Tema 11
Integrales impropias. 11.1
Introducci´ on.
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´otesis ? Dom(f ) = [a, b] es un conjunto acotado. ? f : [a, b] −→ IR est´a acotada en [a, b]. Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente integral impropia.
11.2
Integrales impropias de primera especie.
Definici´ on 11.1 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], para todo t ≥ a, y sea F : [a, +∞) −→ IR la funci´on definida por F (t) =
Z t a
f (x)dx.
El par (f, F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a, +∞) y se designa por
Z +∞ a
Z +∞
f (x)dx ´o
a
Definici´ on 11.2 – Diremos que la integral impropia finito
a
Z t
lim F (t) = lim
t→+∞
Z +∞
t→+∞ a
f.
f (x)dx es convergente si existe y es
f (x)dx
y si ese l´ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L. Es decir, L=
Z +∞ a
f (x)dx.
Si el l´ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se dice que es oscilante. De forma an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la forma (−∞, b] para funciones f : (−∞, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ IR, y las representamos por Z b
−∞
Z b
f (x)dx ´o
−∞
f.
Definici´ on 11.3 – Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Diremos que Z +∞
−∞
f (x)dx es convergente si existe alg´ un a ∈ IR tal que las integrales Z a −∞
Integral de una variable.
f (x)dx y
Z +∞ a
f (x)dx, 126
11.2 Integrales impropias de primera especie.
son ambas convergentes. En ese caso su valor es Z +∞ −∞
Z a
f (x)dx =
−∞
f (x)dx +
Z +∞ a
f (x)dx.
Definici´ on 11.4 – Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´ acter, y lo representaremos por “∼”, si son simult´aneamente convergentes, divergentes u oscilantes. Propiedades 11.5 – a) Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a y sea b ≥ a. Entonces Z +∞ a
f (x)dx ∼
Z +∞ b
f (x)dx.
Demostraci´on: Como lim
Z t
t→+∞ a
f (x)dx = lim
ÃZ b
t→+∞
a
f (x)dx +
Z t b
!
f (x)dx =
Z b a
Z t
f (x)dx + lim
t→+∞ b
f (x)dx
el l´ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´ımite de la derecha es finito, infinito o no existe respectivamente. Y viceversa. An´alogamente si f : (−∞, b] −→ IR es integrable en [t, b], ∀ t ∈ IR y a ≤ b, entonces Z b −∞
f (x)dx ∼
Z a −∞
f (x)dx.
b) Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t], ∀ t ≥ a. Si convergen, entonces
Z +∞ a
Z +∞ a
a
f (x)dx y
Z +∞ a
g(x)dx
(f + g)(x)dx converge. En cuyo caso,
(f + g)(x)dx =
Demostraci´on: Basta considerar que
Z +∞
lim
Z t
t→+∞ a
Z +∞ a
f (x)dx +
(f + g)(x)dx = lim
Z t
t→+∞ a
segundos l´ımites existen.
Z +∞ a
g(x)dx.
f (x)dx + lim
Z t
t→+∞ a
g(x)dx, si los
c) Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], ∀ t ≥ a y λ ∈ IR, con λ 6= 0. Entonces Z +∞ a
Demostraci´on: Como lim
Z t
t→+∞ a
λf (x)dx = λ lim
infinitos o no existen.
f (x)dx ∼ Z t
t→+∞ a
Z +∞ a
λf (x)dx.
f (x)dx, ambos l´ımites son simult´ aneamente finitos,
Observaciones:
Integral de una variable.
127
11.2 Integrales impropias de primera especie.
a) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. El car´acter de
Z +∞
no depende del punto a dado en la definici´on.
