141 – Matem´aticas I : C´alculo integral en IR

Tema 13

Integral de Riemann 13.1

Sumas inferiores y superiores

13.1.1

Particiones de un intervalo

Definici´ on 261.- Se llama partici´ on de un intervalo cerrado [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos P = {x0 , x1 , . . . , xn } tales que a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Una partici´on divide al intervalo como uni´on de intervalos m´as peque˜ nos, es decir, n

[a, b] = [a, x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ · · · ∪ [xn−2 , xn−1 ] ∪ [xn−1 , b] = ∪ [xi−1 , xi ] i=1

La longitud de estos subintervalos se denomina incremento de xi y se representa por ∆xi = xi − xi−1 . Denotaremos por P[a, b] al conjunto de todas las particiones del intervalo cerrado [a, b]. Considerando en el conjunto la relaci´on de orden de inclusi´on, diremos que P2 es m´ as fina que P1 , si P1 ⊆ P2 . Como P2 tiene todos los puntos de P1 y quiz´as alguno m´as, cada subintervalo obtenido con P2 est´a contenido en alguno de los dados por P1 , es decir, la partici´on dada por P2 es m´ as fina que la dada por P1 . Ejemplo

Sea [0, 1], entonces P =

n o 0, 14 , 24 , 34 , 1 es una partici´on de [0, 1], que “parte” el intervalo en 4

1 2 2 3 trozos [0, 1] = [0, 41 ] ∪ [n [ 34 , 1] , de igual longitud ∆xi = 4, 4] ∪ [4, 4] ∪ o 1 1 2 3 4, 3, 4, 4, 1

1 4

, para i =n1, 2, 3,o 4. 2 es m´as fina que P y la partici´on P2 = 0, 4 , 1 es menos fina que la

La partici´on P1 = 0, partici´on P . Es decir, P2 ⊆ P ⊆ P1 . n o 2(b−a) (n−1)(b−a) Sea [a, b], entonces la partici´on P = a, a + b−a , a + , . . . , a + , b divide al intervalo [a, b] n hn in n (k−1)(b−a) k(b−a) ∪ a+ , a+ n . en n subintervalos de longitud b−a n : [a, b] = k=1 n 4

13.1.2

Sumas inferiores y superiores

Definici´ on 262.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on acotada y P ∈ P[a, b]. En cada subintervalo [xi−1 , xi ], considemos el inferior y el superior de f en ´el: mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }

Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.

Llamarenos suma inferior de f para la partici´on P al valor y llamaremos suma superior de f para la partici´on P a

L(f, P ) = n P

U (f, P ) =

i=1

Si la funci´on es positiva, gr´aficamente las sumas inferiores significan dar una cota por defecto del valor del ´area que encierra la funci´on con el eje de abcisas (es la suma de las ´areas de los rect´angulos de base ∆xi y altura mi ), y las sumas superiores una cota por exceso del valor del ´area. En la figura de la derecha, el valor de la suma inferior es el ´area de la zona gris oscuro y el valor de la suma superior el de dicha zona m´as las ´areas de los rect´angulos superiores. Puede observarse como el ´area que encierra la curva est´a precisamente entre ambos valores.

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n P i=1

mi (xi − xi−1 ) =

Mi (xi − xi−1 ) =

n P i=1

n P i=1

mi ∆xi

Mi ∆xi .

M m

a

b

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142 – Matem´aticas I : C´alculo integral en IR

13.2 Integral de una funci´ on real de variable real

Ejemplo 263 Si tomamos f : [0, 1] −→ IR donde f (x) = 2x , y la partici´on P = [0, 1] = [0, 31 ] ∪ [ 13 , 23 ] ∪ [ 23 , 1] y que ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 =

1 3

n o 0, 31 , 23 , 1 , se tiene que

. Luego

m1 = inf{2x : x ∈ [0, 13 ]} = 0

M1 = sup{2x : x ∈ [0, 31 ]} =

m2 = inf{2x : x ∈ [ 31 , 23 ]} =

M2 = sup{2x : x ∈ [ 31 , 23 ]} =

m3 = inf{2x : x ∈ [ 32 , 1]} = L(f, P ) = 0 ·

1 3

+

2 3

·

1 3

+

4 3

·

1 3

=

2 3 4 3

2 3 4 3

M3 = sup{2x : x ∈ [ 32 , 1]} = 2

2 3

U (f, P ) =

2 3

·

1 3

+

4 3

·

1 3

+2·

1 3

=

4 3

Como el ´area encerrada por la funci´on es 1 (es el ´area de un tri´angulo de altura 2 y base 1), se verifica que L(f, P ) = 32 ≤ 1 ≤ 43 = U (f, P ). 4 Propiedades 264.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on acotada. a) Para toda P ∈ P[a, b], se verifica que

L(f, P ) ≤ U (f, P ).

b) Para todas P1 , P2 ∈ P[a, b] con P1 ⊆ P2 , se verifica que L(f, P1 ) ≤ L(f, P2 ) c) Para cualesquiera P, Q ∈ P[a, b], se verifica que

y

U (f, P2 ) ≤ U (f, P1 ).

