Inhalt Einleitung 1. Teil:

Die Ableitungsfunktion f‘

1

1.1

Wie leitet man eine ganzrationale Funktion ab ?

2

1.2

Wozu erzeugt man Ableitungsfunktionen ? 1. Steigung einer Geraden durch zwei Punkte 2. Steigung einer Lotgeraden 3. Steigung einer Tangente 4. Berechnung von Tangentengleichungen In welchem Punkt ist die Tangentensteigung – 2 ? Unterscheidung zwischen Funktion und Kurve Aufgaben zur Tangentensteigung

2 2 2 3 3 3 4 4

1.3

Wo steigt bzw. fällt eine Kurve ? Beispiel 1: f(x) = x2 – 4x Beispiel 2: f(x) = 31 x 3 − 21 x 2 − 2x

5 5 6

Beispiel 3: f(x) =

1 3

x 3 + 2x 2

7

Beispiel 4: f(x) =

1 4

x4 −

5 2

x2 +

9 4

Beispiel 5: f(x) =

1 4

x4 +

4 3

x3 −

1 2

8 x 2 − 4x + 2

9

Polynomdivision und Horner-Schema Aufgaben zur Monotonie

9 10

Die Ableitungsfunktion f‘‘

11

2.1

Was die Ableitung (von) der Ableitung erzählen kann.

11

2.2

Ausführliche Untersuchung der Krümmung Beispiel: f(x) = 31 x 3 − 21 x 2 − 2x Musteraufgaben zur Krümmung Beispiel 6: f(x) = 31 x 3 + 2x 2

12

1.4 2. Teil:

2.3

Beispiel 7: f(x) = x − x − Monotonie und Krümmung in Beispiel 8: f(x) = 81 x 4 − 81 x 3 − x 2 + 1 4

2.4

4

1 2

2

3 4

13 14

3 2

x

Beispiel 9: f(x) = 121 x 4 − 31 x 3 + 94 Aufgaben zu Monotonie und Krümmung

3. Teil: Besondere Kurvenpunkte

15 17 19 20

3.1

Nullstellen

20

3.2

Extrempunkte

22

3.3

Wendepunkte

30

3.4

Terrassenpunkte und Flachpunkte

34

3.5

Aufgaben zu Terrassen- und Flachpunkten

38

3.6

Extremwertbeweis ohne 2. Ableitung und bei Spitzen

39

Einleitung Die Mathematik der Funktionen ist eigentlich eine streng wissenschaftliche Angelegenheit. Da gibt es viele Beweise, Theorien, Sätze und Behauptungen. Die Schüler versuchen mitzudenken und die Theorien zu verstehen. Dann aber werden die Anwendungen geübt und gedrillt. Und ganz schnell ist das Verständnis weg. Man weiß oft nur noch die einzelnen Schritte. Was aber eigentlich Spannendes dahinter steckt, und wie man sich manches leicht machen könnte, wenn man etwas mehr über die Hintergründe wüßte, das geht unter. Was bleibt sind starre Schemata, die sicher wichtig sind. Aber dies ist oft nur noch pures Rechnen ohne Sinn und Verstand. Daher versuche ich hier – sicher zum Entsetzen mancher allzu streng wissenschaftlich orientierter Lehrer - dies etwas anders darzustellen. Es wird sehr viel gerechnet, aber es soll noch mehr verstanden werden. Die Anschaulichkeit wird groß geschrieben. Der zentrale Begriff, der hinter dem ganzen steckt ist die Monotonie von Funktionen. Diese Eigenschaft gib einfach Auskunft darüber, in welchen Bereichen eine Funktion wächst bzw. zunimmt, und wo sie abnimmt. Für das Schaubild der Funktion (genannt Kurve), geht es also darum, wo sie steigt oder fällt. Dann beobachten wir, wie sich die Zunahme bzw. Abnahme verändert, so kommen wir zur Krümmung von Kurven. Und über beide Begriffe zusammen erschließt sich die Welt der Extrem- und Wendepunkte. Viel Spaß bei einer der Lektüre mit viel Übungen und hoffentlich einer spannenden Mathematik. Übrigens geht es hier nur um ganzrationale Funktionen. Die Ergebnisse lassen sich auch auf andere Funktionen anwenden!

41121

Ableitungsstory 1

1

1. Teil: Die Ableitungsfunktion f‘ 1.1

Wie leitet man eine ganzrationale Funktion ab ? Es gibt folgende Ableitungsregeln:

1.

(x ) = n ⋅ x ( x ) = 2x ( x ) = 3x I

n

Die Potenzregel:

I

2

Beispiele:

n −1

3

Und natürlich auch 2.

I

(k ⋅ f ( x ) )

I

Konstante-Faktoren-Regel:

2

( x ) = 4x 4

I

3

= k ⋅ f I (x)

Diese Regel besagt, daß beim Ableiten ein konstanter Faktor unberücksichtigt stehen bleibt.

( 5x ) = 5 ⋅ 3x = 15x ( x ) = ⋅ 4x = 2x 4

1 2

3.

I

3

Beispiele:

2

I

3

1 2

(u(x) + v(x))

I

Summenregel:

2

3

= uI (x) + vI (x)

Mit anderen Worten: Jeder Summand wird für sich selbst abgeleitet. (5x 4 − x 3 + 7x − 2)I = 5 ⋅ 4x 3 − 3x 2 + 7

Beispiele:

( 4.

1 20

x5 −

1 3

)

I

x 3 + 2x + 12 =

1 20

(u(x) ⋅ v(x))

I

Produktregel:

⋅ 5x 4 −

1 3

⋅ 3x 2 + 2 =

1 4

x4 − x2 + 2

= uI (x ) ⋅ v(x ) + u(x ) ⋅ vI ( x )

Diese Regel wird bei ganzrationalen Funktionen eigentlich nicht gebraucht, weil man Produkte hier immer ausmultiplizieren kann. Dennoch ein Beispiel:

( x ⋅ (5x 3

2

) ) = 3x ⋅ ( 5x

− 3x + 1

I

2

2

)

− 3x + 1 + x 3 ⋅ (10x − 3) = ...

Man könnte statt dessen auch die abzuleitende Funktion auf diese Form bringen:

( x ⋅ (5x 3

2

) ) = ( 5x

− 3x + 1

I

5

)

I

− 3x 4 + x 3 = 25x 4 − 12x 3 + 3x 2

Ableitungsbeispiele zu ganzrationalen Funktionen:

(a) (b)

f(x) = − x 3 + 2x 2 + 5x − 2 f(x) = 81 x 4 + 2x 2 − 4

f I (x) = −3x 2 + 4x + 5 f I (x) = 21 x 3 + 4x

(c)

f(x) = − 41 x 4 +

f I (x) = − x 3 +

1 6

x 3 − 5x 2 + x − 1

1 2

x 2 − 10x − 1

Wenn man eine Ableitungsfunktion nochmals ableitet, erhält man die zweite bzw. dritte Ableitung. Zu den eben gezeigten Beispielen folgt dann: Zu (a)

f ''(x) = −6x + 4

und

f '''(x) = −6

Zu (b)

f ''(x) =

und

f '''(x) = 3x

Zu (c)

f ''(x) = −3x + x − 10

und

f '''(x) = −6x + 1

3 2

x2 + 4 2

41121

Ableitungsstory 1

1.2

2

Wozu erzeugt man Ableitungsfunktionen ?

Im Unterricht kommt man irgendwann an die Stelle, wo die Frage nach der Tangente an eine Kurve auftaucht. Eine Tangente ist bekanntlich eine Gerade und hat eine Gleichung der Form y = mx + n (wenn sie nicht gerade parallel zur y-Achse ist). Man hat gelernt, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen kann. Hier die beiden wichtigsten Methoden:

1. Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte B A

α ∆x

∆y

Als Steigung definiert man den Tangens des Steigungswinkels α bei A. Daher erhält man die ∆y Formel mMB = tan α = ∆x Wobei ∆x = xB − x A die Differenz der x-Koordinaten und ∆y = yB − y A die Differenz der y-Koordinaten ist.

Beispiel: A ( 2 I 1 ) und B ( 5 I 3 )

mAB =

∆y 3 −1 2 = = . ∆x 5 − 2 3

2. Steigung einer Lotgeraden Soll man von einem Punkt Q ( - 2 I 4 ) aus das Lot L auf eine Gerade g fällen, dann nützt man folgende Formel aus: Sind g und L orthogonale (d.h. aufeinander senkrecht stehende) Geraden, dann gilt: 1 mg ⋅ mL = −1 d.h. mL = − mg Man sagt, daß die Steigung des Lotes der negative Kehrwert der Steigung von g ist. Beispiel: Unsere Gerade g durch A und B hatte die Steigung mg =

2 3

Dann hat das Lot auf g die Steigung mL = − 32

Beide Methoden versagen jedoch, wenn man die Steigung einer Tangente sucht. Die Mathematik hat ein Verfahren entwickelt, wie man aus einer Sekantensteigung (durch zwei Kurvenpunkte) die Steigung der Tangente herleiten kann. Das Ergebnis ist die erste Ableitungsfunktion f‘. Ihre Werte sind dann Tangentensteigungen. BEISPIEL:

Gegeben ist die Funktion f(x) = x2 – 4x + 2 Wir berechnen f(1) = 1 – 4 + 2 = - 1 d.h. A ( 2 I – 1 ) ist ein Punkt des Schaubilds K von f. Wir berechnen weiter f‘(x) = 2x – 4 und damit f‘(1) = 2 – 4 = - 2 . Dann kennen wir mit mT = f‘(1) = - 2 die Steigung der Tangente in A.

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Ableitungsstory 1

MERKE:

3

3. Steigung einer Tangente

Tangentensteigungen berechnet man, indem man die x-Koordinate des Berührpunktes in die 1. Ableitungsfunktion einsetzt. Weitere Beispiele dazu: f(x) = 31 x 3 − 4x 2 + 3x + 12 f '(x) = x 2 − 8x + 3 (a) f(3) = 9 − 36 + 9 + 12 = −6 f '(3) = 9 − 24 + 3 = −12 Auswertung: Im Punkt P ( 3 I – 6 ) hat die Kurve eine Tangente mit der Steigung – 12 und daher dieser Gleichung y + 6 = - 12 ( x – 3 ) also y = - 12x + 30 4. Berechnung der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungsform y – y1 = m ( x – x1 )

bzw.

(b)

(c)

y – f(x1) = f‘(x1) ( x – x1 )

f(x) = 81 x 4 − 41 x 2 − 3 f '(x) = 21 x 3 − 21 x f(2) = 2 − 1 − 3 = −2 f '(2) = 4 − 1 = 3 Auswertung: Im Kurvenpunkt Q ( 2 | −2 ) beträgt die Tangentensteigung 3. Tangentengleichung:

y + 2 = - 3 ( x – 2 ) d.h. y = - 3x + 4

f(x) = − 21 x 2 − 3x + 4

f '(x) = x − 3

Neue Fragestellung: In welchem Parabelpunkt hat die Tangente die Steigung mT = -2 ?

Zur Erinnerung:

Will man die Tangentensteigung berechnen, muss man die x-Koordinate des Berührpunkts in die Funktion f ' ( x ) einsetzen.

Hier aber haben wir die umgekehrte Aufgabe vor uns: Wir kennen die Steigung Der Tangtente - 2 und suchen die x-Koordinate des Berührpunkts, Wir fragen also: Wo hat f’ den Wert -2 , wo also gilt: f ' ( x ) = −2 ⇔ x − 3 = −2

Ergebnis:

?

x=1

Da jeder Punkt auch eine y-Koordinate besitzt rechnen wir weiter: y = f(1) = − 21 − 3 + 4 = 21 Endergebnis:

Im Punkt B ( 1 I 21 ) hat das Schaubild K von f eine Tangente mit der Steigung – 2.

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(d)

Ableitungsstory 1

4

f '(x) = x 2 − 3x − 6 f(x) = 31 x 3 − 32 x 2 − 6x + 2 Wo hat das Schaubild von f die Tangentensteigung – 2 ? Bedingung: f‘(x) = - 2 d.h. x 2 − 3x − 6 = −2 x 2 − 3x − 4 = 0 Führt zur quadratischen Gleichung 3 ± 9 + 16 3±5 4  x1,2 = = =  mit den Lösungen 2 2 −1 Zu x1 = 4 gehört f(4) = 31 ⋅ 64 − 32 ⋅ 16 − 24 + 2 = 643 − 46 = − 743 Zu x2 = - 1 gehört f(-1) = − 31 − 32 + 6 + 2 = −2−9+636+12 = 376 Ergebnis: In den Punkten P1 ( 4 I − 743 ) und P2 ( - 1 I 373 ) hat das Schaubild von f die Tangentensteigung – 2. Achtung:

Wir müssen künftig stets zwischen den Begriffen Funktion und Schaubild (Kurve, Graph) unterscheiden.

Eine Funktion1 ist ein algebraischer Begriff, denn damit bezeichnet man eine Zuordnung oder grob gesagt eine eindeutige Berechnungsvorschrift. Ein Schaubild „macht aus Zahl und Funktionswert einen Punkt“ und ist somit ein geometrischer Begriff Es ist demnach sinnlos, von der Tangente einer Funktion zu sprechen , oder von der Ableitung einer Kurve!!

e)

Wo hat das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x2 - 4x - 2 eine waagerechte Tangente ? Dies ist dieselbe Fragestellung wie in (d), denn jetzt ist f‘(x) = 0 vorgegeben.

Bedingung: f ‘(x) = 0. Zunächst folgt f‘(x) = 2x – 4 und dann daraus die Bedingungsgleichung 2x – 4 = 0 also x = 2. mit f(2) = 4 – 8 – 2 = - 6. Ergebnis: In S ( 2 I – 6 ) hat K eine waagerechte Tangente. Da das Schaubild K von f eine Parabel ist, bleibt die Erkenntnis, daß wir offenbar den Scheitel der Parabel berechnet haben. AUFGABEN: (1)

(2)

Berechne die Gleichungen der Tangenten in den Punkten A und B zu (a) f(x) = − x 2 + 5x − 5 mit A ( 3 I ? ), B ( - 1 I ? ) 5 2 1 3 f(x) = 4 x − 2 x + 2x − 4 mit A ( - 2 I ? ) und B ( 4 I ? ) (b) f(x) = − 161 x 4 + 41 x 2 + 1 mit A ( 2 I ? ) und B ( - 2 I ? ) (c) Berechne die Kurvenpunkte, in denen die Tangente die vorgegebene Steigung hat: (a) f(x) = − 41 x 2 + x − 5 mit mT = - 3 (b)

(3)

f(x) =

1 3

x3 −

3 2

x 2 − 7x + 4 mit mT = 3

f(x) = 51 x 5 − 73 x 3 + 8x − 1 mit mT = - 4 (c) Berechne die Scheitel der Parabeln, die durch folgende Funktionen definiert werden: (a) f(x) = 41 x 2 + 4x − 5 (b) f(x) = −2x 2 + 4x + 5

41121

Ableitungsstory 1

5

1.3 Wo steigt bzw. fällt eine Kurve? An Hand des Bildes der dargestellten Parabel y = x 2 − 4x kann man eine schnelle Antwort geben: Rechts vom Scheitel S steigt die Kurve, und links fällt sie. Dabei hat man immer die Richtung der x-Achse im Visier. Man durchfährt also quasi die Kurve von links nach rechts. Wir wollen dies nun zahlenmäßig erfassen. Dazu müssen wir einen Zusammenhang zur Tangentensteigung herstellen: Wenn die Tangente steigt (d.h. eine positive Steigungszahl hat), dann steigt die Kurve an dieser Stelle auch, das heißt im Klartext, daß die Funktionswerte zumindest in einem kleinen Bereich links und rechts davon zunehmen.

