Handreichung zum Rahmenplan Mathematik (Sek. I) Stadtteilschule und Gymnasium

Fassung vom 24.10.2011

Dr. Andreas Busse (Koordination) Waltraut Barthel Dr. Winfried Euba Willi Heinsohn Dr. Wolfgang Löding Bärbel Zweiling

Inhalt

Einleitung

S. xx

Kompetenzorientierung im Mathematikunterricht

S. xx

Exemplarische Analysen ausgewählter Aufgaben

S. xx

Beispiele für kompetenzorientierte Aufgaben

S. xx

Ergänzungen zu den Mindestanforderungen der Rahmenpläne

S. xx

Stadtteilschule Ende Jahrgang 6 auf zwei Anforderungsniveaus

S. xx

Stadtteilschule Ende Jahrgang 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss Ende Jahrgang 9/erster allgemeinbildender Abschluss Ende Jahrgang 10/mittlerer Schulabschluss

S. xx

Stadtteilschule Ende Jahrgang 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe Ende Jahrgang 11/Übergang in die Studienstufe

S. xx

Ende Jahrgang 6 Ende Jahrgang 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe Ende Jahrgang 10/Übergang in die Studienstufe

S. xx

Gymnasium

Die Regelanforderungen exemplarisch aufgebrochen in Unterrichtsvorhaben

S. xx

Einleitung Die vorliegende Handreichung zu den Rahmenplänen Mathematik für Stadtteilschulen und Gymnasien konkretisiert für das Fach Mathematik die in diesen Plänen geforderte Kompetenzorientierung. Beide Schulformen der Sekundarstufe I – Stadtteilschule und Gymnasium – werden hier gemeinsam betrachtet. Das liegt zum einen darin begründet, dass beide Schulformen im Anschluss an die Sekundarstufe I die Möglichkeit zum Abitur bieten. Zum anderen ist davon auszugehen, dass es in beiden Schulformen leistungsstarke und weniger leistungsstarke Schülerinnen und Schüler gibt. Unterschiede bestehen im Allgemeinen in der zahlenmäßigen Verteilung auf diese beiden Gruppen. Dort, wo die Rahmenpläne der beiden Schulformen voneinander abweichen, wird gesondert darauf hingewiesen. Das betrifft einerseits die teilweise abweichende Zuordnung von Anforderungen zu Jahrgängen, andererseits die auf die Abschlüsse der Sekundarstufe I bezogenen Anforderungen, die in den Rahmenplänen der Stadtteilschule zu finden sind. Zum Aufbau der Handreichung: Sie beginnt mit einer auf das Fach Mathematik bezogenen Charakterisierung eines kompetenzorientierten Unterrichts. In diesem Abschnitt wird versucht, den Bogen von einem eher theoretischen Kompetenzmodell zur konkret-alltäglichen Unterrichtspraxis zu schlagen. Da Aufgaben in einem hohen Maße den Mathematikunterricht konstituieren, folgt im Anschluss daran eine exemplarische Analyse dreier ausgewählter Aufgaben aus der Perspektive des vorgestellten Kompetenzmodells. Anschließend findet sich eine strukturierte Übersicht analysierter und geordneter Beispielaufgaben. Da die in den Rahmenplänen aufgeführten Mindestanforderungen weder den Unterricht noch eventuelle Prüfungen beschreiben, folgen in Form erweiterter Tabellen zusätzliche Anforderungen, die die Mindestanforderungen der Rahmenpläne auf regelhaft zu Erwartendes ergänzen. Diese Handreichung schließt mit einem konkreten Vorschlag, wie die Regelanforderungen in Form von Unterrichtseinheiten realisiert werden können.

Kompetenzorientierung im Mathematikunterricht Den Ausführungen in dieser Handreichung liegt ein dreidimensionales Kompetenzmodell zur Charakterisierung einer Mathematikaufgabe zugrunde1. Die drei Dimensionen werden im Folgenden genannt und aufgeschlüsselt: inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen •

Zahl

•

Messen

•

Raum und Form

•

funktionaler Zusammenhang

•

Daten und Zufall

allgemeine mathematische Kompetenzen •

mathematisch modellieren

•

mathematisch argumentieren & kommunizieren

•

Probleme mathematisch lösen

•

mathematische Darstellungen verwenden

•

mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Anforderungsbereiche2 •

reproduzieren (I)

•

Zusammenhänge herstellen (II)

•

verallgemeinern und reflektieren (III)

Mithilfe dieser drei Dimensionen lässt sich das wesentliche Ziel eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts wie folgt formulieren:

Ziel eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts (1. Fassung) Alle Leitideen, alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen und alle Anforderungsbereiche sollen in möglichst allen Zusammenstellungen realisiert werden. Aus diesem eher abstrakt und als Gebot formulierten Ziel folgt unter anderem das Verbot, sich lediglich auf einige allgemeine mathematische Kompetenzen zu beschränken. So ist ein Unterricht, der im Wesentlich darauf abzielt, dass die Schülerinnen und Schüler mit symbolischen, technischen und formalen Ele-

1

vgl. dazu das sehr lesenswerte und praxisorientierte Buch von Blum, W. et al. (Hg.) (2006). Bildungsstandards Mathematik: konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor.

2

siehe weiter unten den Exkurs zu den Anforderungsbereichen

menten der Mathematik umgehen, nicht mit dem Ziel eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts vereinbar. Fertigkeiten sind wichtig, reichen aber bei Weitem nicht aus. Ebenso ist beispielsweise eine Beschränkung auf nur einen Anforderungsbereich in einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht nicht möglich. So ist etwa ein Unterricht, der auf das Reproduzieren von Verfahren (Anforderungsbereich I) fokussiert, nicht als kompetenzorientiert im genannten Sinne zu bezeichnen. Die drei Dimensionen zur Charakterisierung von Mathematikaufgaben lassen sich auch grafisch in einem Koordinatensystem darstellen:

In dieser Darstellung wird eine Aufgabe durch einen Punkt – oder durch eine Gruppe mehrerer Punkte – repräsentiert. Aus dieser Perspektive lässt sich das oben genannte Ziel eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichtes neu formulieren:

Ziel eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts (2. Fassung) Der zur Verfügung stehende Raum soll unter Vermeidung weißer Flecken mit Punkten gefüllt werden. Die dreidimensionale Charakterisierung von Mathematikaufgaben hilft bei der Analyse, Auswahl und Erstellung von Unterrichtsmaterial. In diesem Sinne geht die später in dieser Handreichung folgende Sammlung analysierter Aufgaben über eine bloße Aneinanderreihung mathematischer Probleme hinaus. Mit dem vorgestellten Kompetenzmodell und den darauf basierenden Zielformulierungen ist es in einer pragmatischen Weise möglich, seinen eigenen Unterricht kompetenzorientiert zu planen und zu beurteilen. Dabei kann die Frage "Welche weißen Flecken sind noch zu füllen?" als griffiges Leitmotiv fungieren.

Exkurs Anforderungsbereiche Die verwendeten Anforderungsbereiche (AFB) lassen sich wie folgt beschreiben: •

AFB I (Reproduzieren): Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten.

•

AFB II (Zusammenhänge herstellen): Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen.

•

AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren): Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern.

Die Anforderungsbereiche sind nicht zu verwechseln mit der Mühe, die ein Schüler oder eine Schülerin mit einer bestimmten Aufgabe hat. So kann etwa das Lösen einer quadratischen Gleichung auch nach wochenlanger Behandlung des Verfahrens im Unterricht für einen Schüler eine langwierige und schwierige Tätigkeit sein, trotzdem handelt es sich im Wesentlichen eine Reproduktionsleistung und die Aufgabe ist somit dem AFB I zuzuordnen. Andersherum kann auch eine als weniger schwer empfundene Aufgabe durchaus den Anforderungen des AFB III entsprechen, wenn etwa ein Problemlöseprozess unter Entwicklung eigener Strategien stattfindet. Mit anderen Worten: Anforderungen des AFB III sind nicht notwendig schwieriger, sie erfordern aber andere und vielschichtigere kognitive Aktivitäten. Deshalb können (und müssen!) sich auch leistungsschwache Schülerinnen und Schüler mit Anforderungen der höheren Anforderungsbereiche auseinandersetzen. Obwohl der Anforderungsbereich als eine der Aufgabe inhärente Eigenschaft gilt, spielt doch der vorangegangene Unterricht eine wichtige Rolle dabei, ob eine Anforderung eher im reproduktionsbetonenden AFB I oder in höheren Anforderungsbereichen zu verorten ist. So könnte – um im obigen Beispiel zu bleiben – die Beschäftigung mit einer quadratischen Gleichung ohne vorherige Instruktion über Lösungsverfahren eine kognitiv anspruchsvolle Erkundung darstellen und dem AFB III zugeordnet werden. Somit ist es möglich, dass ein und dieselbe Aufgabe abhängig vom Unterrichtskontext durchaus unterschiedlichen Anforderungsbereichen zuzuordnen ist.

Exemplarische Analysen ausgewählter Aufgaben Mathematikunterricht wird in einem hohen Maße durch Aufgaben konstituiert. Aus diesem Grunde findet sich im Mittelteil der vorliegenden Handreichung im Anschluss an diesen Abschnitt eine umfangreiche Sammlung von Beispielaufgaben, die aus der Perspektive des vorgestellten Kompetenzmodells analysiert wurden. In diesem Abschnitt nun werden drei Aufgaben dieser Sammlung einer ausführlicheren Analyse unterzogen. Daran soll exemplarisch deutlich werden, auf welche Weise die Aufgabeneigenschaften hergeleitet wurden. Zu jeder der hier und später aufgeführten Aufgaben ist eine Tabelle angegeben, in der wesentliche Aufgabeneigenschaften in übersichtlicher Weise zusammengefasst sind. Zur Erläuterung ist an dieser Stelle eine Mustertabelle abgebildet: STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

x

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

x

Raum & Form

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Erläuterung der Mustertabelle Links oben an der Tabelle findet sich ein schulformbezogener Hinweis darauf, in ungefähr welchen Jahrgängen die Aufgabe am ehesten anzusiedeln ist. Diese Angabe dient nur der groben Orientierung; je nach Schule sowie Schülerin oder Schüler kann die betreffende Aufgabe auch in anderen Jahrgängen sinnvoll zu bearbeiten sein. In den ersten drei Zeilen der Tabelle ist angegeben, an welchen Stellen in den Rahmenplänen die inhaltlichen Anforderungen für die Aufgabe beschrieben sind. Dabei werden die folgenden Abkürzungen verwendet: STS 6 mind.

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 an der Stadtteilschule

STS 6 erhöht

erhöhte Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 an der Stadtteilschule

GY 6 mind.

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 am Gymnasium

STS 8 mind. wenn Ziel MSA ESA mind. STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe MSA mind. STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 an der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss (vormals Realschulabschluss) Mindestanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss (vormals Hauptschulabschluss), in der Regel an Stadtteilschulen Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 an der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 am Gymnasium mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe Mindestanforderungen für den mittleren Schulabschluss (vormals Realschulabschluss),in der Regel an Stadtteilschulen Mindestanforderungen für den Übergang in die Studienstufe, an Stadtteilschulen nach Jahrgangsstufe 11 Mindestanforderungen für den Übergang in die Studienstufe, an Gymnasien nach Jahrgangsstufe 10

Die in der Tabelle zur Aufgabenbeschreibung dann folgenden drei Zeilen beziehen sich auf die dreidimensionale Charakterisierung von Mathematikaufgaben: Einer Aufgabe werden nach Leitideen geordnete inhaltliche Kompetenzen, allgemeine mathematische Kompetenzen sowie (mindestens) ein Anforderungsbereich zugeordnet. Die Zuordnungen der genannten Kompetenzen zu den einzelnen Aufgaben sind nicht in allen Fällen eindeutig vorzunehmen. In der einen oder der anderen Weise kommen in den meisten Aufgaben mehrere, manchmal gar alle der genannten Kompetenzen zum Tragen. In der vorliegenden Handreichung werden deshalb nur die für eine bestimmte Aufgabe zentralen mathematikbezogenen Kompetenzen genannt. Es wird also nicht in jeder Aufgabe, bei der etwas zu rechnen ist, die Leitidee Zahl hervorgehoben und nicht in jeder Aufgabe, die einen Realitätsbezug aufweist, die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch modellieren aufgeführt. Wenn es aber um strukturelle Eigenschaften von Zahlen geht, dann wird die Leitidee Zahl erwähnt; analog ist erst dann von mathematischem Modellieren zu sprechen, wenn etwa Modellierungsannahmen ins Spiel kommen oder eine komplexe Übertragung von der Realität in die Mathematik vorgenommen werden muss. Wie bei den Leitideen und den allgemeinen mathematischen Kompetenzen unterliegt auch die Zuordnung zu Anforderungsbereichen einer gewissen Uneindeutigkeit (siehe dazu die Ausführungen im vorangegangenen Exkurs). Die Zuordnung zu den Anforderungsbereichen ist also in diesem Sinne mit einem gewissen Vorbehalt zu sehen. Bei manchen offeneren Aufgaben, die auf sehr unterschiedliche Arten und auf sehr verschiedenen Niveaus bearbeitet werden können, ist eine Zuordnung zu Anforderungsbereichen teilweise sogar unmöglich; in diesen Fällen wurde die jeweilige Aufgabe mehreren Anforderungsbereichen zugeordnet. Die hier und im Folgenden aufgeführten Aufgaben werden den in den Rahmenplänen verwendeten jahrgangs-, abschluss- und schulformbezogenen Minimalanforderungen zugeordnet. Bei dieser Zuordnung wurde jeweils der schwerste Aufgabenteil zugrundgelegt. Das hat beispielsweise zur Folge, dass gewisse Aufgaben, die in der Vergangenheit in ähnlicher Form für die Realschulabschlussprüfung verwendet worden sind, in der folgenden Aufgabensammlung nicht mehr in der Kategorie "MSA mind." zu finden sind, weil gewisse Aufgabenteile aus inhaltlicher Sicht die Minimalanforderungen sprengen. Daraus darf jedoch nicht der Schluss gezogen werden, dass in Zukunft Prüfungen leichter werden. Die darlegten Minimalanforderungen beschreiben weder den Unterricht noch die Prüfungen vollständig. Das impliziert, dass der Unterricht – und damit auch eine Prüfung – inhaltlich deutlich über die dargelegten Minimalanforderungen hinausgehen muss. Auch bezüglich der allgemeinen mathematischen Kompetenzen muss der Unterricht die Möglichkeit zu guten und sehr guten Leistungen bieten. Auf den folgenden Seiten werden drei ausgewählte Aufgaben exemplarisch einer genaueren Analyse unterzogen. Dabei werden neben einer Lösungsskizze auch Begründungen für die Zuordnungen im Rahmen der dreidimensionalen Charakterisierung von Mathematikaufgaben, Anmerkungen zum Einsatz im Unterricht sowie zum Differenzierungspotenzial gegeben.

Noten werfen nach: Herget, W. (1997). Wahrscheinlich? Zufall? Wahrscheinlich Zufall… In: mathematik lehren, 85, 4-8.

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

mathematisch modellieren

STS 5-6

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Dein Mathematiklehrer hat keine Lust mehr, sich Gedanken über die Zensuren zu machen. Stattdessen wirft er Münzen. Dazu nimmt er vier Münzen: 1 Cent, 2 Cent, 5 Cent und 10 Cent. Er schüttelt alle vier Münzen in der Hand und lässt sie dann auf den Tisch fallen. Dabei passt er sehr auf, dass nichts herunterfällt. Dann guckt er, wie oft die Seite mit der Zahl oben liegt. Zu dieser Anzahl addiert er 1, und schon ist die Note fertig! Was hältst du von diesem Vorgehen? Lösungsskizze Insgesamt gibt es 16 verschiedene Ausgänge des Versuchs. Viermal Zahl ist einer von ihnen, er führt zur Note 5 und tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/16 auf. Etwa durch systematisches Zählen erhält man analog die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(Note 1) = 1/16; P(Note 2) = 4/16 =1/4; P(Note 3) = 6/16 = 3/8; P(Note 4) = 4/16 = 1/4; P(Note 6) = 0. Bei der geforderten Beurteilung durch den Schüler oder durch die Schülerin müssen Aspekte wie Gerechtigkeit und Realitätsnähe eine Rolle spielen. Dabei müssen die Unmöglichkeit der Note 6 sowie die Symmetrie der Verteilung beachtet werden. Zuordnung zu Leitideen Die Zuordnung zur Leitidee Daten & Zufall ist naheliegend und dominant, da es sich hier um ein Zufallsexperiment handelt. Andere Leitideen kommen auch zum Tragen; so wird die Leitidee Zahl durch die Konstruktion von Brüchen aus ganzen Zahlen berührt. Auch die Leitidee funktionaler Zusammenhang spielt eine Rolle, weil gewissen Versuchsausgängen Zahlenwerte zugeordnet werden. In geringerem Umfang kommen die Leitideen Raum & Form (Symmetrie der Münzen führt zur Symmetrie der Wahrscheinlichkeiten) und Messen (Messen mit einem Vielfachen der Einheit 1/16) zum Zuge. Dieses Verwobensein verschiedener Leitideen ist typisch für etwas komplexere mathematische Fragestellungen. Nennt man nun jedoch alle vorkommenden Leitideen, führt dies zu einer recht schwammigen Aussage über den inhaltlichen Charakter der Aufgabe. Deshalb wird sich hier auf die zentrale Leitidee der Aufgabe – Daten & Zufall – beschränkt. Zuordnung zu allgemeinen mathematischen Kompetenzen Die Aufgabenstellung hat einen deutlich offenen Charakter. Das Ziel, die Abgabe eines Urteils, ist zwar gegeben, der Weg dorthin aber nicht. Es müssen eigene Wege jenseits von der Abarbeitung von Verfahren gefunden werden. Aus diesem Grunde wird die allgemeine mathematische Kompetenz Probleme ma-

thematisch lösen gefordert. Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe lässt sich das Staunen über die Erkenntnis, dass die Note 6 unmöglich ist, kaum verhindern. Dies führt sofort zu Nachfragen seitens der Mitschülerinnen und Mitschülern nach dem Grund, dies wiederum führt zur Notwendigkeit zu argumentieren. Schließlich soll ein Urteil abgeben werden, es soll also kommuniziert werden. Hier wird mithin die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch argumentieren & kommunizieren gefordert. Die beiden genannten Kompetenzen sind zentral für die Bearbeitung dieser Aufgabe und sind deshalb diejenigen, die hervorgehoben werden. Ähnlich wie bei den Leitideen werden aber auch weitere allgemeine mathematische Kompetenzen gefordert: mathematisch modellieren kommt zur Wirkung, weil mathematische Methoden zur Lösung eines mehr oder weniger realen Problems verwendet werden; mathematische Darstellungen benutzen geschieht fast unvermeidbar bei der Beschäftigung mit mathematischen Problemen; mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen ist ebenfalls fast immer ein Bestandteil einer Problembearbeitung. Die drei letztgenannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden zwar zur Aufgabenbearbeitung benötigt, prägen aber nicht den Charakter der Aufgabe. Zuordnung zu Anforderungsbereichen Die Aufgabe erfordert komplexe kognitive Tätigkeiten wie Strategieentwicklung und Beurteilung. Sie ist damit dem AFB III zuzuordnen. Bemerkenswert ist, dass die Aufgabenstellung und ihre Lösung nicht wirklich schwierig sind (erfahrungsgemäß kommen auch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler mit ihr zurecht), trotzdem der AFB III zum Tragen kommt. Anmerkungen zum Einsatz im Unterricht Die Aufgabe eignet sich sehr gut zu Beginn einer Unterrichtseinheit zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zentrale Begriffe und Zusammenhänge (z. B. relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit) lassen sich an dieser Stelle anhand einer nichttrivialen, aber dennoch überschaubaren Aufgabe problematisieren. Hilfreich ist es, Geldmünzen parat zu haben. Das ermöglicht einerseits Experimente, anderseits kann es der Veranschaulichung der Fragestellung dienen. Partnerarbeit ist empfehlenswert, weil zum einen arbeitsteilig gearbeitet werden kann, zum anderen der notwendige Austausch geregelt stattfinden kann. Eine produktive Diskussion kann sich an die Frage nach dem Grund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung anknüpfen. Hierbei hat sich das Gedankenexperiment als hilfreich erwiesen, den Versuch auf einem Glastisch durchzuführen, wobei ein Schüler oder eine Schülerin unter dem Tisch sitzt und das Ergebnis aus dieser Perspektive protokolliert. Die Symmetrie wird dadurch schnell offenkundig. Differenzierendes Potenzial der Aufgabe Wie viele eher offen gestellte Aufgaben trägt auch diese ein hohes Potenzial zur natürlichen Differenzierung in sich. Von einem experimentellem Ansatz mithilfe von Häufigkeitstabellen über einen materialgestützten (Münzen) etwas abstrakteren Zugang bis hin zu rein theoretischen Überlegungen lässt diese Aufgabe eine ganze Palette von Herangehensweisen zu. Besonders interessant ist an dieser Stelle, dass die experimentelle Herangehensweise vermutlich andere Ergebnisse als die theoriegeleitete liefert und man auf diese Weise auf neue und für die Wahrscheinlichkeitsrechnung zentrale Fragen stößt.

Wohngemeinschaft STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

Anforderungsbereich

I

II

III

x

x

Kevin, Songül, Johanna und Sven wollen eine Wohngemeinschaft gründen. Sie haben sogar schon eine Wohnung gefunden. Über die Verteilung der Zimmer sind sie sich schnell einig geworden (siehe Grundriss). Pro Monat müssen Sie für Miete und Nebenkosten insgesamt 819 € zahlen. Es stellt sich nun die Frage, wer wie viel zahlt. Kannst du einen Rat geben?

Lösungsskizze Zu dieser Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung, weil sie wesentliche Charakteristika einer offenen Modellierung aufweist. Häufige Lösungsideen sind beispielsweise die folgenden: • Die Gesamtkosten werden zu gleichen Teilen auf alle verteilt. • Die Gesamtkosten werden anteilig zur Zimmergröße verteilt, die Kosten für Gemeinschaftsräume werden zu gleichen Teilen verteilt. • Die Gesamtkosten werden anteilig zur Zimmergröße verteilt, die Kosten für Gemeinschaftsräume werden zu gleichen Teilen verteilt; dabei werden zusätzliche Qualitäten der Räume berücksichtigt (Fensteranzahl, WC-Nähe etc.).

Zuordnung zu Leitideen Letztlich hängt bei einer derart offenen Aufgabe die Zuordnung zu Leitideen von der Art des Herangehens ab. Wird in irgendeiner Weise die Größe der Räume berücksichtigt, rückt die Leitidee Messen in den Vordergrund. Durch die Angabe eines Maßstabes und die offensichtliche Verschiedenheit der Grundrissflächeninhalte wird dies nahegelegt. Aus diesem Grund wird die Leitidee Messen als die zentrale erachtet. Wie bei fast allen Aufgaben kommen auch hier weitere Leitideen ins Spiel: Zahl (Größenvergleiche), Raum & Form (Annahme der Grundrisse als Rechtecke), funktionaler Zusammenhang (Zuordnung von

Kosten zu Personen). Diese Leitideen werden in diesem Kontext jedoch als nachrangig betrachtet. Wählt ein Schüler oder eine Schülerin den sehr individuellen Lösungsweg des Auswürfelns der Kosten, könnte gar die Leitidee Daten & Zufall dominant werden. Hier hat man ein Beispiel dafür, dass die Leitidee nicht ausschließlich eine Eigenschaft der Aufgabe ist, sondern auch von der bearbeitenden Person beeinflusst werden kann. Zuordnung zu allgemeinen mathematischen Kompetenzen Die Aufgabenstellung erfordert in sehr klarer Weise eine mathematische Modellierung. Es muss anhand sachkontextualer Erwägungen (z. B. "Was ist eine gerechte Aufteilung?") und Annahmen (z. B. "Alle Zimmer sind in einem akzeptablen Zustand.") ein mathematisches Modell gefunden werden. Insofern wird hier die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch modellieren gefordert. Die Kompetenz mathematisch modellieren ist eine sehr umfassende, andere Kompetenzen finden sich in ihr wieder. Trotzdem soll die Kompetenz mathematisch argumentieren & kommunizieren hier besonders hervorgehoben werden, weil diese im Kontext der Aufgabe einen besonderen Stellenwert hat: Die Auswahl eines Kriterium für die Aufteilung verlangt argumentative Abwägungen verschiedener Aspekte. Aus diesem Grund wird diese allgemeine mathematische Kompetenz hier unterstrichen. Die Kompetenz Probleme mathematisch lösen hingegen liegt bei dieser Aufgabe eher aufgehoben in der Modellierungskompetenz, das Typische dieser Kompetenz – die Anwendung heuristischer Strategien – kommt hier weniger zum Tragen. Auch die Kompetenz mathematische Darstellungen verwenden ist bei dieser Aufgabe eher randständig, es sei denn, ein Schüler oder eine Schülerin beschreitet einen diesbezüglichen Weg – etwa über ein Kreisdiagramm. Da dies aber eher nicht zu erwarten ist, wird diese Kompetenz nicht besonders hervorgehoben. Ähnliches gilt für die Kompetenz mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen; die Fertigkeitsanforderungen dieser Aufgabe stehen nicht zuvörderst. Zuordnung zu Anforderungsbereichen Im Rahmen des Modellierungsprozesses ist Strukturieren und Beurteilen erforderlich; bei der rechnerischen Bearbeitung müssen bekannte mathematische Techniken in einem neuen und vermutlich ungewohnten Kontext angewendet werden. Insofern zeigen sich Aspekte der Anforderungsbereiche II und III. Anmerkungen zum Einsatz im Unterricht Diese Bearbeitung dieser Aufgabe ist vor der Behandlung der Prozentrechnung wenig sinnvoll, weil Grundvorstellungen und technische Fertigkeiten im Zusammenhang mit Anteilen vermutlich noch nicht ausreichend entwickelt sind. Zu empfehlen ist die Bearbeitung in Kleingruppen, weil das Argumentieren und das Abwägen des Aufteilungskriteriums einer Auseinandersetzung bedürfen. Zu erwarten ist, dass es Gruppenergebnisse gibt, die eine gleichmäßige Kostenaufteilung vorschlagen. Dem können sinnvolle sachkontextuelle Überlegungen zugrunde liegen, hier kann aber auch ein Hinweis auf mangelnde Anstrengungsbereitschaft oder fehlende mathematische Fertigkeiten vorliegen. Dies ist bei der Beurteilung und Rückmeldung zu beachten. Differenzierendes Potenzial der Aufgabe Modellierungsaufgaben wie die vorliegende bieten in einer ganz spezifischen Weise die Möglichkeit produktiver leistungsheterogener Arbeitsgruppen. Da mathematische Modellierungen stets auch eine Beschäftigung mit den sachkontextualen Aspekten des Problems erfordern, können mathematisch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler in diesem Bereich wertvolle Diskussionsbeiträge liefern. Bei der

vorliegenden Aufgabe können das etwa Erfahrungen aus dem familiären Umfeld mit der Frage der gerechten Verteilung oder auch nur gesunder Menschenverstand sein. Die Aufgabenstellung hat auch ein selbstdifferenzierendes Potenzial, indem die Komplexität des gewählten mathematischen Modells den eigenen mathematischen Fertigkeiten angepasst wird. Hier jedoch ist beim Prozess der Validierung der Lösungen kritisch nachzufragen, ob die gefundene Lösung wirklich eine zufriedenstellende Antwort auf die gestellte reale Frage ist.

Drogenerfahrungen STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c)

x x x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

x x x

II

III

x x x

Du findest in einer Zeitung die folgende Kurzmeldung: Alles wird gut: Mehr als zwei Drittel der minderjährigen Jugendlichen haben keine Drogenerfahrungen In einem Landkreis wurden alle Personen zwischen 14 und 22 Jahren nach ihren Drogenerfahrungen befragt. Unter den Befragten waren 89 % noch nicht volljährig. Von diesen minderjährigen Jugendlichen haben lediglich 33 % schon Konsumerfahrungen mit Drogen gesammelt. Bei den Volljährigen liegt der Anteil derjenigen, die bereits Drogen konsumiert haben, jedoch bei besorgniserregenden 75 %.

a)

Erstelle ein vollständiges Baumdiagramm zu diesem kleinen Zeitungsartikel.

b)

Erstelle auch eine vollständige Vierfeldertafel zu diesem Artikel.

c)

Ein Journalist möchte das Datenmaterial anders interpretieren. Ihm schwebt folgende Schlagzeile vor: "Alarm: Mehr als drei Viertel der Drogenerfahrenen sind minderjährig!" Begründe, wie auch diese Schlagzeile – die in der Tendenz der ganz oben genannten zu widersprechen scheint – aus den Daten und Berechnungen der vorherigen Aufgabenteile zu belegen ist.

Lösungsskizze a)

b) volljährig minderjährig

c)

keine Drogen 0,11⋅0,25 = 0,0275 0,89⋅0,67 = 0,5963 0,6238

Drogen 0,11⋅0,75 =0,0825 0,89⋅0,33 = 0,2937 0,3762

0,11 0,89 1

0,2937:0,3762 ≈ 0,7807 Dieser Wert (ca. 78 %) gibt den Anteil der Minderjährigen unter den Drogenerfahrenen an. Er ist größer als drei Viertel, somit ist die Schlagzeile durch Daten untermauert.

Zuordnung zu Leitideen In der Aufgabe geht es im Kern um die Interpretation von Daten und von relativen Häufigkeiten, somit ist sie der Leitidee Daten & Zufall zuzuordnen. Die Leitidee Zahl tritt nur vermittelt über Daten in Erscheinung; die Leitidee funktionaler Zusammenhang tritt auf eine ähnliche Weise nur vermittelt auf, indem gewissen Personengruppen relative Häufigkeiten zugeordnet werden. Die Leitideen Messen sowie Raum & Form kommen nicht zum Tragen. Zuordnung zu allgemeinen mathematischen Kompetenzen In fast reiner Weise wird bei dieser Aufgabe die allgemeine mathematische Kompetenz mathematische Darstellungen verwenden gefordert. Hier geht es nicht lediglich darum, dass eine mathematische Darstellung benutzt wird (dies ist bei allen mathematischen Problemen der Fall), sondern es wird zunächst ein Text in eine formalere Darstellung (Baumdiagramm) übertragen, anschließend wird diese in eine andere (Vierfeldertafel) umgewandelt. Im letzten Aufgabenteil muss zudem noch entschieden werden, welche der Darstellungsformen heranzuziehen ist. In Aufgabenteil c) wird eine datenbasierte Begründung für eine Aussage gefordert. Zudem ist eine genaue Analyse der Textstruktur wichtig, um den Unterschied zwischen den beiden Überschriften zu erkennen. Insofern ist hier die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch argumentieren & kommunizieren relevant.

Trotz des Realitätsbezuges der Aufgabenstellung ist die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch modellieren in dieser Aufgabe eher als zweitrangig zu betrachten, denn typische Merkmale einer Modellierung (etwa Komplexität, Notwendigkeit zur Vereinfachung, Offenheit) fehlen. Ebenso ist die Kompetenz Probleme mathematisch lösen nicht als zentral zu beachten. Hier fehlen beispielsweise die Merkmale der Strategiebildung und der Offenheit. Ebenso ist die Kompetenz mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen nur als marginal anzusehen, da die Fertigkeitsanforderungen hier eher gering sind. Zuordnung zu Anforderungsbereichen In den ersten beiden Aufgabenteilen muss ein vertrautes Vorgehen (die Begriffe Baumdiagramm und Vierfeldertafel werden offenbar als bekannt vorausgesetzt) in einem unbekannten Kontext, auf eine neue textlich dargestellte Situation angewendet werden. Damit übersteigt die Anforderung die bloße Reproduktion. Diese beiden Aufgabenteile werden daher dem AFB II zugeordnet. Die Anforderungen im letzten Aufgabenteil sind komplexer: Die Struktur der Schlagzeile muss entschlüsselt und der Bezug zu den Daten und Berechnungen muss hergestellt werden. Daher ist der letzte Aufgabenteil dem AFB III zuzuordnen. Anmerkungen zum Einsatz im Unterricht Diese Aufgabe stellt relativ hohe kognitive Anforderungen an Schülerinnen und Schüler. Wie viele Fragestellungen im Kontext der bedingten Wahrscheinlichkeit ist sie gedanklich etwas sperrig und erfordert eine sorgfältige Behandlung. Empfehlenswert ist die Bearbeitung in Paaren, weil dadurch einerseits ein Gesprächspartner oder eine Gesprächspartnerin zur argumentativen Schärfung der eigenen Gedanken gegeben ist, andererseits – im Gegensatz zu einer Gruppenarbeit – die Konzentration auf nur eine Person und ihre Argumentationen nötig ist. Mit Blick auf den folgenden Mathematikunterricht dient die Aufgabe auch als Ausgangspunkt für die kritische mathematische Analyse realer Zeitungsmeldungen. Differenzierendes Potenzial der Aufgabe Die Aufgabe für sich betrachtet hat wenig selbstdifferenzierendes Potenzial. Es gibt zwar unterschiedliche Herangehensweisen, die sich aber im Kern nicht unterscheiden. Bei dieser Aufgabe besteht ein sinnvoller Umgang mit Leistungsheterogenität also in der Differenzierung durch Aufgabenvariation: Durch kleine Abänderungen und Hilfestellungen kann die Aufgabe im Schwierigkeitsgrad verändert werden. So kann etwa als erleichternder Schritt explizit die Erstellung eines Baumdiagramms mit vertauschter Reihenfolge gefordert werden, oder man gibt eine lückenhafte Vierfeldertafel vor, die lediglich ergänzt werden muss. Als Variation durch Ergänzung für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler bietet sich an, das selbstständig eine neue Aufgabe mit anderen Zahlenwerten, aber ähnlich widersprüchlich klingenden Aussagen produziert wird. Ob diese Variationen ad hoc im Unterricht stattfinden oder als bereits vorbereitete schriftliche Fassung vorliegen ist nicht zuletzt eine Frage des leistbaren Aufwandes.

Beispiele für kompetenzorientierte Aufgaben Im Folgenden findet sich eine umfangreichere Sammlung von Aufgaben, die aus der Perspektive des vorgestellten Kompetenzmodells analog den drei im letzten Abschnitt gezeigten Beispielen analysiert wurden. In vielen Fällen handelt es sich bei diesen Aufgaben um veränderte Fassungen aus den Lernstandserhebungen (LS), den schriftlichen Prüfungen zum Hauptschulabschluss (HA) und zum Realschulabschluss (RA) sowie aus den schriftlichen Überprüfungen an Gymnasien (sÜ). Zudem wurden in geringerem Umfang Aufgaben der Literatur entnommen oder von Kolleginnen und Kollegen zur Verfügung gestellt. Drei ausgewählte Aufgaben wurden bereits im vorigen Abschnitt exemplarisch genauer analysiert. Weitgehend verzichtet wurde auf Aufgaben zur reinen Fertigkeitsentwicklung. Anforderungen dieser Art finden sich jedoch zum einen bei vielen der Aufgaben in eingebetteter Form wieder, zum anderen gibt es hierzu reichhaltiges Material in Schulbüchern. Die Aufgaben sind im Wesentlichen sortiert •

zunächst nach Jahrgang (orientiert an dem erstgenannten Jahrgang der Stadtteilschule)

•

dann nach Leitidee,

•

dann nach Anforderungsbereich.

Arithmagone STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

GY 6 mind.

GY 5-6

MSA mind.

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

a) b)

ESA mind.

mathematisch modellieren

STS 5-6

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x

x

x

Ein Arithmagon ist ein Dreieck, an dessen Eckpunkten und Seiten sich Zahlen befinden. Dabei ergibt sich die Zahl an einer Seite dadurch, dass man die Zahlen an den beiden Eckpunkten addiert. Schreibe jeweils die fehlenden Zahlen an das Dreieck. a)

b)

Interessante Zerlegungen Variation einer Aufgabe der Mathematikolympiade 1996/97

STS 5-6

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x

a) Das Innere der Figur soll in vier kongruente Teilfiguren zerlegt werden. Dabei dürfen die kleinen Quadrate nicht zerschnitten werden und die Summe der Zahlen in jeder der vier Teilfiguren muss gleich sein. b) Warum klappt die Zerlegung nicht, wenn man statt der nebenstehenden Zahlen die Zahlen von 1 bis 20 auf die zwanzig Felder verteilt?

