´ Numerica. ´ Integracion Las reglas de Simpson.

´ ´ Curso: Metodos Numericos en Ingenier´ıa ´ Profesor: Dr. Jose´ A. Otero Hernandez Correo: [email protected] web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM

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´ Introduccion

Regla de Simpson 1/3

Regla de Simpson 3/8

Programas MATLAB

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1

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2

Regla de Simpson 1/3

3

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Reglas de Simpson ´ con la regla del trapecio es Para mejorar la aproximacion ´ mas ´ fina, necesario hacer una segmentacion ´ mas ´ exacta de la Otra forma para obtener una estimacion integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos f (a) y f (b), Si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los tres puntos se pueden unir con una parabola (polinomio de segundo grado), Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado,

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Regla de Simpson 1/3

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Programas MATLAB

Reglas de Simpson ´ con la regla del trapecio es Para mejorar la aproximacion ´ mas ´ fina, necesario hacer una segmentacion ´ mas ´ exacta de la Otra forma para obtener una estimacion integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos f (a) y f (b), Si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los tres puntos se pueden unir con una parabola (polinomio de segundo grado), Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado,

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Regla de Simpson 1/3

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Programas MATLAB

Reglas de Simpson ´ con la regla del trapecio es Para mejorar la aproximacion ´ mas ´ fina, necesario hacer una segmentacion ´ mas ´ exacta de la Otra forma para obtener una estimacion integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos f (a) y f (b), Si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los tres puntos se pueden unir con una parabola (polinomio de segundo grado), Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado,

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Programas MATLAB

Reglas de Simpson ´ con la regla del trapecio es Para mejorar la aproximacion ´ mas ´ fina, necesario hacer una segmentacion ´ mas ´ exacta de la Otra forma para obtener una estimacion integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos f (a) y f (b), Si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los tres puntos se pueden unir con una parabola (polinomio de segundo grado), Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado,

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Integral

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Reglas de Simpson ´ ´ integrando Las formulas que resultan de aproximar la funcion por polinomios de orden superior se conocen como reglas de Simpson.

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Regla de Simpson 1/3 ´ La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de segundo grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f2 (x) dx a

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden: f2 (x) =

(x − x0 )(x − x2 ) (x − x1 )(x − x2 ) f (x0 ) + f (x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + f (x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

donde x0 = a, x2 = b y x1 =

b+a 2

(punto a la mitad entre a y b)beamer-tu-log

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Regla de Simpson 1/3

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Regla de Simpson 1/3 ´ La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de segundo grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f2 (x) dx a

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden: f2 (x) =

(x − x0 )(x − x2 ) (x − x1 )(x − x2 ) f (x0 ) + f (x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + f (x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

donde x0 = a, x2 = b y x1 =

b+a 2

(punto a la mitad entre a y b)beamer-tu-log

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Regla de Simpson 1/3 ´ La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de segundo grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f2 (x) dx a

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden: f2 (x) =

(x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) f (x0 ) + f (x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + f (x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

donde x0 = a, x2 = b y x1 =

b+a 2

(punto a la mitad entre a y b)beamer-tu-log

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Regla de Simpson 1/3 ´ La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de segundo grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f2 (x) dx a

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden: f2 (x) =

(x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) f (x0 ) + f (x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + f (x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

donde x0 = a, x2 = b y x1 =

b+a 2

(punto a la mitad entre a y b)beamer-tu-log

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Regla de Simpson 1/3 ´ La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de segundo grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f2 (x) dx a

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden: f2 (x) =

(x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) f (x0 ) + f (x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + f (x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

donde x0 = a, x2 = b y x1 =

b+a 2

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Regla de Simpson 1/3 1 I = h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 donde h =

b−a 2 .

´ La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula de Newton-Cortes, ´ 1/3 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 1/3.

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Regla de Simpson 1/3 1 I = h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 donde h =

b−a 2 .

´ La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula de Newton-Cortes, ´ 1/3 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 1/3.

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Regla de Simpson 1/3 1 I = h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 donde h =

b−a 2 .

´ La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula de Newton-Cortes, ´ 1/3 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 1/3.

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Regla de Simpson 1/3 1 I = h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 donde h =

b−a 2 .

´ La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula de Newton-Cortes, ´ 1/3 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 1/3.

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Regla de Simpson 1/3 f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) I = (b − a) | {z } | 6 {z } Ancho Altura promedio

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Regla de Simpson 1/3 f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) I = (b − a) | {z } | 6 {z } Ancho Altura promedio

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Regla de Simpson 1/3 multiple

Zx2

Zb I=

f (x) dx = a

I≈

Zx4 f (x) dx + · · · +

f (x) dx + x0

Zxn

x2

f (x) dx

xn−2

f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 ) + 2h + 6 6 f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) beamer-tu-log · · · + 2h 6 2h

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Regla de Simpson 1/3 multiple

Zx2

Zb I=

f (x) dx = a

I≈

Zx4 f (x) dx + · · · +

f (x) dx + x0

Zxn

x2

f (x) dx

xn−2

f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 ) f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) + 2h + 6 6 f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) beamer-tu-log · · · + 2h 6

2h

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Regla de Simpson 1/3 multiple

Zx2

Zb I=

f (x) dx = a

I≈

Zx4 f (x) dx + · · · +

f (x) dx + x0

Zxn

x2

f (x) dx

xn−2

f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 ) f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) + 2h + 6 6 f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) beamer-tu-log · · · + 2h 6

2h

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Regla de Simpson 1/3

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Regla de Simpson 1/3 multiple f (x0 ) + 4 I≈

(b − a) | {z } Ancho

n−1 P

f (xi ) + 2

i=1,3,5,...

|

n−2 P

f (xj ) + f (xn )

j=2,4,6,...

