Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de – Aufgabensammlung Um sich schnell innerhalb der ca. 350.000 Mathematikaufgaben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt das

Lesezeichen Ihres Acrobat–Readers: Das Icon finden Sie in der links stehenden Leiste. Bitte beachten Sie: Im Original können Sie alle einzelnen Dateien als WORD–, pdf– oder Open–Office– Dokument aufrufen. Die aktuellen Preise entnehmen Sie bitte unserer homepage. Weitere Fragen beantworten wir Ihnen gerne unter  04639 98360.

Michael Lobsien Geschäftsführer mathepower.de

Unendliche geometrische Reihen 1. Berechne die Summe der unendlichen geometrischen Reihe. a) a1 = 4; q =

e)

2 3

b) a1 = 4; q =

3 5

c) a1 = 4,5; q = g)

f)

4 5

d) a1 = 2; q = −

2 5

h)

mathepower.de

1 a1 = − ; q = 5 1 i) sn = 1 + + 2

1 3 2 9 2 a1 = ; q = –0,7 a1 = − ; q = − a1 = –5; q= − 2 4 5 10 7 1 1 1 4 8 + ... j) sn = 1 − + − ... k) sn = 2 − + − ... 4 4 16 3 9

2. Schreibe als Bruch. a) 0,5 e) 0,127

b) 0,7 f) 0,638

c) 0,27 g) 0,27

d) 0,07 h) 0,3842

3. In ein Quadrat mit der Kantenlänge a = 6 cm wird ein Kreis einbeschrieben, in

Demo

diesen wieder ein Quadrat usw. a) Berechne die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate bzw. Kreise. b) Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise bzw. Quadrate.

4. In ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 10 cm wird ein zweites Quadrat so einbeschrieben, dass man die Mittelpunkte der Seiten des Ausgangsquadrates miteinander verbindet. In das so entstandene Quadrat wird in gleicher Weise ein neues Quadrat einbeschrieben. Dieser Vorgang wird unendlich oft wiederholt. a) Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate? b) Wie groß ist die Summe der Umfänge aller Quadrate?

Aufgabensammlung 5. Ein PKW, der einem Moped folgt, hat zu einem bestimmten Zeitpunkt einen

Abstand von 1 200 m. Die Geschwindigkeit des Pkws ist doppelt so groß wie die des Mopeds. a) Wann wird der PKW das Moped eingeholt haben? b) Wie viel Zeit benötigt der PKW dafür, wenn er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h fährt?

© 2010 mathepower.de

Unendliche geometrische Reihe Eine geometrische Reihe, deren Anzahl der Glieder n → ∞ geht (man sagt: n geht gegen unendlich), heißt unendliche geometrische Reihe. Ist bei einer unendlichen geometrischen Reihe q > 1, so wächst sn über alle Grenzen. Ist bei einer unendlichen geometrischen Reihe q < 1, so gilt:

mathepower.de sn =

a1 1− q

Beispiel: Berechne die Summe der unendlichen Reihe: 1 1 1 sn = 1 + + + + ... 2 4 8 1 Gegeben: a1 = 1; q = 2 1 sn = 1 1− 2 sn = 2

Demo

Aufgabensammlung

© 2010 mathepower.de

Unendliche geometrische Reihen – Lösungen 1. Berechne die Summe der unendlichen geometrischen Reihe. a) a1 = 4; q =

sn =

e)

2 3

b) a1 = 4; q =

4 = 12 1 3

3 5

c) a1 = 4,5; q =

4 5

d) a1 = 2; q = −

2 10 9 sn = = 45 7 7 = 22,5 sn = 2 = 1 2 5 5 f) h) g) 3 2 9 2 a1 = − ; q = − a1 = –5; q= − a1 = ; q = –0,7 4 5 10 7 5 35 − 0,9 9 3 sn = =− = sn = − 15 9 9 1,7 17 4 =− sn = 7 28 7 5 1 1 4 8 j) sn = 1 − + − ... k) sn = 2 − + − ... 4 16 3 9 1 4 2 6 sn = = sn = = 5 5 5 5 4 3 1 2 (a1 = 1; q = − ) (a1 = 2; q = − ) 4 3

4 = 10 0,4

mathepower.de sn =

1 1 a1 = − ; q = 5 2 1 − 2 sn = 5 = − = −0,4 1 5 2 1 1 i) sn = 1 + + + ... 2 4 1 sn = = 2 1 2 1 (a1 = 1; q = ) 2

Demo

Aufgabensammlung

2. Schreibe als Bruch. a) 0,5 5 1 a1 = ; q= 10 10 5 5 sn = 10 = 9 9 10 e) 0,127 127 sn = 999

© 2010 mathepower.de

b) 0,7 7 1 a1 = ; q= 10 10 7 7 sn = 10 = 9 9 10 f) 0,638 638 sn = 999

c) 0,27 d) 0,07 27 1 7 1 a1 = ; q= a1 = ; q= 100 100 100 100 27 7 sn = 27 100 99 sn = = 99 99 100 g) 0,27 h) 0,3842 2 7 5 42 sn = 0,38 + sn = + = 1000 10 90 18 951 = 2475

2 5

3. In ein Quadrat mit der Kantenlänge a = 6 cm wird ein Kreis einbeschrieben, in diesen wieder ein Quadrat usw. a) Berechne die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate bzw. Kreise. b) Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise bzw. Quadrate. a) Für die Flächen der Quadrate gilt: sn = 36 + 18 + 9 + ... = 72

mathepower.de

Für die Flächen der Kreise gilt: sn = 9π + 4,5π + ... ≈ 56,55

Die Summe der Flächeninhalte ist ca. 128,55 cm². b) Für die Umfänge der Quadrate gilt: sn = 4 ⋅ 36 + 4 ⋅ 18 + ... q = 0,5 24 sn = ≈ 81,94 cm 1 − 0,5 Für die Umfänge der Kreise gilt: sn = 2 9 ⋅ π + 2 4,5 ⋅ π +...

Demo

q = 0,5 6⋅π ≈ 64,36 cm sn = 1 − 0,5 Die Summe der Umfänge beträgt ca. 64,36 cm.

Aufgabensammlung

4. In ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 10 cm wird ein zweites Quadrat so einbeschrieben, dass man die Mittelpunkte der Seiten des Ausgangsquadrates miteinander verbindet. In das so entstandene Quadrat wird in gleicher Weise ein neues Quadrat einbeschrieben. Dieser Vorgang wird unendlich oft wiederholt. a) Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate? b) Wie groß ist die Summe der Umfänge aller Quadrate? a) Für die Flächeninhalte gilt: sn = 100 + 50 + 25 + ... 1 q= 2 sn = 200 [cm²] b) Für die Umfänge gilt: sn = 4 ⋅ 100 + 4 ⋅ 50 + ... q = 0,5 sn ≈ 136,56 cm Die Summe der Flächen ist 200 cm², die Summe der Umfänge ca. 136,56 cm.

© 2010 mathepower.de

5. Ein PKW, der einem Moped folgt, hat zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Abstand von 1 200 m. Die Geschwindigkeit des Pkws ist doppelt so groß wie die des Mopeds. a) Wann wird der PKW das Moped eingeholt haben? b) Wie viel Zeit benötigt der PKW dafür, wenn er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h fährt? 1 a) a1 = 1200 m; q = 2 sn = 2400 m

mathepower.de

Nach 2400 m wird der PKW das Moped eingholt haben. b) t =

s 2,4 = =0,03 [h] = 1,8 min v 80

Er benötigt 1 Minute und 48 Sekunden.

Demo Aufgabensammlung

© 2010 mathepower.de