−∞
f (x)dx
En el caso de que la integral sea convergente su valor no depende tampoco del punto elegido ya que, para cualquier b ∈ IR, Z a −∞
f+
Z ∞ a
f=
Z b
f+
−∞
Z a b
f+
Z b a
f+
Z ∞ b
f=
Z b −∞
b) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Si entonces
Z +∞ −∞
Rt
f = lim
f+
Z ∞
Z ∞ −∞
b
f.
f es convergente,
f. t→+∞ −t
La implicaci´on contraria es falsa. Es decir, puede existir el l´ımite y la integral ser divergente. Z +∞
Contraejemplo.-
−∞
Z ∞
2xdx no es convergente, pues
2xdx = lim
Z t
t→+∞ 0
0
2xdx = lim x2
it
t→+∞
0
= lim t2 = +∞ t→+∞
es divergente, sin embargo lim
Z t
t→+∞ −t
Z t
Al valor del lim
t→+∞ −t
por V P
Z +∞ −∞
2xdx = lim x2
it
t→+∞
−t
= lim t2 − (−t)2 = 0. t→+∞
f (x)dx se le denomina Valor Principal de Cauchy, y suele denotarse
f. Z ∞
Ejemplo 11.6 – Estudiar el car´acter de
1
dx xα
, para α ∈ IR.
Soluci´on: Como la funci´on tiene primitivas distintas para α = 1 y α 6= 1, las estudiamos por separado: Si α = 1, Z t 1
lim
t→+∞ 1
x
it
dx = lim ln x t→+∞
1
= lim (ln t − ln 1) = lim ln t = +∞, t→+∞
t→+∞
luego diverge. Si α 6= 1, lim
Z t
t→+∞ 1
−α
x
x−α+1 dx = lim t→+∞ −α + 1
#t
= lim ( 1
t→+∞
1 = lim (t1−α − 1) = t→+∞ 1 − α
t−α+1 1−α+1 − ) −α + 1 −α + 1
(
−1 1−α ,
si α > 1 +∞, si α < 1
luego diverge si αZ< 1 y converge si α > 1. Resumiendo,
∞
1
dx xα
diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1. En este u ´ltimo caso, Z ∞ dx 1
Integral de una variable.
xα
=
1 . α−1 128
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Proposici´ on 11.7 – Sea f : [a,Z+∞) −→ IR, integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, +∞). Si lim f (x) = L 6= 0 entonces
x→+∞
Demostraci´on: Supongamos que
∞
a
f (x)dx diverge.
lim f (x) = L > 0. Entonces, para cualquier ε > 0 existe k > 0 tal que
x→+∞
si x ≥ k se verifica que |f (x) − L| < ε, es decir, L − ε < f (x) < L + ε. En particular, tomando ε = L2 > 0, si x ≥ k se verifica que L2 < f (x) < 0 < L2 < f (x) para todo x ∈ [k, +∞). Entonces, lim
Z t L
t→+∞ k
y como lim
Z t L
t→+∞ k
Z t
se tiene que lim
t→+∞ k Z ∞
de 11.5 anterior,
a
2
2
dx ≤ lim
Z t
t→+∞ k
3L 2 ,
luego
f (x)dx
L t L x]k = lim t − k = +∞, t→+∞ 2 2 t→+∞
dx = lim
f (x)dx = +∞ y la integral
Z ∞ k
f (x)dx diverge, luego por la propiedad 1
f (x)dx diverge.
Supongamos ahora que lim f (x) = L < 0. Entonces lim −f (x) = −L > 0 y, por tanto,
Z ∞ a
x→+∞ Z ∞
− f (x)dx diverge. Luego
a
x→+∞
f (x)dx diverge.
Observaci´ on 11.8 – Como consecuencia de este resultado, si una funci´on tiene l´ımite en +∞, su integral s´olo puede ser convergente cuando el l´ımite es cero. (Si el l´ımite no existe no se puede asegurar nada.) El rec´ıproco de la proposici´on 11.7 no es cierto, una integral puede ser divergente, aunque su l´ımite sea 0. Contraejemplo.-
11.2.1
Z ∞ 1
dx x
diverge (ver ejemplo 11.6) y sin embargo,
lim 1 x→+∞ x
= 0.
Criterios de comparaci´ on para funciones no negativas.
