

2 f hC L =m kb

L =

βt = 2 n L G4 ( 2 n L ) 2 G4 ( β t ) = = I1 ( β ) = = βt G ( β ) = n L I0( 2 n L ) n L 4 I0 ( β ) 1

pfernandezdiez.es

I1 ( 2 n L )

Superficies ampliadas.IX.-185



Fig IX.11.- Eficiencia de aletas de perfil rectangular, triangular y parabólico

Fig IX.12.- Eficiencia de aletas anulares de perfil rectangular

c) ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE

η=

π

2 (1 - α an )

2 Φb βan

ke G 2 ( α an βan ) = hC Φb A

A = 2 π (re2 - rb2 ) r α an = b ; rb = re α an re 2 βan =

pfernandezdiez.es

=

2 hC re2 2 ; 2 hC re2 = k e βan ke Superficies ampliadas.IX.-186

=

2 G (α β π (1 - α 2an ) k e Φ b β an 2 an an ) = G 2 ( α an β an ) 2 2 hC Φ b 2 π re ( 1 - α an )

Cuando las aletas son muy largas, L >> b, la eficiencia de la aleta se puede poner en función del 2 hC parámetro L = L m kb Las Fig IX.11 y 12, muestran la variación de la eficiencia de la aleta en función de dicho parámetro para algunas secciones transversales típicas; así, en la Fig IX.11 se representa la eficiencia de aletas longitudinales en las que el espesor de la aleta varía con la distancia x medida desde la base de la aleta; en la Fig IX.12 se representa la eficiencia de aletas anulares en forma de disco de espesor e = Cte. Al aumentar el número de aletas en una superficie se aumenta el área de transferencia térmica, pero también aumenta la resistencia térmica de la superficie en donde se fijan las aletas, por lo que se pueden presentar situaciones en las que al aumentar el número de aletas no se incremente la transferencia de calor.

EFICACIA DE ALETAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS mL 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

pfernandezdiez.es

Perfil rectangular 1 0,996 0,986 0,971 0,949 0,924 0,895 0,853 0,83 0,795 0,761 0,727 0,694 0,662 0,632 0,603 0,576 0,55 0,526 0,503 0,482 0,462 0,443 0,426 0,409 0,394 0,38 0,367 0,354 0,342 0,331 0,321 0,311 0,302 0,293 0,285

Perfil triangular 1 0,995 0,98 0,957 0,927 0,892 0,854 0,814 0,774 0,735 0,697 0,661 0,629 0,596 0,567 0,54 0,514 0,491 0,47 0,45 0,431 0,414 0,398 0,384 0,37 0,357 0,345 0,334 0,323 0,313 0,304 0,295 0,286 0,279 0,271 0,264

Perfil cóncavo 1 0,99 0,962 0,923 0,877 0,929 0,78 0,735 0,692 0,653 0,618 0,585 0,555 0,528 0,503 0,48 0,459 0,44 0,422 0,405 0,39 0,376 0,352 0,35 0,338 0,327 0,317 0,308 0,299 0,29 0,282 0,274 0,257 0,26 0,254 0,247

Perfil parabólico convexo 1 0,975 0,968 0,965 0,935 0,903 0,877 0,84 0,802 0,769 0,731 0,695 0,666 0,63 0,6 0,572 0,545 0,52 0,497 0,476 0,456 0,437 0,424 0,404 0,389 0,375 0,361 0,349 0,338 0,327 0,317 0,307 0,298 0,289 0,281 0,274

Superficies ampliadas.IX.-187



β0,1 /α

EFICACIA DE ALETAS ANULARES DE PERFIL RECTANGULAR α = 0,2 0,992 α =10,4 α =1 0,6 α =10,8

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

0,992 0,971 0,938 0,896 0,847 0,794 0,74 0,684 0,537 0,589 0,544 0,503 0,466 0,432 0,402 0,374 0,349 0,326 0,306 0,287 0,27 0,255 0,241 0,228 0,217 0,206 0,196 0,187 0,179 0,172 0,154 0,159 0,152 0,145 0,141

