C´atedra de Matem´atica

Facultad de Arquitectura Universidad de la Rep´ ublica

Matem´ atica

2013 – Segundo semestre

Hoja 3: Derivadas e integrales de funciones continuas

1

Derivada

Ejercicio * 1 Un auto se mueve en una carretera recta en una direcci´on. En tiempo t = 0 se encuentra en un punto al que llamaremos x = 0. La posici´on en tiempo t se denomina x(t). El tiempo se expresa en horas y la distancia en kil´ometros. 1. La velocidad media en [t, tf ] se define como

∆x . ∆t

A las 2 horas el auto se encuentra a 160 km del punto de partida, y a las 3 horas se encuentra a 360 km del punto de partida. Calcule la velocidad media del veh´ıculo entre las horas 2 y 3. 2. La velocidad instant´anea en tiempo t se define como lim∆t→0

∆x . ∆t

Se conoce ahora la posici´on del auto en cada tiempo entre la partida y las 3 horas. ´ Esta responde la funci´on x(t) = 40t2 . Calcule la velocidad media en [2, 2 + ∆t] con ∆t = 0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001. Calcule la velocidad instant´anea en t = 2. ¿Qu´e observa? Relacione los c´alculos hechos con el concepto de derivada. 3. Grafique la funci´on x(t) entre los tiempos 0 y 3 e interprete graficamente las velocidades medias y la instant´anea calculadas en la parte anterior. 4. Entre las horas 3 y 4, la posici´on responde a la funci´on x(t) = 360 − 40(t − 3)2. Calcule la velocidad intant´anea v(t) para cada tiempo t entre 0 y 4. Grafique x(t) y v(t). ¿Qu´e sucede cuando v es negativa? 5. La aceleraci´on media en [t, tf ] se define como . t se define como lim∆t→0 ∆v ∆t

∆v ∆t

y la aceleraci´on instant´anea en tiempo

Calcule la aceleraci´on instant´anea a(t) en cada tiempo t entre las horas 0 y 3. ¿Es realista este modelo para el movimiento de un auto? Ejercicio 2 Consideraremos la funci´on f (x) = x2 y a partir de x = 3 un incremento ∆x de la variable x. 1. El incremento de f con respecto a su valor en 3, cuando se eval´ ua en 3 + ∆x es ∆f =

× ∆x +

1

× (∆x)2 .

2. El cociente incremental ∆f /∆x es

+

× ∆x.

3. Cuando ∆x → 0, los cocientes incrementales ∆f /∆x se aproximan a

.

Nota: Completar con n´ umeros las casillas. Ejercicio 3 En las normas de accesibilidad se limita la pendiente que puede tener una rampa. Las pendientes longitudinales m´aximas para los tramos rectos de rampa entre descansos, en funci´on de la extensi´on de los mismos medidos en su proyecci´on horizontal, deben cumplir con lo siguiente: hasta 15 m; la pendiente m´axima debe ser del 6% hasta 10 m; la pendiente m´axima debe ser del 8% hasta 3 m; la pendiente m´axima debe ser del 10% hasta 1,5 m; la pendiente m´axima debe ser del 12%. Se quiere construir una rampa de 12 metros (en su proyecci´on horizontal) que se eleve 1 metro del suelo. ¿Es posible hacerlo respetando la norma? Nota: es com´ un en arquitectura medir la pendiente en porcentaje. Para expresarlo de esta manera se calcula 100×altura/longitud horizontal. Dicho de otra manera: qu´e porcentaje representa la altura con respecto a la longitud horizontal. O a´ un de otra manera: cada 100 m en la horizontal, cu´anto se eleva la rampa en la vertical. Ejercicio 4 Una part´ıcula se mueve de tal manera que su velocidad en cada instante t es v(t) = 5t3 + 5t2 − 5t − 5 m/s, entre los tiempos t=0 y t=3 segundos. Hallar la velocidad m´axima y la m´ınima alcanzada. ¿Qu´e significado f´ısico tiene una velocidad negativa? Ejercicio 5 Se quiere construir un galp´on cuya base sea rectangular. Su per´ımetro ser´a de 50 metros. Hallar las dimensiones de la base para que la superficie sea la m´axima posible. Ejercicio 6 Se quiere construir una rampa de skate cuyo perfil es la regi´on encerrada entre la funci´on f y el eje Ox, donde la funci´on f es: f (x) = (x−2)2 si x ∈ [0, 3] y f (x) = (x−2)(4−x) si x ∈ [3, 4]. El ancho de la rampa es 3. (Todas las longitudes estan expresadas en metros). 1. Dibuje la rampa. 2. ¿Nota algo extra˜ no? ¿Cu´al es la pendiente de la rampa en x = 3? 3. Proponga alg´ un cambio en la rampa que resuelva el problema de la parte anterior. 4. Halle la pendiente m´axima (en valor absoluto) de la rampa.

