Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 18.4. 2012 176 Automatentheorie und formale Sprachen VL 5 ¨ ¨ Sprachen Regulare und ...
Author: Jutta Bösch
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Hoffmann (HAW Hamburg)

Automatentheorie und formale Sprachen

18.4. 2012

176

Automatentheorie und formale Sprachen VL 5 ¨ ¨ Sprachen Regulare und nichtregulare

Kathrin Hoffmann

18. Aptil 2012

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Ausdrucke Endliche Automaten und regulare ¨ I

EAs und RAs beschreiben dieselben Sprachen: ¨ Sprachen Regulare

I

¨ Beweisplan fur ¨ die Aquivalenz: Noch zu zeigen

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

DEA =⇒ RA: k -Pfad I

I I

Idee: Pfade in einem DEA auf Basis der Kantenbeschriftungen in RA uberf uhren ¨ ¨ ¨ Zustande des DEA werden in 1, 2, ..., n umbenannt (k)

Der k -Pfad Rij bezeichnet den RA, dessen Sprache ¨ genau die Worter umfasst, die den Beschriftungen der Pfade von Zustand i nach Zustand j entsprechen, wobei kein Zustand mit einem Namen > k durchlaufen werden darf.

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

k -Pfade durch den Automaten (0)

¨ Ausdrucke Regulare Rij fur ¨ ¨ direkten Weg von i nach j ¨ (uber hochstens 0) ¨ k -Pfad (0) R11 (0) R12 (0) R21 (0) R22

reg. Ausdruck +1 0 ∅ +0+1

k -Pfad (1) R11 (1) R12 (1) R21 (1) R22 (2)

¨ Ausdrucke Regulare Rij ¨ k -Pfad (2) R11 (2) R12 (2) R21 (2) R22

reg. Ausdruck 1∗ ∗ 1 0(0 + 1)∗ ∅ (0 + 1)∗

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(1)

¨ Ausdrucke Regulare Rij fur ¨ den ¨ ¨ Weg uber hochstens 1 von i nach j ¨ reg. Ausdruck 1∗ 1∗ 0 ∅ +0+1

fur 2 von i nach j ¨ den Weg uber ¨

¨ Alle Worter mit mind. einer 0

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Induktive Berechnung der Pfade (k)

Rij

(k−1)

¨ lasst sich aus Rij

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berechnen

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

DEA =⇒ RA I

¨ Zustande des DEA werden in 1, 2, ..., n umbenannt

I

Rij bezeichnet den RA, dessen Sprache genau die Zeichenreihen umfasst, die den Beschriftungen der Pfade von Zustand i nach Zustand j entsprechen, wobei kein Zustand mit einem Namen > k durchlaufen werden darf. (k) (k−1) ¨ Rij lasst sich aus Rij berechnen

I

(k)

(k)

Rij

I

(k−1)

= Rij

(k−1)

+ Rik

(k−1) ∗

(Rkk

(k−1)

) Rkj

(k)

RA ist die Summe aller R1f mit 1 dem Startzustand und f ∈ F einem Endzustand

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

k -Pfade durch den Automaten

k -Pfad (1) R11 (1) R12 (1) R21 (1) R22 k -Pfad (2) R11 (2) R12 (2) R21 (2) R22

reg. Ausdruck 1∗ 1∗ 0 ∅ +0+1

k -Pfad vereinf. Ausdruck (1) R11 1∗ (1) R12 1∗ 0 (1) R21 ∅ (1) R22 +0+1 ind. Pfadausdruck reg. Ausdruck 1∗ + 1∗ 0( + 0 + 1)∗ ∅ 1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 0 + 1 0( + 0 + 1) ( + 0 + 1) 1 0(0 + 1)∗ ∗ ∅ + ( + 0 + 1)( + 0 + 1) ∅ ∅ ( + 0 + 1) + ( + 0 + 1)( + 0 + 1)∗ ( + 0 + 1) (0 + 1)∗

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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

Aufgabe 32: Berechnen Sie bitte den ¨ ¨ aquivalenten regularen Ausdruck. (k)

Rij

(k −1)

= Rij

(k −1)

+ Rik

(k−1) ∗

(Rkk

(k−1)

) Rkj

(1)

k -Pfad (0) R11 (0) R12 (0) R21 (0) R22 (2)

Rij

(1)

= Rij

k -Pfad (2) R11 (2) R12 (2) R21 (2) R22

Rij

reg. Ausdruck a b a b (1)

(0)