0,994 0,979 0,954 0,922 0,884 0,842 0,798 0,754 0,709 0,565 0,625 0,587 0,551 0,517 0,486 0,458 0,431 0,407 0,385 0,365 0,346 0,329 0,314 0,299 0,286 0,273 0,262 0,251 0,241 0,232 0,224 0,215 0,208 0,201 0,195

0,995 0,983 0,962 0,936 0,904 0,868 0,829 0,79 0,75 0,711 0,673 0,536 0,602 0,569 0,539 0,51 0,484 0,46 0,437 0,415 0,397 0,379 0,362 0,347 0,333 0,319 0,307 0,295 0,285 0,275 0,255 0,256 0,248 0,24 0,233

0,995 0,985 0,967 0,944 0,915 0,883 0,849 0,913 0,776 0,74 0,711 0,569 0,535 0,605 0,575 0,547 0,522 0,498 0,475 0,454 0,434 0,416 0,399 0,383 0,356 0,354 0,34 0,329 0,318 0,306 0,296 0,288 0,279 0,271 0,263

d) MÉTODO DE SCHMIDT El método se basa en la transferencia de calor a la configuración de tubos desnudos o lisos, tratándose el tubo como una aleta de altura cero La correlación de Schmidt para la conductancia, en el caso de tubos con aletas helicoidales, rectangulares, circulares o cuadradas, es de la forma: hC = hcF Z { 1 - (1 - η aleta ) (

en la que:

Saleta Stubo+aletas

)}

⎧ hcF es el coeficiente de transferencia térmica para tubo desnudo en flujo cruzado ⎪ Saleta es el área de la superficie de la aleta, incluyendo ambos lados y periferia ⎪ ⎨ Stubo+aletas es el área de la superficie del tubo expuesta entre aletas, más la de las aletas ⎪ L aleta ) 0,63 ⎪ Factor geométrico Z = 1 - 0,18 ( L ⎩ espaciado entre aletas

La eficiencia de las aletas se muestra en la Fig XI.13, como función de un parámetro X de valor: - Aletas helicoidales: X = Laleta pfernandezdiez.es

2 Z hcF kF Lespaciado Superficies ampliadas.IX.-188



- Aletas rectangulares, cuadradas o circulares X = r Y

2 Z hcF , en la que el parámetro Y se kF Lespaciado

define en la Fig.XI.14. La conductancia global se puede poner, considerando el parámetro Clim p (factor de limpieza) en € la forma: 1 = 1 1 + Requiv + UA Climp Ae hc ext Ai hc int





Fig XI.13.- Eficiencia de aletas en función del parámetro X

Fig XI.14.- Coeficiente Y función de la relación R/r para diversos tipos de aletas

IX.9.- ALETAS LONGITUDINALES DE PERFIL PARABÓLICO Perfil parabólico cóncavo Ecuación del perfil: z = b ( x ) 2 2 L Superficie del perfil: Ω = b L 3

Calor evacuado al exterior: Q =

T - TF Distribución de temperaturas: Φ = = ( x )a ; Φb Tb - TF L 2 η= 1 + 1 + 4 m 2 L2 pfernandezdiez.es