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x x

mathematische Darstellungen verwenden

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Probleme mathematisch lösen

x x

allgemeine mathematische Kompetenz

mathematisch argumentieren & kommunizieren

a) b)

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

12 14 13 5

8

11

3

1

7

17

15 10

9

4

20 19

6

2

16

8

Zahlenmauern variiert nach Blum, W. et al. (Hg.) (2006). Bildungsstandards Mathematik: konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor, S. 117

STS 5-6

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c)

x x x

x x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

f funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

Die folgenden Zahlenmauern werden so gebildet, dass in den Stein, der über zwei Steinen liegt, das Produkt der dortigen Zahlen geschrieben wird. a) Ergänze die fehlenden Zahlen. 625 8 2

25 4

4

b) Die Zahl, die im oberen Stein erscheint, heißt Zielzahl. Die Zielzahl sei 72. Ergänze die anderen Zahlen in der Zahlenmauer. Gibt es eine Lösung mit ausschließlich natürlichen Zahlen? Gibt es mehrere? 72

c) Die Zielzahl sei jetzt 1 600. Die Zahlen in der ersten Zeile sind durch die Variablen a und b gegeben, a und b seien natürliche Zahlen. Ermittle a und b. 1600

a

b

b

a

Fähre KMK-Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss - Aufgabenbeispiel

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

GY 6 mind.

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x x x x

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

MSA mind.

x

Probleme mathematisch lösen

GY 5-6

a) b) c) d)

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

I

x x

x x

II

III

x x

x

An der Anlegestelle einer großen Fähre findet sich diese Preistabelle: Einzelkarte

1 Person

50,00 €

Blockkarte

8 Personen

380,00 €

Blockkarte

20 Personen

900,00 €

a) Berechne den günstigsten Preis für 16 Personen. b) Welchen Preisnachlass erhält Peter, wenn er statt 20 Einzelkarten die entsprechende Blockkarte kauft? c) Für eine Gruppe aus 24 Personen rechnet Frank einen Preis von 1 140,00 € aus. Maike meint, dass die Gruppe günstiger fahren kann. Hat sie Recht? Begründe. d) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Welcher Preis wäre dafür angemessen? Begründe.

Anteil

Variiert nach RA 2009, Ersttermin

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

x

Raum & Form

Zahl

Leitidee

Probleme mathematisch lösen

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-6

I

x

II

III

x

Gib an, welche der folgenden Figuren zu zwei Dritteln gefärbt ist und begründe deine Entscheidung.

Figur Variiert nach HA 2009, Ersttermin

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

x

Ein Kästchen des Rechenpapiers hat wie üblich die Seitenlänge 0,5 cm. Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt der abgebildeten Figur und begründe dein Vorgehen.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

allgemeine mathematische Kompetenz

Probleme mathematisch lösen

x

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

mathematisch modellieren

STS 5-6

Anforderungsbereich

I

II

x

III

Superman LS 8, 2010, Heft B (H/R/GS)

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Leitidee

Zahl

MSA mind.

x

x

Die Gemeinde Metropolis verehrt den Comic- und Spielfilmhelden Superman (siehe Foto). (120 000 Dollar wurden in seine Statue investiert.) Wie groß ist die Superman-Statue ungefähr? Notiere deinen Lösungsweg.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

Probleme mathematisch lösen

STS 5-9

Anforderungsbereich

I

II

x

III

Winkelgrößen schätzen STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

x

Daten & Zufall

Raum & Form

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Leitidee

Zahl

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

mathematisch modellieren

STS 5-6

Anforderungsbereich

I

II

x

Adolar hat mehrere Winkel gemessen. Dabei hat er eine ganze Reihe Fehler gemacht. Kannst du sie ohne nachzumessen finden?

143° 43° 90° 70°

280°

263° 132°

110°

142° 27°

90°

III

Rekordfahrt Variiert nach HA 2007, Ersttermin STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

I

x

x

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

Daten & Zufall

mathematisch modellieren

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

a) b) c)

MSA mind.

x

mathematische Darstellungen verwenden

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

II

x

III

x

x

x

x

Am 2. September 2006 stellte eine Lok mit der Höchstgeschwindigkeit 357 km/h (357 Kilometer pro Stunde) einen neuen Weltrekord auf. Bis dahin betrug der Weltrekord 331 km/h. a)

Die Rekordfahrt ging über eine Strecke von 34 km und dauerte 10 min. Berechne, wie schnell der Zug bei der Rekordfahrt durchschnittlich gefahren ist.

b)

Begründe, warum für jede Fahrt gilt: „Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist kleiner als die erreichte Höchstgeschwindigkeit auf dieser Strecke.“

c)

Kadir behauptet: „Wenn bei den Testfahrten 360 km/h erreicht werden, fährt der Zug pro Sekunde 100 Meter“. Überprüfe, ob diese Aussage stimmt.

Viereck im Koordinatensystem Variiert nach HA 2007, Haupttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

x x

Daten & Zufall

Raum & Form

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

a) b)

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematische Darstellungen verwenden

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

Ein Grundstück liegt an einer Straßenecke. Auf diesem Grundstück wird ein viereckiges Haus gebaut. Dessen vier Eckpunkte haben, bezogen auf die Straßenecke, folgende Koordinaten: A (4 m | 5 m); B (11 m | 7 m); C (11 m | 18 m); D (4 m | 12 m) a) Trage die Punkte in ein Koordinatensystem sinnvoller Größe ein. b) Bestimme die Grundfläche des Hauses.

Körpervolumen

Aufgabe 1: LS Gy8, 2009 Aufgabe 2: variiert nach Neubert & Nieberle (2001): Mathe – mach dich fit, Arbeitsheft 6. Schuljahr. Westermann.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

x x

Daten & Zufall

Raum & Form

x x x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

a) b) c)

MSA mind.

x

Probleme mathematisch lösen

GY 5-6

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

x x x

I

II

III

x x x

a) Der Körper ist aus gleichen Würfeln zusammengesetzt. Berechne das Volumen des gesamten Körpers. b) Es soll ein Quader entstehen. Bestimme, wie viele Würfel mindestens fehlen. c) Bestimme, wie groß das Volumen des Quaders dann ist.

Puzzleteile LS RS/IHR 8, 2008

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

x

Welches dieser Puzzleteile hat den größten Flächeninhalt? Kreuze das Kästchen unter der richtigen Lösung an und begründe deine Antwort.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

Raum & Form

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

x

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Probleme mathematisch lösen

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

Anforderungsbereich

I

II

x

III

Körperformen Variiert nach Aufgaben aus Handreichung „Rund um den Würfel“

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

GY 6 mind.

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Probleme mathematisch lösen

GY 5-6

a) b) c)

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

x x

a) Benenne die Körperformen, denen die unten abgebildeten Gegenstände aus deiner Umwelt ähneln. b) Ordne die Gegenstände nach gemeinsamen Eigenschaften. c) Suche dir einige Gegenstände heraus und skizziere die dazugehörigen Netze.

Würfel kippen aus: mathematik lehren

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

x

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

a) b)

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematische Darstellungen verwenden

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

Anforderungsbereich

I

x x

II

III

x x

Der Würfel wird von seinem Startfeld aus um seine Kante auf das mit A bezeichnete Feld gekippt. a) Dann geht es weiter über Feld B, C bis zum Feld D. Welche Augenzahl ist nun oben? b) Jetzt soll beim Start die Augenzahl 6 oben liegen. Der Weg: A – B – C – D – E. Welche Augenzahl ist nun am Ende oben?

Würfelnetze finden Variiert nach Aufgaben aus Handreichung „Rund um den Würfel“

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

MSA mind.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

mathematisch modellieren

STS 5-6

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Diese Würfel sind keine „normalen Würfel“ (Spielwürfel). Die Würfel A bis F werden jeweils in drei Ansichten gezeigt. Die Würfelnetze 1 bis 6 zeigen die Oberflächen dieser ganz besonderen Würfel. Suche zu jedem Würfel A bis F die entsprechenden Würfelnetze 1 bis 6.

Würfelaugen einzeichnen

Variiert nach Aufgaben aus Handreichung „Rund um den Würfel“

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

MSA mind.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

mathematisch modellieren

STS 5-6

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Jede der folgenden vier Aufgaben A, B, C und D zeigt drei verschiedene Ansichten a), b) und c) eines Würfels, der aber kein „normaler Würfel“ (Spielwürfel) ist. Zeichne die Würfelaugen in die zugehörigen Würfelnetze.

Pyramidennetze STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

x

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

MSA mind.

x

Probleme mathematisch lösen

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-6

I

x

II

III

x

Die großen Pyramiden in Ägypten bestehen aus einer quadratischen Grundfläche und vier dreieckigen Seitenflächen. Diese Art von Pyramiden – die sogenannten quadratischen Pyramiden – hat verschiedene Netze. Eines von ihnen ist hier bereits abgebildet. Verwende deine Klickies und finde möglichst viele weitere.

Term Variiert nach RA 2009, Ersttermin STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

x

I

x

x

x

a ⋅b für a = 2 und b = 3 beträgt … a −b

–6

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

6

6 5

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

Der Wert des Terms

MSA mind.

x

Probleme mathematisch lösen

GY 5-6

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-9

−

6 5

II

III

Die oben offene Schachtel STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

a) b) c)

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

Daten & Zufall

x x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

x

mathematische Darstellungen verwenden

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 5-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 5-11

x x x

x Anforderungsbereich

I

II

III

x x

x

x x

Bei einem DIN-A4-Blatt (29,7 cm x 21,0 cm) sollen aus den Ecken Quadrate herausgeschnitten werden. Dann werden die Seitenteile hochgeklappt, sodass eine nach oben offene Schachtel entsteht. a) Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 7 cm beträgt. b) Untersuche, ob es eine Seitenlänge x der herausgeschnittenen Quadrate gibt, sodass das Volumen der Schachtel größer als 1 Liter wird. c) Bestimme, für welchen Wert von x das Schachtelvolumen maximal wird.

Mal größer, mal kleiner STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

MSA mind.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

Daten & Zufall

mathematische Darstellungen verwenden

x

x Anforderungsbereich

I

x

Gegeben sind zwei Terme: x² und 6x – 5. Man kann für die Variable x Zahlen einsetzen. Manchmal wird dabei der Wert des ersten Terms größer, manchmal der des zweiten. Ermittle alle Zahlen, für die der Wert des zweiten Terms größer wird.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 5-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 5-11

II

III

x

x

Sportfest Variiert nach HA 2009, Ersttermin STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

x

mathematische Darstellungen verwenden

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Zahl

Messen

Leitidee

x

x x x

x

a) b) c)

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Probleme mathematisch lösen

GY 5-6

MSA mind.

x x

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

STS 5-9

I

II

III

x x x

Zehn Schüler der Klasse haben am Sportfest teilgenommen. Hier sind ihre Ergebnisse:

Leon Mustafa Michael Timon Kim Alex Henrick Christoph Sebastian Andrew

100-m-Lauf (in s) 15,3 14,9 16,3 15,9 14,8 15,0 15,8 14,4 15,9 16,7

Weitsprung (in m) 4,85 5,01 3,81 4,33 4,57 4,45 4,17 4,73 4,13 3,85

Ballwurf (in m) 46 40 42 39 43 45 39 48 53 39

a)

Die Wettkämpfe werden einzeln gewertet, und es wird auch eine Gesamtwertung im Dreikampf durchgeführt. Erstelle zunächst für den 100-m Lauf eine Rangliste.

b)

Die Ergebnisse der einzelnen Disziplinen (Laufen, Weitsprung, Ballwurf) werden mit Hilfe einer Tabelle (siehe unten) in Punkte umgerechnet. So erhält man zum Beispiel für einen Ballwurf von 50 m genau 414 Punkte. Ab 975 Punkten erhält man eine einfache Urkunde, ab 1 225 Punkten eine Ehrenurkunde. Bestimme, welcher der Schüler Christoph, Kim und Mustafa eine Ehren- oder eine Siegerurkunde erhält. 100-m-Lauf Weitsprung Ballwurf

Zeit in s Punkte Weite in m Punkte Weite in m Punkte

14,4 368 4,57 450 38 341

14,5 361 4,61 455 39 347

14,6 354 4,65 459 40 353

14,7 347 4,69 463 41 360

14,8 341 4,73 467 42 366

14,9 334 4,77 472 43 372

15,0 328 4,81 476 44 378

15,1 322 4,85 480 45 384

15,2 315 4,89 484 46 390

15,3 309 4,93 488 47 396

15,4 303 4,97 492 48 402

15,5 297 5,01 496 50 414

c) Für fünf Schüler wurden die Punktzahlen schon ausgerechnet: Schüler Punkte

Leon 1179

Timon 1045

Alex 1150

Henrick 1034

Sebastian 1106

Gib an, welches der folgenden Diagramme die Punktzahlen der ausgewählten Schüler richtig darstellt. Begründe, warum die beiden anderen Diagramme falsch sind.

Diagramm A

Diagramm B

Diagramm C

Marathontraining Variiert nach VA 8 Gesamtschule Kurs I 2006

STS 5-6

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x x

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

I

x

x

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

a) b) c)

Messen

Zahl

Leitidee

x

II

III

x x

Frau Lauf ist Mitglied im „Laufclub 06“ und trainiert für einen Stadtmarathon. Sie führt ein Trainingstagebuch über die in der Trainingseinheit täglich gelaufenen Kilometer. Auf unterschiedlichen Wegstrecken läuft sie wie folgt: Trainingseinheiten Länge der gelaufeTag nen Strecke 10. August 6 km 11. August 6 km 12. August 5 km 13. August 9 km 14. August 8 km 15. August 7 km 16. August 4 km 17. August 11 km 18. August 5 km 19. August 5 km 20. August 10 km

a) Bestimme für die angegebenen Tage - die am häufigsten gelaufene Streckenlänge, - den Zentralwert der gelaufenen Streckenlängen, - die durchschnittliche tägliche Streckenlänge. b) Bei der Überprüfung ihres Trainingstagebuchs stellt Frau Lauf fest, dass sie einen Fehler gemacht hat. Am 20.08. ist sie tatsächlich 17 km gelaufen. Beschreibe die Auswirkung dieses Fehlers auf die von dir oben berechneten Werte.

c) Im Zeitraum 21.08. – 05.09. möchte Frau Lauf durchschnittlich täglich ca. 9,5 km schaffen. Dabei möchte sie zwischendurch eine Laufpause von insgesamt 2 Tagen einlegen. Stelle einen Trainingsplan für Frau Lauf auf.

Abfall Variiert nach HA 2009, Ersttermin STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

x x x

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Leitidee

a) b) c)

MSA mind.

x x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

GY 5-6

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

Probleme mathematisch lösen

STS 5-9

I

x

x

x x

II

III

x x

Jeder Einwohner in Deutschland produziert im Jahr durchschnittlich 420 kg Abfälle. Abfälle werden unterteilt in Wertstoffe und Restmüll. Wertstoffe werden nicht weggeworfen, sondern gesammelt und wieder verwertet. Alles andere ist Restmüll. Die Durchschnittswerte pro Einwohner und Jahr sind: Textilien

Glas

Kunststoffe

5 kg

30 kg

4 kg

Papier/ Pappe

Kompostierbare Abfälle

Sonstige Wertstoffe

Restmüll

54 kg

30 kg

5 kg

280 kg

Metalle

12 kg

a) Carola behauptet, dass rund drei Viertel aller Abfälle Restmüll sind. Entscheide, ob ihre Aussage richtig ist.

b) Entscheide, welches dieser beiden unten stehenden Diagramme die Anteile der Wertstoffe nicht richtig darstellt. Begründe deine Entscheidung. Diagramm 1

Diagramm 2

c) Hier siehst du die Gebühren für das Abholen von Müll: Grundgebühr: 5,50 € im Monat Größe der Mülltonne

Wöchentliche Abholung

14-tägige Abholung

60 l

11,14 € im Monat

8,36 € im Monat

80 l

12,80 € im Monat

9,60 € im Monat

120 l

14,62 € im Monat

10,97 € im Monat

240 l

23,06 € im Monat

14,62 € im Monat

Herr Berg findet diese Tabelle etwas unübersichtlich. Er möchte auf einen Blick sehen können, wie viel er bei welcher Müllmenge monatlich bezahlen muss. Erstelle für Herrn Berg eine einfache und übersichtliche Darstellung. Präsentiere dein Ergebnis der ganzen Klasse.

Noten werfen nach: Herget, W. (1997). Wahrscheinlich? Zufall? Wahrscheinlich Zufall… In: mathematik lehren, 85, 4-8. Zu dieser Aufgabe finden sich im vorangegangenen Abschnitt detaillierte Anmerkungen. STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 5-6

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Leitidee

Zahl

MSA mind.

x

Probleme mathematisch lösen

x

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 5-6

I

II

III

x

Dein Mathematiklehrer hat keine Lust mehr, sich Gedanken über die Zensuren zu machen. Stattdessen wirft er Münzen. Dazu nimmt er vier Münzen: 1 Cent, 2 Cent, 5 Cent und 10 Cent. Er schüttelt alle vier Münzen in der Hand und lässt sie dann auf den Tisch fallen. Dabei passt er sehr auf, dass nichts herunterfällt. Dann guckt er, wie oft die Seite mit der Zahl oben liegt. Zu dieser Anzahl addiert er 1, und schon ist die Note fertig! Was hältst du von diesem Vorgehen?

Münzen

Beispielaufgabe aus dem Feldtest PISA 2000

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

MSA mind.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Du wirst beauftragt, einen neuen Satz von Münzen zu entwerfen. Alle Münzen sollen rund und silberfarbig sein, aber verschiedene Durchmesser haben. Forscher haben herausgefunden, dass ein idealer Satz von Münzen folgende Anforderungen erfüllt: •

Der Durchmesser der Münzen sollte nicht kleiner als 15 mm und nicht größer als 45 mm sein.

•

Ausgehend von einer Münze muss der Durchmesser der nächsten Münze mindestens 30 % größer sein.

•

Die Prägemaschine kann nur Münzen herstellen, deren Durchmesser in Millimeter ganzzahlig ist (z.B. 17 mm sind zulässig, 17,3 mm nicht).

Entwirf einen Satz von Münzen, der die obengenannten Anforderungen erfüllt. Beginne mit einer 15-Millimeter-Münze. Dein Satz sollte so viele Münzen wie möglich enthalten.

Sonderverkauf Beispielaufgabe zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben/Hauptschulabschluss

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

a) b) c) d) e)

MSA mind.

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

x x x x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

x

x x

x x

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x

In einer Zeitung findest du folgende Anzeige:

a) Berechne den neuen Preis für die Hose. b) Petra geht mit 125 € einkaufen. Sie möchte die Jacke, den Mantel und den Pullover kaufen. Entscheide, ob ihr Geld dafür reichen wird. c) In der Anzeige steht: „Alle Preise sind um mindestens 40 % gesenkt!“ Stimmt die Behauptung? Begründe. d) Schuhe sollen in die Anzeige aufgenommen werden. Ein Paar Schuhe hat vor der Preissenkung 84,50 € gekostet. Bestimme einen möglichen neuen Preis. Begründe. e) Es wurden nach der Preissenkung 11 Hosen, 5 Mäntel, 8 Pullover und 3 Jacken verkauft. Der Händler hatte diese Ware für 1 120 € eingekauft. Berechne den Gewinn oder Verlust für den Händler und gib diese in Prozent an.

Geldanlage

KMK-Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss – Aufgabenbeispiel

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

MSA mind.

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Ein Ehepaar möchte seinen Lottogewinn von 10 000 € für drei Jahre anlegen. Es vergleicht zwei Angebote. Angebot A: Angebot B:

Das Guthaben wird in jedem Jahr mit 4 % verzinst. Der Zinssatz beträgt im 1. Jahr 3 % im 2. Jahr 4 % im 3. Jahr 5 % Bei beiden Angeboten werden die Zinsen am Ende eines jeden Jahres mit verzinst (Zinseszins). Das Ehepaar überlegt: „Sind die beiden Angebote gleich? Es sind doch bei beiden Angeboten im Schnitt 4 % Zinsen pro Jahr.“ Beurteile diese Überlegung.

Zeit für Schule KMK-Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss – Aufgabenbeispiel

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

Anforderungsbereich

I

II

x

Setze dich mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander.

Foto: Andreas Jäger, Regelschule Kaulsdorf

III

Befreundete Stammbrüche STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

x

a) b)

a) Berechne

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

x x

x x

1

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

x x

Anforderungsbereich

I

III

x

1 1 1 1 1 − , − und − . Löse noch zwei weitere Aufgaben dieses Typs. 2 3 3 4 4 5

b) Leite eine Formel her, die zu den Ergebnissen aus a) passt.

II

x

Ebene geometrische Figuren mit gleichem Flächeninhalt zeichnen Variiert nach LS H/R/GS 8, 2009

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

a) b) c) d) e) f) g) h)

x x x x x x x x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

I

x x x x x x x x

Rechtecke a) Zeichne mindestens zwei verschiedene Rechtecke mit dem gleichen Flächeninhalt. b) Begründe, dass die beiden Rechtecke den gleichen Flächeninhalt haben. Dreiecke c) Zeichne mindestens zwei verschiedene Dreiecke mit dem gleichen Flächeninhalt. d) Begründe, dass die beiden Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben. Trapeze e) Zeichne mindestens zwei verschiedene Trapeze mit dem gleichen Flächeninhalt. f) Begründe, dass die beiden Trapeze den gleichen Flächeninhalt haben. Rechteck und Dreieck g) Zeichne ein Rechteck und ein Dreieck mit dem gleichen Flächeninhalt. h) Begründe, dass die beiden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben.

II

x x x x x x x x

III

Wohngemeinschaft Zu dieser Aufgabe finden sich im vorangegangenen Abschnitt detaillierte Anmerkungen. STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

Kevin, Songül, Johanna und Sven wollen eine Wohngemeinschaft gründen. Sie haben sogar schon eine Wohnung gefunden. Über die Verteilung der Zimmer sind sie sich schnell einig geworden (siehe Grundriss). Pro Monat müssen Sie für Miete und Nebenkosten insgesamt 819 € zahlen. Es stellt sich nun die Frage, wer wie viel zahlt. Kannst du einen Rat geben?

Anforderungsbereich

I

II

III

x

x

Container Variiert nach HA 2009, Ersttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

x

Daten & Zufall

x x

MSA mind.

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

a) b)

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

Eine Firma verfügt über ein großes Angebot an verschiedenen Containern. Am meisten gefragt ist der 20-Fuß-Standardcontainer mit den folgenden Innenmaßen: Länge: 5,90 Meter Breite: 2,35 Meter Höhe: 2,39 Meter a) Die Kosten für einen Transport nach China setzen sich zusammen aus 500 € Transportkosten für je 4 m3 und einem Zuschlag von 1,25% für Versicherung. Berechne die Kosten für einen vollständig beladenen Standardcontainer (mit Versicherungskosten). b) Die Firma Jupiter transportiert Lautsprecherboxen in einem Standardcontainer von Hamburg nach München. Die Lautsprecherboxen sind in würfelförmigen Kartons mit einer Kantenlänge von 1,10 m verpackt. Bestimme die Anzahl der Lautsprecherboxen, die in einem Standardcontainer transportiert werden können.

Tennisarena wird Schwimmstadion Variiert nach HA 2007, Ersttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

x x

x

x x

x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

Probleme mathematisch lösen

a) b) c)

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

a) Der Boden des Schwimmbeckens wird mit Betonplatten ausgelegt. Die Betonplatten sind quadratisch und haben eine Seitenlänge von 1 m. Bestimme die Anzahl der Platten, die benötigt werden. b) Drei Pumpen füllen das Schwimmbecken. - Pumpe 1 pumpt 150 Liter pro Minute, - Pumpe 2 pumpt 220 Liter pro Minute, - Pumpe 3 pumpt 300 Liter pro Minute. Berechne die Höhe des Wasserstandes im Becken nach 10 Stunden. c) In einer Zeitung steht: „Insgesamt flossen 775 000 l in das Becken“. Entscheide, ob diese Aussage richtig ist.

Dreiecksfläche LS H/R/GS 8, 2009

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch modellieren

x

Daten & Zufall

Raum & Form

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

x

mathematische Darstellungen verwenden

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 7-9

I

x

II

III

x

Die beiden Geraden in der Zeichnung sind parallel. Timo behauptet: „Die drei dunklen Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt.“ Entscheide, ob Timo recht hat.

Flächenanteil Variiert nach LS 8, 2007

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

Gegeben ist ein Rechteck ABCD. Die Punkte M, N, O und P sind Mittelpunkte der Rechteckseiten. Bestimme, welcher Anteil der gesamten Rechteckfläche dunkel ist.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

Probleme mathematisch lösen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Leitidee

x

MSA mind.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

Anforderungsbereich

I

II

x

III

Trapez LS H/R/GS 8, 2009

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

Probleme mathematisch lösen

mathematisch modellieren

x

Daten & Zufall

Raum & Form

x

x

x

Gegeben ist ein Trapez zwischen zwei vorgegebenen Parallelen. Özgür will ein Quadrat zeichnen, dessen Flächeninhalt genauso groß ist wie der des Trapezes. Zwei Seiten des Quadrats sollen auf den vorgegebenen Parallelen liegen. Sabrina sagt: „Das kann nicht klappen.“ Entscheide, ob sie recht hat.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Haus der Vierecke 1 STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

x x x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Leitidee

a) b) c)

MSA mind.

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

x x

I

II

III

x x x

x

Hier findest du Namen von Vierecken und deren Eigenschaften. a) Trage die Namen der Vierecke in die unten stehende Abbildung ein. b) Ordne jedem Viereck seine Eigenschaften zu. Veranschauliche dein Ergebnis z. B. in einer Tabelle. c) Präsentiere das Ergebnis deiner Klasse.

Drachen

Rechteck

gleichschenkliges Trapez Raute

Quadrat

Parallelogramm allgemeines Viereck gleichschenkliges Trapez

allgemeines Trapez

aneinanderstoßende Seiten stehen senkrecht zueinander

alle Seiten sind gleich lang gegenüberliegende Seiten sind parallel

gegenüberliegende Seiten sind gleich lang Diagonalen sind gleich lang

Diagonalen stehen senkrecht zueinander gegenüberliegende Winkel sind gleich groß alle Seiten sind verschieden lang

Diagonalen halbieren sich

alle Winkel sind gleich groß zwei Seiten sind gleich lang zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel

alle Winkel sind unterschiedlich groß

Haus der Vierecke 2 STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

x

a) b) c) d) e) f)

x x x x x x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

x x

x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

x x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x x

Wir gehen im „Haus der Vierecke“ auf Entdeckungsreise. a) Zeichne folgende Figuren (die Seitenlängen der Figuren bestimmst du): unsymmetrisches Viereck, Drachen, Trapez, Parallelogramm, Raute, Rechteck und ein Quadrat b) Zeichne in deine Figuren alle möglichen Symmetrieachsen ein. c) Notiere in einer Tabelle die Anzahl der Symmetrieachsen mit den dazugehörigen Namen der gezeichneten Figuren. d) Ordne die Figuren im „Haus der Vierecke“ nach ihren Symmetrieeigenschaften. e) „Ein Rechteck ist ein besonderes gleichschenkliges Trapez.“ Entscheide, ob diese Aussage wahr ist. f) Panne bei Günther Jauch „Wer wird Millionär?“ Lies den nebenstehenden Zeitungsartikel genau durch. Begründe mit Hilfe deines Hause der Vierecke, warum es bei dieser 16 000-Euro-Frage zwei Antwortmöglichkeiten gegeben hat. Berichtige die Antwortmöglichkeiten, sodass der „Werwird-Millionär-Kandidat“ tatsächlich nur eine Antwortmöglichkeit hat.

Wassertank Variiert nach HA 2009, Ersttermin STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematisch modellieren

x

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

allgemeine mathematische Kompetenz

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

x

mathematische Darstellungen verwenden

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch argumentieren & kommunizieren

STS 7-9

I

x

II

III

x

Ein kugelförmiger Tank wird bei gleichbleibendem Zulauf mit Wasser gefüllt. Gib an, welcher der folgenden Graphen passt und begründe deine Entscheidung.

Kerze Variiert nach HA 2009, Ersttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

GY 6 mind.

MSA mind.

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

mathematische Darstellungen verwenden

Daten & Zufall

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

Probleme mathematisch lösen

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

Anforderungsbereich

I

II

x

Eine 10 cm hohe Kerze brennt gleichmäßig ab. Bei einer Höhe von 2 cm wird sie ausgeblasen. Gib an, welcher der folgenden Graphen passt und begründe deine Entscheidung.

III

Sportarten Variiiert nach Gy B-Heft 2008 STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

x

x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Leitidee

Zahl

MSA mind.

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-9

I

x

II

III

x

Untersuche, ob eine oder mehrere der folgenden Sportarten einen Graphen wie diesen liefern könnten: •

Angeln

•

Fallschirmspringen

•

1000-m-Lauf

•

Stabhochsprung

•

Wasserski

Gemeinsam geht es besser STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

x x

x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematisch modellieren

a) b)

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-9

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

Es sollen Stühle in die Aula getragen werden. Wenn 20 Kinder mitarbeiten, dauert die Arbeit 30 Minuten. a) Berechne, wie lange es dauert, wenn insgesamt 24 Kinder mitarbeiten? b) Berechne, wie lange es dauert, wenn insgesamt 1200 Kinder mitarbeiten? Begründe dein Ergebnis.

Telefongebühren Variiert nach HA 2007, Ersttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

x

x

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

GY 6 mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

Probleme mathematisch lösen

Daten & Zufall

x x x

a) b) c)

MSA mind.

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

mathematisch argumentieren & kommunizieren

GY 7-8

mathematische Darstellungen verwenden

STS 6 mind.

mathematisch modellieren

STS 7-9

x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

x

Alphaphone

B 1 Talk

9,80 € monatliche Grundgebühr 0,08 € / min in alle Netze

Keine monatliche Grundgebühr!!! Eigenes Netz: 0,30 € / min Fremdnetze: 0,75 € / min

a) Frau Hartmann telefoniert im Monat durchschnittlich etwa 40 Minuten, davon 10 Minuten in Fremdnetze. Berate Frau Hartmann, welcher Tarif für sie günstiger ist. b) Begründe, mit welchen Gleichungen man die Kosten K für Alphaphone im Monat nicht berechnen kann. (I) K = 9,8 ⋅ t + 0,08

(II) K = t + 9,8 ⋅ 0,08

(III) K = 0,08 ⋅ t + 9,8

c) In zwei Anzeigen wollen die Firmen „I Com“ und „II Phone“ für ihre Telefontarife werben. Beschreibe die beiden grafisch dargestellten Tarife mit Worten.

Telefonkosten I Com

Telefonkosten II Phone

Diagramme erstellen STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

a) b)

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 7-8

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

a) Führt in eurer Klasse Umfragen zu aktuellen Themen durch (z. B. Berufswünsche, Reisepläne, Freizeitgestaltung, politische Fragen … ) und haltet die Ergebnisse zunächst in einer Häufigkeitstabelle fest. b) Erstellt mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms (z. B. Excel) unterschiedliche Diagramme, die eure Umfrageergebnisse wiedergeben und präsentiert diese der Klasse.

Quadratwurzel ziehen STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 8-9

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

a) b) c) d)

x

Du siehst in der Abbildung ein Quadrat ABCD mit der Diagonalen AC. Die Seitenlänge des Quadrates beträgt 1 cm.

x x x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

x x x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 9-10

I

x

x

II

III

x x

x x

x

Als nächstes wird ein neues Quadrat ACEF gezeichnet. Die Seite dieses neuen Quadrats ist die Diagonale AC des alten Quadrats.

a) Bestimme die Flächeninhalte der beiden Quadrate. b) Begründe, dass die Seitenlänge des Quadrates ACEF 2 beträgt. Bestimme die Seitenlänge mit Hilfe deines Taschenrechners und notiere das Ergebnis mit neun Nachkommastellen. c) Tippe deine notierte Zahl neu in den Taschenrechner ein und quadriere sie. Erläutere das Ergebnis, das dir der Taschenrechner anzeigt.

d) Wiederhole die Aufgabe mit einem Quadrat, das den Flächeninhalt 10 cm² hat und erläutere deine Ergebnisse.

DIN-Formate Beispielaufgabe zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben/Realschulabschluss

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 8-9

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

a) b) c) d) e)

x x x x x

x x x x x

x

x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x x x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x

In dieser Aufgabe geht es um die vom Deutschen Institut für Normung (DIN) festgelegten Papierformate der Reihe A. Wie die Formate miteinander zusammenhängen, zeigt die nebenstehende Abbildung. Das größte Rechteck in der Abbildung stellt das Format A2 dar. a) Eine DIN-A3-Seite soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A6Format verkleinert werden. Gib an, welchem Flächenverhältnis das entspricht und begründe deine Angabe. b) Eine Vorlage im Format DIN-A8 soll mit einem Fotokopierer auf den vierfachen Flächeninhalt vergrößert werden. Gib an, welchem DIN-Format die Vergrößerung entspricht. c) Das größte Blatt der Reihe A hat das Format DIN-A0. Es soll auf DIN-A6-Größe gefaltet werden. Berechne, wie viele Lagen Papier am Ende übereinander liegen. d) Die Seitenlängen jedes DIN-A-Blattes verhalten sich zueinander wie 2 :1 . Ein DIN-A0-Blatt hat eine Fläche von 1 m². Berechne die Seitenlängen eines DIN-A0- und eines DIN-A4-Blattes in mm. e) Ein DIN-A3-Blatt soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A4-Format verkleinert werden. Berechne, auf wie viel Prozent die Anzeige des Fotokopierers eingestellt werden muss.

Lichtgeschwindigkeit Beispielaufgabe zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben/Realschulabschluss

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

a) b) c) d) e)

x x x x x

x

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

I

x x x x x

In dieser Aufgabe geht es um die Lichtgeschwindigkeit c: Es gilt c ≈ 2,9979 ⋅105

II

III

x x x x x km s

.

a) Bestimme die Länge der Strecke in km, die das Licht in einer Stunde zurücklegt, im Überschlag. Beschreibe, wie du gerundet hast und warum. b) Berechne die Länge der Strecke in km, die das Licht in einer Stunde zurücklegt, mit Taschenrechnergenauigkeit. c) Da diese Strecke unvorstellbar groß ist, kann ein Vergleich mit anderen sehr großen Strecken nützlich sein. Beschreibe den Wert aus Aufgabenteil a) oder b) mithilfe der Entfernung Sonne-Erde, die etwa 1,5 ⋅108 km beträgt. d) Berechne, um wie viel Prozent der Überschlagswert von dem mit Taschenrechner berechneten Wert abweicht. e) Die Entfernung Sonne – Erde beträgt ca. 1,5 ⋅108 km . Beurteile die Aussage: „Der Sonnenrand ist schon fast 10 Minuten über dem Horizont, wenn wir die ersten Strahlen sehen.“ Hinweis: Der Einfluss durch Brechung der Lichtstrahlen in der Atmosphäre bleibt hier unberücksichtigt.

Glashaus Variiert nach RA 2006, Zweittermin

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c) d) e)

x x x x x

x x

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x x

x Anforderungsbereich

I

II

III

x

x

x x x x

Ein Haus soll an der Frontseite mit Glasflächen verkleidet werden, die wie folgt unterteilt sind:

a) Gib die Anzahl aller quadratischen Glasscheiben an. Berechne ihren Gesamtflächeninhalt. b) In der nebenstehenden Abbildung siehst du einen Ausschnitt aus dem oberen Teil des Hauses. Berechne den Flächeninhalt der fünfeckigen Glasscheibe. c) Im 1. Stockwerk des Hauses siehst du links und rechts zwei trapezförmige Glasscheiben. Zeichne eine Skizze eines dieser Trapeze. Trage die Maße ein, die bekannt sind. Berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes. d) Eine Seite des Daches soll mit Sonnenkollektoren bestückt werden. Dazu benötigt man den Flächeninhalt einer Dachfläche. Die Länge des Hauses beträgt 16 m. Das Dach steht an allen Seiten jeweils 1 m über. Berechne den Flächeninhalt dieser Dachfläche. e) Mindestens 30 % dieser Dachfläche sollen mit Sonnenkollektoren bestückt werden. Ein Bauteil mit Kollektoren hat die Maße 1005 mm (Länge) und 605 mm (Breite). Berechne, wie viele Bauteile mit Sonnenkollektoren gekauft werden müssen.