= Rij

k -Pfad (1) R11 (1) R12 (1) R21 (1) R22 (1)

a b 1 2 1 2

→ ∗1 2 (0)

(0)

(0)

+ Ri1 (R11 )∗ R1j

reg. Ausdruck a + a(a)∗ a b + a(a)∗ b a + a(a)∗ a b + a(a)∗ b

einfach a∗ a∗ b aa∗ a∗ b

(1)

+ Ri2 (R22 )∗ R2j

reg. Ausdruck a + a∗ b(a∗ b)∗ aa∗ ∗

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einfach a + (a∗ b)+ a ∗

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Bewertung der Konstruktion von RA

I

Ist immer anwendbar

I

Funktioniert auch fur ¨ NEA und -NEA ¨ Aufwandig ¨ ¨ Nach n Induktionsschritten konnen Ausdrucke eine Lange von 4n ¨ Symbolen erreichen ¨ Andere Methode: Eliminierung von Zustanden Idee: ¨ Zustande sukzessive eliminieren und im Gegenzug Beschriftungen durch entsprechend komplexere RAs ersetzen

I

I

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Eliminierung von Zustanden: Generischer Ansatz

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Vorgehensweise bei der Eliminierung

I

¨ Ziel: Automaten, die nur noch aus zwei Zustanden bestehen

I

Startzustand und Zielzustand

I

¨ Und wenn es im Ursprungsautomaten mehrere Zielzustande gibt? Fur ¨ jeden Zielzustand einen ”‘Zweizustandsautomaten””’erzeugen, der nur diesen einen Zielzustand berucksichtigt, ¨ und die resultierenden RAs alternativ zulassen

I

Wenn Startzustand akzeptierend ist, Reduktion bis auf einen Zustand

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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

Generische Resultate der Zustandseliminierung I

Ein Zustand: falls Startzustand ist akzeptierend ¨ Resultierender regularer Ausdruck: R ∗

ODER I

¨ Zwei Zustande: sonst ¨ Resultierender regularer Ausdruck: (R + SU ∗ T )∗ SU ∗

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Zustandseliminierung

¨ Ausdrucke Beschriftungen als regulare ¨

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VL 5

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Zustandseliminierung

Eliminierung des Zustands B

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Zustandseliminierung

¨ Zwei Zielzustande, also zwei alternative Eliminierungen

Resultierender RA: (0 + 1)∗ 1(0 + 1)(0 + 1) + (0 + 1)∗ 1(0 + 1)

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

BSP: Zustandseliminierung

(R + SU ∗ T )∗ SU ∗ Resultierender Ausdruck: (b + aa∗ bb + ((aa∗ ba)((b + aa∗ b)a)∗ (b + aa∗ b)b)∗ (aa∗ ba)((b + aa∗ b)a)∗

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Aufgabe 33: ¨ ¨ Berechnen Sie bitte durch Eliminierungden aquivalenten regularen Ausdruck.

((1 + 01) + 00(0 + 10)∗ 11)∗ 00(0 + 10)∗

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Ausdrucke Endliche Automaten und regulare ¨ I

EAs und RAs beschreiben dieselben Sprachen: ¨ Sprachen Regulare

I

¨ Beweisplan fur ¨ die Aquivalenz: Noch zu zeigen

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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

RA =⇒ -NEA

Satz Fur ¨ jede Sprache L(RA) existiert -NEA E, so dass L(RA) = L(E) gilt. Beweisidee: I

Konstruktion von E

I

genau ein Endzustand

I

keine Transition in den Startzustand

I

keine Transition aus dem Endzustand

Beweisidee: Induktion uber Anzahl der Operationen in RA ¨

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

RA =⇒ -NEA

Satz Fur ¨ jede Sprache L(RA) existiert -NEA E, so dass L(RA) = L(E) gilt. IAnfang:

ISchritt:

a) r = ∅

d) r + s

b) r = 

e) r · s

c) r = a fur ¨ alle a ∈ Σ IBehauptung : r , s sind RA mit n Operationen

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f) r ∗ g) (r )

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Induktionsanfang: -NEAs fur ¨ elementare RAs

a) r = 

a) L() = L(E) = {}

b) r = ∅

b) L(∅) = L(E) = ∅

c) r = a fur ¨ a∈Σ

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c) L(a) = {a} = L(E)