L(f, P ) ≤ U (f, Q).

.

Corolario 265.- Sean f : [a, b] −→ IR una funci´on acotada y P0 ∈ P[a, b]. Entonces, para toda P ∈ P[a, b] con P0 ⊆ P , se verifica que 0 ≤ U (f, P ) − L(f, P ) ≤ U (f, P0 ) − L(f, P0 ). Demostraci´on: Usando las propiedades b) y a) anteriores, se tiene la cadena de desigualdades L(f, P0 ) ≤ L(f, P ) ≤ U (f, P ) ≤ U (f, P0 ), entonces, restando entre si los elementos extremos y los centrales, se tiene 0 ≤ U (f, P ) − L(f, P ) ≤ U (f, P0 ) − L(f, P0 ).

13.2

Integral de una funci´ on real de variable real

Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on acotada, los conjuntos de n´ umeros reales A = {L(f, P ) : P ∈ P[a, b]} y B = {U (f, P ) : P ∈ P[a, b]} son no vac´ıos. Por la propiedad c) de 264, el conjunto A est´a acotado superiormente (cualquier suma superior es cota superior de A) y por tanto tiene extremo superior, que denotamos por I , y al que denominaremos integral inferior de f en [a, b]. Es decir, n o I = sup A = sup L(f, P ) : P ∈ P[a, b] . An´alogamente el conjunto B est´a acotado inferiormente (cualquier suma inferior es cota inferior de B ) y por tanto tiene extremo inferior, que denotamos por I , y al que denominaremos integral superior de f en [a, b]. Es decir, n o I = inf B = inf U (f, P ) : P ∈ P[a, b] . Como cualquier elemento de A es menor o igual que cualquier elemento de B , se tiene que I ≤ I . Definici´ on 266.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on acotada. Se dice que f es integrable si y s´olo si I = I . El valor I = I = I , se denomina integral de Riemann de la funci´on f en [a, b], y se representa por Z

f a

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Z

b

I=

´o

b

I=

f (x) dx

(si se quiere poner ´enfasis en la variable usada)

a

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143 – Matem´aticas I : C´alculo integral en IR

13.2 Integral de una funci´ on real de variable real

Teorema 267.- (Condici´on de integrabilidad de Riemann) Una funci´on f : [a, b] −→ IR acotada es integrable Riemann si, y s´olo si, para todo ε > 0 existe una partici´on Pε ∈ P[a, b] tal que U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε. Demostraci´on: =⇒c Sea f integrable Riemann y sea ε > 0. Como I = I es el inferior de las sumas superiores y I = I es el superior de las sumas inferiores, existe una partici´on P1 y existe una partici´on P2 , tales que U (f, P1 ) − I
0 es posible elegir dos conjuntos E1 y E2 asociados a P de forma que S(f, P, E1 ) − L(f, P ) < ε y U (f, P ) − S(f, P, E2 ) < ε . Demostraci´on: Probaremos solamente la primera ya que la segunda se prueba de forma an´aloga. Sea ε > 0 . Para cada i = 1, . . . , n, por ser mi = inf{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} existe ei ∈ [xi−1 , xi ] tal que ε f (ei ) − mi < b−a , y sea E1 el conjunto formado por estos ei . Entonces S(f, P, E1 ) − L(f, P ) =

n X

(f (ei ) − mi ) ∆xi
0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para toda P m´as fina, Pε ⊆ P , y cualquier elecci´on del conjunto E asociado a P se cumple que |S(f, P, E) − I| < ε . .

13.2.2

Otras propiedades de la integral Z

b

Proposici´ on 274.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] y tal que f ≥ 0 en [a, b], entonces

f ≥ 0. a

Demostraci´on:

Z

b

Es claro, pues para cualquier P ∈ P[a, b] se tiene que 0 ≤ L(f, P ) ≤ I =

f. a

Z

b

f≤ a

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Z

b

Corolario 275.- Sean f y g integrables en [a, b] tales que f ≤ g en [a, b]. Entonces

g. a

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145 – Matem´aticas I : C´alculo integral en IR

Demostraci´on:

Z

Z

b

Como 0 ≤ (g − f ), se tiene 0 ≤

13.2 Integral de una funci´ on real de variable real

a

Z

b

(g − f ) = a

Z

b

g− a

Z

b

f . Luego

b

f≤

g.

a

a

Proposici´ on 276.- Sea f integrable en [a, b] , entonces |f | es integrable en [a, b] y se verifica que ¯Z ¯ Z ¯ b ¯ b ¯ ¯ |f (x)| dx . ¯ f (x) dx¯ ≤ ¯ a ¯ a

.