Eistüte Variiert nach RA 2007, Haupttermin

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c) d) e)

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x x

x x x x

x

x x

x Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x

Seit über 100 Jahren gibt es essbare Eistüten. Eine moderne Waffelmaschine produziert 20 000 Eistüten pro Stunde. Ein Unternehmen produziert Eiswaffeln in Kegelform. Die Höhe der Eiswaffel beträgt 10 cm und der Durchmesser an der Öffnung 6 cm (siehe Abbildung). a) Für eine Lieferung müssen innerhalb von 2 Tagen 2,5 Millionen Eiswaffeln produziert werden. Die 4 Waffelmaschinen des Unternehmens können pro Tag 16 Stunden eingesetzt werden. Überprüfe durch Rechnung, ob der Auftrag in der Zeit erfüllbar ist. b) Die Eiswaffeln werden maschinell gefüllt und dann tiefgefroren. Die Eisfüllung steht in der Höhe 3,5 cm über (siehe Skizze, nicht maßstäblich). Berechne, wie viel ml Eis für eine Eistüte benötigt werden. c) Für den Verkauf werden die Eistüten verpackt. Im Vergleich zur Oberfläche einer Eistüte benötigt man 12 % mehr Papier für die Verpackung. Berechne den Materialbedarf für die Verpackung von 20 000 Eistüten. d) Lisa und Paul möchten sich ein solches Eis gerecht teilen. Lisa macht den Vorschlag, dass sie das Eis bis zum oberen Rand der Eiswaffel essen darf. Paul lässt sich auf den Vorschlag ein. Untersuche, ob die Teilung gerecht ist. e) Die folgenden Abbildungen zeigen drei unterschiedliche Kreissektoren mit gleichen Radien. Die Kreissektoren werden jeweils ausgeschnitten und zu Kegeln gebogen. Entscheide, welcher Kreissektor den höchsten Kegel ergibt.

Anlage eines Beetes Variiert nach HA 2009, Zweittermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

a) b) c) d)

x x x x

x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

x x x x

x

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 9-10

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

Eine Gärtnerei möchte auf ihrem Gelände ein quadratisches Beet neu gestalten. Dazu wird die nebenstehende Skizze verwendet. Dabei steht R für die Rasenfläche, B für das Blumenbeet und T für den Teich. a) Berechne die Gesamtfläche der Anlage. b) Die Blumenbeete und der Teich sollen vom Rasen durch einen Zaun abgetrennt werden. Berechne die Länge des Zaunes. c) Berechne den Anteil der Blumenbeete an der Gesamtfläche in Prozent. d) Die Gärtnerei möchte, dass die Fläche des Teiches größer als die Rasenfläche ist. Zeige, dass dieses Ziel mit diesen Angaben nicht erreicht werden kann. Mache einen Vorschlag für eine Anlage, bei der die Fläche des Teiches größer als die Rasenfläche ist und präsentiere dein Ergebnis.

Blumenbeet Variiert nach Beispielaufgaben für Vergleichsarbeiten in Kl. 8 (Gymnasium)

STS 9

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b)

x x

x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

I

II

x

III

x

x

x

a) Bestimme den Flächeninhalt des nebenstehend abgebildeten Blumenbeetes möglichst genau. Notiere deine Überlegungen. b) Präsentiere deinen Arbeitsweg und dein Ergebnis vor der Klasse.

Weltrekord-Pizza LS Gy 8, 2010

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x

x

Ungefähr fünf Meter Durchmesser hatte diese Weltrekord-Pizza, die dutzende Bäcker am 27. September 2004 in Neapel auftischten. Diese Weltrekord-Pizza wird in Stücke von etwa 20 cm mal 20 cm zerschnitten und ein Stück wird für zwei Euro verkauft. Alle Stücke werden verkauft. Schätze ab, wie viel die Bäcker ungefähr einnehmen. Erläutere dein Vorgehen.

Probleme mathematisch lösen

mathematisch modellieren

x

Daten & Zufall

Raum & Form

x

x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 9-10

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Umzug Variiert nach HA 2006, Zweittermin

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

x x x

Daten & Zufall

x x x x

x

x x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

a) b) c) d)

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 9-10

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

Olly plant seinen Umzug in eine neue Wohnung. Er benötigt Umzugskartons. In der Tabelle sind Kartons in verschiedenen Größen angegeben.

a) Gib die Außenmaße der Kartons UK1 und UK3 in cm und in m an und berechne den Flächeninhalt der Grundflächen dieser Kartons. Gib das Ergebnis in m² an. b) Olly mietet sich einen Umzugswagen. Der Laderaum des Umzugswagens hat die folgenden Abmessungen: Länge: 4,0 m; Breite: 2,0 m; Höhe: 2,0 m. Vergleiche den Rauminhalt des Kartons UK3 mit dem Laderaum des Umzugswagens. c) Olly möchte die gesamte Grundfläche des Laderaums mit den Kartons UK3 beladen. Die Kartons sollen nicht übereinander gestapelt werden. Sie sollen möglichst dicht nebeneinander geschoben werden. Berechne die Anzahl der Kartons, die auf der Ladefläche Platz finden. d) Olly muss am Ende des Umzugs noch eine Holzrückwand seines Regals (2,55 m hoch, 2,40 m lang und 2 cm stark) transportieren. Ist es möglich, die Rückwand des Regals schräg in den Umzugswagen zu laden? Berechne und begründe dann deine Entscheidung.

Grundstücke

Variiert nach HA 2008, Haupttermin

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

x

x

x

x x

x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mathematische Darstellungen verwenden

x

x

Probleme mathematisch lösen

a) b) c) d)

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 9-10

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

x x x

Im beiliegenden Koordinatensystem sollen Grundstücke geplant werden. a) Gib die Koordinaten der eingezeichneten Punkte A, B und C (siehe Anlage) an. Zeichne einen Punkt D so in das Koordinatensystem ein, dass ABCD ein Parallelogramm ist und gib die Koordinaten von D an. b) Die Einheit im Koordinatensystem beträgt in der Wirklichkeit 10 m. Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks ABCD. c) Ein zweites Grundstück hat folgende Eckpunkte: X( 12 | 3 ), Y( 8 | 6 ), Z( 4 | 3 ) und B. Zeichne die Punkte X, Y und Z in das Koordinatensystem. Zeichne das Viereck BXYZ und benenne die Art dieses Vierecks möglichst genau. d) Das Grundstück BXYZ soll einen Zaun erhalten. Berechne die Länge des Zauns.

Forschung im Dreieck mit dynamischer Geometriesoftware STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

x

x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

x x

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

x x x x

x x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

Raum & Form

a) b) c) d)

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 9-10

x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

a) Zeichne mithilfe einer dynamischen Geometriesoftware (DGS) ein Dreieck samt seiner drei Mittelsenkrechten. b) Bewege mithilfe der DGS nacheinander jede der drei Ecken. Formuliere deine Beobachtungen. c) Führe dasselbe für die drei Winkelhalbierenden durch. d) Notiere deine obigen Ergebnisse zusammenfassend stichwortartig in der folgenden Tabelle.

nur bei Winkelhalbierenden beobachtet

nur bei Mittelsenkrechten beobachtet

sowohl bei Winkelhalbierenden als auch bei Mittelsenkrechten beobachtet

Interessante Ortskurven im Dreieck STS 9-10

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

x

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

Probleme mathematisch lösen

x x

mathematische Darstellungen verwenden

mathematisch argumentieren & kommunizieren

x x

mathematisch modellieren

x x x

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

allgemeine mathematische Kompetenz

Raum & Form

a) b) c)

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

I

x

x

II

III

x x

a)

Zeichne mithilfe einer dynamischen Geometriesoftware eine Gerade durch zwei Punkte A und B. Zeichne einen dritten Punkt C, der nicht auf der Geraden AB liegt. Zeichne eine Parallele g zur Geraden AB durch den Punkt C. Zeichne das Dreieck ABC.

b)

Konstruiere den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC. Nun bewege den Eckpunkt C auf der Geraden g und verfolge mithilfe des Spurmodus, auf welcher Kurve sich der Höhenschnittpunkt bewegt (man spricht von der Ortskurve des Höhenschnittpunktes). Beschreibe diese Kurve, benenne dabei einige charakteristische Eigenschaften und versuche dann, diese zu erklären.

c)

Untersuche analog die Ortskurven des Schwerpunktes, des Schnittpunktes der Winkelhalbierenden sowie des Schnittpunktes des Mittelsenkrechten.

Autokauf Beispielaufgabe zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben/Realschulabschluss (aktualisiert)

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

a) b) c) d) e) f)

x x x x x x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x x x x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x x

Beim Kauf eines Autos stellt sich oft die Frage, ob man ein Fahrzeug mit einem Benzin- oder mit einem Dieselmotor kaufen soll. Schaut man sich die Kosten an, die in einem Jahr entstehen, so kann das eine Hilfe bei der Auswahl zwischen einem Benzin- oder Dieselmotor sein. Eine Autozeitschrift gibt für einen bestimmten Autotyp folgende Zahlen an:

a) Im September 2010 kostete 1 Liter Benzin 1,42 € und ein Liter Diesel 1,21 €. Fülle die nachfolgende Tabelle aus.

b) Gib an, bei welchen jährlich gefahrenen Strecken aus der Tabelle die jährlichen Gesamtkosten für ein Dieselfahrzeug günstiger sind.

c) Berechne, wie viel Geld beim Vergleich der Gesamtkosten bei einer jährlichen Fahrleistung von 30000 km mit einem Dieselauto pro Jahr gespart werden kann. d) Berechne, ab welcher jährlichen Fahrleistung ein Dieselfahrzeug niedrigere Gesamtkosten hat als ein Benzinfahrzeug. e) Ein Neuwagen mit Benzinmotor kostet 17 275 €, ein Neuwagen mit Dieselmotor ist teurer und kostet 18 350 €. Herr Timm will sich einen neuen Dieselwagen kaufen. Pro Jahr fährt er durchschnittlich 30 000 km. Berechne, nach wie vielen Jahren Herr Timm die Mehrkosten ungefähr ausgeglichen hat. f) Herr Timm hat vor genau drei Jahren 12 000 € auf ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 1,9 % eingezahlt. Bestimme, wie viel Geld Herr Timm noch dazulegen muss, um sich jetzt seinen neuen Dieselwagen kaufen zu können.

Brettspiel Variiert nach RA 2007, Haupttermin

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

a) b) c) d) e)

x

x x x x x

x x x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

x x x

x x x

Schüler einer 10. Klasse erfanden folgendes Glücksspiel: Jeder Spieler wählt sich einen Spielstein und setzt diesen auf das Startfeld (siehe nebenstehende Skizze). Wenn ein Spieler an der Reihe ist, kann er – wenn er Glück hat – in Pfeilrichtung ein Feld Richtung Ziel weiterkommen, wie sie in den Regeln neben dem Spielfeld benannt werden. Welchen Weg er dabei plant, ist ihm freigestellt. Man darf ein Feld weiterziehen, wenn man mit zwei Spielwürfeln die zugehörige „Glücksaufgabe“ erfüllt hat (siehe Anlage) Wenn dies nicht gelingt, muss man auf dem Feld stehen bleiben und es in der nächsten Runde erneut versuchen. Die beiden Würfel werden zusammen geworfen. Wer als Erster das Ziel erreicht, hat gewonnen. a) Gib zwei verschiedene Wege auf dem Spielbrett an, wie man ins Ziel gelangen kann, indem du die zugehörigen Aufgabenfelder der Reihe nach benennst. b) Bestimme die Anzahl aller möglichen Wege, die zum Ziel führen. c) Begründe, welche der 8 „Glücksaufgaben“ (siehe Anlage) am leichtesten zu erfüllen ist, und bestimme deren Wahrscheinlichkeit. d) Ein Spieler ist schon 4 Runden auf dem Startfeld stehen geblieben. Er behauptet: „Jetzt ist es aber sehr wahrscheinlich, dass bei meinem nächsten Wurf eine 6 kommt, nachdem ich nun schon viermal aussetzen musste.“ Beurteile seine Behauptung. e) Entscheide, welchen Weg man wählen sollte, um die größten Siegeschancen zu haben.

Anlage zur Aufgabe „Brettspiel“

Spielmaterial Spielsteine in verschiedener Farbe (nach Anzahl der Mitspieler), Spielbrett (s. u.), 2 Spielwürfel

Spielbrett

Regeln Zwei Würfel werden geworfen. Für das Weiterkommen von den Feldern müssen folgende Glücksaufgaben erfüllt werden: Glücksaufgaben (Start): Würfle mindestens eine 6! (1): Würfle mindestens eine ungerade Zahl! (2): Würfle eine Augensumme, die größer als 6 ist! (3): Würfle zwei verschiedene Zahlen! (4): Würfle die Augensumme 5 oder 7! (5): Würfle eine gerade Augensumme! (6): Würfle zwei gerade Zahlen! (7): Würfle eine Augensumme, die kleiner als 7 ist! (8): Würfle zwei gleiche Zahlen!

OTTO Variiert nach VA 8 2005

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x

x x x x

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

x x x x

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

x

allgemeine mathematische Kompetenz

mathematisch argumentieren & kommunizieren

a) b) c) d)

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

In einer Urne befinden sich vier Kugeln. Zwei sind mit dem Buchstaben „O“ beschriftet und zwei mit dem Buchstaben „T“. Zunächst wird viermal nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen: a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchstaben in der gezogenen Reihenfolge das Wort „OTTO“ ergeben. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der zuletzt gezogene Buchstabe ein „O“ ist. Nun werden die vier Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. c) Untersuche, wie sich die Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) ändern. d) Statt des Wortes „OTTO“ soll sich das Wort „TOTO“ ergeben. Untersuche, welchen Einfluss diese Veränderung der Aufgabenstellung auf die Wahrscheinlichkeiten hat.

Lotterie Variiert nach RA 2006, Haupttermin

STS 6 mind.

STS 9

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x x x

a) b) c) d)

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

Eine Klasse möchte auf dem Schulfest eine Lotterie durchführen. Dafür verwenden sie Holzplättchen, auf denen je eine Ziffer steht. Sie verwenden fünf Plättchen mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5. Diese Plättchen sollen aus einer Lostrommel nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden und in der gezogenen Reihenfolge hintereinander gelegt werden. Sie bilden dann eine fünfstellige Zahl. a) Bestimme die Anzahl der möglichen Zahlen, die gezogen werden könnten. (Zur Kontrolle: 120) Die Schülerinnen und Schüler stellen nun 1 200 Lose her, auf denen je eine der 120 möglichen Zahlen als Losnummer gedruckt wird. Sie machen das so, dass insgesamt jede Losnummer genau 10-mal vorkommt. Im Laufe des Schulfestes sollen die Lose verkauft werden. Zu einem geeigneten Zeitpunkt findet die „Ziehung“ statt, wobei mit den 5 Plättchen – wie beschrieben – eine Gewinnzahl gezogen wird. Die Klasse legt dann einen „Gewinnplan“ fest, der als Plakat überall ausgehängt werden soll (vgl. Anlage). b) Bestimme für den Käufer eines einzigen Loses die Wahrscheinlichkeit, dass •

er ein Buch gewinnt,

•

er eine „Riesenwurst mit Beilage“ gewinnt.

Die Schüler planen, ein einzelnes Los für 0,50 € zu verkaufen. Material und Druckkosten betragen insgesamt 12 €. Die Kugelschreiber sind als Werbegeschenk von einem Elternvertreter gestiftet worden. Eine „Riesenwurst mit Beilage“ kalkulieren die Schüler mit 2 € und ein Buch mit 30 €. c) Berechne, wie viel Geld die Schüler bei ihrer Kalkulation übrig behalten werden, wenn sie alle 1 200 Lose verkaufen. d) Bei der staatlichen Lotterie müssen 50 % der Einnahmen als Gewinne ausgeschüttet werden. Untersuche, ob das bei der hier betrachteten Lotterie der Fall ist.

Das große Zahlengewinnspiel ___________________________________

Ziehung der Glückszahl heute um 17 Uhr Die Losnummer ist wichtig: ¾ Nur die letzte Ziffer richtig: Ein Super-Kugelschreiber ¾ Nur die letzten beiden Ziffern richtig: Eine Riesenwurst mit Beilage ¾ Die Glückszahl stimmt mit der Losnummer überein: Ein wertvolles Buch

Bevölkerungsbaum Variiert nach RA 2006, Zweittermin

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

x

a) b) c) d) e) f) g)

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x x x

Schau dir die beiden Bilder an. Sie zeigen dir, wie sich die Altersstruktur im Laufe der Jahre verändert. Abgebildet ist die Anzahl von Männern und Frauen in der jeweiligen Altersklasse in 1000. Die Zahlenleiste in der Mitte bildet das Alter ab, von 0 bis 100 Jahren.

[Quelle: Statistisches Bundesamt Deutschland

Betrachte jede der folgenden Aussagen über die Bevölkerung und entscheide, ob sie aufgrund der Daten richtig ist. Begründe jeweils deine Entscheidung a)

Die Menschen werden immer älter.

b)

Die Wahrscheinlichkeit einen Jungen zu bekommen ist genauso groß wie die ein Mädchen zu bekommen.

c)

Die Zahl der 70-jährigen Frauen steigt immer weiter an.

d)

Die Zahl der Geburten 2001 sinkt nicht gegenüber 1950.

e)

Zwischen 1920 und 1920 wurden auffallend wenige Kinder geboren.

f)

Frauen werden älter als Männer.

g)

Wenn man davon ausgeht, dass Menschen zwischen 18 und 60 Jahren arbeiten, müssen in den nächsten Jahren immer weniger Arbeitnehmer immer mehr nicht arbeitende Menschen ernähren.

Schweinerei RA 2008, Haupttermin

STS 9

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

x x x x x

Probleme mathematisch lösen

x x x x x x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

a) b) c) d) e) f)

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

I

x

x

II

x

III

x

x

x x

x x x

x x

Bei dem Spiel „Schweinerei“ würfelt man mit kleinen Gummi-Schweinen anstatt mit Würfeln. Die Schweine können in unterschiedlicher Lage landen, wie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt. Rechts daneben siehst du die Herstellerangaben für die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Lagen. „Sau“ p = 0,65

„Haxe“ p = 0,06

„Suhle“ p = 0,26

„Schnauze“ p = 0,03

Wahrscheinlichkeiten für die Lage eines Schweines. a) Ein Schwein wurde mehrfach getestet. Die Ergebnisse einer Testreihe findest du in folgender Tabelle (hier wurde ein Schwein 2000-mal geworfen): Lage

„Sau“

„Suhle“

„Haxe“

„Schnauze“

Summe

Absolute Häufigkeit

1288

512

129

71

2000

Relative Häufigkeit

1,0

Berechne die zugehörigen relativen Häufigkeiten und trage sie in die Tabelle in der Anlage ein.

b) Die Daten einer zweiten Testreihe sind in vielen Feldern nicht mehr erkennbar: Lage

„Sau“

Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

„Suhle“

„Haxe“

669

132 0,055

„Schnauze“

Summe

0,0275

Berechne schrittweise in geeigneter Reihenfolge die fehlenden Daten und trage sie in die Tabelle in der Anlage ein. Hinweis: Auch die Gesamtzahl der Würfe in der zweiten Tabelle unterscheidet sich von der in der ersten Tabelle. c) Erläutere, ob die Daten in den beiden Tabellen die Herstellerangaben bestätigen. Für die weiteren Aufgabenteile sollen die Herstellerangaben zu Grunde gelegt werden. d) Ein Schwein wird nacheinander zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Schwein beim ersten Mal „auf Schnauze“ liegt und beim zweiten Mal nicht. e) Es wird nun gleichzeitig mit drei Schweinen geworfen. Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass •

„mindestens ein Schwein auf Schnauze liegt“, ungefähr 8,7 % ist,

•

alle drei in der Position "Sau" landen, ungefähr 27,5 % ist,

•

alle drei in der Position "Suhle" landen, ungefähr 1,8 % ist.

f) Auf einem Schulfest bietet die Klasse 10a für einen wohltätigen Zweck ein Gewinnspiel an. Der Einsatz beträgt 1 €. Dann wird mit 3 Schweinen gleichzeitig geworfen. Der Gewinnplan lautet folgendermaßen: Ereignis Auszahlung

„alle drei Sau“

„mindestens einmal Schnauze“

„alle drei Suhle“

2€

3€

5€

Entscheide, ob die Klasse 10a wirklich mit Einnahmen rechnen kann.

Anlage zur Aufgabe „Schweinerei“

Tabelle zu Aufgabenteil a)

Lage

„Sau“

„Suhle“

„Haxe“

„Schnauze“

Summe

Absolute Häufigkeit

1288

512

129

71

2000

Relative Häufigkeit

1,0

Tabelle zu Aufgabenteil b)

Lage

„Sau“

Absolute Häufigkeit

„Suhle“

„Haxe“

669

132

Relative Häufigkeit

„Schnauze“

0,055

Summe

0,0275

Kopfschmerzen

Variiert nach sÜ 2009, Zweittermin

STS 9-10

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

x

x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Ein Arzt verschreibt seinen Patienten, die über bei Kopfschmerzen klagen, zunächst das Medikament A. In 60 % aller Fälle haben die Patienten danach keine Kopfschmerzen mehr. Wenn das Medikament A nicht hilft, verschreibt er ein Mittel B, welches 50 % dieser Patienten hilft. Bestimme, wie viel Prozent seiner Kopfschmerzpatienten erst nach Einnahme von Mittel A und Mittel B schmerzfrei sind.

Glücksrad HA 2007, Zweittermin

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

x

x x x

mathematische Darstellungen verwenden

x x x x x x

Probleme mathematisch lösen

mathematisch modellieren

x x x x x x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

Daten & Zufall

a) b) c) d) e) f)

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

MSA mind.

x

x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 9-10

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x x x

x

Auf dem Hamburger Dom kommen Kathi und Mike zu einem Stand mit einem Glücksrad. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Pfeil auf B stehen bleibt. b) Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass bei einem Spieldurchgang nicht C angezeigt wird? c) Für ihr Schulfest wollen Kathi und Mike einen eigenen Stand mit einem selbst gebauten Glücksrad anbieten. In die Felder schreiben sie Buchstaben. Dafür wählen sie folgende Wahrscheinlichkeiten: Buchstabe Wahrscheinlichkeit

A

B

C

D

E

1

1

1

1

1

16

2

8

4

16

Nun soll ein geeignetes Glücksrad gebaut werden. Vervollständige das in der Anlage dargestellte Glücksrad. d) Dieses Glücksrad wird 1000-mal gedreht, 750-mal bleibt es auf B stehen. Überlege, ob dieses Ergebnis ungewöhnlich ist und begründe deine Meinung. e) Das Rad wird einmal gedreht. Jacqueline setzt alles auf B, Kevin verteilt den gleichen Einsatz auf C und D. Begründe, dass Jacquelines Gewinnchance größer ist, obwohl sie nur auf ein Feld setzt. f) Kevin notiert sich Ergebnisse. Er stellt fest: „In den letzten 100 Drehungen ist B gar nicht vorgekommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis B erscheint, wird immer größer.“ Beurteile, ob Kevin recht hat.

Anlage zur Aufgabe „Glücksrad“, Aufgabenteil c)

A

Kugeltopf Variiert nach HA-2008, Haupttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

A

x

x

x x x x x x

Probleme mathematisch lösen

x x x x x x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

funktionaler Zusammenhang

allgemeine mathematische Kompetenz

Daten & Zufall

a) b) c) d) e) f)

Raum & Form

Zahl

Messen

Leitidee

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 9-10

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

x x

x x

x x x

B

x

C

Du siehst hier drei Kugeltöpfe mit verschiedenfarbigen Kugeln: weiße, gestreifte, graue. Es wird (mit verbundenen Augen) immer einmal gezogen und die Kugel wird dann wieder zurückgelegt. a) Berechne für jeden Kugeltopf die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel grau ist. Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch und in Prozent an. a) Du ziehst nun 100-mal aus dem Kugeltopf B. Begründe, warum du erwarten kannst, dass etwa 40-mal eine weiße Kugel gezogen wird. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass du beim Ziehen aus Topf C keine weiße Kugel bekommst. Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch und in Prozent an. c) Aus dem Topf B werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die erste Kugel ist weiß. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Kugel weiß ist. Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch und in Prozent an. d) Du möchtest gerne eine gestreifte Kugel haben. Dazu darfst du in genau einen der drei Töpfe greifen. Gib den Topf an, in den du greifen würdest und begründe deine Wahl. e) Verwende zur Bearbeitung der folgenden Aufgabe die Anlage: •

Zeichne weiße, graue und gestreifte Kugeln so in den Topf, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % bei einmaligem Ziehen einer Kugel aus deinem Topf eine graue Kugel bekommt.

•

Bestimme die Mindestanzahl von Kugeln, die du zeichnen musst, um die Bedingung noch erfüllen zu können. Begründe dein Ergebnis.

Anlage zur Aufgabe „Kugeltopf“

Würfelspiele Variiert nach HA-2006, Haupttermin

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

Probleme mathematisch lösen

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

x x x x

a) b) c) d)

x

x x

x x x x

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

MSA mind.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

STS 6 mind.

mathematische Darstellungen verwenden

STS 9-10

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

Bei diesem Spiel hat derjenige gewonnen, der zuerst genau das Feld 100 erreicht (siehe Abbildung). Es wird mit normalen Spielwürfeln gewürfelt. Pro Zug darf man nur einmal würfeln. Wenn man auf ein Feld kommt, auf dem schon ein anderer Stein steht, darf man den fremden Stein „rauswerfen“. a) „Weiß“ ist an der Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Weiß“ sofort gewinnt oder „Schwarz“ rauswerfen kann.

Abbildung 1

b) „Schwarz“ ist an der Reihe. Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Schwarz“ beim nächs5 ten Wurf nicht gewinnt, ist. 6 Jetzt stehen drei besondere Spielwürfel zur Wahl, zu denen folgende Würfelnetze passen: Würfel A

Würfel B

Würfel C

Abbildung 2

Mit genau einem dieser beiden Würfel soll gespielt werden. c) „Schwarz“ ist am Zug. Entscheide, welchen der drei Spielwürfel „Schwarz“ in der dargestellten Spielsituation (siehe Abbildung 1) wählen sollte. Begründe. d) Nehmen wir an, nicht „Schwarz“, sondern „Weiß“ sei am Zug. Welchen der drei Spielwürfel sollte „Weiß“ in der dargestellten Spielsituation (siehe Abbildung 1) wählen. Begründe.

Tricolore VA Gy 8 2007

STS 9

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x x x x

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

x x x x

a) b) c) d)

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

Für die Feiern zum französischen Nationalfeiertag (14. Juli) plant das Lycée Allemande (Französisch-Deutsches Gymnasium) einen Stand mit folgendem Glücksspiel: In einem Säckchen befinden sich 20 blaue Chips, 16 weiße und 24 rote. Wer einen Einsatz von 1 € macht, darf nacheinander drei Chips (ohne Zurücklegen) ziehen. Danach werden die drei Chips wieder in das Säckchen zurückgelegt. Es gibt drei Arten von Gewinnen: o

Einen Hauptgewinn erhält man, wenn man die Farben der französischen Nationalflagge, der Tricolore, in der richtigen Reihenfolge zieht, also blau-weiß-rot.

o

Einen Gewinn 2. Klasse erhält man, wenn man drei Chips gleicher Farbe zieht.

o

Einen Gewinn 3. Klasse erhält man, wenn man alle drei Farben, aber nicht in der Reihenfolge der Nationalfarben, zieht.

a) Begründe, warum man bei diesem Spiel nach dem zweiten gezogenen Chip auf jeden Fall noch eine Gewinnchance hat. b) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn ca. 3,7 % beträgt. c) Begründe, warum der Gewinn 3. Klasse fünf Mal so wahrscheinlich ist wie der Hauptgewinn, warum also p3. Klasse = 5 ⋅ pHauptgewinn gilt. Für den folgenden Aufgabenteil d) benutze die nachstehende Information: Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 2. Klasse liegt bei etwa 10,9 %. d) Die Ausrichter des Glücksspiels planen folgende Gewinne: Hauptgewinn Gewinn 2. Klasse Gewinn 3. Klasse

7€ 4€ 2€

Untersuche, ob bei diesem Plan ein Überschuss für die Schule zu erwarten ist, wenn sich viele Personen auf das Glücksspiel einlassen.

Schulfest VA Gy 8 2006

STS 9

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 7-8

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

x x

Probleme mathematisch lösen

x x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

a) b)

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

I

x x

II

III

x x

Die Klasse 8 a möchte auf dem Schulfest, dessen Erlös für einen guten Zweck bestimmt ist, an ihrem Stand ein Würfelspiel mit drei normalen, unverfälschten Würfeln anbieten und der Einfachheit halber Geldpreise als Gewinne anbieten. Damit das Spiel für Besucher auch attraktiv ist, soll es lieber wenige größere als viele kleine Preise zu gewinnen geben. Stella schlägt vor, für drei Sechsen 10 € auszuzahlen, für andere drei gleiche Augenzahlen 3 €. Der Einsatz, den jeder Spieler zu zahlen hat, bevor er würfeln darf, soll 0,10 € betragen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man einen der Preise gewinnt. b) Untersuche, ob bei dieser Spielregel zu erwarten ist, dass die Klasse 8 a am Ende des Schulfests für den guten Zweck etwas beitragen kann.

Wurzeln über Wurzeln STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

II

III

x

x

x

Untersuche, was passiert, wenn du eine Zahl in den Taschenrechner eingibst und immer wieder auf die Wurzeltaste drückst. Begründe, wie es zur Entwicklung der Taschenrechnerwerte kommt.

Windpark Variiiert nach Gy B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c) d)

x x x x

x x x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x x

x

Für einen neuen Windpark sollen Windräder aufgestellt werden. Ein Windrad besteht aus drei Rotorblättern. Ein Rotorblatt ist 16 m lang. a) Bei einer Windgeschwindigkeit von mehr als 25 Metern in der Sekunde wird die Anlage aus Sicherheitsgründen gestoppt. Bei dieser Windgeschwindigkeit drehen sich die Rotorblätter in 3 Sekunden 2-mal um ihre Achse. Zeige, dass sich die Spitzen der Rotorblätter dann mit einer Geschwindigkeit von mehr als 240 kmh bewegen.

Die Windräder sind an den Standorten A, B und C geplant (siehe nebenstehende Skizze). c = 285 m

α = 51°

β = 62°

b) Aus Sicherheitsgründen müssen die Standorte der Windräder mindestens 240 m voneinander entfernt sein. Die Standorte A und C erfüllen mit einem Abstand von 273 m diese Bedingung. Zeige, dass der Sicherheitsabstand auch bei den Standorten B und C eingehalten wurde.

(Skizze nicht maßstäblich)

c) Der Standort D eines vierten Windrades liegt spiegelbildlich zum Standort C bezüglich einer Achse durch A und B. Bestimme die Entfernung zwischen den Standorten C und D. d) Ein Spaziergänger sieht die eingezäunten Windräder und möchte wissen, wie hoch diese Windräder ungefähr sind. Er peilt mit einem Geodreieck den Höhenwinkel (Winkel zwischen Turmspitze und Bodenebene) des Stahlturmes mit ca. 18°, dann entfernt er sich vom Turm um zusätzliche 100 m und misst nun nur noch ca. 11°. Bestimme die ungefähre Höhe des Stahlturmes.

Seilbahn

Variiert nach sÜ 2009, Ersttermin

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

x x

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

x x

Daten & Zufall

x x x

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

a) b) c)

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

x x

Auf der abgebildeten Karte ist ein Ausschnitt von Österreich zu sehen. Der Maßstab der Karte beträgt 1:25 000. Die Zahlen auf der Karte geben die Höhe über dem Meeresspiegel (über NN) an. Legende

⊗

a)

Bestimme die Luftlinienentfernung zwischen der Kirche von Roßschläg und der Kirche von Pflach.

b)

Vom Punkt ⊗ beim Ort Brandstatt (840 m über NN) soll eine Seilbahn zur östlich angrenzenden Bergspitze (1056 m über NN) errichtet werden. Da der Berg am Anfang stark ansteigt, soll die Bahn aus zwei unterschiedlich 840 m ü. NN steilen Streckenabschnitten bestehen, die durch 375 m 375 m eine Zwischenstation (1020 m über NN) verbunden werden. Vervollständige die folgende Skizze mit den Angaben aus dem Text und berechne die Steigungswinkel beider Streckenabschnitte. Gib an, inwiefern in dieser Skizze die reale Situation vereinfacht wurde.

c) Damit die Seilbahn von Oberpinswang aus besser erreicht werden kann, soll zwischen den Punkten C und D eine Brücke über den Fluss Lech gebaut werden. Zur Bestimmung der Länge der Strecke CD wurden zwei Punkte A und B gewählt, die auf gleicher Höhe (über NN) mit C und D liegen. Von A und B aus wurden folgende Längen und Winkelgrößen gemessen: AC = 60,8 m , AB = 35 m , Winkelgrößen siehe Skizze (nicht maßstabsgerecht).

Bestimme die Entfernung zwischen den Punkten C und D.

Parabel

Variiert nach RA 2009, Ersttermin

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

MSA mind.

x

x

x

Entscheide, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört.

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Messen

Zahl

Leitidee

Raum & Form

STS 10-11

Anforderungsbereich

I

II

x

2

f ( x ) = ( x −1)

f ( x) = x2 + 1 2

f ( x ) = ( x + 1)

f ( x ) = x 2 −1

III

Approximation von π STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c)

x x x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

Betrachtet wird ein Einheitskreis K mit dem Radius 1 LE. Mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms (z. B. Excel) soll der Flächeninhalt von K (und damit die Zahl π) approximiert werden. a) Konstruiere einen Kreis mit dem Radius r = 1 LE (1 LE  5 cm) und dem Mittelpunkt M (0|0) in ein Koordinatensystem. Zerlege den Radius auf der horizontalen Achse jeweils in 5 gleichlange Teilintervalle und schachtele den Kreis K durch eine innere und eine äußere Treppenfigur aus Rechtecken ein. Bestimme den Flächeninhalt der inneren und der äußeren Treppenfigur und hieraus eine erste, grobe Näherung von π. b) Leite eine Formel her, mit der man den Flächeninhalt der äußeren und inneren Treppenfiguren bei einer Einteilung des Radius in n gleich lange Teilintervalle berechnen kann. c) Gib die Formel – nun angepasst auf das Arbeiten mit Zellen – in das Tabellenkalkulationsprogramm ein und dokumentiere, wie für wachsendes n der Flächeninhalt des Einheitskreises K immer genauer durch die Flächeninhalte der Treppenfiguren angenähert wird.

Ein Mathematiker in Hamburg Variiert nach sÜ 2009, Zweittermin

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

mathematische Darstellungen verwenden

x x

allgemeine mathematische Kompetenz

Probleme mathematisch lösen

a) b)

Messen

Zahl

Leitidee

x x

x

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

In Hamburg findet ein Mathematik-Kongress statt. Der Teilnehmer Miller nutzt eine Pause für einen kleinen Stadtrundgang. Er hat wie immer seinen Winkelmesser dabei. Nach einer Weile wird Herr Miller auf den Michel aufmerksam. Er fragt sich, wie hoch der Kirchturm wohl sei. Er sieht, dass der Michel in der Mittagszeit einen langen Schatten wirft.

Schatten

Die Spitze des Schattens ist nördlich vom Turm mitten auf der Ludwig-Erhard-Straße. Herr Miller kann die Länge des Schattens von der Turmwand bis zur Schattenspitze gut ausmessen, es sind 100 m (dicke weiße Linie). Von der Turmmitte bis zur Turmwand sind es am Boden außerdem noch 11,50 m (dünne Verlängerung). Herr Miller misst auch den Sonnenstand, d. h. den Winkel unter dem die Sonnenstrahlen um diese Jahres- und Uhrzeit zur Horizontalen einfallen. Er misst 50 °. a) Bestimme mit Hilfe der angegebenen Daten einen Näherungswert für die Höhe des Turmes.