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Indukt.schritt: NEAs fur ¨ zusammengesetzte RAs d) Vereinigung: r + s L(E) = L(r ) ∪ L(s)

e) Verkettung: r · s L(E) = L(r ) ◦ L(s)

f) Hulle: r∗ ¨ S L(A) = i≥0 L(r )i = L(r ∗ ) g) Klammern: (r ) L(E) = L(r ) = L((r )) Hoffmann (HAW Hamburg)

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Beispiel: Ubertragung des RA (0 + 1)∗ 1(0 + 1) 1. -NEA fur ¨ 0

2. -NEA fur ¨ 1

3. -NEA fur ¨ (0 + 1)

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Beispiel: Ubertragung des RA (0 + 1)∗ 1(0 + 1)

4. -NEA fur ¨ (0 + 1)∗

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Beispiel: Ubertragung des RA (0 + 1)∗ 1(0 + 1) 5. -NEA fur ¨ (0 + 1)∗ + 1 6. -NEA fur ¨ (0 + 1)∗ + 1 + (0 + 1)

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Aufgabe 34:

¨ Konstruieren Sie bitte zu den folgenden regularen Ausdrucken, die ¨ -NEAs, die die gleiche Sprache beschreiben: 1. 01∗ 2. (0 + 1)01 3. 00(0 + 1)∗

1.

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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

¨ Sprachen und was Was wissen wir uber regulare ¨ nicht?

I

Beschreibung durch I I

¨ Ausdrucke Regulare ¨ Endliche Automaten DEA, NEA, -NEA

I

¨ Beschreibungen sind aquivalent

I

Was ist mit Mengenoperationen? L1 ∪ L2 oder anderen?

I

Wann sind zwei Sprachen gleich? ¨ sind? Gibt es Sprachen, die nicht regular

I

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Aufgabe 35: Abschlusseigenschaften ¨ Die Klasse der regularen Sprachen ist abgeschlossen gegen ... Wahr oder Falsch??? Bitte diskutieren Sie mit Ihren Nachbarn. ¨ sind, dann ist auch Wenn zwei Sprachen L1 und L2 regular I

¨ die Vereinigung L1 ∪ L2 regular

X wahr oder X falsch

I

¨ die Verkettung L1 ◦ L2 regular

X wahr oder X falsch

I

¨ die Potenz Ln1 regular

X wahr oder X falsch

I

¨ der Stern L∗1 regular

X wahr oder X falsch

I

¨ das Komplement L1 regular

X wahr oder X falsch

I

¨ der Durchschnitt L1 ∩ L2 regular

X wahr oder X falsch

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Abgeschlossenheit regularer Sprachen ¨ sind, dann sind folgende Wenn zwei Sprachen L1 und L2 regular ¨ Sprachen auch regular: I

die Vereinigung L1 ∪ L2 : Gegeben ri mit L(ri ) = Li fur ¨ i ∈ {1, 2}, ¨ dann ist L(r1 + r 2) = L1 ∪ L2 also regular.

I

die Verkettung L1 ◦ L2 : Gegeben ri mit L(ri ) = Li fur ¨ i ∈ {1, 2}, ¨ dann ist L(r1 ◦ r 2) = L1 ◦ L2 also regular.

I

die Potenz Ln1 : Gegeben ri mit L(ri ) = Li fur ¨ i ∈ {1, 2, ..., n}, ¨ dann ist L(r1 ◦ r 2 ◦ ... ◦ rn ) = Ln1 also regular.

I

der Stern L∗1 : ¨ Gegeben r mit L(r ) = L1 , dann ist L(r ∗ ) = L∗1 also regular.

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Aufgabe 36: Satz ¨ sind, dann ist auch Wenn zwei Sprachen L1 und L2 regular 1. das Komplement L1 und ¨ 2. der Durchschnitt L1 ∩ L2 regular.

Bitte versuchen Sie, den Satz zu beweisen. Hinweise: 1. Gegeben ein DEA A mit L(A) = L1 . Wie kann dann daraus der Automat fur ¨ L1 konstruiert werden? ¨ 2. Das lasst sich dann ”‘einfach”’ durch Mengenoperationen nachweisen. Hoffmann (HAW Hamburg)

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Losung von Aufgabe 36 1. Gegeben ein DEA A = (Q, Σ, q0 , δ, F ) mit L(A) = L. Dann kann daraus der Automat fur ¨ L konstruiert werden, indem ¨ ¨ die Endzustande und die ”‘Nicht”’-Endzustande vertauscht werden, also durch A = (Q, Σ, q0 , δ, Q \ F ) Es gilt L(A) = {w|δ(q0 , w) ∈ Q \ F } = Σ∗ \ {w|δ(q0 , w) ∈ F } = Σ∗ \ L(A) = S ∗ \ L = L ¨ Sprachen unter 2. Da L1 ∩ L2 = Σ∗ \ (L1 ∪ L2 ) gilt, und regulare Komplement und Vereinigung abgeschlossen sind, ist auch ¨ L1 ∩ L2 regular.

