PROBLEMARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007

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PROBLEMARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II. UPIBI-IPN REALIZÓ: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS 1.- Determine las siguientes composiciones 1 a) f f x si f ( x ) = , ¿Para qué valores de x tiene sentido esta 1− x composición? b) f (g ( x )) si f ( x ) = x 2 + 2 ln x + 4 y g ( x ) = x − 4

( ( ))

2.- Encuentre el dominio y contradominio de las funciones siguientes 1 1 x ⎛2+ x⎞ x3 − x a) f ( x ) = b) f ( x ) = log⎜ c) ( ) d) f ( x ) = tan x f x = 2 + ⎟ x+5 ⎝2− x⎠ 16 − x 2 1 f) f ( x ) = ln x g) f ( x ) = h) f ( x ) = e x e) f ( x ) = x − 2 ln x 1 − +1 ⎧x2 x ≥ 2 i) f ( x ) = e x j) f ( x ) = tan(2 x − π ) k) f ( x ) = ⎨ l) f ( x ) = senx x < − 2 x ⎩ 0< x 0 y lim f ( x ) x →0

b) Resuelva los ejercicios 1, 2, 3, y 4 de la pagina 65 del libro: Swokowski, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. Segunda Edición. 6.-.- Encontrar los siguientes límites ⎡⎛ 1 ⎞⎛ 1 s2 − s − 2 ⎞⎤ − 1⎟ ⎥ a) lim ⎢⎜ ⎟⎜ c) lim x →0 s→2 s−2 ⎠⎦ ⎣⎝ x ⎠⎝ 1 + x b) lim m →2

m2 − 3 − 1 m2 − 4

r − 16 r −4

d) lim

r →16

3 ⎞ ⎛ 1 e) lim⎜ − ⎟ x →1 1 − x 1 − x3 ⎠ ⎝

x 3 +3 x 16 4− x 2

f) lim x →4

7.- Encuentre los límites de las funciones siguientes: 5x 2 + 8 x − 3 e) lim a) lim senθ x→∞ θ →0 3x 2 + 2 11x + 2 f) lim b) lim cos θ x → −∞ 2 x 3 − 1 θ →0 2x2 − 3 senx c) lim g) lim x →0 x → −∞ 7 x + 4 x − 4x3 + 7x cos x − 1 d) lim h) lim x →0 x → −∞ 2 x 2 − 3 x − 10 x 8.- Encuentre todos los números en los que la función f es contínua. ⎧1 − x 2 x ≠ −1 x 2 − 9 25 − x 2 3x − 5 ⎪ a) f ( x ) = 2 b) f ( x ) = c) f ( x ) = ⎨ 1 + x x−4 2x − x − 3 ⎪⎩ 7 x = −1 9.- Derivar las funciones siguientes a) y = [tan ( x )]

3x

b) f ( x ) = e −3 x tan x c) y =

1+ x

g) y = (1 + x 2 )

senx

1− x

(

e) f ( x ) = cos 2 1 − x ln x f) y = 1 + x2

)

⎛ 1⎞ d) f (t ) = t 2 − 2 t ⎜ t + ⎟ ⎝ t⎠

h) r (s ) =

m

i) k (m ) = 2e 1−m ln(1 − m ) j) g ( x ) = ln 3 4 x − 5 (3 x + 8)

2

k) y = x

−

1 x

e2s − sen 2 3s + s ln s 1 + cos s

10.- Use derivación implícita para encontrar y ′ si ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007

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a) ( y 2 − 9 ) = (4 x 2 + 3x − 1) b) xe y + 2 x − ln( y + 1) = 3 4

3

c) x 4 + y 4 = x 2 y 2 e) y = 1 + xe y d) sen( xy ) + cos( xy ) = tan( x + y )

