Cap´ıtulo 14 Integrales de superficie ´ Area de una superficie. Integral respecto al elemento de ´ area Flujo de un campo de vectores. El principal objetivo de este cap´ıtulo es formular, con una motivaci´on razonable, la definici´on de ´area para una parametrizaci´on ϕ : U → R3 , de clase C 1 , definida en un abierto U ⊂ R2 . Conviene advertir que la definici´on no proporciona un n´ umero 3 ligado a la superficie param´etrica S = ϕ(U) ⊂ R , sino un n´ umero asociado a la aplicaci´on ϕ que mide el ´area recorrida o ’barrida’ por el punto ϕ(u1 , u2 ) cuando (u1, u2 ) recorre una vez el dominio U. Se consigue una definici´on intr´ınseca del ´area de S = ϕ(U) cuando ϕ : U → Rn es una parametrizaci´on regular (definici´on 9.2). En la secci´on 14.5 se formula la definici´on general de ´area k-dimensional para una parametrizaci´on ϕ : U → Rn de clase C 1 en un abierto U ⊂ Rk , (1 ≤ k ≤ n), que tambi´en proporciona una definici´on intr´ınseca de ´area k-dimensional de la imagen S = ϕ(U) ⊂ Rn cuando ϕ : U → Rn es regular. Sin embargo, hemos preferido comenzar considerando el caso estandar de una superficie param´etrica, que corresponde al caso n = 3 y k = 2, asumiendo algunos resultados establecidos en las secciones K.1 y 9.1. En el caso de las superficies, para motivar la definici´on de su ´area s´olo se requiere aceptar que el ´area del paralelogramo determinado por dos vectores v1 , v2 ∈ R3 viene dada por la norma eucl´ıdea de su producto vectorial. Los ejemplos que se consideran en la secci´on 14.2 ponen de manifiesto que la definici´on 14.16 asigna a superficies sencillas el ´area que prescribe la geometr´ıa elemental. En ellos U suele ser un recinto plano bastante simple, como un rect´angulo, un disco, o un sector circular, o m´as generalmente un abierto simple medible Jordan, y a veces ocurre que la integral doble que proporciona el ´area es una genuina integral impropia para cuyo c´alculo suele ser u ´til el teorema del cambio de variable J.15. Para una funci´on escalar definida sobre la imagen de un camino rectificable, en el cap´ıtulo 4 se formul´o la definici´on de integral respecto al arco. An´alogamente se define en este cap´ıtulo la integral, respecto al elemento de ´area, de una funci´on escalar definida sobre una superficie que se supone dada en forma param´etrica. Diversas nociones f´ısicas, como la masa y el centro de masa de una l´amina delgada

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o el flujo de un campo de vectores a trav´es de una superficie, se formulan mediante integrales de superficie apropiadas.

14.1.

Preliminares geom´ etricos

Para el lector que s´olo est´e interesado en la definici´on de ´area de una superficie resumimos a continuaci´on los resultados elementales de geometr´ıa eucl´ıdea tridimensional que intervienen en la definici´on. Estos resultados fueron establecidos con detalle, en una situaci´on general, en la secci´on K.1. Tres vectores v1 , v2 , v3 ∈ R3 generan un paralelep´ıpedoP P (v1 , v2 , v3 ) = L([0, 1]3 ), donde L : R3 → R3 es la aplicaci´on lineal L(t1 , t2 , t3 ) = 3i=1 ti vi . Seg´ un el teorema J.8 el paralelep´ıpedo es medible Jordan y c3 (P (v1 , v2 , v3 )) = det L. Si vi = (vi1 , vi2 , vi3 ), la matriz de la aplicaci´on lineal L es la traspuesta de la matriz (vij ) y se obtiene que c3 (P (v1 , v2 , v3 )) = det [(vij )1≤i,j≤3] Dos vectores v1 , v2 ∈ R3 generan un paralelogramo P (v1 , v2 ) = R([0, 1]2 ), donde R : R2 → R2 es la aplicaci´on lineal R(t1 , t2 ) = t1 v1 + t2 v2 . Este paralelogramo lo podemos considerar sumergido en un subespacio E ⊂ R3 de dimensi´on 2, (que habitualmente ser´a un espacio tangente a una superficie) y nuestro primer objetivo es mostrar P (v1 , v2 ) tiene un ´area dentro de E y obtener una f´ormula para ella. Debemos comenzar definiendo la clase ME formada por los subconjuntos de E que tienen contenido, y la medida de sus ´areas cE : ME → [0, +∞). Para ello utilizamos que E es un espacio eucl´ıdeo con el producto escalar inducido por el producto escalar de R3 . Mediante una base ortonormal β = {u1 , u2 }, este espacio eucl´ıdeo queda identificado con R2 , a trav´es de la aplicaci´on lineal Tβ ((x1 , x2 )) = x1 u1 + x2 u2 . Utilizando esta identificaci´on se define la familia ME formada por los conjuntos M ⊂ E tales que Mβ = Tβ−1 (M) es medible Jordan en R2 , y para ellos se define el contenido cE (M) = c2 (Mβ ). El hecho de que estas definiciones no dependen de la base ortonormal elegida se puede ver con detalle en la secci´on K.1. Dados dos vectores v1 , v2 ∈ E, es f´acil ver que el paralelogramo P (v1 , v2 ) es un subconjunto medible Jordan de E cuya ´area viene dada por la f´ormula cE (P (v1 , v2 )) = | det β (v1 , v2 )| donde β = {u1 , u2 } es una base ortonormal de E, y detβ (v1 , v2 ) es el determinante de la matriz formada con las coordenadas de v1 , v2 ∈ E respecto a esta base. El inconveniente de esta f´ormula reside en que hay que comenzar eligiendo una base ortonormal y calcular luego las coordenadas de v1 y v2 respecto a esta base. Por ello es interesante disponer de otra f´ormula alternativa como la siguiente q cE (P (v1 , v2 )) = | det(hvi |vj i)1≤i,j≤2|

en la que s´olo intervienen las coordenadas de los vectores v1 , v2 respecto a la base can´onica de R3 (v´ease la proposici´on K.2).

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Producto mixto y producto vectorial. Dada una terna de vectores (v1 , v2 , v3 ), donde vi = (vi1 , vi2 , vi3 ), (i = 1, 2, 3) su producto mixto, denotado [v1 · v2 · v3 ], se define como el valor del determinante det(v1 , v2 , v3 ) = det(vij )1≤i,j≤3, cuyo valor absoluto proporciona el volumen del paralelep´ıpedo P (v1 , v2 , v3 ). Si a un par ordenado de vectores (v2 , v2 ) ∈ R3 × R3 le asociamos la aplicaci´on lineal L : R3 → R, definida por L(x) = det(x, v1 , v2 ), en virtud de la proposici´on B.8 existe un u ´ nico z ∈ R3 tal que L(x) = hx | zi para todo x ∈ R3 , es decir hx | zi = det(x, v1 , v2 ) = [x · v1 · v2 ] Este vector, denotado z = v1 × v2 , recibe el nombre de producto vectorial del par ordenado de vectores (v1 , v2 ). De la definici´on se deduce que z es un vector ortogonal a los vectores v1 , v2 , no nulo si y s´olo si estos vectores son linealmente independientes. En este caso, sea E ⊂ R3 el subespacio generado por {v1 , v2 } y n el vector unitario ortogonal a E determinado det(n, v1 , v2 ) > 0. Como hn | zi = det(n, v1 , ·v2 ) > 0, se sigue que z tiene la direcci´on y el sentido de n, y su norma eucl´ıdea vale kzk2 = hn | zi = det(n, v1 , v2 ) = c3 (P (n, v1 , v2 )) Como n es un vector unitario ortogonal a los vectores v1 , v2 , es geom´etricamente evidente que el volumen del paralelep´ıpedo P (n, v1 , v2 ) coincide con el ´area de su base P (v1 , v2 ) (v´ease el ejercicio K.3) luego la norma eucl´ıdea del producto vectorial z = v1 × v2 proporciona el ´area del paralelogramo generado por los vectores (v1 , v2 ) q kzk2 = cE (P (v1 , v2 )) = | det(hvi |vj i)1≤i,j≤2|

Dados los vectores v1 = (v11 , v12 , v13 ), v2 = (v21 , v22 , v23 ), para obtener las coordenadas de z = v1 × v2 respecto a la base can´onica de R3 basta calcular los productos escalares zj = hej | zi = det(ej , v1 , v2 ), luego z = v1 × v2 es el vector que se obtiene desarrollando formalmente el determinante e1 e2 e3 z = v11 v12 v13 v21 v22 v23 z1 = v12 v23 − v13 v22 ,

z2 = v13 v21 − v11 v23 ,

z3 = v11 v22 − v12 v21

y usando esta f´ormula se obtiene que e1 × e2 = e3 ; e2 × e3 = e1 ; e3 × e1 = e2 . Para ver el significado geom´etrico de las coordenadas del producto vectorial consideramos la primera coordenada z1 = det(e1 , v1 , v2 ). Desarrollando este determinante por la primera fila se obtiene que |z1 | = | det(v1′ , v2′ )| donde vi′ = (vi2 , vi3 ). Identificando vi′ con la proyecci´on ortogonal de vi sobre E1 = {x ∈ R3 : x1 = 0} podemos interpretar la f´ormula |z1 | = | det(v1′ , v2′ )| diciendo que |z1 | es el ´area de la proyecci´on ortogonal del paralelogramo P (v1 , v2 ) sobre el plano x1 = 0. Esto se recuerda f´acilmente teniendo en cuenta que z1 = he1 | zi, y por ello |z1 | = kzk2 cos θ, donde θ es el ´angulo agudo formado por los vectores e1 y z. An´alogamente, |zj | es el ´area, medida en el plano Ej = {x ∈ R3 : xj = 0}, del la proyecci´on ortogonal de P (v1 , v2 ) sobre este plano. 350

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14.2.

