Staatsexamensaufgabe 2004/I,3 - Teilaufgabe 3 Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des Flächeninhalts des Kreises. Sachanalyse Die Sachanalyse wurde bereits in Aufgabenteil 1 behandelt. Zusammenfassend kann man an dieser Stelle jedoch festhalten:

Eine Punkmenge 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) = {𝑥𝑥 ∈ ℝ ∶ ����� 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑟𝑟} mit einem Punkt M (dem sog. Mittelpunkt) und einer Strecke r heißt Kreis um den Mittelpunkt M mit Radius r.

Zu einem vorgegebenen Radius r lassen sich Umfang U und Flächeninhalt A eines Kreises berechnen über 𝑈𝑈 = 2 ⋅ 𝜋𝜋 ⋅ 𝑟𝑟 u 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 ⋅ 𝑟𝑟 2 .nd

Lernvoraussetzungen ­ ­ ­ ­

Die Schülerinnen und Schüler kennen die Begriffe Kreis, Kreisfläche, Durchmesser, Radius, Umfang. Sie können zu gegebenem Radius den Kreisumfang berechnen und umgekehrt. 𝑈𝑈

Sie wissen, dass der Quotient 𝑑𝑑 mit U als Umfang und d als Durchmesser eine Konstante ist.

Sie erkennen Eigenschaften direkter Proportionalitäten in Graphen und Tabellen.

Lernziele Grobziel: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Formel 𝑑𝑑 2 𝐴𝐴 = 3,14 ⋅ 𝑟𝑟 2 = 3,14 ⋅ � � 2

zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises kennen, anwenden und interpretieren können.

Feinziele: Die Schülerinnen und Schüler sollen ­ ­ ­ ­ ­

die Flächeninhaltsformel funktional als quadratischen Zusammenhang interpretieren können, Flächen näherungsweise – aber so genau wie möglich – bestimmen können, die Fertigkeit exakten Abmessens einüben, Methoden zum Abschätzen und näherungsweisen Berechnen von Flächeninhalten (Messen als Messen-durch-Auslegen-und-Zählen bzw. Messen-durch-Vergleich) kennenlernen und die Methode der Einschachtelung unbekannter Größen durch bekannte Größen kennenlernen.

Unterrichtsverlauf Einstieg in die Problemstellung

Wir nehmen an, dass sich die hier beschriebene Unterrichteinheit direkt an die Einheit der experimentellen Bestimmung der Umfangsformel 𝑈𝑈 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 𝑟𝑟

anschließt; die "Kreiszahl" wurde dabei als konstanter empirischer Wert eingeführt. Zum Einstieg sollten daher das in der letzten Unterrichtseinheit erworbene Wissen aktiviert und die Begriffe Radius, Durchmesser und Umfang wiederholt werden. Hierfür wird die Tabelle mit den Messwerten für die zur Umfangsbestimmung verwendeten Objekte wieder aufgegriffen (Annahme: die Tabelle wurde in der vorausgegangenen Stunde erstellt - Overheadfolie vorbereiten!):

Messwert

errechnet

d

U

r = U/2

U/d

8 cm

26,5 cm

4 cm

3,31

14,5 cm

47,3 cm

7,25 cm

3,26

Konservendose (Boden)

10 cm

32,8 cm

5 cm

3,28

Reifen

23 cm

69,7 cm

11,5 cm

3,03

Straßenschild

60 cm

185,4 cm

30 cm

3,09

Tasse Unterteller

Die sich anschließende Fragestellung bleibt im Wesentlichen innermathematisch:

Wir können nun den Umfang eines Kreises aus seinem Radius berechnen. Wir wollen nun den Flächeninhalt eines Kreises berechnen. Es wird hier eine innermathematische Fragestellung gewählt, da die Fragen nach Umfang UND Flächeninhalt des Kreises sich unmittelbar stellen, wenn man nach Eigenschaften dieser Figur fragt. Eine Einkleidung der Problemstellung in eine Sachaufgabe – etwa: welchen Flächeninhalt hat ein rundes Blumenbeet – erscheint uns gekünstelt und bringt für die Problemlösung keine neuen Erkenntnisse.