Corolario 277.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b]. Para cualesquiera c, d ∈ [a, b] se verifica que ¯ ¯ ¯Z ¯Z ¯ ¯ ¯ d ¯ d ¯ ¯ ¯ ¯ |f (x)| dx¯ . f (x) dx¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c ¯ c Demostraci´on: En efecto, si c ≤ d es la proposicion 276. Si d ≤ c , se tiene Z

Z

c

−

|f (x)| dx ≤ d

luego

Z

c

Z

c

f (x) dx ≤

|f (x)| dx =⇒

d

d

Z

d

|f (x)| dx ≤ − c

Z

d

d

f (x) dx ≤ − c

|f (x)| dx, c

¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯ d ¯ ¯ d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |f (x)| dx¯ . ¯ f (x) dx¯ ≤ ¯ ¯ c ¯ ¯ c ¯

Proposici´ on 278.- Si f y g son integrables en [a, b] , entonces f g es integrable en [a, b].

13.2.3

.

Algunas funciones integrables

Proposici´ on 279.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on mon´otona. Entonces f es integrable en [a, b]. Demostraci´on: Supongamos que f es mon´otona creciente (an´alogo para decreciente). Entonces, para cualquier partici´on P ∈ P[a, b] se tiene que mi = f (xi−1 ) y Mi = f (xi ) , para todo i = 1, 2, . . . , n . En particular, si Pn es la partici´on equiespaciada de [a, b], con xi = a + i b−a n , es decir, © Pn = a, a + y ∆xi =

b−a n

b−a n ,

b−a b−a a + 2 b−a n , . . . , a + (n − 1) n , a + n n = b

ª

, para todo i , se tiene que U (f, Pn ) − L(f, Pn ) =

n X

f (xi )∆xi −

i=1

n X

f (xi−1 )∆xi =

i=1

n ³ X i=1

´b − a f (xi ) − f (xi−1 ) n

n ´ ´ b − a³ b − a X³ = f (b) − f (a) . f (xi ) − f (xi−1 ) = n i=1 n

Luego tomando n suficientemente grande para que U (f, Pn ) − L(f, Pn ) =

b−a n


0. Por ser f integrable en [a, b] existe Pε ∈ P[a, b], tal que U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε. Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a la funci´on G , para cada i = 1, 2, . . . , n existe ei ∈ (xi−1 , xi ) tal que G(xi ) − G(xi−1 ) = G0 (ei )(xi − xi−1 ) = f (ei )(xi − xi−1 ). Puesto que mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi } y Mi = sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }, se tiene que mi ≤ f (ei ) ≤ Mi , de donde mi (xi − xi−1 ) ≤ f (ei )(xi − xi−1 ) ≤ Mi (xi − xi−1 ) mi (xi − xi−1 ) ≤ G(xi ) − G(xi−1 ) ≤ Mi (xi − xi−1 ) n n ³ n ´ X X X mi ∆xi ≤ G(xi ) − G(xi−1 ) ≤ Mi ∆xi i=1

i=1

i=1

L(f, Pε ) ≤ G(b) − G(a) ≤ U (f, Pε ). Z

b

f (x) dx ≤ U (f, Pε ), se verifica que

Como tambi´en es L(f, Pε ) ≤ a

¯Z ¯ ¯ b ³ ´¯ ¯ ¯ f (x) dx − G(b) − G(a) ¯ < ε ¯ ¯ a ¯ y, por tanto, Z

b

f (x) dx = G(b) − G(a). a

Teorema del Cambio de variable 288.- Sean f : [a, b] −→ IR continua en [a, b] y x = φ(t) siendo φ(t) y φ0 (t) funciones continuas en [α, β] (´o [β, α] ), con φ(α) = a y φ(β) = b. Entonces: Z

Z

b

β

f (x) dx = a

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f (φ(t))φ0 (t) dt.

α

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148 – Matem´aticas I : C´alculo integral en IR

13.4 Ejercicios

Demostraci´on: f (φ(t))φ0 (t) es tambi´en continua, luego las funciones Z

Z

x

F (x) =

f (u) du

y

t

G(t) =

a

f (φ(v))φ0 (v) dv

α 0

son respectivamente primitivas de f (x) y f (φ(t))φ (t) . Ahora bi´en, como F es una primitiva de f , F (φ(t)) es tambi´en una primitiva de f (φ(t))φ0 (t), luego F (φ(t)) = G(t) + C , para todo t ∈ [α, β]. Para t = α se tiene F (φ(α)) = G(α) + C , y como F (φ(α)) = F (a) = 0 y G(α) = 0, entonces C = 0 . Y para t = β se tiene F (φ(β)) = G(β) , es decir, Z

Z

b

β

f (x) dx = a

13.4

f (φ(t))φ0 (t) dt.