Lema 11.9 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t], ∀t ∈ IR. Entonces la funci´on F (t) =
Z t a
f (x)dx es creciente en [a, +∞).
Demostraci´on: La funci´on F es creciente ya que si t1 , t2 ∈ [a, +∞), con t1 ≤ t2 , entonces F (t2 ) − F (t1 ) =
Z t2 t1
f (x)dx ≥ 0
por ser f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, +∞). Teorema 11.10 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t], ∀t ∈ IR. Z +∞ a
f (x)dx es convergente ⇐⇒ F (t) =
Integral de una variable.
Z t a
f (x)dx est´ a acotada superiormente.
129
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Demostraci´ on: Z Si
∞
a
f (x)dx converge, entonces Z t
lim
f (x)dx = lim F (t) = L ∈ IR. t→+∞
t→+∞ a
Como F (t) es creciente, F (t) ≤ L y est´a acotada superiormente. Rec´ıprocamente, si F (t) est´a acotada superiormente existe Z ∞ sup{F (t) : t ∈ [a, +∞)} = α ∈ IR. Veamos que α = lim F (t) y habremos probado que f (x)dx es convergente. t→+∞
a
Sea ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t0 ∈ [a, +∞) tal que α − ε < 0 F (t ), luego si t ≥ t0 , como F es creciente, se tiene que α − ε < F (t0 ) ≤ F (t). Adem´as, para todo t, se verifica que F (t) ≤ α < α + ε. En consecuencia, para cualquier ε > 0 existe t0 tal que si t ≥ t0 , α − ε < F (t) < α + ε, es decir, |F (t) − α| < ε, luego lim F (t) = α. t→+∞
Observaci´on: A la vista del resultado anterior, para funciones no negativas,
Z +∞
vergente o divergente.
a
f (x)dx s´olo puede ser con-
Primer criterio de comparaci´ on 11.11 – Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t] para todo t ≥ a y supongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ b. Entonces: a) Si b) Si
Z +∞ a
Z +∞ a
g(x)dx converge ⇒ f (x)dx diverge ⇒
Z +∞ a
Z +∞ a
f (x)dx tambi´en converge.
g(x)dx tambi´en diverge.
Demostraci´on: Por la propiedad 1 de 11.5, Z +∞ a
f (x)dx ∼
Z +∞ b
f (x)dx
Z +∞
y
a
g(x)dx ∼
Z +∞ b
g(x)dx,
luego basta probarlo en [b, +∞). a) Si
Z +∞ b
g(x)dx converge, G(t) =
Z t b
g(x)dx est´ a acotada superiormente.
Por ser 0 ≤ f (x) ≤ g(x), se tendr´a que F (t) =
Z t b
f (x)dx ≤
luego F (t) est´a acotada superiormente y b) Si
Z +∞ a
Z t b
Z +∞ b
f (x)dx es divergente tambi´en lo es
g(x)dx = G(t),
f (x)dx es convergente.
Z +∞ b
f (x)dx y, por tanto, F (t) =
Z t b
f (x)dx
no est´a acotada superiormente. Como F (t) ≤ G(t), G no est´a acotada superiormente y Z +∞ Z +∞ g(x)dx es divergente, luego g(x)dx es divergente. b
Integral de una variable.
a
130
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Segundo criterio de comparaci´ on 11.12 – Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t], para (x) todo t ≥ a y no negativas. Supongamos que existe lim fg(x) = L. Entonces: x→+∞
a) Si 0 < L < +∞ =⇒
Z +∞ a
f (x)dx ∼
Z +∞ a
g(x)dx.
b) Si L = 0, se tiene: (i) si (ii) si
Z +∞ a Z +∞ a
Z +∞
g(x)dx converge =⇒
a +∞
Z
f (x)dx diverge =⇒
a
f (x)dx converge.
g(x)dx diverge.
c) Si L = +∞, se tiene: (i) si (ii) si
Z +∞ a Z +∞ a
Z +∞
f (x)dx converge =⇒ Z
g(x)dx diverge =⇒
a +∞
a
g(x)dx converge.
f (x)dx diverge.