Problemstellung und Lösung Die Schülerinnen und Schüler untersuchen in Gruppenarbeit (2-4 SchülerInnen) die Gegenstände (1 Gegenstand pro Gruppe), die sie schon einmal bei der Umfangsbestimmung betrachtet haben; diesmal ist allerdings deren Fläche gefragt. Bei den kleineren Gegenständen erfolgt dies etwa über das Abzählen von Kästchen des Karopapiers (bei Unterlegscheiben und Münzen Millimeterpapier verwenden!); dazu wird ihr Umriss auf das Papier übertragen.

Bei Gegenständen, deren Durchmesser größer als 10-15 cm ist (Kästchenzählen wäre dann sehr aufwändig!) wird spezielles Karopapier (1cm x 1cm Kästchen) vorbereitet.

Bei sehr großen Objekten kann eine erste Abschätzung über ein- und umbeschriebene Quadrate erfolgen.

Die Ergebnisse der einzelnen Gruppen werden im Plenum gesammelt und an der Tafel tabellarisch notiert. Die Tabelle lässt sich in einen Graphen übertragen, der zeigt, dass es sich hier um einen nichtproportionalen Zusammenhang handelt. Es ist nicht zu erwarten, dass die Schülerinnen und Schüler von alleine auf darauf kommen, den Quotienten

𝐴𝐴

𝑟𝑟²

zu betrachten; daher kann der Vergleich mit bekannten Flächeninhalten (etwa Quadrat)

hilfreich sein und die Berechnung dieses Quotienten nahelegen:

Die Tabelle wird um den Quotienten ergänzt; wie bereits im Falle der Umfangsberechnung wird der Wert mehr oder weniger stark um 3,14 schwanken:

Messwert

Tasse Unterteller Konservendose (Boden)

d

U

8 cm

errechnet A

r = U/2

U/d

26,5 cm

4 cm

3,31

14,5 cm

47,3 cm

7,25 cm

3,26

10 cm

32,8 cm

5 cm

3,28

U/r²

Reifen

23 cm

69,7 cm

11,5 cm

3,03

Straßenschild

60 cm

185,4 cm

30 cm

3,09

Es liegt nahe, die Behandlung analog zur Umfangsberechnung durchzuführen, d.h. die Tabelle graphisch auszuwerten und die "Ausgleichsgerade" ein zu zeichnen. Dies zeigt:

𝐴𝐴 ~ 𝑟𝑟²

Schließlich lässt sich der Proportionalitätsfaktor aus dem Graphen bestimmen und mit dem Proportionalitätsfaktor der Umfangsbestimmung vergleichen. Dabei lassen sich der Wert "3,14" als Naturkonstante herausarbeiten und ggf. Abweichungen diskutieren. Abschließend erfolgt ein Hefteintrag als Zusammenfassung der Ergebnisse.

Sicherung Zur Sicherung werden zwei Übungsaufgaben durchgeführt: Übung 1: Berechne die fehlenden Größen eines Kreises; runde falls nötig auf eine Stelle nach dem

Komma und beachte die Einheiten! r 1. 2.

d

U

A

23,9 mm 5 cm

3. 4.

15 dm 23,7 m²

Übung 2: Der Durchmesser eines Kreises wird verdoppelt. Wie

verändert sich sein Flächeninhalt? Begründe Deine Antwort!

Vertiefung Die Vertiefung setzt die Flächeninhalte von Rechteck und Kreis und deren Berechnung in Beziehung:

Aufgabe: Eine Firma stanzt aus quadratischen Blechplatten

(Kantenlänge 10cm) möglichst große runde Scheiben, die als Boden und Deckel für Suppendosen dienen sollen. 1. Aus jeweils einer Blechplatte wird genau eine Scheibe

geschnitten. Wie viel Abfall hat die Firma pro Scheibe? 2. Wie könnte die Firma die Menge des Abfalls verkleinern?

Ausblick / Hausaufgabe:

Schneide aus Papier einen Kreis mit Radius 8 cm aus. Zerschneide die Figur in 8 gleichgroße Sektoren. Kannst Du die Sektoren in das Feld kleben? Welchen Flächeninhalt hat das Feld?