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´ Area de una superficie

Comenzamos recordando las nociones que intervienen en lo que sigue. Una parametrizaci´on de clase C m (m ≥ 1) y dimensi´on 2 es una aplicaci´on ϕ : U → R3 de clase C m definida en un abierto U ⊂ R2 . A su imagen S = ϕ(U) se le suele llamar superficie param´etrica o superficie parametrizada. Todas las parametrizaciones consideradas en este cap´ıtulo, aunque no hagamos referencia expl´ıcita a su clase (para agilizar la redacci´on) siempre supondremos que son por lo menos de clase C 1 . Una parametrizaci´on ϕ de clase C m (m ≥ 1) y dimensi´on 2 se dice que es regular cuando establece un homeomorfismo entre su dominio U y la imagen S = ϕ(U) y adem´as, para cada u ∈ U, los vectores D1 ϕ(u), D2 ϕ(u) son linealmente independientes. En este caso, seg´ un el ejemplo 9.6 a) S = ϕ(U) es una subvariedad 3 diferenciable de R , de clase C m y dimensi´on 2. Este tipo de subvariedades diferenciables S ⊂ R3 , que son imagen de una parametrizaci´on regular de clase C 1 y dimensi´on 2 las llamaremos m´as brevemente superficies param´etricas regulares. nota:Conviene advertir que algunos textos llaman regulares a las parametrizaciones ϕ : U → R3 que son de clase de clase C 1 en un abierto U ⊂ R2 , y cumplen que los vectores D1 ϕ(u), Dj ϕ(u), son linealmente independientes para cada u ∈ U. Dos parametrizaciones, ϕ : U → R3 , Ψ : V → R3 de clase C m y dimensi´on 2, se dice que son C m -equivalentes cuando existe un C m -difeomorfismo g : V → U, tal que Ψ = ϕ ◦ g. En este caso es claro que si una de las dos parametrizaciones es regular la otra tambi´en lo es. El inter´es de las parametrizaciones regulares se debe, entre otras cosas, al siguiente resultado. Proposici´ on 14.1 Dos parametrizaciones regulares ϕ : U → R3 , Ψ : V → R3 de clase C m y dimensi´on 2, con la misma imagen son C m -equivalentes. Dem: Es un caso particular de la proposici´on H.9. Con el fin de motivar la definici´on de ´area de una superficie consideramos una parametrizaci´on regular ϕ : U → R3 definida en un abierto U ⊂ R2 . Si u ∈ U es un punto gen´erico del dominio, la derivada parcial D1 ϕ(u) se puede interpretar como el vector velocidad de la curva t → ϕ(t, u2 ) en el instante t = u1 , de modo que un peque˜ no incremento h > 0 en la variable u1 hace que el punto ϕ(u1 .u2 ) se desplace a la nueva posici´on ϕ(u1 +h, u2), cercana al punto ϕ(u1 , u2 )+hD1 ϕ(u1 , u2 ). An´alogamente, un peque˜ no incremento k > 0 en la segunda variable u2 conduce a un punto ϕ(u1 , u2 + k) cercano al punto ϕ(u1, u2 ) + kD2 ϕ(u1, u2 ). Vemos as´ı que la imagen del rect´angulo R = [u1 , u1 +h]×[u2 , u2 +k] es un trozo de superficie ϕ(R) que tendr´a un ´area (en sentido intuitivo) pr´oxima a la del paralelogramo determinado por los vectores hD1 ϕ(u), kD2 ϕ(u). Seg´ un la notaci´on introducida anteriormente, se trata del paralelogramo P (hD1 ϕ(u), kD2 ϕ(u)) = dϕ(u)(R), que est´a situado en el espacio tangente E = E(ϕ, u). Sabemos que su ´area, dentro de este plano, viene dada por la norma eucl´ıdea del producto vectorial de los vectores que lo determinan cE [P (hD1 ϕ(u), kD2 ϕ(u))] = khD1 ϕ(u) × kD2 ϕ(u))k2 = hk kN(u)k2 351

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donde N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u), es el llamado producto vectorial fundamental de la parametrizaci´on ϕ. Se trata de un vector normal al plano tangente E(ϕ, u), cuya norma, seg´ un lo que acabamos de ver, es el factor de proporcionalidad entre el ´area hk de un rect´angulo R = [u1 , u1 + h] × [u2 , u2 + k] ⊂ U y el ´area de su imagen mediante la diferencial, dϕ(u)(R). Esto motiva la consideraci´on de la funci´on q Pϕ(u) := kN(u)k2 = | det(h Di ϕ(u) | Dj ϕ(u) i)1≤i,j≤2|

que proporciona el ´area cE [P (D1 ϕ(u), D2 ϕ(u))], dentro del plano E = E(ϕ, u), del paralelogramo generado por los vectores D1 ϕ(u), D2 ϕ(u). Obs´ervese que, al ser ϕ de clase C 1 (U), la funci´on Pϕ es continua en U. nota: Cuando la parametrizaci´on ϕ no es regular los vectores D1 ϕ(u), D2 ϕ(u) pueden ser linealmente dependientes en alg´ un punto u ∈ U, y en ese caso el valor Pϕ(u) = 0 lo podemos seguir interpretando como el ´area del paralelogramo degenerado engendrado por estos vectores (medida en un plano E que los contenga). Sea p ∈ P(A) una partici´on de un rect´angulo cerrado A ⊃ U. Seg´ un hemos visto antes, para cada rect´angulo R = [u1 , u1 + h] × [u2 , u2 + k] ∈ ∆(p), contenido en U, el n´ umero kN(u)k2 hk = Pϕ(u)hk = Pϕ(u)v2 (R) proporciona una aproximaci´on razonable del ´area (considerada P en sentido intuitivo) del trozo de superficie ϕ(R), y podemos tomar las sumas U ⊃R∈∆(p) Pϕ(u)v2 (R) como valores que, al refinar p, aproximan cada vez m´as el ´area que deseamos definir. Si U es medible Jordan y la funci´on continua Pϕ est´a acotada sobre U las sumas anteriores son sumas de Riemann que al refinar la partici´on p aproximan a la integral R P , por lo que es razonable formular la siguiente definici´on U ϕ

Definici´ on 14.2 Si ϕ : U → R3 es una parametrizaci´ on de clase C 1 , definida en 2 un abierto U ⊂ R , se define su ´area como la integral doble, en sentido impropio Z ´ Area(ϕ) = Pϕ(u1 , u2 )du1 du2 ≤ +∞ (14.1) U

de la funci´on continua Pϕ = kD1 ϕ × D2 ϕk2 =

p

| det(h Di ϕ | Dj ϕ i)1≤i,j≤2|.

Cuando el abierto U ⊂ R2 es medible Jordan y la funci´on continua Pϕ est´a acotada sobre U la integral que interviene en la definici´on anterior es una genuina integral de Riemann. En otro caso, seg´ un la proposici´on 12.3, el valor de la integral impropia (posiblemente infinito) viene dado por el l´ımite Z ´ Area(ϕ) = l´ım Pϕ(u)du j

Kj

donde Kj ⊂ U es cualquier sucesi´on expansiva en U formada por compactos medibles Jordan (la definici´on de sucesi´on expansiva en U se ha dado en el cap´ıtulo 12).

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Obs´ervese que en la definici´on 14.2 no se ha supuesto que ϕ sea regular, aunque al principio de esta secci´on hab´ıamos considerado esta condici´on para motivar la interpretaci´on geom´etrica de la integral 14.1 como una medida del ´area de la superficie S = ϕ(U), lo que quedar´a confirmado con el corolario 14.4. Por otra parte, cuando ´ la parametrizaci´on ϕ no es inyectiva, el significado geom´etrico de Area(ϕ) es el de ´area ’barrida’ por ϕ(u) cuando u recorre U (v´ease el ejemplo 14.6). Proposici´ on 14.3 Si ϕ : U → R3 , Ψ : V → R3 son parametrizaciones C 1 -equivalentes ´ ´ definidas en abiertos U, V ⊂ R2 , entonces Area(ϕ) = Area(Ψ), es decir Z Z Pϕ(u1 , u2 )du1du2 = PΨ (v1 , v2 )dv1 dv2 U

V

Dem: La hip´otesis significa que existe un C 1 -difeomorfismo g : V → U tal que para cada (v1 , v2 ) ∈ V se cumple Ψ(v1 , v2 ) = ϕ(u1 , u2 ) donde (u1 , u2) = g(v1 , v2 ) ∈ U. Seg´ un la regla de la cadena para las derivadas parciales de una funci´on compuesta ∂ϕ ∂g1 ∂ϕ ∂g2 ∂Ψ = + ∂v1 ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v1 ∂Ψ ∂ϕ ∂g1 ∂ϕ ∂g2 = + ∂v2 ∂u1 ∂v2 ∂u2 ∂v2 El producto vectorial de estos vectores viene dado por   ∂Ψ ∂Ψ ∂ϕ ∂ϕ ∂g1 ∂g2 ∂g2 ∂g1 × = × − ∂v1 ∂v2 ∂u1 ∂u2 ∂v1 ∂v2 ∂v1 ∂v2 y calculando su norma eucl´ıdea se llega a la igualdad PΨ (v1 , v2 ) = Pϕ(u1 , u2)| det g′ (v1 , v2 )| Entonces, con el cambio de variable (u1 , u2 ) = g(v1 , v2 ), se obtiene Z Z Z Z ′ Pϕ(u) du = Pϕ(u) du = Pϕ(g(v))| det g (v)| dv = PΨ (v) dv U

g(V )

V

V

Corolario 14.4 Si ϕ : U → R3 , Ψ : V → R3 son parametrizaciones regulares con ´ ´ la misma imagen, definidas en abiertos U, V ⊂ R2 , entonces Area(ϕ) = Area(Ψ). Dem: Es consecuencia directa de las proposiciones H.9 y 14.3. Este corolario permite formular la siguiente definici´on Definici´ on 14.5 El ´area de una superficie param´etrica regular S ⊂ R3 se define como el ´area de cualquier parametrizaci´ on regular ϕ : U → R3 con ϕ(U) = S: Z Area(S) = Area(ϕ) = Pϕ(u1 , u2)du1 du2 U

