J. geom. 63 (1998) 147 - 153 004%2468/98/020147~ $1.50+0.20/0 9 Birkh~iuser Verlag, Basel, 1998

I Journal of Geometry

ZUR EXISTENZ GLEICHSEITIGER DREIECKE IN H-EBENEN

Victor Pambuccian

It is shown, by indicating how to construct one with ruler and gauge, that there are equilateral triangles in absolutes planes which need not satisfy the circle axiom. However, it is not possible to construct an equilateral triangle with given base in absolute planes, even if they satisfy BACttMANN's Lotschnittaxiom or the Archimedean axiom.

Die Anregung zu dieser Note gab die Lgsung einer Studentin der als ttausaufgabe vorgeschlagenen [lbung 4.33 aus [6] (die verlangt, dab man aufgrund des Axiomensystems der ebenen absoluten Geometrie 1 beweist, dab es ein nichtgleichschenkliges Dreieck gibt). Sie konstruierte ein nichtgleichschenkliges Dreieck indem sie yon einem gleichseitigen - - s t a r yon einem blofi g l e i c h s c h e n k l i g e n - Dreieck ausging. Ihr Beweis ws

nat/irlich nur dann gfiltig, wenn

man zuerst die Existenz eines gleichseitigen Dreiecks in der ebenen absoluten Geometrie beweist. Da es, ungeachtet dieses Anlasses, an und ffir sich yon Interesse ist, zu wissen, ob die Existenz eines gle~chseitigen Dreiecks, die ja bei EUKLID an erster Stelle steht, auch in der ebenen absoluten Geometrie (ohne Kreisaxiom!) beweisbar ist, und da ich diese Frage nirgends beantwortet land, nehme ich mirvor, in dieser Note einen Beweis zu erbringen. Es stellt sich zu allererst die Frage, ob der erste Satz EUKLIDS (A), dab ein gleichseitiges Dreieck mit beliebiger SeRe konstruiert werden kann, auch in Modellen der ebenen absoluten Geometrie (die im folgenden, einem Vorschlag yon J. DILLER [9] folgend, H-Ebenen genannt werden) gfiltig ist. Diese Frage ist selbst dann zu verneinen, wenn wir das BACHMANNsche Lotschnittaxiom (Axiom A aus [1]: ,,Jedes Vierseit mR drei rechten Winkeln schlie/R sich") oder das Archimedische Axiom (Arch) zu den Axiomen der ebenen absoluten Geometrie IDie ebene absolute Geometrie (A2) ist hier als diejenige Theorie verstanden, die dutch die Axiome AI-A9 aus [15], oder durch die Axiome I 1-3, II, III aus [10] gegeben wird.

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hinzuffigen, d. h. (i) As U {A} b/A,

(ii) As U {Arch} V A.

Um das einzusehen, werden wir uns auf die PEJASsche

[13]

(1)

algebraische Beschreibung der

H-Ebenen berufen. Sei K ein Khrper und k ein Element aus K. Unter eiiier affin-metrischen Ebene A(K, k) (s.[9, S.215] ) fiber dem Khrper K mit der metrischen Konstanten k verstehen wit die projektive Koordinatenebeiie P(K) fiber K, ffir deren Punkte der Gestalt (x, y, 1) wir kurz (x, y) schreiben, in der die Geraden [u, v, w] und [u', v', w'] orthogonal sind genau daiin wenn uu ~+ vv r + kww' = O.

Ist der Khrper K angeordnet, so kann man den affiiien Tell A(K), der aus Mien Punkten yon P(K) besteht, die nicht auf der Geraden [0, 0, 1] liegen, wie fiblich anordnen. Die Mgebraische Beschreibung der H-Ebenen besteht aus der Angabe einer Punktmenge E einer affin-metrischen Ebene A(K, k), die die Puiiktmenge der H-Ebene ist. Da E stets in A(K) liegen wird, fibernimmt die H-Ebene die Anordnung yon A(K). Die Koiigruenz zweier Streeken ab und cd wird, fails E C A(K, 0) ist, dutch das Bestehen der Gleichung -

=

-d:)

und, falls E C A(K, k) mit k r 0, durch das Bestehen der Gleichung F(a,b) 2 Q(a)Q(b)

F(c,d) 2 Q(c)Q(d)

(2)

gegeben, wobei F ( x , y) = ~(Xlyl + x2y2) + 1, Q(x) = F ( x , x), lliid x = (Xl, x2) , y --- (yl, y2),