S

Die dargestellte Parabel gehört zur Funktion f mit der Gleichung f(x) = x2 – 4x . Die eingezeichnete Tangente berührt die Kurve bei x = 3. Die Tangentensteigung berechnen wir aus der 1. Ableitungsfunktion: f‘(x) = 2x – 4: mT = f‘(3) = 2. Eine positive Steigungszahl verrät uns auch ohne Abbildung, daß die Tangente steigt, also nehmen die Funktionswerte im „Bereich 3“ zu. Wie weit können wir uns diesen „Bereich“ vorstellen ? An Hand der Abbildung erkennen wir es: Das Intervall, in dem die Funktionswerte zunehmen, geht von 2 bis Unendlich, in der Intervallschreibweise: MZ =] 2; ∞ [ ist der Bereich, indem die Funktion „streng monoton wächst“, d.h. mit zunehmendem x auch zunehmende Funktionswerte erhält. Man erhält dieses Intervall als Lösungsmenge der Ungleichung f‘(x) > 0 d.h. 2x – 4 > 0 d.h. x > 2 . Wo nehmen die Funktionswerte „streng monoton ab“ ? Wir fragen: Wo hat die Funktion negative Tangentensteigungen? Wo ist also f‘(x) < 0 d.h. 2x – 4 < 0 Man erhält x < 2 und das zugehörige Intervall lautet MA =] − ∞ ;2[ Das hier vorgestellte Verfahren hat einen Nachteil: Es ist oft langwierig und setzt die Fähigkeit voraus, Ungleichungen lösen zu können. Es gibt neben diesem Verfahren ein geometrischen Verfahren, das jetzt vorgestellt werden soll. Es beruht darauf, daß man eine Vorzeichenuntersuchung für die Funktion f‘ anstellt. Musteraufgabe 1:

Berechne die Intervalle, in denen f mit f(x) = x2 – 4x streng monoton steigt bzw. fällt. (Andere Formulierung: Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f)

Lösung: Aus f(x) = x2 – 4x folgt f‘(x) = 2x – 4. Die erste Ableitungsfunktion hat als Schaubild eine Gerade mit der Nullstelle x=2. Da diese Gerade eine positive Steigungszahl 2 hat nehmen die werte nach rechts zu, ‘d.h. rechts von x=2 sind sie positiv und links von x=2 negativ: f ' ( x ) = 2x − 4

f(x) Ergebnis:

− fällt

x=2

O

+ steigt

f fällt streng monoton in MA =] − ∞ ;2[ und f wächst streng monoton in MZ =] 2; ∞ [

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Ableitungsstory 1

6

Musteraufgabe 2: Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = 31 x 3 − 21 x 2 − 2x (Das Schaubild der Funktion ist rechts abgebildet. Wir sehen also das Ergebnis vor Augen.)

H

Lösung:

Die Ableitungsfunktion f '(x) = x 2 − x − 2 . stellt eine Parabel dar, die nach oben geöffnet ist und zwei Nullstellen besitzt. Bedingung dafür: f‘(x) = 0, d.h.

x2 − x − 2 = 0 x1,2 =

1± 1+ 8 1± 3  2  = =  2 2 −1

T

Diese Parabel ist rechts abgebildet. Zwischen den Nullstellen verläuft diese Parabel unterhalb der x-Achse, in den Außenbereichen oberhalb der x-Achse. Mit anderen Worten: Für – 1 < x < 2 ist f‘(x) < 0 und für x < - 1 oder x > 2 ist f‘(x) > 0.

+

+

Bedeutung dieser Aussage für die zu untersuchende Funktion f: Für - 1 < x < 2 fällt f streng monoton für x < - 1 oder x > 2 steigt f streng monoton.

-

Der (beim Farbausdruck) blau geschriebene Text ist für eine Lösung notwendig, denn dieser Text gehört zur graphischen Lösung und ersetzt komplizierte Ungleichungen.

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Ableitungsstory 1

7

Musteraufgabe 3: Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f mit f(x) =

1 3

x 3 + 2x 2

Lösung:

Die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = x 2 − 4x hat als Schaubild eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und –4. Also gilt: Für – 4 < x < 0 ist f‘(x) < 0, d.h. f fällt streng monoton. Für x < - 4 oder x > 0 ist f‘(x) > 0 d.h. f wächst streng monoton.

+

+

-

Rechts das Schaubild von f‘(x) = x2 + 4x mit der Gebietseinteilung für die Vorzeichenuntersuchung.

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Ableitungsstory 1

8

Musteraufgabe 4 Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =

1 4

x4 −

Nebenstehende Abbildung zeigt uns schon im Voraus, daß die Kurve zunächst fällt, dann steigt, dann wieder fällt und schließlich wieder steigt.

5 2

x2 +

9 4

+ H

Nun die Rechnung dazu: f '(x) = x 3 − 5x = x ⋅ (x 2 − 5) Man erkennt, daß f‘ drei Nullstellen hat: x1 = 0 und x 2,3 = ± 5 Das Vorzeichen wird jetzt von zwei Faktoren bestimmt: Vom Faktor x und vom Faktor x2 – 5 , der wiederum eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen x 2,3 = ± 5 „darstellt“. Wenn wir jetzt die Gesamtwirkung beider Faktoren betrachten wollen, müssen wir eine sogenannte Vorzeichentabelle aufstellen: − 5 x x2 − 5 f '(x)

−

T2 0

T1 5

− O + + + O − − O+ − + − +

x

Die Erklärung zu dieser Tabelle: Der Faktor x ist links von seiner Nullstelle 0 negativ, rechts von 0 positiv. Der Parabelterm x2 – 5 hat zwischen seinen beiden Nullstellen ± 5 negative Werte und außen positive Werte. Durch Multiplikation wird aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen eine negative Zahl, mit zwei gleichen Vorzeichen eine positive Zahl. Deutung der letzten Zeile für die Funktion f ' Für x 5

ist f‘(x) < 0, ist f‘(x) > 0, ist f‘(x) < 0, ist f‘(x) > 0,

also fällt dort f streng monoton. also steigt in diesem Intervall f streng monoton. also fällt dort f streng monoton. also steigt dort f streng monoton.

Und an den Nullstellen von f‘, also bei 0 und ± 5 ist f‘(x) = 0, dort hat die Kurve eine waagerechte Tangente. Dies sind die sogenannten Hochpunkte und Tiefpunkte der Kurve.

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Ableitungsstory 1

9

Musteraufgabe 5 Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =

1 4

x4 +

4 3

x3 −

1 2

x 2 − 4x + 2

Lösung: f ' ( x ) = x 3 + 4x 2 − x − 4

Ableitungsfunktion:

Bed: f ' ( x ) = 0

Nullstellen von f‘:

d.h.

x 3 + 4x 2 − x − 4 = 0

Zum Lösen dieser Gleichung benötigt man eine Probierlösung. Beispielsweise ist x1 = 1 eine Lösung, denn f ' (1) = 1 + 4 − 1 − 4 = 0 . Jetzt kann man den Linearfaktor ( x – 1 ) ausklammern. Dazu führt man entweder eine Polynomdivison durch, oder man wendet das Horner-Schema an:

(x −(x

)

+ 4x 2 − x − 4 : ( x − 1) = x 2 + 5x + 4 3 − x2

3

)

5x 2 − x − 5x 2 − 5x

(

)

Horner − Schema :

x =1

4x − 4 − ( 4x − 4 )

1 0

4 1

−1 5

−4 4

1

5

4

0

0 Beide Verfahren sollen hier nicht erklärt werden, außer dem Hinweis, daß man beim Hornerschema die blauen Ziffern aus der Gleichung entnimmt und dann die rote Null darunter setzt. Dann wird vertikal nach unten addiert und schräg herauf mit der Lösungszahl 1 multipliziert. Wenn am Ende Null herauskommt, war x = 1 eine Lösung, und die Ergebniszahlen 1 5 und 4 sind die Koeffizienten des Terms, den man bei der Polynomdivision mit deutlich mehr Mühe erhält!

Als Ergebnis beider Verfahren erhält man eine Produktdarstellung der Ausgangsgleichung, d.h. aus x3 + 4x2 – x – 4 = 0 wurde jetzt ( x – 1 ) ( x2 + 5x + 4 ) = 0. Setzt man die erste Klammer Null, erhält man die bekannte Startlösung x1 = 1. Setzt man die zweite Klammer Null, folgen die restlichen Lösungen: x 2 + 5x + 4 = 0

mit x1,2 =

−5 ± 25 − 16 −5 ± 3  −1 = =  2 2 −4 

Also besitzt f ' die Nullstellen 1, - 1 und - 4. Um jetzt eine Vorzeichenuntersuchung für f ' durchführen zu können, zerlegen wir mit Hilfe dieser Nullstellen in einen Produktterm: f '(x) = (x − 1)(x + 1)(x + 4)

41121

Ableitungsstory 1

Vorzeichentabelle für f ' :

-4

10

-1

1

− − − O+ − O + + − − O + + + − + − +

x -1 x+1 x–4 f‘(x) Auswertung für f: Für x < - 4 und für - 1 < x < 1 ist

f‘(x) < 0 d.h. f fällt streng monoton.

Für – 4 < x < - 1 und für x > 1 ist

f‘(x) > 0 d.h. f wächst (steigt) streng monoton.

Schaubild von f:

1.4

Übungsaufgaben

Untersuche das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen (4)

a)

f(x) =

1 3

x 3 − x 2 − 8x +

b)

f(x) =

1 8

x4 −

c)

f(x) =

1 4

x 4 + x3

d)

f(x) =

1 2

x 3 − 2x 2 +

e)

f(x) =

1 5

x5 +

4 3

x 3 + 3x

f)

f(x) =

1 5

x5 +

1 4

x4 −

1 2

26 3

x2 1 2

4 3

x+3 x 3 − 2x 2 + 3

Die Lösungen dazu finden Sie im Teil 4 (Datei 41124) auf der Mathematik-CD.

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

11

2. Teil: Die zweite Ableitungsfunktion f‘‘ 2.1 Was uns die Ableitung von f' mitteilen kann. Beispiel 1: Wir gehen von einer ganz einfachen Parabel aus: Nebenstehendes Schaubild gehört zur Funktion f(x) = x 2 − 4 . Dazu berechnen wir die erste Ableitungsfunktion: f ' ( x ) = 2x

und betrachten einige Werte davon: x f‘(x)

-3 -6

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

3 6

Wir beobachten, daß die Werte von f ' zunehmen. Und zwar pro Einheit immer um genau 2. Wir wissen, daß die Zunahme von Funktionswerten (als Monotonie) mit der Ableitung der Funktion untersucht werden kann: Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion beschreibt das Verhalten der ursprünglichen Funktion. Will man nun die Zu-/Abnahme der Funktion f ' untersuchen, benötigt man deren Ableitung, also die 2. Ableitungsfunktion: f '' ( x ) = 2 . Anwendung unseres Wissen: Da f‘‘(x) stets positiv ist, wächst die Funktion f ' stets streng monoton. Dies stimmt mit unserer Tabelle überein. Die Zunahme der Tangentensteigungsfunktion f ' hat eine optische (geometrische) Auswirkung: Die Kurve selbst, also das Schaubild von f, zeigt Linkskrümmung! Die Erkenntnis f '' ( x ) = 2 >0 liefert uns also eine Aussage über die Krümmung des Schaubilds von f. Der Zahlenwert 2 sagt allerdings nichts über die Stärke der Krümmung aus. Die Parabel krümmt sich am Scheitel viel stärker als weiter außen. Dennoch ist f‘‘(x) immer konstant 2. Diese Zahl ist ein Maß für die Zunahme der Steigung, aber kein Krümmungswert. Lediglich das Vorzeichen ist von Bedeutung. Beispiel 2: Die nebenstehenden Parabeln gehören zu den Funktionen f und g: Die Funktion f mit Schaubild K1 lautet: f(x) = 41 x 2 + x − 3 K2 und die Gleichung von g mit Schaubild K2 : 3 1 2 K g(x) = − 4 x + 2 x 1 Ableitungen von f: f '(x) = 21 x + 1 und f ''(x) = 21 Da f '' ( x ) > 0 ist, wächst f ' überall streng

monoton, d.h. die Parabel K1 hat Linkskrümmung.

Ableitungen von g:

g'(x) = − 21 x +

3 2

und g''(x) = −

1 2

.

Da g'' ( x ) < 0 für alle x, fällt g' streng monoton, d.h. die Werte g‘(x) nehmen ab, die Kurve K2 hat Rechtskrümmung. Ergebnis: Das Vorzeichen f‘‘ erzählt uns etwas über die Krümmung einer Kurve.

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

12

2.2 Ausführliche Untersuchung der Krümmung Auf Seite 7 haben wir die Funktion f(x) = Auf Monotonie untersucht.

1 3

x3 −

1 2

x 2 − 2x

Ableitungen: f ' ( x ) = x 2 − x − 2 und f '' ( x ) = 2x − 1

Um eine Aussage über die Krümmung von K machen zu können, müssen wir die Monotonie von f‘ untersuchen und dazu eine Vorzeichenuntersuchung von f '' anstellen.

W

f '' ( x ) = 2x − 1 ist ein linearer Term, dessen Schaubild

eine Gerade ist (untere Abbildung). Das Vorzeichen von f‘‘ ändert sich an ihrer Nullstelle, die bei x = 21 liegt. Da die Gerade selbst eine positive Steigungszahl 2 hat, nehmen die Werte nach rechts zu. Also hat f‘‘ rechts von x = 21 (rote gestrichelte Linie) positive Werte und links davon negative Werte.

f ''

Die kann man wieder übersichtlich in eine Vorzeichentabelle eintragen. Diese kann etwa so aussehen: 1 2

f‘‘(x)=2x – 1 f‘(x) K

− O + nimmt ab

nimmt zu

RechtsKrümmung

Linkskrümmung

−

x

+ 1 2

x

Dies paßt natürlich genau zur Zeichnung! Der Kurvenverlauf läßt sich so beschreiben: Von links unten kommend krümmt sich die Kurve nach rechts, die Steigungszahlen nehmen ab! ( f '' ( x ) < 0 ). Dann erreicht die Kurve ihren Hochpunkt H ( −1|

7 6

) . Dort hat sie erstens eine waagerechte Tangente f ' ( xH ) = 0

und zweitens

weiterhin Rechtskrümmung f '' ( xH ) < 0 . Rechts vom Hochpunkt fällt sie. An der Stelle x =

1 2

ändert sich die Situation. Dort wechselt f '' ( x ) das Vorzeichen, die

Krümmung wechselt von Rechtskrümmung ( f '' ( x ) < 0 ) nach Linkskrümmung ( f '' ( x ) > 0 ). Der Punkt W mit den Koordinaten W

(

1 2

−

13 12

)

ist „der“ Wendepunkt

von K. Jetzt nehmen die f ' -Werte (die Steigungswerte) wieder zu, die Kurve K krümmt sich nach links. Dann erreicht die Kurve ihren Tiefpunkt T ( 2 | − 103 ) in dem sie wieder erstens eine waagerechte Tangente hat

( f ' ( x ) = 0 ) , zweitens jetzt aber T

Linkskrümmung ( f '' ( x T ) > 0 ) , denn rechts vom Tiefpunkt nehmen die Funktionswerte

wieder zu. Die Kurve behält ab hier die Eigenschaften „Steigen“ und Linkskrümmung bei. Es gibt also auch keinen weiteren Wendepunkt mehr.