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Dada una superficie param´etrica regular S ⊂ R3 , para cada abierto W ⊂ Rn con W ∩ S 6= ∅, es claro que el abierto relativo B = W ∩ S sigue siendo una superficie param´etrica regular (si ϕ : U → R3 es una parametrizaci´on regular de S, entonces U0 = ϕ−1 (W ) ⊂ R2 es abierto y ϕ|U0 es una parametrizaci´on regular de B) luego est´a definida el ´area Z ´ Area(B) = Pϕ(u1 , u2 )du1 du2 ϕ−1 (B)

Por razones de simplicidad nos hemos limitado a dar la definici´on de ´area para los subconjuntos B ⊂ S que son abiertos la topolog´ıa relativa. Sin embargo, el lector que tenga nociones b´asicas sobre de la integral de Lebesgue puede adoptar la misma f´ormula para definir el ´area de cualquier subconjunto de Borel B ⊂ S. Por otra parte, si S es una superficie param´etrica regular y ϕ : U → R3 y Ψ : V → R3 , son parametrizaciones regulares de S, enRvirtud de las proposiciones R 14.1 y 14.3 dado p = ϕ(u) = Ψ(v) ∈ S se verifica U Pϕ(u)du = V PΨ (v)dv. Esto justifica que podemos hablar del elemento de ´ area de la superficie regular, denotaremos brevemente dσ, sin especificar la parametrizaci´on, interpretando que dσ como un s´ımbolo que act´ ua sobre cada parametrizaci´on concreta ϕ de S en el punto gen´erico p = ϕ(u), dando lugar a la expresi´on dσ(p) = Pϕ(u)du, que se suele llamar elemento de ´area de la parametrizaci´on ϕ en el punto p = ϕ(u). Ejemplos En los ejemplos concretos, para el c´alculo efectivo de la funci´on Pϕ se puede elegir entre las dos f´ormulas √ A2 + B 2 + C 2 Pϕ = kD1 ϕ × D2 ϕk2 = Pϕ

=

p det (h Di ϕ | Dj ϕ i)1≤i,j≤2

=

√

EG − F 2

donde A(u), B(u), C(u) son las componentes del producto vectorial N(u): A

=

D(ϕ2 , ϕ3 ) D(u1 , u2 )

=

D1 ϕ 2 D2 ϕ 3 − D 1 ϕ 3 D2 ϕ 2

B

=

D(ϕ3 , ϕ1 ) D(u1 , u2 )

=

D1 ϕ 3 D2 ϕ 1 − D 1 ϕ 1 D2 ϕ 3

C

=

D(ϕ1 , ϕ2 ) D(u1 , u2 )

=

D1 ϕ 1 D2 ϕ 2 − D 1 ϕ 2 D2 ϕ 1

y E(u), F (u), G(u) son las funciones definidas por los productos escalares E

=

hD1 ϕ|D1 ϕi =

(D1 ϕ1 )2 + (D1 ϕ2 )2 + (D1 ϕ3 )2

F

=

hD1 ϕ|D2 ϕi =

D1 ϕ 1 D2 ϕ 1 + D1 ϕ 2 D2 ϕ 2 + D1 ϕ 3 D2 ϕ 3

G

=

hD2 ϕ|D2 ϕi =

(D2 ϕ1 )2 + (D2 ϕ2 )2 + (D2 ϕ3 )2 354

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Con el siguiente ejemplo se pone de manifiesto que, en general, el ´area de una parametrizaci´on no inyectiva ϕ : U → R3 no proporciona el ´area de la imagen S = ϕ(U), y que su significado geom´etrico es el de ´area ’barrida’ por el punto ϕ(u1 , u2 ) cuando u = (u1, u2 ) recorre el dominio U. ´ Ejemplo 14.6 Area de un trozo de esfera Consideremos el trozo de esfera Sα ⊂ {(x, y, z) ⊂ R3 : x2 + y 2 + z 2 = R2 } obtenido como imagen del abierto Uα = {(s, t) ⊂ R : −π/2 < s < π/2, 0 < t < α} mediante la parametrizaci´on ϕ : Uα → R3 definida por ϕ(s, t) = (R cos s cos t, R cos s sen t, R sen s) donde s (resp. t) representa la latitud (resp. longitud) de un punto de la esfera. Para esta parametrizaci´on, de clase C ∞ y dimensi´on 2, se tiene D1 ϕ(s, t) = (−R sen s cos t, −R sen s sen t, R cos s) D2 ϕ(s, t) = (−R cos s sen t, R cos s cos t, 0) E(s, t) = kD1 ϕ(s, t)k22 = R2 G(s, t) = kD2 ϕ(s, t)k22 = R2 cos2 s F (s, t) = hD p 1 ϕ(s, t)|D2 ϕ(s, t)i = 0 Pϕ(s, t) = E(s, t)G(s, t) − F (s, t)2 = R2 | cos s|, y teniendo en cuenta que cos s > 0 cuando s ∈ (−π/2, π/2) se obtiene ! Z Z α Z +π/2 2 2 2 ´ Area(ϕ) = R cos sds dt = R cos s ds dt = 2αR2 U

0

−π/2

Para α > 2π, todas las parametrizaciones ϕ : Uα → R3 tienen la misma imagen Sα = S \ {(0, 0, R), (0, 0, −R)} y sin embargo las ´areas son distintas. Cuando α ≤ π la parametrizaci´on ϕ : Uα → R3 es regular (v´ease el ejemplo H.7) y el n´ umero ´ Area(ϕ), que s´olo depende de la imagen Sα = ϕ(Uα ), coincide con el ´area que asigna la geometr´ıa elemental. As´ı, el ´area de S2π (esfera completa, salvo el meridiano {(x, y, z) ∈ S : x ≥ 0, y = 0}) es 4πR2 , y el ´area de la semiesfera Sπ es 2πR2 . Con los ejemplos que siguen se pone de manifiesto que la definici´on 14.16 asigna a superficies sencillas el ´area que prescribe la geometr´ıa elemental.

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´ Ejemplo 14.7 Area de una superficie dada en forma expl´ıcita Sea f : U → R3 una funci´on de clase C 1 (U) en un abierto U ⊂ R2 . La superficie en forma expl´ıcita S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ U} es la imagen de U mediante la parametrizaci´on ϕ : U → R3 definida por ϕ(x, y) = (x, y, f (x, y)). Es f´acil ver que esta parametrizaci´on es regular y as´ı podemos considerar el ´area de su imagen S, que vendr´a dada por la f´ormula 14.1. Ahora D1 ϕ = (1, 0, D1 f ), D2 ϕ = (0, 1, D2f ), y pel producto vectorial fundamental es N = (−D1 ϕ, −D2 ϕ, 1), luego Pϕ = kNk2 = 1 + (D1 f )2 + (D2 f )2 , y se llega a la f´ormula Z p ´ ´ Area(S) = Area(ϕ) = 1 + (D1 f (x, y))2 + (D2 f (x, y))2dx dy (14.2) U

´ Area de un trozo de plano: Aplicando la f´ormula 14.2 podemos ver que el ´area de un trozo de plano no paralelo al eje Oz, E = {(x, y, z) : ax + by = z} ⊂ R3 , es igual al ´area de su proyecci´on en el plano (x, y) multiplicada por 1/ cos α donde α es el ´angulo agudo que determina el eje Oz con la normal al plano (regla del coseno). Obs´ervese que al ser N = (−a, −b, 1) normal al plano, el ´angulo agudo α es el que cumple 1 = h e3 | N i = kNk2 cos α. Si consideramos un abierto U ⊂ R2 de ´area finita, seg´ un la f´ormula anterior el ´area del trozo de plano S = {(x, y, z) ∈ E : (x, y) ∈ U} viene dada por la integral Z √ ´ ´ ´ Area(S) = 1 + a2 + b2 dx dy = kNk Area(U) = (1/ cos α)Area(U) 2

U

El lector interesado puede comprobar que si el abierto U ⊂ R2 es medible Jordan en ´ entonces S es un subconjunto medible Jordan de E y cE (S) = (1/ cos α)Area(U). ´ Area de la semiesfera: Otra aplicaci´on de la f´ormula 14.2 permite obtener f´acilmente el ´area de la semiesfera S = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = R2 , z > 0}, que es la gr´afica de la funci´on f : U → R definida en el abierto U = {(x, y) : x2 + y 2 < R2 }. Con un c´alculo sencillo se obtiene 1 + (D1 f (x, y))2 + (D2 f (x, y))2 = luego ´ Area(S) =R

Z

U

R2 R2 − x2 − y 2

dx dy p

R2 − x2 − y 2

Obs´ervese que en este caso la f´ormula 14.2 (que es un caso especial de 14.1) conduce a una genuina integral impropia pues la funci´on que aparece bajo la integral no est´a acotada en U. Su valor se puede calcular con un cambio de variable a coordenadas polares (v´ease el teorema J.15) con el que se obtiene Z 2π Z R r dr ´ √ Area(S) = dθ = 2πR2 2 − r2 R 0 0

356

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´ Ejemplo 14.8 Area de un trozo de superficie c´ onica Sea ϕ : U → R3 definida en U = {(r, θ) : 0 < r < R, 0 < θ < α}, por ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, ar) donde 0 < α ≤ 2π, y a > 0. Es f´acil comprobar que ϕ es una parametrizaci´on regular de un trozo S = ϕ(U) del cono {(x, y, z) : x2 + y 2 = (z/a)2 } que se desarrolla un √ seg´ un sector circular determinado por un arco de circunferencia de radio ρ = 1 + a2 R y longitud 2πR. Con razonamientos de geometr´ıa elemental se obtiene que el ´area √ 2 2 del sector es πρ = πR 1 + a , luego esta debe ser el ´area del trozo de cono que proporciona la f´ormula 14.1. Efectivamente, con un c´alculo elemental se obtiene el producto vectorial fundamental N(r, θ) = D1 ϕ(r, θ) × D2 ϕ(r, θ) = (ar cos θ, −ar sen θ, r) luego ´ Area(ϕ) =

