HACER MATEMATICA CON LOGO Carlos Alberto Salas Arias Departamento de Qulnica Universi&dNocioM1, Heredia

William Fisher Departamento de Matemática y Estadíitica Universidad Estatal de Cal,$ornia, Chico

INTRODUCCION oy, todos quieren computadoras en las escuelas. Las computadoras son un simbolo de estatus, un indicador de que estamos en primera línea en el mundo de la educación. Inclusive, los países envfas de desanolio están tratando de adquirir la tecnologfa, a pesar de sus economías. Además. del problema de adquirir los equipos, está el otro: ¿Que hacer con eilos? Muchospiensan que la micmmputadora es una herramienta que les asegurará a los estudian&s un lugar en el mercado de trabajo. Otros la ven como un instrumento de mejoramiento, un tercer grupo se pronuncia en favor de una posición más general: usar la computadora para aprender cómo pensar y resolver problemas, y el deseo de aprender más. Sin embargo, jcómo pueden las computadoras promover niveles mis altos de pensamiento y de descubrimiento intelectual? ¿Cómo se puede lograr esto? Hay un lenguaje de computación que refleja las teorlas de aprendizaje e investigación de Jean Piaget, Seyrnour Papert e inteligencia artificial: Logo. Logo hace una buena conexión entre los comandos iniciales y primitivas como: DERECHA, IZQUIERDA, ADELANTE Y ATRAS y los movimientos familiares del cuerpo, dándonos una "tortuga" en la pantalla para ser movida. Estos comandos familiares le permiten al usuario un c o m l casi inmediato y fácil. La tortuga es tarnbien interactiva, responde con mensajes muy descriptivos sobre errores siendo muy amigable y suministrando estructura y claridad al proceso de programación y resolución de problemas.

El gobierno de Costa Rica, por medio de la Fundación Omar Dengo, ha puesto mucho esfuerzo y dinero para adquirir computadoras, a pesar de los problemas económicos que tiene el país. Con la llegada de las computadoras se ha hecho claro que el problema real es qué hacer con eiias. IBM ha vendido en los últimos dos años miles de computadoras, como parte de esta venta, esta compafíía capacitó un grupo de doce maestros en el uso del lenguaje Logo.

Estos maestros fueron capacitados en M.I.T. por el equipo conducido por Seymour Papert. De regreso a Costa Rica estos educadores han suministrado una capacitación similar a otros maestros, quienes están usando Logo con los nifíos. Este entrenamiento es muy necesario, pero no suficiente para usar Logo adecuadamente. La mayoría de los educadores necesitan, además de conocer el lenguaje, aprender cómo implementar la versatilidad de Logo para definir ideas y teorlas. Las primitivas en Logo pueden ser usadas para definir ideas y teorías que pueden ser probadas, estas primitivas pueden ser empleadas para definir formas geométncas como cuadrados, triángulos, círculos, etc., y en un estado más avanzado, esto puede ser usado para demostrar la trayectoria de una partícula, y ser usada para simular una teoría. La pregunta más importante es cómo desmllar niveles altos de pensamiento. Reuven Feuerstein hizo un estudio que involucrú niños judíos. El encontr6 que muchos de estos niños carecen de herramientas específicas necesarias para resolver problemas, como (1) orientación de ellos en relación con otros objetos, (2) identificación de problemas, (3) ver relaciones, (4) hacer comparaciones, y (5) planear y organizar (Chane, 1981). De acuerdo con Dale (1984). Logo puede ser usado como una ayuda para desarrollar todas estas cinco habilidades, por ejemplo, la orientación espacial comienza al mover la tortuga en la pantalla. Encontrando errores en un programa de Logo nos da suficiente práctica en la identificación de problemas. Además, la interactividad de Logo y su estructura de procedimientos hace el proceso sistemático y de esta forma más fácil de entender. Usando procedimientos para escribir y seguir programas también ayuda al desarroilo de la habilidad de ver relaciones. Además, Logo nos permite el examen de figuras, lenguaje, y programas para desarrollar el vocabulario y las herramientas para hacer comparaciones. Finalmente, Logo apoya ambos métodos de pensamiento, el inductivo y el deductivo en la solución de problemas de cualquier complejidad. EL ESTUDIO