Von nun an sei K ein angeordneter pythagoreischer Khrper, R der Ring der ganzzahlig einschli4baren Elemeiite voa If, d. h. R = {x E t( [ (3n E r~)Ixl < n} und P das IdeM der unendlich kIeinen Elemente aus K, d. h. P = {0} U {z E K I x-1 ~ R}. Die It-Ebenen sind laut [13] (s. auch [1]) yon den folgenden drei Typen: Typ I. (entspricht dem Theorem 1 aus [1]) E --- {(a, b) I a, b E M} C A(K, 0)~ wobei M ein R-Modul ~ (0) ist; Typ II. (entspricht dem Theorem 2 aus [I])

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E = {(a, b) I a, b E M} C A(K, k) mit k r O, wobei M ein in {a E I( t ka2 E P } enthaltener R-Modul # (0) ist, der die Bedingung a E M ~ ka2 + I E K 2 erfiillt (K 2 = {a21a E I(}).

Typ III. (entspricht dem Theorem 3 aus [1]) E = {x I Q(x) > 0, Q(x) r J} c A(K, k) mit k < O, wobei J C p ein PrimideaI yon R ist, das die Bedingung ka 2 + 1 > O, ka 2 + l C J ~ ka 2 + I E K 2 erfiillt, und wobei K die Bedingung {a E K ] ka 2 E R \ P} 7~ erfiillt.

Das Lotschnittaxiom gilt nur in den Ebenen vom Typ I und II. In den Ebenen vom Typ I, in denen das Rechtseitaxiom (,,Es gibt ein Rechtseit") gilt, ist es leicht einzusehen, da6 EUKLIDs Satz 1 aus dem ersten Buch der Elemente, gfiltig ist (man hMbiere, z. B. wie in [7], die gegebene Strecke, deren Lgnge a sei, und trage auf der im Mittelpunkt der gegebehen Strecke errichteten Senkrechten eine Strecke der Lgnge av/-3/2 (die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seiten a/2 und ax/2/2) ab) und daft somit das gleichseitige Dreieck mit gegebener Seite mit Lineal und Streekenfibertrager konstruiert werden kann. Ist die metrische Konstante k # 0, so ist die Existenz einer dritten Ecke (0, y) eines gleichseitigen Dreiecks, dessen zwei Ecken (-rn,0) und (m,0) sind, gleichbedeutend mit der L6sbarkeit der Gleichung y2 _ m2( 3 - km~)

:

(3)

mit (0, y) E E. Damit (3) 16sbar ist, mug offensichtlich 3 - km 2 E K 2

(4)

erf/illt sein. DaB (1),(i) gilt, zeigt der folgende SATZ 1. Es gibt eine Ebene vom Typ [[~ in der es fiir eine bestimmte Strecke A B kein gleichseitiges Dreieck mit der Seite A B gibt.

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Beweis.

Es sei Ht : Q(t), angeordnet durch

Z~i=0 ai t~ ,~---------~> 0 genau dann wenn das Produkt der Leitkoeffizienten a~b,~ positivist, ~i=o bit und es sei K, die pythagoreische Hiille yon Ht (der kleinste pythagoreische KSrper, der H, enthilt; s. [2]), auf die die Anordnung yon H~ fortgesetzt sei. Es ist t 2 - 1 r K,2, weiI es (neben der eben definierten) auch eine Anordnung yon K~ gibt, bei welcher t 2 - 1 negativ ist. Eine solche Anordnung erhiihlt man zungchst auf Q(t) durch eine geeignete Einbettung yon Q(t) in die reelen Zahlen (Substitution t ~ u mit u E I~, u transzendent, 0 < u < 1). Diese Anordnung ist ebenfalls auf die pythagoreische ttfille Is yon Q(t) fortsetzbar. 2 Es sei D die H-Ebene yore Typ II mit K = K~, k = 1 und M = P (das Primideal der unendlich kleinen Elemente aus K). Dann ist (4) m i t m = v ~ / t (ein Element aus M) in nicht g/iltig. Ist A = ( - m , 0), B = (m, 0), so gibt es in ~ kein gleichseitiges Dreieck mit der Strecke A B als Seite.

[]

Wir wenden uns nun (1),(ii) zu. Es seien E1 und E2 die euklidischen Hfillen (innerhalb des quadratischen Abschiusses yon Q; s. [2]) der K6rper (Q(vff),