Z

U

kN(r, θ)k2 dr dθ =

√ √ r 1 + a2 dr dθ = πR2 1 + a2

Z

U

´ Ejemplo 14.9 Area de un trozo de superficie cil´ındrica En el plano (x, y) se considera una curva C dada en forma param´etrica como imagen de un camino γ(t) = (x(t), y(t)), de clase C 1 en un intervalo abierto U = (a, b) ⊂ R2 . A lo largo de la curva se levanta una valla cuya altura en el punto (x, y) ∈ C viene dada por una funci´on de dos variables h(x, y) que se supone definida y de clase de clase C 1 en un abierto Ω ⊃ C. La intuici´on nos dice que el ´area de la valla debe ser igual a la integral, respecto al arco, de la funci´on h sobre la curva C. Esta conjetura queda avalada con los c´alculos que siguen: La valla S es un trozo de superficie cil´ındrica que se parametriza en U = {(s, t) : a < t < b, 0 < s < h(x(t), y(t)) mediante la funci´on de clase C 1 , ϕ(s, t) = (x(t), y(t), s). (Obs´ervese que la continuidad de la funci´on compuesta t → g(t) = h(x(t), y(t)) garantiza que U es abierto). Es inmediato que D1 ϕ(s, t) = (0, 0, 1), D2 ϕ(s, t) = (x′ (t), y ′(t), 0), luego el producto vectorial fundamental vale N(s, t) = (−y ′ (t), x′ (t), 0) y as´ı se obtiene que Z p ´ x′ (t)2 + y ′(t)2 dsdt = Area(ϕ) = U

=

Z

b

dt a

Z

0

g(t)

′

kγ (t)k2 ds =

Z

a

b

h(x(t), y(t)) kγ ′ (t)k2 dt

y la u ´ ltima integral no es otra cosa que la integral respecto al arco de la funci´on h. Si γ es regular se comprueba f´acilmente que ϕ es regular, y por lo tanto tenemos ´ derecho a decir que Area(ϕ) es el ´area de la valla S = ϕ(U). En cualquier caso es ´ razonable admitir que el n´ umero Area(ϕ) mide el ´area de la valla. 357

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14.3.

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Integral respecto al elemento de ´ area

Para motivar la definici´on consideremos una l´amina delgada de un material no homog´eneo cuya forma queda descrita mediante una superficie S = ϕ(U) que viene dada dada como imagen de una parametrizaci´on ϕ : U → R3 definida en un abierto U ⊂ R2 . Para cada p ∈ S sea f (p) ≥ 0 la densidad del material con el que se ha construido la l´amina. Supongamos, para simplificar el asunto, que la funci´on f es continua sobre S y que ϕ es una parametrizaci´on regular de clase C 1 cuyo dominio U es un rect´angulo. Mediante una partici´on p ∈ P(U) descomponemos U en un n´ umero finito de peque˜ nos rect´angulos elementales {Uj : 1 ≤ j ≤ m}, cuyas im´agenes Sj = ϕ(Uj ) son trozos de superficie de ´area Z ´ Area(S Pϕ(u)du j) = Uj

´ ´ Como Pϕ es continua existe uj ∈ Uj tal que Area(S j ) = Pϕ(uj )Area(Uj ) luego un ´ valor aproximado de la masa del trozo Sj ser´a Area(S j )f (pj ), donde pj = ϕ(uj ) ∈ Sj . As´ı podemos asumir que una aproximaci´on razonable de la masa total de la l´amina viene dada por las sumas de Riemann m X

´ f (pj )Area(S j) =

j=1

m X

´ f (ϕ(uj )Pϕ(uj )Area(U j)

j=1

R que aproximan el valor de la integral U f (ϕ(u))Pϕ(u)du. Refinando la partici´on p ∈ P(U) cabe esperar que se obtengan aproximaciones cada vez mejores de la masa de la l´amina, por lo que es razonable definir la masa total de la l´amina mediante esta integral. Esta Pmintegral tambi´en se puede interpretar ´ como l´ımite de sumas de tipo de Riemann j=1 f (pj )Area(S j ), donde pj ∈ Sj y Sj recorre los elementos de una ’partici´on’ finita de S, en trozos de superficie, generados por una partici´on adecuada del dominio U. Definici´ on 14.10 Sea ϕ : U → R3 de clase C 1 definida en un abierto U ⊂ R2 y f : S → R una funci´on definida sobre S = ϕ(U). Si (f ◦ ϕ)Pϕ es absolutamente integrable sobre U se dice que f es integrable respecto a ϕ y se define Z Z Z f= f (ϕ(u))Pϕ(u)du = f (ϕ(u)) kN(u)k2 du ϕ

U

U

donde N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u) es el producto vectorial fundamental asociado a la parametrizaci´on ϕ. Para la integral de una funci´on f respecto a una parametrizaci´on ϕ tambi´en se suelen utilizar las notaciones Z Z Z f dσ; f dS; dA ϕ

ϕ

358

ϕ

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En lo que sigue adoptamos la primera de ellas que sugiere la siguiente regla para obtener la definici´on 14.10: Se sustituye p = ϕ(u) en la expresi´on f (p)dσ(p) recordando que el s´ımbolo dσ al actuar en un punto gen´erico p = ϕ(u) produce la expresi´on dσ(p) = Pϕ(u)du. Seg´ un lo que se ha visto en la secci´on 14.2 al motivar la definici´on de ´area de una superficie, Pϕ(u) = Pϕ(u1 , u2 ) es el coeficiente por el que hay que multiplicar el ´area du = du1 du2 del rect´angulo elemental [u1 , u1 + du1] × [u2 , u2 + du2 ], situado en el plano (u1 , u2 ) para obtener el ´area dσ(p) de su imagen sobre la superficie (un cuadril´atero curvil´ıneo que para valores peque˜ nos de los incrementos du1 , du2 se confunde con un paralelogramo de ´area Pϕ(u1, u2 )du1 du2 = Pϕ(u)du situado en el plano tangente a S en p). Proposici´ on 14.11 Sean ϕj : Uj → R3 parametrizaciones C 1 -equivalentes de clase C 1 definidas en los abiertos Uj ⊂ R2 , j = 1, 2. Una funci´ on f : S → R definida sobre S = ϕ1 (U1 ) = ϕ2 (U2 ), es integrable respecto a ϕ1 si y s´ olo si es integrable respecto a ϕ2 , y en ese caso Z Z f dσ = f dσ ϕ1

ϕ2

Dem: La hip´otesis significa que existe un C 1 -difeomorfismo g : U1 → U2 tal que ϕ1 = ϕ2 ◦ g. Seg´ un la demostraci´on de la proposici´on 14.16 se verifica Pϕ1 = (Pϕ2 ◦ g)| det g′ | Seg´ un el teorema del cambio de variable J.15 podemos afirmar que (f ◦ ϕ2 )Pϕ2 es integrable sobre U2 = g(U1 ) si y s´olo si (f ◦ ϕ2 ◦ g)(Pϕ2 ◦ g)| det g′ | = (f ◦ ϕ1 )Pϕ1 es integrable sobre U1 y en ese caso las integrales coinciden Z Z (f ◦ ϕ2 )Pϕ2 = (f ◦ ϕ1 )Pϕ1 U2

U1

Puesto que dos parametrizaciones regulares con la misma imagen S son C 1 equivalentes (v´ease la proposici´on 14.1) tomando como base la proposici´on 14.11 se puede definir la integral de una funci´on f : S → R, sobre una superficie param´etrica regular S ⊂ R3 Definici´ on 14.12 Una funci´on f : S → R definida sobre una superficie param´etrica regular S ⊂ R3 se dice que es integrable sobre S cuando f es integrable respecto a una (o cualquier) parametrizaci´on regular ϕ : U → R3 tal que ϕ(U) = S (lo que significa que (f ◦ ϕ)Pϕ esRabsolutamente integrable sobre U). En ese caso la integral R de f sobre S, denotada S f dσ = S f (p)dσ(p), se define en t´erminos de alguna parametrizaci´on regular ϕ de S: Z Z Z f (p)dσ(p) := f = (f ◦ ϕ)(u)Pϕ(u)du S

U

ϕ

359

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Cuando f es la funci´on constante 1, seg´ un la notaci´on introducida en la definici´on R ´ 14.12, podemos escribir la sugestiva f´ormula Area(S) = S dσ que se suele leer diciendo que el ´area total de S es la suma de sus elementos de ´area. 1 nota: Si S = ϕ(U) ⊂ R3 donde ϕ es una parametrizaci´ R Ron inyectiva de clase C no regular, tambi´en se suele R utilizar la notaci´on S f dσ = S f (p)dσ(p), para designar el valor de la integral ϕ f , cuando por el contexto se sobreentiende cual es la parametrizaci´on ϕ (en el supuesto de que esta integral exista).

Las consideraciones previas a la definici´on 14.10 motivan la siguiente: Definici´ on 14.13 La masa de una l´ amina que tiene la forma de una superficie param´etrica regular S ⊂ R3 , se dice que est´ a, distribuida seg´ un la funci´ on de densidad ρ : S → [0, +∞), cuando ρ es integrable sobre S y para porci´ on abierta B ⊂ S R(en la topolog´ıa relativa de S) la masa de B viene dada por la integral µ(B) = B ρ(x)dσ(x). En estas condiciones, el centro de masa, o centro de gravedad de la l´ amina, es el punto b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 de coordenadas Z Z 1 1 bj = xj ρ(x)dσ(x) = ϕj (s, t)ρ(ϕ(s, t))Pϕ(s, t) ds dt µ(S) ϕ µ(S) U y el momento de inercia de la l´amina respecto a un eje e viene dado por la integral Z Ie = δ 2 (x)ρ(x)dσ(x) S

donde δ(p) es la distancia del punto p a la recta e. En el caso de una l´amina homog´enea de densidad constante ρ(x) ≡ ρ, al centro de ´ masa se le suele llamar baricentro. En este caso µ(S) = ρ Area(S), y las coordenadas del baricentro b = (b1 , b2 , b3 ) vienen dadas por las integrales Z Z 1 1 xj dσ(x) = ϕj (s, t)Pϕ(s, t) ds dt bj = ´ ´ Area(S) Area(S) ϕ U Con el ejercicio resuelto 14.24 se pone de manifiesto que, en las condiciones de la definici´on 14.13, si la funci´on de densidad ρ es continua en p ∈ S, entonces ρ(p) es el l´ımite, cuando r → 0, de los cocientes entre la masa y el ´area de las porciones de superficie Sr (p) = S ∩ B(p, r).