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202

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Zusammenfassung

I I

I I

¨ Sprachen Endliche Automaten erkennen regulare ¨ Sprachen sind abgeschlossen unter Regulare Komplement, Durchschnitt, Vereinigung, Verkettung, Potenz und Kleene-Stern. ¨ Ausdrucke ¨ Sprachen. Regulare beschreiben regulare ¨ ¨ sind? offen: Gibt es Sprachen, die nicht regular ???? L = {an bn } ????

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Was, wenn es keinen Automaten gibt?? ¨ Konstruieren Sie bitte einen DEA oder einen regularen Ausdruck uber ¨ {a, b} fur ¨ L = {w|w = an bn } Dafur ¨ gibt es keinen, aber I warum? I und wie beweisen? ¨ wenn sich ein endlicher Automat A oder ein regularer ¨ L ist regular, ¨ Ausdruck E finden laßt, der L beschreibt, also L(A) = L = L(E) ¨ Aber was, wenn der sich nicht finden laßt? Selbst schuld? Oder doch nicht? Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

204

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

¨ Sprachen Nicht-regulare

I

¨ Sprachen konnen ¨ Regulare beschrieben werden durch: I I I I

I

DEAs NEAs -NEAs ¨ Ausdrucke Regulare ¨

¨ sind. Offenbar gibt es Sprachen, die nicht regular Dies kann mit Hilfe des Pumping-Lemmas bewiesen werden.

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Thema Pumping Lemma

205

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Sprachen Informelle Argumentation fur ¨ nicht-regulare

¨ Annahme: L = {0n 1n |n ≥ 1} sei regular Also: Es gibt DEA, der L akzeptiert. ¨ Dieser DEA hat k Zustande. Nach k + 1 Nullen muss mindestens ein Zustand q zweimal erreicht worden sein. Also: 0i und 0j fuhren beide zu q. ¨ DEA kann nicht ”‘erinnern”’, ob er dafur ¨ i oder j Nullen gelesen hat. Also: DEA ”‘weiß”’ nicht, ob er 1i oder 1j noch lesen muss und kann folglich L nicht erkennen. ¨ Also: gibt es keinen DEA fur ¨ L, also doch nicht regular.

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Thema Pumping Lemma

206

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Beobachtungen

ac abc a bb c a bb c .. . a bn c Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

207

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Beobachtungen

x z xyz x yy z x yyy z .. . x yn z Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

208

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Noch informeller I I

¨ Pumping Lemma benutzt die Endlichkeit des Gedachtnisses. ¨ Worter durfen beliebig lang sein. ¨

I

¨ ¨ Gedachtnis (z. B. Anzahl Zustande) ist aber endlich. ¨ Nur moglich, wenn beim Einlesen eines Wortes (mindestens ein) Zustand mehrfach aufgesucht wird.

I

Dann hat man eine Schleife.

I

Die Schleife kann beliebig oft durchlaufen werden. ¨ Entsprechende Worter mussen dann naturlich auch in der ¨ ¨ Sprache sein, ¨ ¨ weil ja kein Gedachtnis uber die Anzahl der Durchlaufe existiert. ¨

I

I

I

Also: Jedes genugend lange Wort liefert die Grundlage fur ¨ ¨ Zyklen.

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Thema Pumping Lemma

209

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

Pumping-Lemma ¨ Sprachen) (fur ¨ regulare

Pumping Lemma ¨ Sprache. Sei L eine regulare Dann gibt es eine naturliche Zahl p ∈ N, ¨ (die so genannte PL-Konstante) so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit I I I

|xy | ≤ p y , xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N

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Thema Pumping Lemma

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Aufgabe 37: ¨ ¨ Bitte wahlen Sie sich eine folgenden regularen Sprache aus 1. L1 = L(a(bb)∗ cbcb) 2. L2 = {w ∈ {0, 1} | |w| ≥ 13} 3. L3 = {an |n prim und n < 10.000} und suchen Sie eine PL-Konstante, so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit I

|xy| ≤ p

I

y ,

I

xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N

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Thema Pumping Lemma

211

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Losung von Aufgabe 37 ...suchen Sie eine PL-Konstante, so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit |xy| ≤ p, y ,  und xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N.