Von der Aussichtsplattform des Michels erblickt Herr Miller die Köhlbrandbrücke mit ihren beiden Stahlpfeilern, die die Tragseile halten. Gerne möchte er herausfinden, wie groß der Abstand zwischen ihnen ist. Dazu misst er sowohl vom Michel als auch von der Aussichtsplattform der Nikolaikirche aus einige Winkel.

b) Bestimme den Abstand der beiden Pfeiler.

Zeltbau Variiert nach Gy -B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b)

x x

x

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

I

x x

II

III

x x

Eine einfache Art, ein Zelt zu konstruieren, besteht darin, gleich lange Stangen in den Eckpunkten eines Vielecks auf dem Boden aufzustellen und sie genau über der Mitte in einer Dachspitze zusammenzubinden. Anschließend wird das „Gerüst“ mit Zeltbahnen bespannt. Der Fußboden bleibt „Natur“. Wir betrachten als Grundfläche ein regelmäßiges Fünfeck. Die 5 Stangen haben eine Länge von 6,20 m, werden aber 20 cm vor ihrem Ende zusammengebunden. Der Durchmesser der Stangen wird hier vernachlässigt. Der Abstand s der Fußpunkte der Stangen zum Bodenmittelpunkt betrage 4 m.

s = 4m

Bodenfläche des Zeltes

a) Zeige, dass man bei variabler Länge s den Flächeninhalt des Zeltbodens A(s) mit folgender Formel berechnen kann: A( s ) = 5 ⋅ sin 36°⋅ cos 36°⋅ s 2 . b) Ein Punkt auf dem Zeltboden habe „Stehhöhe“, wenn der senkrechte Abstand zum Zeltdach mindestens 1,80 m beträgt. Bestimme den Flächeninhalt der Bodenfläche mit Stehhöhe.

Rosenbeet Variiert nach Gy B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

MSA mind.

x

a) b) c)

x x x

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

I

II

x x x

x x 3m 3m

a) In einem botanischen Garten wird eine quadratische Rasenfläche von 10 m Seitenlänge neu gestaltet. In das innere Rechteck sollen Rosen gepflanzt werden (siehe Abbildung rechts).

3m

R

et be n e os

10 m

Berechne den Flächeninhalt der aus vier Dreiecken bestehenden restlichen Rasenfläche und den Flächeninhalt des rechteckigen Rosenbeets.

III

3m 10 m

b) Jetzt soll die Strecke, die in Aufgabenteil a) 3 m lang war, veränderlich werden. Sie wird nun x genannt (siehe Abbildung rechts). Gib an, welche Werte x annehmen kann. Zeige, dass sich der Flächeninhalt A(x) des Rosenbeets durch die Funktionsgleichung

x

x

A( x) = −2 x ² + 20 x

e nb

10 m

se Ro

et

x

berechnen lässt.

x 10 m

c) Der Gartengestalter ändert seine Vorstellung: Das Rosenbeet im Rasen soll immer quadratisch sein (und die Ecken des Rosenbeets sollen weiterhin auf den Kanten des Rasens liegen) – siehe Abbildung. Zeige, dass die Funktionsgleichung zur Berechnung der Quadratfläche AQ jetzt

x

Rosenbeet

AQ ( x) = 2 x ² − 20 x + 100

lautet. Weise nach, dass sich für x = 5 bei beiden Funktionen dieselbe Flächengröße ergibt.

10 m

Umkreis Variiert nach RA 2009, Ersttermin

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x

Ein Quadrat hat die Seitenlänge a. Bestimme den Flächeninhalt des Umkreises in Abhängigkeit von der Seitenlänge a.

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Ableitungen Variiert nach sÜ 10 2008, Ersttermin

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x

Ordne jedem Funktionsgraphen den Graphen seiner Ableitungsfunktion zu, indem du den zugehörigen Buchstaben in das Kästchen schreibst, und begründe deine Entscheidung. Funktionsgraphen:

denn …

denn …

denn …

Ableitungsgraphen:

A

B

C

D

E

Form und Lage von Parabeln STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c)

x x x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

a) Zeichne den Graphen von f mit f ( x ) = x 2 sorgfältig per Hand •

im Intervall [−4; + 4 ] , wobei gelte: 1 LE  1 cm,

•

im Intervall [−1; + 1] , wobei gelte: 1 LE  10 cm.

Bearbeite die nächsten Aufgaben mithilfe eines geeigneten Programms (z. B. Derive, GeoGebra). b) Ändere den Funktionsterm f ( x ) = x 2 so ab, dass die neue Parabel •

weiterhin die Form der Normalparabel hat, der Scheitelpunkt jedoch in S(3|–5) liegt,

•

die Form der Normalparabel hat, jedoch nach unten geöffnet ist mit dem Scheitelpunkt S(–2|4),

•

weiter als die Normalparabel geöffnet ist (die Normalparabel also gestaucht wurde) und als Scheitelpunkt den Punkt S(–1|–5) hat,

•

eine engere Öffnung als die Normalparabel hat (die Normalparabel also gestreckt wurde), nach unten geöffnet ist und als Scheitelpunkt den Punkt (1|15) hat.

c) Untersuche, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf das Aussehen und die Lage der Parabel mit der Funktionsgleichung f ( x ) = ax 2 + bx + c haben. Führe eine Fallunterscheidung durch.

Barbecue Variiert nach sÜ 10 2008, Ersttermin

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c)

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x

x x

In den Wirtschaftswissenschaften versucht man, wirtschaftliche Prozesse mithilfe von mathematischen Funktionen zu beschreiben. Die bei der Produktion von Waren entstehenden Kosten lassen sich häufig durch ganzrationale Funktionen dritten Grades beschreiben. Eine Firma stellt exklusive Barbecue-Grills her. Die Produktionskosten K für x Stück betragen K ( x) = 0,025 x 3 − 3,5 x 2 + 175 x + 2500 . Das Diagramm in der Anlage zeigt den Graphen der Funktion K. a) Gib den y-Achsenabschnitt des Graphen von K an und erläutere die Bedeutung dieses Wertes in Bezug auf die Produktionskosten. Bestimme die Produktionskosten für 40 Stück. Die Grills werden pro Stück für 150 € verkauft. Der Erlös E für x Stück beträgt also E ( x ) = 150 x . b) Für die Gewinnfunktion G gilt: G ( x ) = E ( x ) − K ( x ) . Begründe diesen Ansatz und bestimme die detaillierte Gleichung der Gewinnfunktion. Ermittle die Produktionsmenge, für die der Gewinn maximal wäre, wenn alle produzierten Geräten auch für jeweils 150 € verkauft werden könnten.

c) Leider verläuft der Verkauf der Grills sehr schleppend. Kunden interessieren sich zwar für die Geräte, sind aber selten bereit, 150 € dafür auszugeben. Marktanalysen zeigen, dass bei einem Preis von 80 € ein reißender Absatz zu erwarten wäre. Beurteile den Vorschlag, die Grillgeräte zu diesem Preis zu verkaufen.

Anlage zur Aufgabe „Barbecue“

Jeans Variiert nach Gy B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x

x x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

mathematische Darstellungen verwenden

x x x x x

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

Probleme mathematisch lösen

a) b) c) d) e)

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

x x x

II

III

x x x x x

a) Bestimme eine Funktion p, mit der man diese Preisentwicklung beschreiben kann. b) Der Erlös (oder Umsatz) des Unternehmens beim Verkauf von Jeanshosen wird über den Ansatz Preis mal Menge ermittelt. Gib eine Erlösfunktion E an und zeichne ihren Graphen in ein Koordinatensystem. c) Berechne, wie viele Hosen die Firma produzieren und verkaufen muss, um einen maximalen monatlichen Erlös zu erzielen. Berechne auch, welchen Erlös die Firma dann erzielt. Erkläre aus dem Sachzusammenhang, warum sich der Erlös bei noch mehr verkauften Hosen verringert. Bei der Produktion der Jeanshosen entstehen Stückkosten (Material, Arbeit) in Höhe von 32 Euro pro Hose. Hinzu kommen die produktionsunabhängigen Fixkosten (Produktionsstätten, kaufmännische Angestellte usw.) in Höhe von insgesamt 90 000 Euro pro Monat. d) Bestimme einen Funktionsterm K ( x ) , mit dem die entstehenden Gesamtkosten in Abhängigkeit von der produzierten Menge x berechnet werden können. Zeichne den Graphen von K. e) Untersuche, bei welchen Verkaufsmengen die Firma am Ende des Monats nach Abzug der entstandenen Kosten überhaupt noch Geld übrig hat, also Gewinn erwirtschaftet hat, und wann der Gewinn maximal ist.

Bevölkerungswachstum STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x x

a) b) c)

x x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

II

III

x x x

In einem Land sind folgende Bevölkerungszahlen erhoben worden: Jahr

2008

2009

Bevölkerungszahl in Mio. (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

65,59

66,78

a) Ermittle auf mindestens zwei verschiedene Weisen Prognosen für die Bevölkerungszahl des Jahres 2010. b) Ermittle auf mindestens zwei verschiedene Weisen Prognosen für die Bevölkerungszahl des Jahres 2107. c) Beurteile deine Ergebnisse.

I

x x

Graphen Variiert nach sÜ 10 2006, Zweittermin

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

MSA mind.

x

mathematische Darstellungen verwenden

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

x x

a) b)

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x

x

x

a) Wähle zu jedem auf der nachfolgenden Seite skizzierten Funktionsgraphen den zugehörigen Funktionsterm aus. Trage dazu den Buchstaben des Graphen unter den zugehörigen Term in die Tabelle ein. (Es müssen also noch Felder frei bleiben.) Funktionsterm

sin x

sin 3x

2 − x2 5

5 − x2 2

−( x + 1) 2

− x2 + 2

Graph

Funktionsterm

Graph

3 2 − ⋅ x +1 − ⋅ x +1 2 3

1 +1 x

−

1 x+2

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

3

A

y

3

B

2

y

2

1

1

x -3

-2

-1

1

3

x -3

-2

-1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

3

C

2

y

3

D

2

1

2

3

1

2

3

1

2

3

y

2

1

1 x

x -3

-2

-1

1

3

-3

-2

-1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

3

E

2

y

3

F

2

y

2

1

1 x

-3

-2

-1

1

2

3

x -3

-2

-1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

b) Die Funktionsterme in der Tabelle sind nach Funktionsklassen geordnet. Begründe, warum die Terme, die „übrig geblieben sind“, zu keinem der Graphen der jeweiligen Klasse passen.

Der goldene Schnitt Gy B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b)

x x

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

x x

I

II

x x

Zwei Strecken stehen im goldenen Schnitt zueinander, wenn sich die kürzere Strecke (a) zur längeren Strecke (b) so verhält, wie die längere Strecke (b) zur Summe der Strecken (a + b), d. h. für die Strecken a und b gilt die folgende Gleichung: a b = b a+b

a

Der goldene Schnitt findet vielfache Anwendungen, z. B. bei der Gestaltung von Gebäuden und Gegenständen, von Büchern usw., da diese Proportion als besonders ästhetisch empfunden wird.

b

a) Begründe, dass die Gleichung a 2 + ab = b 2 zur obigen Gleichung äquivalent ist. b) Zeige, dass sich bei gegebenem b eine Lösung für a durch a =

(

)

b −1 + 5 bestimmen lässt. 2

III

Antibiotikum Variiert nach Gy B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x x x x

Anforderungsbereich

x

x x

x x

x

x

mathematische Darstellungen verwenden

I

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

a) b) c) d) e)

Messen

Zahl

Leitidee

x

II

III

x x

x x

Antibiotika sind Medikamente gegen bakterielle Infektionserkrankungen. Wird ein bestimmtes Antibiotikum in Form einer Tablette eingenommen, kann man (idealisiert) annehmen, dass die Konzentration dieses Antibiotikums im Blut sofort nach der Einnahme einen Wert von 4 mg pro Liter Blut aufweist. Pro Stunde sinkt die Konzentration um 5 %. a) Sei x die Zeit gemessen in Stunden nach Einnahme des Medikamentes, f ( x ) die Konzentration des Antibiotikums im Blut zur Zeit x gemessen in mg pro Liter. Erstelle eine Funktionsgleichung, mit der die Konzentration des Antibiotikums im Blut beschrieben werden kann. b) Um die Therapie genau zu überwachen, wird einem Patienten bereits zwanzig Minuten nach Einnahme der ersten Tablette Blut abgenommen und die Antibiotikumskonzentration bestimmt. Berechne die zu erwartende Konzentration. c) Ein Patient muss die Therapie wegen Unverträglichkeit bereits nach der Einnahme der ersten Tablette abbrechen. Bestimme, wann die Unverträglichkeitsgrenze von 0,2 mg pro Liter unterschritten wird, der Patient also keine negativen Reaktionen durch die Einnahme des Medikaments mehr spüren sollte.

d) Es gibt Substanzen, deren Konzentration im Blut linear abnimmt. Eine bestimmte derartige Substanz führt sofort nach Einnahme zu einer Konzentration im Blut von 4 mg pro Liter, die innerhalb einer Stunde jeweils um 0,2 mg pro Liter sinkt (siehe Abbildung). • Bestimme den zugehörigen Funktionsterm g(x). • Beschreibe je zwei Eigenschaften von exponentiellem negativem Wachstum und linearem negativem Wachstum bezogen auf den Kontext der Aufgabe.

y 4

3

2

ff(x) ( x ) == 44 $ ⋅ 0, 95 x 0,95 x

g(x) = ? 1

x 5

10

15

20

25

30

35

40

e) Bei manchen Substanzen kann man den Abbau im Blut so beschreiben, dass relativ große Konzentrationen zunächst linear abgebaut werden, dann exponentiell. So soll der Abbau einer Substanz bis zum Punkt P(12,5|1,5) durch die Funktion g beschrieben werden. Danach verlaufe der weitere Abbau exponentiell mit der Funktionsgleichung h( x) = a ⋅ b x−12,5 a, b ∈ \ . Neben h(12,5) = 1,5 sei auch h(32) = 0,11 bekannt. Bestimme die Parameter a und b und interpretiere diese im Kontext der Aufgabe.

14

C

Variiert nach Gy B-Heft 2008

STS 10-11

STS 6 mind.

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

STS 6 erhöht

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

x x x x

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

Anforderungsbereich

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

a) b) c) d)

Messen

Zahl

Leitidee

I

x x

x x

x x x

II

III

x x

In der Atmosphäre der Erde findet man in geringen Mengen das radioaktive Kohlenstoffisotop 14C. Obwohl es mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren zerfällt, ist sein Gehalt in der Atmosphäre konstant, da es durch kosmische Strahlung immer wieder neu gebildet wird. Jeder lebende Organismus enthält, während er lebt, den gleichen Anteil an 14C-Atomen unter allen Kohlenstoffatomen in diesem Organismus. Das liegt daran, dass die Pflanzen bei der Atmung CO2 aufnehmen und damit auch 14C. Durch die Nahrungskette gelangt es in Menschen und Tiere. Stirbt der Organismus, so atmet und ernährt er sich nicht mehr. Damit wird kein 14C mehr nachgeliefert. Das vorhandene 14C zerfällt im abgestorbenen Gewebe, und die „Radiokarbonuhr“ beginnt zu ticken. Wenn man den 14C-Anteil von lebender und toter Substanz vergleicht, lässt sich daraus der Zeitpunkt bestimmen, von dem an kein Stoffwechsel mehr stattgefunden hat. So kann z. B. auf das Alter antiker Holzstücke oder Knochen geschlossen werden. a) Zeichne einen Graphen, welcher dem Alter (bis 24 000 Jahre) die noch vorhandene Menge 14C in Prozent zuordnet. b) Berechne, wie viel Prozent des 14C-Anteils die Mumie des ägyptischen Pharaos Tutanchamun (Regierungszeit 1332 bis 1323 v. Chr.) bei der Graböffnung 1922 enthielt. c) 1992 wurde in den Ötztaler Alpen die Leiche „Ötzi“ gefunden. Als diese nach ihrer Bergung genau untersucht wurde, entpuppte sie sich als die älteste Gletscherleiche der Welt. In ihren Knochen wurden 53% des ursprünglichen 14C-Gehalts festgestellt. Berechne, vor wie vielen Jahren dieser Mensch etwa gelebt hat. d) Die Lascaux-Höhle in Frankreich ist berühmt für ihre Höhlenmalereien. Holzkohle aus der Zeit, als diese Höhle bewohnt war, hatte im Jahr 1950 eine 14C-Zerfallsrate von 0,97 Zerfällen pro Minute und Gramm. 14C in lebendem Holz hat eine Zerfallsrate von 15,3 Zerfällen pro Minute und Gramm. Bestimme, wann diese Höhlenmalereien vermutlich entstanden sind.

Das Problem des Chevalier de Méré STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

x

Probleme mathematisch lösen

x x x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

Daten & Zufall

a) b) c)

Messen

Zahl

Leitidee

x x x

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

Der Chevalier de Méré (1607-1684) lebte am Hofe Ludwigs XIV und war dem Glücksspiel zugeneigt, insbesondere dem Würfeln. Er versuchte – zum Teil durchaus mit Erfolg – mit mathematischen Überlegungen seine Gewinne zu optimieren. In einer seiner Überlegungen scheiterte er jedoch und beschwerte sich in einem Brief an den Mathematiker Blaise Pascal (1623-1662) über die "Unverlässlichkeit der Mathematik". Worum ging es? De Méré hatte durch Spielbeobachtungen herausgefunden, dass es sich lohnt darauf zu wetten, dass man bei 4 Würfen mit einem Würfel mindestens eine Sechs würfelt. Er zog daraus den Schluss, dass es sich ebenso lohnen müsse, darauf zu wetten, dass man bei 24 Würfen mit zwei Würfeln mindestens einen Sechserpasch würfelt. Diese Strategie erwies sich aber nicht als erfolgreich. a) Bestimme für jedes der beiden Spiele die Gewinnwahrscheinlichkeit. b) Wie hat de Méré vermutlich argumentiert? Worin bestand sein Denkfehler? c) Vergleiche die beiden in a) berechneten Wahrscheinlichkeiten. Begründe, warum man daraus schließen kann, dass der Chevalier sehr viel Zeit mit dem Würfeln zugebracht haben muss.

Drogenerfahrungen Zu dieser Aufgabe finden sich im vorangegangenen Abschnitt detaillierte Anmerkungen. STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

a) b) c)

x x x

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

Probleme mathematisch lösen

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

Daten & Zufall

allgemeine mathematische Kompetenz

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

Messen

Zahl

Leitidee

Anforderungsbereich

I

x x x

II

III

x x x

Du findest in einer Zeitung die folgende Kurzmeldung: Alles wird gut: Mehr als zwei Drittel der minderjährigen Jugendlichen haben keine Drogenerfahrungen In einem Landkreis wurden alle Personen zwischen 14 und 22 Jahren nach ihren Drogenerfahrungen befragt. Unter den Befragten waren 89 % noch nicht volljährig. Von diesen minderjährigen Jugendlichen haben lediglich 33 % schon Konsumerfahrungen mit Drogen gesammelt. Bei den Volljährigen liegt der Anteil derjenigen, die bereits Drogen konsumiert haben, jedoch bei besorgniserregenden 75 %.

a)

Erstelle ein vollständiges Baumdiagramm zu diesem kleinen Zeitungsartikel.

b)

Erstelle auch eine vollständige Vierfeldertafel zu diesem Artikel.

c)

Ein Journalist möchte das Datenmaterial anders interpretieren. Ihm schwebt folgende Schlagzeile vor: "Alarm: Mehr als drei Viertel der Drogenerfahrenen sind minderjährig!"

Begründe, wie auch diese Schlagzeile – die in der Tendenz der ganz oben genannten zu widersprechen scheint – aus den Daten und Berechnungen der vorherigen Aufgabenteile zu belegen ist.

Bänke-Sitzplatz-Paradoxon STS 10-11

STS 6 mind.

STS 6 erhöht

STS 8 mind. wenn Ziel MSA

ESA mind.

GY 6 mind.

GY 9-10

STS 9 mind. wenn Ziel Studienstufe GY 8 mind. wenn Ziel Studienstufe

MSA mind.

STS 11 mind. für Studienstufe GY 10 mind. für Studienstufe

x

mit symb., formalen und techn. Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Darstellungen verwenden

x x x

Probleme mathematisch lösen

x x x

mathematisch argumentieren & kommunizieren

mathematisch modellieren

funktionaler Zusammenhang

Raum & Form

allgemeine mathematische Kompetenz

Daten & Zufall

a) b) c)

Messen

Zahl

Leitidee

x

Anforderungsbereich

I

II

III

x x x

Ein bekanntes Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung lautet wie folgt: Zwei Personen betreten einen Raum, in dem drei Sitzbänke mit je zwei Plätzen stehen. Sie setzen sich zufällig hin. Untersucht werden soll die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden auf dieselbe Bank setzen. Diese Situation kann auf zwei Weisen modelliert werden: Entweder man nimmt an, dass die Personen die Bank zufällig auswählen, oder man nimmt an, dass die Personen den Sitzplatz zufällig auswählen. Interessanterweise führen diese beiden Herangehensweisen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Dies soll in den folgenden Teilaufgaben untersucht werden. a)

Bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass die Personen die Bank zufällig auswählen.

b)

Bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass die Personen unter den einzelnen Sitzplatz zufällig auswählen.

c)

Vergleiche und diskutiere die beiden Ergebnisse.

Ergänzungen zu den Mindestanforderungen der Rahmenpläne Die in den Rahmenplänen aufgeführten inhaltsbezogenen Kompetenzen benennen Mindestanforderungen, die von allen Schülerinnen und Schülern erreicht werden müssen. Ihre Erfüllung entspricht der Note ausreichend. Da der Unterricht so gestaltet werden muss, dass auch höhere und höchste Anforderungen erfüllt werden können, bedarf es inhaltlicher Ergänzungen zu den im Rahmenplan aufgeführten Mindestanforderungen. Im Folgenden werden deshalb im Fettdruck weitere Anforderungen formuliert, die zusammen mit den in den Rahmenplänen aufgeführten Mindestanforderungen die Regelanforderungen darstellen. Höhere und höchste Leistungen drücken sich aber nicht nur in der sachgerechten Anwendung zusätzlicher mathematischer Begriffe und Verfahren aus. Auch die Komplexität der Aufgabenstellungen bei gleichen mathematischen Inhalten muss sich unterscheiden. Das ist insbesondere dort zu beachten, wo die Regelanforderungen bezüglich der mathematischen Inhalte nicht über die Mindestanforderungen hinausgehen. Die Regelanforderungen entsprechen dem, was im Unterricht angeboten werden muss. Dabei ist es wichtig hervorzuheben, dass die Rubriken der Tabellen keine Vorgaben machen, wann etwas unterrichtet werden soll, sondern bis spätestens wann der Schüler oder die Schülerin über diese Kompetenz verfügen soll. So soll beispielsweise der Kosinussatz in der Stadtteilschule bis spätestens zum Ende des Jahrgangs 11 beherrscht werden, trotzdem wird es sinnvoll sein, ihn in Zusammenhang mit der Behandlung des Themas Trigonometrie im Jahrgang 10 – binnendifferenzierend für die besonders Leistungsstarken – zu unterrichten. Diese Überlegungen lassen sich verallgemeinern: In der Stadtteilschule mit ihrer heterogenen Schülerschaft ist der Unterricht in allen Jahrgangsstufen binnendifferenzierend so zu gestalten, dass auch leistungsstarke Schülerinnen und Schüler von Anfang Gelegenheit haben, komplexere Inhalte im Mathematikunterricht zu erlernen. Im Gymnasium ist dafür Sorge zu tragen, dass mathematisch leistungsschwache Schülerinnen und Schüler ihren individuellen Fähigkeiten entsprechend gefördert werden. Dabei können auch die im Folgenden tabellarisch dargestellten Anforderungen für die Stadtteilschule hilfreich sein.

Stadtteilschule

Zahl

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

Erhöhte Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

über diese Mindestanforderungen hinausgehende Anforderungen für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler finden sich in der nebenstehenden Spalte

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums

Die Schülerinnen und Schüler … • verfügen über angemessene Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl, Maßzahl), • orientieren sich mit Hilfe des dezimalen Stellenwertsystems im Zahlenraum bis 1 Million und nutzen die erweiterte Stellenwerttafel, • geben Eigenschaften natürlicher Zahlen an (ungerade, gerade Zahlen, Teilbarkeit durch 2, 3 und 5), • verfügen über angemessene Vorstellungen von Brüchen als Teil eines Ganzen, • vergleichen natürliche Zahlen sowie einfache Brüche, insbesondere Stammbrüche,

• verfügen über tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen im Zahlenraum bis 1 Million und darüber hinaus (Anzahl, Rangzahl, Maßzahl) und vom Stellenwertsystem, • untersuchen Eigenschaften natürlicher Zahlen (ungerade, gerade Zahlen, Zerlegung in Primfaktoren, Quadratzahlen), • nutzen einfache Teilbarkeitsregeln, • verfügen über angemessene Grundvorstellungen von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil, Verhältnis, Division, Maßzahl) und nutzen diese, • verfügen über erste Grundvorstellungen von ganzen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie) und nutzen diese, • vergleichen positive rationale Zahlen,

• erkennen Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen in Alltagssituationen,

• stellen positive rationale Zahlen auf unterschiedliche Weise (u.a. auf der Zahlengeraden und als Bild) dar,

• stellen einfache Brüche bildhaft dar und tragen positive rationale Zahlen an einen vorstrukturierten Zahlenstrahl an,

• wählen die Bruch- und Dezimalbruchschreibweise situationsgemäß aus und wandeln gängige Dezimalbrüche in Brüche um und umgekehrt,

• stellen gängige Dezimalbrüche (0,25; 0,5; 0,75) als Bruchzahlen dar, • verwenden Prozentangaben als eine andere Schreibweise von Hundertstelbrüchen, • verwenden die Potenzschreibweise, • beherrschen die vier Grundoperationen mit natürlichen Zahlen, im Zahlenraum bis 100 auch im Kopf,

• rechnen routiniert mit natürlichen Zahlen, im Zahlenraum bis 200 auch im Kopf,

• addieren, subtrahieren und multiplizieren Brüche und Dezimalbrüche in einfachen Aufgaben, wie sie im täglichen Leben vorkommen,

• beherrschen die vier Grundoperationen mit Brüchen und Dezimalbrüchen,

• nutzen die „Punkt-vor-Strich“-Regel,

• nutzen und formulieren Rechenregeln,

• schätzen und runden Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen,

• schätzen Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von einfachen Umkehraufgaben.

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben, • beschreiben Rechenalgorithmen, besonders bei der schriftlichen Multiplikation und Division. • interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes.

Stadtteilschule

Messen

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

Erhöhte Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

über diese Mindestanforderungen hinausgehende Anforderungen für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler finden sich in der nebenstehenden Spalte

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums

Die Schülerinnen und Schüler … • nehmen in ihrer Umwelt Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, und Gewicht und Winkel),

• nehmen Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel) und schätzen eine geeignete Genauigkeit bei Messvorgängen ein, • entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes,

• geben zu den Größenbereichen Gewichte, Längen, Geldwerte, Zeitspannen und Flächeninhalte realistische Bezugsgrößen aus ihrer Erfahrungswelt an und nutzen diese beim Schätzen, • schätzen einfache Winkelgrößen (45°, 90°, 180°, 360°),

• schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen, • nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei einfachen Fermiaufgaben), • schätzen Winkelgrößen,

• stellen Größen situationsgerecht mit geeigneten Einheiten dar (insbesondere für Länge, Masse, Zeit und Geld), • rechnen mit Größen und wandeln hierfür Einheiten ggf. situationsgerecht um,

• nutzen geeignete Größen und Einheiten, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse und Geld), • rechnen mit Größen und ihren Einheiten, wandeln sie hierfür um und geben Ergebnisse in situationsgerechten Einheiten an, • verwenden auf Stadtplänen und Landkarten Maßstabsleisten zur Ermittlung von Entfernungen,

• vergleichen Flächen und Volumina und bestimmen sie durch die enthaltene Anzahl von Einheitsquadrate und Einheitswürfeln,

• vergleichen Flächen und Volumina und bestimmen sie durch die enthaltene Anzahl von Einheitsquadrate und Einheitswürfeln,

• wenden die Umfangsformel und die Flächeninhaltsformel für Quadrat und Rechteck sowie die Volumenformel für Würfel und Quader an.

• berechnen Umfang und Flächeninhalt von Quadrat, Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken sowie das Volumen und den Oberflächeninhalt von Würfel und Quadern, • gehen sachgemäß mit Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen von Längen und Flächen um und benutzen dabei Maßstabsangaben, • wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an und berechnen diese Größen für einfache zusammengesetzte Figuren bzw. Körper, • bestimmen den Umfang und den Flächeninhalt beliebiger, auch krummlinig begrenzter, Flächen näherungsweise.

Stadtteilschule

Raum und Form

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

Erhöhte Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

über diese Mindestanforderungen hinausgehende Anforderungen für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler finden sich in der nebenstehenden Spalte

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums

Die Schülerinnen und Schüler … • erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie,

• erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie,

• erkennen Würfel und Quader in der Darstellungen als Netz,

• erkennen die Körper Würfel, Quader, Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln in der Darstellung als Netz und Schrägbild,

• stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage (Kopfgeometrie),

• stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie),

• bauen Würfelbauten nach Schrägbildern,

• teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie, • bauen Würfelbauten nach Schrägbildern,

• unterscheiden Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (Rechtecke, Quadrate) und Körper (Quader, Würfel, Kegel, Zylinder, Kugel),

• klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften,

• zeichnen einfache geometrische Figuren wie Rechtecke, Quadrate und Kreise mit Geodreieck und Zirkel,

• zeichnen geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel und Geodreieck,

• skizzieren einfache Grundrisse und grobe Lagepläne mit Hilfe von vorgegebenen Rastern,

• beschreiben ihre Bearbeitungswege,

• zeichnen spitze und stumpfe Winkel mit dem Geodreieck,

• erstellen einfache Grundrisse und Lagepläne mit Hilfe von vorgegebenen Rastern, • zeichnen nicht nur spitze und stumpfe Winkel mit dem Geodreieck mindestens auf ein Grad genau,

• tragen Punkte in ein Koordinatensystem ein und lesen die Koordinaten von Punkten ab,

• stellen geometrische Figuren (Dreiecke, Vierecke, Polygone) im kartesischen Koordinatensystem dar und lesen die Koordinaten von Punkten ab,

• fertigen Netze und Modelle von Würfeln und Quadern an,

• stellen Körper (Quader, Würfel, Dreiecksprismen) als Netz, Schrägbild und Modell dar,

• zeichnen Symmetrieachsen zu bekannten Figuren ein,

• erkennen achsen- und drehsymmetrische Figuren und zeichnen Symmetrieachsen ein,

• spiegeln Polygone an einer Geraden, die außerhalb der Figur liegt.

• spiegeln Polygone an beliebigen Geraden und Punkten, • beschreiben Merkmale der Achsenspiegelung und der Drehung.

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

Erhöhte Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

über diese Mindestanforderungen hinausgehende Anforderungen für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler finden sich in der nebenstehenden Spalte

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums

Die Schülerinnen und Schüler … • erkennen einfache Zusammenhänge zwischen zwei Größen aus dem Alltag und lösen dazu Aufgaben, • nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen, • stellen in Tabellen einfache Zusammenhänge zwischen zwei Größen aus dem Alltag dar und beschreiben diese mit eigenen Worten, • tragen Wertepaare in ein Koordinatensystem ein und lesen die Koordinaten von Punkten ab, • erkennen in Tabellen elementare Gesetzmäßigkeiten und ergänzen fehlende Werte,

• stellen einfache Zusammenhänge zwischen zwei Größen in sprachlicher und tabellarischer Form dar, • tragen Wertepaare in ein Koordinatensystem ein und lesen aus Graphen Werte ab, • interpretieren in einfachen Fällen Verläufe von Graphen, • skalieren und beschriften je nach Sachkontext die Koordinatenachsen sinnvoll, • erkennen in Tabellen einfache Gesetzmäßigkeiten und ergänzen fehlende Werte,

• verwenden das Gleichheitszeichen mathematisch korrekt und benutzen Variablen als Platzhalter,

• verwenden das Gleichheitszeichen mathematisch korrekt und benutzen Variablen als Platzhalter,

• lösen einfache Gleichungen im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen durch systematisches Probieren.

• lösen einfache Gleichungen im Bereich der positiven rationalen Zahlen durch systematisches Probieren und durch inhaltliche Überlegungen.

Stadtteilschule

Daten und Zufall

Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

Erhöhte Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6

über diese Mindestanforderungen hinausgehende Anforderungen für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler finden sich in der nebenstehenden Spalte

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums

Die Schülerinnen und Schüler … • nutzen die Begriffe „sicher“, „unmöglich“, „wahrscheinlich“ zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten, • entscheiden, ob Ergebnisse gleich wahrscheinlich oder nicht gleich wahrscheinlich sind,

• nutzen die Begriffe „sicher“, „unmöglich“, „wahrscheinlich“ zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten, • entscheiden, ob Ergebnisse gleich wahrscheinlich oder nicht gleich wahrscheinlich sind, • verfügen über erste Grundvorstellungen zu Wahrscheinlichkeiten,

• sammeln Daten aus der Lebenswelt und stellen diese grafisch dar (Tabelle, Strichliste, Koordinatensystem, Säulen- und Stabdiagramm),

• sammeln unter einer gegebenen Fragestellung systematisch Daten, ordnen sie an und wählen eine geeignete Darstellung, auch Kreisdiagramme,

• lesen Werte aus einfachen Diagrammen und Tabellen ab,

• entnehmen Informationen aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen aus ihrer Lebenswelt,

• vergleichen verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts,

• vergleichen verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhaltes miteinander und beschreiben Vor- und Nachteile der Darstellungen, • erkennen und beschreiben Manipulationen bei der Darstellung von Daten,

• werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen dazu absolute und relative Häufigkeiten,

• werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu absolute und relative Häufigkeiten sowie die Kenngrößen Zentralwert, arithmetisches Mittel und Spannweite, • bewerten in einfachen Fällen Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,

• führen angeleitet zu Vermutungen umfangreiche Zufallsexperimente durch, schätzen Wahrscheinlichkeiten durch die Bestimmung von relativen Häufigkeiten und vergleichen diese.

• führen zu Vermutungen selbst geplante, umfangreiche Zufallsexperimente durch, schätzen Wahrscheinlichkeiten durch die Bestimmung von relativen Häufigkeiten und vergleichen diese, • machen Vorhersagen über Häufigkeiten mit Hilfe von intuitiv erfassten Wahrscheinlichkeiten, • bestimmen zu einfachen Laplace-Versuchen Wahrscheinlichkeiten und setzen diese in Beziehung zu experimentell ermittelten relativen Häufigkeiten, • lösen kombinatorische Aufgaben mit kleinen Anzahlen durch Probieren und systematisches Vorgehen.