14.4.

Flujo de un campo de vectores

En las aplicaciones a la F´ısica las funciones de tres variables con valores vectoriales se suelen llamar campos de vectores, (y a las funciones con valores reales, campos escalares). Esta secci´on est´a dedicvada a la noci´on de flujo de un campo de vectores a trav´es de una superficie. Esta noci´on, que desempe˜ na un papel importante en el 360

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estudio del movimiento de los fluidos, sirve para medir la cantidad neta de fluido que pasa a trav´es de una superficie en un sentido determinado. Para explicar el significado preciso de la u ´ ltima frase debemos comenzar con la noci´on de orientaci´on de una superficie. De momento s´olo consideraremos superficies param´etricas regulares para las que la noci´on de orientaci´on se formula en una forma bastante simple. Orientaci´ on de una superficie param´ etrica regular. Si S ⊂ R3 es una superficie param´etrica regular y ϕj : Uj → S, j = 1, 2, son parametrizaciones regulares de S, seg´ un la proposici´on H.9, g = ϕ−1 2 ◦ ϕ1 : U1 → U2 es un difeomorfismo. Se dice que ϕ1 y ϕ2 tienen la misma orientaci´on (resp. orientaciones opuestas) cuando det g′ (u) > 0 (resp. det g′ (u) < 0) para todo u ∈ U1 . Es f´acil ver que as´ı queda definida una relaci´on de equivalencia en la familia de todas parametrizaciones regulares de S. Se dice que la superficie param´etrica regular S est´a orientada cuando ha sido elegida una clase de equivalencia, declarando como positivas a todas las parametrizaciones de la clase. Habitualmente esta clase positiva se suele determinar eligiendo uno de sus representantes ϕ, y en ese caso se dice que S est´a orientada mediante la parametrizaci´on ϕ. En general, si ϕj : Uj → S, j = 1, 2, son dos parametrizaciones regulares de ′ S, el difeomorfismo g = ϕ−1 2 ◦ ϕ1 : U1 → U2 cumple que det g (u) 6= 0 para cada u ∈ U1 . Cuando la superficie S es conexa, U1 tambi´en lo es (porque ϕ1 : U1 → S es un homeomorfismo) y as´ı la funci´on continua det g′ (u) 6= 0 no puede cambiar de signo en U1 , luego o bien det g′ (u) > 0 para todo u ∈ U1 , o bien det g′ (u) < 0 para todo u ∈ U1 . Es decir, cuando la superficie S es conexa, dos parametrizaciones regulares de S o tienen la misma orientaci´on o tienen orientaciones opuestas, luego S s´olo admite dos orientaciones, una opuesta de la otra. Un m´etodo alternativo para orientar una superficie param´etrica regular S se basa en la consideraci´on de vectores unitarios normales a la superficie: Si ϕ : U → S es una parametrizaci´on regular de S, en cada punto p = ϕ(u) ∈ S se puede definir un vector normal unitario n(p) = N(u)/ kN(u)k2 donde N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u) es el producto vectorial fundamental de la parametrizaci´on ϕ. Obs´ervese que n(p) depende continuamente de p porque al ser ϕ una parametrizaci´on regular la transformaci´on inversa u = ϕ−1 (p) es continua. Adem´as, este campo continuo de vectores normales unitarios n : S → Rn s´olo depende de la orientaci´on porque si ϕj : Uj → S, 1 ≤ j ≤ 2, son parametrizaciones regulares de S con la misma orientaci´on dado un punto p = ϕ1 (u) = ϕ2 (v) ∈ S, seg´ un la demostraci´on de la proposici´on 14.3, los vectores normales N1 (u) = D1 ϕ1 (u) × D2 ϕ1 (u), N2 (v) = D1 ϕ2 (v) × D2 ϕ2 (v) cumplen la condici´on N2 (v) = det g′ (v) N1 (u), con det g′ (v) > 0, y por lo tanto n1 (p) = N1 (u)/ kN1 (u)k2 = N2 (v)/ kN2 (v)k2 = n2 (p) En definitiva, cuando se orienta una superficie param´etrica regular S queda determinado un campo continuo de vectores normales unitarios n : S → R3 , que calificaremos como positivos para la orientaci´on de S. (la orientaci´on opuesta en S produce el campo continuo de vectores normales unitarios −n(p)). Rec´ıprocamente, si S ⊂ R3 es una superficie param´etrica regular, sobre la que se ha definido un campo continuo de vectores normales unitarios n : S → R3 , es f´acil ver que S queda orientada 361

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declarando como positivas a las parametrizaciones regulares cuyo campo de vectores normales unitarios coincide con n. Una superficie param´etrica regular orientada S conviene imaginarla como una l´amina muy delgada que tiene dos caras, la positiva y la negativa, determinadas por la condici´on de que el campo continuo de vectores normales unitarios positivos n(p) apunta siempre desde la cara negativa hacia la cara positiva. nota: La noci´on de orientaci´on para una superficie param´etrica regular es un caso particular de la que se formula en la secci´on H.3 para las subvariedades diferenciables de Rn . Los dos m´etodos que hemos mencionado aqu´ı para orientar una superficie param´etrica regular son versiones particulares de los considerados en la secci´on H.3. Flujo a trav´ es de una superficie param´ etrica regular orientada. La noci´on de flujo de un campo de vectores a trav´es de una superficie param´etrica orientada se motiva considerando el movimiento de un fluido que ocupa un cierto recinto Ω ⊂ R3 . El movimiento durante un intervalo de tiempo [0, T ] queda descrito mediante un campo de vectores F : Ω × [0, T ] → R3 que proporciona, en el instante t ∈ [0, T ], la velocidad de la corriente F(t, p) en el punto p ∈ Ω (la velocidad de la part´ıcula que en ese instante pasa por este punto). En lo que sigue supondremos, para simplificar el asunto, que el movimiento del fluido es estacionario, lo que significa que su campo de velocidades no depende del tiempo, de modo que todas las part´ıculas que pasan por un punto (x, y, z) lo hacen siempre a la misma velocidad F(x, y, z). En este caso el movimiento del fluido se describe con un campo de vectores F : Ω → R3 . Supongamos que S = ϕ(U) ⊂ Ω es una superficie param´etrica regular orientada mediante una parametrizaci´on regular ϕ : U → R3 y que n : S → R3 es el campo de vectores normales unitarios positivos para la orientaci´on. Deseamos medir el volumen de fluido que atraviesa la superficie S en una unidad de tiempo, desde la cara negativa, hacia la cara positiva. Al finalizar ese intervalo de tiempo la part´ıcula que hab´ıa pasado por el punto p = ϕ(u) en el instante t, con velocidad F(p), se encuentra en el punto p + F(p), y las part´ıculas que, durante este intervalo de tiempo, han pasado a trav´es del elemento de superficie dσ(p), ocupan un paralelep´ıpedo elemental, trasladado del generado por los vectores F(p), D1 ϕ(u)du1 , D2 ϕ(u)du2 . El volumen de este paralelep´ıpedo elemental viene dado por el valor absoluto de hF(p) | N(u)i du1 du2 , donde N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u). Como N(u) es un vector normal a S en p = ϕ(u) que tiene la direcci´on del vector unitario n(p), se cumple hF(p) | N(u)i du1 du2 = hF(p) | n(p)i kN(u)k2 du1 du2 Obs´ervese que en los puntos donde el producto escalar hF(p) | n(p)i es positivo (resp. negativo) el fluido atraviesa la superficie desde la cara negativa (resp. positiva) hacia la cara positiva (resp. negativa). Si prescindimos del valor absoluto en el producto escalar entonces hF(p) | N(u)i du1 du2 proporciona el valor signado del elemento de volumen, con signo + en los puntos donde el fluido pasa por la superficie en el sentido determinado por su orientaci´on, y con signo − en los puntos donde lo 362

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hace en el sentido opuesto. Seg´ un esto, el volumen neto de fluido que pasa a trav´es de la superficie S desde su cara negativa hacia su cara negativa, en la unidad de tiempo, ser´a la suma de los vol´ umenes elementales (con signo) hF(p) |N(u)idu1du2 , y vendr´a dado por la integral de superficie Z Z h F(ϕ(u)) | n(ϕ(u)) i kN(u)k2 du1 du2 = h F(p) | n(p) i dσ(p) U

S

Es decir, el volumen de fluido que pasa a trav´es de S en la unidad de tiempo, desde el lado al que apunta −n, al lado contrario, es la integral de superficie, respecto al elemento de ´area, de la componente del vector velocidad en direcci´on de n. Definici´ on 14.14 Sea F : S → R3 un campo de vectores definido sobre una superficie param´etrica regular orientada S, y n : S → R3 el campo de vectores unitarios normales positivos para la orientaci´ on de S. El flujo de Φ de F a trav´es de S se define mediante la integral de superficie Z Φ = h F(p) | n(p) idσ(p) S

en el supuesto de que la funci´on escalar f (p) = h F(p) | n(p) i sea integrable sobre S respecto al elemento de ´area. En las condiciones de la definici´on 14.14 si ϕ : U → S es una parametrizaci´on regular y positiva para la orientaci´on de S, en cada punto p = ϕ(u) ∈ S, el producto vectorial fundamental N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u) proporciona un vector normal a S en p seg´ un la direcci´on del vector unitario n(p), luego N(u) = kN(u)k2 n(ϕ(u)) = Pϕ(u)n(ϕ(u)) y se tiene Φ=

Z

U

hF(ϕ(u)) | n(ϕ(u))iPϕ(u) du =

Z

U

hF(ϕ(u)) | N(u)idu

Si las ecuaciones de ϕ las escribimos en forma expl´ıcita usando la notaci´on (x1 , x2 , x3 ) = (ϕ1 (u1 , u2 ), ϕ2 (u1 , u2), ϕ3 (u1 , u2 ) las componentes del producto vectorial N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u) adoptan la forma N1 =

