Inhalt

PROLOG-1A: Mathematik? PROLOG-1B: Aussagen PROLOG-2: Mengen, Funktionen PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2 PROLOG-3B: Funktionen, Induktion, Ungleichungen

Mathematik in Semestern 1+2

Mathematik in Sem. 1+2

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2 × 2 Lehrveranstaltungen: I I

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1

Algebra & Diskrete Mathematik f. Inf. u. WInf.1 Analysis f. Inf. u. WInf.

¨ Bestehen jeweils aus Vorlesung (VO) und Ubung (UE).

1. VO: morgen, 9:00, Audimax

Mathematik in Sem. 1+2

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VO-Teil: I I I

Tafel-Vortrag. Definitionen, S¨atze, Beweise, Beispiele. Vor-Lesen hilfreich! Keine Anwesenheitspflicht.

Mathematik in Sem. 1+2

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VO-Teil: I I I I

Tafel-Vortrag. Definitionen, S¨atze, Beweise, Beispiele. Vor-Lesen hilfreich! Keine Anwesenheitspflicht. Benotung: VO-Pr¨ ufung (findet ,,regelm¨assig” statt, siehe TISS).

Mathematik in Sem. 1+2

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UE-Teil: I I I I

2

L¨ osen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff). Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL. In der UE: Pr¨asentation der L¨ osungen an der Tafel. LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert.

20 Punkte pro Test erreichbar

Mathematik in Sem. 1+2

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UE-Teil: I I I I I

2

L¨ osen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff). Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL. In der UE: Pr¨asentation der L¨ osungen an der Tafel. LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert. Anwesenheitspflicht! 3× Test (ca. alle 4 Wochen)!

20 Punkte pro Test erreichbar

Mathematik in Sem. 1+2

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UE-Teil: I I I I I I

L¨ osen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff). Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL. In der UE: Pr¨asentation der L¨ osungen an der Tafel. LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert. Anwesenheitspflicht! 3× Test (ca. alle 4 Wochen)! Benotung: I I I

2

≥ 60% Bspe gerechnet. Insgesamt positive Tafelleistung. ≥ 20 Punkte auf die 2 besten Tests2

20 Punkte pro Test erreichbar

Mathematik in Sem. 1+2 I

M. Drmota et al. Mathematik f¨ ur Informatik, Heldermann, 2007.

Mathematik in Sem. 1+2 I

M. Drmota et al. Mathematik f¨ ur Informatik, Heldermann, 2007.

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Vorsicht: 3. Auflage enth¨alt nicht den gesamten VO-Stoff.

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4. Auflage erscheint Mitte Oktober.

Inhalt

PROLOG-1A: Mathematik? PROLOG-1B: Aussagen PROLOG-2: Mengen, Funktionen PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2 PROLOG-3B: Funktionen, Induktion, Ungleichungen

Funktionen

Definition Eine Funktion f : D → B heißt injektiv falls gilt ∀x, y ∈ D : x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y ). In anderen Worten: Unterschiedliche Elemente haben unterschiedliche Bilder unter f .

Funktionen

Definition Eine Funktion f : D → B heißt surjektiv falls gilt: ∀y ∈ B : ∃x ∈ D : f (x) = y . In anderen Worten: Jedes Element von B tritt als Bild mindestens eines Elements von D auf.

Funktionen

Definition Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie surjektiv und injektiv ist. I

F¨ ur eine Menge M f¨ uhren wir eine Schreibweise f¨ ur eine einfache, aber wichtige bijektive Funktion ein: idM : M → M : x 7→ x.

Funktionen

I

F¨ ur bijektive Funktionen f gibt es eine n¨ utzliche Umkehrfunktion f −1 .

Definition F¨ ur bijektive Funktionen f : D → B definieren wir  B→D −1 f : b 7→ a, falls f (a) = b.

Funktionen

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Funktionen f , g werden als gleich aufgefasst, wenn sie den gleichen Definitions- und Bildraum haben und alle Elemente gleich abbilden.

Definition F¨ ur Funktionen f1 : D1 → B1 und f2 : D2 → B2 legen wir fest, dass f1 = f2 ⇔ (D1 = D2 ∧ B1 = B2 ∧ ∀x ∈ D1 : f1 (x) = f2 (x)).

Funktionen

I

Eine wichtige Operation von Funktionen: Hintereinanderausf¨ uhrung (auch: Zusammensetzung, Komposition).

Definition F¨ ur Funktionen f : A → B and g : B → C definieren wir die Abbildung  A→C f ◦g : a 7→ g (f (a)).

Vollst¨andige Induktion

N und Induktion

Wir betrachten die nat¨ urlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Mit den nat¨ urlichen Zahlen kommt die Beweisregel der vollst¨andigen Induktion: ((A(0)∧∀N ∈ N : (∀n ≤ N : A(n)) ⇒ A(N+1))) ⇒ ∀N ∈ N : A(n). wobei A(n) eine Aussage u ¨ber eine nat¨ urliche Zahl n ist.

Induktionsbeweis — mit anderen Worten

I I

Ziel: Beweisen, dass ∀n ∈ N : A(n) wahr ist. Beweis durch Induktion: 1. A(0) (Induktionsanfang) beweisen. 2. A(N + 1) (Induktionsbehauptung) beweisen. I I

Erlaubte Annahmen (Induktionsvorraussetzung): A(0), A(1), A(2), . . . , A(N) (in anderen Worten ∀n ≤ N : A(n)).

N und Induktion

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Nebenbemerkung:

I

Vollst¨andige Induktion sehr eng mit rekursiver Programmierung verbunden.

I

Induktionsvorraussetzung = b Rekursivem Funktionsaufruf.

N und Induktion

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Induktion wichtig zum Verstehen von Algorithmen:

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Wieso liefert ein Algorithmus das richtige Ergebnis?

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Dijkstra’s Algorithmus, Quicksort, . . .

Ungleichungen

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Eine wichtige Relation zwischen Zahlen (ausser ,,=”) ist ,,≤”.

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x ≤ y gilt falls x auf der Zahlengeraden links von y liegt.

Ungleichungen

I

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Welche Regeln d¨ urfen wir im Beweis mit Ungleichungen verwenden? Regeln f¨ ur Totalordnungen: I I I

I

x ≤ y ∨ y ≤ x (total) (y ≤ x ∧ x ≤ y ) ⇒ x = y (Antisymmetrie) (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z (Transitivit¨at)

Regeln f¨ ur angeordnete K¨ orper: I I I

∀x, y , c ∈ R : x ≤ y ⇒ x + c ≤ y + c, x ≤ y, c ≥ 0 ⇒ c · x ≤ c · y, x ≤ y, c ≤ 0 ⇒ c · x ≥ c · y,

Ungleichungen

I I

Beweise werden oft mittels Fallunterscheidung gef¨ uhrt: Annahme x ≤ y ∨ y ≤ x f¨ uhrt zu Fallunterscheidung: I I

I

Fall 1: x ≤ y . . . Fall 2: y ≤ x . . .

z.B. f¨ ur y = 0: I I

Fall 1: x ≤ 0 . . . Fall 2: x ≥ 0 . . .

Ungleichungen

I

Die Betragsfunktion | · | : R → R sei erw¨ahnt:  x f¨ ur x ≥ 0 |x| = . −x f¨ ur x ≤ 0