11.- Use la regla de L’Hôpital para encontrar los límites siguientes: ⎛x⎞ 1+ x −1− ⎜ ⎟ senx ⎝2⎠ a) lim e) lim i) lim+ x cot x 2 x →0 x →0 x →0 x x 1⎞ 3 x − senx senx ⎛ 1 f) lim 2 j) lim⎜ b) lim − ⎟ x →0 x→0 x x →0 senx x⎠ x ⎝ 1 1+ x −1 c) lim g) lim + (1 + x ) x x →0 x→ 0 x 1 x x − senx lim x h) d) lim 3 x→ ∞ x →0 x 12.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto P ⎛ 3π ⎞ a) y = 2 x 2 + 1 , P − 1, 3 c) y = tan x − 2 senx , P ⎜ , −2 ⎟ ⎝ 4 ⎠ 3 3 b) x − x ln y + y = 2 x + 5 , P (2,1)

(

)

13.-Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 144 ft / s . Su altura sobre el suelo s (t ) (en pies) a los t segundos está dada por s (t ) = 144t − 16t 2 . ¿Cuál es su velocidad y cuál es su aceleración a los t segundos? ¿Cuáles son a los 3 s ? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo llega al suelo? 14.- Un automovil viaja por un plano inclinado. El número de pies s (t ) recorrido a los t segundos está dado por s (t ) = 5t 2 + 2 . ¿Cuál es la velocidad en t = 1s ? ¿En t = 2s ? ¿Cuándo alcanza una velocidad de 28 ft / s ? 15.- Sean f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2 x − 7 y w = f ( x ) . Encuentre dw y úselo para estimar el incremento de w cuando x varía de 4 a 3.95 16.- La obstrucción de las arteriolas es una de las causas de hipertensión sanguínea. Se ha comprobado experimentalmente que cuando la sangre fluye por una arteriola de longitud dada, la diferencia de presión en los dos extremos de la arteriola es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio. Suponga que el radio de una arteriola disminuye en 10%. Use diferenciales para calcular el cambio porcentual en la diferencia de presión.

17.- La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional que siente un cuerpo, sobre la superficie de la tierra, se sabe que es inversamente proporcional al ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007

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cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra a dicho cuerpo. Si el radio de la tierra disminuye un 10% a) ¿Cuál es el cambio porcentual en la magnitud de la fuerza? b) ¿Aumentó o disminuyó la magnitud de la fuerza? 18.- Sean p , q y r funciones tales que p(z ) = q(r (z )) . Suponiendo que r (3) = 3 , q(3) = −2 , r ′(3) = 4 y q′(3) = 6 , calcule p(3) y p ′(3) 19.- Una niña comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a 3m / s . Un minuto después, otra niña sale corriendo desde A hacia el norte a 2m / s . ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las niñas un minuto más tarde? 20.- Un niño que hace volar una cometa, sostiene el cordel a 5 ft del suelo y lo va soltando a razón de 2 ft / s , mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 105 ft . Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado 125 ft de hilo. 21.- El gas contenido en un globo esférico escapa a razón de 10L / h (litros por hora). ¿A razón de cuántos centímetros por hora disminuye el radio del globo en el momento en que el volúmen es de 400L ? 22.- La parte inferior de una escalera de longitud L = 5m resbala de tal forma que la distancia desde esta parte inferior a la pared aumenta a razón de 8cm / s . ¿Cuál es la rapidez de variación del ángulo que hace la escalera con el piso cuando x = 3m ? ¿Aumenta o disminuye este ángulo conforme transcurre el tiempo? 23.- Calcule el máximo y mínimo absolutos para f ( x ) = 5 − 6 x 2 − 2 x 3 en el intervalo [− 3,1] 24.- Encuentre los máximos y minimos, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace la gráfica de f a) f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 1 x b) f ( x ) = 2 x +1 c) f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 5

d) f ( x ) = (1 − ln x )

2

g) f ( x ) = xe − x

e) f ( x ) = e − x senx, (0 ≤ x ≤ 4π ) f) f ( x ) = (1 + cos x )senx , (0 ≤ x ≤ 4π )

25.- Trace una posible gráfica de una función contínua y que satisfaga las condiciones indicadas a) f (0) = 1 ; f (2 ) = 3 ; f ′(0) = f ′(2 ) = 0 ; f ′( x ) < 0 si x > 2 o x < 0 ; f ′( x ) > 0 si 0 < x < 2 ; f ′′( x ) > 0 si x < 1 ; f ′′( x ) < 0 si x > 1 . ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007