Demostraci´on: L 2,
a) Si ¯ 0 < L¯ < +∞, tomamos ε = ¯ ¯ f (x) ¯ g(x) − L¯ < L 2 . De donde − y, como g(x) ≥ 0, se tiene
luego existe K > 0 tal que si x ≥ K se tiene que
f (x) L L +L< < +L 2 g(x) 2
3L L g(x) ≤ f (x) ≤ g(x) 2 2
para todo x ≥ K . Basta aplicar 11.11, a los pares de funciones y tener en cuenta la propiedad 3 de 11.5.
L 2g
≤ f (x) y f (x) ≤
3L 2 g(x)
b) Si L = 0, tomando ε = 1, se tiene que existe K > 0 tal que si x ≥ K entonces 0 ≤ f (x) < g(x). De nuevo, basta con aplicar 11.11. c) Si L = +∞, entonces
lim g(x) x→+∞ f (x)
= 0 y recaemos en el caso anterior.
Observaci´on: Aunque los criterios dados son alidos u ´nicamente para funciones positivas en un entorno de Z v´ Z +∞, teniendo en cuenta que estudiar el car´acter de
11.2.2
Z +∞ a
+∞
a
f (x)dx ∼
+∞
a
− f (x)dx, para las funciones negativas basta
− f (x)dx.
Convergencia absoluta.
Definici´ on 11.13 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a. Diremos que Z Z +∞
a
f (x)dx es absolutamente convergente si
Integral de una variable.
+∞
a
|f (x)|dx converge.
131
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Teorema 11.14 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a. Z ∞
Si
a
Z +∞
|f (x)|dx converge, entonces
a
f (x)dx converge.
En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge. Demostraci´on: Para todoZ x ∈ [a, +∞) se tiene −|f (x)| ≤ f (x)Z ≤ |f (x)|, luego 0 ≤ f (x) + |f (x)| ≤ 2|f (x)|. Entonces, si
+∞
a
+∞
|f (x)|dx converge se tiene que
(|f (x)| + f (x)) dx es convergente y, por
a
tanto, aplicando al propiedad 2 de 11.5, se tiene que Z +∞ a
f (x)dx =
Z +∞ a
(f (x) + |f (x)|) dx −
Z +∞ a
|f (x)|dx
converge. Nota: El rec´ıproco no es cierto. Z ∞
Contraejemplo.Veamos que Z ∞ sen x π
x
Z ∞ π
sen x x dx
sen x x dx
π
dx = lim
converge.
Z t sen x
t→+∞ π
Ã
converge pero no converge absolutamente.
x
(
dx =−→ ¸
− cos x t − = lim t→+∞ x π Z ∞ cos x 1 = − dx π x2 π Como
| cos x| x2
≤
1 x2
y
Z ∞
por tanto
π
1 dx x2
Z t cos x
x2
π
converge, Z ∞ sen x π
converge.
u = x1 dv = sen xdx
x
Z ∞ π
!
dx
dx =
converger´ıa, puesto que
π
x
dx =
Z ∞ | sen(x + π2 )| π
x
du = −1 dt x2 v = − cos x
µ
= lim
t→+∞
cos x dx x2
1 − π
Veamos que no converge absolutamente. Si Z ∞ | cos x|
)(
dx =
x2
Pero esto es absurdo puesto que π
| sen x|+| cos x| x
| sen x|+| cos x| dx ha de ser divergente. x Z ∞ Z ∞ | sen x| sen x Luego x dx diverge y x dx π π
≥
1 x
− lim
Z t cos x
t→+∞ π
x2
dx
| sen x| x dx
dx convergiera, entonces
Z ∞ | sen(t)| 3π 2
t−
(por el segundo criterio de comparaci´on); en consecuencia, Z ∞
¶
converge absolutamente, luego converge y,
π
π
−→
1 − cos t − π t
Z ∞ cos x
Z ∞
)
y como
π 2
dt ∼
Z ∞ π Z ∞ π
Z ∞ | sen t| π
t
π
| cos x| x dx
dt
| sen x|+| cos x| dx x
1 x dx
Z ∞
converger´ıa.
diverge, necesariamente
no converge absolutamente.