D(ϕ2 , ϕ3 ) D(ϕ3 , ϕ1 ) D(ϕ1 , ϕ2 ) ; N2 = ; N3 = D(u1 , u2 ) D(u1 , u2) D(u1 , u2 )

luego el flujo Φ viene dado por la integral doble:  Z  D(ϕ2 , ϕ3 ) D(ϕ3 , ϕ1 ) D(ϕ1 , ϕ2 ) Φ= (F1 ◦ ϕ) + (F2 ◦ ϕ) + (F3 ◦ ϕ) du1 du2 D(u1 , u2) D(u1 , u2) D(u1 , u2) U 363

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El lenguaje de las formas diferenciales de grado dos que introducimos a continuaci´on proporciona un mecanismo formal para escribir la u ´ ltima integral en una forma f´acil de recordar. Si 1 ≤ p < q ≤ 3, sea dxp ∧ dxq = −dxq ∧ dxp : R3 × R3 → R la aplicaci´on bilineal alternada que asigna a cada par de vectores (u, v) = ((u11 , u12 , u13 ), (u21 , u22 , u23 )) ∈ R3 × R3 el determinante de la matriz formada con las columnas que ocupan los lugares p, q (en este orden) en la matriz (uij ) : 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, de modo que D(ϕ2 , ϕ3 ) = dx2 ∧ dx3 (D1 ϕ, D2 ϕ) D(u1 , u2 ) D(ϕ3 , ϕ1 ) = dx3 ∧ dx1 (D1 ϕ, D2 ϕ) D(u1 , u2 ) D(ϕ1 , ϕ2 ) = dx1 ∧ dx2 (D1 ϕ, D2 ϕ) D(u1 , u2 ) y as´ı la expresi´on que figura bajo la integral u ´ ltima integral se escribe en la forma [(F1 ◦ ϕ)dx2 ∧ dx3 + (F2 ◦ ϕ)dx3 ∧ dx1 + (F3 ◦ ϕ)dx1 ∧ dx2 ](D1 ϕ, D2 ϕ) Esto motiva la consideraci´on, para cada x ∈ S fijo, de la aplicaci´on bilineal alternada ω(x) : R3 × R3 → R definida por ω(x) = F1 (x1 , x2 , x3 )dx2 ∧ dx3 + F2 (x1 , x2 , x3 )dx3 ∧ dx1 + F3 (x1 , x2 , x3 )dx1 ∧ dx2 (En K.2 se puede ver que dx2 ∧ dx3 , dx3 ∧ dx1 , dx1 ∧ dx2 forman una base del espacio vectorial de las aplicaciones bilineales alternadas Γ2 (R3 )). Si en la expresi´on F1 (x1 , x2 , x3 )dx2 ∧ dx3 + F2 (x1 , x2 , x3 )dx3 ∧ dx2 + F3 (x1 , x2 , x3 )dx1 ∧ dx2 y realizamos las sustituciones formales, xj = ϕj (u1 , u2), dxj = dϕj = D1 ϕj (u1 , u2 )du1 + D2 ϕj (u1 , u2 )du2 obtenemos (F1 ◦ ϕ)[D1 ϕ2 du1 + D2 ϕ2 du2] ∧ [D1 ϕ3 du1 + D2 ϕ3 du2]+ (F2 ◦ ϕ)[D1 ϕ3 du1 + D2 ϕ3 du2] ∧ [D1 ϕ1 du1 + D2 ϕ1 du2]+ (F3 ◦ ϕ)[D1 ϕ1 du1 + D2 ϕ1 du2 ] ∧ [D1 ϕ2 du1 + D2 ϕ2 du2 ] donde todas las funciones que intervienen se suponen evaluadas en u. Utilizando las reglas formales del c´alculo exterior du2 ∧ du1 = −du2 ∧ du1 , du1 ∧ du1 = du2 ∧ du2 = 0 364

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de un modo mec´anico se llega a una expresi´on de la forma g(u)du1 ∧ du2 , donde g = (F1 ◦ ϕ)(D1 ϕ2 D2 ϕ3 − D2 ϕ2 D1 ϕ3 )+ (F2 ◦ ϕ)(D1 ϕ3 D2 ϕ1 − D2 ϕ3 D1 ϕ1 )+ (F3 ◦ ϕ)(D1 ϕ1 D2 ϕ2 − D2 ϕ1 D1 ϕ2 ) = es la funci´on que figura bajo la integral [∗]. Con estos convenios de notaci´on la integral doble que proporciona el flujo la escribiremos en la forma Z Φ = (F1 ◦ ϕ)dϕ2 ∧ dϕ3 + (F2 ◦ ϕ)dϕ3 ∧ dϕ1 + (F3 ◦ ϕ)dϕ1 ∧ dϕ2 U

que habitualmente se escribe as´ı Z Φ= F1 dx2 ∧ dx3 + F2 dx3 ∧ dx1 + F3 dx1 ∧ dx2 ϕ

14.5.

Integraci´ on sobre variedades param´ etricas k-dimensionales

´ Area de variedad param´ etrica k-dimensional. Para dar una interpretaci´on geom´etrica de la f´ormula 14.3 con la que se define el ´area k-dimensional de una parametrizaci´on ϕ : U → Rn de clase C 1 definida en un abierto U ⊂ Rk , (1 ≤ k ≤ n), conviene tener presentes los resultados de la secci´on K.1 referentes a la definici´on del contenido de Jordan cE en un subespacio E ⊂ Rn de dimensi´on k, y las f´ormulas obtenidas all´ı para calcular el contenido cE (P ) de un paralelep´ıpedo P = P (v1 , v2 , · · · vk ) ⊂ E generado por los vectores v1 , v2 , · · · vk ∈ E. Comenzamos recordando las definiciones y los resultados que intervienen en lo que sigue. Una parametrizaci´on de clase C m (m ≥ 1) y dimensi´on k (1 ≤ k ≤ n) es una aplicaci´on ϕ : U → Rn de clase C m definida en un abierto U ⊂ Rk . Si adem´as ϕ es un homeomorfismo entre U y su imagen S = ϕ(U) y para cada u ∈ U, los vectores Dj ϕ(u), 1 ≤ j ≤ k, son linealmente independientes se dice que ϕ es una parametrizaci´on regular (de S = ϕ(U)). En este caso, seg´ un el ejemplo 9.6 la n imagen S = ϕ(U) es una subvariedad diferenciable de R , de clase C m y dimensi´on k. Este tipo de subvariedades diferenciables de Rn , dadas como imagen de una parametrizaci´on regular, las llamamos k-superficies param´etricas regulares Dos parametrizaciones, ϕj : Uj → Rn , j = 1, 2, de clase C m y dimensi´on k, se dice que son C m -equivalentes cuando existe un C m -difeomorfismo g : U1 → U2 , tal que ϕ1 = ϕ2 ◦ g. Seg´ un la proposicion H.9 dos parametrizaciones regulares de clase C m y dimensi´on k con la misma imagen son C m -equivalentes. Si ϕ : U → Rn es una parametrizaci´on de clase C 1 definida en un abierto U ⊂ Rk , con 1 ≤ k ≤ n, sea Pϕ : U → R la funci´on continua definida por q Pϕ(u) = | det(h Di ϕ(u) | Dj ϕ(u) i)1≤i,j≤k | 365

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Seg´ un se ha visto en la secci´on K.1 Pϕ(u) proporciona el ´area k-dimensional del paralelep´ıpedo P (D1 ϕ(u), D2 ϕ(u), · · · Dk ϕ(u)). En el caso particular k = n − 1 esta funci´on tambi´en viene dada por la f´ormula Pϕ(u) = kN(u)k2 , donde N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u) × · · · × Dk ϕ(u) recibe el nombre de producto vectorial fundamental de la parametrizaci´on ϕ. Definici´ on 14.15 Si ϕ : U → Rn es una parametrizaci´ on de clase C 1 , definida en un abierto U ⊂ Rk , con 1 ≤ k ≤ n su ´ area k-dimensional se define como el valor de la integral impropia Z ´ k-Area(ϕ) = Pϕ(u) du ≤ ∞ (14.3) U

donde Pϕ =

p

| det(h Di ϕ | Dj ϕ i)1≤i,j≤k |.

La motivaci´on de la definici´on es an´aloga a la del caso k = 2 y n = 3. Para simplificar la escritura el cubo [u1 , u1 + h] × · · · × [un , un + h] lo denotamos Q[u, h]. El abierto U lo aproximamos por dentro con una figura elemental formada por la uni´on de una familia finita de cubos de lado h, que no se solapan Qj = Q[uj , h], 1 ≤ j ≤ m. Una medida aproximada del ´area k-dimensional (en sentido intuitivo) del trozo ϕ(Qj ) la proporciona el ´area k-dimensional de dϕ(Qj ) (dentro del espacio vectorial tangente Ej = E(ϕ, uj ), que suponemos de dimensi´on k). Obs´ervese que dϕ(Qj ) es el paralelep´ıpedo generado por los vectores hD1 ϕ(uj ), hD2 ϕ(uj ) · · · , hDk ϕ(uj ), cuya ´area k-dimensional viene dada por hk Pϕ(uj ) = Pϕ(uj )v(Qj ). La suma de estas ´areas k-dimensionales n X

Pϕ(uj )v(Qj )

j=1

R es una suma de Riemann que aproxima a la integral U Pϕ(u) du cuyo valor es razonable adoptar como medida del ´area k-dimensional (recorrida o barrida) por ϕ. Es interesante observar que en los casos extremos k = 1, y k = n, la definici´on 14.15 est´a de acuerdo con los resultados previos referentes a esta situaci´on: Cuando k = 1, y U = (a, b), la definici´on 14.15 da lugar a la cl´asica f´ormula para la longitud de un arco de curva de clase C 1 , Z bp Z b ′ ′ Long(ϕ) = hϕ (t)|ϕ (t)i dt = kϕ′ (t)k2 dt a

a

En el caso k = n, si ϕ : U → V es un difeomorfismo de clase C 1 entre los abiertos U, V ⊂ Rn , es f´acil ver que Pϕ(u) = | det ϕ′ (u)|, de modo que, en este caso, en virtud de la f´ormula del cambio de variable J.13, la f´ormula de la definici´on 14.15 proporciona la medida usual en Rn del volumen de la imagen V = ϕ(U), es decir Z Z Pϕ(u) du = | det ϕ′ (u)|du = λ(ϕ(U)) = λ(V ) U

