Hoffmann (HAW Hamburg)
Automatentheorie und formale Sprachen
18.4. 2012
176
Automatentheorie und formale Sprachen VL 5 ¨ ¨ Sprachen Regulare und nichtregulare
Kathrin Hoffmann
18. Aptil 2012
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Ausdrucke Endliche Automaten und regulare ¨ I
EAs und RAs beschreiben dieselben Sprachen: ¨ Sprachen Regulare
I
¨ Beweisplan fur ¨ die Aquivalenz: Noch zu zeigen
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
DEA =⇒ RA: k -Pfad I
I I
Idee: Pfade in einem DEA auf Basis der Kantenbeschriftungen in RA uberf uhren ¨ ¨ ¨ Zustande des DEA werden in 1, 2, ..., n umbenannt (k)
Der k -Pfad Rij bezeichnet den RA, dessen Sprache ¨ genau die Worter umfasst, die den Beschriftungen der Pfade von Zustand i nach Zustand j entsprechen, wobei kein Zustand mit einem Namen > k durchlaufen werden darf.
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
k -Pfade durch den Automaten (0)
¨ Ausdrucke Regulare Rij fur ¨ ¨ direkten Weg von i nach j ¨ (uber hochstens 0) ¨ k -Pfad (0) R11 (0) R12 (0) R21 (0) R22
reg. Ausdruck +1 0 ∅ +0+1
k -Pfad (1) R11 (1) R12 (1) R21 (1) R22 (2)
¨ Ausdrucke Regulare Rij ¨ k -Pfad (2) R11 (2) R12 (2) R21 (2) R22
reg. Ausdruck 1∗ ∗ 1 0(0 + 1)∗ ∅ (0 + 1)∗
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(1)
¨ Ausdrucke Regulare Rij fur ¨ den ¨ ¨ Weg uber hochstens 1 von i nach j ¨ reg. Ausdruck 1∗ 1∗ 0 ∅ +0+1
fur 2 von i nach j ¨ den Weg uber ¨
¨ Alle Worter mit mind. einer 0
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Induktive Berechnung der Pfade (k)
Rij
(k−1)
¨ lasst sich aus Rij
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berechnen
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180
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
DEA =⇒ RA I
¨ Zustande des DEA werden in 1, 2, ..., n umbenannt
I
Rij bezeichnet den RA, dessen Sprache genau die Zeichenreihen umfasst, die den Beschriftungen der Pfade von Zustand i nach Zustand j entsprechen, wobei kein Zustand mit einem Namen > k durchlaufen werden darf. (k) (k−1) ¨ Rij lasst sich aus Rij berechnen
I
(k)
(k)
Rij
I
(k−1)
= Rij
(k−1)
+ Rik
(k−1) ∗
(Rkk
(k−1)
) Rkj
(k)
RA ist die Summe aller R1f mit 1 dem Startzustand und f ∈ F einem Endzustand
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
k -Pfade durch den Automaten
k -Pfad (1) R11 (1) R12 (1) R21 (1) R22 k -Pfad (2) R11 (2) R12 (2) R21 (2) R22
reg. Ausdruck 1∗ 1∗ 0 ∅ +0+1
k -Pfad vereinf. Ausdruck (1) R11 1∗ (1) R12 1∗ 0 (1) R21 ∅ (1) R22 +0+1 ind. Pfadausdruck reg. Ausdruck 1∗ + 1∗ 0( + 0 + 1)∗ ∅ 1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 0 + 1 0( + 0 + 1) ( + 0 + 1) 1 0(0 + 1)∗ ∗ ∅ + ( + 0 + 1)( + 0 + 1) ∅ ∅ ( + 0 + 1) + ( + 0 + 1)( + 0 + 1)∗ ( + 0 + 1) (0 + 1)∗
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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
Aufgabe 32: Berechnen Sie bitte den ¨ ¨ aquivalenten regularen Ausdruck. (k)
Rij
(k −1)
= Rij
(k −1)
+ Rik
(k−1) ∗
(Rkk
(k−1)
) Rkj
(1)
k -Pfad (0) R11 (0) R12 (0) R21 (0) R22 (2)
Rij
(1)
= Rij
k -Pfad (2) R11 (2) R12 (2) R21 (2) R22
Rij
reg. Ausdruck a b a b (1)
(0)
= Rij
k -Pfad (1) R11 (1) R12 (1) R21 (1) R22 (1)
a b 1 2 1 2
→ ∗1 2 (0)
(0)
(0)
+ Ri1 (R11 )∗ R1j
reg. Ausdruck a + a(a)∗ a b + a(a)∗ b a + a(a)∗ a b + a(a)∗ b
einfach a∗ a∗ b aa∗ a∗ b
(1)
+ Ri2 (R22 )∗ R2j
reg. Ausdruck a + a∗ b(a∗ b)∗ aa∗ ∗
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einfach a + (a∗ b)+ a ∗
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Bewertung der Konstruktion von RA
I
Ist immer anwendbar
I
Funktioniert auch fur ¨ NEA und -NEA ¨ Aufwandig ¨ ¨ Nach n Induktionsschritten konnen Ausdrucke eine Lange von 4n ¨ Symbolen erreichen ¨ Andere Methode: Eliminierung von Zustanden Idee: ¨ Zustande sukzessive eliminieren und im Gegenzug Beschriftungen durch entsprechend komplexere RAs ersetzen
I
I
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Eliminierung von Zustanden: Generischer Ansatz
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185