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • verfügen über angemessene Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl), von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer/ relativer Anteil) und von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie/ Gegensatz, Maßzahl) und nutzen diese in einfachen Zusammenhängen und für Vergleiche,

• verfügen über angemessene Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl) und über rudimentäre Grundvorstellungen von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer) und von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie, Gegensatz, Maßzahl),

• verfügen über ausreichend tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl), von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil) und von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie, Gegensatz, Maßzahl) und nutzen diese, u. a. für Vergleiche,

• erläutern die Unvollständigkeit von Zahlbereichen an einem

• erläutern die Unvollständigkeit von Zahlbereichen an einem Beispiel,

• verfügen darüber hinaus über Grundvorstellungen von Brüchen als relative Anteile, • nutzen die genannten Grundvorstellungen, u. a. für Vergleiche,

Beispiel,

• erkennen und benennen Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen in Alltagssituationen,

• erkennen und benennen Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen in Alltagssituationen,

• erkennen und benennen Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen nicht nur in Alltagssituationen,

• stellen rationale Zahlen situationsgerecht auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimal- und Bruchschreibweise dar,

• stellen rationale Zahlen auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimal- und Bruchschreibweise dar,

• stellen rationale Zahlen situationsgerecht auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimal- und Bruch- und Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativen Exponenten) dar,

• stellen große Zahlen in der Zehnerpotenzschreibweise dar,

119 von 193

• stellen große Zahlen in der Zehnerpotenzschreibweise dar,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • rechnen nicht nur mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf,

• rechnen mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf,

• rechnen routiniert nicht nur mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf,

• rechnen mit rationalen Zahlen, nicht nur wie sie in Alltagssituationen vorkommen, auch mit Hilfe des Taschenrechners,

• rechnen mit rationalen Zahlen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen, auch mit Hilfe des Taschenrechners,

• rechnen mit rationalen Zahlen, nicht nur wie sie in Alltagssituationen vorkommen, auch mit Hilfe des Taschenrechners,

• nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen,

• nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen,

• nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen,

• schätzen und runden Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen,

• schätzen und runden Zahlen entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll und überschlagen Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen,

• schätzen Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von einfachen Umkehraufgaben,

• lösen einfache Umkehraufgaben

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben,

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von einfachen Umkehraufgaben,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • interpretieren Rechenoperationen als Modell einer realen Situation,

• interpretieren Rechenoperationen als Modell einer realen Situation,

• interpretieren Rechenoperationen als Modell einer realen Situation,

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes,

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes,

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells,

• verwenden nicht nur einfache Prozentrechnung sachgerecht,

• lösen Grundaufgaben zur Prozent- und Zinsrechnung,

• verwenden nicht nur einfache Prozentrechnung sachgerecht und routiniert,

• nutzen die Potenzschreibweise als eine andere Darstellung für die Multiplikation gleicher Faktoren.

• verwenden einfache Prozentrechnung sachgerecht,

• lösen Zinseszinsaufgaben iterativ und durch Potenzieren,

• nutzen die Potenzschreibweise als eine andere Darstellung für die Multiplikation gleicher Faktoren,

• nutzen die Potenzschreibweise als eine andere Darstellung für die Multiplikation gleicher Faktoren,

• nutzen Quadratwurzeln zur Lösung einfacher Probleme, auch mit Hilfe des Taschenrechners.

• nutzen Quadratwurzeln zur Lösung einfacher Probleme, auch mit Hilfe des Taschenrechners, • unterscheiden rationale von irrationalen Zahlen, • ermitteln rationale Näherungswerte von Quadratwurzeln, • nutzen die Kubikwurzel (dritte Wurzel) einer Zahl z. B. zur Berechnung der Kantenlänge eines Würfels.

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • nehmen in ihrer Umwelt Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel),

• nehmen in ihrer Umwelt Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel),

• nehmen in ihrer Umwelt Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel),

• entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes,

• entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes,

• entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes,

• schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen,

• schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen,

• schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen,

• nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei einfachen Fermiaufgaben),

• nutzen in einfachen Fällen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei einfachen Fermiaufgaben),

• nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei Fermiaufgaben),

• schätzen Winkelgrößen,

• schätzen Winkelgrößen (u. a. 45°, 90°, 180°, 360°),

• schätzen Winkelgrößen,

• stellen Größen situationsgerecht mit geeigneten Einheiten dar (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Masse, Zeit und Geld), rechnen mit Größen und wandeln hierfür Einheiten ggf. situationsgerecht um,

• stellen Größen situationsgerecht mit geeigneten Einheiten dar (insbesondere gängige Längen-, Flächen-, Volumen-, Geld-, Zeit- und Masseeinheiten) rechnen mit Größen und wandeln hierfür Einheiten ggf. situationsgerecht um,

• stellen Größen situationsgerecht mit geeigneten Einheiten dar (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Masse, Zeit und Geld) rechnen mit Größen und wandeln hierfür Einheiten ggf. situationsgerecht um,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• leiten die Flächeninhaltsformeln für Dreiecke und Parallelogramme her und begründen ihren Lösungsweg,

• leiten die Flächeninhaltsformeln für Dreiecke und Parallelogramme her und begründen ihren Lösungsweg,

• leiten die Flächeninhaltsformeln für Dreiecke, Parallelogramme, Trapeze und Drachen her und begründen ihren Lösungsweg,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • berechnen den Flächeninhalt von Rechtecken und Dreiecken sowie daraus zusammengesetzten Figuren und berechnen den Umfang von Rechtecken und anderen Figuren,

• berechnen Flächeninhalt von Rechtecken und Dreiecken sowie einfachen daraus zusammengesetzten Figuren und von Kreisen auch mit Hilfe einer Formelsammlung,

• berechnen Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken und Dreiecken sowie daraus zusammengesetzten Figuren und von Kreisen auch mit Hilfe einer Formelsammlung,

• berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern und Dreiecksprismen sowie aus daraus zusammengesetzten Körpern,

• berechnen den Umfang von Rechtecken und von Kreisen sowie von anderen Figuren (auch mit Hilfe einer Formelsammlung),

• berechnen Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen, Trapezen und Drachen auch mit Hilfe einer Formelsammlung,

• berechnen Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen, Trapezen und Drachen auch mit Hilfe einer Formelsammlung,

• berechnen die Länge eines Kreisbogens und den Flächeninhalt eines Kreissektors mithilfe einer Formelsammlung,

• berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern, Dreiecksprismen und Zylindern auch mit Hilfe einer Formelsammlung,

• berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prismen, Pyramiden und Zylindern, sowie daraus zusammengesetzten Körpern, und von Kegeln und Kugeln auch mit Hilfe einer Formelsammlung,

• berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Pyramiden sowie von zusammengesetzten Körpern auch mithilfe einer Formelsammlung, • bestimmen näherungsweise Umfang und Flächeninhalt auch krummlinig begrenzter Figuren,

• bestimmen näherungsweise Umfang und Flächeninhalt auch krummlinig begrenzter Figuren,

• bestimmen näherungsweise Umfang und Flächeninhalt auch krummlinig begrenzter Figuren,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • berechnen Winkelgrößen mit Hilfe des Winkelsummensatzes im Dreieck, • begründen den Winkelsummensatz im Dreieck.

• berechnen Winkelgrößen und Streckenlängen mit Hilfe des Winkelsummensatzes im Dreieck und mit Hilfe des Satzes des Pythagoras, • begründen den Winkelsummensatz im Dreieck.

• berechnen Winkelgrößen und Streckenlängen mit Hilfe des Winkelsummensatzes im Dreieck, des Satzes des Pythagoras, Ähnlichkeitsbeziehung (Skalierung) und trigonometrischer Beziehungen sowie des Sinussatzes, • begründen den Winkelsummensatz im Dreieck, • beweisen den Sinussatz.

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • erkennen in der Umwelt einfache geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie,

• erkennen in der Umwelt einfache geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie,

• erkennen in der Umwelt einfache geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie,

• erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen,

• erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen,

• erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen,

• erkennen in Figuren und Körpern rechtwinklige Dreiecke,

• erkennen in Figuren und Körpern rechtwinklige Dreiecke,

• stellen sich einfache geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie),

• stellen sich einfache geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie),

• stellen sich einfache geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie),

• teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie,

• teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie,

• teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie,

• unterscheiden Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben wichtige Eigenschaften fachsprachlich,

• unterscheiden Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate, Trapeze, Rauten, Drachen) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben wichtige Eigenschaften fachsprachlich,

• klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate, Trapeze, Rauten, Drachen) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften fachsprachlich, • ordnen Vierecke nach deren Eigenschaften (Haus der Vierecke),

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • zeichnen einfache geometrische Figuren wie Rechtecke und Quadrate mit dem Geodreieck und konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW), • konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSW, SWS), • fertigen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen an (Halbierung einer Strecke, Halbierung eines Winkels, Lot durch einen gegebenen Punkt),

• zeichnen einfache geometrische Figuren wie Rechtecke, Quadrate mit dem Geodreieck und konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW) oder mit dynamischer Geometriesoftware, • beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• zeichnen geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware, • konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW, SSW, SWS), • fertigen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen an (Halbierung einer Strecke, Halbierung eines Winkels, Lot durch einen gegebenen Punkt),

• beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum Stellen und experimentellen Lösen einfacher Probleme,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum experimentellen Lösen elementarer Probleme,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum Stellen und experimentellen Lösen einfacher Probleme,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • stellen geometrische Figuren (Dreiecke, Vierecke, Polygone) im kartesischen Koordinatensystem dar,

• stellen geometrische Figuren (Dreiecke, Vierecke, Polygone) im kartesischen Koordinatensystem dar,

• stellen geometrische Figuren (Dreiecke, Vierecke, Polygone) im kartesischen Koordinatensystem dar,

• stellen Körper (Quader, Würfel) als Netz oder Modell dar,

• stellen Körper (Quader, Würfel, Dreiecksprismen) als Netz oder Modell dar,

• stellen Körper (Quader, Würfel, Prismen, Pyramiden) als Netz, Schrägbild und Modell dar,

• stellen Körper (Quader, Würfel) als Netz, Modell und Schrägbild dar, • führen Spiegelungen im kartesischen Koordinatensystem durch, • zeichnen Symmetrieachsen zu bekannten Figuren ein, • spiegeln Polygone an einer Geraden.

• stellen Körper (Quader, Würfel) als Netz, Modell und Schrägbild dar, • zeichnen Symmetrieachsen zu bekannten Figuren ein, • spiegeln Polygone an einer Geraden.

• führen Verschiebungen und Spiegelungen im kartesischen Koordinatensystem durch, • beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (Lagebeziehungen, Punkt- und Achsensymmetrie sowie Grundvorstellungen von Kongruenz, Ähnlichkeit und Flächeninhaltsgleichheit), • nutzen diese Eigenschaften und Beziehungen im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von einfachen Sachzusammenhängen,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • wenden den Winkelsummensatz im Dreieck sowie die Sätze über Winkel an Parallelen und Geradenkreuzungen bei Begründungen und einfachen Beweisen an und führen dabei selbstständig einfache Argumentationen in einem überschaubaren mathematischen Kontext durch, • beweisen (mindestens präformal) den Satz des Pythagoras.

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• geben Beispiele an, bei denen zwei Größen funktional voneinander abhängig sind,

• geben Beispiele an, bei denen zwei Größen funktional voneinander abhängig sind,

• beschreiben, auf welche Weise zwei Größen funktional voneinander abhängig sind,

• ordnen einfachen realitätsnahen Situationen proportionale und antiproportionale Zusammenhängen zu,

• ordnen einfachen realitätsnahen Situationen linearen Zusammenhänge zu,

• geben zu einfachen realitätsnahen Situationen situationsgerecht funktionale Zusammenhänge an,

• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können,

• geben zu vorgegebenen linearen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können,

• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können,

• geben zu Graphen auch nichtlinearer Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktionen beschrieben werden können,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • verwenden proportionale und umgekehrt proportionale Funktionen zur Lösung einfacher realitätsnaher Probleme,

• verwenden den Dreisatz für einfache Berechnungen mit Realitätsbezug, • nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen • modellieren einfachste reale Fragestellungen durch lineare Gleichungen,

• verwenden lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen zur Lösung einfacher realitätsnaher Probleme, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation, • bestimmen kennzeichnende Merkmale quadratischer und linearer Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her,

• unterscheiden qualitativ lineare und exponentielle Wachstumsprozesse,

• nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen,

• stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,

• stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,

• stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,

• wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen,

• wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen,

• wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen,

• unterscheiden lineare und exponentielle Wachstumsprozesse qualitativ und anhand rechnerischer Kriterien,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • interpretieren einfache Terme und Gleichungen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext,

• interpretieren einfache Terme und Gleichungen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext,

• interpretieren Funktionen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext,

• stellen zu gegebenen einfachen Fragestellungen Terme auf,

• stellen zu gegebenen einfachen Fragestellungen Terme auf,

• stellen zu gegebenen einfachen Fragestellungen Gleichungen und Funktionen auf, insbesondere lineare,

• formen einfache Terme situationsgerecht um,

• fassen einfache Terme zusammen (Zusammenfassung von Summen und Produkten),

• formen einfache Terme situationsgerecht und routiniert um,

• lösen in Kontexten einfache lineare Gleichungen rechnerisch sowie durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren,

• lösen in einfache lineare Gleichungen rechnerisch sowie durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren,

• lösen einfache nichtlineare Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren.

• lösen einfache nichtlineare Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren,

• lösen lineare und quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen mit verschiedenen Lösungsverfahren, u. a. durch Isolierung der Variablen, auch ggf. durch systematisches Probieren,

• beherrschen dabei das Zusammenfassen von Produkten, Summen und Potenzen sowie das Ausmultiplizieren und Ausklammern,

• lösen einfache nichtlineare Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • interpretieren Schnittpunkte von Funktionsgraphen.

• lösen realitätsnahe Probleme durch graphische Bestimmung der Schnittpunkte von Funktionsgraphen, • interpretieren diese Schnittpunkte.

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation,

• erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation,

• erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation,

• lesen Werte aus einfachen Diagrammen und Tabellen ab,

• lesen Werte aus einfachen Diagrammen und Tabellen ab,

• lesen Werte aus Diagrammen und Tabellen ab,

• entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann,

• entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann,

• entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann,

• werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie die Kenngrößen Zentralwert, arithmetisches Mittel und Spannweite,

• werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie die Kenngrößen arithmetisches Mittel, Zentralwert und Spannweite, auch mit Tabellenkalkulation,

• werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie die Kenngrößen Zentralwert, arithmetisches Mittel und Spannweite, auch mit Tabellenkalkulation,

• bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,

• bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,

• bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • schätzen Wahrscheinlichkeiten angeleitet mit Hilfe von Versuchsreihen zu einfachen Zufallsexperimenten, prüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv,

• schätzen Wahrscheinlichkeiten angeleitet mit Hilfe von Versuchsreihen zu einfachen Zufallsexperimenten, prüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv,

• schätzen Wahrscheinlichkeiten angeleitet mit Hilfe von Versuchsreihen zu einfachen Zufallsexperimenten, prüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv,

• unterscheiden die Begriffe relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit sachgerecht voneinander und nutzen ihre gegenseitige Beziehung,

• unterscheiden die Begriffe relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit sachgerecht voneinander und nutzen ihre gegenseitige Beziehung,

• unterscheiden die Begriffe relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit sachgerecht voneinander und nutzen ihre gegenseitige Beziehung, • unterscheiden die Begriffe arithmetisches Mittel und Erwartungswert sachgerecht voneinander und nutzen ihre gegenseitige Beziehung,

Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler in den Jahrgängen 9 und 10 unbedingt die weiter unten stehenden Tabellen mit Anforderungen für den Übergang in die Studienstufe beachten!

Stadtteilschule

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den mittleren Schulabschluss

Regelanforderungen für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss

Regelanforderungen für den mittleren Schulabschluss

Die Schülerinnen und Schüler … • berechnen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten,

• berechnen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten,

• nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten,

• berechnen Wahrscheinlichkeiten auch mit Hilfe von zweistufigen Baumdiagrammen,

• lösen einfache kombinatorische Aufgaben mit kleinen Anzahlen durch Probieren und systematisches Vorgehen.

• verwenden dabei die Summen- und die Produktregel, • nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten.

• berechnen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten im Laplace-Modell oder mit Hilfe von zweistufigen Baumdiagrammen, • verwenden in Baumdiagrammen die Summen- und die Produktregel, • nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, • lösen kombinatorische Aufgaben mit kleinen Anzahlen durch Probieren und systematisches Vorgehen.

Stadtteilschule

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler …

• beschreiben und wählen Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,

• nutzen situationsgemäß tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl, Stellenwertsystem), von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil, Verhältnis, Division) von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie, Gegensatz, Richtung, Maßzahl) und reellen Zahlen (Vollständigkeit auf der Zahlengeraden) • erläutern die Unvollständigkeit von Zahlbereichen an einem Beispiel, • erkennen und interpretieren Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen, • stellen rationale Zahlen situationsgerecht auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimal- und Bruch- und Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativen Exponenten) dar, • rechnen routiniert nicht nur mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf, • rechnen mit rationalen Zahlen, auch mit Hilfe des Taschenrechners, • nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen und zum Aufdecken von Zusammenhängen, • schätzen Zahlen für Rechnungen, nicht nur wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll, • kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben, • erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge, • beschreiben, wählen und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells,

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells,

• verwenden Prozentrechnung sachgerecht, • lösen Zinseszinsaufgaben iterativ,

• verwenden Prozentrechnung sachgerecht und routiniert, • lösen Zinseszinsaufgaben iterativ und durch Potenzieren,

• verfügen über tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl, Stellenwertsystem), von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil, Verhältnis, Division) und von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie, Gegensatz, Richtung, Maßzahl) und nutzen diese, u.a. für Vergleiche • erläutern die Unvollständigkeit von Zahlbereichen an einem Beispiel, • erkennen und interpretieren Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen, • stellen rationale Zahlen situationsgerecht auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimal- und Bruch- und Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativen Exponenten) dar, • rechnen routiniert mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf, • rechnen mit rationalen Zahlen, nicht nur wie sie in Alltagssituationen vorkommen, auch mit Hilfe des Taschenrechners, • nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen, • schätzen Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll, • kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben,

137 von 193

Stadtteilschule

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und benutzen dabei Potenzgesetze, • nutzen Quadratwurzeln zur Lösung einfacher Probleme auch mit Hilfe des Taschenrechners, • ermitteln rationale Näherungswerte von Quadratwurzeln,

• unterscheiden rationale von irrationalen Zahlen.

• rechnen mit Potenzen und benutzen dabei Potenzgesetze, • verwenden Gesetze für das Rechnen mit rationalen Exponenten, • berechnen Wurzeln und Logarithmen sicher mit Hilfe des Taschenrechners und in überschaubaren Fällen auch ohne technische Hilfe, • schätzen in einfachen Fällen rationale Näherungen von Wurzeln und Logarithmen ab, • unterscheiden rationale von irrationalen Zahlen, • identifizieren reelle Zahlen mit Punkten auf der Zahlengeraden, • demonstrieren mit Rechnerhilfe das „Phänomen der Konvergenz“ , • beschreiben π unter Verwendung eines Rechners als Ergebnis eines konvergenten Prozesses.

Stadtteilschule

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler …

• nutzen geeignete Größen und Einheiten, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse und Geld), • rechnen mit Größen und ihren Einheiten, wandeln sie um und geben Ergebnisse in situationsgerechten Einheiten an,

• nehmen Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel) und nutzen dabei die Genauigkeit der jeweiligen Messinstrumente, • entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes, • schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen, • nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei komplexeren Fermiaufgaben), • schätzen Winkelgrößen, • nutzen geeignete Größen und Einheiten, um Situationen zu beschreiben, zu untersuchen und einzuschätzen (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse und Geld), • rechnen mit Größen, wandeln Einheiten um und geben Rechenergebnisse entsprechend der Genauigkeit der Ausgangsgrößen an,

• wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• berechnen den Umfang und den Flächeninhalt gradlinig begrenzter Flächen, von Kreisen und Kreissegmenten, sowie daraus zusammengesetzten Figuren, • leiten die Flächeninhaltsformeln für Trapeze und Drachen her und begründen ihren Lösungsweg, • bestimmen den Umfang und den Flächeninhalt beliebiger, auch krummlinig begrenzter, Flächen näherungsweise, • berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern, Prismen und Zylindern sowie daraus zusammengesetzten Körpern, • geben zu skalierten Strecken den Skalierungsfaktor an, um den sich dann eine Fläche bzw. ein Volumen ändert und umgekehrt,

• berechnen den Umfang und den Flächeninhalt gradlinig begrenzter Flächen, von Kreisen und Kreissegmenten, sowie daraus zusammengesetzten Figuren, • bestimmen den Umfang und den Flächeninhalt beliebiger, auch krummlinig begrenzter, Flächen näherungsweise, • berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von geometrischen Körpern mit Hilfe einer Formelsammlung, ggf. mit Hilfe von Zerlegungen, • nutzen bei der Lösung geometrischer Probleme die funktionale Abhängigkeit von Körpervolumen, Flächeninhalt und Streckenlänge vom Skalierungsfaktor, • gehen mit beiden Winkelmaßen (Gradmaß und Bogenmaß) um,

• nehmen Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel) und nutzen dabei die Genauigkeit der jeweiligen Messinstrumente, • entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes, • schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen, • nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei Fermiaufgaben), • schätzen Winkelgrößen,

Stadtteilschule

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • berechnen Winkelgrößen und Streckenlängen mit Hilfe des Winkelsummensatzes im Dreieck, des Satzes des Pythagoras und Ähnlichkeitsbeziehung (Skalierung). • begründen den Winkelsummensatz im Dreieck.

• berechnen Winkelgrößen und Streckenlängen bzw. Abstände auch unter Nutzung trigonometrischer Beziehungen, Ähnlichkeitsbeziehungen (Skalierung) und mit Hilfe des Sinus- und des Kosinussatzes, • beweisen den Sinussatz und den Kosinussatz.

Stadtteilschule

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie, • erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen, • erkennen in Figuren und Körpern rechtwinklige Dreiecke, • stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie), • teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie, • klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate, Trapeze, Rauten, Drachen) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften fachsprachlich, • ordnen Vierecke nach deren Eigenschaften (Haus der Vierecke), • zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,

• erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie, • erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen, • erkennen in Figuren und Körpern rechtwinklige Dreiecke, • stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie), • teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie, • klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate, Trapeze, Rauten, Drachen) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften fachsprachlich, • ordnen Vierecke nach deren Eigenschaften (Haus der Vierecke), • zeichnen geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,

• konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW, SSW, SWS),

• konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW, SSW, SWS),

• fertigen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen an (Halbierung einer Strecke, Halbierung eines Winkels, Lot durch einen gegebenen Punkt),

• fertigen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen an (Halbierung einer Strecke, Halbierung eines Winkels, Lot durch einen gegebenen Punkt),

• beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum Stellen und experimentellen Lösen einfacher Probleme,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum Stellen und experimentellen Lösen von Problemen,

• erkunden – beispielsweise mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware – den Thalessatz,

• erkunden – beispielsweise mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware – den Thalessatz,

Stadtteilschule

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, • stellen Körper (Quader, Würfel, Prismen) als Netz, Schrägbild und Modell dar, • drehen und spiegeln Polygone konstruktiv, • nutzen Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen.

• stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, • stellen Körper angemessen dar (Netz, Schrägbild, Modell), • nutzen Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen,

• wenden den Winkelsummensatz im Dreieck sowie die Sätze über Winkel an Parallelen und Geradenkreuzungen bei Begründungen und Beweisen an und führen dabei selbstständig einfache Argumentationen in einem überschaubaren mathematischen Kontext durch,

• wenden den Winkelsummensatz im Dreieck sowie die Sätze über Winkel an Parallelen und Geradenkreuzungen bei Begründungen und Beweisen an und führen dabei selbstständig Argumentationen in einem überschaubaren mathematischen Kontext durch,

• beweisen den Satz des Pythagoras.

• beweisen den Satz des Pythagoras.

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• beschreiben, auf welche Weise zwei Größen funktional voneinander abhängig sind,

• verfügen über tragfähige Grundvorstellungen von funktionalen Zusammenhängen (Kovariations- und Objektvorstellung), • erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge in realitätsnahen Situationen, • stellen zu einfachen realen Problemen Terme und Gleichungen auf, • interpretieren einfache Terme und Gleichungen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext,

• erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge in einfachen realitätsnahen Situationen, insbesondere lineare und antiproportionale, • stellen zu einfachen realen Problemen Terme und Gleichungen auf, • interpretieren einfache Terme und Gleichungen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext, • geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können, • nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen, • erläutern charakteristische Merkmale von linearen und antiproportionalen Funktionen und wählen zur Modellierung und Lösung realitätsnaher Probleme die Parameter passend, • unterscheiden qualitativ lineare und exponentielle Wachstumsprozesse,

• verwenden Tabellenkalkulation zur Lösung realitätsnaher Probleme, zur Visualisierung und zur Untersuchung funktionaler Zusammenhänge,

• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können, • nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen, • entscheiden anhand von charakteristischen Merkmalen der folgenden Funktionsklassen, welche für die Modellierung eines realitätsnahen Problems geeignet ist, und lösen dieses durch passende Wahl der Parameter: lineare, quadratische, ganzrationale und einfache gebrochenrationale Funktionen, Wurzel-, Potenz-, Sinus-, Kosinus- und Exponentialfunktionen, • untersuchen bei einfachen gebrochenrationalen Funktionen das Verhalten an den Polstellen sowie für betragsmäßig große x-Werte, • beschreiben Einflüsse von Parametern in Funktionstermen auf ihre Graphen (Stauchen/Strecken und Verschieben) insbesondere bei der Sinus- und der Kosinusfunktion, • erkennen einfache Punkt- und Achsensymmetrien des Funktionsgraphen am Funktionsterm und nutzen diese, • verwenden Tabellenkalkulation und ein Computer-Algebra-System zur Lösung realitätsnaher Probleme, zur Visualisierung und zur Untersuchung funktionaler Zusammenhänge,

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • geben bei Realitätsbezügen einen sinnvollen Definitionsbereich an,

• stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, • wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen und erläutern deren Vor- und Nachteile,

• formen einfache Terme situationsgerecht um, auch mit Hilfe binomischer Formeln, • lösen in Kontexten lineare Gleichungen sowie einfache lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen rechnerisch, • lösen einfache nichtlineare Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen oder durch systematisches Probieren, • entscheiden sich in konkreten Situationen für ein geeignetes Lösungsverfahren (Isolierung der Variablen, systematisches Probieren),

• untersuchen die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von konkreten linearen Gleichungssystemen, • lösen realitätsnahe Probleme durch graphische und rechnerische Bestimmung der Schnittpunkte der Graphen linearer Funktionen.

• geben bei Realitätsbezügen einen sinnvollen Definitionsbereich an, • geben bei Funktionen ohne Realitätsbezug einen maximal möglichen Definitionsbereich an, • stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, • wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen und erläutern deren Vor- und Nachteile, • verketten bekannte Funktionen, • formen nicht nur einfache Terme situationsgerecht und routiniert um, auch mit Hilfe binomischer Formeln, • lösen in Kontexten routiniert lineare und quadratische Gleichungen sowie einfache lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen durch Isolierung der Variablen, • lösen einfache nicht lineare Gleichungen (Wurzelgleichungen, Bruchgleichungen, Gleichungen höheren Grades – u. a. biquadratische Gleichungen durch Substitution oder geeignete Gleichungen durch Faktorisierung – und Exponentialgleichungen, letztere durch Verwendung von Logarithmen), nach Möglichkeit durch Isolierung der Variablen oder mit Probierverfahren, auch unter Einsatz geeigneter Software, • untersuchen die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von konkreten quadratischen Gleichungen und linearen Gleichungssystemen, • lösen realitätsnahe Probleme durch graphische und rechnerische Bestimmung der Schnittpunkte von Funktionsgraphen, • lösen einfache Optimierungsprobleme (graphisch, rechnerisch) auch unter Verwendung des Ableitungskalküls,

Stadtteilschule

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • bearbeiten inner- und außermathematische Fragestellungen, bei denen die Betrachtung und Bestimmung von Änderungsraten von Bedeutung ist, • beschreiben fachsprachlich charakteristische Stellen und Punkte von Funktionsgraphen, • interpretieren insbesondere Extrem- und Wendepunkte in ihrem jeweiligen inner- und außermathematischem Kontext und ermitteln diese rechnerisch, • erläutern die Bedeutung von Änderungsraten im Sachkontext z. B. als Geschwindigkeit, Grenzkosten, etc., • demonstrieren an Beispielen die Unterschiede zwischen mittleren und lokalen Steigungen von Funktionsgraphen und berechnen diese, • verwenden den Tangens bei Berechnungen von Steigungen und Steigungswinkeln, • demonstrieren am Beispiel die Tangente als Grenzgerade einer Folge geeigneter Sekanten, • erläutern den Zusammenhang zwischen einzelnen lokalen Änderungsraten und der globalen Funktion der Änderungsraten, • berechnen die Ableitung ganzrationaler und Potenzfunktionen mit beliebigen Exponenten mithilfe von Summen- und Faktorregel, • leiten graphisch ab und vertreten ihr Ergebnis argumentativ.

Stadtteilschule

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 für den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • unterscheiden die Begriffe Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sowie Erwartungswert und Mittelwert und nutzen ihre Beziehung zueinander, • erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation, • lesen Werte aus Diagrammen und Tabellen ab, • entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann, • werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie die Kenngrößen Zentralwert, arithmetisches Mittel und Spannweite, auch mit Tabellenkalkulation, • bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren, • schätzen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte mit Hilfe von (rechnergestützten) Versuchsreihen zu Zufallsexperimenten, überprüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv, • berechnen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten im Laplace-Modell oder mit Hilfe von zweistufigen Baumdiagrammen, • verwenden in Baumdiagrammen die Summen- und die Produktregel, • nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, • bestimmen die Anzahlen der günstigen und möglichen Ergebnisse mit Hilfe einfacher kombinatorischer Überlegungen.

• unterscheiden sorgfältig und bewusst die Begriffe Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sowie Erwartungswert und Mittelwert und nutzen ihre Beziehung zueinander, • erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation, • lesen Werte aus Diagrammen und Tabellen ab, • entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann, • werten Daten von statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie unterschiedliche Kenngrößen, auch mit Tabellenkalkulation, • bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren, • erläutern Vor- und Nachteile unterschiedlicher Kennwerte zur Beschreibung von Daten, • schätzen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte mit Hilfe von (rechnergestützten) Versuchsreihen zu Zufallsexperimenten, überprüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv, • berechnen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen und verwenden dabei bewusst die Summen- und die Produktregel, • nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, • bestimmen die Anzahlen der günstigen und möglichen Ergebnisse mit Hilfe einfacher kombinatorischer Überlegungen und nutzen dabei auch Symmetrien, • unterscheiden bei Zufallsvorgängen zwischen stochastischer Unabhängigkeit oder Abhängigkeit, • erkennen in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln bedingte Wahrscheinlichkeiten und arbeiten mit diesen, • setzen sich im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten mit dem Unterschied zwischen unscharf-umgangssprachlicher und präzis-mathematischer Auffassung von Wahrscheinlichkeit auseinander.

Gymnasium

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • verfügen über tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen im Zahlenraum bis 1 Million und darüber hinaus (Anzahl, Rangzahl, Maßzahl) und vom Stellenwertsystem, • untersuchen Eigenschaften natürlicher Zahlen (ungerade, gerade Zahlen, Zerlegung in Primfaktoren, Quadratzahlen), • nutzen einfache Teilbarkeitsregeln, • verfügen über angemessene Grundvorstellungen von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil, Verhältnis, Division, Maßzahl) und nutzen diese, • verfügen über erste Grundvorstellungen von ganzen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie) und nutzen diese, • vergleichen positive rationale Zahlen, • stellen positive rationale Zahlen auf unterschiedliche Weise (u.a. auf der Zahlengeraden und als Bild) dar, • wählen die Bruch- und Dezimalbruchschreibweise situationsgemäß aus und wandeln gängige Dezimalbrüche in Brüche um und umgekehrt, • verwenden Prozentangaben als eine andere Schreibweise von Hundertstelbrüchen, • verwenden die Potenzschreibweise,

147 von 193

• verfügen über tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl, Stellenwertsystem), von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil, Verhältnis, Division) und von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie, Gegensatz, Richtung, Maßzahl) und nutzen diese, u.a. für Vergleiche • erläutern die Unvollständigkeit von Zahlbereichen an einem Beispiel,

• nutzen situationsgemäß tragfähige Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen (Anzahl, Rangzahl, Stellenwertsystem), von Brüchen (Teil eines oder mehrerer Ganzer, relativer Anteil, Verhältnis, Division) von rationalen Zahlen (relative Zahlen bezüglich der Nulllinie, Gegensatz, Richtung, Maßzahl) und reellen Zahlen (Vollständigkeit auf der Zahlengeraden) • erläutern die Unvollständigkeit von Zahlbereichen an einem Beispiel,

• erkennen und interpretieren Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen, • stellen rationale Zahlen situationsgerecht auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimalund Bruch- und Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativen Exponenten) dar,

• erkennen und interpretieren Darstellungen von natürlichen Zahlen und Bruchzahlen, • stellen rationale Zahlen situationsgerecht auf der Zahlengeraden und als Bild sowie in der Prozent-, Dezimalund Bruch- und Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativen Exponenten) dar,

Gymnasium

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • rechnen routiniert mit natürlichen Zahlen, im Zahlenraum bis 200 auch im Kopf, • beherrschen die vier Grundoperationen mit Brüchen und Dezimalbrüchen, • nutzen und formulieren Rechenregeln, • schätzen Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,

• rechnen routiniert mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf, • rechnen mit rationalen Zahlen, nicht nur wie sie in Alltagssituationen vorkommen, auch mit Hilfe des Taschenrechners, • nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen, • schätzen Zahlen für Rechnungen, wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben,

• kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben,

• beschreiben Rechenalgorithmen, besonders bei der

• beschreiben und wählen Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes.

• interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells,

schriftlichen Multiplikation und Division.

• rechnen routiniert nicht nur mit kleinen natürlichen Zahlen und einfachen Brüchen im Kopf, • rechnen mit rationalen Zahlen, auch mit Hilfe des Taschenrechners, • nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen und zum Aufdecken von Zusammenhängen, • schätzen Zahlen für Rechnungen, nicht nur wie sie in Alltagssituationen vorkommen und runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll, • kontrollieren Lösungen durch Überschlagsrechnungen und Anwenden von Umkehraufgaben, • erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge, • beschreiben, wählen und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen, • interpretieren und validieren Ergebnisse einer Modellrechnung vor dem Hintergrund des Sachkontextes unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells,

Gymnasium

Zahl

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • verwenden Prozentrechnung sachgerecht, • lösen Zinseszinsaufgaben iterativ, • rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und benutzen dabei Potenzgesetze, • nutzen Quadratwurzeln zur Lösung einfacher Probleme auch mit Hilfe des Taschenrechners, • ermitteln rationale Näherungswerte von Quadratwurzeln,

• • • • • •

• unterscheiden rationale von irrationalen Zahlen.

• • • •

verwenden Prozentrechnung sachgerecht und routiniert, lösen Zinseszinsaufgaben iterativ und durch Potenzieren, rechnen mit Potenzen und benutzen dabei Potenzgesetze, verwenden Gesetze für das Rechnen mit rationalen Exponenten, berechnen Wurzeln und Logarithmen sicher mit Hilfe des Taschenrechners und in überschaubaren Fällen auch ohne technische Hilfe, schätzen in einfachen Fällen rationale Näherungen von Wurzeln und Logarithmen ab, unterscheiden rationale von irrationalen Zahlen, identifizieren reelle Zahlen mit Punkten auf der Zahlengeraden, demonstrieren mit Rechnerhilfe das „Phänomen der Konvergenz“ , beschreiben π unter Verwendung eines Rechners als Ergebnis eines konvergenten Prozesses.

Gymnasium

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • nehmen Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel) und schätzen eine geeignete Genauigkeit bei Messvorgängen ein, • entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes, • schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen, • nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei einfachen Fermiaufgaben), • schätzen Winkelgrößen, • nutzen geeignete Größen und Einheiten, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse und Geld), • rechnen mit Größen und ihren Einheiten, wandeln sie hierfür um und geben Ergebnisse in situationsgerechten Einheiten an, • verwenden auf Stadtplänen und Landkarten Maßstabsleisten zur Ermittlung von Entfernungen,

• nehmen Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel) und nutzen dabei die Genauigkeit der jeweiligen Messinstrumente, • entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes, • schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen, • nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei Fermiaufgaben), • schätzen Winkelgrößen, • nutzen geeignete Größen und Einheiten, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse und Geld), • rechnen mit Größen und ihren Einheiten, wandeln sie um und geben Ergebnisse in situationsgerechten Einheiten an,

• nehmen Messungen von Größen vor (Längen, Flächen, Volumen, Zeit, Gewicht und Winkel) und nutzen dabei die Genauigkeit der jeweiligen Messinstrumente, • entnehmen Maßangeben aus Quellenmaterial (Texte, Graphiken, Abbildungen), führen damit Berechnungen aus sowie interpretieren und validieren die Ergebnisse vor dem Hintergrund des Sachkontextes, • schätzen Größen durch Vergleiche mit ihnen bekannten Größen von Alltagsgegenständen und erläutern ihre Überlegungen, • nutzen Schätzungen zur Modellierung realer Probleme (z. B. bei komplexeren Fermiaufgaben), • schätzen Winkelgrößen, • nutzen geeignete Größen und Einheiten, um Situationen zu beschreiben, zu untersuchen und einzuschätzen (insbesondere für Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse und Geld), • rechnen mit Größen, wandeln Einheiten um und geben Rechenergebnisse entsprechend der Genauigkeit der Ausgangsgrößen an,

Gymnasium

Messen

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • vergleichen Flächen und Volumina und bestimmen sie durch die enthaltene Anzahl von Einheitsquadrate und Einheitswürfeln, • berechnen Umfang und Flächeninhalt von Quadrat, Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken sowie das Volumen und den Oberflächeninhalt von Würfel und Quadern, • gehen sachgemäß mit Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen von Längen und Flächen um und benutzen dabei Maßstabsangaben, • wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an und berechnen diese Größen für einfache zusammengesetzte Figuren bzw. Körper, • bestimmen den Umfang und den Flächeninhalt beliebiger, auch krummlinig begrenzter, Flächen näherungsweise.

• wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• wenden die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung bei Berechnungen von Umfang, Flächeninhalt und Volumen an,

• berechnen den Umfang und den Flächeninhalt gradlinig begrenzter Flächen, von Kreisen und Kreissegmenten, sowie daraus zusammengesetzten Figuren, • leiten die Flächeninhaltsformeln für Trapeze und Drachen her und begründen ihren Lösungsweg, • bestimmen den Umfang und den Flächeninhalt beliebiger, auch krummlinig begrenzter, Flächen näherungsweise, • berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern, Prismen und Zylindern sowie daraus zusammengesetzten Körpern, • nutzen bei der Lösung geometrischer Probleme die funktionale Abhängigkeit von Körpervolumen, Flächeninhalt und Streckenlänge vom Skalierungsfaktor,

• berechnen den Umfang und den Flächeninhalt gradlinig begrenzter Flächen, von Kreisen und Kreissegmenten, sowie daraus zusammengesetzten Figuren, • bestimmen den Umfang und den Flächeninhalt beliebiger, auch krummlinig begrenzter, Flächen näherungsweise, • berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von geometrischen Körpern mit Hilfe einer Formelsammlung, ggf. mit Hilfe von Zerlegungen, • nutzen bei der Lösung geometrischer Probleme die funktionale Abhängigkeit von Körpervolumen, Flächeninhalt und Streckenlänge vom Skalierungsfaktor, • gehen mit beiden Winkelmaßen (Gradmaß und Bogenmaß) um,

• berechnen Winkelgrößen und Streckenlängen mit Hilfe des Winkelsummensatzes im Dreieck, des Satzes des Pythagoras und Ähnlichkeitsbeziehung (Skalierung). • begründen den Winkelsummensatz im Dreieck.

• berechnen Winkelgrößen und Streckenlängen bzw. Abstände auch unter Nutzung trigonometrischer Beziehungen, Ähnlichkeitsbeziehungen (Skalierung) und mit Hilfe des Sinus- und des Kosinussatzes, • beweisen den Sinussatz und den Kosinussatz.

Gymnasium

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie, • erkennen die Körper Würfel, Quader, Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln in der Darstellung als Netz und Schrägbild,

• erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie, • erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen, • erkennen in Figuren und Körpern rechtwinklige Dreiecke,

• erkennen in der Umwelt geometrische Objekte und ihre Beziehungen und beschreiben sie, • erkennen Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln aus ihren entsprechenden Darstellungen, • erkennen in Figuren und Körpern rechtwinklige Dreiecke,

• stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie), • teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie, • bauen Würfelbauten nach Schrägbildern,

• stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie), • teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie,

• stellen sich geometrische Objekte (Strecken, Flächen, Körper) vor und verändern sie gedanklich in ihrer Lage, ihrer Größe und Form (Kopfgeometrie), • teilen ihre Überlegungen anderen mit und begründen sie,

• klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften,

• klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate, Trapeze, Rauten, Drachen) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften fachsprachlich, • ordnen Vierecke nach deren Eigenschaften (Haus der Vierecke),

• klassifizieren Winkel (spitze, rechte und stumpfe), Dreiecke, Vierecke (allgemeine Vierecke, Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate, Trapeze, Rauten, Drachen) und Körper (Quader, Würfel, Pyramiden, Prismen, Kegel, Kugeln, Zylinder) und beschreiben deren Eigenschaften fachsprachlich, • ordnen Vierecke nach deren Eigenschaften (Haus der Vierecke),

Gymnasium

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • zeichnen geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel und Geodreieck, • beschreiben ihre Bearbeitungswege, • erstellen einfache Grundrisse und Lagepläne mit Hilfe von vorgegebenen Rastern, • zeichnen nicht nur spitze und stumpfe Winkel mit dem Geodreieck mindestens auf ein Grad genau,

• zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,

• zeichnen geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,

• konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW, SSW, SWS),

• konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (SSS, WSW, SSW, SWS),

• fertigen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen an (Halbierung einer Strecke, Halbierung eines Winkels, Lot durch einen gegebenen Punkt),

• fertigen mit Zirkel und Lineal Grundkonstruktionen an (Halbierung einer Strecke, Halbierung eines Winkels, Lot durch einen gegebenen Punkt),

• beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• beschreiben und begründen Bearbeitungswege,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• untersuchen in Dreiecken mithilfe dynamischer Geometriesoftware (DGS) die Eigenschaften besonderer Linien im Dreieck,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum Stellen und experimentellen Lösen einfacher Probleme,

• verwenden dynamische Geometriesoftware zum explorativen Arbeiten sowie zum Stellen und experimentellen Lösen von Problemen,

• erkunden – beispielsweise mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware – den Thalessatz,

• erkunden – beispielsweise mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware – den Thalessatz,

Gymnasium

Raum und Form

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht weitestgehend den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • stellen geometrische Figuren (Dreiecke, Vierecke, Polygone) im kartesischen Koordinatensystem dar und lesen die Koordinaten von Punkten ab, • stellen Körper (Quader, Würfel, Dreiecksprismen) als Netz, Schrägbild und Modell dar,

• stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar und lesen die Koordinaten von Punkten ab, • stellen Körper (Quader, Würfel, Prismen) als Netz, Schrägbild und Modell dar,

• stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar und lesen die Koordinaten von Punkten ab, • stellen Körper angemessen dar (Netz, Schrägbild, Modell),

• erkennen achsen- und drehsymmetrische Figuren und zeichnen Symmetrieachsen ein, • spiegeln Polygone an beliebigen Geraden und Punkten, • beschreiben Merkmale der Achsenspiegelung und der Drehung.

• drehen und spiegeln Polygone konstruktiv, • nutzen Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen.

• nutzen Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen,

• wenden den Winkelsummensatz im Dreieck sowie die Sätze über Winkel an Parallelen und Geradenkreuzungen bei Begründungen und Beweisen an und führen dabei selbstständig einfache Argumentationen in einem überschaubaren mathematischen Kontext durch,

• wenden den Winkelsummensatz im Dreieck sowie die Sätze über Winkel an Parallelen und Geradenkreuzungen bei Begründungen und Beweisen an und führen dabei selbstständig Argumentationen in einem überschaubaren mathematischen Kontext durch,

• beweisen den Satz des Pythagoras.

• beweisen den Satz des Pythagoras.

Gymnasium

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler …

• erkennen einfache Zusammenhänge zwischen zwei Größen aus dem Alltag und lösen dazu Aufgaben,

• verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• verfügen über verschiedene Grundvorstellungen von Variablen (Gegenstands-, Einsetzungs- und Kalkülgrundvorstellung),

• beschreiben, auf welche Weise zwei Größen funktional voneinander abhängig sind,

• verfügen über tragfähige Grundvorstellungen von funktionalen Zusammenhängen (Kovariations- und Objektvorstellung), • erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge in realitätsnahen Situationen, • stellen zu einfachen realen Problemen Terme und Gleichungen auf, • interpretieren einfache Terme und Gleichungen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext,

• erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge in einfachen realitätsnahen Situationen, insbesondere lineare und antiproportionale, • stellen zu einfachen realen Problemen Terme und Gleichungen auf, • interpretieren einfache Terme und Gleichungen sowie die darin auftretenden Variablen im gegebenen Kontext, • geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können,

• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können,

Gymnasium

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen,

• nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen, • erläutern charakteristische Merkmale von linearen und antiproportionalen Funktionen und wählen zur Modellierung und Lösung realitätsnaher Probleme die Parameter passend, • unterscheiden qualitativ lineare und exponentielle Wachstumsprozesse,

• verwenden Tabellenkalkulation zur Lösung realitätsnaher Probleme, zur Visualisierung und zur Untersuchung funktionaler Zusammenhänge,

• nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen, • entscheiden anhand von charakteristischen Merkmalen der folgenden Funktionsklassen, welche für die Modellierung eines realitätsnahen Problems geeignet ist, und lösen dieses durch passende Wahl der Parameter: lineare, quadratische, ganzrationale und einfache gebrochenrationale Funktionen, Wurzel-, Potenz-, Sinus-, Kosinus- und Exponentialfunktionen, • untersuchen bei einfachen gebrochenrationalen Funktionen das Verhalten an den Polstellen sowie für betragsmäßig große x-Werte, • beschreiben Einflüsse von Parametern in Funktionstermen auf ihre Graphen (Stauchen/Strecken und Verschieben) insbesondere bei der Sinus- und der Kosinusfunktion, • erkennen einfache Punkt- und Achsensymmetrien des Funktionsgraphen am Funktionsterm und nutzen diese, • verwenden Tabellenkalkulation und ein Computer-AlgebraSystem zur Lösung realitätsnaher Probleme, zur Visualisierung und zur Untersuchung funktionaler Zusammenhänge,

Gymnasium

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • geben bei Realitätsbezügen einen sinnvollen Definitionsbereich an,

• stellen einfache Zusammenhänge zwischen zwei Größen in sprachlicher und tabellarischer Form dar, • tragen Wertepaare in ein Koordinatensystem ein und lesen aus Graphen Werte ab, • interpretieren in einfachen Fällen Verläufe von Graphen, • skalieren und beschriften je nach Sachkontext die Koordinatenachsen sinnvoll, • erkennen in Tabellen einfache Gesetzmäßigkeiten und ergänzen fehlende Werte,

• stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, • wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen und erläutern deren Vor- und Nachteile,

• formen einfache Terme situationsgerecht um, auch mit Hilfe binomischer Formeln,

• geben bei Realitätsbezügen einen sinnvollen Definitionsbereich an, • geben bei Funktionen ohne Realitätsbezug einen maximal möglichen Definitionsbereich an, • stellen funktionale Zusammenhänge situationsgerecht in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, • wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen und erläutern deren Vor- und Nachteile, • verketten bekannte Funktionen,

• formen nicht nur einfache Terme situationsgerecht und routiniert um, auch mit Hilfe binomischer Formeln,

Gymnasium

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • verwenden das Gleichheitszeichen mathematisch korrekt und benutzen Variablen als Platzhalter, • lösen einfache Gleichungen im Bereich der positiven rationalen Zahlen durch systematisches Probieren und durch inhaltliche Überlegungen.

• lösen in Kontexten lineare Gleichungen sowie einfache lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen rechnerisch, • lösen einfache nichtlineare Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen oder durch systematisches Probieren, • entscheiden sich in konkreten Situationen für ein geeignetes Lösungsverfahren (Isolierung der Variablen, systematisches Probieren),

• untersuchen die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von konkreten linearen Gleichungssystemen, • lösen realitätsnahe Probleme durch graphische und rechnerische Bestimmung der Schnittpunkte der Graphen linearer Funktionen.

• lösen in Kontexten routiniert lineare und quadratische Gleichungen sowie einfache lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen durch Isolierung der Variablen, • lösen einfache nicht lineare Gleichungen (Wurzelgleichungen, Bruchgleichungen, Gleichungen höheren Grades – u. a. biquadratische Gleichungen durch Substitution oder geeignete Gleichungen durch Faktorisierung – und Exponentialgleichungen, letztere durch Verwendung von Logarithmen), nach Möglichkeit durch Isolierung der Variablen oder mit Probierverfahren, auch unter Einsatz geeigneter Software, • untersuchen die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von konkreten quadratischen Gleichungen und linearen Gleichungssystemen, • lösen realitätsnahe Probleme durch graphische und rechnerische Bestimmung der Schnittpunkte von Funktionsgraphen, • lösen einfache Optimierungsprobleme (graphisch, rechnerisch) auch unter Verwendung des Ableitungskalküls,

Gymnasium

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • bearbeiten inner- und außermathematische Fragestellungen, bei denen die Betrachtung und Bestimmung von Änderungsraten von Bedeutung ist, • beschreiben fachsprachlich charakteristische Stellen und Punkte von Funktionsgraphen, • interpretieren insbesondere Extrem- und Wendepunkte in ihrem jeweiligen inner- und außermathematischem Kontext und ermitteln diese rechnerisch, • erläutern die Bedeutung von Änderungsraten im Sachkontext z. B. als Geschwindigkeit, Grenzkosten, etc., • demonstrieren an Beispielen die Unterschiede zwischen mittleren und lokalen Steigungen von Funktionsgraphen und berechnen diese, • verwenden den Tangens bei Berechnungen von Steigungen und Steigungswinkeln, • demonstrieren am Beispiel die Tangente als Grenzgerade einer Folge geeigneter Sekanten,

Gymnasium

Funktionaler Zusammenhang

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • erläutern den Zusammenhang zwischen einzelnen lokalen Änderungsraten und der globalen Funktion der Änderungsraten, • berechnen die Ableitung ganzrationaler und Potenzfunktionen mit beliebigen Exponenten mithilfe von Summen- und Faktorregel, • leiten graphisch ab und vertreten ihr Ergebnis argumentativ.

Gymnasium

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • nutzen die Begriffe „sicher“, „unmöglich“, „wahrscheinlich“ zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten, • entscheiden, ob Ergebnisse gleich wahrscheinlich oder nicht gleich wahrscheinlich sind, • verfügen über erste Grundvorstellungen zu Wahrscheinlichkeiten,

• unterscheiden die Begriffe Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sowie Erwartungswert und Mittelwert und nutzen ihre Beziehung zueinander,

• unterscheiden sorgfältig und bewusst die Begriffe Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sowie Erwartungswert und Mittelwert und nutzen ihre Beziehung zueinander,

• sammeln unter einer gegebenen Fragestellung systematisch Daten, ordnen sie an und wählen eine geeignete Darstellung, auch Kreisdiagramme,

• erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation,

• erfassen Daten in Strichlisten und Tabellen und stellen sie geeignet grafisch dar, auch mit Tabellenkalkulation,

• entnehmen Informationen aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen aus ihrer Lebenswelt, • vergleichen verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhaltes miteinander und beschreiben Vor- und Nachteile der Darstellungen, • erkennen und beschreiben Manipulationen bei der Darstellung von Daten,

• lesen Werte aus Diagrammen und Tabellen ab, • entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann,

• lesen Werte aus Diagrammen und Tabellen ab, • entdecken an Beispielen irreführende grafische Darstellungen und erläutern, woran man das Manipulative erkennen kann,

Gymnasium

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu absolute und relative Häufigkeiten sowie die Kenngrößen Zentralwert, arithmetisches Mittel und Spannweite, • bewerten in einfachen Fällen Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,

• werten Daten von einfachen statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie die Kenngrößen Zentralwert, arithmetisches Mittel und Spannweite, auch mit Tabellenkalkulation, • bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,

• werten Daten von statistischen Erhebungen aus und berechnen und interpretieren dazu relative und absolute Häufigkeiten sowie unterschiedliche Kenngrößen, auch mit Tabellenkalkulation, • bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren, • erläutern Vor- und Nachteile unterschiedlicher Kennwerte zur Beschreibung von Daten,

• führen zu Vermutungen selbst geplante, umfangreiche Zufallsexperimente durch, schätzen Wahrscheinlichkeiten durch die Bestimmung von relativen Häufigkeiten und vergleichen diese, • machen Vorhersagen über Häufigkeiten mit Hilfe von intuitiv erfassten Wahrscheinlichkeiten, • bestimmen zu einfachen Laplace-Versuchen Wahrscheinlichkeiten und setzen diese in Beziehung zu experimentell ermittelten relativen Häufigkeiten,

• schätzen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte mit Hilfe von (rechnergestützten) Versuchsreihen zu Zufallsexperimenten, überprüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv,

• schätzen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte mit Hilfe von (rechnergestützten) Versuchsreihen zu Zufallsexperimenten, überprüfen hiermit Urteile und Vorurteile und verwenden dabei das Gesetz der großen Zahlen intuitiv,

Gymnasium

Daten und Zufall

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 entspricht den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule

Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe

Regelanforderungen für den Übergang in die Studienstufe entspricht den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 11 der Stadtteilschule für den Übergang in die Studienstufe

Die Schülerinnen und Schüler … • lösen kombinatorische Aufgaben mit kleinen Anzahlen durch Probieren und systematisches Vorgehen.

• berechnen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten im Laplace-Modell oder mit Hilfe von zweistufigen Baumdiagrammen, • verwenden in Baumdiagrammen die Summen- und die Produktregel, • nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, • bestimmen die Anzahlen der günstigen und möglichen Ergebnisse mit Hilfe einfacher kombinatorischer Überlegungen.

• berechnen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen und verwenden dabei bewusst die Summen- und die Produktregel, • nutzen Gegenereignisse bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, • bestimmen die Anzahlen der günstigen und möglichen Ergebnisse mit Hilfe einfacher kombinatorischer Überlegungen und nutzen dabei auch Symmetrien, • unterscheiden bei Zufallsvorgängen zwischen stochastischer Unabhängigkeit oder Abhängigkeit, • erkennen in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln bedingte Wahrscheinlichkeiten und arbeiten mit diesen, • setzen sich im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten mit dem Unterschied zwischen unscharfumgangssprachlicher und präzis-mathematischer Auffassung von Wahrscheinlichkeit auseinander.

Die Regelanforderungen exemplarisch aufgebrochen in Unterrichtseinheiten Im Folgenden findet sich exemplarisch ein Vorschlag, wie die Regelanforderungen im Fach Mathematik auf einzelne Unterrichtseinheiten aufgebrochen werden können. In dieser Darstellung wird jeweils in einem Kopftext Allgemeines zu dem Unterrichtsthema ausgeführt. Dabei wird auch auf Fragen der Differenzierung, des Einstiegs in das Thema und des Realitätsbezugs eingegangen. Eine feste Rubrik in den Kopftexten befasst sich mit den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. Diese treten in der Regel im Verbund auf und sind in allen Unterrichtseinheiten zu berücksichtigen. In der folgenden Darstellung werden die in dem jeweiligen Kontext wichtigsten hervorgehoben und kurz erläutert. Auf detaillierte Ausführungen wird zugunsten der Lesbarkeit verzichtet; in den Rahmenplänen finden sich tabellarische Übersichten mit den ausführlichen Formulierungen. In den folgenden Tabellen grau unterlegt sind die in der jeweiligen Unterrichtseinheit zu unterrichtenden mathematischen Themen. Meistens entstammen diese verschiedenen Leitideen. Bezug genommen wird dabei nicht auf die Mindestanforderungen der Rahmenpläne, sondern auf die Regelanforderungen, wie sie in dieser Handreichung an anderer Stelle dargelegt sind. Dabei werden die Regelanforderungen in den folgenden Übersichten nicht wortwörtlich wiedergegeben, sondern teilweise paraphrasiert und zusammengefasst dargestellt. Im Zweifelsfall verbindlich sind die ausführlichen Formulierungen in den Regelanforderungen. Am Ende der Darstellung jeder Unterrichtseinheit steht ein Abschnitt mit Themenvorschlägen für besonders leistungsfähige Schülerinnen und Schülern. Obgleich diese konkreten Themen nicht verbindlich sind und durch andere ersetzt werden können, ist es doch wichtig, diese Gruppe von Schülerinnen und Schülern im Blick zu haben und entsprechend zu fördern. Dies wird im Allgemeinen über eine Binnendifferenzierung zu realisieren sein. Das Aufbrechen der Regelanforderungen orientiert sich an den dort verwendeten Jahrgangsstufen. An einer konkreten Schule kann der folgende Vorschlag unpassend sein, weil beispielweise die Stunden im Fach Mathematik auf eine schulspezifische Weise auf die Jahrgänge verteilt sind. Denkbar sind auch andere Besonderheiten (etwa fachübergreifende Themenplanungen), die eine Umsortierung notwendig machen. Dies ist schulintern zu organisieren. In den beiden Schulformen, auf die sich diese Handreichung bezieht, wird bis zum Übergang in die Studienstufe (an Stadteilschulen nach Jahrgangstufe 11, an Gymnasien nach Jahrgangstufe 10) fachlich dasselbe angeboten; beide Schulformen führen auch zum Abitur. Da die zur Verfügung stehende Zeit jedoch verschieden ist, können nicht alle Unterrichtseinheiten in demselben Rhythmus unterrichtet werden. In der auf den nächsten Seiten anschließenden Übersicht von Unterrichtseinheiten wird an den entsprechenden Stellen durch die folgenden Markierungen darauf hingewiesen: GY

Themen, die zu diesem Zeitpunkt nur am Gymnasium unterrichtet werden; dieselben Themen werden an der Stadteilschule zu einem späteren Zeitpunkt behandelt.

STS

Themen, die zu diesem Zeitpunkt nur auf der Stadtteilschule unterrichtet werden; dieselben Themen werden am Gymnasium zu einem früheren Zeitpunkt behandelt.

Gewisse Themen sind nicht für alle Schulabschlüsse verpflichtend. Dies wird in den Übersichten mittels der unten stehenden Markierungen an den entsprechenden Stellen deutlich gemacht. Dabei ist zu beachten, dass eine Entscheidung über den Abschluss erst zum Ende der Sekundarstufe I gefällt wird. Standardschrift

Themen für alle Schülerinnen und Schüler, die mindestens den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss anstreben

kursive Schrift

zusätzliche Themen für leistungsfähigere Schülerinnen und Schüler der Stadtteilschule, die perspektivisch mindestens den mittleren Schulabschluss anstreben, oder für Schülerinnen und Schüler am Gymnasium

ABI

zusätzliche Themen für Schülerinnen und Schüler, die über den mittleren Schulabschluss hinaus das Abitur anstreben

Nicht nur an der Stadtteilschule – aber aufgrund der in dieser Schulform erteilten verschiedenen Abschlüsse dort besonders – hat dies zur Folge, dass der Unterricht an vielen Stellen binnendifferenziert zu organisieren ist, damit sowohl diejenigen Schülerinnen und Schüler, die das Abitur anstreben als auch solche, die die Schule nach dem ersten allgemeinbildenden Abschluss verlassen, angemessen gefördert werden. Das in dieser Handreichung veröffentlichte Aufgabenmaterial kann dazu eine Hilfe darstellen. Wichtig ist dabei hervorzuheben, dass der Weg zum Abitur an der Stadteilschule nicht erst in der Jahrgangsstufe 11 beginnt, sondern dass alle leistungsfähigen Schülerinnen und Schüler schon von Beginn an gefordert und gefördert werden müssen. Das schließt eine Vermittlung der kursiv dargestellten und der mit ABI markierten Themen schon im Verlaufe der Sekundarstufe I ein.

Beispiel für ein Mathematikcurriculum STS

Unterrichtseinheit

GY

5/6 (1)

Ich möchte mehr über meine Mitschülerinnen und Mitschüler wissen!

5/6 (1)

5/6 (2)

Natürliche Zahlen – ein spannendes Feld

5/6 (2)

5/6 (3)

Spiegelungen, Drehungen und Symmetrien

5/6 (3)

5/6 (4)

Der Euro und andere Größen

5/6 (4)

5/6 (5)

Einteilen – Verteilen

5/6 (5)

5/6 (6)

Wer gewinnt? Experimentieren mit dem Zufall

5/6 (6)

5/6 (7)

Figuren und Körper – in der Umwelt und in der Fantasie

5/6 (7)

7/8 (1)

Zwei starke Standardmodelle: Proportionalität und Antiproportionalität

7/8 (1)

7/8 (2)

Über Null und unter Null

7/8 (2)

7/8 (3)

Die Sprache der Mathematik – Teil 1

7/8 (3)

7/8 (4)

Maße geometrischer Figuren und Körper

7/8 (4)

7/8 (5)

Geometrische Erkundungen – klassisch und computergestützt

7/8 (5)

7/8 (6)

Aus den Erfahrungen der Vergangenheit Aussagen über die Zukunft machen

7/8 (6)

7/8 (7)

Denken in funktionalen Zusammenhängen

7/8 (7)

7/8 (8)

Die Sprache der Mathematik – Teil 2

7/8 (8)

9/10 (1)

Der Satz des Pythagoras – ein Kapitel für sich

7/8 (9)

9/10 (2)

Maße geometrischer Figuren und Körper – Teil 2

enthalten in 7/8 (4)

9/10 (3)

Tarife und Gebühren – lineare Funktionen

enthalten in 7/8 (7)

9/10 (4)

Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme

9/10 (1)

9/10 (5)

Modellieren mit geometrischen Körpern

9/10 (2)

9/10 (6)

Wiederholungen und Vertiefungen

9/10 (3)

9/10 (7)

Brücken und Bremswege – quadratische Funktionen

9/10 (4)

9/10 (8)

Geländemessungen auswerten – Trigonometrie

9/10 (5)

9/10 (9)

Ganz anders als linear – exponentielle Prozesse

9/10 (6)

11 (1)

Nicht alle können dasselbe – leistungsdifferenzierte Eingangsphase

entfällt

11 (2)

Funktionenzoo

9/10 (7)

11 (3)

Zustand und Tendenz – Änderungsraten

9/10 (8)

Leitidee Daten und Zufall Leitidee Zahl Leitidee Funktionaler Zusammenhang

5/6 (1)

Ich möchte mehr über meine Mitschülerinnen und Mitschüler wissen! Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Schülerinnen und Schüler der 5. Klassen befinden sich nach dem Übergang aus der Grundschule fast immer in einer neuen Schulumgebung und damit in einem neuen sozialen Gefüge. Die Flut neuer Informationen kann bei den Kindern geradezu auf natürliche Weise für unterrichtliche Zwecke genutzt werden. Viele Fragen entstehen aus dem Bedürfnis heraus, die neuen Mitschülerinnen und Mitschüler und die neue Umgebung kennenzulernen. So liegt es auf der Hand, Daten zu sammeln, Listen zu erstellen, Daten nach bestimmten Merkmalen zu ordnen, Daten für graphische Darstellungen aufzubereiten und zu vergleichen. In diesem Zusammenhang wird auch Rechenfertigkeit gefordert und gefördert sowie der Umgang mit Runden, Schätzen und Überschlagen eingeübt. Rationale Zahlen in ihren verschiedenen Darstellungen sowie insbesondere die Prozentschreibweise treten im Zusammenhang mit relativen Häufigkeiten und mit Mittelwerten auf. Hier sind je nach Leistungsstärke Abstufungen vorzunehmen, eine systematische Behandlung der Bruchrechnung soll an dieser Stelle nicht erfolgen. Auf pragmatische Weise bietet sich hier der Einsatz von Taschenrechnern an. Statistische Darstellungen erfordern den Umgang mit der Zahlengeraden. Auf eine sehr naheliegende Weise kommt man so zur Verwendung des Koordinatensystems. Hier lässt sich ein Bezug zur Unterrichtseinheit Figuren und Körper – in der Umwelt und in der Fantasie herstellen. In besonderer Weise werden in diesem Zusammenhang verschiedene allgemeine mathematische Kompetenzen im Verbund gefordert, hier sind hervorzuheben mathematisch modellieren (z. B. interpretieren mathematischer Resultate in Bezug auf die reale Situation), mathematisch argumentieren und kommunizieren, mathematische Darstellungen verwenden (z. B. erstellen, interpretieren und umwandeln statistischer Darstellungen) sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. Anforderungen und Inhalte: •

Rechnen mit natürlichen und einfachen anderen rationalen Zahlen

•

Erstellen und Bearbeiten von Fragebögen

•

Erheben, Darstellen und Interpretieren von Daten

•

Absolute und einfache relative Häufigkeiten

•

Zentralwert, arithmetisches Mittel, Spannweite

•

Umgang mit dem Koordinatensystem und Interpretation graphischer Darstellungen in einfachen Fällen

•

sachkontextangemessene Beschriftung und Skalierung von Koordinatenachsen

•

Verwendung und Verbalisierung von Tabellen

•

zwischen zwei Größen eventuelle Gesetzmäßigkeiten erkennen und nutzen, auch bei Tabellen

•

verschiedene Arten der Darstellungen kritisch verwenden und vergleichen

•

Runden, Schätzen und Überschlagen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den drei Leitideen Zahl, Funktionaler Zusammenhang sowie Daten und Zufall in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Weitere Darstellungsformen statistischer Daten

•

Wie lügt man mit Statistik?

•

Komplexere Zusammenhänge zwischen zwei Größen erkunden

Leitidee Zahl Leitidee Funktionaler Zusammenhang

5/6 (2)

Natürliche Zahlen – ein spannendes Feld Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Natürliche Zahlen scheinen zunächst einfach und unmittelbar zugänglich, andererseits verbirgt sich hinter ihnen ein großes Feld außermathematischer Bezüge und interessanter innermathematischer Probleme. Die Beschäftigung mit natürlichen Zahlen geht über das bloße Rechnen hinaus und erlaubt das Erkunden und Entdecken von Zusammenhängen. Hier bietet sich eine Binnendifferenzierung an; diese kann als natürliche Differenzierung oder durch unterschiedliche Aufgabenstellungen realisiert werden. Insbesondere natürliche Zahlen in Größenordnungen jenseits der Alltagserfahrung – etwa im Bereich der Astronomie – strahlen eine gewisse Faszination aus, bergen bei einigen Schülerinnen und Schülern aber auch Verständnisschwierigkeiten. Hier öffnet sich unterrichtlich ein weites Feld, damit auch diese individuell manchmal schwer greifbaren Zahlen den Schülerinnen und Schülern handelnd nahegebracht werden können. Anknüpfend an den Umgang mit natürlichen Zahlen in der Grundschule werden in diesem Zusammenhang auch Rechenfertigkeiten weiter ausgebaut. Dabei bieten sich auch erste Erkundungen im Umgang mit Gleichungen an. Hierbei ist insbesondere auf den korrekten Gebrauch des Gleichheitszeichens zu achten. Diese Einheit fordert insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen Probleme mathematisch lösen (z. B. Erkunden und Bearbeiten von Zusammenhängen), mathematisch argumentieren und kommunizieren sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (z. B. Rechenfertigkeit). Anforderungen und Inhalte: •

Rechnen mit natürlichen Zahlen

•

runden und überschlagen

•

Kontrolle durch Umkehraufgaben

•

Vertiefung des Stellenwertsystems

•

Teilbarkeitsregeln

•

Eigenschaften natürlicher Zahlen

•

Primfaktorzerlegung und Potenzschreibweise

•

Rechenregeln

•

Rechenalgorithmen beschreiben

•

korrekte Verwendung des Gleichheitszeichens

•

Lösen einfacher Gleichungen mit Variablen als Platzhalter durch systematisches Probieren

•

Lösen einfacher Gleichungen mit Variablen als Platzhalter durch inhaltliche Überlegungen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen Zahl und Funktionaler Zusammenhang in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Pascalsches Dreieck

•

Sieb des Eratosthenes

•

Magische Quadrate

•

Darstellung von Zahlen in verschiedenen Stellenwertsystemen 

 

Leitidee Raum und Form Leitidee Zahl

5/6 (3)

Spiegelungen, Drehungen und Symmetrien Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Symmetrie und ihre Gesetzmäßigkeiten sind in vielen Bereichen unserer Umwelt, in verschiedenen Naturwissenschaften sowie in Kunst und Architektur anzutreffen. Sie werden im Mathematikunterricht sowohl als fachlicher wie auch als fachübergreifender Lerninhalt verstanden. Die Symmetrie stellt nicht nur in der Mathematik ein Ordnungsprinzip dar, mit dessen Hilfe Strukturen häufig besser und schneller erfassbar sind. In dieser Unterrichtseinheit verbinden sich auf eine besondere Weise visuell-ästhetische mit mathematischstrukturellen Aspekten. Damit können beispielsweise Arbeitsergebnisse auch zur Klassenraumgestaltung dienen. Dies kann gerade für Schülerinnen und Schüler, die im Fach Mathematik bisher weniger leistungsstark gewesen sind, zur Motivation beitragen. Ausgangspunkte für diese Unterrichtseinheit bilden beispielsweise die Betrachtung von Ornamenten oder Symmetrien in der natürlichen Umwelt. Beim Umgang mit dem Koordinatensystem lässt sich ein Bezug zur Unterrichtseinheit Ich möchte mehr über meine Mitschülerinnen und Mitschüler wissen! herstellen. Der dem Koordinatensystem innewohnende Bezug zur Zahlengeraden bietet für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler eine Gelegenheit zur Begegnung mit negativen Zahlen. Viele Aspekte in dieser Unterrichtseinheit sind unabhängig voneinander; so kann man etwa Drehsymmetrien erkennen, ohne zuvor Achsenspiegelungen durchgeführt zu haben. Es ist also keine spezielle Lernreihenfolge gegeben. Methodisch legt dies in besonderer Weise die Möglichkeit nahe, selbstständiges und differenziertes Arbeiten im Zusammenhang mit einem Chefsystem oder mithilfe von Lernstationen zu initiieren. Die an dieser Stelle in besonderer Weise geforderten allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind unter anderem mathematische Darstellungen verwenden (auch im Zusammenhang mit dem Darstellungswechsel zwischen numerischen Koordinatenangaben und geometrischer Figur) und Probleme mathematisch lösen (etwa bei komplexeren Spiegelungen). Anforderungen und Inhalte: •

kopfgeometrische Übungen

•

Zeichnen mit Geodreieck und Zirkel

•

Umgang mit geometrischen Figuren im Koordinatensystem

•

bei der Arbeit im Koordinatensystem in einfachen Fällen Verwendung negativer Zahlen

•

Symmetrieachsen einzeichnen

•

Figuren an Geraden spiegeln

•

Drehsymmetrie erkennen

•

Verbalisierungen von Merkmalen, Arbeitswegen und Ideen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen Raum und Form sowie Zahl in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

zeichnerische Durchführung von Drehungen

•

Verkettungen von Drehungen und Spiegelungen

Leitidee Messen Leitidee Zahl Leitidee Funktionaler Zusammenhang

5/6 (4)

Der Euro und andere Größen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung: Größen stellen ein Bindeglied zwischen Realität und Mathematik dar. Deshalb ist es von besonderer Bedeutung, dass sich Schülerinnen und Schüler für das Arbeiten mit Größen nicht nur über formale Kenntnisse verfügen, sondern die Bedeutung erkennen, die sich hinter den einzelnen Namen und Symbolen verbirgt. Darüber hinaus ist es hilfreich, wenn Schülerinnen und Schüler durch Vergleiche eine Größenvorstellung entwickeln (z. B. ein Mittelklasseauto wiegt ca. 1 t, ein großes Fußballfeld hat einen Flächeninhalt von ca. 1 ha u. Ä.). Auf diese Weise können etwa bei Fermiaufgaben fehlende Informationen geschätzt werden. Bei Messungen ist die Frage der sinnvollen Genauigkeit zu thematisieren. In dieser Einheit bietet sich die umfassende Behandlung einer realen Fragestellung an, z. B. "Was kostet mein Haustier?", weil dabei verschiedene Größen (Zeit, Flächeninhalt, Geldmenge etc.) zueinander in Bezug gesetzt werden. Dabei kommen – etwa bei Flächeninhalts- und Volumenbestimmungen – schon die Prinzipien der Zerlegung und Ergänzung zum Tragen. Der Umgang mit großen Zahlen tritt im Zusammenhang mit Messungen und Abschätzungen im astronomischen Kontext sowie bei der Umrechnung von Maßeinheiten über verschiedene Stufen auf. Hier sind Bezüge zur Unterrichtseinheit Natürliche Zahlen – ein spannendes Feld! naheliegend, etwa bei der Besprechung von Zahlennamen und Vorsilben bei Maßeinheiten sowie im Zusammenhang mit der Zahlengeraden. In dieser Einheit sind alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen im Verbund gefordert, besonders hervorzuheben sind dabei mathematisch modellieren (beispielweise im Zusammenhang mit Fermi-Aufgaben), mathematisch argumentieren und kommunizieren (u. a. bei der Arbeit mit Datenquellen) sowie mathematische Darstellungen verwenden (z. B. bei der zusammenfassenden Ergebnispräsentation).

