Integrales indefinidas. 2Bach

Integrales indefinidas. 2Bach. 1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La integración es la operación inversa de la derivación. Dada una función...
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Integrales indefinidas. 2Bach.

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA.

La integración es la operación inversa de la derivación. Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F’(x)=f(x). Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x2, entonces F1(x)=x3, F2(x)=x3+2,............etc, son primitivas de f(x). Propiedad: Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma función f(x), entonces se diferencian en una constante; o sea, F1(x)-F2(x)=cte. Demostración:

F1 ' ( x) = F2 ' ( x) = f ( x) ∀x ⇒ F1 ' ( x) − F2 ' ( x) = 0 ∀x ⇒ ( F1 '− F2 ' )( x) = 0 ∀x ⇒ ( F1 − F2 )( x) = cte ∀x ⇒ F1 ( x) − F2 ( x) = cte ∀x. Pues bien, acabamos de ver que si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces admite infinitas primitivas, cuyas expresiones serán F(x)+K, siendo K una constante arbitraria. Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denota

∫ f ( x)dx. Por ejemplo: ∫ 3 x dx = x mediante

2

3

+ K , siendo K una constante arbitraria.

Si existe la integral indefinida de una función, se dice que ésta es integrable. 2.- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN.

Las dos propiedades más importantes de la integración son las siguientes: 1) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones. O sea,

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx. Demostración: Por un lado (∫ [ f ( x) + g ( x)]dx )' = f ( x) + g ( x) . Por otro lado, (∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )' = (∫ f ( x)dx )'+ (∫ g ( x)dx )' =

f ( x) + g ( x). csqd.

Igual se demuestra con la diferencia.

2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la integral de dicha función. O sea, Demostración: Análoga a la anterior.

∫ a ⋅ f ( x)dx = a ⋅ ∫ f ( x)dx.

La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado método de descomposición en el que como principio conviene descomponer el integrando lo más posible, aplicando las propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número. Ejemplo:

x3 − 7x 7 1 1 1 2 ∫ x 2 dx = ∫ xdx − ∫ x dx = 2 ⋅ ∫ 2 xdx − 7 ⋅ ∫ x dx = 2 ⋅ x − 7 ⋅ ln x + K

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3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.

TIPOS

Simples

x +K n +1

∫x

2. Logarítmico

∫ x dx = ln x + K ∫ e dx = e + K

n

dx =

Compuestas

n +1

1. Potencial (n≠-1)

1

x

3. Exponencial

FORMAS

x

4. Seno

ax +K ln a ∫ sen x dx = − cos x + K

5. Coseno

∫ cos x dx = sen x + K

6. Tangente

∫ tanxdx = ln sec x + K

7. Cotangente

9. Cosecante

∫ cot anxdx = ln sen x + K ∫ sec x dx = tanx + K ∫ cos ec x dx = − cot an x + K

10. Arco seno



x ∫ a dx =

2

8. Secante

2

11. Arco tangente 12. Arco secante

1

dx = arc sen x + K 1− x2 1 ∫ 1 + x 2 dx = arc tan x + K 1 ∫ x ⋅ x 2 − 1 dx = arc sec x + K

Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y conviene saber. Son las siguientes:

∫a

2

1 dx , + x2

∫ ax

2

1 dx + bx + c

e

∫ ax

mx + n dx + bx + c

2

Ejemplos:

1 1 1 1 ⋅ 1 1 1  x 2 1) ∫ dx = ∫ 4 2 dx = ∫ 2 2 2 dx = ⋅ ∫ dx = ⋅ atan  + K . 2 2 2 2 4+ x 4+ x 2  x  x 1+   1+   4 2 2 1 1 1 ∫ 4 x 2 + 4 x + 3dx = ∫ 4 x 2 + 4 x + 1 + 2dx = ∫ (2 x + 1) 2 + 2dx = 2) 1 2 1 1 2x + 1 ⋅∫ ⋅ atan +K dx = ⋅ 2 2 (2 x + 1) + 2 2 2 2

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2x − 5 2x + 3 − 8 2x + 3 8 dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 dx = 3) + 3x + 1 x + 3x + 1 x + 3x + 1 x + 3x + 1 tipo neperiano − tipo arco tangente

∫x

2

4.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. Este método es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t mediante una nueva función g tal que x=g(t), para transformar el integrando f(x)dx en otro más sencillo.

∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t )) ⋅ g ' (t )dt .

De esta manera, dx=g’(t)dt, con lo que quedaría que

En la práctica se suele hacer de la siguiente manera: Se hace t=u(t), de donde dt=u’(x)dx y se despejan a continuación x y dx, sustituyéndolos en el integrando. Si el cambio de variable ha sido bien elegido, la última expresión será más fácil de integrar que la primera. Una vez calculada ésta, se deshace el cambio y tendremos así la integral pedida. ¿Cuándo es aconsejable utilizar este método? a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modo que una de ellas “recuerda” a la derivada de la otra.



Ejemplo: sen( x 2 + 4) ⋅ ( x + 2)dx. Hacemos el cambio x2+4x=t y nos quedaría (2x+4)dx=dt. Entonces

∫ sen( x

2

+ 4) ⋅ ( x + 2)dx =

1 1 1 ⋅ ∫ sen( x 2 + 4) ⋅ 2( x + 2)dx = ⋅ ∫ sen t dt = ⋅ (− cos t ) + K = 2 2 2

−1 ⋅ cos( x 2 + 4 x) + K 2 b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata. Ejemplo:

∫ 4x

1 2

+9

dx

Esta integral guarda cierto parecido con

∫x

1 dx que es inmediata. +1

2

Dividiendo en nuestra integral numerador y denominador por 9 nos queda:

1 1 dx = (*) ∫ 4 2 9 4 2 +9 x +1 x +1 9 9 2 2 3 Ahora hacemos el cambio de variable x = t ⇒ dx = dt ⇒ dx = dt , con lo que 3 3 2 3 1 3 1 3 1 1 1 1  2x  dt = ⋅ ∫ 2 dt = ⋅ arc tan t + K = ⋅ arc tan   + K (*) = ⋅ ∫ 2 2 dt = ⋅ ⋅ ∫ 2 9 2 t +1 18 t + 1 6 6 9 t +1  3 

∫ 4x

1

1 9

2

dx = ∫

dx =

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c) En algunos casos es necesario comenzar realizando una transformación previa para después aplicar un cambio de variable.



1+ x



Ejemplo:

1+ x

1− x

dx .

1+ x ⋅ 1+ x

dx = ∫

1− x arc sen x + (*)

1− x ⋅ 1+ x

dx = ∫

1+ x 1− x

2

1

dx = ∫

1− x

2

x

dx + ∫

1− x2

dx =

En la segunda integral (*), hacemos el cambio de variable 1-x2=t, con lo que –2xdx=dt y entonces (*) = Por lo tanto,

−1 − 2x − 1 dt − dt ⋅∫ dx = ⋅∫ =∫ = − t + K = − 1 − x 2 + K. 2 2 2 2 t t 1− x 1+ x



dx = arc sen x − 1 − x 2 + K .

1− x

5.- INTEGRACIÓN POR PARTES. Este método se basa en la derivada de un producto de funciones. Sean u y v dos funciones de una misma variable independiente. Entonces

d (u ⋅ v) = u ⋅ dv + v ⋅ du ⇒ u ⋅ dv = d (u ⋅ v) − v ⋅ du ⇒ ∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du



Esta fórmula reduce el cálculo de la integral u ⋅ dv al de ¿Cuándo es conveniente emplear este método?

∫ v ⋅ du .

a) Cuando aparezca un producto o un cociente de funciones de modo que ninguna de las derivadas de estas funciones recuerde a la otra. Ejemplo:

∫x

2

⋅ e x dx



Llamamos u=x2 y dv=exdx con lo que du=2x·dx y v = e x dx = e x . Luego

∫x

2

⋅ e dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = e ⋅ x − ∫ e ⋅ 2xdx  x

x

2

x

*

(*) = 2 ⋅ ∫ e ⋅ xdx . En (**) volvemos a hacer u=x y dv=exdx con lo que du=dx y    x