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b) f (0) = 2 ; f (2 ) = f (− 2 ) = 1 ; f ′(0) = 0 ; f ′( x ) > 0 si x < 0 ; f ′( x ) < 0 si x > 0 ; f ′′( x ) < 0 si − 2 < x < 2 ; f ′′( x ) > 0 si x > 2 o x < −2 26.- Un veterinario cuenta con 30m de tela de alambre y quiere construir 6 jaulas para perros levantando primero una cerca alrededor de una región rectangular, y dividiendo luego la región en seis rectángulos iguales mediante cinco rejas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la zona rectangular para las que el área total es máxima? 27.- Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 900 cm2 con márgenes de 2.5 cm abajo y a los lados, y de 1.5 cm arriba. Determine las dimensiones de la página que darán la mayor área posible para el texto. 28.- Dos postes verticales de 3.4m se hallan clavados en un suelo a nivel y sus bases distan 5m. Calcule la longitud mínima de cable que se necesita para tener dos tramos rectos: desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo, y de ahí hasta la punta del otro poste. 29.- Un medicamento se inyecta en la corriente sanguínea, su concentración t minutos después está dada por

C(t ) =

k ( e−bt − e−at ) a −b

donde a , b , y k son constantes positivas. a) ¿En que momento se alcanza la concentración máxima? b) ¿Que se puede decir de la concentración cuando ha transcurrido un tiempo largo? 30.- El modelo de Jenss está considerado como la fórmula más precisa para predecir la estatura de niños en edad preescolar. Si h es la altura (en cm) y x la edad (en años), entonces 1 h = 79.041 + 6.39x − e 3.261−0.993x para ≤ x ≤ 6 4 a) Calcule la altura y la rapidez (o tasa) de crecimiento de un niño típico de un año de edad. b) ¿A qué edad es mayor la rapidez de crecimiento? ¿A qué edad es menor? 31.- La rapidez R con la que un tumor crece está relacionada con su tamaño x ⎛K⎞ por la ecuación R = rx ln⎜ ⎟ , donde r y K son constantes positivas. Demuestre ⎝x⎠ que el tumor crece más rápidamente cuando x = e −1 K

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32.- Calcule las integrales siguientes, integrando directamente. 2 6 3 x e x dx ∫ 5a x dx

∫

∫ (6 x + 8 x + 3)dx ∫ x(x + 2)(x − 3)dx ∫ (1 + 2 x ) dx ∫ 2 px dx 2

5

∫

2

∫

dx x

n

∫ (a ∫( ∫

dx +7 dx ∫ 10 − x 2 dx ∫ 3x 2 + 7 dx

∫x

(x

2 3

2

)

3

− x 3 dx

)(

)

x + 1 x − x + 1 dx 2

+ 1)(x 3

x2

2

− 2) dx

∫ ∫

2

4 + x2 dx 8 − x2 2 + x2 −

2 − x2

4 − x4

dx

33.- Calcule las integrales siguientes por un cambio de variable 3x + 1 dx cos x dx 5 ∫ ∫ 2 2 dx − 3 x ∫ + x 1 ( ) x x dx + 1 1 + senx ∫ dx dx 7 senx 2 dx ∫ ( ) x x dx − 5 3 ,x ∫ ∫ 1 + cos x ∫ 3− x x x2 + 2 dx xdx cos x dx dx ∫ ∫ x2 + 1 ∫ 1 + sen 2 x ,x a + bx x ∫ e +1 1 ex x xdx x 2 dx dx dx cos ,u 2 ∫ ∫ ∫ ∫ (x 3 + 2)23 x 2 x +1 2 dx ( arcsenx ) x x cos e dx ∫ 1 + x ∫ ∫ 2 x ∫ e x − 1dx 1− x 1+ x dx dx arcsenx ∫ sen (ln x ) x dx ∫ x ∫ cos 3xdx 2 ∫ e −1 1− x sen 3 6 x cos 6 xdx sen 4 xdx ∫ ∫ 2x + 3 ln 2 x dx dx dx ∫ ∫ 2x + 1 ln 4 x x ( ) cos ax + b dx ∫ ∫ x+2 dy xdx ∫ 1− y ∫ a + bx x2 ∫ x 2 + 2dx x2 + 1 ∫ x − 1 dx x 2 + 5x + 7 ∫ x + 3 dx ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007