4 hc Φ b L

1 + 1 + 4 m 2 L2

2 2 a = -1 + 1 + 4 m L 2

;

m=

2 hc kb

Superficies ampliadas.IX.-189

Condición para el perfil óptimo: m L =

2 hc L= kb

2 ⇒ bópt = 2 ,08

3

Ω 2 hc k

; Lópt = 3 Ω = 1,4423 bópt

3

Ωk hc

.............................................................................................................................................................................. Perfil parabólico convexo Ecuación del perfil: z = b 2

x L

Superficie del perfil: Ω = 2 b L 3 Calor evacuado al exterior: Q =

T - TF Distribución de temperaturas: Φ = =4 x Φb Tb - TF L Eficacia: η =

3

4 3 I( −1/3 ) ( 4 m L x ) 3 I(-1/3 ) ( 4 m L ) 3

;

m=

2 hc kb

I( 2/3) ( 4 m L ) 3 m L I(-1/3 ) ( 4 m L ) 3 2 hc 3 Ω = 1,705 k 2 b 2/3

Condiciones para el perfil óptimo: 4 m L = 4 3 3 bópt : 1,4013

I( 2/3 ) ( 4 m L ) 2 hc Φ b 3 m L I(-1/3 ) ( 4 m L ) 3

hc Ω 2 k

; Lópt = 3 Ω = 1,07 2 bópt

3

Ωk hc

.............................................................................................................................................................................. IX.10.- PROTUBERANCIAS Protuberancia parabólica cóncava Perfil: z =

d x 2 ( ) 2 L

Superficie lateral: A = ∫ 2π z dx = 2 π

d L x 2 πdL ∫ ( ) dx = 3 2 0 L

2 Sección transversal: S = π z 2 = π d ( x )4 4 L L d 2 x 4 π d2 L 2 Volumen: V = ∫ π z € dx = ∫ π ( ) ( ) dx = 0 2 L 20 2Φ hc 4 L 2 4 hc L2 d 1 d Φ Ecuación diferencial: + = Φ = n 2= = ( n )2Φ 2 2 x dx k x d kd x dx





Distribución de temperaturas: Φ = Φ b ( x )a , con: a = - 3 + L Calor evacuado:

Eficiencia: η = €

L

∫0

hc dA Φ =

L

∫0

hc 2 π

9 + 8 m2 L2 2

2 hc = n kd L 2 L3 +a 2 π hc d L = 3 +a 3 + 9 + 8 (mL ) 2

; m=

d x 2 +a d ( ) Φ b dx = π hc Φ b 2 +a 2 L L

2 2 2 1+ 1 + 8 m L 9

Calor evacuado: Q = η A hc Φ b = η A hc (Tb - TF )

Condición para el perfil óptimo:

dQ =0 ⇒ dL

2 mL = 2 ; m L=

2 ; Lópt =

2 = m

kd hc

.............................................................................................................................................................................. Protuberancia parabólica convexa Perfil: z = d 2

x L

Superficie lateral: A =



2π z dx = 2 π

2 Sección transversal: S = π z 2 = π d x 4 L

d 2

L

∫0

x 2π d L dx = L 3

€ pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-190

d 2 x π d2 L ) dx = 2 L 8 2 4 h c L Φ = n 2 = 4 hc L Ecuación diferencial: d Φ + 1 dΦ = x dx kd x kd dx 2

Volumen: V = ∫ π z 2 dx = ∫

L 0

π(



Distribución de temperaturas: Φ = Φ b

Calor evacuado: Q = ∫

hc dA Φ = ∫

I0 { 4 2 m 4 L x3 } 3 I0 ( 4 2 m L ) 3

L 0

d hc 2π 2

x Φb L

I0 {

4 3

I0 (

I1 ( 4 2 m L ) 3 2 2 m L I0 ( 4 2 m L ) 3 Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc Eficiencia: µ =



L 0

2 = n Φ x

2m 4 3

4

L x3 } dx =

3 π d hcΦ b

2 m L)

2 2mL

4 3 4 I0 ( 3

I1 {

2 m L} 2 m L)

3

Condición para el perfil óptimo:

dQ =0 ⇒ dL

4 2 m L = 1,05 ; m L = 0 ,5568 ⇒ L = 0 ,5568 = 0,393 k d ópt 3 m hc

.............................................................................................................................................................................. Protuberancia paralelepípedo de sección cuadrada Volumen: V = b 2 L ; p = 2 a ; S = a e Superficie de evacuación de calor : A = 4 b L + b 2 ≅ 4 b L 2 hC Th ( 2 m L ) Th Bi Eficiencia: η = = ; m= kb 2 mL Bi Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc

;

h p L2 Bi = C kS

Condición para el perfil óptimo: b L3/2 = 1,4192 ⇒ Biópt = 2,01419 ; Lópt = 0,75 ( k V ) 2/5 = 0 ,75 ( k b L ) 2/5 hc hc

.............................................................................................................................................................................. Protuberancia cilíndrica

2 2 Volumen: V = π d L ; p = π d ; S = π d 4 4 2 Superficie de evacuación de calor : A = π d L + π d ≅ π d L 4 2 hc h p L2 Th ( 2 m L ) Th Bi Eficiencia: η = = ; m= ; Bi = c kb kS 2 mL Bi

Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc

Condición para el perfil óptimo: m L = 0 ,925 ; L ópt = 0 ,42 (

k V 2/5 ) = 0 ,328 k d hc hc

.............................................................................................................................................................................. Protuberancia pirámide cuadrangular 2 Superficie de evacuación de calor : A = 2 b x L 2 S = ( x )2 ⇒ S = b2 ( x )2 Volumen: V = b L ; 3 L L b2 2 4 L h 2 hc c Ecuación diferencial: d Φ + 2 dΦ = Φ = m2 = x dx kbx kb dx 2

Distribución de temperaturas: Φ = Φ b Calor evacuado: Q = ∫ Eficiencia: η =



L 0

hc dA Φ = ∫

L 0

= 2 m2 L Φ

L I1 ( 2 m L x ) x I1 ( 2 m L ) hc

4 bx Φb L

2I2 ( 2 m L ) m L I1 ( 2 m L )

L I1 ( 2 m L x ) 4 hcb Φ b I 2 ( 2 m L ) dx = x I1 ( 2 m L ) m I1 ( 2 m L )

Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc

Condición para el perfil óptimo: m L = 0 ,45 ; Lópt = 0,48 (

k V 2/5 ) = 0 ,318 k b hc hc

.............................................................................................................................................................................. pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-191

Protuberancia cónica 2 Superficie de evacuación de calor : A = 2 π r x = r = d x = π d x 2L L 2 2 Volumen: V = π d L ; S = π d ( x ) 2 12 4 L 2Φ 8 L hc 2 hc 2 d 2 d Φ Ecuación diferencial: + = Φ = m2 = = 4m L Φ 2 x dx k d x k d x dx I1 ( 2 2 m L x ) L Distribución de temperaturas: Φ = Φ b x I1 ( 2 2 m L )

Calor evacuado: Q = ∫ Eficiencia: η =



L 0

hc dA Φ = ∫

L 0

hc

2πdx Φb L

L I1 ( 2 2 m L x ) π hc d Φ b I 2 ( 2 2 m L ) dx = x I1 ( 2 2 m L ) m 2 I1 ( 2 2 m L )

2 I2 ( 2 2 m L ) 2 m L I1 ( 2 2 m L )

Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc

Condición para el perfil óptimo: m L = 0 ,3535 ; Lópt = 0,43 (

k V 2/5 ) = 0,25 k d hc hc

.............................................................................................................................................................................. EFICACIA DE PROTUBERANCIAS SOBRE SUPERFICIES mL 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

Paralelepipédica, cilíndrica 0,996 0,986 0,971 0,949 0,924 0,995 0,863 0,83 0,795 0,761 0,727 0,694 0,662 0,632 0,603 0,576 0,55 0,526 0,503 0,492 0,462 0,443 0,426 0,409 0,394 0,38 0,367 0,354 0,342 0,331 0,321 0,311 0,302 0,293 0,285