**

v = ∫ e dx = e . x

x

(**) = x ⋅ e x − ∫ e x dx = x ⋅ e x − e x + K

Resumiendo,

∫x

2

⋅ e x dx = e x ⋅ x 2 − 2 ⋅ ( x ⋅ e x − e x ) + K = e x ⋅ ( x 2 − 2 x − 1) + K

b) A veces, el procedimiento de integración por partes nos conduce a la misma integral del principio, como en el ejercicio siguiente:



Ejemplo: e x ⋅ cos xdx



Llamamos u=cosx y dv=exdx con lo que du=-senx·dx y v = e x dx = e x . Luego

∫e

x

⋅ cos xdx =e ⋅ cos x − ∫ e ⋅ (− sen x)dx = e ⋅ cos x + x

x

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x

(∫ e

x

⋅ sen xdx

)

*

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En (*) volvemos a hacer u=sen x y dv=exdx con lo que du=cosx·dx y v = e x dx = e x .

(*) = e sen x − ∫ e ⋅ cos xdx x

x

Entonces,

∫e

x

⋅ cos xdx = e x ⋅ cos x + e x ⋅ sen x − ∫ e x ⋅ cos xdx ⇒ 2 ⋅ ∫ e x ⋅ cos xdx = e x ⋅ cos x + e x ⋅ sen x + K

⇒ ∫ e x ⋅ cos xdx =

e x ⋅ cos x + e x ⋅ sen x +K 2

c) A veces, es necesario combinar el método de integración por partes con otro. 6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. Las funciones racionales son de la forma f ( x) =

P( x) donde P(x) y Q(x) son Q( x)

funciones polinómicas y están definidas en todos los puntos de R menos en aquellos donde se anula el denominador. Nota importante: Las integrales de muchas funciones racionales pueden calcularse directamente; por eso, hay que comprobar primero si el integrando pertenece a alguno de estos tipos: a) Forma potencial b) Forma neperiana c) Forma arco tangente d) Forma neperiano-arco tangente vistos con anterioridad. Si no corresponde a ninguno de estos tipos, lo que haremos será transformar nuestra función racional en una suma de fracciones que tienen por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles (descomposición en fracciones simples). Estudiaremos solamente el caso en el que todas las raíces del denominador sean reales puesto que es el único caso que exigen en Selectividad. El esquema de descomposición en fracciones simples es el siguiente:

P( x) A B C = + + + ....................( factores lineales simples) Q( x) x − a x − b x − c M N + + + ........................( factor lineal doble) 2 x−m ( x − m) P Q R ........................( factor lineal triple) + + + 3 2 x− p ( x − p) ( x − p) + ......................................................................... Para la determinación de las constantes A, B, C,....,M, N,.....,P, Q,.... se hace lo siguiente: a) Se multiplica la igualdad anterior por Q(x), obteniéndose la igualdad polinómica P(x)=............. b) Se dan valores numéricos en ambos miembros, tantos como constantes haya que determinar. Por comodidad se utilizan las raíces obteniéndose un sistema de ecuaciones.

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c) Se resuelve el sistema y las soluciones obtenidas se sustituyen en las fracciones simples. Ejemplo: Vamos a descomponer en fracciones simples la función racional

f ( x) =

3x + 5 x − x2 − x +1 3

El denominador se descompone como (x+1)·(x-1)2. Entonces podremos descomponer como

f ( x) =

A B C 3x + 5 = + + 2 2 x −1 x − x − x + 1 x + 1 ( x − 1) 3

Multiplicando la igualdad anterior por (x+1)·(x-1)2 resulta 3x+5=A(x-1)2+B(x+1)+C(x+1)(x-1) Dando valores: Para x=1 tenemos 8=2B⇒B=4 Para x=-1 tenemos 2=4A⇒A=1/2 Para x=0 (por ejemplo) tenemos 5=A+B-C⇒C=-1/2 Entonces tenemos que:

1 −1 3x + 5 4 2 + 2. = + 3 2 2 x −1 x − x − x + 1 x + 1 ( x − 1)

Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial ó neperiana. En nuestro caso

1 −1 3x + 5 4 1 4 1 2 2 ∫ x 3 − x 2 − x + 1dx = ∫ x + 1dx + ∫ ( x − 1) 2 dx + ∫ x − 1dx = 2 ⋅ ln x + 1 − x − 1 − 2 ⋅ ln x − 1 + K

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