Anforderungen und Inhalte: •

Messungen in der Umwelt

•

Schätzungen mithilfe von Bezugsgrößen

•

angemessener Einsatz von Größen zur Beschreibung von Sachverhalten

•

situationsgerechter Einsatz von Maßeinheiten und deren Umrechnungen

•

Fermiaufgaben

•

Informationsaufnahme aus Quellen

•

Ermittlungen von Volumen, Flächeninhalt und Umfang in einfachen Fällen

•

Umgang mit Maßstäben auf Landkarten sowie bei Vergrößerungen und Verkleinerungen

•

Umgang mit der Zahlengeraden

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den drei Leitideen Messen, Funktionaler Zusammenhang und Zahl in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

nichtmetrische Maße

•

Historisches

5/6 (5)

Leitidee Zahl

Einteilen–Verteilen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Einfache Grundvorstellungen von Brüchen wurden schon in der Grundschule und zu Beginn der Sekundarstufe gebildet. Im Zuge des Gebots der Entzerrung ist die Bruchrechnung möglichst nicht als Block zu unterrichten, sondern einzelne Aspekte treten in verschiedenen Kontexten auf. So waren Brüche und Anteile schon Thema in vorangegangenen Unterrichtseinheiten, und in folgenden Unterrichtseinheiten werden sie erneut aufgegriffen. Insbesondere sei in diesem Zusammenhang das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nennen, bei dessen Behandlung Brüche aus einer neuen Perspektive betrachtet werden. Einzelne Aspekte der Bruchrechnung können insbesondere bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern auch in den Jahrgang 7 verlagert werden. Ein auf Verfahren fokussierender Unterricht hat sich auch im Kontext der Bruchrechnung nicht bewährt. Aus einer stärker strukturellen Perspektive ist festzuhalten, dass durch die Hinzunahme von Brüchen eine Zahlbereichserweiterung stattfindet. Besonders mit leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern lässt sich dies – auch im Zusammenhang mit der Frage der Geltung der Rechengesetze – gut thematisieren. Gerade im Zusammenhang mit der Bruchrechnung ist der Fokus – unabhängig von der Schulform – auf einen binnendifferenzierenden Unterricht zu legen, der einerseits stets Rückgriffe auf sorgfältig gelegte Grundvorstellungen zulässt, andererseits auch strukturelle und anspruchsvolle Erkundungen zulässt. Als reale Situationen, an denen sich die Bruchrechnung entwickeln lässt, haben sich Fragestellungen zum gerechten Teilen bewährt, auch beispielsweise mit dem Fokus der gerechten Sitzverteilung nach Wahlen. Methodisch hervorzuheben ist an dieser Stelle die Erstellung eines Bruchrechenalbums oder eines Lerntagebuchs. Die in diesem Zusammenhang besonders zu nennenden allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematische Darstellungen verwenden – insbesondere die Umwandlung verschiedener Bruchdarstellungen ineinander – und mathematisch argumentieren und kommunizieren, Letzteres insbesondere bei Erkundungen, Vermutungen und Begründungen in der neuen Welt der Brüche.

Anforderungen und Inhalte: •

Grundvorstellungen von Brüchen

•

Darstellungen von Brüchen und Dezimalzahlen auf einer Zahlengeraden

•

Größenvergleich von Brüchen und Dezimalzahlen

•

in einfachen Fällen Umwandlung von Brüchen und Dezimalzahlen ineinander

•

Umwandlung von Brüchen und Dezimalzahlen ineinander

•

Multiplikation, Addition und Subtraktion von Brüchen und Dezimalzahlen

•

Division von Brüchen und Dezimalzahlen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter der Leitidee Zahl in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

vertiefte Erkundung periodischer Dezimalzahlen

•

verschiedene Verfahren zur Bestimmung von ggT und kgV

Leitidee Daten und Zufall Leitidee Zahl

5/6 (6)

Wer gewinnt? Experimentieren mit dem Zufall Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Im Mittelpunkt dieses Themenbereiches stehen Wett- und Glücksspielsituationen, die für Schülerinnen und Schüler besonders motivierende Lernanlässe darstellen. Dabei werden Antworten durch statistische Experimente und elementare Überlegungen gesucht. Um den Effekt der Stabilisierung relativer Häufigkeiten (Gesetz der großen Zahl) deutlich werden zu lassen, werden bei unabhängiger Wiederholung des gleichen Zufallsexperimentes vielfältig relative Häufigkeiten bestimmt. Dabei werden auch Nicht-Laplace-Experimente mit einbezogen. Bei Laplace-Situationen ist es möglich, auch ohne Experimente argumentativ gestützte Aussagen über Wahrscheinlichkeiten zu machen. Aus bekannten Wahrscheinlichkeiten können dann weitere berechnet werden. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, den Bezug zur Bruchrechnung zu verdeutlichen. Aspekte wie das Kürzen und Erweitern wie auch die Addition und Subtraktion von Brüchen erfahren aus stochastischer Sicht eine neue inhaltliche Füllung, wodurch Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit eines weiteren Zugangs zur Bruchrechnung gegeben wird. Die Schülerinnen und Schüler erfahren im Laufe der Unterrichtseinheit den Zusammenhang, dass Wahrscheinlichkeiten bei großer Versuchszahl bestmögliche Vorhersagen für relative Häufigkeiten sind und umgekehrt relative Häufigkeiten Schätzer für Wahrscheinlichkeiten darstellen. Es ist sinnvoll, in dieser Unterrichtseinheit einen Bogen zur Einheit Ich möchte mehr über meine Mitschülerinnen und Mitschüler wissen! zu schlagen und mit dem jetzt erworbenen Wissen an die dort erhobenen Daten mit neuen Fragestellungen heranzugehen. Die in diesem Zusammenhang besonders zu nennenden allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind mathematisch modellieren (etwa hinsichtlich der Annahmen der Gleichwahrscheinlichkeit oder der Unabhängigkeit von Versuchen), mathematisch argumentieren und kommunizieren (beispielsweise bezüglich der vielfältigen Fragen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff) sowie mathematische Darstellungen verwenden (etwa im Zusammenhang mit der Repräsentation von Versuchsausgängen). Hier gilt wie schon an anderen Stellen: Letztlich sind alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen gefordert. Es ist jedoch hervorzuheben, dass gerade diese für viele erste Begegnung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht durch Fertigkeitsübungen dominiert werden soll; vielmehr ist auf die sorgfältige Ausbildung stochastischer Grundvorstellungen zu achten. Anforderungen und Inhalte: •

Grundvorstellungen von Wahrscheinlichkeit entwickeln

•

erster Umgang mit den Begriffen Gleichwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

•

Hypothesen über den Ausgang von Zufallsexperimenten erstellen und überprüfen

•

relative Häufigkeiten als Schätzung für Wahrscheinlichkeiten bestimmen

•

Bruchrechnung aus der Perspektive der Wahrscheinlichkeitsrechnung interpretieren

•

Wahrscheinlichkeiten als Vorhersage für relative Häufigkeiten verwenden

•

zu einfachen Laplace-Versuchen Wahrscheinlichkeiten bestimmen

•

einfache kombinatorische Fragestellungen durch Probieren und systematisches Zählen bearbeiten

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen Daten und Zufall sowie Zahl in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Erkundungen mithilfe von Riemerwürfeln

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen

5/6 (7)

Figuren und Körper – in der Umwelt und in der Fantasie Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Geometrische Formen sind im Alltag unübersehbar. Mathematische Kenntnisse im Bereich der Geometrie helfen, die Umwelt geometrisch strukturiert wahrzunehmen und zu gestalten. Geometrische Objekte gehen aber über die unmittelbare Umwelt hinaus, sie bilden eine imaginäre Welt eigener Art. Diese Welt lässt sich unter anderem durch kopfgeometrische Herangehensweisen erschließen. Eine Zusammenführung dieser beiden Zugänge führt zum aktiven Handeln durch die Herstellung von Modellen geometrischer Objekte. Zu Letzterem gibt es ein weites Spektrum von Zugängen, angefangen von Zeichnungen über Bastelarbeiten bis hin zur Verwendung fertiger Materialien. Eine Unterrichtseinheit zu diesem Thema soll den Bogen von Umwelterfahrungen über theoretische Erkenntnisse zur handelnden Produktion schlagen. Dabei kommt in allen Bereichen auch dem Aspekt des Strukturierens und Ordnens eine wichtige Rolle zu. Vorher erworbenes Wissen über Symmetrien ist dabei hilfreich. In propädeutischer Weise bietet sich der Gebrauch von Variablen für geometrische Objekte bzw. deren Maße im Sinne einer einfacheren Verständigung an. Als Startpunkte für diese Unterrichtseinheit haben sich die Untersuchung realer Gegenstände – z. B. auch von Kristallen – sowie die Herstellung von Gebäudemodellen bewährt. Hierbei zeigen schon die Materialien ein hohes Selbstdifferenzierungspotenzial. In dieser Einheit ist daher der handelnde Umgang der Schülerinnen und Schüler mit den Materialien von hervorgehobener Bedeutung. Die an dieser Stelle in besonderer Weise geforderten allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind unter anderem mathematische Darstellungen verwenden (verschiedenartige Repräsentationen geometrischer Objekte) und mathematisch argumentieren und kommunizieren (z. B. anhand von Fragestellungen das Ordnen und Strukturieren betreffend). Anforderungen und Inhalte: •

Erkennen und Beschreiben geometrischer Objekte in der Umwelt

•

Erkennen von Quadern und Würfeln anhand ihrer Netzdarstellungen

•

Anfertigen von Netzen und Körpermodellen von Quadern und Würfeln

•

Erkennen von Körpern anhand von Schrägbildern und mithilfe von Netzen

•

Anfertigen von Netzen, Körpermodellen und Schrägbildern von Quadern und Dreiecksprismen

•

Herstellung von Würfelbauten nach Schrägbildern

•

kopfgeometrische Übungen

•

Klassifikation von Winkeln, einfachen Figuren und einfachen Körpern

•

Klassifikation von Figuren und Körpern

•

Schätzung, Messung und Zeichnung von Winkeln

•

Zeichnen mit Geodreieck und Zirkel

•

Erstellen von Grundrissen und Lageplänen mithilfe von vorgegebenen Rastern

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen Raum und Form und Messen in den Mindestanforderungen und in den erhöhten Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 der Stadtteilschule sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 des Gymnasiums. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

platonische Körper

•

eulerscher Polyedersatz

Leitidee Zahl Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Daten und Zufall

7/8 (1)

Zwei starke Standardmodelle: Proportionalität und Antiproportionalität Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Viele Zusammenhänge in der Umwelt lassen sich durch proportionale oder antiproportionale Zuordnungen beschreiben. Häufig ist dies aber nur näherungsweise oder lediglich in einem bestimmten Bereich möglich. In dieser Unterrichtseinheit sollen anhand realer Phänomene viele Fragestellungen mithilfe antiproportionaler oder proportionaler Zuordnungen bearbeitet werden. Zu Letzterem gehört das ganze Feld der klassischen Prozentrechnung. Wichtig in diesem Zusammenhang ist einerseits die sichere Beherrschung der notwendigen Fertigkeiten, andererseits die Fähigkeit, auch die Grenzen der Anwendbarkeit der beiden genannten Standardmodelle auf konkrete Situationen zu erkennen. In Alltagssituationen bildet die Dreisatzrechnung im Überschlag ausgeführt ein wertvolles Hilfsmittel zur Beurteilung von Situationen; durch die Behandlung von Fermiaufgaben wird dieses Herangehen besonders gefördert. Im Bereich der Prozentrechnung werden häufig durch Fehlvorstellungen oder durch diese ausnutzende bewusste Manipulationen falsche Schlussfolgerungen gezogen. Darauf muss der Mathematikunterricht eingehen. In dieser Unterrichtseinheit bieten sich vielfältige Realitätsbezüge an, etwa Mathematik aus der Zeitung, Sitzverteilungen bei Wahlen, Ernährung und Gesundheit etc. Zweckmäßig ist es, die Vielfalt der Realitätsbezüge auch im Unterricht anklingen zu lassen. Zu vermeiden ist aber ein zu schnelles Springen von einem Sachkontext zum nächsten. Auf ein binnendifferenzierendes Vorgehen ist hier wegen der hohen praktischen Relevanz des Themas besonderer Wert zu legen. Bezüge zu anderen mathematischen Inhalten, darunter zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, zur beschreibenden Statistik und zur Bruchrechnung, sollten hergestellt werden. Bei realitätsnahen Fragestellungen sind der Taschenrechner und ggf. der Computer eine sinnvolle Unterstützung. Aus den obigen Ausführungen wird deutlich, dass in dieser Einheit insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen sowie mathematisch modellieren zum Zuge kommen. Anforderungen und Inhalte: •

situationsadäquate Anwendung des Standardmodells 'Proportionalität' (z. B. mithilfe des proportionalen Dreisatzes)

•

situationsadäquate Anwendung des Standardmodells 'Antiproportionalität' (z. B. mithilfe des antiproportionalen Dreisatzes)

•

Fermi-Aufgaben

•

situationsadäquate Beherrschung der Grundaufgaben der Prozentrechnung

•

einfache Zinsrechnung

•

Lösung von Zinseszinsaufgaben durch Iteration

•

kritische Reflexion der Modellannahmen und Validierung der Ergebnisse

•

Beurteilung fehlerhafter oder manipulativer Darstellungen im Kontext der Prozentrechnung

•

Runden und Schätzen

•

Kontrolle durch Überschläge und Umkehraufgaben

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den drei Leitideen Zahl, Daten und Zufall sowie Funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

verschachtelte Aufgaben mit sowohl proportionalen als auch antiproportionalen Elementen

•

eigene Erstellung fiktiver manipulativer Zeitungsmeldungen unter Ausnutzung verbreiteter Fehlvorstellungen zur Prozentrechnung

7/8 (2)

Leitidee Zahl

Über Null und unter Null Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Schülerinnen und Schüler in dieser Altersstufe gehen weit vor Einführung der negativen Zahlen im Unterricht auf naive Weise bereits mit solchen Zahlen im Alltag um (z. B. Temperaturen, Kontostände). Die Zahlenbereichserweiterung muss somit an den Erfahrungen anschließen, diese dann aber auch in den neu zu erarbeitenden theoretischen Rahmen einordnen. Mannigfache Übungen in unterschiedlichen Kontexten erhöhen die Sicherheit im Rechnen auf der gesamten Menge der rationalen Zahlen. Spätestens im Jahrgang 7 müssen an der Stadtteilschule alle vier Grundrechenarten für Brüche und Dezimalzahlen vollständig eingeführt sein, d. h. die bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern noch ausstehende Division ist in diesem Jahrgang zu behandeln. Es ist sinnvoll, neben der Bezugnahme zur Bruchrechnung auch weitere Bezüge zu bereits behandelten Themen herzustellen, etwa zu Koordinatensystemen, zur beschreibenden Statistik oder zur Lösung einfacher Gleichungen durch systematisches Probieren oder durch inhaltliche Überlegungen. Die für manche Schülerinnen und Schüler unter Umständen zunächst irritierenden Gesetzmäßigkeiten im Kontext der Grundrechenarten im Bereich der rationalen Zahlen lassen sich durch kleinere problemlösende Erkundungen nahebringen. Dabei spielt die Permanenz der Rechengesetze eine leitende Rolle. Gerade bei diesem Thema bietet es sich an, Teile der Entdeckungen und Übungen mithilfe von Spielen zu realisieren. Der Taschenrechner kann zur Kontrolle, aber auch zur Unterstützung bei mathematischen Erkundungen dienen. Dabei ist die nicht immer einheitliche Syntax – auch und gerade in Bezug auf die Unterscheidung zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen – zu beachten. In dieser Einheit kommen besonders die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen sowie Probleme mathematisch lösen zum Zuge. Anforderungen und Inhalte: •

Grundvorstellungen negativer Zahlen entwickeln

•

Zahlenbereichserweiterung auf die Menge der rationalen Zahlen

•

Grundrechenarten auf der Menge der positiven rationalen Zahlen wiederholen

•

Grundrechenarten auf der Menge der rationalen Zahlen beherrschen

•

Potenzen rationaler Zahlen mit positiven ganzzahligen Exponenten berechnen

•

Rechengesetze nutzen, u. a. das Distributivgesetz

•

moderates Kopfrechnen

•

Darstellung rationaler Zahlen auf der Zahlengeraden

•

Runden und Schätzen

•

Kontrolle durch Überschläge und Umkehraufgaben

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter der Leitidee Zahl in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

figurierte Zahlen auf der Menge der rationalen Zahlen

•

mathematische Erkundungen

Leitidee funktionaler Zusammenhang

7/8 (3)

Die Sprache der Mathematik – Teil 1 Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Schon in vorangegangenen Unterrichtseinheiten traten Variablen in propädeutischer Weise zur Vereinfachung der Formulierung von Zusammenhängen sowie als Leerstellen zum Einsetzen konkreter Zahlenwerte auf. Hier soll dieses Thema nun vertieft und verfestigt werden. Variablen und Terme bilden das strukturelle Rückgrat der Mathematik. Fehlvorstellungen in diesem Bereich führen bis weit in höhere Jahrgangsstufen zu Problemen. Deshalb ist eine besonders sorgfältige Behandlung dieses Themas nötig. Im Zusammenhang mit Realitätsbezügen bilden Variablen und Terme wesentliche sprachliche Elemente bei der Formulierung mathematischer Modelle. Im Variablenbegriff zeigen sich verschiedene Aspekte: Gegenstandsaspekt (Variablen zur Formulierung allgemeiner Rechenvorschriften), Einsetzungsaspekt (Variablen als Objekte, in die man Zahlen einsetzen kann) und Kalkülaspekt (Variablen als Objekte, mit denen man nach gewissen Regeln rechnen kann). Alle drei Aspekte müssen im Unterricht berücksichtigt werden, insbesondere darf keine Reduzierung auf den Kalkülaspekt stattfinden. Der Unterricht zu diesem Thema muss an den Vorstellungswelten der Schülerinnen und Schüler anknüpfen, deshalb sind Bezüge zu geometrischen und alltagsweltlichen Aspekten konstituierendes Element des Unterrichts. Besonderer Wert ist dem Aufstellen und dem Interpretieren von Termen zuzuweisen. Während in dieser Unterrichtseinheit die Einführung des Variablenbegriffs, die Addition von Variablen sowie die Multiplikation von Variablen mit rationalen Zahlen im Mittelpunkt stehen, soll an späterer Stelle das Thema erneut aufgegriffen werden. Dann sollen Variablenprodukte in ihren verschiedenen Erscheinungsformen behandelt werden. Bezüge zu vorangegangenen Unterrichtseinheiten sind naheliegend und sollten thematisiert werden. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (z. B. beim vielfältigen Darstellungswechsel zwischen Figuren und Termen) sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (z. B. beim Umformen von Termen) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Festlegen und Interpretieren von Variablen

•

Aufstellen und Interpretieren von Termen

•

Einsetzen von Zahlenwerten für Variablen und Auswerten der Terme

•

Multiplikation von Variablen mit rationalen Zahlen und dazu passende Termumformungen

•

Addition von Variablen und Termen sowie dazu passende Termumformungen

•

lineare Gleichungen aufstellen und lösen, auch zu einfachen realen Fragestellungen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter der Leitidee Funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Optimierungsaufgaben mithilfe von Tabellierungen

•

Historisches zum Variablenbegriff

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee Zahl Leitidee funktionaler Zusammenhang

7/8 (4)

Maße geometrischer Figuren und Körper Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung: Das Arbeiten mit Flächeninhalten und Volumina erfährt seine Relevanz auch aus einem unmittelbaren Praxisbezug. So führen beispielsweise Untersuchungen verschiedener Formen von Verpackungen unter der Fragestellung, wie Materialverbrauch und nutzbarer Inhalt zusammenhängen, unmittelbar zu den genannten mathematischen Begriffen. Zu dieser Unterrichtseinheit gehören aber auch interessante rein-mathematische Fragestellungen, etwa die Frage der Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten durch Ergänzung und Zerlegung bis hin zur Herleitung allgemeiner Formeln. Wichtig sind in diesem Zusammenhang immer wieder kopfgeometrische Überlegungen. Das Bearbeiten krummlinig begrenzter Figuren durch einfache Näherungsverfahren sollte immer wieder thematisiert werden. Dies gilt einerseits, weil in der Praxis auftretende Objekte häufig nicht einfach geformt sind, anderseits festigt ein solches Vorgehen die Grundvorstellungen der Begriffe Flächeninhalt und Umfang. Die Begriffe Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit helfen bei der Bestimmung von Streckenlängen, Flächeninhalten und Volumina, ohne dass sie in aller Tiefe behandelt werden müssen. Binnendifferenziert muss unter anderem dort vorgegangen werden, wo die unterschiedlichen Veränderungsweisen von Streckenlängen, Flächeninhalten und Volumina bei Vervielfachungen der Streckenlängen betrachtet werden. Nur für die Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums gehören bei dieser Unterrichtseinheit auch Berechnungen von Kreisen, Kreisteilen und Zylindern dazu (Schülerinnen und Schüler der Stadtteilschule behandeln dieses Thema später). Dabei ist es möglich, mit der Zahl π und dem Wurzelziehen zunächst pragmatisch umzugehen und diese Aspekte erst später vertieft zu thematisieren. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (etwa beim Umgang mit Gleichungen und Formeln), Probleme mathematisch lösen (z. B. beim Zerlegen und Ergänzen) sowie mathematisch argumentieren und kommunizieren (etwa beim Herleiten von Formeln) gefordert. Zudem kommen immer wieder Aspekte der Kompetenz mathematisch modellieren ins Spiel, etwa wenn reale Formen durch einfache geometrische angenähert werden. Anforderungen und Inhalte: •

Flächeninhaltsformeln von Dreiecken und Parallelogrammen herleiten und anwenden

•

GY

Flächeninhaltsformeln von Trapez und Drachen herleiten und anwenden

•

GY

Klassifizierung von Vierecken (Haus der Vierecke)

•

näherungsweise Berechnungen an krummlinig begrenzten Figuren; Thematisierung der Genauigkeit

•

Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren

•

Eigenschaften, Schrägbilder und ggf. Netze der geometrischen Grundkörper

•

Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern, Prismen sowie von daraus zusammengesetzten Körpern

•

Aufstellen und Lösen linearer Gleichungen im Kontext von Flächeninhalts- und Volumenberechnungen

•

Nutzen von Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit

•

adäquater Einsatz und Umrechnungen von Maßeinheiten

•

Zehnerpotenzschreibweise für große Zahlen

•

GY

Zehnerpotenzschreibweise für betragsmäßig kleine Zahlen

•

GY

Flächeninhalt und Umfang vom Kreis und von Kreisteilen

•

GY

Volumen und Oberflächeninhalt vom Zylinder

•

GY

Nutzen der funktionalen Abhängigkeit der Volumen- und Flächeninhaltsänderungen vom Skalierungsfaktor der Streckenänderungen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den vier Leitideen Messen, Raum und Form, Zahl sowie funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen: Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Manipulationspotenzial statistischer Darstellungen mithilfe geometrischer Objekte

•

Volumen und Oberflächeninhalt krummflächig begrenzter Körper

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee funktionaler Zusammenhang

7/8 (5)

Geometrische Erkundungen – klassisch und computergestützt Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Kaum ein anderes Gebiet der schulischen Mathematik eignet sich so gut zum Erkunden, Entdecken, Begründen und Beweisen wie die Geometrie. Dabei hat die Einführung dynamischer Geometriesoftware (DGS) dem Geometrieunterricht ganz neue Impulse gegeben. Händische Fertigkeiten wie der Umgang mit Zirkel und Geodreieck bilden durch ihre Langsamkeit die Grundlage des Verstehens geometrischer Begriffe und Verfahren und sind daher unverzichtbar. Zum Erkunden hingegen taugt eine DGS besser, weil man mit ihrer Hilfe schnell geometrische Objekte herstellen und so eigene Vermutungen erhärten kann. Eine ganz neue Qualität gegenüber der klassischen Geometrie bildet der Zugmodus im Zusammenhang mit Ortskurven. Der Zugmodus erweitert und verallgemeinert das Verständnis funktionaler Zusammenhänge. Auf diese Weise wird den Schülerinnen und Schülern die Entdeckung auch komplexerer Phänomene möglich. Wichtig ist, dass der DGS-gestützte Unterricht nicht im Staunen über das Entdeckte verbleibt. Zentral und exemplarisch für die mathematische Denkweise insgesamt sind einerseits eigenständige präzise Formulierungen von Vermutungen und anderseits deren Begründungen und Beweise. An welchen geometrischen Konstellationen die in dieser Unterrichtseinheit zentralen allgemeinen mathematischen Kompetenzen entwickelt werden, ist zweitrangig. Nach der Behandlung der Grundbegriffe und -verfahren sowie (für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler) des Thalessatzes steht die Welt der Geometrie offen. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden, Probleme mathematisch lösen sowie mathematisch argumentieren und kommunizieren gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Zeichnen und Konstruieren einfacher geometrischer Figuren mit Zirkel und Geodreieck

•

Grundkonstruktionen mit Zirkel und Geodreieck

•

Untersuchung der Eigenschaften der besonderen Linien im Dreieck mithilfe DGS

•

Geometrische Erkundungen mithilfe DGS

•

Kopfgeometrie

•

Untersuchung des Thalessatzes mithilfe DGS

•

Beschreiben und Begründen des jeweiligen Vorgehens

•

Begründung des Winkelsummensatzes im Dreieck und seine Nutzung zur Winkelberechnung

•

Nutzung des Winkelsummensatzes im Dreieck sowie der Winkelsätze an Parallelen bei Begründungen, Argumentationen und Beweisen

•

Beschreibung und Nutzung der funktionalen Abhängigkeit im Zusammenhang mit dem Zugmodus der DGS

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den drei Leitideen Raum und Form, Messen und funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Peripheriewinkelsatz

•

Eulersche Gerade

Leitidee Daten und Zufall

7/8 (6)

Aus den Erfahrungen der Vergangenheit Aussagen über die Zukunft machen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

In dieser Unterrichtseinheit werden zwei Aspekte betont: ein empirischer und ein theoretischer. Im Bereich der Empirie liegt ein Anknüpfen an die Erhebungen zu Beginn der Sekundarstufe nahe. Befragungen untereinander und auch außerhalb der Klassengemeinschaft zu altersangemessenen Problemen bieten reichhaltiges Material, das ausgewertet, dargestellt und interpretiert werden kann. Dabei ergeben sich viele Ansätze für ein fächerübergreifendes Arbeiten und für Aufgriffe früherer Inhalte des Mathematikunterrichts. Bei der graphischen Darstellung der Daten sollten Beziehungen zu Flächeninhalts- und Volumenberechnungen hergestellt werden. Dabei lassen sich sinnvoll Manipulationstechniken durch graphische Darstellungen thematisieren. Der Übergang zur Wahrscheinlichkeit entspringt der Fragestellung, wie man aus empirischen Daten Vorhersagen für die Zukunft machen kann; hier ist die Beziehung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit angesiedelt. Daten aus Umfragen sowie gezielte Zufallsexperimente – auch als Computersimulationen – liefern die empirische Grundlage zum Erforschen und Erkunden. Dabei lassen sich sinnvoll schwierigkeitsabgestufte Aufgaben stellen, was insbesondere heterogenen Lerngruppen zugutekommt. Das Gesetz der großen Zahl soll beim empirischen Erkunden intuitiv erfasst werden. Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums behandeln in dieser Unterrichtseinheit auch zweistufige Zufallsversuche sowie den Begriff des Erwartungswertes. An der Stadtteilschule findet dies zu einem späteren Zeitpunkt statt. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (etwa im Kontext der beschreibenden Statistik) sowie mathematisch modellieren (z. B. bei den zahlreichen Übergängen zwischen Empirie und Theorie) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Erhebung, Auswertung, Darstellung und Interpretation von Daten, auch unter Nutzung der Begriffe absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, arithmetisches Mittel, Zentralwert und Spannweite

•

Umgang mit Tabellen und Diagrammen

•

Manipulationen durch statistische Darstellungen

•

Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms

•

Verständnis und Nutzung der Beziehung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

•

Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Laplaceversuchen

•

Nutzung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

•

Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten durch einfache kombinatorische Überlegungen

•

GY

Verständnis und Nutzung der Beziehung zwischen Erwartungswert und arithmetischem Mittel

•

GY

Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsversuchen; Summen- und Produktregel im Baumdiagramm

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter der Leitidee Daten und Zufall in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Ausstellung zum Thema "Wie lügt man mit Statistik?" gestalten

•

weiterführende computergestützte Simulationen

•

weiterführende kombinatorische Fragestellungen

Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Messen

7/8 (7)

Denken in funktionalen Zusammenhängen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung: Das Denken in funktionalen Zusammenhängen ist ein Charakteristikum des mathematischen Blicks auf die Welt. Die Vielfalt funktionaler Zusammenhänge und ihrer Beschreibungen soll in dieser Unterrichtseinheit deutlich werden. Dabei ist der Wechsel zwischen verbaler, tabellarischer, graphischer und algebraischer Beschreibung ein wesentliches Moment des Verstehens auf Seiten der Schülerinnen und Schüler. Funktionen haben – mindestens – zwei Gesichter, die sich in den Begriffen Kovariationsvorstellung und Objektvorstellung widerspiegeln. Für den Umgang mit den beiden Sichtweisen wird in dieser Unterrichtseinheit die Grundlage gelegt. Es soll deutlich werden, wie reale Zusammenhänge durch verschiedene auch mathematische Darstellungsweisen beschrieben werden können, und umgekehrt, wie die mathematischen Darstellungsweisen bei der Suche nach Antworten auf reale Fragen hilfreich sind. Dabei wird die Idee der mathematischen Modellierung als Annäherung an ausgewählte Realitätsaspekte betont. Unterrichtlich bieten sich viele Bezüge zur Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler, aber auch zu anderen Fächern an. Dazu zählen Wachstumsprozesse, Fahrpläne etc. Zu diesem Zweck werden Informationen durch die Schülerinnen und Schüler beschafft und Messungen werden von ihnen durchgeführt. Gewonnene Ergebnisse – u. a. Schnittpunkte zweier Graphen – werden interpretiert und validiert. Bezüge zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen werden hergestellt. Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums behandeln hier auch systematisch speziell lineare Funktionen und ihre Eigenschaften. Dazu gehören Schnittpunktsberechnungen und das Lösen linearer Gleichungssysteme. Als reale Fragestellung liegt die Untersuchung von Tarifstrukturen nahe. An der Stadtteilschule findet dies zu einem späteren Zeitpunkt statt. Auf die Anmerkungen zur Unterrichtseinheit Tarife und Gebühren (Stadtteilschule 9/10) wird an dieser Stelle ausdrücklich hingewiesen. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (etwa beim Wechsel zwischen den verschiedenen Darstellungen eines funktionalen Zusammenhangs) sowie mathematisch modellieren (z. B. bei der Verwendung von Funktionen zur Beschreibung realer Phänomene und bei der Interpretation und Validierung) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Beschreibung funktionaler Zusammenhänge sprachlich, graphisch, tabellarisch und ggf. algebraisch

•

sachkontextuale Interpretation mathematischer Beschreibungen funktionaler Zusammenhänge

•

Datenbeschaffung aus Quellen oder durch Messung

•

Interpretation und Validierung von durch die mathematische Darstellung funktionaler Zusammenhänge gewonnenen Erkenntnissen, darunter auch Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

•

GY

Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogrammes zur Darstellung von Funktionen

•

GY

Angabe eines vor dem Hintergrund des Sachkontextes sinnvollen Definitionsbereiches

•

GY

lineare Funktionen: Eigenschaften und Anwendungen

•

GY

funktionale Sichtweise antiproportionaler Zuordnungen

•

GY

qualitative Unterscheidung von linearem und exponentiellem Wachstum

•

GY

lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen

•

GY

situativ angemessenes Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen (durch Isolation der Variablen oder durch systematisches Probieren)

•

GY

Untersuchung der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den Leitideen Funktionaler Zusammenhang und Messen in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Zahlenfolgen

•

rekursiv definierte Funktionen

•

Ungleichungen und Systeme von Ungleichungen, lineare Optimierung

Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Messen Leitidee Zahl

7/8 (8)

Die Sprache der Mathematik – Teil 2 Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Wiederaufgreifend, wiederholend und vertiefend wird der Themenbereich "Sprache der Mathematik" an dieser Stelle erneut behandelt. Die schon früher genannten Grundsätze finden auch hier Beachtung. Neu hinzu kommen die Gesetzmäßigkeiten im Kontext der Multiplikation von Variablen. Hier liegt eine Verbindung aus geometrischanschaulichen Flächeninhalts- und Volumenbetrachtungen und algebraisch-abstrakten Kalkülen nahe. Diese Verbindung wird je nach individuellem Denkstil von den Schülerinnen und Schülern in unterschiedlicher Weise realisiert und genutzt. Dadurch bieten sich auch Ansätze zur Binnendifferenzierung. Inverse Fragestellungen führen zum Aufstellen auch nichtlinearer Gleichungen, die u. a. durch systematisches Probieren bearbeitet werden. Dabei können erste Begegnungen mit Wurzeln entstehen. Der Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms ist hier empfehlenswert. Diese Unterrichtseinheit bietet eine Fülle von Ansatzpunkten zum gemeinsamen Erkunden und Erforschen einerseits, aber auch zum individuellen Üben und Vertiefen andererseits. Unter anderem durch die Variation der Komplexität der verwendeten Terme entsteht Material zur Binnendifferenzierung. Die binomischen Formeln für diejenigen Schülerinnen und Schüler, die mindestens den mittleren Schulabschluss anstreben, bilden keinen Selbstzweck. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich mit ihnen vertraut machen und maßvoll den Umgang mit ihnen üben. Im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen werden die binomischen Formeln später wieder aufgegriffen und vertieft. Schülerinnen und Schüler, die das Abitur anstreben, bearbeiten in dieser Unterrichtseinheit – gegebenenfalls binnendifferenzierend – auch Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Beherrschen muss dieses Thema die genannte Gruppe von Schülerinnen und Schülern an der Stadtteilschule jedoch erst am Ende von Jahrgang 9. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (z. B. beim Darstellungswechsel zwischen Figuren und Termen) sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (z. B. beim Umformen von Termen) gefordert. Bei der Behandlung der Potenzgesetze wird im Rahmen des Beweisens und Begründens die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch argumentieren und kommunizieren benötigt. Anforderungen und Inhalte: •

Festlegen und Interpretieren von Variablen

•

Aufstellen, Interpretieren, Umformen und Auswerten von Termen, die auch Variablenprodukte enthalten

•

Anwendung der Potenzschreibweise für Produkte aus gleichen Faktoren

•

ABI

•

Anwendungen des Distributivgesetzes (Ausmultiplizieren und Ausklammern)

•

binomische Formeln

•

Anwendung der algebraischen Kenntnisse beim Umgang mit Flächeninhaltsformeln

•

Aufstellen und Interpretieren auch nichtlinearer Gleichungen

•

Lösen nichtlinearer Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren, auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm

Anwendung der Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den Leitideen Funktionaler Zusammenhang, Messen sowie Zahl in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

softwaregestützte Bearbeitung von Optimierungsproblemen über Tabellierungen

•

Historisches zum Lösen von Gleichungen

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee Zahl

GY 7/8 (9) STS 9/10 (1)

