Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur
Übungsaufgaben mit Lösungen
Analysis [1] Funktionsanalyse a-b-c-Formel / p-q-Formel Polynomdivision Ableitung / Integration … und mehr
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Das Mathe-Trainings-Heft (MTH) Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur. Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu den Übungsaufgaben [1.2.6] findest du online auf der Mathe-Seite.de im Kapitel [1.2.6]. Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter www.mathe-seite.de > Abi-Themen nach Bundesland findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland und deine Schulart relevant sind.
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[1.1]
Bedeutung von f, f', f'', F, ...
[1.1.1]
Bedeutung vom y-Wert
[1] Bestimmen Sie den y-Wert von f(x)=x²–6x+3 bei x=1. [2] Die Temperatur in einem Ofen wird durch T(t)=250–1,3 –t beschrieben. Bestimmen Sie die Temperatur nach 12 Minuten. [3] Der Punkt B(a|10) liegt auf der Funktion f(x)=x³+2. Bestimmen Sie „ a“! [1.1.2]
Bedeutung der Steigung
[1] Bestimme die Steigung von f(x)=x²–6x+3 bei x=1. [2] Welche Steigung hat die Tangente an g(x)=x³–8x in A(2|0)? [3] In welchem Punkt hat h(x)=x²+5x–6 die Steigung m=3? [1.1.3]
Links- / Rechtskrümmung
[1] Prüfen Sie, ob f(x)=x²–6x+3 bei x=1 links- oder rechtsgekrümmt ist. [2] In welchem Bereich ist g(x)=x³–8x linksgekrümmt? [3] In welchem Bereich ist h(x)=2x³+3x²–2x+5 rechtsgekrümmt? [1.1.4] Flächen Aufgaben zu diesem Thema finden Sie in Kap.1.4 sowie Kap.1.8. [1.1.5] Definitionsmenge Bestimmen Sie die Definitionsmenge von: x+3 [1] f( x) = [2] g(x) = √2x+8 2x−4
[4] i(x)=2·ln(2x+8)
[5] j(x)=2·3x+2cos(π·x+1)–x²
[1.1.6] Wertemenge Bestimmen Sie die Wertemenge von: [1] f(x)=x²–6x [2] g(x) = [4] f(x)=-2·(x+3) 2+5 [1.1.7]
3
[3] h( x) = √ 4+6x
1 x
[3] h(x)=x³–2x+1
[5] g(x)=x 4+4x3+12
Monotonie
[1] Untersuchen Sie f(x)=2x²+6x auf Montonie. [2Untersuchen Sie g(x)=x³+2x+3 auf Monotonie. [3] In welchem Bereich ist h(x)=0,2·(2x–7) 5+1 monoton? [4] In welchem Bereich ist i(x)=x 4+4x3+12 streng monoton fallend? [1.1.8]
Krümmungsradius / Bogenlänge
[1] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von f(x)=x²–4 an der Stelle x=1. [2] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von g(x)=x³–x² im Schnittpunkt mit der y-Achse. An welcher Stelle ist der Krümmungsradius minimal? (Letzte Frage nur lösen, falls Sie mit einem GTR/CAS arbeiten). [3] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion f(x)=e 0,5x+e–0,5x im Intervall I=[-2;2]. [4] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion g(x)=-x²+4 im ersten Quadranten. (Nur mit GTR/CAS lösbar!)
12
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1
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[1.9.4]
[1.2]
Nullstellen / Gleichungen lösen
[1.2.1]
einfache Gleichungen, die nur ein einziges „x“ enthalten
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen.