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

13

2.3 Musteraufgaben zur Krümmung Das in 2.1 geschilderte Beispiel kann man nicht in gezeigten Form darstellen. Daher nun einige Aufgaben mit Musterlösungen.

Musteraufgabe 6: Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit f(x) = 31 x 3 + 2x 2 (Siehe Seite 7/8)

Lösung: f(x) = 31 x 3 + 2x 2 hat die Ableitungen: f‘(x) = x2 + 4x und f‘‘(x) = 2x + 4 Nullstellen der Funktion f '' : Bed.: 2x + 4 = 0 d.h. xW = - 2 mit f(2) = 163 . Das Schaubild von f '' stellt eine steigende Gerade (Steigungszahl 2) dar, also hat f '' rechts von ihrer Nullstelle – 2 positive Werte, links davon negative. Stellt man das in einer Vorzeichentabelle dar, ergibt dies folgendes Schema: Vorzeichentabelle: -2

− O

f‘‘(x) = 2x + 4 f‘(x)

nimmt ab

Schaubild K

Rechtskr.

(

Und W −2  163

)

+ nimmt zu

x

Linkskrümmung

ist Wendepunkt des Schaubilds

von f (weil dort das Vorzeichen von f‘‘ wechselt, d.h. weil dort die Krümmung von K von rechts nach links wechselt).

RKr W LKr

RKr x

LKr

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

14

Musteraufgabe 7: Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit f(x) =

x4 −

1 4

1 2

x2 −

3 4

Lösung: f(x) =

1 4

x4 −

1 2

x2 −

3 4

f '(x) = x 3 − x

hat die Ableitungen:

Nullstellen von f '' :

3x 2 − 1 = 0

⇔

x2 =

⇔

1 3

und f ''(x) = 3x 2 − 1

x1,2 = ±

1 3

=±

1 3

3

Das Schaubild von f '' ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen ±

1 3

.

Also hat f '' zwischen diesen Nullstellen negative Werte und außen positive Werte. −

Vorzeichentabelle:

1 3

+ O − O +

f ''(x) = 3x 2 − 1 f '(x) = x 3 − x Schaubild K von f

1 3

wächst .

fällt

Linkskr.

x

wächst streng monoton

Rechtskr.

Linkskrümmung

Die Abbildung zeigt die Schaubilder von f, f‘ und f‘‘ Beginnen wir der roten Kurve: f ' . Ihre Nullstellen liegen bei -1 , 0 und 1. f ' ( −1) = 0 bedeutet, daß K bei -1 eine waagerechte Tankente hat, entsprechend bei 0 und bei 1. Dort liegen die beiden Tiefpunkte und der Hochpunkt.

f

f ''

Links von – 1 ist f ' ( x ) < 0 (rote Kurve unterhalb der x-Achse), d.h. daß f (K) links von -1 fällt (bis zum Tiefpunkt T2). Zwischen – 1 und ist f ' ( x ) > 0 (die rote Kurve oberhalb der x-Achse) und f steigt von T1 bis zum Hochpunkt H usw. Nun die schwarze Parabel: f '' Sie hat ihre Nullstellen bei ± 31 ≈ ±0,6 . Zwischen diesen Nullstellen verläuft die schwarze Parabel unter der x-Achse, f '' ( x ) < 0 , und wir haben für K eine

H

W2

W1

f'

T2 T1 Rechtskrümmung von W1 bis W2 . Links von – 0,6 und rechts von + 0,6 verläuft die Parabel oberhalb der x-Achse f '' ( x ) > 0 : Linkskrümmung. Und die Krümmung ändert sich an den Wendepunkten,

also in W1 und in W2.

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

15

Große Musteraufgabe 8: Untersuche das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit f(x) = 81 x 4 − 81 x 3 − x 2 + 32 x

Lösung f '(x) =

Ableitungen: (a)

1 2

x3 −

3 8

x 2 − 2x +

und f ''(x) =

3 2

3 2

x2 −

3 4

x−2

Monotonieverhalten von f. (Vorzeichenuntersuchung von f ' ) f '(x) = 0

Nullstellen von f ' :

d.h.

1 2

x3 −

3 8

x 2 − 2x +

3 2

= 0 ⋅ 8

4x 3 − 3x 2 − 16x + 12 = 0 (1) Probierlösung: x1 = 2: 32 - 12 - 32 + 12 = 0 Ausklammern des Linearfaktors ( x – 2 ) mittels Hornerschema 4 0

-3 8

-16 10

12 -12

4

5

-6

0

Ergebnis: (1) wird damit zu (2): (x − 2)(4x 2 + 5x − 6) = 0

x=2

(Auf dasselbe Ergebnis kommt man auch mit Polynomdivision)

Aus (2) folgt durch Nullsetzen der zweiten Klammer: 4x2 + 5x – 6 = 0 −5 ± 25 + 96 −5 ± 11  34  x 2,3 = = =  8 8  −2 

d.h.

Zugehörige y-Koordinaten: f( 34 ) = 81 ⋅ ( 34 ) − 81 ⋅ ( 34 ) − ( 34 ) + 32 ⋅ 34 ≈ 0,55 f( −2) = 2 + 1 − 4 − 3 = −4 In den Punkten H ( 0,75 | 0,55 ) , T1 ( 2 | 0 ) und T2 ( −2 | −4 ) hat das Schaubild K je 4

3

2

eine waagerechte Tangente. Zur Vorzeichenbestimmung von f‘ muß man f ' (x) in Faktoren zerlegen: f '(x) = 21 (x − 2)(x + 2)(x − 34 ) Alle drei Klammern sind Linearfaktoren mit positiven Steigungszahlen, daher haben sie rechts von ihren Nullstellen positive Werte, links davon negative: Vorzeichentabelle: x–2 x+2 x–

3 4

f‘(x) f Ergebnis:

3 4

-2

2

− − − O + + + −O + − O + + − − − + + fällt

wächst

fällt

x

wächst streng monoton

Für x < - 2 oder 0,75 < x < 2 fällt f streng monoton und für - 2 < x < 0,75 oder x > 2 wächst f streng monoton.

41122

(b)

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

16

Krümmungsverhalten von K. (Vorzeichenuntersuchung von f '' ) f ''(x) =

3 2

x2 −

3 4

x − 2 . Nullstellen von f‘‘:

3 2

x2 −

3 4

x − 2 = 0⋅ 4

6x − 3x − 8 = 0 2

x1,2 =

3 ± 9 + 192 3 ± 201 −0,93  = ≈  12 12  1,43 

Zugehörige y-Koordinaten: f( −0,93) ≈ −2,07 und f(1,43) ≈ 0,26 Das Schaubild von f‘‘ ist eine nach oben geöffnete Parabel, also sind die Werte von f‘‘ zwischen ihren Nullstellen negativ, außen positiv. Ergebnis:

f ''

Für x < - 0,93 und x > 1,43 ist f‘‘(x) > 0, d.h. f ' nimmt streng monoton zu, also hat K dort Linkskrümmung. Für - 0,93 < x < 1,43 ist f‘‘(x) < 0, also nimmt dort f ' streng monoton ab, d.h. K hat Rechtskrümmung.

f f'

An den Nullstellen von f‘‘ findet offenbar Vorzeichenwechsel von f‘‘ statt, also Krümmungswechsel von K, und wir finden dort zwei Wendepunkte von K: W1 ( - 0,93 I 1,43 ) und W2 ( 1,43 I 0,26 ) Die Abbildung zeigt auch noch einmal den Zusammenhang zwischen den Nullstellen von f ' und den Hoch- und Tiefpunkten von K.

f ''

H

W2

T1

W1 T2

Ferner kann man genaun erkennen, daß in den Intervallen, in denen f ' positive Werte hat, f streng monoton wächst, d.h. die Kurve steigt. Und dort, wo f ' negative Werte hat, nimmt f ab, d.h. K fällt.

Bestimmung der Art der Extrempunkte: Wir hatten dieses Ergebnis: In den Punkten H ( 0,75 | 0,55 ) , T1 ( 2 | 0 ) und T2 ( −2 | −4 ) hat das Schaubild K waagerechte Tangenten. Nun schauen wir nach, wie sich die Kurve in diesen Punkten krümmt: Der Punkt H liegt mit x = 0,75 in dem Bereich, in dem K Rechtskrümmung hat. (Sie das Ergebnis der Krümmungsuntersuchung oben!) K hat also in H waagerechte Tangente und Rechtslrümmund, das ist nur bei eiem Hochpunkt denkbar. In den beiden Punkten T1 und T2 haben wir waagererechte Tangente und Linkskrümmung ( -2 < - 0,93 und 2 > 1,93 ), das ist nur in einem Tiefpunkt vorstellbar.

H

T Wir haben also über die Krümmung ein Werkzeug, die Punkte näher zu bestimmen, in denen K eine waagerechte Tangente hat.

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

17

Große Musteraufgabe 9: Untersuche das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit f(x) = 121 x 4 − 31 x 3 + 94

Lösung f '(x) =

Ableitungen: a)

1 3

x3 − x2

f ''(x) = x 2 − 2x

und

Monotonieverhalten von f. (Vorzeichenuntersuchung von f ' ) 1 3

Nullstellen von f ' ‘:

x3 − x2 = 0

d.h.

x 3 − 3x 2 = 0

⇔

x 2 (x − 3) = 0

x1 = 0 ist eine doppelte Lösung, x2 = 3. Produktdarstellung von f ' :

f '(x) =

1 3

x 2 (x − 3)

Vorzeichentabelle für f ' :

0 x2 x–3 f‘(x) f

+

− − fällt

O O

3

+

− −

O O

fällt

+ + +

x

steigt

Erklärung:

Der quadratische Term x2 hat nie negative Werte, also sind seine Werte links und rechts seiner Nullstelle 0 positiv. Dagegen hat x – 3 die positive Steigungszahl 1, also sind seine Werte rechts von seiner Nullstelle 3 positiv, links davon negativ.

Ergebnis:

Für x < 0 und für 0 < x < 3 fällt f streng monoton, für x > 3 wächst f streng monoton.

Achtung:

Man kann die beiden linken Intervalle ] − ∞;0 [ und ] 0 ; 3 [ zusammen nehmen zu ] − ∞;3[ , hat dann allerdings die Nullstelle 0 aufgenommen. Da dort f ' (0) = 0 ist, muß man das Wort „streng“ weglassen. Dann lautet das Ergebnis so: Für x < 3 fällt f monoton, für x > 3 wächst f streng monoton. Diese Besonderheit ist schon das erste Mal daran zu erkennen, daß f ' bei 0 eine doppelte Nullstelle hat. Dort gibt es nie einen Zeichenwechsel. Wir merken uns für später: Eine doppelte Nullstelle von f‘ ist ein besonderer Punkt der Kurve K von f (Terrassenpunkt)!

Wir halten gleich einmnal fest, daß wir zwei Punkte mit waagerechter Tangente haben. Der Punkt E1 ( 0 | 94 ) , von dem wir wissen, daß links und rechts davon die Kurve fällt, es liegt ein Terrassenpunkt vor, und dann E2 ( 3 | 0 ) bei dem links die Kurve fällt und rechts steigt, also liegt ein Tiefpunkt vor !

'

41122

(b)

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

18

Krümmungsverhalten von K. (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ )

Ableitungen:

f '(x) =

Nullstellen von f‘‘ :

x2 – 2x = 0

1 3

x3 − x2

und

f ''(x) = x 2 − 2x

bzw. x ( x – 2 ) = 0

x1 = 0 und x2 = 2. Produktdarstellung von f‘‘:

f‘‘(x) = x ( x – 2 )

Damit könnten wir jetzt eine Vorzeichentabelle für f '' erstellen. Es geht in diesem Falle aber auch mit der „Parabelmethode“: Das Schaubild von f‘‘ stellt eine Parabel dar (siehe Abbildung), die nach oben geöffnet ist und zwei Nullstellen hat. Also sind die f‘‘-Werte zwischen diesen Nullstellen negativ und außen positiv. Ergebnis:

f ''

Für x < 0 oder x > 2 ist f‘‘(x) > 0, d.h. f‘ wächst dort streng monoton und K hat dort Linkskrümmung.

f W1

Für 0 < x < 2 ist f‘‘(x) < 0, d.h. f‘‘ fällt dort streng monoton und K hat dort Rechtskrümmung.

W2

Folglich liegt an den Stellen 0 und 2 Vorzeichenwechsel von f‘‘ vor, d.h. Krümmungswechsel der Kurve K, also hat K dort Wendepunkte. f(0) =

9 4

= 2,25

(

d.h. W1 0 94

)

und f(2) =

(

11 12

11 und W2 2 12

≈ 0,92

T

f'

)

Man erkennt die Besonderheiten an den Stellen 0 und 2: Dort schneidet die f '' -Parabel die x-Achse, d.h. dort liegen die Nullstellen von f '' . Im Intervall ] 0 ; 2 [ ist f '' ( x ) < 0 , daher hat das Schaubild K von f dort Rechtskrümmung. Und die Eintrittspunkte links und rechts sind die beiden Wendepunkte. Ferner erkennt man den Terassenpunkt W1 , der die Besonderheit hat, daß er einerseits eine waagerechte Tangente besitzt, andererseits aber Wendepunkt ist. Dies ergibt den terassenartigen Kurvenverlauf !

Und nochmals einen Blick auf den Tiefpunkt: In ihm hat die Kurve K waagerechte Tangente und Linkskrümmung, denn x = 3 ist im Bereich der Linkskrümmung !

41122

Ableitungsstory 2 (Krümmungsverhalten)

2.4 Aufgaben (5)

Untersuche das Monotonieverhalten von f und das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f : a)

f(x) =

b)

f(x) = − 31 x 3 +

c)

f(x) =

1 4

x 4 − 2x 2 − 5

d)

f(x) =

1 8

x4 +

1 2

x 3 − x 2 − 6x

e)

f(x) =

1 2

x4 +

1 2

x−2

f)

f(x) =

1 5

x5 −

4 3

x3 + 1

1 4

x3 −

9 4

x2 + 1 2

15 4

x −1

x 2 + 2x − 1

Die Lösungen befinden sich im Teil 4 (Datei 41124) auf der Mathematik-CD

19

41123

Ableitungsstory 3

3. Teil:

20

Besondere Kurvenpunkte.

Die Untersuchung von Funktionen verlangt vom Schüler in der Regel die Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse, deren x-Koordinaten man auch die Nullstellen der Funktion f nennt. Dann Punkte mit waagerechter Tangente. Zu diesen gehören Hochpunkte und Tiefpunkte. Dann aber auch noch die schon angesprochenen Wendepunkte. Außerdem gibt es Sonderfälle, die weniger oft auftreten, und zwar Terrassenpunkte oder gar Flachpunkte. Die Berechnung all dieser Punkte kann ganz schematisch erfolgen. Der Schüler sollte jedoch die Methoden verstehen, die dahinter stecken, denn sie sind mit der besprochenen Monotonie zu begründen, was natürlich dem Verständnis dient und auch bei komplizierteren Aufgaben von Nutzen sein wird.