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Vorgehensweise bei der Eliminierung
I
¨ Ziel: Automaten, die nur noch aus zwei Zustanden bestehen
I
Startzustand und Zielzustand
I
¨ Und wenn es im Ursprungsautomaten mehrere Zielzustande gibt? Fur ¨ jeden Zielzustand einen ”‘Zweizustandsautomaten””’erzeugen, der nur diesen einen Zielzustand berucksichtigt, ¨ und die resultierenden RAs alternativ zulassen
I
Wenn Startzustand akzeptierend ist, Reduktion bis auf einen Zustand
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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
Generische Resultate der Zustandseliminierung I
Ein Zustand: falls Startzustand ist akzeptierend ¨ Resultierender regularer Ausdruck: R ∗
ODER I
¨ Zwei Zustande: sonst ¨ Resultierender regularer Ausdruck: (R + SU ∗ T )∗ SU ∗
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Zustandseliminierung
¨ Ausdrucke Beschriftungen als regulare ¨
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Zustandseliminierung
Eliminierung des Zustands B
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Zustandseliminierung
¨ Zwei Zielzustande, also zwei alternative Eliminierungen
Resultierender RA: (0 + 1)∗ 1(0 + 1)(0 + 1) + (0 + 1)∗ 1(0 + 1)
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
BSP: Zustandseliminierung
(R + SU ∗ T )∗ SU ∗ Resultierender Ausdruck: (b + aa∗ bb + ((aa∗ ba)((b + aa∗ b)a)∗ (b + aa∗ b)b)∗ (aa∗ ba)((b + aa∗ b)a)∗
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189
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Aufgabe 33: ¨ ¨ Berechnen Sie bitte durch Eliminierungden aquivalenten regularen Ausdruck.
((1 + 01) + 00(0 + 10)∗ 11)∗ 00(0 + 10)∗
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Ausdrucke Endliche Automaten und regulare ¨ I
EAs und RAs beschreiben dieselben Sprachen: ¨ Sprachen Regulare
I
¨ Beweisplan fur ¨ die Aquivalenz: Noch zu zeigen
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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
RA =⇒ -NEA
Satz Fur ¨ jede Sprache L(RA) existiert -NEA E, so dass L(RA) = L(E) gilt. Beweisidee: I
Konstruktion von E
I
genau ein Endzustand
I
keine Transition in den Startzustand
I
keine Transition aus dem Endzustand
Beweisidee: Induktion uber Anzahl der Operationen in RA ¨
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
RA =⇒ -NEA
Satz Fur ¨ jede Sprache L(RA) existiert -NEA E, so dass L(RA) = L(E) gilt. IAnfang:
ISchritt:
a) r = ∅
d) r + s
b) r =
e) r · s
c) r = a fur ¨ alle a ∈ Σ IBehauptung : r , s sind RA mit n Operationen
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f) r ∗ g) (r )
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Induktionsanfang: -NEAs fur ¨ elementare RAs
a) r =
a) L() = L(E) = {}
b) r = ∅
b) L(∅) = L(E) = ∅
c) r = a fur ¨ a∈Σ
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c) L(a) = {a} = L(E)
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Indukt.schritt: NEAs fur ¨ zusammengesetzte RAs d) Vereinigung: r + s L(E) = L(r ) ∪ L(s)
e) Verkettung: r · s L(E) = L(r ) ◦ L(s)
f) Hulle: r∗ ¨ S L(A) = i≥0 L(r )i = L(r ∗ ) g) Klammern: (r ) L(E) = L(r ) = L((r )) Hoffmann (HAW Hamburg)
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195
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Beispiel: Ubertragung des RA (0 + 1)∗ 1(0 + 1) 1. -NEA fur ¨ 0
2. -NEA fur ¨ 1
3. -NEA fur ¨ (0 + 1)
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Beispiel: Ubertragung des RA (0 + 1)∗ 1(0 + 1)
4. -NEA fur ¨ (0 + 1)∗
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196
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Beispiel: Ubertragung des RA (0 + 1)∗ 1(0 + 1) 5. -NEA fur ¨ (0 + 1)∗ + 1 6. -NEA fur ¨ (0 + 1)∗ + 1 + (0 + 1)
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196
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Aufgabe 34:
¨ Konstruieren Sie bitte zu den folgenden regularen Ausdrucken, die ¨ -NEAs, die die gleiche Sprache beschreiben: 1. 01∗ 2. (0 + 1)01 3. 00(0 + 1)∗
1.