Observaci´ on 11.15 – Los criterios establecidos para integrales impropias de primera especie en [a, +∞) as´ı como la convergencia absoluta admiten versiones an´alogas para integrales impropias de primera especie en (−∞, b]. Ver secci´on 11.3.1. Integral de una variable.
132
11.3 Integrales impropias de segunda especie.
No obstante, si f : (−∞, b] −→ IR, la funci´on g: [−b, +∞) −→ IR definida por g(x) = f (−x) verifica que
Z b t
Z −t
f (x)dx =
−b
g(u)du, para todo t ∈ (−∞, b], luego Z b −∞
f (x)dx ∼
Z ∞ −b
g(u)du.
Puede, por tanto, estudiarse f (x) en (−∞, b] estudiando f (−x) en [−b, +∞). Z −1
Ejemplo.- Estudiar el car´acter de Como
11.3
Z +∞ −(−1)
1 dx (−x)2
=
Z +∞ 1
−∞
1 dx x2
1 dx. x2
que converge, la integral
Z −1 −∞
1 dx x2
converge.
Integrales impropias de segunda especie.
Definici´ on 11.16 – Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], para todo t ∈ (a, b], y no acotada. Sea F : (a, b] −→ IR la funci´on definida por F (t) =
Z b t
f (x)dx.
El par (f, F ) se denomina integral impropia de segunda especie en (a, b] y se designa por
Z b a+
f (x)dx
Z b
´o
a+
Definici´ on 11.17 – Diremos que la integral impropia finito lim F (t) = lim
t→a+
Z b
Z b
t→a+ t
a+
f.
f (x)dx es convergente si existe y es
f (x)dx
y si ese l´ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L, es decir, L=
Z b a+
f (x)dx.
Si el l´ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente y si no existe se denomina oscilante. De forma an´aloga se definen las integrales impropias de segunda especie en intervalos de la forma [a, b) para funciones f : [a, b) −→ IR integrables en [a, t], ∀t ∈ [a, b) y no acotadas. Las representaremos por Z b− a
f (x)dx
´o
Z b− a
f.
Definici´ on 11.18 – Sea f : (a, b) −→ IR integrable en todo intervalo cerrado contenido en (a, b) y no acotada. Diremos que Z c a+
f (x)dx y
Z b− c
Z b− a+
f (x)dx es convergente si existe alg´ un c ∈ IR tal que las integrales
f (x)dx son ambas convergentes. En ese caso su valor es Z b− a+
Integral de una variable.
f (x)dx =
Z c a+
f (x)dx +
Z b− c
f (x)dx.
133
11.3 Integrales impropias de segunda especie.
Ejemplo 11.19 – Estudiar el car´acter de
Z b
Soluci´on: Si α = 1, lim
Z b
t→a+ t
a
dx α + (x−a)
y
Z b− a
dx (b−x)α
, para α ∈ IR.
dx = lim ln |x − a|]bt = lim (ln |b − a| − ln |t − a|) = +∞. x − a t→a+ t→a+
Si α 6= 1, Z b
lim
t→a+ t
dx 1 1 = lim α + (x − a) t→a α − 1 (x − a)α−1 1 = lim t→a+ α − 1
µ
¸b t
1 1 − α−1 (b − a) (t − a)α−1
luego converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1. An´alogamente se hace la segunda, y se obtiene que si α ≥ 1.
11.3.1
Z b− a
(
¶
=
1 , (1−α)(b−a)α−1
+∞,
dx (b−x)α
si α < 1 si α > 1
converge si α < 1 y diverge
Criterios de comparaci´ on para funciones no negativas.