[1]
√ 3⋅( 2x−4) = 2
[1.2.2]
√ 12
[2]
√2x²+17
=7
[3]
12 x³+3
[1.9.5]
=4
[2] x5 –9x3 = 0
gt'(x)=3x²+6tx, g t''(x)=6x+6t, gt'''(x)=6 keine Symmetrie erkennbar N1,2(0|0), N3(-3t|0) H(-2t|4t³), T(0|0) W(-t|2t³) t [1] ht'(x) = 3⋅(4−x)²⋅(4−4x) , ht''(x)=t(4–x)(-8+4x), h t'''(x)=-8tx+24t [2] [3] [4] [5]
Ausklammern
[1] -x²+6x=0
[1] [2] [3] [4] [5]
[3] x³+4x²–5x=0
keine Symmetrie erkennbar N1(0|0), N2.3.4(4|0) H(1|9t) W1(4|0), W2 2 16 t
( ∣3 )
[1.2.3]; [1.2.4] Mitternachtsformeln (a-b-c-Formel; p-q-Formel) [1] x²+4x–5=0
[2] 2x²–12x–14 =0
[3] x²+10x+25=0
[2] 2x6–56x3+54=0
[3]
[4] x²–4x+6=0 [1.2.5]
Substitution
[1] x4–5x2+4=0 [1.2.6]
[2] x4 –8x3+24x2–32x+16=0 [4] x³–5x²+3x+9=0
Horner-Schema
[1] x³–6x²+11x–6=0 [3] x³–3x²+3x–1=0 [1.2.8]
[2] x4 –8x3+24x2–32x+16=0 [4] x³–5x²+3x+9=0
Auf Form bringen
[1] (x–4)·(x+2)+5·(x+1) = x·(x+1)+3 [3]
x−2 + 9 2x²−x 4x²−1
[1.2.9]
=0
Polynomdivision
[1] x³–6x²+11x–6=0 [3] x³–3x²+3x–1=0 [1.2.7]
1 − 3 −4 x4 x 2
=
[2]
2 + x
1=
3 x−2
x+ 5 x+ 2x²
Verwandte Themen finden Sie hier:
Kapitel [3.1.1] „Nullstellen bei e-Funktionen“ Kapitel [3.2.7] „Nullstellen bei sin/cos-Funktionen“ Kapitel [3.3.2] „Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen“ Kapitel [3.4.3] „Nullstellen bei Logarithmus-Funktionen“ Kapitel [3.5.3] „Nullstellen bei Wurzel-Funktionen“
2
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11
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[1.7.1]
[1.8.2]
[1] f(x): Punktsymmetrie zum Ursprung g(x): Achsensymmetrie zur y-Achse h(x): keine Symmetrie erkennbar [2] f(x): Punktsymmetrie zum Ursprung gt(x): Achsensymmetrie zur y-Achse ht(x): keine Symmetrie erkennbar 4
0
[3] [1] [2] [3] [1.8.4]
[1] [2]
3
∫0 −f( x)dx = 2·20,25 = 40,5 0 5 A = ∫−5 −f(x) dx + ∫0 −f(x) dx ≈ 2·41,67 = 83,34 1 A = ∫−4 f( x)−g( x)dx ≈ 20,83 6 A = ∫0 f (x)−g(x)dx =108 0 1 A = ∫−1 f(x)−g( x)dx + ∫0 g( x)−f (x)dx ≈ 0,25+0,25 = 0,5 1 A = ∫0 g( x)−f (x)dx =1,25 1 7 A = ∫−√5 f(x) dx +∫1 g(x) dx ≈ 11,66+18 = 29,66 3
[3] Tangente in P(-1|4): y Tan=3x+7 −1,71
Ableitungen
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen.
[1] A = ∫−2 f(x) dx =36 [2] A = ∫−3 f(x) dx +
[1.8.3]
[1.3]
−1
[1.3.1] Polynome [1] f(x)=2x³+5x²–3x+8 [2] g(x)=0,5x4–3x3+12x2–6,3x+1,23 [3] h(x)=4x-7+2x0,5–3x-5+2x-3,4 2t [4] f t(x) = 2t⋅x³+( t²−4)⋅x² + x+ t² 3
[5] gt(x) = sin(1−t) +
√
t −8 3 t²
[1.3.2]
Wurzeln / Brüche
[1] f( x) =
2 −3 x³ x
[2] g( x) =
−4 3 −0,25 + [4] i( x) = 2x + x² −6x
4
[3] h( x) = 4√x + 3√ x− √ x9 [1.3.3]
[1] f(x)=2·(3x+1)4, g(x)=4·(4–2x³) 2
[1.8.5] [1.8.6] [1.8.7] [1.8.8] [1.8.9]
[1] A = ∫−4 x+4dx +
[1] f(x) = x²·(x+5)
2
[2] A = ∫0 x 3 dx + [1.8.10]
[1.9.1]
∫1 −x²+6x dx ≈ 13,5+33,3 = 46,8
∫2 (3−0,5x)3 dx = 4+8 = 12
[2] [3] [1] [2] [3] [4]
(
√∣
[1] g'(x) =
4 16 ≈ W1,2(±1,155|1,778) 3 9 1 4 − x + x² , g''(x) = −1 x3 +2x 16 4
)
3 2 , g'''(x) = − 4 x +2
[2] [3] [4] [5] [7] [8] [1.9.3]
Punktsymmetrie zum Ursprung N1,2,3(0|0), N4,5 (±5,16|0) H(4|8,53), T(-4|-8,53) W1(0|0), W2,3 (±2,83|±5,29) m1=0, m 2,3=4 A=35,5 1 1 [1] h'(x) = 4 x² +2x+3 , h''(x) = 2 x +2 , h'''(x) =
[1.3.4]
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, i( x) =
[1.3.5]
[2] g(x) = 2x⋅√ x−3 3
Quotientenregel
2x−3 x²+6x f', f'' [2] g(x) = 2x−1 x+4 (von f(x) und h(x) zwei Ableitungen bilden !!)