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197
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
¨ Sprachen und was Was wissen wir uber regulare ¨ nicht?
I
Beschreibung durch I I
¨ Ausdrucke Regulare ¨ Endliche Automaten DEA, NEA, -NEA
I
¨ Beschreibungen sind aquivalent
I
Was ist mit Mengenoperationen? L1 ∪ L2 oder anderen?
I
Wann sind zwei Sprachen gleich? ¨ sind? Gibt es Sprachen, die nicht regular
I
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198
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Aufgabe 35: Abschlusseigenschaften ¨ Die Klasse der regularen Sprachen ist abgeschlossen gegen ... Wahr oder Falsch??? Bitte diskutieren Sie mit Ihren Nachbarn. ¨ sind, dann ist auch Wenn zwei Sprachen L1 und L2 regular I
¨ die Vereinigung L1 ∪ L2 regular
X wahr oder X falsch
I
¨ die Verkettung L1 ◦ L2 regular
X wahr oder X falsch
I
¨ die Potenz Ln1 regular
X wahr oder X falsch
I
¨ der Stern L∗1 regular
X wahr oder X falsch
I
¨ das Komplement L1 regular
X wahr oder X falsch
I
¨ der Durchschnitt L1 ∩ L2 regular
X wahr oder X falsch
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199
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Abgeschlossenheit regularer Sprachen ¨ sind, dann sind folgende Wenn zwei Sprachen L1 und L2 regular ¨ Sprachen auch regular: I
die Vereinigung L1 ∪ L2 : Gegeben ri mit L(ri ) = Li fur ¨ i ∈ {1, 2}, ¨ dann ist L(r1 + r 2) = L1 ∪ L2 also regular.
I
die Verkettung L1 ◦ L2 : Gegeben ri mit L(ri ) = Li fur ¨ i ∈ {1, 2}, ¨ dann ist L(r1 ◦ r 2) = L1 ◦ L2 also regular.
I
die Potenz Ln1 : Gegeben ri mit L(ri ) = Li fur ¨ i ∈ {1, 2, ..., n}, ¨ dann ist L(r1 ◦ r 2 ◦ ... ◦ rn ) = Ln1 also regular.
I
der Stern L∗1 : ¨ Gegeben r mit L(r ) = L1 , dann ist L(r ∗ ) = L∗1 also regular.
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200
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Aufgabe 36: Satz ¨ sind, dann ist auch Wenn zwei Sprachen L1 und L2 regular 1. das Komplement L1 und ¨ 2. der Durchschnitt L1 ∩ L2 regular.
Bitte versuchen Sie, den Satz zu beweisen. Hinweise: 1. Gegeben ein DEA A mit L(A) = L1 . Wie kann dann daraus der Automat fur ¨ L1 konstruiert werden? ¨ 2. Das lasst sich dann ”‘einfach”’ durch Mengenoperationen nachweisen. Hoffmann (HAW Hamburg)
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201
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Losung von Aufgabe 36 1. Gegeben ein DEA A = (Q, Σ, q0 , δ, F ) mit L(A) = L. Dann kann daraus der Automat fur ¨ L konstruiert werden, indem ¨ ¨ die Endzustande und die ”‘Nicht”’-Endzustande vertauscht werden, also durch A = (Q, Σ, q0 , δ, Q \ F ) Es gilt L(A) = {w|δ(q0 , w) ∈ Q \ F } = Σ∗ \ {w|δ(q0 , w) ∈ F } = Σ∗ \ L(A) = S ∗ \ L = L ¨ Sprachen unter 2. Da L1 ∩ L2 = Σ∗ \ (L1 ∪ L2 ) gilt, und regulare Komplement und Vereinigung abgeschlossen sind, ist auch ¨ L1 ∩ L2 regular.