1 u = − ln u =

= x +1

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34.- Resuelva las integrales siguientes usando identidades trigonométricas. 3 cos x sen 5 xdx tan 2 5 xdx ∫ 2 ∫ π⎞ ⎛ ∫ tan xdx sen ⎜ x + ⎟ dx 4 4⎠ cot xdx ⎝ 2 ∫ sen 4 x ∫ senx cos x dx ∫ cot xdx ∫ ⎛ 3⎛ x ⎞ 4 ⎛ x ⎞⎞ 2 dx dx ∫ cos xdx ∫ ⎜⎝ tan ⎜⎝ 3 ⎟⎠ + tan ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎟⎠dx ∫ cos6 x ∫ tan x 2 ∫ sen xdx cos 2 x sen 3 x dx xsen 2 (x 2 )dx dx 6 ∫ ∫ ∫ 3 sen x cos x ∫ cos xdx dx 2 3 dx cos sen x xdx 5 ∫ ∫ sen 2 x cos4 x senx cos 3 x ∫ sen xdx ∫ 3⎛ x ⎞ 5⎛ x ⎞ 4 dx cos 2 x ∫ sen xdx ∫ sen ⎜⎝ 2 ⎟⎠ cos ⎜⎝ 2 ⎟⎠dx ∫ sen 5 x cos3 x ∫ sen 4 x dx 6 dx ∫ cos xdx ∫ sen 2 x cos4 xdx ∫ ⎛ x ⎞ 3⎛ x ⎞ sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ∫ sen3x cos 5xdx ∫ cos(ax + b) cos(ax − b)dx 10 15 sen xsen xdx ∫ 2 ∫ cos x cos 3xdx ⎛x⎞ ⎛x⎞ ∫ cos⎜⎝ 2 ⎟⎠ cos⎜⎝ 3 ⎟⎠dx senxsen2 xsen3xdx ∫

35.- Resuelva las integrales siguientes por el método de sustitución trigonométrica 2 2 x 2 dx ∫ 1 − x 2 ∫ x − a dx ∫ 2 dx 2 x x 4− x 2 dx x dx 2 ∫ 3 − 5x 2 ∫ x x 2 − 1 ∫ 1 − x dx dx x 3dx x2 + 1 ∫ ∫ 2 − x 2 ∫ x dx x 7 x 2 − 6 36.- Resuelva las integrales siguientes por el método de integración por partes x 2 ( x 2 − 2 x + 5)e − x dx dx ∫ ∫ ln xdx ln xdx x ∫e ∫ ∫ x arctan xdx x − ln x −x 3 x dx 2 arctan xdx x e ∫ x 3 dx ∫ ∫ ∫ xarcsenxdx ∫ 3 dx 2 3x 2 ln x ln x + 1 + x 2 dx ∫ arcsenxdx ∫ x e dx ∫ x ln xdx ∫ dx ∫ x

(

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)

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xdx 2 x x cos x dx sen 2 x

∫ sen ∫

∫e

x

∫ 3 cos xdx ∫ xsenxdx ∫ sen(ln x )dx ∫ x cos 3xdx ∫ e senbxdx ∫ x cos 5xdx x

ax

senxdx

2

37.- Resuelva las integrales siguientes por el método de fracciones parciales 5x − 3 x2 + 1 4 x 2 + 13x − 9 dx dx ∫ (x + 1)(x − 3) ∫ (x − 1)(x − 2)(x − 3) ∫ x 3 + 2 x 2 − 3x dx 6x + 7 x+4 3x 3 − 18 x 2 + 29 x − 4 dx dx ∫ (x + 2)2 ∫ x 3 + 3x 2 − 10 x ∫ (x + 1)(x − 2)3 dx x −1 − 2x + 4 x 2 − x − 21 dx dx 3 ∫ ∫ (x 2 + 1)(x − 1)2 ∫ 2 x 3 − x 2 + 8 x − 4dx ( x + 1) x 2 + 3x − 1 5 x 3 − 3x 2 + 7 x − 3 dx ∫ x 3 − 7 x 2 + 40 x − 34 dx ∫ x3 + x2 + x + 1 (x 2 + 1)2 ∫ x 2 − 6 x + 34 2 dx 5 x 3 + 3x − 2 x +1 ∫ (x 2 − 4 x + 5)2 dx ∫ x 2 − 4 x + 5dx