U

366

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donde λ(V ) es la medida de Lebesgue del abierto V , definida en el cap´ıtulo ??. Recordemos que dada una parametrizaci´on ϕ : U → Rn de clase C m y dimensi´on k, para cada u ∈ U, el subespacio vectorial E(ϕ, u) := dϕ(u)(Rk ) ⊂ Rn est´a formado por vectores tangentes a S = ϕ(U) en p = ϕ(u), y se llama espacio tangente a la parametrizaci´on ϕ, en el punto p, para el valor del par´ametro u. El subespacio E(ϕ, u), generado por los vectores D1 ϕ(u), · · · , Dk ϕ(u), tiene dimensi´on k cuando son linealmente independientes, lo que ocurre cuando ϕ es una parametrizaci´on regular. En la proposici´on H.10 se demostr´o que si las parametrizaciones ϕ : U → Rn , Ψ : V → Rn , son C m -equivalentes y g : V → U, es un C m difeomorfismo tal que Ψ = ϕ ◦ g, entonces para cada v = g(u) ∈ V se cumple E(Ψ, v) = E(ϕ, u). Proposici´ on 14.16 Si ϕ1 : U1 → Rn , ϕ2 : U2 → Rn son parametrizaciones C 1 equivalentes (de clase C 1 y dimensi´ on k), se verifica Z Z Pϕ1 (u)du = Pϕ2 (v)dv U1

U2

´ ´ es decir, k-Area(ϕ 1 ) = k-Area(ϕ2 ). Dem: La hip´otesis significa que existe un C 1 -difeomorfismo g : U1 → U2 tal que para cada u ∈ U1 se cumple ϕ1 (u) = ϕ2 (v) donde v = g(u) ∈ U2 . Sabemos que los subespacios dϕ1 (u)(Rk ) = E(ϕ1 , u) y dϕ2 (v)(Rk ) = E(ϕ2 , v), son iguales y de dimensi´on ≤ k. Para lo que sigue conviene fijar un subespacio k-dimensional E tal que E(ϕ1 , u) = E(ϕ2 , v) ⊂ E ⊂ Rn . Como las aplicaciones lineales dϕ1 (u), dϕ2 (v) : Rk → E ⊂ Rn toman valores en el espacio eucl´ıdeo k-dimensional E, sus respectivas matrices, respecto a la base can´onica de Rk y a una base ortonormal β del espacio eucl´ıdeo E, son cuadradas y as´ı podemos considerar sus determinantes, detβ ϕ′1 (u), detβ ϕ′2 (v). Obs´ervese que en virtud de la regla de la cadena dϕ1 (u) = dϕ2 (v) ◦ dg(u), se verifica det β ϕ′1 (u) = det β ϕ′2 (v) det g′ (u) Por otra parte, seg´ un la definici´on, Pϕ1 (u) es el contenido en E del paralelep´ıpedo P [D1ϕ1 (u), D2 ϕ1 (u), · · · Dk ϕ1 (u)] cuyo valor, seg´ un K.2, viene dado por Pϕ1 (u) = | det β ϕ′1 (u)| = | det β ϕ′2 (v)| · | det g′ (u)| = Pϕ2 (v)| det g′ (u)| donde ϕ′1 , ϕ′2 , son las matrices jacobianas de las correspondientes aplicaciones. Por lo tanto la igualdad del enunciado es una consecuencia directa de la f´ormula del cambio de variable (que sigue valiendo para integrales en sentido impropio). Corolario 14.17 Si ϕ1 : U1 → Rn , ϕ2 : U2 → Rn son parametrizaciones regulares ´ ´ de clase C 1 y dimensi´on k con la misma imagen entonces k-Area(ϕ 1 ) = k-Area(ϕ2 ). 367

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Dem: Es consecuencia directa de las proposiciones H.9 y 14.16. En virtud del corolario 14.17, si ϕ : U → Rn es una parametrizaci´on regular ´ definida en un abierto U ⊂ Rk y S = ϕ(U), el n´ umero k-Area(ϕ) s´olo depende de la imagen S = ϕ(U), y no hay inconveniente en adoptarlo como medida de su ´area ´ ´ k-dimensional, definiendo k-Area(S) = k-Area(ϕ). La noci´on de integral de una funci´on escalar sobre una superficie param´etrica considerada en la secci´on 14.10 se extiende de modo natural al caso de funciones definidas sobre variedades param´etricas regulares en Rn , clase C 1 y dimensi´on k (1 ≤ k ≤ n). La analog´ıa es completa cuando k = n − 1, porque en este caso tambi´en se puede hacer que intervenga el producto vectorial fundamental de los n − 1 vectores D1 ϕ(u) × · · · × Dn−1 ϕ(u), donde ϕ : U → S es una parametrizaci´on regular de S definida en una abierto U ⊂ Rn−1 . Definici´ on 14.18 Sea ϕ : U → Rn una parametrizaci´ on de clase C 1 y dimensi´ on k p k (1 ≤ k ≤ n) definida en un abierto U ⊂ R y Pϕ(u) = det(hDi ϕ(u)|Dj ϕ(u)i)1≤i,j≤k . Dada una funci´on f : S → R, definida sobre S = ϕ(U), si (f ◦ ϕ)Pϕ es absolutamente integrable sobre el abierto U se dice que f es integrable respecto a ϕ y se define Z Z f= f (ϕ(u))Pϕ(u)du ϕ

U

donde

Seg´ un se ha visto en la secci´on 14.5, cuando k = n − 1 la funci´on Pϕ que interviene en la definici´on anterior tambi´en viene dada por Pϕ(u) = kN(u)k2 , donde N(u) = D1 ϕ(u) × D2 ϕ(u) × · · · × Dn−1 ϕ(u) Por otra parte, en el caso particular k = 1, la definici´on 14.18, proporciona la f´ormula para la integral de una funci´on respecto al arco considerada en el cap´ıtulo 4. Proposici´ on 14.19 Sean ϕj : Uj → Rn , j = 1, 2, parametrizaciones C 1 -equivalentes de clase C 1 y dimensi´on k, (1 ≤ k ≤ n). Una funci´ on f : S → R definida sobre la k-superficie S = ϕ1 (U1 ) = ϕ2 (U2 ), es integrable respecto a ϕ1 si y s´ olo si es integrable respecto a ϕ2 , y en ese caso Z Z f= f ϕ1

ϕ2

Dem: La hip´otesis significa que existe un C 1 -difeomorfismo g : U1 → U2 tal que ϕ1 = ϕ2 ◦ g. Seg´ un la demostraci´on de la proposici´on 14.16 se verifica Pϕ1 = (Pϕ2 ◦ g)| det g′ | Seg´ un el teorema del cambio de variable J.15 podemos afirmar que (f ◦ ϕ2 )Pϕ2 es integrable sobre U2 = g(U1 ) si y s´olo si (f ◦ ϕ2 ◦ g)(Pϕ2 ◦ g)| det g′ | = (f ◦ ϕ1 )Pϕ1 368

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es integrable sobre U1 y en ese caso las integrales coinciden Z Z (f ◦ ϕ2 )(v)Pϕ2 (v)dv = (f ◦ ϕ1 )(u))Pϕ1 (u)du U2

U1

R La proposici´on 14.19 se puede tomar como base para definir la integral S f (p)dσ(p) de una funci´on f definida sobre una variedad param´etrica regular clase C 1 y dimensi´on k, S ⊂ Rn , en t´erminos de una de sus parametrizaciones regulares ϕ : U → S, Z Z f (p)dσ(p) = f (ϕ(u))Pϕ(u)du S

U

ya que, seg´ un la proposici´on H.9, todas las parametrizaciones regulares de S son C 1 -equivalentes y por lo tanto proporcionan el mismo valor de la integral. La noci´on de flujo de un campo de vectores F(x1 , x2 , · · · , xn ) a trav´es de una variedad param´etrica regular orientada de dimensi´on k s´olo tiene sentido cuando k = n − 1, pues s´olo en este caso se puede formar el producto vectorial fundamental N(u) = D1 ϕ(u) × · · · × Dn−1 ϕ(u) asociado a una parametrizaci´on ϕ regular y positiva para la orientaci´on de S. Igual que se hizo en el caso k = 2, n = 3, normalizando los vectores N(ϕ−1 (p)) se consigue un campo continuo de vectores normales unitarios n : S → Rn que son positivos para la orientaci´on de S, y se define el flujo Z Z Φ = h F(p) | n(p) idσ(p) = h F(ϕ(u)) | N(u) idu S

U

en el supuesto de que la funci´on f (p) = h F(p) | n(p) i sea integrable sobre S.

14.6.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 14.20 Calcule el ´area del trozo de cilindro x2 + (y − a)2 = a2 que queda por encima del plano z = 0 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4a2 , (a > 0). ´n solucio p Se trata de calcular el ´area de S = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 < z < 4a2 − x2 − y 2 } donde D = {(x, y) : x2 + (y − a)2 ≤ a2 }. Prescindiendo del segmento L = {(0, 0, z) : 0 ≤ z ≤ 2a} ⊂ S es f´acil obtener una parametrizaci´on regular ϕ : U1 → R3 de trozo S0 = S \ L: La intersecci´on del cilindro con el plano horizontal z = 0 es la circunferencia C = {(x, y) : x2 + (y − a)2 = a2 }, cuya ecuaci´on en coordenadas polares r = 2a sen θ, conduce a la parametizaci´on γ(θ) = (x(θ), y(θ)), donde x(θ) = 2a sen θ cos θ, y(θ) = 2a sen θ sen θ Como γ(0, π) = C \ {(0, 0}, se obtiene que S0 = ϕ(U1 ) donde p U = {(θ, z) : 0 < θ < π, 0 < z < 4a2 − x(θ)2 − y(θ)2 } 369

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y ϕ : U → R3 es la parametrizaci´on regular definida por ϕ(θ, z) = (x(θ), y(θ), z). Es razonable asumir que S tiene la misma ´area que S0 la cual, seg´ un el ejemplo 14.9, viene dada por la integral Z πp ´ Area(ϕ) = 4a2 − x(θ)2 − y(θ)2 kγ ′ (θ)k2 dθ 0