Trabajandoen un proyecto en la Universidad Estatal de Califomia en Chico con el Dr. William Fisher en 1989, exploramos nuevas formas de usar Logo en la clase, más aiiá del aprendizaje tradicional de los comandos de la tortuga y el uso de pmdimientos para dibujar gráficos y tocar música. Este fue un enfoque diferente;

la idea fue la de crear un ambiente con Logo para desarrollar la habilidad de resolver problemas por medio de la investigación. Se utilizd el tópico de espirolaterales, los cuales son un buen ejemplo de cómo la computadora, y Logo en particular, puede mejorar el estudio de una idea matemática. Permitasenos utilizarla explicaciónque Fisher y Campbell utilizan para explicar esta idea en su articulo "Investigating Spirolaterals Through Logo": El estudio de espirolaterales es rico y estimulante para la investigación de los estudiantes, comienza normalmente con figuras generadas de una secuencia de distancias, cada una seguida por un giro en ángulo recto. Consideremos,por ejemplo, el incremento de distancias [l 2 3 4 51; el usuario es instruido para trazar una ruta generada cuando se mueve de acuerdo con las siguientes instrucciones: Muévase Gire Muevase Gire Mu6vase Gire Muevase Gire Muévase Gire

Adelante 1 unidad Derecha 90 grados Adelante 2 unidades Derecha 90 grados Adelante 3 unidades Derecha 90grados Adelante 4 unidades Derecha 90 grados Adelante 5 unidades Derecha 90 grados

Este conjunto de instrucciones se llama a veces el "lazo básico", y despues de implementado (generalmente por medio de su dibujo en papel cuadriculado), se obtiene lo siguiente:

'Qué pasa si repetimos el lazo bdsico una y otra vez? En el ejemplo anterior, =ramrepeticiones del lazo básico forma la siguiente figura:

Si dibujamos repetidamente el lazo básico obtenemos una figura llamada espirolateral, la cual es una ruta poligonal con giros constantes (orientada por los vértices de los ángulos externos), si las longitudes se incrementan sistemáticamente, esta es una figura espiral; de ahí su nombre espirolateral. El proceso simple de creación de una espimlateral nos lleva a muchas e interesantes observaciones. Por ejemplo, si quitamos las restricciones y dejamos que cada estudiante escoja cualesquiera de los cinco enteros positivos, entonces aunque las figuras luzcan un poco diferente, observamos que todas las figuras cierran despues de cuatro repeticiones del lazo básico.

Esto lleva a varias preguntas lógicas: si removemos el cinco de la lista, ¿cenarán todas las figuras despues de cuatro repeticiones del ciclo básico? ¿Que pasará con esta lista [14 3 8 1 2 3 lo]?, ¿que hay de especial acerca del giro de 90 grados?; y ¿por qué no 60,456 63? Mientras investigamos, ¿qué pasará con el uso de números negativos para las distancias (asf viajamos para atrás) o distancias de O? Estas ideas son todas fáciles de entender, pero si la lista es más larga o si el giro no es un ángulo "bonito" (90 funciona bien en papel cuadriculado y 60 es fácil en papel con puntos), la implementación a mano se hace difícil. Sin embargo, ila tomiga de Logo disfruta siguiendo tales comandos! Un procedimiento simple de Logo, SPIRO,ha sido escrito para crear diferentes figuras espirolaterales. El proceúimiento toma tres entradas: el primero es un factor escalar constante para multiplicar las pequeflas distancias de la tortuga como 1, 2, 3, haciendo Cstas más fáciles de ver, la segunda entrada es un ángulo de giro constante; y la tercera entrada es una lista (entre parentesis) de las distancias que debe seguir el ciclo básico. Al correr SPIRO, funcione,la tortuga viaja hasta que completa la figura; si Csta no regresa a la posición original, la tortuga viajará sin fin y el procedimiento se malogra. Antes de continuar con la discusión de la aplicación de SPIRO. veamos la belleza y diversidad de figuras dibujadas con SPIRO:

SPIRO 10 (0 (1 2 3 4

SPIRO 1014176343210LOL11.21 dL JL6L7L81.121

14 231

SPIYOIO4SII : O 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ~ l I110IOI 1 1

I SRRO IOY)112344321]

SPIRO 10 60 11 2 3 4 -SI

SPIROlOPD111345S432 I]

SI*IRO lOJJ[l - 1 1 1 - 1 I I 1 - 1 I 1 I I I l

SRRO109011234J665432II

SI~RO 1,) I ~ I : ~. I. 1 1

La idea que sustenta SPIRO, o sea comenzar con un conjunto simple de instrucciones y experimentarcon tl, fue la base del estudio diseñado, en parte, la idea utilizada por el profesor Fisher para involucrar a los estudiantesen un proceso de hacer matemáticas. El coleccionar datos y trabajar en pequeños grupos, no s61o fue para diseñar las preguntas de la investigación, sino que tambitn se descubrieron muchas de las ideas matemáticas. Los primeros pasos del estudio fueron la elaboración de varias preguntas relacionadas con espirolateraies y el pmdimiento SPIRO y la búsqueda de respuestas a estas preguntas. Algunas de las preguntas fueron: 1.- Si mantenemos el ángulo constante, jcómo afectan los cambios de la [LISTA] en el resultado de las figuras espirolaterales? 2.- Si mantenemos la [LISTA] constante, jcómo afecta el cambio del ángulo de entrada en el resultado de las figuras espirolaterales?