α

Ejercicios

13.166 Comprobar que la funci´on f (x) = k , donde k es constante, es integrable en cualquier intervalo [a, b] de IR y calcular el valor de la integral. ½ 1, si x ∈ [0, 1] 13.167 Comprobar que la funci´on f (x) = es integrable Riemann en [0, 2]. (Utilizar la condici´on 2, si x ∈ (1, 2] de integrabilidad de Riemann.) 13.168 Justificar razonadamente la falsedad de las siguientes afirmaciones: a) U (f, P1 ) = 4 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y U (f, P2 ) = 5 para P2 = {0, 41 , 1, 23 , 2}. b) L(f, P1 ) = 5 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y L(f, P2 ) = 4 para P2 = {0, 41 , 1, 23 , 2} . c) Tomando P ∈ P[−1, 1], (i) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 2 .

Z

1

(ii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y

f (x) dx = 2. −1 1

Z (iii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y

f (x) dx = 10. −1

Z

Z

1

13.169 Se sabe que

Z

2

f (x) dx = 6 ,

f (x) dx = 4 y

0

Z

2

Z

5

a)

f (x) dx Z

a

f (x) dx

1 1+sen2 t

f (x) dx.

1

1

Z f (t) dt . ¿Es cierto que F 0 (x) =

x

f 0 (t) dt? ¿Por qu´e?

a x

5

c)

x

13.170 Sean f derivable y F (x) = Z

Z

2

b)

0

13.171 Sea f (x) =

f (x) dx = 1 . Hallar el valor de cada una de las

0

siguientes integrales:

5

a

dt. Calcular f (x) y f 0 (x) , indicando sus dominios de definici´on.

0

13.172 Hallar f (x) , indicando su dominio de definici´on, para Z a)

f (x) = Z

c)

x3 a

sen x

f (x) = a

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µZ 1 1+sen2 t dt. 1 1+sen2 t dt.

x

b) f (x) =

¶3 1 1+sen2 t dt

a Z ¡R x a

d) f (x) = a

.

¢

1 dt 1+sen2 t

1 1+sen2 t dt.

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149 – Matem´aticas I : C´alculo integral en IR

13.4 Ejercicios

13.173 Hallar el dominio y la expresi´on de f 0 (x) para cada una de las siguientes funciones: Z 47 Z sec x Z cos x 1 1 a) f (x) = dt b) f (x) = dt c) f (x) = sen(t2 ) dt t t 1 x

x2

Z

x3

x

13.174 Si f es continua, calcular F 0 (x) , siendo F (x) =

xf (t) dt. 0

13.175 Probar que si f : IR −→ IR es continua y peri´odica de periodo T , entonces Z a+T Z T f (x) dx = f (x) dx ∀ a ∈ IR. a

0

13.176 Demostrar que si f : IR −→ IR es continua, entonces Z x Z (x − u)f (u) du = 0

x

µZ

0

13.177 Demostrar que se verifica la igualdad Z

Z

b

f (x) dx = a

u

¶ f (t) dt du.

0

b

f (a + b − x) dx. a

Como consecuencia, probar que si f (a + b − x) = f (x) , entonces Z Z b a+b b f (x) dx, xf (x) dx = 2 a a Z 3π 4 y usar este resultado para calcular x sen x dx . π 4

13.178 Sea f : IR −→ IR estrictamente creciente y continua, con f (0) = 0. Calcular los extremos de la funci´on Z (x+3)(x−1) f (t) dt. 0

13.179 Dada la funci´on f estrictamente creciente en IR , con f (0) = 0 , y continua, estudiar el crecimiento, Z x3 −2x2 +x decrecimiento y los extremos de F (x) = f (t) dt . 1

Z

x

Z

0 b

f 2 (x) dx = 1 . Probar que

13.181 Sea f : [a, b] −→ IR de clase 1, tal que f (a) = f (b) = 0 y Z

2

te−t dt alcanza alg´ un extremo.

13.180 Encontrar los valores de x para los que la funci´on F (x) =

a b

a

1 xf (x)f 0 (x) dx = − . 2

13.182 Sean f y g funciones reales continuas en [a, b] que verifican que Z b Z b f (x) dx = g(x) dx. a

a

Demostrar que existe un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c) . Z 1 13.183 Se define la funci´on beta por B(n, m) = xn−1 (1 − x)m−1 dx para n, m ∈ IN , n, m > 0. 0

a) Probar que B(n, m) = B(m, n). n! · 1! . (n + 1)! c) Probar que si n, m ≥ 2, B(n, m) = n−1 m B(n − 1, m + 1) = n! · m! . B(n, m) = (n + m)!

b) Probar que B(n, 1) = B(1, n) =

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m−1 n B(n + 1, m − 1)

y deducir de ello que

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