(

38.- Resuelva las integrales siguientes ⎛1− x ⎞ 2 ∫ tanh xdx ∫ x ln⎜⎝ 1 + x ⎟⎠dx 3 − x2 ∫ x e dx ln 2 x ∫ x 2 dx x e dx ∫ ln (ln x ) 2 dx ( ) ∫ x − 2 x + 3 ln xdx ∫ x

∫ cos (ln x )dx ∫ 2

∫ (x

x 2

x2

dx

9−x dx ∫ sen 5 x dx

2

dx 2

+ 1)

2

∫ sec

5

∫ x arctan 3xdx ∫ x(arctan x ) dx ∫ (arcsenx ) dx

)

2

2

2

∫

arcsenx dx x2

∫

arcsen x dx 1− x

∫ x tan

2

2 xdx

sen 2 x ∫ e x dx

4 xdx

cos5 x ∫ sen 3 x dx

39.- Calcule las integrales definidas siguientes

∫ (w 2

4

− 2 w 3 )dw

0 4

∫ 1 0

(

dx

x 1+ x dx

∫ 4 − 5x

−1

)

3

π

1 + senx ∫π cos2 x dx 3

4

π 2

∫ cos xdx 0

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2π

∫ 0

π ⎧ x,0 < x < ⎪ 2 ⎪⎪ π 3π f ( x )dx si f ( x ) = ⎨ π − x, < x < 2 2 ⎪ 3 π ⎪ x − 2π , < x < 2π ⎪⎩ 2

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40.- ¿Es cierto que

1

∫x

2

dx = −2 ?

−1

41.- Evalúe las integrales siguientes π

a)

π

∫ x cos xdx

d)

∫ x sen5xdx

g)

∫ cos 6 x cos 5xdx

−π

−π

−π

π

π

1

b) ∫ x 2 cos xdx

e) ∫ xsen3xdx

−π

∫π x

h) ∫ senxsennπxdx =

−π

π

c)

π

6

−1

2nπ (− 1) sen(1) 2 1 − (nπ ) n

π 2

∫ sen4 xsen3xdx

f)

senxdx

−π

−

42.- La función Gamma se define por ∞

∞

Γ(n + 1) = ∫ e x dx , para n > −1 . O bien por Γ(n ) = ∫ e − x x n −1dx , para n > 0 . −x

n

0

0

a) Demuestre que Γ(1) = 1 b) Demuestre que Γ(n + 1) = nΓ(n ) c) De los incisos anteriores se observa que si n es un entero no negativo Γ(n + 1) = n! . Verifique esto para n = 0,1,2,...,6 . ∞

d) Del hecho de que

∫e

−x

x 2 dx = π , haga una tabla donde muestre los −1

0

11 1 1 3 5 valores de Γ(n + 1) para n = − , , , ,⋅ ⋅ ⋅, . 2 2 2 2 2 43.- Represente la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones y calcule el área de la misma 1 a) y = x 2 + 1 , y = 5 d) y = 3 , y = 0, x = 0, x =1 x +1 π π b) x + y = 3 , y + x 2 = 3 e) y = senx , y = cos x , x = − , x = 2 6 −2 x c) y = e , x = 0 , x = 2

44.- Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y = x 2 y y = 4 d) alrededor de la recta y = 5 a) alrededor del eje x b) alrededor del eje y e) alrededor de la recta x = 2 c) alrededor de la recta y = 4 45.- La región limitada por las gráficas de y = e x , y = 0 , x = 0 , x = 1 gira alrededor del eje y . Calcule el volumen del sólido resultante. 2

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