IDEAS PREVIAS. 1. Planos paralelos. 2.Planos perpendiculares

IDEAS PREVIAS 1. Planos paralelos. 2.Planos perpendiculares 3.Planos oblicuos. CUERPO GEOMÉTRICO Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geo...
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IDEAS PREVIAS 1. Planos paralelos.

2.Planos perpendiculares

3.Planos oblicuos.

CUERPO GEOMÉTRICO Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

1.- Prismas Los prismas son poliedros que tienen:

Prisma triangular

 dos caras paralelas que son polígonos iguales, y

Prisma pentagonal Base

 las caras restantes paralelogramos.

Base: 3 lados

Arista básica Cara lateral

Arista lateral

Altura Prisma rectangular

Prisma hexagonal Base Base: 5 lados Los elementos fundamentales de un prisma se indican para el caso del prisma pentagonal

Base: 4 lados

Base: 6 lados

2.- Pirámides La pirámides son poliedros que tiene:  una cara que es un polígono, y  las caras restantes triángulos que se encuentran en el vértice. Las caras de la pirámide forman la superficie piramidal.

En las pirámides, las caras laterales son siempre triángulos. Por tanto, para distinguirlas y nombrarlas se utiliza el polígono de la base.

Pirámide triangular

Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

Pirámide hexagonal

Base: 3 lados

Base: 4 lados

Base: 5 lados

Base: 6 lados

3.- POLIEDROS REGULARES

• Las figuras que están a la izquierda son poliedros. • Las caras que limitan al poliedro son polígonos. • Las aristas son los lados de las caras; cada dos caras contiguas tienen una arista en común. • Los vértices son los puntos donde concurren tres o más caras.

Un poliedro es la región del espacio determinada por polígonos. Las caras del poliedro forman la superficie del poliedro. Un poliedro es regular cuando sus caras son iguales y en cada vértice concurre el mismo número de aristas (o caras). Sólo existen cinco poliedros regulares.

(Entre paréntesis se indica el número de caras)

Cuerpos geométricos se clasifican

Cuerpos redondos

Poliedros “Todas sus caras son planas”

“Tienen al menos una cara curva”

Elementos

Elementos

Caras

Aristas

Vértice

Radio Basal

Altura

Base

basales

laterales Radio basal

Altura

Base

PRISMA Es el sólido geométrico que tiene dos regiones poligonales congruentes y situados en planos paralelos. Siendo las otras caras regiones paralelográmicas, llamadas caras laterales.

ELEMENTOS DEL PRISMA: Bases: ABCDE y FGHIJ Aristas: BG, FA, JE, ……

Altura: Es el segmento perpendicular a las bases.

CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS. 1.

Prisma recto: Cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.

2. Prisma oblicuo: Cuando sus aristas laterales no son perpendiculares.

3. Prisma regular: Es prisma recto, cuyas bases son polígonos regulares.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA ORTOGONAL

Área lateral (A L )

A BASE AL =

Perímetro Base

x

h

h: Altura del prisma

h

Área total (A T ) A T = A L + 2A Base A BASE Volumen (V) V=A

Base x

Altura

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR O ORTOEDRO. Es aquel paralelepípedo recto, cuyas caras son todas rectangulares. c

D

a

A = 2(ab + ac + bc) D2 = a 2 + b 2 + c 2 V = abc

b

Problemas resueltos:

1. Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un rectángulo de dimensiones 4 m y 5 m y cuya altura es 12 m. Desarrollo:

 perímetro  AL   h  base 

AL  1812  216m 2

AT  AL  2 Abase

12

AT  216m 2  2  20m 2 

5 4

AT  256m 2

V  Abase  h V  20m 2 12m

V  240m3

2. Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un triángulo regular de dimensiones de 4 m de lado y 10m de altura.

 perímetro  AL   h  base 

Desarrollo:

AL  12 10m 2  120m 2

AT  AL  2 Abase Hallan do el área de la base: 10

L2 3 A 4



4 4

A  4 3m

AT  120m 2  2 4 3m 2 4

AT  120m 2  8 3m 2





AT  8 15  3 m 2



2

V  Abase  h V  4 3m 2 10m

V  40 3m

3

3. Encuentra la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son: 5, 3 y 2 m. Desarrollo:

d  a 2  b2  c2 d  52  32  22

2

3 5

d  38m

2

4. En el prisma regular mostrado, hallar el área total.

3

6

3

6

6

3

AT  AL  2 Abase Desarrollo: Como la base es un triángulo equilátero, entonces las caras son cuadrados de lado 6.