3.1 Nullstellen Wenn eine Kurve die x-Achse schneidet dann hat der Schnittpunkt die y-Koordinate Null, weshalb man auch von einer Nullstelle spricht. Beispiel B1: (Beispiel 8 aus Teil 2 dieses Manuskripts): f(x) = 81 x 4 − 81 x 3 − x 2 + 32 x

f(x) = 0

Bedingung für Nullstellen: 1 8

x4 −

1 8

x3 − x2 +

d.h. 3 2

x=0

⋅8

x 4 − x 3 − 8x 2 + 12x = 0 Da das Absolutglied fehlt (d.h. Null ist), kann man x ausklammern: x(x 3 − x 2 − 8x + 12) = 0 Dieses Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Also gibt es die beiden Fälle x = 0 und x 3 − x 2 − 8x + 12 = 0 (1) Im ersten Fall liegt schon die erste Nullstelle vor: x1 = 0. Zum Lösen der Gleichung (1) benötigt man eine bekannte Lösung (Probierlösung). Hier kann man z.B. x2 = 2 herausfinden, denn 8 – 4 – 16 + 12 = 0 Nun muß man wissen, daß man als Folge davon den Term ( x – 2 ) ausklammern kann. Dieses Ausklammern ist ein Divisionsvorgang, den man mittels Polynomdivision erledigen kann: (x3 – x2 – 8x + 12 ) : ( x – 2 ) = x2 + x – 6 - (x3 – 2x2) Oder man verwendet das Horner-Schema: x2 – 8x - ( x2 – 2x ) 1 -1 -8 12 0 2 2 -12 - 6x + 12 x=2 - ( - 6x + 12 ) 1 1 -6 0 0

In beiden Fällen erhält man als Ergebnis der Division den Term x2 + x – 6. Daher kann man die Gleichung (1) jetzt weiter zerlegen in

41123

Ableitungsstory 3

21

( x – 2 ) ( x2 + x – 6 ) = 0. Setzt man die letzte Klammer Null, dann folgen die Lösungen x3 und x4 : x 3,4 =

−1 ± 1 + 24 −1 ± 5  2  = =  2 2 −3 

Damit hätten wir x3 = 2 und x4 = - 3. Nun muß auffallen, daß die Nullstelle 2 doppelt aufgetreten ist, also gibt es in Wirklichkeit nur drei Schnittpunkte mit der x-Achse: N1 ( 0 I 0 ) , N2 ( 2 I 0 ) und N3 ( - 3 I 0 ). Die Funktion kann man jetzt noch in die Produktform bringen:

f(x) =

1 8

x ⋅ (x + 3) ⋅ ( x − 2 )

2

Und da es bei der doppelten Nullstelle keinen Vorzeichenwechsel gibt, wissen wir jetzt schon, daß hier ein Berührpunkt mit der x-Achse vorliegt, das ist entweder ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Bemerkungen 1. Das Berechnen von Nullstellen erfordert die Kenntnis aller Methoden zum Lösen von Gleichungen. Das Horner-Schema wird in einer eigenen Datei erklärt. 2. In manchen Aufgaben ist der Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen. Dort ist die x-Koordinate 0 und die y-Koordinate wird durch f(0) berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen ist das Ergebnis immer das Absolutglied des Funktionsterms.

41123

Ableitungsstory 3

3.2

22

Extrempunkte

Die Funktion f mit f(x) = 161 x 3 − 83 x 2 + 1 hat in der mathematischen Fachsprache zwei Extremstellen, nämlich x1 = 0 und x2 = 4, an denen sie (die Funktion) Extremwerte hat: Bei 0 hat sie ein lokales Maximum und bei 4 ein lokales Minimum.

H

T

Das Schaubild K von f hat dort zwei Extrempunkte, nämlich den Hochpunkt H ( 0 | 1) und den Tiefpunkt. T ( 4 | −1) Man achte auf die Unterscheidung der Begriffe Funktion – Kurve:

Die Funktion ist ein algebraischer Begriff, der eine eindeutige Zuordnung definiert, die hier jeder Zahl x deren Funktionswert f(x) zuordnet, der durch den Term f(x) = 161 x 3 − 83 x 2 + 1 berechnet wird. Eine Funktion hat nur Werte und keine Punkte. Und an der Stelle 0 hat sie eben den größten Wert 1. Aber wie man sieht, nicht absolut, denn bei x = 6,2 ist der Funktionswert mit f(6,2) = 1,4805 größer als das Maximum bei 0 mit f(0) = 1. Dennoch gibt es einen Bereich links und rechts von 0 – die Mathematiker sagen „eine Umgebung von 0“ , in dem kein Wert f(x) größer ist als f(0) = 1. Etwa so: In der Umgebung U1(0) = ] − ∞ ; 6 ] gilt f(x) ≤ f(0) . Daher hat f bei 0 ein relatives Maximum. Die Kurve, also das Schaubild oder der Graph der Funktion f, ist ein geometrischer Begriff. K hat den relativen Hochpunkt H ( 0 I 1 ). An der Stelle x = 4 hat die Funktion ein relatives Minimum, weil es zu 4 eine Umgebung gibt, etwa U2(4) = [ − 2 ; ∞ [ , in der kein Wert kleiner ist als f(4), d.h. f(x) ≥ f(4) . Das Schaubild K hat also den relativen Tiefpunkt T ( 4 I – 1 ). Durch die Eigenschaft, daß die Kurve in der Umgebung eines Hochpunkts links und rechts tiefer liegt als f(0) und in der Umgebung eines Tiefpunkts links und rechts höher liegt als f(4), hat die Kurve dort waagerechte Tangenten. (Dies ist um Gottes Willen kein Beweis, denn es gibt andere Kurven, bei denen dies nicht der Fall ist. Doch in unserer Geschichte will ich davon berichten, daß ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen diese angenehme Eigenschaft haben). Diese blau eingezeichneten Tangenten helfen uns weiter, denn wir wollen diese Eigenschaft fordern, wenn wir nach Extrempunkten suchen. Ein Punkt mit einer schrägen Tangente läßt die Kurve rechts oder links weiter ansteigen und liefert bei „unseren“ Funktionen keine Extrempunkte. Da die Tangentensteigung mit f ' ( x ) berechnet wird, verlangen wir also bei unserer Suche nach waagerechten Tangenten stets f ' ( x ) = 0 als Bedingungsgleichung. Doch Achtung: Außer Hoch- und Tiefpunkten gibt es eine dritte Sorte von Punkten mit waagerechter Tangente !

41123

Ableitungsstory 3

23

Schauen wir uns das Schaubild der Funktion f mit f(x) = − 61 x 3 + 4 an. Diese Kurve besitzt auch einen Punkt mit waagerechter Tangente. Wir wollen ihn berechnen: f ' ( x ) = − 21 x 2 . Aus f ' ( x ) = 0

also − 21 x 2 = 0

folgt x = 0

mit f(0) = 4. K hat also in P ( 0 I 4 ) eine waagerechte Tangente – obwohl offensichtlich kein Extrempunkt vorliegt. Egal wie klein wir uns eine Umgebung um die Stelle 0 denken, stets sind links von 0 die Werte größer als 4 und rechts von 0 kleiner als 4. Zum Beweis sehen wir uns einfach die Funktion f ' ( x ) = − 21 x 2 an. Da x2 nie negativ wird, wird f ' ( x ) NIE POSITIV! Wenn x ≠ 0 ist, haben

wir stets f ' ( x ) < 0 ! Also fällt die Kurve stets, außer für einen Moment bei x = 0 1 Bemerkung: Wir brauchen also ein Unterscheidungskriterium, das uns ohne Ansehen einer Zeichnung sagt, ob ein Punkt mit einer waagerechten Tangente Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, oder gar ein Punkt wie hier (den man übrigens Terrassenpunkt) nennt. Dieses Hilfsmittel haben wir im 2. Teil dieser Abhandlung bereits entwickelt. Es ist die Untersuchung der Krümmung der Kurve, die wir über das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion durchführen können !

Wiederholung: (Krümmungsuntersuchung)

f '' ( x ) > 0 ,

Gilt für ein Intervall a < x < b

dann hat das Schaubild K von f in diesem Intervall Linkskrümmung. Gilt in einem Intervall f '' ( x ) < 0 , dann hat K dort Rechtskrümmung!

Will man, wissen, wie sich die Kurve im Punkt T ( 4 | −1) auf Seite 22 krümmt, berechnet man den Wert f '' ( 4 ) . Aus f(x) =

1 16

x3 −

3 8

x 2 + 1 folgt f ' ( x ) =

Und dann erhält man: f '' ( 4 ) =

3 8

⋅4−

3 4

=

3 16 3 2

x2 − −

3 4

3 4

=

x 3 4

und f '' ( x ) =

3 8

x−

3 4

.

> 0 . Also hat die Kurve K

in T Linkskrümmung. Man vergleiche dies mit der Abbildung !

41123

Ableitungsstory 3

24

1. Was sind Hochpunkte? Es ist unglaublich schwer, diesen anschaulichen Begriff mathematisch exakt zu definieren. Jeder sollte dies jedoch verstanden haben und von guten (Leistungskurs)Schülern erwartet man, daß dies diese Definition wiedergeben können.

Definition: Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Maximum, wenn es eine Umgebung U ( a ) =  x1 ; x 2  von a gibt, in der gilt f ( x ) ≤ f (a) .

Der zugehörige Kurvenpunkt heißt dann relativer Hochpunkt. Identifikation „mancher“ Hochpunkte: Wenn folgender Sachverhalt vorliegt: f' ( a ) = 0 und f'' ( a ) < 0

(

)

dann ist der Kurvenpunkt H a | f ( a ) ein relativer Hochpunkt, d. h. dann hat f bei a ein relatives (lokales) Maximum. Denn die erste Bedingung f ' ( a ) = 0 besagt, daß wir in H eine waagerechte Tangente haben, und die Eigenschaft f '' ( a ) < 0 besagt, daß das Schaubild in H Rechtskrümmung hat. Dies ist nur bei einem Hochpunkt der Fall ! Die Abbildung zeigt alles: Zuerst erkennt man das kleine Tangentenstück und die von unten mit Rechtskrümmung berührende Kurve, wodurch ein Hochpunkt entsteht.

H f (a)

Und dann erkennt man die Definition des Hochpunkts. In der Umgebung U ( a ) = [ x1 ; x 2 ] ist f(a) der größte Funktionswert; für jeden anderen gilt: f ( x ) < f ( a ) !

f (x)

a x1

U(a)

x2

Wenn die Beziehung f ( x ) ≤ f ( a ) für alle x ∈D gilt, dann haben wir bei a den absolut größten Funktionswert, also das absolute (oder globale) Maximum und H a | f ( a ) ist dann der absolute Hochpunkt.

(

)

41123

Ableitungsstory 3

25

2. Was sind Tiefpunkte? Definition: Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Minimum, wenn es eine Umgebung U ( a ) =  x1 ; x 2  von a gibt, in der gilt f ( x ) ≥ f (a) .

Der zugehörige Kurvenpunkt heißt dann relativer Tiefpunkt. Identifikation „mancher“ Tiefpunkte: Wenn folgender Sachverhalt vorliegt: f' ( a ) = 0 und f'' ( a ) > 0

(

)

dann ist der Kurvenpunkt T a | f ( a ) ein relativer Tiefpunkt, d. h. dann hat f bei a ein relatives (lokales) Minimum. Denn die erste Bedingung f ' ( a ) = 0 besagt, daß wir in T eine waagerechte Tangente haben, und die Eigenschaft f '' ( a ) > 0 besagt, daß das Schaubild in H Linkskrümmung hat. Dies ist nur bei einem Tiefpunkt der Fall ! Die Abbildung zeigt alles: Zuerst erkennt man das kleine Tangentenstück und die von oben mit Linkskrümmung berührende Kurve, wodurch ein Tiefpunkt entsteht.

T

Und dann erkennt man die Definition des Tiefpunkts. In der Umgebung U ( a ) = [ x1 ; x 2 ] ist f(a) der kleinste Funktionswert; für jeden anderen gilt: f ( x ) > f ( a ) !

f (x)

f (a)

a x1

U(a)

x2

Wenn die Beziehung f ( x ) ≥ f ( a ) für alle x ∈D gilt, dann haben wir bei a den absolut kleinsten Funktionswert, also das absolute (oder globale) Minimum und T a | f ( a ) ist dann der absolute Tiefpunkt.

(

)

Anmerkung: Daß man mit den beiden Ableitungen so nicht alle Extrempunkte identifizieren kann, zeigt der rechts dargestellte Spitz-Hochpunkt. Dort hat K keine waagerechte Tangente !

41123

Ableitungsstory 3

26

3. Musterbeispiele zur Extrempunktberechnung B2:

f(x) = 31 x3 − x 2 − 8x +

26 3

f '(x) = x 2 − 2x − 8 f ''(x) = 2x − 2

H

Bedingung für waagerechte Tangenten: f ' ( xE ) = 0

x1,2 =

d.h. x 2 − 2x − 8 = 0

2 ± 4 + 32 2±6  4  = =  2 2 −2

Berechnung der y-Koordinaten: f ( −2 ) = 18 und f ( 4 ) = −18 Krümmungsuntersuchung: f '' ( −2 ) = −4 − 2 < 0 d.h. Rechtskrümmung, also ist H ( −2 | 18 ) ein Hochpunkt von K. f '' ( 4 ) = 8 − 2 > 0

B3:

T

d.h. Linkskrümmung, also ist T ( 4 I – 18 ) Tiefpunkt von K.

f(x) = 41 x 4 − x2 f '(x) = x 3 − 2x = x(x 2 − 2) f ''(x) = 3x 2 − 2

Bedingung für waagerechte Tangenten. f ' ( xE ) = 0 d.h. x ⋅ x 2 − 2 = 0

(

)

d.h. x1 = 0 und x 2,3 = ± 2 y-Koordinaten: f(0) = 0; f( ± 2 ) = −1 Krümmungsverhalten: f '' ( 0 ) = −2 < 0 d.h. Rechtskrümmung, f ''( ± 2 ) = 4 > 0 d.h. Linkskrümmung.

(

)

Ergebnis: K hat H ( 0 | 0 ) als Hochpunkt und T1,2 ± 2  − 1 als Tiefpunkte. Bemerkung: In dieser Aufgabe sind die Tiefpunkte nicht nur relative Extrempunkte, sondern T1 und T2 sind sogar absolute Tiefpunkte, denn hier gilt für alle reellen Zahlen x die Beziehung f(x) ≥ f( ± 2 ) = −1 Bemerkung: Diese Funktion f hat daher die Wertmenge W = [ −1; ∞ [ , im Beispiel 1 war W = R

41123

Ableitungsstory 3

f(x) =

B4:

1 4

f '(x) = x 3 −

x 4 − 32 x3 + 94 x 2 + x − 3 x2 +

9 2

f ''(x) = 3x 2 − 9x +

9 2

9 2

27

x +1

Waagerechte Tangenten: Bed.: f ' ( xE ) = 0 d.h. x 3 − 2x 3 − 9x 2 + 9x + 2 = 0

9 2

x2 +

9 2

x + 1 = 0⋅ 2

H

(1) T2

Probierlösung: x = 2. Ausklammern von ( x – 2 ) mittels Hornerschema: 2 0

-9 4

9 -10

2 -2

2

-5

-1

0

x=2 d.h. aus (1) wird:

T1

( x – 2 ) (2x2 – 5x – 1 ) = 0

 2,69  5 ± 25 + 8 5 ± 33 5 1 33 ≈  = = ±  4 4 4 4 −0,19 

Damit folgt:

x 2,3 =

Funktionswerte:

f(2) = 0

f(2,69) ≈ −0,14

und f( −0,19) ≈ −3,1

Krümmungsverhalten:

f '' (2) = 12 – 18 + 4,5 < 0 d.h. Rechtskrümmung f '' (2,69) = ... > 0

d.h. Linkskrümmung

f '' (-0,19) = ... > 0

d.h. Linkskrümmung

Ergebnis:

H ( 2 I 0 ) , T1 ( - 0,19 I – 3,1) und T2 ( 2,69 I – 0,14 ).