[1] f( x) =
[1.3.6]
6x [3] h( x) = 4− x²+1 h', h''
Verwandte Themen finden Sie hier:
Kapitel [3.1.2] „Ableitungen bei e-Funktionen“ Kapitel [3.2.3] „Ableitungen bei sin/cos-Funktionen“ Kapitel [3.3.3] „Ableitungen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel [3.4.1] „Ableitungen bei Logarithmus-Funktionen“ Kapitel [3.5.1] „Ableitungen bei Wurzel-Funktionen“
1 2
[2] keine Symmetrie erkennbar [3] N1(0|0), N2,3(-6|0) [4] H(-6|0), T(-2|-2,6)
10
5 (3−2x)3
Produktregel
[3] h(x) = (3-x) ·(2x+4)
x=0 Eine Nullstelle bei N(6|0). Keine weitere, da J(x) monoton steigend. f'(x)=x³–4x, f''(x)=3x²–4, f'''(x)=6x Achsensymmetrie zur y-Achse N1,2 (2|0), N3,4(-2|0) H(0|4), T1,2 (±2|0)
[2] h( x) =
1 [3] j(x) = 2√ x+1 , i( x) = 2⋅√ 4x²+4,5
2
1 3 4 [1] J2(x) = 3 x³− 2 x²+ 2x+ 3
[5] W1,2 ± [1.9.2]
6
6
3
3
√x
Kettenregel
A = ∫−2,33 y Tan dx + ∫−1,71 y Tan−g(x)dx ≈ 0,58+0,42 = 1 [1] 1 [2] ∞ [3] ∞ [4] 24 [1] V≈107,23 [2] V≈643,40 [3] V=32,4 π≈101,79 [1] Ø=6,75 [2] Ø≈3,67 [1] A=16 [2] A=9 1
5 − 2t 2x 3x 6
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2a² (a−3x )4
[1.4]
Stammfunktionen / Integrale
[1.3.5]
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktionen.
[2]
[1.4.1] Polynome
[3]
[1] f(x)=2x³+5x²–3x+8
[2] g(x)=0,5x4–3x3+12x2–6,3x+1,23
[1.4.1]
[3] h(x)=4x -7+2x0,5 –3x-5+2x-3,4
3
2 − 32 x4 x
[2] g(x) =
[3] h( x) =
2x³+6x²−7 2x²
[1.4.2]
[1] f(x)=2·(3x+1) , g(x)=4·(4–2x) [3] j(x) = 2√ 3x+4 , k( x) =
2
[2] h( x) =
5 (3−2x)3
, i( x) =
[3] 2a² (a−3x )4
[1.4.3]
1 ⋅ 2
√ tx−6t²
[3] 3t t²−7x
[2] g(x) = (3x-6)·(x+6) 5
[1] f(x) = 2x · (x²+1) 4
[1.4.5]
[1] F(x) = 1 x √ (2x+3)3 −
[3] f( x) =
3
[3] h( x) =
[1.5]
3x x²−2x−8 x³+ 2x²−x−6 x²−4
[1] [2]
2x³ 4 x −8
3x²+ 4x+ 3 x³+ 2x²+ x 2x4−6x³−3x²+ 21x−10 x³−2x²−4x+ 8
[3]
[2] g(x) = [3] i( x) =
[1.5.3]
[
[1.5.4]
[1.5.3] Wendetangente Bestimmen Sie die Wendetangente von f(x)
4
[2] f(x) = x 4–6x2+5
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[2] G(x) = ln|2x–8| 1 15
[3] H(x) = − 3t⋅ln∣t²−7x∣ 7
√(2x+3)
5
[3] f(x) = x³+6x²+9x
9
1 (x+6)8 56
=...=
[1] yTan=4x+1
y Nor = −1 x + 21
[2] yTan=8x–16
y Nor = −1 x + 1
4
8
4
4
[3] yTan=-9 xN=4 y Nor = 1 x [1] yTan=-4x 4
[3] yTan=-3x–8
[3] f(x)=x²–8x+7 an P(4|?)
[1] f(x) = 0,25x³–4x
√
]
in W2(-1|0):
[1.5.1] bzw. [1.5.2] Tangentengleichung Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten und Normalen an f(x) im Punkt P. [2] f(x)=x³–4x an P(2|?)