2

2

Integrales de funciones continuas

Ejercicio * 7 Considere la siguiente integral:

Z

1

ex dx.

0

1. Dividir el intervalo de integraci´on en 1, 2 y 4 intervalos y obtener las sumas superiores e inferiores respectivas. 2. Usar las sumas superiores e inferiores para construir una aproximaci´on del verdadero valor de la integral y dar una cota del error cometido. 3. Hallar una aproximaci´on de la integral con un error menor a 1/5. Ejercicio 8 Sea f la funci´on del gr´afico de la figura 1. 1. Hallar una aproximaci´on de la integral entre 2 y 8, y dar una cota del error cometido. 2. Consideremos la funci´on f . (a) Hallar el m´ınimo m y el m´aximo M de la funci´on. (b) Dar un argumento que pruebe la siguiente desigualdad: Z 8 m(8 − 2) ≤ f (t) dt ≤ M(8 − 2). 2

(c) Como consecuencia de la desigualdad anterior tenemos que Z

8

f (t) dt = µ(8 − 2)

2

para alg´ un µ tal que m ≤ µ ≤ M. Dicho con otras palabras: existe un rect´angulo de base en [2, 8] que compensa ´areas. Observar que existe c ∈ [2, 8] tal que µ = f (c). (Este resultado se conoce como teorema del valor medio). Y 5 9 2 4 7 2 3 8 7 3 3 2

1

X 1

−1

2

3

4

5

−1

Figura 1.

3

6

7

8

9

10

Ejercicio 9 Para el gr´afico de la figura 2 hallar una aproximaci´on de la integral de 2 a 9 e indicar una cota del error cometido. 6

Y

5 13 3 4

3 5 2 2

1

X 1

−1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 2. Ejercicio 10 2 1. Graficar o buscar un gr´afico de e−x . 2. Hallar una aproximaci´on de Z

1 2

e−x dx

0

con un error menor a 1/10. Ejercicio * 11ZSea f la funci´on de la figura 2. x Sea F (x) = f (t) dt con x ∈ [2, 8]. 2

1. Indicar cu´al de las siguientes expresiones corresponde a ∆F en el punto a = 5. Z 5+∆t (a) f (t) dt 5 Z 5 (b) f (t) dt 2 Z 5+∆t (c) f (t) dt 2

2. Consideremos ahora una nueva funci´on fb constante a trozos en los intervalos [2, 4], (4, 6], (6, 8] que aproxime la funci´on f , y que compense ´areas (esto es, que cumpla que en los interR R valos mencionados f = fb). 3. Sea Z x b F (x) = fb(t) dt. 2

∆Fb ∆t

en el punto a = 5. Hallar F (5) como l´ımite del cociente incremental. ¿Qu´e Hallar observa? 4. Graficar Fb junto con el bosquejo de F . ′

Ejercicio 12 Buscar y compartir videos o material escrito hasta convencerse a trav´es de alg´ un argumento, de la validez del Teorema Fundamental del C´alculo y la Regla de Barrow. 4

Ejercicio 13 Calcular: R2 1. −1 6x2 dx R4 2. 5 2x5 dx Rπ 3. 0 12 sen x dx R1 4. −1 3et dt Ejercicio 14 Calcular R3 1. 2 (2 − 3x − x2 ) dx R4 2. 3 (7x5 − 3x3 + 12x) dx R −1 3. −2 (2t2 + 4t − 1) dt R2 4. 1 (at2 + bt + c) dt Rπ 5. −π (5 sen t + cos t) dt Ejercicio 15 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m de largo por 10m de ancho. El due˜ no quiere que el piso sea la superficie bajo el gr´afico de la par´abola y=−

x2 + 20 5

en el primer cuadrante, tomando una esquina del jard´ın como el origen, el ancho como el eje horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio ser´a reservado a c´esped y canteros para plantas. ´ Ped´ı dos presupuestos. Alberto Alvarez contest´o que la obra costar´ıa $88000. Mientras que en Baldosas B´aez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600 por metro cuadrado. ¿Cu´al de las dos opciones es la m´as barata? Ejercicio 16 Calcular el volumen de la rampa del ejercicio 6. Ejercicio * 17 Dos autos A y B juegan carreras. A continuaci´on se presentan los gr´aficos de su velocidad instant´anea en funci´on de tiempo v(t). Para cada figura responda: en tiempo t = 10 ¿qui´en ha llegado m´as lejos?. Justifique. A

250 150

B

5

5

10

200 180

B 70 50

A 3

200 180 150 120

7

10

B A

50 7

3

10

-50 250 200 170 150 A B

5

6

10

200

100

A

B 5

7

10