Bemerkung: In umfassenderen Aufgaben sind meist zuerst die Schnittpunkte des Schaubilds K mit der x-Achse zu berechnen, also die Nullstellen der Funktion f. Dies führt hier auf die Gleichung:

1 4

x 4 − 32 x3 +

9 4

x2 + x − 3 = 0 | ⋅ 4

x 4 − 5x 3 + 9x 2 + 4x − 12 = 0 . Man benötigt zwei Pobierlösungen und findet z.B. 2 und - 1. Dann wendet man das Hornerschema an und kommt auf diesen Zerlegung: f ( x ) = 41 ( x − 2 )( x + 1) ⋅ x 2 + x − 6 mit den weiteren Nullstellen 2 und -3 .

(

)

Zwei ist also doppelte Nullstelle und man erhält: f ( x ) =

1 4

( x − 2 ) ( x + 1)( x + 3 ) . 2

41123

B5:

Ableitungsstory 3

f(x) = f '(x) =

5 27

f ''(x) =

1 27

28

x5 − 32 x3 + 3x

x 4 − 2x 2 + 3 x 3 − 4x

20 27

Waagerechte Tangenten: f ' ( xE ) = 0 d. h.

5 27

x 4 − 2x 2 + 3 = 0  ⋅ 27

5x 4 − 54x 2 + 81 = 0 Dies ist eine biquadratische Gleichung, also eine quadratische Gleichung für x2 :

x2 =

54 ± 2916 − 1620 54 ± 1296 = = 10 10 x2 =

54 ± 36  9  = 9 10 5

Aus x2 = 9 folgt x1,2 = ±3

und aus x 2 =

9 5

folgt x 3,4 = ±

y-Koordinaten: f ( ±3 ) = 0 und f ( ±1,34 ) ≈ ±2,57

9 5

≈ ±1,34

Krümmungsuntersuchung: f '' ( 3 ) = 20 – 12 > 0 d.h. LKr.

f‘‘(-3) < 0 d.h. RKr.

f '' (1,34 ) < 0 also RKr. und f‘‘ (-1,34) > 0 also LKr.

Ergebnis:

T1 ( 3 I 0 ), T2 ( - 1,34 I – 2,,57 ) H1 ( - 3 I 0 ) , H2 ( 1,34 I 2,57 )

Bemerkungen:

(a)

Da f nur ungerade Exponenten besitzt, gilt f ( − x ) = f ( x ) , also ist das Schaubild K von f punktsymmetrisch zum Ursprung.

(b)

Die Berechnung der Schnittpunkte von K mit der x-Achse ist lohnenswert !!! Bedingung:

f (x) = 0 ⇔

1 27

x5 −

2 3

x 3 + 3x = 0 | ⋅ 27

x 5 − 18x 3 + 81 = 0 x ausklammern:

(

)

x x 4 − 18x 2 + 81 = 0 .

Der Faktor x führt zu x1 = 0, die Klammer liefert eine biquadratische 18 ± 324 − 324 Gleichung mit x 2 = = 9. 2 Aus x 2 = 9 folgt dann x 3,4 = ±3 . Ergebnis: N1 ( 0 | 0 ) ; N2,3 ( ±3 | 0 ) .

41123

Ableitungsstory 3

29

Drei-Schritt-Methode zur EP-Berechnung 1. Schritt:

Aus der Bedingung f' ( xE ) = 0 werden Stellen xE berechnet.

2. Schritt

Berechne die y-Koordinaten: yE = f ( xE )

3. Schritt:

Krümmungskontrolle:

) ( T ( x | f ( x ) ) ein Tiefpunkt

Ist f'' ( xE ) < 0 , dann ist H x1 | f ( x1 ) ein Hochpunkt, Ist f'' ( xE ) > 0 , dann ist

1

1

Es sei erwähnt, daß eine Kontrollrechnung mit f '' ( xE ) = 0 in manchen Fällen auch zu einem Extrempunkt führen kann, meistens aber nicht. Das kommt später noch. Man muß immer wissen, daß die Bedingung f' ( xE ) = 0 die Suche nach Punkten mit waagerechten Tangenten eröffnet. Ich hatte aber auch schon erwähnt, daß es Spitz-Extrempunkte geben kann, also Extrempunkte mit einer Spitze statt einer waagerechten Tangente, Darüber sprechen wir hier zunächst noch nicht. Hier noch eine mathematisch exaktere Formulierung:

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte: Voraussetzung: f muß zweimal differenzierbar sein. Wenn f' ( xE ) = 0 ist und f'' ( xE ) < 0 , dann hat die Funktion f bei xE ein relatives (lokales) Maximum. Wenn f' ( xE ) = 0 ist und f'' ( xE ) > 0 , dann hat die Funktion f bei xE ein relatives (lokales) Minimum.

41123

Ableitungsstory 3

3.3

30

Wendepunkte

Das Thema Wendepunkte ist in Teil 2 schon intensiv angesprochen worden. Hier die Ergebnisse zusammengefaßt:

Ein Kurvenpunkt heißt Wendepunkt, wenn sich dort die Krümmung von links nach rechts oder von rechts nach links ändert. Die Krümmungsart wird durch das Vorzeichen der Funktion f‘‘ bestimmt: (1) Ist in einem Intervall f‘‘(x) > 0, dann wächst die Tangentensteigungsfunktion f‘ dort streng monoton, Das Schaubild K von f hat dann Linkskrümmung. (2) Ist in einem Intervall f‘‘(x) < 0, dann nimmt die Tangentensteigungsfunktion f‘ dort streng monoton ab, die zugehörige Kurve hat dann Rechtskrümmung. (3) Wenn man also nachweisen kann, daß f'' an einer Stelle a das Vorzeichen wechselt, dann ist W ( a I f(a) ) ein Wendepunkt

Drei Beispiele: B6

f(x) = 41 x3 - 94 x 2 + 15 x -1 4

Ableitungen: f '(x) = 34 x 2 − 92 x + f ''(x) = 32 x − 92

f ''

W

f'

15 4

Berechnung des Wendpunkts: Bedingung: f '' ( x ) = 0 ⇔ 32 x −

f 9 2

x=0

xW = 3 Das Schaubild von f '' stellt eine Gerade dar, die ihre Nullstelle bei x = 3 hat. Da diese Gerade die positive Steigungszahl 32 hat, nimmt f '' für x > 3 positive Werte an und für x < 3 negative Werte. Damit ist nachgewiesen, daß f '' nur bei x=3 das Vorzeichen wechselt.

Das Schaubild K von f hat also bei x = 3 den einzigen Wendepunkt:

(

Wegen f(3) = − 134 ⇒ W 3  −

13 4

)

41123

B7

Ableitungsstory 3

f(x) =

1 36

31

x 4 − 32 x2 + 2x − 1 f ''

Ableitungen: f '(x) = f ''(x) =

1 9 1 3

x 3 − 3x + 2 x2 − 3 W2

Nullstellen von f '' : x1,2 = ±3 Das Schaubild von f‘‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen 3 und -3 dar.

W1

Also hat f‘‘ zwischen diesen Nullstellen, d.h. im Intervall ] – 3 ; 3 [ negative Werte, K dort also Rechtskrümmung. Im Außenbereich, also für x < - 3 und für x > 3 hat f '' positive Werte, K also Linkskrümmung. Die Krümmung wechselt also an zwei Stellen, genau an den Nullstellen von f '' wechselst diese Funktion ihr Vorzeichen, und dort haben wir Krümmungswechsel. K hat also zwei Wendepunkte: W1 ( - 3 I f(-3) ), W2 ( 3 I f(3) ).

B8

f(x) = 21 x 4 + 21 x − 2

Ableitungen: f '(x) = 2x 3 +

1 2

f ''(x) = 6x 2 Berechnung der Wendepunkte über die Nullstellen von f’’ : Bedingung: f '' ( x W ) = 0 ⇔ 6x 2 = 0 ⇔ x W = 0 Das Schaubild von f‘‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar, die nur eine (aber doppelte!) Nullstelle hat. Diese ist der Parabelscheitel, so daß f‘‘ dort keinen Vorzeichenwechsel macht !

Die Nullstelle x = 0 von f '' führt hier also zu keinem Wendepunkt ! Im Schaubild erkennt man, daß aber dort (bei x =0) die Kurve einen kurzzeitig flachen Verlauf nimmt, weshalb man solche Punkte Flachpunkte nennt. Dies wird noch besprochen.

41123

Ableitungsstory 3

32

Wir haben bisher die Wendepunktsbestimmung immer so vorgenommen, daß wir uns die 2. Ableitungsfunktion angesehen haben und deren Vorzeichen bestimmt haben. Daraus haben wir erkannt, wo die Krümmung wechselt. Bis jetzt war dies immer an den Nullstellen von f '' . Jetzt kürzen wir dieses Verfahren ab und gehen gar nicht mehr auf die Krümmung ein. Wir suchen gezielt die Nullstellen von f '' und vermuten dort Vorzeichenwechsel von f '' , also Krümmungswechsel d.h. Wendepunkt. Daß dies nicht immer so ist, hat das letzte Beispiel gezeigt, also müssen wir in jedem Falle diese Nullstellen von f '' überprüfen, ob dort auch ein Zeichenwechsel von f '' stattfindet !

Im Beispiel B3 hat f‘‘ eine Nullstelle, in der f‘‘ das Vorzeichen nicht wechselt. Man erkennt am Schaubild von f‘‘, daß dort die f‘‘-Kurve die x-Achse nur berührt und nicht schneidet. Wenn wir mit einer einfachen Rechnung nachweisen können, daß die f‘‘Kurve in ihrer Nullstelle die x-Achse schneidet, dann ist der Zeichenwechsel garantiert und der Wendepunkt nachgewiesen. Wir sehen uns die letzten drei Beispiele noch einmal an. In Beispiel B1 war f ''(x) = 32 x − 92 und stellte eine Gerade dar, die auf Grund der positiven Steigung die x-Achse von links unten nach rechts oben schneidet. Dies lag an der Steigung der Geraden, die mit 32 positiv ist. In Beispiel B2 war f ''(x) = 31 x 2 − 3 und stellte eine Parabel mit den Nullstellen 3 und – 3 dar. Wenn wir feststellen wollen, ob f '' dort das Vorzeichen wechselt, muß man einfach überprüfen, ob die f '' -Kurve die x-Achse schneidet. Dazu berechnen wir deren Tangentensteigung. Dazu müssen wir einmal mehr ableiten: f‘‘‘(x) = 32 x Damit folgt:

f‘‘‘(3) = 2 und f‘‘‘(-3) = - 2.

Diese Ergebnisse sagen uns, daß die f '' -Parabel in der Nullstelle – 3 die Steigung – 2 hat, also von + nach – wechselt, und daß sie an ihrer Nullstelle 3 die Steigung 2 hat, also von – nach + wechselt. Diese positiven oder negativen f‘‘-Werte garantieren also, daß die f‘‘-Kurve die xAchse schneidet. Somit findet dort ein Zeichenwechsel von f‘‘ statt und die Wendepunktseigenschaft ist bestätigt. Fassen wir zusammen: 1. Schritt: Man sucht nach den Nullstellen der f‘‘-Funktion: f '' (x) = 0 ergibt xW = ... 2. Schritt: Man stellt sicher, daß die f‘‘-Funktion dort Zeichenwechsel hat, indem man die Steigung von f '' in ihren Nullstellen überprüft, also berechnet man f ''' ( x W ) . Ist f ''' ( x W ) > 0 oder f ''' ( x W ) < 0 , also nicht 0, dann steht der Zeichenwechsel von f '' an diesen Nullstellen fest und wir haben einen Wendepunkt für K gefunden. Wir erweitern diese Methode zu einer Drei-Schritt-Methode:

41123

Ableitungsstory 3

33

Drei-Schritt-Methode zur WP-Berechnung 1. Schritt:

Aus der Bedingung f ' ( x W ) = 0 werden Stellen xW berechnet.

2. Schritt:

Berechnung der y-Koordinate: y W = f ( x W )

3. Schritt:

Kontrolle, ob f '' bei xW auch tatsächlich Zeichenwechsel hat, etwa durch f ''' ( x W ) ≠ 0 . Dann liegt ein WP vor.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: Voraussetzung: f muß dreimal differenzierbar sein. Wenn f' ' ( x W ) = 0 ist und f '' bei xW einen Zeichenwechsel hat, etwa

nachgewiesen durch f'' ' ( xE ) < 0 , dann hat das Schaubild K der Funktion f bei xE einen Wendepunkt.

Übungen: Wir wenden die Dreischrittmethode auf die Beispiele B6 bis B8 von Seite 30 und 31 an.

B6’

f(x) = 41 x3 − 94 x2 + 15 x −1 4 f '(x) = 34 x 2 − 92 x + f ''(x) = 32 x − 92 f '''(x) = 32

B7’

f(x) = f '(x) =

1 9

1 36

15 4

x 4 − 32 x2 + 2x − 1

x 3 − 3x + 2

f ''(x) = x − 3 f '''(x) = x 1 3 2 3

B8’

2

f(x) = 21 x 4 + 21 x − 2 f '(x) = 2x 3 + f ''(x) = 6x 2 f '''(x) = 12x

1 2

Bed. für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 ergibt x = 3. Kontrolle: f‘‘‘(3) )= 32 ≠ 0

(

f(3) = − 134 ⇒ W 3  −

13 4

)

Bed. für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 ergibt x1,2 = ±3 Kontrolle: f‘‘‘(-3) = - 2 ≠ 0 : f‘‘‘(3) = 2 ≠ 0 f( −3) = − f(3) = −

73 4

25 4

(

⇒ W1 −3  −

(

⇒ W2 3  −

73 4 25 4

) )

Bed. für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 ergibt x = 0 doppelte Nullstelle d.h. kein Zeichenwechsel

(

f(0) = −2 ⇒ F 0  − 2

)

F ist ein Flachpunkt, kein Wendepunkt.

41123

Ableitungsstory 3

3.4

34

Terrassenpunkte und Flachpunkte

(

)

Wenn f' ( a ) = 0 ist und W a | f ( a ) ein Wendepunkt ist, dann heißt W auch Terrassenpunkt (Sattelpunkt). Ein Terrassenpunkt ist also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

( )

Wenn f '' b = 0 ist und f''' (b ) = 0 , heißt F (b | f (b ) ) ein Flachpunkt.

In der Regel wird in Aufgaben nie nach Terrassen- oder gar Flachpunkten gefragt. Sie begegnen einem unverhofft auf der Suche nach Extrem bzw. Wendepunkten.

Ablaufschema für die Berechnung von Extrempunkten und Terrassenpunkten Bedingung für waagerechte Tangenten: f '(xE ) = 0 ergibt xE = ...

Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten: yE = f ( xE ) = ...

usw.

usw.

Kontrollrechnung: f '' ( xE ) = ...

Wenn

f'' ( xE ) < 0

Wenn

f'' ( xE ) > 0

Wenn f'' ( xE ) = 0

dann hat f bei x1E ein relatives Maximum d.h.

dann hat f bei xE ein relatives Minimum d.h.

dann Verdacht auf WP. Wenn f '' bei xE ZW hat, z.B. wegen f ''' ( xE ) ≠ 0 ,

H ( xE | yE ) ist Hochpunkt

T ( xE | yE ) ist Tiefpunkt

dann ist W ( xE | yE ) WP mit waager. Tangente, d.h. W ist Terrassenpunkt.