Hoffmann (HAW Hamburg)
Automatentheorie und formale Sprachen
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202
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Zusammenfassung
I I
I I
¨ Sprachen Endliche Automaten erkennen regulare ¨ Sprachen sind abgeschlossen unter Regulare Komplement, Durchschnitt, Vereinigung, Verkettung, Potenz und Kleene-Stern. ¨ Ausdrucke ¨ Sprachen. Regulare beschreiben regulare ¨ ¨ sind? offen: Gibt es Sprachen, die nicht regular ???? L = {an bn } ????
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203
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Was, wenn es keinen Automaten gibt?? ¨ Konstruieren Sie bitte einen DEA oder einen regularen Ausdruck uber ¨ {a, b} fur ¨ L = {w|w = an bn } Dafur ¨ gibt es keinen, aber I warum? I und wie beweisen? ¨ wenn sich ein endlicher Automat A oder ein regularer ¨ L ist regular, ¨ Ausdruck E finden laßt, der L beschreibt, also L(A) = L = L(E) ¨ Aber was, wenn der sich nicht finden laßt? Selbst schuld? Oder doch nicht? Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
204
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
¨ Sprachen Nicht-regulare
I
¨ Sprachen konnen ¨ Regulare beschrieben werden durch: I I I I
I
DEAs NEAs -NEAs ¨ Ausdrucke Regulare ¨
¨ sind. Offenbar gibt es Sprachen, die nicht regular Dies kann mit Hilfe des Pumping-Lemmas bewiesen werden.
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
205
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Sprachen Informelle Argumentation fur ¨ nicht-regulare
¨ Annahme: L = {0n 1n |n ≥ 1} sei regular Also: Es gibt DEA, der L akzeptiert. ¨ Dieser DEA hat k Zustande. Nach k + 1 Nullen muss mindestens ein Zustand q zweimal erreicht worden sein. Also: 0i und 0j fuhren beide zu q. ¨ DEA kann nicht ”‘erinnern”’, ob er dafur ¨ i oder j Nullen gelesen hat. Also: DEA ”‘weiß”’ nicht, ob er 1i oder 1j noch lesen muss und kann folglich L nicht erkennen. ¨ Also: gibt es keinen DEA fur ¨ L, also doch nicht regular.
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
206
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Beobachtungen
ac abc a bb c a bb c .. . a bn c Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
207
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Beobachtungen
x z xyz x yy z x yyy z .. . x yn z Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
208
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Noch informeller I I
¨ Pumping Lemma benutzt die Endlichkeit des Gedachtnisses. ¨ Worter durfen beliebig lang sein. ¨
I
¨ ¨ Gedachtnis (z. B. Anzahl Zustande) ist aber endlich. ¨ Nur moglich, wenn beim Einlesen eines Wortes (mindestens ein) Zustand mehrfach aufgesucht wird.
I
Dann hat man eine Schleife.
I
Die Schleife kann beliebig oft durchlaufen werden. ¨ Entsprechende Worter mussen dann naturlich auch in der ¨ ¨ Sprache sein, ¨ ¨ weil ja kein Gedachtnis uber die Anzahl der Durchlaufe existiert. ¨
I
I
I
Also: Jedes genugend lange Wort liefert die Grundlage fur ¨ ¨ Zyklen.
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
209
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
Pumping-Lemma ¨ Sprachen) (fur ¨ regulare
Pumping Lemma ¨ Sprache. Sei L eine regulare Dann gibt es eine naturliche Zahl p ∈ N, ¨ (die so genannte PL-Konstante) so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit I I I
|xy | ≤ p y , xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
210
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Aufgabe 37: ¨ ¨ Bitte wahlen Sie sich eine folgenden regularen Sprache aus 1. L1 = L(a(bb)∗ cbcb) 2. L2 = {w ∈ {0, 1} | |w| ≥ 13} 3. L3 = {an |n prim und n < 10.000} und suchen Sie eine PL-Konstante, so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit I
|xy| ≤ p
I
y ,
I
xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
211
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Losung von Aufgabe 37 ...suchen Sie eine PL-Konstante, so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit |xy| ≤ p, y , und xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N.