3n {z Altura promedio

}

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Regla de Simpson 3/8 ´ La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de tercer grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f3 (x) dx a

3 I = h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 donde h =

b−a 3 .

´ La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula de Newton-Cortes, ´ 3/8 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 3/8. beamer-tu-log

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Regla de Simpson 1/3

Regla de Simpson 3/8

Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8 ´ La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de tercer grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f3 (x) dx a

3 I = h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 donde h =

b−a 3 .

´ La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula de Newton-Cortes, ´ 3/8 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 3/8. beamer-tu-log

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Regla de Simpson 3/8 ´ La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de tercer grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f3 (x) dx a

3 I = h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 donde h =

b−a 3 .

´ La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula de Newton-Cortes, ´ 3/8 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 3/8. beamer-tu-log

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Regla de Simpson 1/3

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Regla de Simpson 3/8 ´ La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de tercer grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f3 (x) dx a

3 I = h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 donde h =

b−a 3 .

´ La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula de Newton-Cortes, ´ 3/8 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 3/8. beamer-tu-log

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Regla de Simpson 3/8 ´ La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de tercer grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f3 (x) dx a

3 I = h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 donde h =

b−a 3 .

´ La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula de Newton-Cortes, ´ 3/8 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 3/8. beamer-tu-log

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Regla de Simpson 3/8 ´ La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcion integrando por un polinomio de tercer grado, Zb

Zb f (x) dx ≈

I= a

f3 (x) dx a

3 I = h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 donde h =

b−a 3 .

´ La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula de Newton-Cortes, ´ 3/8 se origina del hecho de que h esta La especificacion multiplicada por 3/8. beamer-tu-log

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Regla de Simpson 3/8 f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 ) I = (b − a) | {z } | 8 {z } Ancho Altura promedio

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Regla de Simpson 3/8 f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 ) I = (b − a) | {z } | 8 {z } Ancho Altura promedio

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Regla de Simpson 1/3

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1

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Regla de Simpson 1/3

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Programa MATLAB: Regla de Simpson 1/3

function i n t s i m p s o n 1 3 v 1 ( F , x i , x f , np ) % i n t s i m p s o n 1 3 v 1 −−−−Nombre de l a f u n c i o n % F−−−−f u n c i o n matematica de e n t r a d a % [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n % np−−−−Numero de p a r t i c i o n e s h =( x f −x i ) / ( 2 ∗ np ) ; x =[ x i : h : xf ] ; n= s i z e ( x , 2 ) ; I n t =0; j =0; f o r i = 1 : 2 : n−1 j = j +1; I ( j ) =1/3∗ h ∗ ( F ( x ( i ) ) +4∗F ( x ( i +1) ) +F ( x ( i +2) ) ) ; Int=Int+I ( j ) ; s a l i d a 1 = [ ’ P a r t i c i o n ’ , num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ; disp ( s a l i d a 1 ) end Salida2 =[ ’ I n t e g r a l Total ’ , ’ ’ , num2str ( I n t ) ] ; disp ( S a l i d a 2 ) beamer-tu-log end

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Regla de Simpson 1/3

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Programa MATLAB: Regla de Simpson 3/8

function i n t s i m p s o n 3 8 v 1 ( F , x i , x f , np ) % i n t s i m p s o n 3 8 v 1 −−−−Nombre de l a f u n c i o n % F−−−−f u n c i o n matematica de e n t r a d a % [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n % np−−−−Numero de p a r t i c i o n e s h =( x f −x i ) / ( 3 ∗ np ) ; x =[ x i : h : xf ] ; n= s i z e ( x , 2 ) ; I n t =0; j =0; f o r i = 1 : 3 : n−1 j = j +1; I ( j ) =3/8∗ h ∗ ( F ( x ( i ) ) +3∗F ( x ( i +1) ) +3∗F ( x ( i +2) ) +F ( x ( i +3) ) ) ; Int=Int+I ( j ) ; s a l i d a 1 = [ ’ P a r t i c i o n ’ , num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ; disp ( s a l i d a 1 ) end Salida2 =[ ’ I n t e g r a l Total ’ , ’ ’ , num2str ( I n t ) ] ; disp ( S a l i d a 2 ) beamer-tu-log end

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Regla de Simpson 1/3

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Problema ´ Calcular la integral de la funcion: f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x + 0.2 desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de la integral igual a: 1.640533.

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