Man erkennt, daß die Terrassenpunkte als Sonderfall der Punkte mitgeliefert werden, die eine waagerechte Tangente haben, also bei der Extrempunktberechnung auftauchen. Da sie allerdings Wendepunkte sind, werden sie bei der Wendepunktsberechnung noch einmal in Erscheinung treten.

41123

Ableitungsstory 3

35

Ablaufschema für die Berechnung von Wendepunkten und Flachpunkten: Bedingung für Wendepunkte: f '' ( x W ) = 0 ergibt xW = ...

usw.

Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten: y W = f ( x W ) = ...

usw.

Kontrollrechnung: Überprüfung des Zeichenwechsels von f’’ bei xW Zum Beispiel durch Berechnung von f ''' ( x W ) .

Wenn f '' bei xW Zeichenwechsel hat,

Wenn aber f‘‘ bei x1 keinen ZW hat,

z.B. weil f ''' ( x W ) ≠ 0 ist,

z.B. weil x1 eine doppelte oder vierfache

dann hat K bei xW einen Wendepunkt W ( x W | y W )

Nullstelle von f‘‘ ist, ‘ dann ist W ( x W | y W ) kein Wendepunkt und heißt Flachpunkt.

Ohne weitere Begründung sei noch erwähnt, daß f '' bei x1 auch dann einen bei xW einen Zeichenwechsel hat, wenn z. B. xW dreifache Nullstelle von f '' ist, z.B. wenn f '' ( w W ) = f ''' ( x W ) = f IV ( x W ) = 0 ist, aber f V ( x1 ) ≠ 0 . Auch hier erkennt man am Ablaufschema, daß Flachpunkte als besondere Nullstellen von f‘‘ bei der Wendepunktberechung von selbst auftauchen, wenn sie denn vorhanden sind.

41123

Ableitungsstory 3

36

Vier Beispiele dazu f(x) =

B9:

f '(x) =

1 3

1 12

x 4 − 31 x3 +

x −x 3

9 4

f '''

W1

2

f ''(x) = x − 2x f '''(x) = 2x − 2 Bed. für waagerechte Tangenten: f ' ( xE ) = 0

f

2

d.h.

1 3

f '' W2

x 3 − x 2 = 0 d.h. x 2 ⋅ ( 31 x − 1) = 0

ergibt x1 = 0 (doppelte Nullstelle) und x2 = 3. Kontrolle zu x2 = 3: f '' ( 3 ) = 3 > 0 also relatives Minimum von f,

T

f'

d. h. T ( 3 I 0 ) ist ein Tiefpunkt. Kontrolle zu x1 = 0: f '' ( 0 ) = 0 . Das heißt Verdacht auf WP. Daher folgt die

Wendepunktskontrolle: f ''' ( 0 ) = −2 ≠ 0 . Also ist W1 ( 0 |

9 4

)

ein WP mit

waagerechter Tangente d.h. ein Terrassenpunkt Bed.: f '' ( x W ) = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0

Weitere Wendpunkte:

Die Lösung x1 = 0 ist schon bekannt, bleibt noch x3 = 2. Wendepunktskontrolle: f ''' ( 2 ) = 2 ≠ 0 , also ist

W2 ( 2 |

11 12

)

der zweite

Wendepunkt des Schaubilds K von f.

H

B10

f(x) = 51 x5 − 34 x3 + 1 f '(x) = x 4 − 4x 2 f ''(x) = 4x 3 − 8x f '''(x) = 12x 2 − 8

W1

Extremwertbedingung: f ' ( xE ) = 0 d.h.

x 4 − 4x 2 = 0 bzw.

(

)

x2 ⋅ x2 − 4 = 0

x1 = 0 doppelte Lösung, x 2,3 = ±2 . 49 49 ; f( −2) = 15 f(0) = 1 , f(2) = − 15 Krümmungskontrolle: 49 f '' ( 2 ) = 32 − 16 > 0 d.h. T ( 2 | − 15 ) f '' ( −2 ) = −32 + 16 < 0

d. h. H ( −2 |

79 15

)

f '' ( 0 ) = 0 d.h. Verdacht auf Wendepunkt,

T

also Wendepunktskontrolle: f ''' ( 0 ) = −8

d.h. W1 ( 0 | 1) ist Wendepunkt mit waagerechter Tangente d.h. Terrassenpunkt.

(

)

Es gibt zwei weitere Wendepunkte: Aus f '' ( 0 ) = 0 ⇔ 4x x 2 − 2 = 0 folgen sie.

41123

B11

Ableitungsstory 3

f(x) =

1 12

37

x4 + x + 1

Ableitungen: f '(x) = 31 x 3 + 1; f ''(x) = x 2 und f‘‘‘(x) = 2x Wendepunkte: Nullstellen von f‘‘: f‘‘(x) = 0 d.h. x2 = 0 also x = 0 doppelte Nullstelle. Kontrolle: f‘‘‘(0) = 0. Daher Text: Da f‘‘ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, die ihren Scheitel bei 0 hat, sind links und rechts f f '' von 0 alle f '' -Werte positiv. Also hat f‘‘ bei 0 F keinen Zeichenwechsel und K auch keinen Wendepunkt. Der gefundene Punkt F ( 0 I 1 ) ist Flachpunkt. (Siehe Abbildung!) Gleichung der Tangente im Flachpunkt: y = x (gestrichelt !). Sie zeigt, weshalb man den Namen Flachpunkt benützen kann !

B12

f(x) = f '(x) =

1 4

1 20

x5 + x − 2

x4 + 1

f ''(x) = x 3 f '''(x) = 3x 2 Wendepunkte: Nullstellen von f‘‘: f‘‘(x) = 0 d.h. x3 = 0 also x = 0 dreifache Nullstelle. f‘‘‘(0) = 0 daher Text: Das Schaubild von f‘‘ ist die Wendeparabel y = x3 , die links von 0 negative und rechts von 0 positive Werte hat. f‘‘ hat also bei 0 einen Vorzeichenwechsel, d.h. W ( 0 I – 2 ) ist Wendepunkt von K. Da außerdem f ''' ( 0 ) = 0 , liegt ein Flachpunkt vor. Man sieht in beiden Abbildungen, warum solche Punkte mit f '' ( b ) = 0 und f ''' ( b ) = 0 Flachpunkte heißen: Zeichnet man dort die Tangente ein, verläuft die Kurve sehr lange dicht entlang der Tangente, also wenig gekrümmt.

f f ''

W

41123

Ableitungsstory 3

38

3.5 Aufgaben zu Terrassen- und Flachpunkten 6. Untersuche durch eine Rechnung wie auf der vorangehenden Seite die Schaubilder der gegebenen Funktionen NUR auf Terrassen- und Flachpunkte. (a)

f(x) =

1 4

x4

f(x) = x 4 − 8x

(b)

(a)

(c)

f(x) =

1 20

x5 + x

(b) (c)

d) f(x) = x 5 , (g)

f(x) = x 4 + x − 2

(e)

f(x) = 421 x 7 − 152 x 6 + x1 = 0 und x2 = 2

(e)

1 5

x5 −

16 35

x

(f)

f(x) =

(d)

1 12

x4 −

2 3

x 3 + 2x 2

Untersuche hier die Art der Kurvenpunkte bei

(f )

(g)

Die Lösungen finden Sie im Teil 4 (Datei 41124) auf der Mathematik-CD.

41123

Ableitungsstory 3

39

3.6 Extremwertbeweis ohne eine 2. Ableitung! oder bei Spitzextrempunkten Es gibt Funktionen, bei denen eine zweite Ableitung so mühsam zu erstellen ist, daß die Aufgabe lauten kann: Beweise nur mit Hilfe der 1. Ableitung, daß diese Funktion f bei x = a einen Hochpunkt hat. Wie beweist man das ? Oder man hat eine zusammengesetzte Funktion, die an der Nathstelle x = a einen Spitzhochpunkt hat (rechte Abbildung). Dann haben wir ja nicht einmal eine waagerechte Tangente ! Wie geht man dann vor ?

H

y

f (a) f (x)

a x1

U(a)

x2

x1

a U(a)

x x2

Die Methode ist in beiden Fällen dieselbe. Man klammert den Punkt H ( a | f ( a ) ) ganz aus und untersucht nur die Monotonie der Funktion.

] x1 : a [ a , also in ] a ; x 2 [ f ' ( x ) < 0

Wenn man zeigen , daß daß f in einem Intervall links von a, also z.B. in f ' ( x ) > 0 ist und in einem Intervall rechts von

ist, dann steigt die Kurve links von H und fällt rechts von H, also ist H ein Hochpunkt. Für Tiefpunkte geht man analog vor, nur wuß dann die Kurve links fallen und rechts steigen. Beispiele dazu folgen in der Datei Ableitungsfunktionen 3 (41103) bei einigen zusammengesetzten Funktionen.

Ableitungsstory - Lösungen

40

Zusammenstellung der Aufgaben: AUFGABEN aus 1.2 Seite 5 (1)

(2)

Berechne die Gleichungen der Tangenten in den Punkten A und B zu f(x) = − x 2 + 5x − 5 mit A ( 3 I ? ), B ( - 1 I ? ) (a) 3 2 (b) f(x) = 41 x − 52 x + 2x − 4 mit A ( - 2 I ? ) und B ( 4 I ? )

f(x) = − 161 x 4 + 41 x 2 + 1 mit A ( 2 I ? ) und B ( - 2 I ? ) (c) Berechne die Kurvenpunkte, in denen die Tangente die vorgegebene Steigung hat: (a) mit mT = - 3 f(x) = − 41 x 2 + x − 5

(b) (3)

f(x) =

1 3

x3 −

3 2

x 2 − 7x + 4 mit mT = 3

f(x) = 51 x 5 − 37 x 3 + 8x − 1 mit mT = - 4 (c) Berechne die Scheitel der Parabeln, die durch folgende Funktionen definiert werden: (a) (b) f(x) = −2x 2 + 4x + 5 f(x) = 41 x 2 + 4x − 5

AUFGABEN aus 1.4 Seite 10 (4)

Untersuche das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen (a) f(x) = 31 x 3 − x 2 − 8x + 263 (b)

f(x) =

1 8

x4 −

(a)

f(x) =

1 4

x 4 + x3

(b)

f(x) =

1 2

x 3 − 2x 2 +

(c)

f(x) =

1 5

x5 +

4 3

x 3 + 3x

(d)

f(x) =

1 5

x5 +

1 4

x4 −

1 2

x2 1 2

x+3

4 3

x 3 − 2x 2 + 3

AUFGABEN aus 2.4 Seite 15 (5)

Untersuche das Monotonieverhalten von f und das Krümmungsverhalten des Schaubilds K der Funktion f : a)

f(x) =

b)

f(x) = − 31 x 3 +

c)

f(x) =

1 4

x 4 − 2x 2 − 5

d)

f(x) =

1 8

x4 +

1 2

x 3 − x 2 − 6x

e)

f(x) =

1 2

x4 +

1 2

x−2

f)

f(x) =

1 5

x5 −

4 3

x3 + 1

1 4

x3 −

9 4

x2 + 1 2

15 4

x −1

x 2 + 2x − 1

Ableitungsstory - Lösungen

41

Nun die Aufgaben aus 1.2 Seite 5 (1)

(2)

Berechne die Gleichungen der Tangenten in den Punkten A und B zu (a) f(x) = − x 2 + 5x − 5 mit A ( 3 I ? ), B ( - 1 I ? ) 5 2 1 3 (b) f(x) = 4 x − 2 x + 2x − 4 mit A ( - 2 I ? ) und B ( 4 I ? ) f(x) = − 161 x 4 + 41 x 2 + 1 mit A ( 2 I ? ) und B ( - 2 I ? ) (c) Berechne die Kurvenpunkte, in denen die Tangente die vorgegebene Steigung hat: (a) mit mT = - 3 f(x) = − 41 x 2 + x − 5 (b)

(3)

f(x) =

1 3

x3 −

3 2

x 2 − 7x + 4 mit mT = 3

f(x) = 51 x 5 − 37 x 3 + 8x − 1 mit mT = - 4 (c) Berechne die Scheitel der Parabeln, die durch folgende Funktionen definiert werden: (a) (b) f(x) = −2x 2 + 4x + 5 f(x) = 41 x 2 + 4x − 5

Lösungen (1)

(a)

f(x) = − x + 5x − 5 2

f '(x) = −2x + 5

f(3) = - 9 + 15 – 5 = 1 d.h. A ( 3 I 1 ) f‘(3) = - 6 + 5 = - 1 d.h. mT,A = - 1. Tangente in A: y–1=-(x–3) TA: f(-1) = - 11 f‘(-1) = 7 Tangente in B:

(2)

y = -x + 4

d.h. B ( - 1 I – 11 ) d.h. mT,B = 7 y + 11 = 7 ( x – 1 ) TB: y = 7x – 4

(b)

f(x) = 41 x 3 − 52 x 2 + 2x − 4 f '(x) = 34 x 2 − 5x + 2 f(-2) = - 20, f(4) = - 20 d.h. A ( - 2 I - 20) , B ( 4 I – 20 ). f‘(-2) = 15, f‘(4) = - 6 d.h. mT,A = 15 und mT,B = - 6 Tangente in A: y + 20 = 15 ( x + 2 ) d.h. y = 15 x + 10 Tangente in B: y + 20 = - 6 ( x – 4 ) d.h. y = - 6x + 4

(c)

f(x) = − 161 x 4 + 41 x 2 + 1 f '(x) = − 41 x 3 + 21 x f(2) = 1 und f(-2) = 1 d.h. A ( 2 I 1 ) und B ( - 2 I 1 ). f‘(2) = - 1 und f‘(-2) = 1 d.h. mT,A = - 1 und mT,B = 1 Tangente in A: y-1=-(x-2) d.h. y = - x + 3 Tangente in B: y–1=x+2 d.h. y = x + 3

Berechnung der Kurvenpunkte mit vorgegebener Tangentensteigung: (a) f(x) = − 41 x 2 + x − 5 f ' ( x ) = − 21 x + 1 Wo ist mT = - 3 ? Bed.: f‘(x) = - 3 d.h. − 21 x + 1 = −3 ergibt x = 8 Dazu y = f(8) = - 13. Ergebnis: In P ( 8 I – 13 ) ist mT = - 3.

Ableitungsstory - Lösungen

(b)

f(x) =

1 3

x3 −

42

x 2 − 7x + 4

3 2

f '(x) = x 2 − 3x − 7

f‘(x) = 3 d.h. x 2 − 3x − 7 = 3 3 ± 9 + 40 3±7  5  d.h. x2 – 3x – 10 = 0 x1,2 = = =  2 2 −2 2 ⋅ 125 − 3 ⋅ 75 − 6 ⋅ 31 161 =− Dazu y1 = f(5) = 31 ⋅ 125 − 32 ⋅ 25 − 35 + 4 = 6 6 8 8 28 Und y 2 = f( −2) = − 3 − 6 + 14 + 4 = − 3 + 12 = 3 Wo ist mT = 3

Ergebnis: (c)

d.h.