¨ Losung 1. L1 = L(a(bb)∗ cbcb): p = 8 , dann muss bb enthalten sein, also fur ¨ beliebiges n w = a(bb) cbcb ist Zerlegung x = a, y = bb und z = bbcbcb gultig. ¨ 2. L2 = {w ∈ {0, 1} | |w| ≥ 13}: p = 14 fur ¨ beliebiges w ist Zerlegung x = v1 , y = x und z = v2 fur ¨ x ∈ Σ und v1 , v2 n ∈ Σ∗ gultig. ¨ 3. L3 = {an |n prim und n < 10.000}: p = 10.000, dann gibt es kein w ∈ L mit |w| ≥ p Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

212

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Anwendung des Pumping-Lemmas

Was hilft uns das? ¨ L = {an bn } regular, ¨ konnte ¨ Ware man L aufpumpen.

Na, und???

Indirekter Beweis!!

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Thema Pumping Lemma

213

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Ausflug (Indirekter Beweis)

.... Wenn es regnet, dann ist die Strasse nass

ABER NICHT Wenn die Strasse nass ist, dann regnet es. Die Strassenreinigung war gerade da....

ABER DOCH Wenn die Strasse NICHT nass ist, dann regnet es NICHT.

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Thema Pumping Lemma

214

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

PL (Indirekter Beweis)

Pumping Lemma ¨ dann L aufpumpbar. Wenn L regular,

ABER NICHT ¨ Wenn L aufpumpbar, dann L regular. n n m ¨ z.B. L = {a b c |n, m > 0} ist aufpumbar, aber nicht regular.

ABER DOCH ¨ Wenn L NICHT aufpumpbar, dann L NICHT regular.

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Thema Pumping Lemma

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VL 5

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Beweise mit Hilfe des Pumping Lemmas I

Wozu kann das Pumping Lemma benutzt werden?

I

¨ sind. Fur ¨ Beweise, dass bestimmte Sprachen nicht regular

I

Wie funktionieren diese Beweise dann? ¨ ist, muss man Unter der Annahme, dass die Sprache regular ¨ zeigen, dass es keine langen Worter geben kann, die in der Sprache enthalten sind und (!) eben die Bedingungen des Pumping Lemmas erfullen. ¨

I

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch: ¨ ist. 1. Man nimmt an, dass die Sprache regular ¨ 2. Man betrachtet lange Worter. ¨ 3. Man zeigt, dass bestimmte Zusammenhange dann aufgrund des Pumping Lemmas gelten mussen. ¨ ¨ 4. Man zeigt, dass unter Berucksichtigung dieser Zusammenhange ¨ das Wort nicht in der Sprache enthalten sein kann.

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Thema Pumping Lemma

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular

Pumping Lemma ¨ WENN L regular, DANN L aufpumpbar: Also, dann gibt es eine naturliche Zahl p ∈ N, ¨ so dass jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p zerlegt werden kann in w = xyz mit I |xy| ≤ p I y , I xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N

Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

217

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular

Pumping Lemma WENN L NICHT aufpumpbar Also, wenn es keine PL-Konstante p ∈ N gibt, so dass es fur ¨ jedes Wort w ∈ L mit |w| ≥ p eine Zerlegung gibt in w = xyz mit I |xy| ≤ p I y , I xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N ¨ DANN L NICHT regular

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Thema Pumping Lemma

217

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular

Pumping Lemma WENN L NICHT aufpumpbar Also, wenn fur ¨ jede beliebige PL-Konstante p ∈ N es ein Wort w ∈ L mit |w| ≥ p gibt, fur ¨ das es keine Zerlegung gibt in w = xyz mit I |xy| ≤ p I y , I xy i z ∈ L fur ¨ alle i ∈ N ¨ DANN L NICHT regular

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Thema Pumping Lemma

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Indirekter Beweis ¨ NICHT aufpumpbar =⇒ NICHT regular

Pumping Lemma WENN L NICHT aufpumpbar Also, wenn fur ¨ jede beliebige PL-Konstante p ∈ N es ein Wort w ∈ L mit |w| ≥ p gibt, so das fur ¨ jede Zerlegung in w = xyz gilt I |xy| ≤ p I y , I ABER xy i z < L fur ¨ ein i ∈ N ¨ DANN L NICHT regular