3.- jluándo las formas espirolaterales completan figuras y cuándo crean figuras que no cierran? 4.- jQut impacto tienen los números negativos y el O, cuando se incluyen en las listas de valores?

5.- ¿Qué impacto tienen los giros hacia la izquierda sobre la espirolateral resultante? 6.- Espirolaterales son dibujados, generalmente en el sentido de las manecillas del reloj, otras veces en el sentido contrario de las manecillas del reloj; ¿puede determinar cuándo ocurre cada una?

Se comenzó con la primera pregunta con un giro constante de 90". aproximadamente, una semana fue dedicada a experimentarcon SPIRO y escribir una lista de observaciones,la mayoría fueron acerca de la idea de encontrar si la tortuga regresaría al inicio o no. La segunda semana se trabajó con las observaciones. Después de probar algunas de las observaciones y discutir sugerencias, una nueva tarea fue diseñada para la siguiente semana: escribir conjeturas acerca de SPIRO relacionadas con las observaciones. Esto fue un trabajo interesante porque fue el inicio de la tarea de "hacer" matemAticas. A pesar de que el segundo reporte tenía conjeturas incorrectas, fue una sensación satisfecha el saber que las matemáticas pueden ser agradables e interesan-

tes. Fue importante ver cómo el papel del maestro no es el de sentarse y ver cómo se realiza el aprendizaje, sino más bien guiar y dar sugerencias, aumentando en esta forma los limites intelectualese imaginativos. El maestro fue un modelo de aprendizaje, quien estaba dispuesto a experimentar toda la emoción, el trabajo, y el esfuerzo que acompañan un aprendizaje profundo. Se discutieron más preguntas y nuevas ideas para ser trabajadas durante la siguiente semana para ayudar a darle forma y redefinir las conjeturas.

El trabajo se convirtió en un enfoque donde: había preguntas para guiar y estimular el pensamiento, discusión de maneras de usar Logo y SPIRO como un instrumento de aprendizaje, trabajo independiente para enconhiu respuestas, reuniones semanales para transformar y reordenar información, nuevas preguntas y más trabajo independiente, encontrar modelos para desarrollar conjeturas, más trabajo independiente, nuevas conjeturas, uso de las teorías matemáticas apropiadas para probar o descartar las conjeturas. Algunas horas se dedicaron a la interpretación de las conjeturas, y a darles significado. Fue un trabajo para decidir cuáles conjeturas eran falsas para luego corregirlas. Al final del proyecto fue la primera vez que se empleó la pizarra para hablar de la matemática apropiada algunas ideas fueron discutidas sobre la teoría de números y divisores múltiples comunes, al igual que ideas sobre geometría, círculos, y ángulos inscritos. CONCLUSIONES Se concluye este reporte diciendo que la parte más importante de este proyecto fue encontrarcómo Logo puede crear un ambiente donde el aprendizaje puede llevarse a cabo, el ver cómo las computadoras pueden ser utilizadas comouna herramienta para el descubrimiento, el tenerla oportunidad de hacer matemáticas. Como Fisher y Jones (1987) dicen "...comenzar con el germen de una idea, desamllarla, hacer definiciones y conjeturas, y finalmente decidir la validez de las ideas. Esto es lo que cada matemático hace..."

Este es un enfoque que abre nuevas puertas para paises como Costa Rica, donde mucho esfuerzo y equipo es utilizado para enseñar Logo y su filosofía. Es una manera de utilizar Logo para el descubrimiento, Logo como una herramienta para resolver problemas que puede crear un ambiente de aprendizaje, más allá de la idea de utilizar Logo únicamente para aprender los comandos y escribir procedimientos para hacer diseflos gráficos. 141

Esta experiencia es una muestra de que Logo es más que un lenbaje de computación. Es un medio para una meta educativa de aprender cómo pensar y resolver problemas. Está construido sobre una filosofía educativa. Lo que Logo ofrece es una manera estimulante de lograr una dificil, pero tal vez la más importante, meta educativa.

REFERENCIAS Chance, Paul. The Remediai Thinker. Psychdogy Today. October. 1981. Daie. E. J. Logo Builds Thinking S u s . Proceediigs of the NECC'84. Dayton. Ohio. June. 1984. Fisher. W. R. and Campbell. Investigating SpirolateraisThrough Logo. Caiifomia State University. Chico. Fisher, W. and J. Jones. Doing Mathematics in a Logo Environment. Acodemic Computing.Decemberl January. 1988189.34-50.