Bed.:

(

In P1 5  −

161 6

)

(

) ist m

und in P2 −2  283

T

= 3.

f '(x) = x 4 − 7x 2 + 8 f(x) = 51 x 5 − 73 x 3 + 8x − 1 x4 – 7x2 + 8 = - 4 mT = - 4 bedeutet f‘(x) = - 4 d.h. d.h. x4 – 7x2 + 12 = 0 ergibt 7 ± 49 − 48 7 ± 1 4  = =  x2 = 2 2 3  Aus x2 = 4 folgt x1,2 = ±2 und aus x2 = 3 folgt x 3,4 = ± 3 . Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten: 3 ⋅ 32 − 5 ⋅ 56 + 15 ⋅ 15 41 y1 = f(2) = 51 ⋅ 32 − 73 ⋅ 8 + 16 − 1 = = 15 15 − 3 ⋅ 32 + 5 ⋅ 56 − 15 ⋅ 17 71 y 2 = f( −2) = − 51 ⋅ 32 + 37 ⋅ 8 − 16 − 1 = =− 15 15

y 3 = f( 3 ) = y3 =

14 5

1 5

( ) 3

5

−

7 3

( ) 3

3

+ 8 3 −1=

9 5

3 − 7 3 + 8 3 −1

3 −1

y 3 = f( − 3 ) = − 51

( ) 3

5

+

7 3

( ) 3

3

− 8 3 −1= −

9 5

3 + 7 3 − 8 3 −1

y 4 = − 145 3 − 1 Ergebnis: In folgenden vier Kurvenpunkten hat die Tangente die Steigungszahl – 4:

(

)

41 , P1 2 15

(3)

(

P2 −2  −

71 15

),

P3

(

)

(

3  145 3 − 1 , P4 − 3  −

14 5

)

3 −1

Berechne die Scheitel der Parabeln, die durch folgende Funktionen definiert werden: f '(x) = 21 x + 4 (e) f(x) = 41 x 2 + 4x − 5 1 Scheitelbedingung: mT = 0 d.h. f‘(x) = 0 d.h. x+4=0 2 Ergibt xS = - 8 und yS = f( - 8 ) = - 21 Ergebnis: S ( - 8 I – 21 ) 2 f(x) = −2x + 4x + 5 f '(x) = −4x + 4 (f) Scheitelbedingung: mT = 0 d.h. f‘(x) = 0 d.h. −4x + 4 = 0 Ergibt xS = 1 und yS = f(1) = 7 Ergebnis: S ( 1 I 7 ).

Ableitungsstory - Lösungen

43

Hier die Aufgaben aus 1.4 Seite 10 (4)

Untersuche das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen f(x) = 31 x 3 − x 2 − 8x + 263 (a) (b)

f(x) =

1 8

x4 −

(c)

f(x) =

1 4

x 4 + x3

(d)

f(x) =

1 2

x 3 − 2x 2 +

(e)

f(x) =

(f)

f(x) =

1 2

x2 1 2

x+3

1 5

5

x +

4 3

x + 3x

1 5

x +

1 4

x4 −

5

3

4 3

x 3 − 2x 2 + 3

Lösungen (a)

f(x) = x − x − 8x + f '(x) = x 2 − 2x − 8 Vorzeichenuntersuchung von f‘: 2 ± 4 + 32 2±6  4 = = Nullstellen von f‘ : x2 – 2x – 8 = 0 ergibt x1,2 = 2 2 −2 Das Schaubild von f‘ ist die nach oben geöffnete Parabel mit der Gleichung y = x2 – 3x – 8 und den Nullstellen – 2 und 4. Zwischen diesen Nullstellen hat f‘ daher negative Werte, im Außenbereich positive, d.h. es gilt: Für x < - 2 und x > 4 ist f‘(x) > 0 d.h. f wächst streng monoton. Für – 2 < x < 4 ist f‘(x) < 0, d.h. f fällt streng monoton. 1 3

3

2

26 3

Das Schaubild zeigt sowohl f wie auch die zu f‘ gehörende Parabel mit ihren Nullstellen bei – 2 und 4. Genau dort hat K eine waagerechte Tangente und die Extrempunkte H und T, zwischen denen die Kurve fällt, also f abnimmt.

H

T

Ableitungsstory - Lösungen

(b)

f(x) =

1 8

x4 −

1 2

44 f '(x) =

x2

Nullstellen von f‘:

1 2

1 2

x3 − x

x3 − x = 0

⇔

x 3 − 2x = 0

(

⇔

)

x ⋅ x2 − 2 = 0

x1 = 0 , x 2,3 = ± 2 Vorzeichentabelle für f‘ : − 2

x x2 - 2 f‘(x) f

0

−

− O + O − + − fällt

wächst

2

+

− − fällt

+ O+ +

x

wächst streng monoton

Die Abbildung zeigt f und f‘. Man kann die Nullstellen von f‘ erkennen. Sie liegen dort, wo das Schaubild von f waagerechte Tangenten hat, also an den beiden Tiefpunkten um im Hochpunkt, der in O liegt. Man sieht auch, daß dort, wo f‘ positive Werte hat, das Schaubild K von f steigt.

f' f H T2

T1

Ableitungsstory - Lösungen

(c)

f(x) =

1 4

45 f '(x) = x 3 + 3x 2

x 4 + x3

x 2 ⋅ (x + 3) = 0 Nullstellen von f‘: x1 doppelte Nullstelle von f‘ (also ohne Zeichenwechsel), x2 = - 3 Vorzeichentabelle für f‘ : -3 x2 x+3 f‘(x) f

+ − O − fällt

0

+

+ +

O + +

wächst

x

+ wächst streng monoton

Erg.: Für x < - 3 fällt f streng monoton. Für x > - 3 wächst f monoton, und zwar streng monoton in – 3 < x < 0 und für x > 0. Bemerkung: Wer schon mehr weiß, kann hier nochmals das Phänomen einer doppelten Nullstelle von f‘ beobachten. Einerseits ergibt eine Nullstelle von f‘ eine waagerechte Tangente für die Kurve (also das Schaubild von f ), andererseits aber ändert f‘ das Vorzeichen nicht, d.h. links und rechts von x = 0 wächst die Funktion.

Dies ergibt das Bild eines sogenannten Terrassenpunktes, der später auch noch als Wendepunkt mit waagerechter Tangente identifiziert werden wird. Man kann hier die Lösung auch ohne Vorzeichentabelle erreichen. Wenn man festgestellt hat, daß das Vorzeichen nur durch den Term (x+3) geändert wird, und zwar an der Stelle – 3,, dann ist das Ergebnis auch so klar.

Ableitungsstory - Lösungen

(d)

f(x) =

1 2

x 3 − 2x 2 +

46 1 2

x+3

Nullstellen von f‘ :

f '(x) = Bed.:

4 ± 16 − 4 ⋅ 32 ⋅

3 2

x 2 − 4x +

1 2

3 2

x 2 − 4x +

1 2

=0

4 ± 16 − 3 4 ± 13 = 3 3 3 Das Schaubild von f‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen dar. F‘ hat also zwischen den Nullstellen negative Werte und im Außenbereich positive Werte. x1,2 =

Ergebnis:

1 2

=

4− 3 4+ 3 ist f‘(x) > 0, d.h. dort 3 3 wächst f streng monoton.

Für

Nachfolgende Abbildung zeigt die f‘ – Parabel mit ihren beiden Nullstellen, zwischen denen dann auch die Kurve K fällt.

Bemerkung: Diese Aufgabe ist wieder einmal ein Beispiel dafür, daß die Lösung von quadratischen Gleichungen nicht mit der sogenannten p-q-Formel durchgeführt werden sollte. Hier wird immer die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit Hilfe der Formel −b ± b2 − 4ac 2a durchgeführt. x1,2 =

Übungen dazu gibt es reichlich in der Datei „Gleichungen 1“

4+ 3 3

Ableitungsstory - Lösungen

(e)

f(x) =

1 5

x5 +

4 3

x 3 + 3x

47 f '(x) = x 4 + 4x 2 + 3

x 4 + 4x 2 + 3 = 0 Nullstellen von f‘: Diese Gleichung ist eine biquadratische Gleichung, d.h. eine quadratische Gleichung für x2 . Die Lösungsformel der quadratischen Gleichung liefert Daher x2 statt x: −4 ± 16 − 12 −4 ± 2  −1 = = x2 = 2 2  −3 2 2 Aus x = - 1 und aus x = - 3 folgen jedoch keine reellen Lösungen. Die Funktion f‘ hat daher keine Nullstellen. Das Schaubild von f‘ stellt somit eine nach oben geöffnete Kurve 4. Grades dar, die keine Nullstellen hat-. Folglich liegt sie ganz oberhalb der x-Achse. f‘ hat daher nur positive Werte! Ergebnis: Da für alle reellen Zahlen f‘(x) > 0 ist, steigt f immer streng monoton.

f'

f

Ableitungsstory - Lösungen

(f)

f(x) =

1 5

x5 +

1 4

x4 −

48 4 3

f '(x) = x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x

x 3 − 2x 2 + 3

x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x = 0 Nullstellen von f‘ : 1. Schritt: Ausklammern von x: x(x 3 + x 2 − 4x − 4) = 0 liefert x1 = 0. 2. Schritt: Nullstellen der Klammer finden. Probierlösung ist x2 = - 1. Nun muß man den Faktor ( x + 1 ) ausklammern. Dies geschieht entweder durch Polynomdivision oder durch das Hornerschema. Beides wird hier gezeigt. Ausklammern von (x+1) durch Polynomdivison: (x3 + x2 – 4x – 4 ) : (x + 1 ) = x2 – 4 - (x3 + x2 ) 0 - 4x - 4 - ( - 4x – 4 ) 0

Daher besitzt f‘ vier Nullstellen: x1 = 0, x2 = - 1, x3 = -2, x4 = 2.

Ergebnis: (x3 + x2 – 4x – 4) = ( x+1)(x2 – 4 )

Ausklammern von (x+1) mittels Horner-Schema: 1 0

1 -1

-4 0

-4 4

1

0

-4

0

Die Funktion f‘ kann man daher in Produktform schreiben: f '(x) = x(x + 1)(x 2 − 4) f '(x) = x(x + 1)(x + 2)(x − 2)

Jede dieser Nullstellen ist einfach, d.h. f‘ wechselt dort das Vorzeichen. Dies wird in einer Vorzeichentabelle ermittelt:

x=-1 Erg.: (x3 + x2 – 4x – 4 ) = ( x+1) ( 1x2 – 4 )

x x+1 x+2 x-2 f‘(x)

− −

-2

0

− − O + − O + +

− O + − − − +

Ergebnis:

-1

2

+ +

+

+

−

− O + − +

+

+

x

f

f wächst streng monoton für x < - 2 , - 1 < x < 0 und x > 2. f fällt streng monoton für - 2 < x < - 1 und 0 < x < 2.

f'

Ableitungsstory - Lösungen

49

Hier die Aufgaben aus 2.4 Seite 19 (5)

Untersuche das Monotonieverhalten von f und das Krümmungsverhalten des Schaubilds K der Funktion f : a)

f(x) =

b)

f(x) = − 31 x 3 +

c)

f(x) =

1 4

x 4 − 2x 2 − 5

d)

f(x) =

1 8

x4 +

1 2

x 3 − x 2 − 6x

e)

f(x) =

1 2

x4 +

1 2

x−2

f)

f(x) =

1 5

x5 −

4 3

x3 + 1

1 4

x3 −

x2 + 1 2

15 4

x −1

x 2 + 2x − 1

Lösungen x + 154 x − 1

(a)

f(x) =

1.

f '(x) = 34 x 2 − 92 x + 154 und f ''(x) = 32 x − 92 Monotonieverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘ ). 3 x 2 − 92 x + 154 = 0  ⋅ 2 !! Nullstellen von f‘ : 4

1 4

x −

9 4

3

9 4

2

3 2

9 ± 81 − 4 ⋅ 32 ⋅ 152

x 2 − 9x +

15 2

=0

9 ± 81 − 45 9 ± 6 5  = =  3 3 3  1 Das Schaubild von f‘ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 1 und 5. Zwischen diesen Nullstellen hat folglich f‘ negative Werte, außen positive. Ergebnis: Für x < 1 und x > 5 ist f‘(x) > 0, d.h. f steigt streng monoton. Für 1 < x < 5 ist f‘(x) < 0, d.h. f fällt dort streng monoton. x1,2 =

2.

=

Krümmungsverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘) Nullstelle von f‘‘ : 32 x − 92 = 0  ⋅ 32 ergibt x = 3. Das Schaubild von f‘‘ ist eine steigende Gerade mit der Nullstelle 3. Daher sind die Werte von f‘‘ für x > 3 positiv, d.h. für x > 3 hat K Linkskrümmung und für x < 3 ist f‘‘(x) < 0, d.h. K hat dort Rechtskrümmung.

Ableitungsstory - Lösungen

50

(b)

f(x) = − 31 x 3 + 1.

1 2

x 2 + 2x − 1

f '(x) = − x 2 + x + 2 und f‘‘(x) = - 2x + 1 Monotonieverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘ ). − x 2 + x + 2 = 0  ⋅ ( −1) Nullstellen von f‘ : 1± 1+ 8 1± 3  2 = = 2 2 −1 Das Schaubild von f‘ stellt eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen – 1 und 2 dar. f‘ hat daher zwischen den Nullstellen positive Werte und außen negative. Erg.: Für x < - 1 und x > 2 ist f‘(x) < 0 d.h. f fällt streng monoton. Für - 1 < x < 2 ist f‘(x) > 0, d.h. f steigt dort streng monoton.

x2 − x − 2 = 0

3.

x1,2 =

Krümmungsverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ ). Nullstelle von f‘‘: x = 21 . f‘‘ stellt eine fallende Gerade dar. Also hat sie rechts von ihrer Nullstelle negative Werte, und links davon positive. Ergebnis: Für x > 21 ist f‘‘(x) < 0, d.h. K hat dort Rechtskrümmung. Für x < 21 ist f‘‘(x) > 0, d.h. K hat dort Linkskrümmung.

Man sieht die Gerade, die zu f‘‘ gehört, deren Nullstelle ist bei x = 21 . Dort hat die Kurve K auch einen Wendepunkt. (Daß dieser auf der x-Achse liegt, also ganz mit der Nullstelle von f‘‘ zusammenfällt, ist Zufall). Links vom Wendepunkt W hat K Linkskrümmung, rechts davon Rechtskrümmung, Außerdem erkennt man, daß K zwischen den Nullstellen der Parabel (wo f‘ positive Werte hat, ansteigt !

H f'

W

T

f ''

f

Ableitungsstory - Lösungen

51

c)

f(x) =

x 4 − 2x 2 − 5

1 4

f '(x) = x 3 − 4x 1.

f‘‘(x) = 3x2 – 4

und

Monotonieverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘ ): Nullstellen von f‘: x ( x2 – 4 ) = 0 ergibt x1 = 0, x2 = -2 und x3 = 2 Vorzeichentabelle für f‘ : -2 0 2 Der Term x2 – 4 stellt eine Parabel dar, die nach oben geöffnet ist und O x zwischen ihren Nullstellen 2 und – 2 x x2 – 4 O O negative Werte hat. Man könnte statt dieses Terms auch f‘(x) zwei lineare Terme x + 2 und x – 2 in die Vorzeichentabelle einbauen.

−

− −

−

+

+

2.