 62 3  AT  18  6   2    4 

AT  18  6   18 3



AT  18 6  3



CILINDRO: Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos secantes a dicha superficie.

Altura

Generatriz

Base

CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS 1.

Cilindro recto: 2. Cilindro oblicuo: Es el cilindro donde las generatrices Es el cilindro donde las generatrices son perpendiculares a los planos no son perpendiculares de las bases. a los planos de las bases.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO RECTO

Área lateral (A L )

ABASE

Generatriz

A L = 2rg g

Área total (A T ) A T = A L + 2A Base A T = 2r(g + r)

r

Volumen (V) g : Generatriz r : Radio de las bases

V = r 2g

Ejemplos diversos 1.

Halla el área lateral , total y volumen de un cilindro recto que tiene como base un círculo de 3 cm de radio 18 cm de altura.

Desarrollo:

AL  2 rg AL  2  318  AL  108 cm 2

AT  AL  2 Abase AT  108 cm 2  2  9 cm 2 

AT  126 cm 2

V  r g 2

V  3 18 2

V  162 cm3

3.La figura indica el desarrollo de una pirámide triangular regular. Calcular su área lateral.

2

2 3

1 ap  3 Desarrollo: Pide:

AL  pbase  ap. P =3

AL  3 3

1

CONO: es el solido que se determina al trazar un plano secante a una superficie cónica.

Vértice Generatriz Altura g

h r

g h r

ÁREA LATERAL (AL)

A L =  r.g

g

g

h

ÁREA TOTAL (AT)

O

A T = r . (g + r)

r

Desarrollo lateral del cono

g VOLUMEN (V)

1 r 2. h V= 3

g

h

g

 2r

r

=

2 r g

Ejemplos diversos: 1.Hallar la razón entre área lateral y volumen del cono recto, si: r = 4.

A L =  r.g

30°

AL  4  8

4 3 60°

AL  32

4

1 r 2. h V= 3 60°

r

Desarrollo: Pide:

AL V





1 2 V  . 4 4 3  3

64 3 V . 3 La razón es:

8

3 2

2. El radio de la base de un cono mide 4 cm y la altura es de 3 cm. Calcular el valor de su área total y volumen

A T = r . (g + r)

AT   4  5  4  AT  36 cm 2

Desarrollo: C

1 r 2. h V= 3 5

3

A

4

1 2 V    4   3 3 B

V  16 cm

3

3. Si la diferencia de cuadrados entre la generatriz y la altura de un cono recto es 225 dm y la generatriz mide 25 dm, hallar el ángulo de desarrollo de la superficie lateral del cono.

Por dato:

g 2  h 2  225

25  h  225 2

2

625  h 2  225

Desarrollo:

h = 20 dm

25 h

37°

25

20

53° r

15 Respuesta: 74°

4.En el gráfico halla el volumen del cono de revolución, si el volumen del cilindro es 30cm 2

2r

r

30cm3   r 2 h Desarrollo:

r

30cm3   r 2 h

Vcono  40cm3 1 Vcono  4 r 2 h 3 1 Vcono  .4  30  3

Vcono  40cm3

ESFERA: es el solido limitado por una superficie en la que todas sus puntos equidistan de un punto interior denominado centro.

Círculo menor

R

Círculo mayor o máximo

2R R

A = 4R

2

3 V = 4 R 3

Ejemplos diversos 1. El radio de una esfera es de 6 dm. Calcule su área y volumen. Desarrollo:

6

Aesf  4 R

Aesf  144 dm

Vesf

4 3  R 3

Vesf

4 3  6 3

2

Vesf  288 dm 2

Aesf  4 6

2

3

2.Halla el volumen de una esfera de 10 cm de diámetro. Desarrollo:

Vesf

100 3   cm 3

Vesf

4 3  5 3

10

Vesf

r = 5 cm

100 3   cm 3

2.Halla el volumen de una esfera inscrita en un cono equilátero de altura 6m

Desarrollo:

h = 3r 6 = 3r r=2

30°

Vesf

2r r O

32 3   cm 3

Vesf

4 3    2 3

Vesf

32 3   cm 3