Como kγ ′ (θ)k2 = 2a, resulta ´ Area(ϕ) = 2a

√

π

Z

4a2

0

−

4a2

sen2

2

θdθ = 4a

Z

π 2

0

| cos θ|dθ = 8a

Z

π/2

cos θ = 8a2 0

Ejercicio 14.21 Calcule el ´area del trozo de esfera x2 + y 2 + z 2 = 4a2 que queda en el semiespacio z > 0, dentro del cilindro x2 + (y − a)2 = a2 , (a > 0). ´n solucio p Se trata de calcular el ´area de la gr´afica de la funci´on f (x, y) = 4a2 − x2 − y 2 sobre el abierto U = {(x, y) : x2 + (y − a)2 < a2 } Seg´ un la f´ormula 14.2 el ´area de S = {(x, y, f (x, y) : (x, y) ∈ U} viene dada por la integral Z p Z 2a 2 2 p I= 1 + (D1 f (x, y)) + (D2 f (x, y)) dx dy = dx dy 2 4a − x2 − y 2 U U

Obs´ervese que se trata de una integral impropia, ya que el integrando tiende hacia +∞ cuando U ∋ (0, y) → (0, 2a). Podemos calcularla con un cambio de variable a coordenadas polares (v´ease el teoremaJ.15) con el que se obtiene I = 2a

π

Z

0 2

= 4a

Z

Z

2a sin θ 0

√

r 4a2 − r 2

dr = 2a

0

π 2

0

Z

(1 − | cos θ|) dθ = 8a

Z

π

(2a −

√

4a2 − 4a2 sen2 θ) dθ =

π/2 0

(1 − cos θ) dθ = 4a2 (π − 2)

Ejercicio 14.22 Sea L : Rk → Rn una aplicaci´ on lineal inyectiva y U ⊂ Rk un conjunto abierto medible Jordan. Demuestre que S = L(U) es un subconjunto medible Jordan de E = L(Rk ) ⊂ Rn cuyo contenido de Jordan en E viene dado por la f´ormula 14.1, es decir Z ´ cE (S) = Area(L|U ) = PL (u)du U

´n solucio Como la aplicaci´on lineal L es inyectiva su imagen E = L(Rk ) es un subespacio vectorial k-dimensional en el que elegimos una base ortonormal β = {u1 , u2 , · · · , uk }. 370

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Pk Con el isomorfismo Tβ : Rk → E, Tβ (x) = j=1 xj uj , el subespacio E queda k identificado con R , y seg´ un la definici´on S = L(U) es medible Jordan en E porque Tβ−1 (S) = (Tβ−1 ◦ L)(U) es la imagen, mediante la aplicaci´on lineal Tβ−1 ◦ L, del conjunto medible Jordan U (v´ease J.8). Adem´as, en virtud de la definici´on de cE y de la proposici´on J.8 se verifica cE (S) = ck (Tβ−1 (S)) = ck ((Tβ−1 ◦ T )(U)) = = | det(Tβ−1 ◦ L)|ck (U) = | det Tβ−1 || det L|ck (U)

donde los determinantes se refieren a las matrices de las aplicaciones lineales respecto a la base β de E y a la base can´onica de Rk . Es claro que | det Tβ−1 | = 1, luego cE (S) = | det L|ck (U). Por otra parte, si vj = L(ej ), 1 ≤ j ≤ k, para cada u ∈ U se cumple Dj L(u) = L(ej ) = vj luego la funci´on PL (u) = cE (P (v1 , v2 , · · · vk )) = | det β (v1 , v2 , · · · vk )| = | det L| R ´ es constante, y se sigue que Area(L| U ) = U | det L| = | det L|ck (U) = cE (S).

Ejercicio 14.23 Sea γ : (a, b) → R2 una parametrizaci´ on regular de clase C 1 y Rb ′ longitud finita L = a kγ (t)k2 dt, cuya imagen es una curva plana situada en el semiplano {(x, y) : y > 0}. Sea S la superficie de revoluci´ on que engendra la curva al girar alrededor del eje Ox. Demuestre que su ´ area vale 2πy0L, donde y0 es el radio de la circunferencia que describe el centro de masa de la curva (teorema de Pappus). ´n solucio Consideramos la curva sumergida en R3 , dentro del plano z = 0, mediante la parametrizaci´on p(t) = (x(t), y(t), 0), donde (x(t), y(t)) = γ(t). Cuando el punto p(t) gira un ´angulo θ ∈ (0, 2π) alrededor del eje Ox, pasa a ocupar la posici´on ϕ(t, θ) = (x(t), y(t) cos θ, y(t) sen θ) Usando que γ(t) = (x(t), y(t)) es una parametrizaci´on regular de clase C 1 se puede comprobar que ϕ : U → R3 tambi´en es regular y de clase C 1 (los detalles se dejan al cuidado del lector), luego podemos considerar el ´area de la imagen S0 = ϕ(U), Z ´ ´ Area(S kN(t, θ)k2 dtdθ 0 ) = Area(ϕ) = U

donde N(t, θ) = D1 ϕ(t, θ) × D2 ϕ(t, θ) es el producto vectorial fundamental. Con un c´alculo rutinario se obtiene que N(t, θ) = (y(t)y ′(t), −x′ (t)y(t)p cos θ, −x′ (t)y(t) sen θ). Como y(t) > 0 para todo t ∈ (a, b), resulta kN(t, θ)k2 = y(t) x′ (t)2 + y ′(t)2 , luego  Z 2π Z b Z b ′ ´ Area(S0 ) = y(t) kγ (t)k dt dθ = 2π y(t) kγ ′ (t)k2 dt 0

a

a

Seg´ un el ejercicio 4.7.10 la coordenada y0 del centro de masa de la curva plana R 1 b ′ ´ γ(a, b) viene dado por y0 = L a y(t) kγ (t)k, luego Area(S 0 ) = 2πy0 L, donde y0 es 371

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la distancia del centro de masa de la curva C al eje de giro. Obs´ervese que S0 = S \C donde C = p(a, b) es la curva plana que genera la superficie al girar. Admitiendo que S y S0 tienen la misma ´area se obtiene el resultado. Ejercicio 14.24 Sea S ⊂ R3 una superficie param´etrica regular y f R: S → R una funci´on integrable sobre S. Se considera la funci´ on de conjunto µ(B) = B f (x)dσ(x), definida sobre las partes abiertas B ⊂ S (en la topolog´ıa relativa). Si f es continua en p ∈ S, y Sr (p) = {x ∈ S : kx − pk < r}, demuestre que r

µ(Sr (p)) = f (p) l´ım ´ → 0 Area(S r (p))

´n solucio Por hip´otesis S = ϕ(U) donde ϕ : U → R3 es una parametrizaci´on regular de clase C 1 , definida en un abierto U ⊂ R2 . Es claro que Sr (p) es una superficie param´etrica regular, parametrizada mediante la restricci´on de ϕ al abierto Ur = ϕ−1 (Sr (p)). Dado ǫ > 0 en virtud de la continuidad de f ◦ ϕ en u0 = ϕ−1 (p) ∈ U, existe una bola B(u0 , δ) ⊂ U tal que u ∈ B(u0 , δ) ⇒ |f (ϕ(u)) − f (ϕ(u0 ))| < ǫ. Por otra parte, como ϕ : U → S es un homeomorfismo (porque ϕ es una parametrizaci´on regular), usando la continuidad de ϕ−1 : S → U en el punto p ∈ S podemos encontrar η > 0 tal que x = ϕ(u) ∈ Sη (p) ⇒ ku − u0 k < δ, lo que significa que el abierto Uη = ϕ−1 (Sη (p)) est´a contenido en la bola B(u0 , δ). Por consiguiente, cuando 0 < r < η, podemos afirmar que para todo u ∈ Ur ⊂ Uη se cumple |f (ϕ(u)) − f(ϕ(u0 ))| < ǫ, y con ello se obtiene que Z ´ |µ(Sr ) − f (p)Area(S [f (ϕ(u)) − f (ϕ(u0 ))] Pϕ(u)du ≤ r (p))| = Ur

≤

Z

Ur

|f (ϕ(u)) − f (ϕ(u0 ))|Pϕ(u)du ≤

As´ı queda demostrado que

Z

´ ǫ Pϕ(u)du = ǫ Area(S r (p))

Ur

µ(S (p)) r − f(p) < ǫ 0 0). v) Trozo de la superficie c´onica x2 + y 2 = z 2 , situada sobre el plano xy y limitada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ax ♦ 14.7.2 Halle el ´area de los siguientes trozos de superficie dados en forma param´etrica i) Cono S = {(r cos t, r sen t, r) : 0 ≤ t ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}; ii) Helicoide S = {(r cos t, r sen t, t) : 0 ≤ t ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}; ♦ 14.7.3 Halle el ´area del toro T = {((a+b cos u) sen v, (a+b cos u) cos v, b sen u) : 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π} 0 < b < a Utilice el teorema de Pappus para comprobar el resultado. ♦ 14.7.4 El cilindro x2 + y 2 = x divide a la superficie esf´erica x2 + y 2 + z 2 = 1 en dos trozos S1 y S2 , donde S1 est´a dentro del cilindro y S2 afuera. Halle la raz´ on de las ´areas ´area(S2 )/´area(S1 ). ♦ 14.7.5 Una esfera est´a inscrita en un cilindro circular recto y es cortada por dos planos paralelos perpendiculares al eje del cilindro. Demuestre que las porciones de esfera y de cilindro comprendidas entre estos planos tienen la misma ´ area. ♦ 14.7.6 Exprese, mediante integrales, el ´ area de las siguientes superficies: i) x2 − y 2 = 1, x > 0, −1 ≤ y ≤ 1; ii) (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1 p ♦ 14.7.7 Muestre que la superficie x = 1/ y 2 + z 2 , 1 ≤ x < +∞ se puede llenar pero no se puede pintar. ♦ 14.7.8 Obtenga una f´ormula para el ´ area de la superficie generada al girar la gr´afica de una funci´on y = f (x), a ≤ x ≤ b alrededor del eje OX y alrededor del eje OY . (Se supone que f es de clase C 1 ).

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