Las integrales impropias de segunda especie para funciones no negativas, admiten criterios an´alogos a los dados para las integrales de primera especie. En este sentido, obs´ervese que el Teorema 11.21 siguiente es id´entico a su hom´ologo para integrales de primera especie. Por ello, enunciaremos los criterios omiti´endo sus demostraciones, que tienen un desarrollo parejo a las demostraciones de los criterios para las integrales de primera especie. V´ease la observaci´on 11.25 posterior, que “identifica” las integrales de segunda especie con las de primera especie, donde se aporta m´as informaci´on sobre estos comentarios. Lema 11.20 – Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], para todo t ∈ (a, b], no negativa y no acotada. Entonces, la funci´on F (t) =
Z b t
f (x)dx es decreciente.
Demostraci´on: Si t1 , t2 ∈ (a, b] con t1 ≤ t2 , entonces F (t1 ) =
Z b t1
f (x)dx =
Z t2 t1
f (x)dx +
Z b t2
f (x)dx ≥
Z b t2
f (x)dx = F (t2 ).
Teorema 11.21 – Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], para todo t ∈ (a, b], no negativa y no acotada. Entonces Z b a+
f (x)dx es convergente ⇐⇒ F (t) =
Z b t
f (x)dx est´a acotada superiormente.
Demostraci´ on: Z Si
b
a+
f (x)dx converge, entonces lim
Z b
t→a+ t
Integral de una variable.
f xdx = lim F (t) = L ∈ IR. t→a+
134
11.3 Integrales impropias de segunda especie.
Como F (t) es decreciente, F (t) ≤ L y est´a acotada superiormente. (Notar, que como F es decreciente, cuando t “decrece” hacia a+ , F (t) “crece” hacia L.) Rec´ıprocamente, si F (t) est´a acotada superiormente existe sup{F (t) : t ∈ (a, b]} = α ∈ IR. Veamos que α = lim F (t) y habremos probado que
Z b
t→a+
a+
f (x)dx es convergente.
Sea ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t0 ∈ (a, b] tal que α − ε < F (t0 ), luego si t ≤ t0 , como F es decreciente, se tiene que α − ε < F (t0 ) ≤ F (t). Adem´as, para todo t, se verifica que F (t) ≤ α < α + ε. En consecuencia, para cualquier ε > 0 existe t0 tal que si t ≤ t0 , α − ε < F (t) < α + ε, es decir, |F (t) − α| < ε, luego lim F (t) = α. t→a+
Primer criterio de comparaci´ on 11.22 – Sean f, g: (a, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ (a, b], y no acotadas. Supongamos que existe c ∈ (a, b] tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x ∈ (a, c], entonces a) Si b) Si
Z b a+
Z b a+
g(x)dx converge =⇒ f (x)dx diverge =⇒
Z b a+
Z b a+
f (x)dx tambi´en converge.
g(x)dx tambi´en diverge.
Segundo criterio de comparaci´ on 11.23 – Sean f, g: (a, b] −→ IR integrables en [t, b], para (x) todo t ∈ (a, b], no negativas y no acotadas. Supongamos que existe y es finito lim fg(x) = L. x→a+
Entonces: a) Si L 6= 0 entonces,
Z b a+
f (x)dx ∼
Z b a+
g(x)dx.
b) Si L = 0, se tiene: (i) Si (ii) Si
Z b a+ Z b a+
Z b
g(x)dx converge =⇒ Z
f (x)dx diverge =⇒
a+ b
a+
f (x)dx tambi´en converge.
g(x)dx tambi´en diverge.
Teorema 11.24 – (Convergencia absoluta.) Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], ∀t ∈ (a, b], y no acotada. Si
Z b a+
|f (x)|dx convergente =⇒
Z b a+
f (x)dx es convergente.