+

− −

+ + +

Krümmungsverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ ): Nullstellen von f‘‘ : 3x2 – 4 = 0 ergibt x1,2 = ± 34 = ± 32 3

f‘‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit diesen zwei Nullstellen dar. f‘‘ hat daher zwischen diesen Nullstellen negative Werte, daher gilt: Ergebnis: Für − 34 < x
34

f

ist f‘‘(x) > 0, d.h. K hat Linkskrümmung.

f'

Zusätzlich haben wir damit zwei WendePunkte gefunden, sie liegen dort, wo1 f‘‘ Zeichenwechsel hat: x1,2 = ± 34 = ± 32 3 Berechnung der y-Koordinaten dazu:

(

f ±

4 3

)=

1 4

⋅

16 9

− 2⋅

4 3

−5 =

4 9

−

8 3

−5

f ′′

= 4−−249 − 45 = − 659 ≈ −7,2 Ergebnis: K hat die Wendepunkte W1,2 ( ±

4 3

−

65 9

(

) ≈ ±1,2  − 7,2

)

W1

W2

Ableitungsstory - Lösungen

52

d)

f(x) =

1.

x +

x − x − 6x

2 1 4 1 3 8 2 2 3 1 3 f '(x) = 2 x + 2 x − 2x − 6 und f ''(x) = 32 x 2 + 3x − 2 Monotonieverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘ ): 1 3 x + 32 x 2 − 2x − 6 = 0  ⋅ 2 x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = 0 (*) Nullstellen von f': 2 Probierlösung: x1 = 2. Ausklammern des Linearfaktors ( x – 2 )

(1) durch Polynomdivision:

(2)

(x3 + 3x2 – 4x - 12) : ( x – 2 ) = x2 + 5x + 6 - (x3 – 2x2 ) 5x2‘ – 4x - (5x2 – 10x ) 6x + 12 - ( 6x - 12 ) 0

mittels Horner-Schema: 1

3

-4

-12

0

2

10

12

1

5

6

0

x=2

(*) läßt sich daher so schreiben: ( x – 2 )( x2 + 5x + 6 ) = 0 Restliche Nullstellen aus x2 + 5x + 6 = 0 : −5 ± 25 − 24 −5 ± 1  −2  x 2,3 = = =  2 2 −3  1 Produktdarstellung von f‘: f‘(x) = 2 (x − 2)(x + 2)(x + 3) Achtung: Der Faktor

1 2

ist der ursprüngliche Koeffizient von x3 in f' , daher muß er hier als Faktor dazu kommen!

Vorzeichentabelle für f‘ : -3 -2 x+3 x+2 x–2 f‘(x) 2.

− − − −

+

O

− −

O

+

2

+ +

− −

+ x + + +

O

Erg.: Für x < - 3 und -2 < x < 2 ist f‘(x) < 0 und f fällt streng monoton. Für – 3 < x < -2 und x > 3 ist f‘(x) > 0 und f wächst streng monoton.

Krümmungsverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ ): Nullstellen von f‘‘ : 32 x 2 + 3x − 2 = 0 −3 ± 9 − 4 ⋅ 32 ⋅ ( −2)

−3 ± 21 1 = −1 ± 21 3 3 3 f‘‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen dar. Also hat f‘‘ zwischen diesen Nullstellen negative Werte, außen positive. Daher gilt: x1,2 =

Für −1 −

1 3

Für x < −1 −

21 < x < −1 + 1 3

21

=

1 3

21 ist f‘‘(x) < 0 d.h. K hat Rechtskrümmung.

und x
0: Linkskrümmung!

Ableitungsstory - Lösungen

53

Und hier die Schaubilder zu f, f‘ und f‘‘ für f(x) =

1 8

x4 +

1 2

x 3 − x 2 − 6x

W1

W2

Man muß diese Zeichnung genau studieren und alle Zusammenhänge entdecken: Dort wo f‘ eine Nullstelle hat, hat das Schaubild K von f eine waagerechte Tangente. Dort wo f‘ unterhalb der x-Achse verläuft, steigt die Kurve K ! Dort wo f‘‘ negative Werte hat, hat K Rechtskrümmung, positive Werte gehört zur Linkskrümmung. Und schließlich liegen die Wendepunkte von K dort, wo sich die Krümmung ändert, und dies ist hier an den zwei Nullstellen von f‘‘ der Fall!. Von dort führt eine vertikale blaue gestrichelte Linie zu den Wendepunkten W1 und W2 .

Ableitungsstory - Lösungen

54

e)

f(x) =

1 2

f '(x) = 2x 3 + 1.

x4 +

x−2

1 2

f‘‘(x) = 6x2 .

und

1 2

Monotonieverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘ ): Nullstellen von f‘: 2x 3 + 21 = 0  ⋅ 2 ⇔ 4x 3 = −1 ⇔ x 3 = − x = −3 f‘(x) > 0 heißt 2x 3 +

1 2

1 4

>0

= −3

2 8

d.h.

=−

1 3 2

x>−

2 ≈ −0,63 1 3 2

2

d.h. Dort wächst f streng monoton, und für x < − 2.

1 4

1 3 2

2

fällt f streng monoton.

Krümmungsverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ ): Nullstellen von f‘‘: 6x2 = 0 d.h. x = 0. Da dies eine doppelte Nullstelle ist, liegt kein Zeichenwechsel vor. Man erkennt auch so, daß f‘‘(x) = 6x2 nie negative Werte hat. Erg.: Für x >0 oder x < 0 ist f‘‘(x) > 0 d.h. K hat Linkskrümmung. Bei x = 0 liegt ein Flachpunkt vor: F ( 0 I - 2 )

Ableitungsstory - Lösungen

55

f)

f(x) =

x −

x +1

1 5 4 3 5 3 4 2 2 f '(x) = x − 4x = x ⋅ ( x 2 − 4 ) = x 2 ⋅ ( x − 2 )( x + 2 )

(

(

)

f ''(x) = 4x 3 − 8x = 4x ⋅ x 2 − 2 = 4x ⋅ x − 2

1.

)( x + 2 )

Monotonieverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘ ): Durch die Produktzerlegung erkennt man sofort die Nullstellen von f‘: x1 = 0, x2 = 2 und x3 = - 2. Die Form f '(x) = x 2 ⋅ x 2 − 4 läßt auch sofort die Vorzeichen erkennen:

(

2

)

2

x wird nie negativ und x – 4 nur zwischen den Nullstellen 2 und – 2. Also gilt: Für - 2 < x < 0 und für 0 < x < 2 ist f‘(x) < 0, d.h. f fällt streng monoton. Für x < - 2 und x > 2 ist f‘(x) > 0 und f wächst streng monoton. 2.

Krümmungsverhalten (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ ): Die Nullstellen von f‘‘ sind 0 und ± 2 . Vorzeichentabelle: − 2

4x 2

x -2 f‘‘(x)

−

+

−

O

0

− −

+

O

2

+

− −

O

+ + +

x

Ergebnis: Für x < − 2 oder 0 2 ist f‘‘(x) > 0 d.h. K hat Linkskrümmung.

f'

f f ''

Ableitungsstory - Lösungen

56

Hier die Aufgaben aus 3.5 Seite 32 (6) Untersuche durch eine Rechnung wie auf der vorangehenden Seite die Schaubilder der gegebenen Funktionen NUR auf Terrassen- und Flachpunkte. (b) f(x) = x 4 − 8x (c) f(x) = 201 x 5 + x (a) f(x) = 41 x 4 (d)

f(x) = x 5

(g)

f(x) = 421 x 7 − 152 x 6 + 51 x 5 − 16 x 35 Untersuche hier die Art der Kurvenpunkte bei x1 = 0 und x2 = 2

(e)

f(x) = x 4 + x − 2

(f)

f(x) =

1 12

x4 −

2 3

x 3 + 2x 2

Lösungen (a)

f(x) =

1 4

f '(x) = x 3

x4

f ''(x) = 3x 2

f‘‘‘(x) = 6x

f‘(x) = 0 ergibt x = 0 (dreifache Lösung) Bed. für waagerechte Tangenten: 1. Kontrolle: f‘‘(0) = 0 d.h. Verdacht auf Wendepunkt 2. Kontrolle: f‘‘‘(0) = 0 Problem !!! Bei genauem Hinsehen erkennt man, daß f‘‘ die doppelte Nullstelle x = 0 hat, d.h. f‘‘ hat bei 0 keinen Zeichenwechsel, also liegt kein Krümmungswechsel vor. Ergebnis: Das Schaubild K von f hat bei x = 0 einen Flachpunkt mit waagerechter Tangente (denn auch f‘(0) = 0 ! ). Da ferner f(0) = 0 ist, lautet der Flachpunkt: F ( 0 I 0 ). (b)

f(x) = x 4 − 8x

f '(x) = 4x 3 − 8

Bed. für waagerechte Tangenten: x3 = 2 1. Kontrolle:

f ''

( 2)>0 3

d.h.

f ''(x) = 12x 2

f '''(x) = 36x

f‘(x) = 0 ergibt d.h. x = 3 2 bei x = 3 2 hat K einen Tiefpunkt.

Bedingung für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 d.h. 3x2 = 0 ergibt x = 0. Da f‘‘ bei 0 eine doppelte Lösung hat, liegt kein Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei x=0 hat K keinen Wendepunkt, sondern einen Flachpunkt. also F ( 0 I 0 ). yF = f(0) = 0 Bemerkung: Die Tangentensteigung in F ist f‘(0) = - 8 also hat die Tangente in F Die Gleichung y = - 8x. Diese Tangente ist in der zugehörigen Abbildung auf Seite 32 eingezeichnet. Man beobachtet, daß die Kurve K in einem relativ großen Intervall um F ziemlich nahe dieser Tangente verläuft. Daher wird hier optisch klar, weshalb man von einem Flachpunkt spricht. (c)

f(x) =

1 20

x5 + x

f '(x) =

1 4

x4 + 1

f ''(x) = x 3

f‘‘‘(x) = 3x2

f‘(x) = 0 ergibt x4 = - 4 Bed. für waagerechte Tangenten: 4 Da x nie negativ werden kann, hat diese Gleichung keine Lösung, d.h. es gibt keine Punkte mit waagerechten Tangenten. Bedingung für Wendepunkte:

f‘‘(x) = 0

d.h.

x3 = 0

ergibt x = 0.

Diese dreifache Nullstelle von f‘‘ beschert f‘‘ Vorzeichenwechsel, so daß ein Wendepunkt vorliegt. Da die Kontrolle f‘‘‘(0) = 0 liefert, ist es dieser Wendepunkt außerdem ein Flachpunkt. F ( 0 I 0 ) mit der Tangente y = x. (Siehe Abbildung Seite 32).

Ableitungsstory - Lösungen

(d)

57

f‘(x) = 5x4

f(x) = x 5

f‘‘(x) = 20x3 f‘‘‘(x) = 60x2

Ohne große Rechnungen sieht man folgendes: f‘ hat ihre einzige Nullstelle bei x = 0, in O (0 I 0) liegt also eine waagerechte Tangente vor. Für x ≠ 0 ist f‘(x) > 0, d.h. außer in O steigt die Kurve stets an, f wächst also streng monoton außer bei 0. f‘‘ hat bei 0 eine dreifache Nullstelle, d.h. dort liegt für f‘‘ Zeichenwechsel vor, also ist O zugleich ein Wendepunkt. Da aber auch die Kontrolle f‘‘‘(0) = 0 liefert, ist O zugleich ein Flachpunkt. O ist also ein Wendeflachpunkt mit waagerechter Tangente, also zugleich auch noch ein Terrassenpunkt! (e)

f(x) = x 4 + x − 2

f '(x) = 4x 3 + 1

Bed. für waagerechte Tangenten: x = −3

1 4

f ''(x) = 12x 2

f‘‘‘(x)= 24x

f‘(x) = 0 ergibt 4x3 = - 1 = − 3 82 = − 21 3 2

f ''( − 21 3 2 ) = 12 ⋅ 41 ⋅ 3 4 = 3 ⋅ 3 4 > 0 K hat dort einen Tiefpunkt. (Die y-Koordinate wäre noch zu berechnen)

Kontrolle:

Bedingung für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 d.h. x2 = 0 ergibt x = 0. Da f‘‘ bei 0 eine doppelte Nullstelle hat, liegt kein Wendepunkt sondern ein Flachpunkt vor: F ( 0 I – 2 ) (f)

f(x) =

1 12

x4 −

2 3

x 3 + 2x 2

f ''(x) = x 2 − 4x + 4

f '(x) =

1 3

x 3 − 2x 2 + 4x

f '''(x) = 2x − 4

Bed. für waagerechte Tangenten: x 3 − 6x 2 + 12x = 0

f‘(x) = 0 ergibt

(

1 3

)

x 3 − 2x 2 + 4x = 0  ⋅ 3

x ⋅ x 2 − 6x + 12 = 0

6 ± 36 − 48 ∉R 2 f‘ hat also nur die Nullstelle x1 = 0 mit f(0) = 0 und f‘‘(0) = 4 > 0. Dies ergibt für K den Tiefpunkt T ( 0 I 0 ). Erste Lösung x1 = 0. Klammerlösung:

x 2,3 =

Bedingung für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 d.h x 2 − 4x + 4 = 0 4 ± 16 − 16 x1,2 = = 2 als doppelte Lösung. ergibt 2 Übrigens geht dies schneller, wenn man erkennt, daß f‘‘ = (x – 2)2 ist !!!! Diese doppelte Lösung von f‘‘ bewirkt keinen Zeichenwechsel von f‘‘ bei 2, also liegt dort ein Flachpunkt und kein Wendepunkt. f(2) = 121 ⋅ 16 − 32 ⋅ 8 + 8 = 34 − 163 + 8 = −4 + 8 = 4 Ergebnis: F ( 2 I 4 ).

Ableitungsstory - Lösungen

(g)

f(x) =

1 42

x7 −

2 15

x6 +

58 1 5

x5 −

16 35

f '(x) =

x

1 6

x6 −

4 5

x5 + x 4 −

16 35

f ''(x) = x 5 − 4x 4 + 4x 3

f '''(x) = 5x 4 − 16x 3 + 12x 2

f IV (x) = 20x 3 − 48x 2 + 24x

f V (x) = 60x 2 − 96x + 24

Die Aufgabenstellung verlangt die Untersuchung der Stellen 0 und 2. f(0) = 0,

f '(0) = − 16 35

f‘‘(0) = 0 und f‘‘‘(0) = 0.

Im Punkt O ( 0 I 0 ) hat K eine fallende Tangente mit der Gleichung y = − 16 x, 35 3 Da f‘‘(x) den Faktor x enthält, ist 0 eine dreifache Nullstelle von f‘‘, was zu einem flachen Wendepunkt führt. (Man kann auch zeigen: da erstmalig fV(0) ≠ 0 wird, (was dieselbe Aussagekraft hat wie f‘‘‘(0) ≠ 0 liegt ein Wendepunkt vor) Für x = 2 gilt folgendes: f‘(2) ≠ 0, f‘‘(2) = 32 – 64 + 32 = 0.

f‘‘‘(2) = 80 – 128 + 48 = 0

(jetzt wissen wir schon, daß ein Flachpunkt vorliegt). Um herauszufinden, eine wievielfache Nullstelle x = 2 von f‘‘ ist, zerlegen wir f‘‘ in Linearfaktoren und erhalten ganz einfach

(

)

f ''(x) = x 5 − 4x 4 + 4x 3 = x 3 ⋅ x 2 − 4x + 4 = x 3 ⋅ ( x − 2 )

2

Hieraus erkennt man, daß f‘‘ bei 0 eine dreifache und bei 2 eine doppelte Nullstelle hat. Also wird klar, daß wir bei 0 Zeichenwechsel erhalten, nicht aber bei 2, d.h. Bei 0 finden wir einen Wende(flach)punkt, bei 2 „nur“ einen Flachpunkt.