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Thema Pumping Lemma

217

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

VL 5

¨ L = {an bn |n ≥ 0} ist NICHT regular ¨ Sei L regular. Sei p ≥ 0 eine beliebige PL-Konstante. Dann gibt es das Wort w = ap bp ∈ L mit |w| = 2p ≥ p, ¨ so dass fur mit ¨ jede Zerlegung w = xyz, namlich x = ai 0 ≤ i ≤ p y = ak fur ¨ k > 0 und i + k ≤ p z = a(p−k−i) bp

gilt I I I

|xy | = i + k ≤ p laut Zerlegung y , , da k > 0 aber xy 0 z = xz = ai a(p−k −i) bp = a(p−k ) bp < L, weil p − k , p fur ¨ k >0 WIDERSPRUCH!!!

¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

218

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ BSP: Lprim ist NICHT regular Lprim = {w|w ∈ {1}∗ und |w| ist Primzahl } Beweis durch Widerspruch: ¨ Annahme: Lprim ist regular Sei p beliebig. Dann gibt es w = 1n mit n Primzahl und n = p + 2. Es sei |y| = m, also |xz| = n − m. Zeigen, dass es ein k gibt, so dass xy k z < L: Wir betrachten k = n − m, also das Wort xy (n−m) z mit |xy (n−m) z| = |xz| + (n − m)|y| = n − m + (n − m)m = (m + 1)(n − m) Dann gilt: (m + 1) > 1, weil m = |y und y ,  (n − m) > 1, weil n = p + 2 und m = |y | ≤ |xy| ≤ p. Also ist |xy (p−m) z| keine Primzahl, also xy (p−m) z < L WIDERSPRUCH!!! ¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

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VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

Aufgabe 38:

Weisen Sie bitte mit Hilfe des Pumping-Lemmas nach, dass 1. L = {1n 01n |n > 0} und 2. L = {w|w = trans(w) und w ∈ {a, b, c}∗} ¨ sind. nicht regular

trans ist rekursiv definiert mit trans() =  und trans(xv ) = trans(v )x fur ¨ v ∈ Σ∗ und x ∈ Σ

Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Losung von Aufgabe 38 ¨ Sei L regular. Gegeben sei beliebige PL-Konstante p ∈ N. Dann gibt das ein Wort w = · · · ∈ L mit |w| = · · · ≥ p, so dass fur ¨ jede ¨ Zerlegung in w = xyz – namlich x = ... y = ... z = ... gilt : I

|xy| = · · · ≤ p, weil ....

I

y , , weil ....

I

aber xy k z = · · · < L, weil .....

WIDERSPRUCH!!!

¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

221

VL 5

DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Losung von Aufgabe 38 Ê ¨ Sei L = {1n 01n |n > 0} regular. Gegeben sei beliebige PL-Konstante p ∈ N. Dann gibt das ein Wort w = 1p 01p ∈ L mit |w| = 2p + 1 ≥ p, so dass ¨ fur ¨ jede Zerlegung in w = xyz – namlich x = 1i mit 0 ≤ i ≤ p y = 1j mit 0 < j und i + j ≤ p z = 1p−i−j 01p gilt : I

|xy| = |1i 1j | = i + j ≤ p, weil i + j ≤ p

I

y , , weil 0 < j

aber xy 2 z = 1i 1j 1j 1p−i−j 01p = 1p+j 01p < L, weil p + j , p fur ¨ j > 0. WIDERSPRUCH!!! ¨ Also ist L nicht regular. I

Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

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DEA nach RA RA nach -NEA Abgeschlossenheit PL: Motivation Anwendung

¨ Losung von Aufgabe 38 Ë ¨ Sei L = {w|w = trans(w) und w ∈ {a, b, c}∗} regular. Gegeben sei beliebige PL-Konstante p ∈ N. Dann gibt das ein Wort w = v ◦ transv ∈ L mit |v | = p, also ¨ |w| = 2p ≥ p, so dass fur ¨ jede Zerlegung in w = xyz – namlich x = v1 mit 0 ≤ v1 ≤ p y = v2 mit 0 < |v2 | und |v1 v2 | ≤ p z = v3 trans(v ) mit v = v1 v2 v3 gilt : I

|xy| = |v1 v2 | ≤ p, laut Zerlegung

I

y , , weil 0 < |v2 | = |y |

I

aber xy 0 z = v1 v3 ◦ trans(v ) < L, weil v , v1 v3

WIDERSPRUCH!!!

¨ Also ist L nicht regular. Hoffmann (HAW Hamburg)

Thema Pumping Lemma

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