Der Satz des Pythagoras – ein Kapitel für sich Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Der Satz des Pythagoras verbindet die Leitideen Raum und Form, Messen sowie Zahl in einer besonderen Weise und bildet dadurch einen der mathematischen Inhalte, die auch noch lange nach dem Schulabschluss in Erinnerung bleiben. Der Satz des Pythagoras ist einer der zentralen Sätze der elementaren angewandten Mathematik, er öffnet die Tür zur Welt der irrationalen Zahlen und er bietet eine Vielzahl von Anlässen für Erkundungen, Argumentationen und Beweisen. Zusammen mit Ähnlichkeitsüberlegungen lassen sich viele Fragen der Streckenberechnungen durch den Satz des Pythagoras beantworten. Eine intensive formale Beschäftigung mit den Strahlensätzen ist dabei nicht notwendig. Die Vielfalt von Anwendungen legt Vernetzungen zu anderen Themen nahe (etwa Koordinatensystem, Flächenund Volumenberechnungen) und bietet auch methodisch gute Ansatzpunkte zu binnendifferenzierendem und selbstständigem Arbeiten. Bezüglich der allgemeinen mathematischen Kompetenz mathematisch argumentieren und kommunizieren zeigen sich im Satz des Pythagoras eine Fülle von Ansatzpunkten in Form von Veranschaulichungen, Bestätigungen, Begründungen, präformale Beweisen und Beweisen. Der Aspektreichtum des Satzes des Pythagoras spiegelt sich in der Vielzahl unterrichtlicher Zugänge wieder. So ist beispielsweise ein historisch-handelndes Vorgehen über Knotenschnüre denkbar; einen anderen Weg bieten Fragen der Landvermessung, oder man stellt den Aspekt des mathematischen Argumentierens in den Mittelpunkt. Eine tiefere Beschäftigung mit irrationalen Zahlen wird möglicherweise nicht bei allen Schülerinnen und Schülern auf fruchtbaren Boden fallen. Auch hier sind binnendifferenzierende Maßnahmen empfehlenswert. Für die Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums sollte der Zusammenhang zwischen Quadratwurzeln und der Zahl π auf der Ebene des Phänomens deutlich gemacht werden. Diese Unterrichtseinheit fordert insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (etwa bei den Darstellungswechseln zwischen Zahl und Form im Kontext des Satzes des Pythagoras), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (beispielsweise beim Umgang mit auftretenden Gleichungen) sowie mathematisch argumentieren und kommunizieren (etwa im Zusammenhang mit Beweisen oder Begründungen zum Satz des Pythagoras). Anforderungen und Inhalte: •

Beweis des Satzes des Pythagoras

•

Kopfgeometrie

•

Anwendungen des Satz des Pythagoras

•

Quadratwurzeln

•

irrationale Zahlen als Phänomen

•

Ermittlung rationaler Näherungswerte irrationaler Wurzeln

•

ABI

Menge der reellen Zahlen und die Deutung reeller Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden

• Ähnlichkeit und ihre Anwendung bei Berechnungen von Streckenlängen Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den drei Leitideen Raum und Form, Zahl sowie Messen in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 der Stadtteilschule mit Blick auf den mittleren Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 des Gymnasiums mit Blick auf die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Höhen- und Kathetensatz

•

pythagoräische Zahlentripel

•

Satzgruppe des Pythagoras sowie die Frage der Umkehrbarkeit der Sätze

•

Strahlensätze sowie die Frage ihrer Umkehrbarkeit

•

zentrische Streckung

•

Historisches

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee Zahl Leitidee funktionaler Zusammenhang

STS 9/10 (2)

Maße geometrischer Figuren und Körper – Teil 2 Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Diese Unterrichtseinheit bezieht sich ausschließlich auf den Unterricht an der Stadtteilschule. Die betreffenden mathematischen Inhalte werden am Gymnasium bereits zu einem früheren Zeitpunkt behandelt. Die in einer früheren Unterrichtseinheit behandelten realitätsbezogenen und theoretischen Fragestellungen zu den verschiedenen Maßen geometrischer Objekte werden hier einerseits wiederholend, andererseits erweiternd und vertiefend wiederaufgegriffen. Die Anmerkungen, die zu der oben genannten früheren Unterrichtseinheit gemacht wurden, finden auch hier Anwendung. Der Zusammenhang zwischen der Zahl π und den bereits bekannten Quadratwurzeln sollte auf der Ebene des Phänomens deutlich gemacht werden. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (etwa beim Umgang mit Gleichungen und Formeln), Probleme mathematisch lösen (z. B. beim Zerlegen und Ergänzen) sowie mathematisch argumentieren und kommunizieren (etwa beim Herleiten von Formeln) gefordert. Zudem kommen immer wieder Aspekte der Kompetenz mathematisch modellieren ins Spiel, etwa wenn reale Formen durch einfache geometrische angenähert werden. Anforderungen und Inhalte: •

STS

Flächeninhalt und Umfang von Trapez und Drachen berechnen

•

STS

Flächeninhaltsformeln von Trapez und Drachen herleiten

•

STS

Klassifizierung von Vierecken (Haus der Vierecke)

•

STS

näherungsweise Berechnungen an krummlinig begrenzten Figuren; Thematisierung der Genauigkeit

•

STS

Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren

•

STS

Aufstellen und Lösen linearer Gleichungen im Kontext von Flächeninhaltsund Volumenberechnungen

•

STS

Nutzen von Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit

•

STS

adäquater Einsatz und Umrechnungen von Maßeinheiten

•

STS

Zehnerpotenzschreibweise für große Zahlen

•

STS

Zehnerpotenzschreibweise für betragsmäßig kleine Zahlen

•

STS

Flächeninhalt und Umfang vom Kreis

•

STS

Flächeninhalt und Umfang von Kreisteilen

•

STS

Volumen und Oberflächeninhalt vom Zylinder

•

ABI

Nutzen der funktionalen Abhängigkeit der Volumen- und Flächeninhaltsänderungen vom Skalierungsfaktor der Streckenänderungen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den vier Leitideen Messen, Raum und Form, Zahl sowie funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Manipulationspotenzial statistischer Darstellungen mithilfe geometrischer Objekte

•

Volumen und Oberflächeninhalt krummflächig begrenzter Körper

Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Messen

STS 9/10 (3)

Tarife und Gebühren – lineare Funktionen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Diese Unterrichtseinheit bezieht sich auf den Unterricht an der Stadtteilschule. Die betreffenden mathematischen Inhalte werden am Gymnasium bereits zu einem früheren Zeitpunkt behandelt. Die hier dargestellten Anmerkungen sind jedoch auch für den Unterricht am Gymnasium nützlich. Nachdem in einer früheren Unterrichtseinheit die Idee der Abhängigkeit zweier Größen voneinander thematisiert wurde, sollen in dieser Einheit die linearen Funktionen als eine wichtige und anwendungsrelevante Funktionenklasse behandelt werden. Dabei bietet sich die Problematisierung von Tarifstrukturen – bestehend aus Grundgebühr und Verbrauchsgebühr – an. Innerhalb dieses Sachkontextes liegen typische Fragestellungen nahe, die sich graphisch durch Ablesen von Koordinaten oder algebraisch durch das Lösen von Gleichungen oder Gleichungssystemen bearbeiten lassen. Aus einer Modellierungsperspektive sind in dieser Unterrichtseinheit die Übergänge zwischen Realität und mathematischer Darstellung relevant, zum Beispiel bei der Interpretation von Funktionsparametern, Graphenverläufen oder Schnittpunkten. Ebenso ist die Frage der vereinfachenden Modellannahmen unterrichtlich zu thematisieren, beispielsweise bei der Ermittlung "typischer" Konsumgewohnheiten. Beide genannten Aspekte spielen bei der Validierung der Ergebnisse eine zentrale Rolle. Bezüge zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen werden hergestellt. In heterogenen Lerngruppen wird vermutlich eine Leistungsdifferenzierung nötig sein. Dabei ist über weite Strecken eine gemeinsame Arbeit möglich, beispielsweise bei der Diskussion von Modellierungsaspekten oder bei der Informationsbeschaffung. Es kann aber sinnvoll sein, dass leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler ihren Überlegungen eher lineare Gleichungen als lineare Funktionen zugrunde legen oder die algebraischen Verfahren zugunsten der Arbeit an Tabellen und Graphen ganz zurückstellen. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (etwa beim Wechsel zwischen den verschiedenen Darstellungen eines linearen funktionalen Zusammenhangs), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (etwa beim Umgang mit Gleichungen und Gleichungssystemen) sowie mathematisch modellieren (s. o.) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

STS

Beschreibung linearer Funktionen sprachlich, graphisch, tabellarisch und algebraisch

•

STS

Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogrammes zur Darstellung von Funktionen

•

STS

lineare Funktionen: Eigenschaften und Anwendungen

•

ABI

funktionale Sichtweise antiproportionaler Zuordnungen

•

STS

Datenbeschaffung aus Quellen oder durch Messung

•

STS

qualitative Unterscheidung von linearem und exponentiellem Wachstum

•

STS

Interpretation von Schnittpunkten der Graphen linearer Funktionen

•

STS

lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen

•

STS

situativ angemessenes Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen (durch Isolation der Variablen oder durch systematisches Probieren)

•

ABI

Untersuchung der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen

•

ABI

Angabe eines vor dem Hintergrund des Sachkontextes sinnvollen Definitionsbereiches

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen funktionaler Zusammenhang und Messen in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

lineare Ungleichungen

•

Systeme linearer Ungleichungen, lineare Optimierung

Leitidee Daten und Zufall

GY 9/10 (1) STS 9/10 (4)

Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Diese Unterrichtseinheit knüpft an das stochastische Vorwissen der vergangenen Schuljahre an. Dabei wird der Zusammenhang zwischen Empirie und Theorie, zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, zwischen arithmetischem Mittel und Erwartungswert vertieft oder neu entdeckt. In diesem Zusammenhang präzisieren leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler auch ihr Wissen über statistische Kennwerte. Während am Gymnasium bereits Baumdiagramme und Pfadregeln behandelt wurden, findet dies an der Stadtteilschule an dieser Stelle statt. Ähnliches gilt für den Zusammenhang von Erwartungswert und arithmetischem Mittel. Für alle neu sind unter anderem Fragen der bedingten Wahrscheinlichkeit im Kontext von Vierfeldertafeln. In dieser Unterrichtseinheit ist es zweckmäßig zu differenzieren. Während leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler die Grundlagen zweistufiger Zufallsexperimente erlernen und den Umgang damit einüben, gehen Leistungsstärkere auf grundsätzlichere Fragen wie die der stochastischen Unabhängigkeit ein und schärfen anhand der bedingten Wahrscheinlichkeit ihren Wahrscheinlichkeitsbegriff. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich im Rahmen der Umwandlung einer Vierfeldertafel in zwei Baumdiagramme (und umgekehrt) gut erkunden. Dabei ist darauf zu achten, dass die behandelten Fragestellungen auch aus sachkontextualer Sicht sinnvoll sind. Hierzu eignen sich beispielsweise Fragestellungen zur Aussagekraft medizinischer Tests ebenso wie Fehlinterpretationen von Wahrscheinlichkeiten in den Medien. Eine formale Behandlung des Satzes von Bayes ist nicht gefordert! In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (etwa beim Wechsel zwischen Vierfeldertafel und Baumdiagrammen) sowie mathematisch argumentieren und kommunizieren (insbesondere bei den Überlegungen zur stochastischen Unabhängigkeit und zur bedingten Wahrscheinlichkeit) gefordert. Die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch modellieren kommt bei der Diskussion der Übergänge von Empirie zur Theorie – und umgekehrt – zum Tragen. Anforderungen und Inhalte: •

STS

Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsversuchen; Summen- und Produktregel im Baumdiagramm

•

STS

Verständnis und Nutzung der Beziehung zwischen Erwartungswert und arithmetischem Mittel

•

ABI

Vor- und Nachteile verschiedener statistischer Kennwerte

•

ABI

stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit

•

ABI

bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel und in Baumdiagrammen

•

ABI

mathematisch-begriffliche Ausschärfung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter der Leitidee Daten und Zufall in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 der Stadtteilschule mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Zusammenstellung unpräziser oder falscher Verwendungen bedingter Wahrscheinlichkeiten in den Medien

•

funktionale Abhängigkeit bedingter Wahrscheinlichkeiten von Eingangswahrscheinlichkeiten

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee Zahl

GY 9/10 (2) STS 9/10 (5)

Modellieren mit geometrischen Körpern Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Mit dieser Unterrichtseinheit werden die klassischen Körperberechnungen komplettiert. Damit steht das mathematische Werkzeug für vielfältige Modellierungen durch geometrische Körper zur Verfügung. Fragen beispielsweise nach dem Oberflächeninhalt der menschlichen Haut oder nach Volumina – und damit Massen – von Denkmälern können als Ausgangspunkt für unterrichtliche Diskussionen und Modellierungsprozesse dienen. Modellierungsprozesse sollen an dieser Stelle systematischer behandelt werden. Das lässt sich durch die unterrichtliche Behandlung und bewusste Nutzung eines Modellierungskreislaufes realisieren. Geometrische Modellierungen bieten eine gute Möglichkeit der Leistungsdifferenzierung innerhalb der Lerngruppe. Dies lässt sich einerseits durch die Vergabe unterschiedlicher Fragestellungen bewerkstelligen; andererseits eignen sich offenere Fragestellungen, wie sie für Modellierungsaufgaben typisch sind, gut für eine natürliche Differenzierung. Neben dem Aspekt der Modellierung werden auch theoretische Aspekte berührt. So kommen Kubikwurzeln ins Spiel, die neben ihrem praktischen Nutzen auch das Tor zur späteren Behandlung allgemeiner Potenzen öffnen. Die Zahl π wird für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler als Ergebnis eines Prozesses erfahren. Damit werden Anknüpfungspunkte für spätere Betrachtungen im Rahmen der Analysis geschaffen. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematisch modellieren (siehe dazu die obigen Ausführungen) sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (im Zuge des vielfältigen Umgangs mit Formeln und Gleichungen) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Volumen und Oberflächeninhalt von Pyramiden

•

Volumen und Oberflächeninhalt von Kegeln und Kugeln

•

Volumen und Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern

•

Modellierung durch geometrische Körper

•

Kubikwurzeln

•

ABI

mit Rechnereinsatz die Zahl π als Ergebnis eines konvergenten Prozesses erfahren

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den drei Leitideen Raum und Form, Messen sowie Zahl in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Pyramiden- und Kegelstümpfe

•

Kugelabschnitt, Kugelausschnitt, Kugelschicht

Leitidee Zahl Leitidee Messen Leitidee Raum und Form Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Daten und Zufall

GY 9/10 (3) STS 9/10 (6)

Wiederholungen und Vertiefungen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

In den Jahrgängen 9 und 10 finden verschiedene schriftliche und mündliche Prüfungen bzw. Überprüfungen statt. Zur Vorbereitung dieser Prüfungen dienen u. a. die im Internet veröffentlichten Beispielaufgaben sowie die an gleicher Stelle zu findenden Aufgaben der vergangenen Jahre. Das Wiederholen der an früherer Stelle bearbeiteten Themen sollte sich nicht aus einem bloßen Durchnehmen derselben Aufgaben in denselben Kontexten bestehen. Vielmehr sind mathematisch ähnliche Fragestellungen in neuen Zusammenhängen zu bearbeiten; so bietet sich etwa die Zinsrechnung als möglicherweise neuer Sachkontext für die Prozentrechnung an. Außerdem soll bisher Gelerntes untereinander verknüpft werden, sodass ein Gebäude vernetzten Wissens entsteht, in dem sich der Schüler oder die Schülerin sicher bewegen kann. Je nach angestrebtem Schulabschluss werden prüfungsvorbereitende Wiederholungen und Vertiefungen unterschiedliche Ausprägungen haben. Der Unterricht muss darauf binnendifferenzierend eingehen. Wiederholungs- und Vertiefungsphasen sollen nicht nur im unmittelbaren zeitlichen Zusammenhang zu Prüfungen bzw. Überprüfungen stehen, sondern im oben genannten Sinne durchgängiges Unterrichtsprinzip sein. Es ist naheliegend, dass alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen in Wiederholungs- und Vertiefungsphasen gefordert und gefördert werden müssen. Anforderungen und Inhalte: •

alle bisher bearbeiteten Themen

Die detaillierten Anforderungen finden sich in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Teilnahme an Wettbewerben

•

Forschungsvorhaben

Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Raum und Form

GY 9/10 (4) STS 9/10 (7)

Brücken und Bremswege – quadratische Funktionen Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

In dieser Unterrichtseinheit werden Inhalte jenseits des ersten allgemeinbildenden Schulabschlusses behandelt. Schülerinnen und Schüler der Lerngruppe, die sich auf diesen Abschluss vorbereiten, nutzen die Unterrichtszeit sinnvollerweise für Wiederholungen und Vertiefungen. Die Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen knüpft an die mit linearen Funktionen an. Dort Gelerntes sowie das Wissen um Modellierung fließen hier zusammen. Im Zuge dieser Unterrichtseinheit durchzuführende Nullstellen- und Scheitelpunktsbestimmungen sollen auch in Bezug zu realen Fragestellungen erfolgen. Als zu modellierende reale Phänomene bieten sich Fragestellungen zu Brückenformen und Untersuchungen zu Bremswegen an. Bei Ersterem kommt die Objekt-, bei Letzterem die Kovariationsvorstellung von Funktionen zum Tragen. Beide Sichtweisen sind zu berücksichtigen. Inverse Fragestellungen führen zu quadratischen Gleichungen. Im Rahmen der Behandlung von Lösungsverfahren werden Verknüpfungen zu früheren Inhalten – beispielsweise binomische Formeln – hergestellt. Im Zuge einer Binnendifferenzierung bearbeiten leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler auch Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt sowie biquadratische Gleichungen. Bezüge zu geometrischen Aspekten der Funktionsgraphen werden am besten mit Computerhilfe hergestellt. Interaktive Software, bei der die Änderung der Funktionsparameter unmittelbar zu einer sichtbaren Veränderung des Graphen führt, erleichtert das Verständnis der Zusammenhänge. Dabei werden auch verschiedenen Symmetrien betrachtet. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematisch modellieren (bei den verschiedenen Realitätsbezügen), mathematische Darstellungen verwenden (Beziehung zwischen Funktionsterm und Graph) sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (etwa beim Lösen quadratischer Gleichungen) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

quadratische Funktionen

•

Einfluss der Funktionsparameter auf die Parabel, u. a. Verschiebungen entlang der Achsen

•

Symmetrien von Funktionsgraphen

•

quadratische Gleichungen

•

ABI

Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen

•

ABI

biquadratische Gleichungen mittels Substitution lösen

•

ABI

Kovariations- und Objektgrundvorstellung von Funktionen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen funktionaler Zusammenhang sowie Raum und Form in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Felderkundungen und mathematische Analyse Hamburger Brückenformen

•

Kegelschnitte

Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee funktionaler Zusammenhang

GY 9/10 (5) STS 9/10 (8)

Geländemessungen auswerten – Trigonometrie Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Kern dieser Unterrichtseinheit ist die klassische Trigonometrie. Obwohl größere Abschnitte für Schülerinnen und Schüler der Lerngruppe, die sich auf den ersten allgemeinbildenden Abschluss vorbereiten, nicht verpflichtend sind, ist über weite Strecken ein gemeinsames Arbeiten möglich. Viele Fragestellungen lassen sich nicht nur rechnerisch, sondern auch rein konstruktiv unter Nutzung maßstäblicher Verkleinerungen lösen. Erst im späteren Verlauf der Einheit ist eine inhaltliche Differenzierung sinnvoll; die oben genannte Gruppe von Schülerinnen und Schülern beschäftigt sich dann sinnvollerweise stärker mit der bevorstehenden Prüfung. Eine Verbindung trigonometrischer Fragestellungen mit der Umwelt der Schülerinnen und Schüler ergibt sich aus dem Problem, unzugängliche Streckenlängen zu bestimmen. Mithilfe von Schultheodoliten werden in Kleingruppen Winkel- und Streckenmessungen durchgeführt, die anschließend rechnerisch oder konstruktiv ausgewertet werden. Jenseits der genannten praktischen Nutzung bieten trigonometrische Fragestellungen auch ein hohes Potenzial zum Problemlösen, etwa bei mehrschrittigen Bearbeitungsprozessen. Ebenso bieten sich viele Ansatzpunkte zum Argumentieren, Begründen und Beweisen. Diese sollte genutzt werden. In dieser Unterrichtseinheit werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematisch argumentieren und kommunizieren (siehe dazu die obigen Ausführungen), mathematisch modellieren (im Zuge der genannten Realitätsbezüge) sowie Probleme mathematisch lösen (siehe dazu die obigen Ausführungen) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Durchführung von Messungen von Winkelgrößen und Streckenlängen im Gelände

•

maßstäblich verkleinerte Konstruktionen zum Lösen realer Probleme nutzen

•

Ähnlichkeit von Dreiecken

•

trigonometrische Beziehungen zur Berechnung von Seitenlängen und Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken nutzen

•

Sinussatz beweisen und zur Berechnung von Seitenlängen und Winkelgrößen in beliebigen Dreiecken nutzen

•

ABI

Kosinussatz beweisen und zur Berechnung von Seitenlängen und Winkelgrößen in beliebigen Dreiecken nutzen

•

ABI

bei Geraden Nutzung des Tangens bei der Ermittlung von Steigungen und Steigungswinkeln

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den Leitideen Raum und Form, Messen sowie funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss, in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Additionstheoreme

•

Abschätzung der Wirkung von Messfehlern auf das Ergebnis

•

Konstruktion rechter Winkel im Gelände

Leitidee Zahl Leitidee funktionaler Zusammenhang

GY 9/10 (6) STS 9/10 (9)

Ganz anders als linear – exponentielle Prozesse Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

Diese Unterrichtseinheit wendet sich insbesondere an Schülerinnen und Schüler, die mindestens den mittleren Schulabschluss anstreben. Schülerinnen und Schüler, die sich auf den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss vorbereiten, bearbeiten gewisse Fragestellungen zu Beginn dieser Einheit durch sukzessive Prozentrechnung (die sie auf diese Weise üben und vertiefen), wenden sich aber dann ihrer Prüfungsvorbereitung im engeren Sinne zu. Exponentialfunktionen bieten ein weites Feld von Realitätsbezügen, etwa Wachstumsvorgänge verschiedenster Art oder auch Abbauvorgänge beispielweise von Drogen, Rohstoffen oder radioaktiven Substanzen. Auf die qualitativen und rechnerischen Unterschiede zu linearen Prozessen muss Bezug genommen werden. Fächerverbindendes liegt nahe und sollte genutzt werden. In diesem Zusammenhang sind die Modellierungen mithilfe von Exponentialfunktionen auch vor dem Hintergrund des Sachkontextes – z. B. in Form der anderen Unterrichtsfächer – kritisch zu diskutieren; vereinfachende Annahmen müssen hinterfragt, ermittelte Ergebnisse interpretiert und validiert werden. Inverse Fragestellungen führen entweder zu Näherungsverfahren (etwa Tabellierungen, Ablesen am Graphen) oder – für Schülerinnen und Schüler, die das Abitur anstreben – zum Logarithmenkalkül. Potenzen werden dabei auf rationale Exponenten erweitert, in diesem Zusammenhang bieten sich vielfältige Anlässe für Begründungen und Argumentationen. Es werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematisch argumentieren und kommunizieren (beispielsweise bei der Einführung gebrochener Exponenten und bei den Potenzregeln) und mathematisch modellieren (im Zuge der genannten Realitätsbezüge) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

Zinseszinsaufgaben durch Potenzieren bearbeiten

•

Exponentialfunktionen für Modellierungen verwenden

•

anhand gegebener Daten rechnerische Unterscheidung zwischen linearen und exponentiellen Prozessen

•

ABI

Potenzen mit rationalen Exponenten

•

ABI

Potenzgesetze

•

ABI

Bestimmung von Logarithmen mit dem Taschenrechner, überschlägig im Kopf und in einfachen Fällen exakt im Kopf

•

ABI

Lösung von Exponentialgleichungen mithilfe von Logarithmen

Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den beiden Leitideen Zahl und funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen der Stadtteilschule für den mittleren Schulabschluss sowie in den sowie in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Historisches (Logarithmentafeln, Rechenstäbe)

•

logarithmische Skalen und ihre Anwendungen

•

geometrische Folgen und Reihen

Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Zahl

STS 11 (1)

Nicht alle können dasselbe – leistungsdifferenzierte Eingangsphase Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung:

An der Stadtteilschule werden im Allgemeinen mit Beginn der Jahrgangsstufe 11 neue Lerngruppen zusammengestellt; Schülerinnen und Schüler verschiedener Klassen und Schulen treffen zum ab nun gemeinsamen Lernen und Arbeiten zusammen. Das hat auch Konsequenzen für den Mathematikunterricht, weil vermutlich die fachlichen Voraussetzungen nicht bei allen dieselben sind. Erfahrungsgemäß gibt es insbesondere im Bereich der arithmetischen und algebraischen Fertigkeiten bei einigen Schülerinnen und Schülern Defizite, während andere hier gut vorbereitet sind. Deshalb sollte die erste Unterrichtseinheit im Jahrgang 11 der Stadtteilschule aus einer differenzierten Wiederholungsphase bestehen. Schwächere Schülerinnen und Schüler wiederholen, üben und vertiefen im Bereich ihrer Defizite, während sich leistungsstärkere mit Komplexerem auseinandersetzen. Hier bietet sich an, dass diese Gruppe bezüglich der allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematisch modellieren und Probleme mathematisch lösen ihre mathematische Leistungsfähigkeit zeigt und ausbaut. Dabei sind auch Modellierungen anzustreben, die sich über mehrere Unterrichtsstunden erstrecken, Anregungen dazu finden sich in der aktuellen Literatur. Interessante Problemlöseaufgaben sind in großer Zahl den Veröffentlichungen zur Mathematikolympiade zu entnehmen. Wie oben dargestellt, werden in dieser Unterrichtseinheit insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematisch modellieren sowie Probleme mathematisch lösen. Anforderungen und Inhalte: •

ABI

Rechnen in der Menge der reellen Zahlen

•

ABI

algebraische Umformungen: Terme ausklammern, ausmultiplizieren, zusammenfassen

•

ABI

•

ABI

Potenzgesetze

•

ABI

lineare Gleichungen aufstellen und lösen

•

ABI

lineare Gleichungsysteme aufstellen und lösen

•

ABI

quadratische und biquadratische Gleichungen aufstellen und lösen

•

ABI

Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen

•

ABI

Exponentialgleichungen aufstellen und lösen

•

ABI

lineare, quadratische und Exponentialfunktionen

•

ABI

Modellierungen über mehrere Unterrichtsstunden

•

ABI

komplexere Problemlöseaufgaben

binomische Formeln

Die detaillierten Anforderungen zu den Wiederholungs- und Vertiefungsaspekten finden sich unter den beiden Leitideen funktionaler Zusammenhang und Zahl in den Regelanforderungen der Stadtteilschule. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Teilnahme an Wettbewerben

•

Forschungsvorhaben

GY 9/10 (7) STS 11 (2)

Leitidee funktionaler Zusammenhang

Funktionenzoo Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung: Über die bisher bekannten Funktionen hinaus werden in dieser Unterrichtseinheit weitere Funktionenklassen behandelt und systematisiert. Dabei bildet idealerweise ein reales Phänomen, das durch eine bestimmte Funktionenklasse gut beschrieben werden kann, den Ausgangspunkt. Es schließt sich jeweils die Frage der Lösung der dazugehörigen Gleichungen an. Aspekte der Modellierung sollen dabei stets mitgedacht werden. Bei der Untersuchung des Einflusses der Funktionsparameter auf den Verlauf des Graphen erleichtert interaktive Software, bei der die Änderung der Funktionsparameter unmittelbar zu einer sichtbaren Veränderung des Graphen führt, das Verständnis der Zusammenhänge. Dabei werden auch die Frage der Achsensymmetrie zur y-Achse und der Punktsymmetrie zum Ursprung sowie ihr Zusammenhang zum Funktionsterm vertieft. ganzrationale Funktionen: Möglicher realer Ausgangspunkt ist die Frage des Zeitpunktes des vollständigen Verschwindens eines abtauenden quaderförmigen Eisberges, bei dem sich pro Tag die Länge, die Breite und die Höhe jeweils um einen Meter verringern. An dieser Stelle lässt sich auch der Unterschied zwischen einem realistisch sinnvollen und dem mathematisch maximal möglichen Definitionsbereich diskutieren. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten können als Spezialfall ganzrationaler Funktionen behandelt werden. gebrochen-rationale Funktionen: Die Frage, wie hoch der Zeitgewinn bei einer Erhöhung der Reisegeschwindigkeit im Vergleich zu einem Zeitbedarf bei einer Geschwindigkeit von 100 kmh-1 ist, führt zu einer gebrochen-rationalen Funktion. Allgemeine Phänomene wie Asymptoten und Polstellen werden anhand dieser Funktion diskutiert und an weiteren einfachen (!) gebrochen-rationalen Funktionen untersucht. Die schon früher behandelten antiproportionalen Zusammenhänge werden hier eingebettet. Wurzelfunktionen: Als realer Ausgangspunkt kann die Frage dienen, wie die Sichtweite bis zum Horizont von der Augenhöhe abhängt. Bei Wurzelfunktionen ist auf das Phänomen der senkrechten Tangenten hinzuweisen. Sinus- und Kosinusfunktion: Das Bogenmaß als eine Verallgemeinerung des Arguments von Winkeln auf beliebige Größen wird eingeführt. Als realer Bezug dienen periodische Phänomene aus der Umwelt, etwa jährliche Temperaturverläufe. Dabei wird eine Anpassung der Funktion an die Daten des realen Phänomens notwendig. Insofern schließt sich die Frage des Einflusses der Parameter auf den Kurvenverlauf auf eine sehr naheliegende Weise an. Die Lösungsmengen trigonometrischer Gleichungen sollen graphisch veranschaulicht werden. In einer Zusammenschau werden alle bisher behandelten Funktionen bezüglich ihrer charakteristischen mathematischen Eigenschaften, der Lösungswege der dazugehörigen Gleichungen sowie ihres Einsatzes zur Lösung realer Probleme verglichen. Durch die unterschiedliche Komplexität der in dieser Unterrichtseinheit zu behandelnden Gleichungen lässt sich auf einfache Weise eine Binnendifferenzierung erreichen. Es werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (insbesondere beim Lösen von Gleichungen) sowie mathematisch modellieren (im Zuge der genannten Realitätsbezüge) gefordert. Anforderungen und Inhalte: •

ABI

charakteristische mathematische Eigenschaften und Modellierungspotenzial der folgenden Funktionenklassen: ganzrationale Funktionen (mit den Sonderfällen lineare Funktionen und quadratische Funktionen), einfache gebrochen-rationale Funktionen, Exponential-, Wurzel-, Sinus- und Kosinusfunktion sowie allgemeine Potenzfunktionen

•

ABI

Verwendung der oben genannten Funktionenklassen zum Lösen realer Probleme

•

ABI

Lösung einfacher Bruch- und Wurzelgleichungen

•

ABI

Verwendung von Faktorisierungen und von Probierverfahren beim Lösen von Gleichungen

•

ABI

rechnerische Ermittlung der Schnittpunkte von Graphen zur Lösung realer Probleme

•

ABI

Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung am Funktionsterm erkennen

•

ABI

Abgrenzung des mathematisch maximal möglichen vom realistisch-sinnvollen Definitionsbereich

• ABI Verkettung von Funktionen Die detaillierten Anforderungen finden sich unter der Leitidee funktionaler Zusammenhang in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen:

Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Tangensfunktion

•

Lösung trigonometrischer Gleichungen

Leitidee funktionaler Zusammenhang Leitidee Zahl

GY 9/10 (8) STS 11 (3)

Zustand und Tendenz – Änderungsraten Methodische Hinweise, Schüler- und Problemorientierung: Viele Phänomene werden nicht nur durch ihren aktuellen Zustand angemessen beschrieben, sondern auch durch die ihnen innewohnende Veränderungstendenz. So sagt die Kenntnis eines hohen Luftdrucks weniger über das Wetter aus als die Information, dass der Luftdruck hoch ist, aber fällt. Anknüpfend an propädeutische Erfahrungen in früheren Unterrichtseinheiten wird hier das Thema Änderungsrate in den Mittelpunkt gerückt. Als Ausgangspunkt können eigene Bewegungserfahrungen mit einem Ultraschallbewegungsmesser, der Weg-Zeit-Diagramme einer selbst durchgeführten Bewegung erstellt, dienen. Einer ähnlichen, aber komplexeren Unterrichtsidee entspricht die Analyse eigener, mittels Satellitennavigation aufgezeichneter Rundgänge durch den Stadtteil. Der Übergang von einer mittleren zu einer lokalen Änderungsrate kann sinnvoll mithilfe von Veranschaulichungen am Computer durchgeführt werden. Der Übergang von einer lokalen Änderungsrate zur globalen Funktion der Änderungsraten – zur Ableitungsfunktion – erfordert besondere unterrichtliche Sorgfalt. In diesem Zusammenhang ist das graphische Ableiten hilfreich. Der Ableitungsbegriff ist mit der Kovariations- und der Objektvorstellung von Funktionen in Beziehung zu setzen. Während erstere Vorstellung eher z. B. mit Bewegungsvorgängen und damit Geschwindigkeiten assoziiert ist, hat die Objektvorstellung stärker die statisch-geometrische Konnotation der Tangentensteigung. Die Verbindung dieser beiden Sichtweisen ist unterrichtlich anzustreben. Die Schülerinnen und Schüler sollen in dieser Unterrichtseinheit unter anderem eine angemessene Vorstellung von dem Konzept der Änderungsraten entwickeln. In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, in verschiedenen Sachkontexten Änderungsraten zu identifizieren und zu interpretieren. Eine einmal entwickelte Regel wie etwa die Potenzregel für natürliche Exponenten kann als Heuristik zum Vermuten weiterer Zusammenhänge (etwa die Ableitung der Wurzelfunktion) dienen. Mit leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern sollten diese Vermutungen sorgfältiger begründet oder bewiesen werden. Die Anwendung des Ableitungskalküls folgt dem Verständnis des Konzeptes. Fertigkeitsübungen sind vonnöten, wichtig ist aber auch immer der kritische und reflektierte Umgang mit dem Kalkül. Oft gibt es einen einfacheren und eleganteren Bearbeitungsweg zu einer Fragestellung als den kalkülorientierten. Trotzdem ist der Wert eines allgemeingültigen Kalküls in seiner Bedeutung hervorzuheben. Optimierungsaufgaben bilden eine wichtige Anwendung des Ableitungsbegriffes. Bei ihnen liegt der Schwierigkeit aber eher im Aufstellen einer angemessenen Zielfunktion. Damit wird der Bogen zur vorangegangenen Unterrichtseinheit geschlagen. Es werden insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (insbesondere bei der Anwendung komplexerer Verfahren) sowie mathematisch modellieren (im Zuge der Realitätsbezüge) gefordert. Daneben treten immer wieder Phasen auf, in denen die allgemeine mathematische Kompetenz mathematisch argumentieren und kommunizieren zum Zuge kommt, etwa dort, wo man den Pfad eines Rechenverfahrens zugunsten einer eleganteren Bearbeitung verlässt. Anforderungen und Inhalte: •

ABI

Veranschaulichung von Konvergenz mithilfe eines Computers, etwa Betrachtung der Tangente bzw. ihrer Steigung als jeweiliger Limes einer Sekantenfolge bzw. Sekantensteigungsfolge

•

ABI

Bearbeitung von Problemen unter Nutzung der Idee der Änderungsrate

•

ABI

Ermittlung von Ableitungsfunktionen von ganzrationalen Funktionen sowie von Potenzfunktionen mit beliebigem Exponenten

•

ABI

graphisch ableiten

•

ABI

Berechnung und Interpretation von Nullstellen sowie von Extrem- und Wendepunkten

•

ABI

situationsangemessene und begründete Auswahl von Vorgehensweisen

•

ABI

Nutzung von Rechenregeln zum Aufdecken von Zusammenhängen

• ABI Lösung einfacher Optimierungsprobleme Die detaillierten Anforderungen finden sich unter den Leitideen funktionaler Zusammenhang und Zahl in den Regelanforderungen der Stadtteilschule und des Gymnasiums für den Übergang in die Studienstufe. Ergänzungen: Über die Regelanforderungen hinausgehende Ergänzungen für besonders leistungsstarke Schülerinnen und Schüler: •

Folgen und ihre Grenzwerte

•

Beweisverfahren im Kontext des Themas, z. B. vollständige Induktion