Nota: Tambi´en pueden darse enunciados an´alogos para integrales impropias de segunda especie en [a, b). Observaci´ on 11.25 – Cualquier integral impropia de segunda especie puede transformarse mediante un cambio de variable adecuado en una integral impropia de primera especie: Segunda especie Z b a+
f (x)dx
Z b− a
Integral de una variable.
f (x)dx
Cambio de variable t=
1 x−a
t=
1 b−x
Primera especie Z +∞ 1 f ( t +a) 1 b−a
t2
Z +∞ f (b− 1t ) 1 b−a
t2
dt
dt
135
11.4 Ejercicios.
Por consiguiente, como ya anunci´ abamos, los teoremas y criterios de comparaci´on estudiados para las integrales impropias de primera especie admiten enunciados an´alogos para las integrales impropias de segunda especie. Las demostraciones pueden hacerse utilizando los cambios de variable arriba indicados y los resultados ya conocidos referentes a las integrales impropias de primera especie, o bien siguiendo los mismos pasos de las demostraciones realizadas en la subsecci´on 11.2.1.
11.4
Ejercicios.
11.1 Calcular el valor de 11.2 Calcular
Z +∞ 0
Z +∞ −∞
e−x dx y
11.3 Estudiar el car´acter de Z +∞
11.4 Probar que
0
Z +∞
11.5 Probar que
−∞
dx xα
dx 1+x2
Z 0 −∞
ex dx.
Z +∞ −∞
.
2x−1 dx 1+x2
y hallar V P
Z +∞ −∞
2x−1 dx. 1+x2
diverge para cualquier α ∈ IR.
sen xdx no es convergente. ¿Existe V P
Z +∞ −∞
sen xdx?
11.6 Estudiar el car´acter de las siguientes integrales, seg´ un los valores de a. a) b)
Z +∞ a
Z +∞ a
sen2 x dx. x2 dx ln x ,
para a > 1.
11.7 Responder razonadamente, sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Si f : [a, +∞) −→ IR, es integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, +∞), y lim f (x) = 0, entonces
Z +∞ a
x→+∞
f (x)dx converge.
b) Si f : [a, +∞) −→ IR, es continua y
lim f (x) = 0, entonces
Z ∞
x→+∞
a
c) Si f : [a, +∞) −→ IR, es derivable, creciente y acotada entonces d) Si e) Si
Z ∞ a Z ∞ a
f (x)dx es convergente, entonces
f) Si
0
a
(f (x) + g(x))dx converge, entonces
sariamente. Z 1
Z 1000
f (x)dx y
mente.
Z 1 0
f (x)dx ≤
Z ∞ a
Z ∞
f (x)dx y
g(x)dx convergen, entonces
11.8 Probar que si f y g son funciones positivas tales que
Z 1 0
f 0 (x)dx converge.
f (x)dx.
Z ∞ a
a
g(x)dx convergen nece-
f (x)g(x)dx converge necesaria-
Z ∞ a
a
f (x)dx converge.
Z ∞
f (x)dx y
Z ∞ a
g(x)dx convergen
y existe, cuando x → ∞, el l´ımite de una de las funciones, entonces converge.
Integral de una variable.
Z ∞ a
f (x)g(x)dx
136
11.4 Ejercicios.
11.9 Estudiar el car´acter de las integrales siguientes: a) d) g) j) m) p)
Z ∞ 0
Z ∞ 1
(2 + sen x)dx
−∞
Z ∞ 1
Z ∞ 0
Z π 0
b)
1 ch x dx
Z 0
Z ∞ −∞
Z 0
e)
e2x (2x2
− 4x)dx
−∞
Z ∞
h)
x dx 1+x4
0
Z ∞
k)
0
e−x sen xdx
n)
dx 1−cos x
q)
Z 1 0
Z 1 0
e−x dx
c)
x2 +1 dx x4 +1
f)
2 xe−x dx
i)
dx √ x
l)
dx x(1−x)
√
ex ex −1
o)
Z ∞ −∞
Z ∞ 0
e2x (2x2 − 4x)dx
Z ∞
sen3 x 1+cos x+ex dx
0
Z ∞
x ln x dx (1+x2 )2
0
Z 1 0
Z
dx
2
r)
π 2
0
e−x dx
sen √ x+cos x dx x(1−x) x
√e dx sen x
11.10 Estudiar el car´acter de las integrales siguientes: a) d) g)
Z 1 0
sen x dx x2
Z √2 0
x
b) 4 dx
e)
(x2 −1) 5
Z +∞ 1
sen2 x1 dx
h)
Z π 0
Z 2 1
Z 1 0
sen2 2x dx x2
c)
dx x ln x
f)
ln x ln(x + 1)dx
Z ∞ 1
ln x dx x4 −x3 −x2 +x
Z ∞ Z ∞
i)
dx
1
x+(x3 +1) 2
0
0
ex ex +1 dx.