¨ Losung 1. L1 = L(a(bb)∗ cbcb): p = 8 , dann muss bb enthalten sein, also fur ¨ beliebiges n w = a(bb) cbcb ist Zerlegung x = a, y = bb und z = bbcbcb gultig. ¨ 2. L2 = {w ∈ {0, 1} | |w| ≥ 13}: p = 14 fur ¨ beliebiges w ist Zerlegung x = v1 , y = x und z = v2 fur ¨ x ∈ Σ und v1 , v2 n ∈ Σ∗ gultig. ¨ 3. L3 = {an |n prim und n < 10.000}: p = 10.000, dann gibt es kein w ∈ L mit |w| ≥ p Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
212
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Anwendung des Pumping-Lemmas
Was hilft uns das? ¨ L = {an bn } regular, ¨ konnte ¨ Ware man L aufpumpen.
Na, und???
Indirekter Beweis!!
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Thema Pumping Lemma
213
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Ausflug (Indirekter Beweis)
.... Wenn es regnet, dann ist die Strasse nass
ABER NICHT Wenn die Strasse nass ist, dann regnet es. Die Strassenreinigung war gerade da....
ABER DOCH Wenn die Strasse NICHT nass ist, dann regnet es NICHT.
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Thema Pumping Lemma
214
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
PL (Indirekter Beweis)
Pumping Lemma ¨ dann L aufpumpbar. Wenn L regular,
ABER NICHT ¨ Wenn L aufpumpbar, dann L regular. n n m ¨ z.B. L = {a b c |n, m > 0} ist aufpumbar, aber nicht regular.
ABER DOCH ¨ Wenn L NICHT aufpumpbar, dann L NICHT regular.
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Thema Pumping Lemma
215
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Beweise mit Hilfe des Pumping Lemmas I
Wozu kann das Pumping Lemma benutzt werden?
I
¨ sind. Fur ¨ Beweise, dass bestimmte Sprachen nicht regular
I
Wie funktionieren diese Beweise dann? ¨ ist, muss man Unter der Annahme, dass die Sprache regular ¨ zeigen, dass es keine langen Worter geben kann, die in der Sprache enthalten sind und (!) eben die Bedingungen des Pumping Lemmas erfullen. ¨
I
Der Beweis erfolgt durch Widerspruch: ¨ ist. 1. Man nimmt an, dass die Sprache regular ¨ 2. Man betrachtet lange Worter. ¨ 3. Man zeigt, dass bestimmte Zusammenhange dann aufgrund des Pumping Lemmas gelten mussen. ¨ ¨ 4. Man zeigt, dass unter Berucksichtigung dieser Zusammenhange ¨ das Wort nicht in der Sprache enthalten sein kann.
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Thema Pumping Lemma
216
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular
Pumping Lemma ¨ WENN L regular, DANN L aufpumpbar: Also, dann gibt es eine naturliche Zahl p ∈ N, ¨ so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit I |xy| ≤ p I y , I xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
217
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular
Pumping Lemma WENN L NICHT aufpumpbar Also, wenn es keine PL-Konstante p ∈ N gibt, so dass es fur ¨ jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p eine Zerlegung gibt in w = xyz mit I |xy| ≤ p I y , I xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N ¨ DANN L NICHT regular
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Thema Pumping Lemma
217
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular
Pumping Lemma WENN L NICHT aufpumpbar Also, wenn fur ¨ jede beliebige PL-Konstante p ∈ N es ein Wort w ∈ L mit |w| ≥ p gibt, fur ¨ das es keine Zerlegung gibt in w = xyz mit I |xy| ≤ p I y , I xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N ¨ DANN L NICHT regular
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Thema Pumping Lemma
217
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular
Pumping Lemma WENN L NICHT aufpumpbar Also, wenn fur ¨ jede beliebige PL-Konstante p ∈ N es ein Wort w ∈ L mit |w| ≥ p gibt, so das fur ¨ jede Zerlegung in w = xyz gilt I |xy| ≤ p I y , I ABER xy i z < L fur ¨ ein i ∈ N ¨ DANN L NICHT regular
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Thema Pumping Lemma
217
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
VL 5
¨ L = {an bn |n ≥ 0} ist NICHT regular ¨ Sei L regular. Sei p ≥ 0 eine beliebige PL-Konstante. Dann gibt es das Wort w = ap bp ∈ L mit |w| = 2p ≥ p, ¨ so dass fur mit ¨ jede Zerlegung w = xyz, namlich x = ai 0 ≤ i ≤ p y = ak fur ¨ k > 0 und i + k ≤ p z = a(p−k−i) bp
gilt I I I
|xy | = i + k ≤ p laut Zerlegung y , , da k > 0 aber xy 0 z = xz = ai a(p−k −i) bp = a(p−k ) bp < L, weil p − k , p fur ¨ k >0 WIDERSPRUCH!!!
¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
218
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ BSP: Lprim ist NICHT regular Lprim = {w|w ∈ {1}∗ und |w| ist Primzahl } Beweis durch Widerspruch: ¨ Annahme: Lprim ist regular Sei p beliebig. Dann gibt es w = 1n mit n Primzahl und n = p + 2. Es sei |y| = m, also |xz| = n − m. Zeigen, dass es ein k gibt, so dass xy k z < L: Wir betrachten k = n − m, also das Wort xy (n−m) z mit |xy (n−m) z| = |xz| + (n − m)|y| = n − m + (n − m)m = (m + 1)(n − m) Dann gilt: (m + 1) > 1, weil m = |y und y , (n − m) > 1, weil n = p + 2 und m = |y | ≤ |xy| ≤ p. Also ist |xy (p−m) z| keine Primzahl, also xy (p−m) z < L WIDERSPRUCH!!! ¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
Aufgabe 38:
Weisen Sie bitte mit Hilfe des Pumping-Lemmas nach, dass 1. L = {1n 01n |n > 0} und 2. L = {w|w = trans(w) und w ∈ {a, b, c}∗} ¨ sind. nicht regular
trans ist rekursiv definiert mit trans() = und trans(xv ) = trans(v )x fur ¨ v ∈ Σ∗ und x ∈ Σ
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
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VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Losung von Aufgabe 38 ¨ Sei L regular. Gegeben sei beliebige PL-Konstante p ∈ N. Dann gibt das ein Wort w = · · · ∈ L mit |w| = · · · ≥ p, so dass fur ¨ jede ¨ Zerlegung in w = xyz – namlich x = ... y = ... z = ... gilt : I
|xy| = · · · ≤ p, weil ....
I
y , , weil ....
I
aber xy k z = · · · < L, weil .....
WIDERSPRUCH!!!
¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
221
VL 5
DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Losung von Aufgabe 38 Ê ¨ Sei L = {1n 01n |n > 0} regular. Gegeben sei beliebige PL-Konstante p ∈ N. Dann gibt das ein Wort w = 1p 01p ∈ L mit |w| = 2p + 1 ≥ p, so dass ¨ fur ¨ jede Zerlegung in w = xyz – namlich x = 1i mit 0 ≤ i ≤ p y = 1j mit 0 < j und i + j ≤ p z = 1p−i−j 01p gilt : I
|xy| = |1i 1j | = i + j ≤ p, weil i + j ≤ p
I
y , , weil 0 < j
aber xy 2 z = 1i 1j 1j 1p−i−j 01p = 1p+j 01p < L, weil p + j , p fur ¨ j > 0. WIDERSPRUCH!!! ¨ Also ist L nicht regular. I
Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung
¨ Losung von Aufgabe 38 Ë ¨ Sei L = {w|w = trans(w) und w ∈ {a, b, c}∗} regular. Gegeben sei beliebige PL-Konstante p ∈ N. Dann gibt das ein Wort w = v ◦ transv ∈ L mit |v | = p, also ¨ |w| = 2p ≥ p, so dass fur ¨ jede Zerlegung in w = xyz – namlich x = v1 mit 0 ≤ v1 ≤ p y = v2 mit 0 < |v2 | und |v1 v2 | ≤ p z = v3 trans(v ) mit v = v1 v2 v3 gilt : I
|xy| = |v1 v2 | ≤ p, laut Zerlegung
I
y , , weil 0 < |v2 | = |y |
I
aber xy 0 z = v1 v3 ◦ trans(v ) < L, weil v , v1 v3
WIDERSPRUCH!!!
¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)
Thema Pumping Lemma
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