K( x)
√
[2] in W1(1|0):
Tangenten und Normale
[1] f(x)=-x²+6x an P(1|?)
3 2a² 9(a−3x) 3 = 1 (tx−6t²) 3 3t
I(x) =
2 7 F(x) = 1 (x²+1) 5 5 F(x) = 1 (2x³+3) 3 9 4 1 ∣ 4 ⋅ln x −8∣ = 1 ln(31) 2 2 2
[1.5.1] und 1.5.2]
f( x) =
G(x) = − 2 (4−2x)3
[3] H(x) = 1 x²( x+6 )6− 1 x(x+6)7 +
[1.4.7] Integration über Partialbruchzerlegung [1]
5
1 6 1 7 1 6 [2] G(x) = 6(3x−6)(x+6) − 14 (x+6) =...= 7⋅(3x−10)⋅(x+6)
[1.4.6]
[2] f( x) = x²⋅√ 2x³+3
√
[1] F(x) = 5·ln|x+3|
[3] h(x) = 3x²·(x+6) 5
[1.4.6] Integration durch Substitution
3 2 +3 3x³ x H(x) = − 1 x² +3x + 7 2 2x F(x) = 2 (3x+1) 5 15 5 F(x) = 4(3−2x)5 J(x) = 4 (3x+4)3 9
[1.4.4]
[1.4.5] Produkt-Integration [1] f( x) = x⋅√ 2x+3
[1] [2]
[1.4.4] Stammfunktionen, die auf ln(..) führen 5 2 [1] f( x) = x+3 [2] g(x) = 2x−8 [3] h t(x) =
4
[1] F(x) = 2√ x³+ 4 √ (x+3) 3 [2] G(x) = −
[1.4.3] Lineare Substitution (umgekehrte Kettenregel) 4
[1]
[2] G(x) = 0,1·x5–2x4+4x3-3x2+1,2x [3] H(x) = − 2 x−6+2x 1,5+ 3 x −4+ 2 x5
[1.4.2] Einfache Brüche und Wurzeln [1] f( x) = 3√ x −2√ x+3
11 f ''(x) = − 22 3 (x+4)2 (x+4) 26 g'(x) = 2x²−2x−6 g''(x) = (2x−1) 2 (2x−4 )3 h'(x) = 6x²−62 h''(x) = −12x³+36x (x²+1) ( x²+1 )3 1 4 5 3 3 2 F(x) = x + x + x +8x 2 3 2
[1] f '( x) =
1 x− 1 8 8 1 =− x− 1 8 8
yTan=-8x+8
y Nor =
yTan=8x+8
y Nor
y Nor =
1 x− 4 3 3
[1] B1(0|0) mit yTan=4x B2(3|7,5) mit yTan=5,5x–9 B3(8|160) mit yTan=68x–384 [2] B1(1|-6), B 2(5|6) [3] B1(0|4) mit yTan=4 B2(1|2) mit yTan=-2x+4 B3(-1|2) mit yTan=2x+4
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1 ⋅(5x²−9x+9)⋅(x+6)6 14
Ergebnisse [1.1.1] [1.1.2] [1.1.3] [1.1.5] [1.1.6] [1.1.7]
[1.1.8] [1.2.1] [1.2.2] [1.2.3] [1.2.4] [1.2.5] [1.2.6] [1.2.7] [1.2.8] [1.3.1]
[1] [1] [1] [1] [4] [1] [4] [1]
y=-2 [2] T=249,96 [3] a=2 m=-4 [2] m=4 [3] P(-1|-10) Linkskurve [2] x>0 [3] x-4} [5] D=ℝ W={y|y-9} [2] W=ℝ\{0} [3] W=ℝ W={y|y-5} [5] W={y|y-15} für x>-1,5: f(x) streng monoton wachsend (steigend) für x-1,5: f(x) monoton wachsend (steigend) für x0 [1] Bilden Sie drei Ableitungen von g(x). [2] Untersuchen Sie g(x) auf Symmetrie. [3] Berechnen Sie die Nullstellen von g(x). [4] Berechnen Sie die Extrempunkte von g(x). [5] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(x). [6] Zeichnen Sie g(x). 1 [1.9.5] ht(x) = 3⋅tx⋅( 4−x)³ t>0
[1] Bilden Sie drei Ableitungen von g(x). [2] Untersuchen Sie g(x) auf Symmetrie. [3] Berechnen Sie die Nullstellen von g(x). [4] Berechnen Sie die Extrempunkte von g(x). [5] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(x). [6] Zeichnen Sie g(x).
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