11.11 Estudiar el car´acter de las integrales siguientes: Z
a) c) e)
π 4
i)
Integral de una variable.
3 3 ( π4 −x) 2 x 2
0
Z ∞ 0
Z 1 0
Z
g)
(1−tg x) sen x
π 4
0
ex ex +1
−
dx
ex ex −1 dx
d)
2
1−e−x x2 cos x
f) ¶
7
x2
0
Z ∞ 1
dx
h) j)
π −arcsen x 4 1 3 x 2 ( √1 −x) 2 2
ln(1+x)
0 π 2 π 4
Z ∞ 0
dx
arctg(x−1) √ dx 3 (x−1)4
Z ∞√ x sen 12 x Z
− 1 dx
Z π x x2 √ 1+ 2 − 8 − 1+sen x 0
b)
sen3 (x−1) dx x ln3 x
µ
√ 2 2
Z
µ
dx
2
1−e−x x2 cos x
¶
− 1 dx 1
sen x arctg 3 (x−1) 2
(x−1) 3 sh x
dx.
137
11.4 Ejercicios.
11.12 Encontrar los valores de a, para que las integrales siguientes sean convergentes. Z
a) d) g)
π 2
0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
1−cos x xa dx
b)
x−sen x xa dx
e)
xa sen xdx
h)
Z ∞³ 2
Z ∞³ 0
Z ∞ a
ax x2 +1
−
√ 1 1+2x2
1 2x+1
−
a x+1
dx
11.13 Se define la funci´on beta por B(p, q) =
c)
0
dx
√1 x
1−e xa
dx
x1−a
dx √ 3 1−x2
Z ∞
´
sen2 x dx x2 −1
Z 1
Z ∞
´
f)
0
Z ∞
i)
a
xa dx x4 −1
xp−1 (1 − x)q−1 dx. Encontrar los valores reales
0
de p y q para los que la funci´on B(p, q) est´a definida. 11.14 Se define la funci´on gamma por Γ(p) =
Z ∞ 0
xp e−x dx.
a) Probar que esta funci´on est´a definida para todo p > −1. b) Probar que se verifica la igualdad Γ(p + 1) = pΓ(p), para cualquier p. c) Calcular, usando b),
Z ∞ 0
x6 e−x dx.
11.15 Sea f : [0, +∞) −→ IR. Se define la funci´on transformada integral de Laplace de la Z funci´on f , que denotaremos por L{f }, como L{f (x)} = F (s) = que la integral exista. Probar que:
∞
0
f (x)e−sx dx, siempre
a) Si f (x) = 1, F (s) = L{1} = 1s . b) Si F (s) = L{f (x)} y G(s) = L{g(x)}, entonces, para todo λ, µ ∈ IR, L{λf (x) + µg(x)} = λL{f (x)} + µL{g(x)}. c) Si f es derivable y verifica que L{f 0 (x)}, entonces
lim f (x)e−sx = 0, a partir de un cierto s, y existe
x→+∞
L{f 0 (x)} = sL{f (x)} − f (0). d) L{x} =
Integral de una variable.
1 s2
y que L{sen(ax)} =
a s2 +a2
, usando la parte c).
138