Parabólica cóncava 0,995 0,991 0,98 0,966 0,949 0,93 0,909 0,887 0,955 0,842 0,819 0,796 0,774 0,753 0,732 0,711 0,692 0,573 0,655 0,639 0,621 0,605 0,59 0,575 0,561 0,548 0,535 0,523 0,511 0,5 0,499 0,479 0,459 0,459 0,449

Cónica 0,997 0,985 0,971 0,95 0,925 0,898 0,868 0,837 0,805 0,775 0,745 0,716 0,698 0,661 0,635 0,612 0,59 0,569 0,548 0,529 0,512 0,495 0,479 0,464 0,45 0,437 0,424 0,412 0,401 0,39 0,38 0,371 0,361 0,353 0,344

Parabólica convexa 0,996 0,997 0,968 0,931 0,908 0,957 0,822 0,793 0,756 0,718 0,684 0,65 0,619 0,589 9,552 0,537 0,514 0,492 0,471 0,452 0,435 0,418 0,403 0,389 0,375 0,363 0,351 0,34 0,33 0,32 0,311 0,303 0,294 0,286 0,279

Desarrollo del método para protuberancia cónica 2 h Ecuación diferencial d Φ + 1 dS dΦ - r ( 1 dA ) Φ = 0 , siendo: Φ = T - Texterior dx 2 S dx dx k S dx

pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-192

S es la superficie en la base a la distancia x: S = x2 π R2 L2

⎧ dS = 2 π R 2 x 2 ⎪ π R L2 ⇒ S = π r2 = x 2 ⇒ ⎨ dx 2 L ⎪⎩ r = radio superficie S = R x L

A es la superficie lateral de altura x: A = 2 π r 2

x 2+ ( r ) 2 = π R x 2 L

x 2 + ( R x )2 2L

y en el supuesto de conducción térmica en la dirección x: 2 A ≅πr x= π R x x = π R x L L

⇒ dA = 2 π R x L

2 2 L hr 1 + 2 dΦ - ( ) Φ= 0 Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial se obtiene: d Φ dx 2 x dx kR x

Haciendo: N =

2 L hr h = 2 m2 L ó m 2= r , resulta: kR kR

d 2Φ + 2 dΦ - N Φ = 0 dx 2 x dx x

⎧x 2 ⎪ ⇒ ⎨ ⎪x 2 ⎩

d 2Φ + 2 x dΦ - N x Φ = 0 ó dx dx 2 2 d Φ + 2 x dΦ - 2 m 2 L x Φ = 0 dx dx 2

Solución general:

Φ = 1 {C1 I1 ( 2 N x

x ) + C 2 K 1( 2 N

x )} = T - Text

⎧⎪ C 2= 0 ⎧⎪ Para: x = L ; Φ = Φ base ó T = Tbase Condiciones de contorno: ⎨ ⇒ ⎨ C = T L dΦ ⎪⎩ Para: x = 0 ; dx = 0 base ⎪⎩ 1 I1(2 N L ) I (2 N x ) Distribución de temperaturas: T = Tbase L 1 x I1 ( 2 N L )

Calor evacuado: Q = π hr d ∫

L 0

x L

L I1 ( 2 N x ) L I2 ( 2 N L ) Tbase dx = π hr d Tbase = x I1 ( 2 N L ) N I1 ( 2 N L )

{ sustituyendo N }

=

π hr d 2

I2 ( 2 2

L)

m I1 ( 2 2 m L )

Tbase

El valor de hr es el coeficiente de radiación; estos valores son: €

Si las temperaturas medias Tˆ pF y Text = Tvacío no difieren demasiado entre sí, se puede poner: ˆ 4 ˆ + T ) ( Tˆ - T ) = T = TpF + Text 4 ) = σ A ε (T 2 + T 2 ) ( T q = σ A ε 1 ( TˆpF - Text 1 pF ext pF ext pF ext m 2

= σ A ε 1 4 Tm3 ( Tˆ pF - Text ) = A1 hr ( Tˆ pF - Text )

⎧ε 1 la emisividad de la superficie siendo: ⎨ ⎩hr = 4 σ ε 1Tm3

El problema está en hallar TpF = Tmedia pared

Caso general: La conductividad térmica unitaria de la radiación hr se define mediante la expresión: hr =

1

Rr A

=

4 -T 4 s F pared-vacío ( Tˆ pF vacío ) 2 2 = s F pared-vacío ( Tˆ pF + Tvacío ) ( Tˆ pF + Tvacío ) ˆ T -T pF

vacío

En este caso, el factor de Forma F valdría la unidad Nota: el calor eliminado al exterior puede ser en cualquier forma; en este caso es radiación, pudiéndose utilizar la formulación general de aletas y protuberancias cambiando hc por hr. pfernandezdiez.es

Superficies ampliadas.IX.-193

IX.11.- COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR PARA EL CASO PARTICULAR DE ALETAS REFRIGERADAS POR AIRE En la ecuación básica Q = U A ΔT común a cualquier tipo de intercambiador de calor, el valor de Q normalmente se conoce, mientras que la superficie de intercambio térmico A es desconocida. El coeficiente global de transmisión de calor U es función de: - La resistencia térmica de la capa límite del fluido que circula por el interior de los tubos - La conductividad térmica del material del tubo y aletas - La resistencia térmica de la capa límite en la parte del tubo más las aletas en contacto con el aire La primera de estas resistencias se determina mediante las ecuaciones clásicas conocidas, dependiendo de la naturaleza del flujo, mientras que la contribución de la suciedad depende del tipo de fluido que se esté experimentando. El coeficiente de película a través de las aletas se puede determinar mediante la fórmula de Joung de la forma: Nu = 0 ,134

Re 0 ,681 Pr 0 ,33 ( FH )0 ,20 (

FT

)0 ,1134 ,

en la que:

⎧ ( FH ) = Espaciado entre aletas ⎪ Longitud de la aleta ⎨ ⎪ ( FT ) = Espaciado entre aletas Espesor de la aleta ⎩

El coeficiente de transmisión de calor hC así obtenido se modifica mediante un elemento corrector, en el que están comprendidos el rendimiento de la aleta η, la superficie exterior del tubo Ατ, la de la aleta Aa y la total A. h (η A a + At ) El valor medio: hˆC = C A

El área total disponible, puede ser del orden de 20 a 30 veces la del tubo. Si llamamos T1 y T2 las temperaturas de entrada y salida del fluido que circula por el interior de la tubería, y TF1 y TF2 las temperaturas inicial y final del aire, de las que sólo se conoce TF1 , la temperatura TF2 se calcula, con U expresado en W/m2ºC, en la forma: TF2 = TF1 +

Q Q T + T2 = TF1 + , o por: TF2 = TF1 + 0,0009 U ( 1 - TF1) (Brown) Gaire c p ( aire ) G F c pF ) 2 Tabla IX.2.- Coeficientes de transferencia de calor típicos para el aire de refrigeración

LÍQUIDOS

U (W/m 2 ºC )

VAPORES

Temp. media Temp. media Temp. media

55-90 74-125 170-230

Temp. media Temp. media Temp. media Temp. media Gasóleo Queroseno Nafta Hidrocarburos ligeros Agua

140-200 285-345 315-370 340-400 255-315 315-340 330-400 400-450 685-800

Vapor (x = 1) Vapor (x = 0,9) Vapor (x = 0,6) Hidrocarburos ligeros Hidrocarburos medios Amoníaco



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GASES Vapor Hidrocarburos Aire Amoníaco Hidrógeno

U (W/m 2 ºC ) 810 600 415 425 270 600 Presión 0,7 atm 7 atm 70 155 100 270 50 155 70 185 145 385

35 atm 325 410 270 300 555

Superficies ampliadas.IX.-194