Max Wagner

Gruppentheoretische Methoden in der Physik Ein Lehr- und Nachschlagewerk

vieweg

IX

Inhaltsverzeichnis 1

Einführung

1 Mathematische Grundlagen

5

2

Elemente der Gruppentheorie 2.1 Gruppenpostulate 2.2 Gruppentafel 2.3 Ordnung der Gruppe 2.4 Periode eines Elements 2.5 Abelsche Gruppen 2.6 Konjugierte Elemente 2.7 Klassen 2.8 Multiplikation von Klassen 2.9 Untergruppe 2.10 Lagrange-Theorem 2.11 Isomorphie 2.12 Homomorphie 2.13 Aufgaben zu Kapitel 2

7 7 8 9 9 10 10 11 12 12 12 13 13 14

3

Darstellungstheorie 3.1 Darstellung einer Gruppe 3.2 Äquivalente Darstellungen 3.3 Unitäre Darstellung . . ,. 3.4 Reduzibilität einer Darstellung 3.5 Das Große Orthogonalitätstheorem 3.6 Charaktere . . . / 3.7 Reduktion einer Darstellung 3.8 Orthogonalität und Vollständigkeit der Charaktere 3.8.1 1. Satz von Burnside 3.8.2 Orthogonalitätsrelation der Charaktere 3.8.3 Vollständigkeitsrelation der Charaktere (2. Orthogonalitätsrelation) 3.8.4 Folgerungen 3.8.5 2. Satz von Burnside 3.8.6 Durchführung einer Reduktion 3.9 Die reguläre Darstellung 3.10 Konstruktion einer Charaktertafel 3.11 Aufgaben zu Kapitel 3

17 17 18 18 19 20 21 23 23 24 24 24 25 25 26 27 29 31 35

...

Inhaltsverzeichnis Basisvektoren (Basisfunktionen) 4.1 Invarianter Vektorraum 4.1.1 Kartesische Einheitsvektoren und Ortsvektor 4.1.2 Funktionen im Örtsraum 4.2 Symmetriekonformen Punkten zugeordnete Vektoren und Koordinatensysteme 4.3 Basis einer Darstellung 4.4 Wigner-Formel 4.5 Erzeugender Operator einer irreduziblen Basis 4.6 Drehspiegelgruppe50(3) = R x C; 4.6.1 Rotationsgruppe R 4.6.2 Drehspiegelgruppe 50(3) = R x d 4.7 Aufgaben zu Kapitel 4

II

Einfache physikalische Anwendungen

35 35 35 37 . 40 42 44 49 50 51 55 58

63

5

Quantenmechanik 5.1 Archetypische Problemstellungen 5.1.1 Variationsverfahren: Irreduzible Versuchsfunktionen 5.1.2 Molekulare Orbitale 5.1.3 Aufspaltung von Energieeigenwerten 5.2 Korrelationstafeln (Kompatibilitätstafeln) 5.3 Entartete Störungstheorie 5.3.1 Störungstheorie 1. Ordnung 5.3.2 Störungstheorie 2. Ordnung 5.3.3 Höhere Multiplizitäten 5.4 Aufspaltung im homogenen elektrischen Feld 5.4.1 Wasserstoffähnliche Atome (modifiziertes Coulomb-Potential) 5.4.2 Quadratischer Stark-Effekt 5.4.3 Linearer Stark-Effekt 5.5 Aufgaben zu Kapitel 5

65 65 65 66 70 71 72 73 78 79 79 79 82 82 85

6

Potentialfelder in der Mechanik, Elektrodynamik und Quantenmechanik 6.1 Multipolentwicklung 6.1.1 Theoretisch-physikalischer Hintergrund 6.1.2 Anwendung der Gruppentheorie 6.2 Kristallfeldtheorie(Ligandenfeldtheorie) 6.3 Aufgaben zu Kapitel 6

7

Klassische Punktdynamik: Harmonische Schwingungen in symmetrischen Systemen 97 7.1 Harmonische Schwingungssysteme 97 7.2 Transformation des Ortsvektors und der Einheitsvektoren 99 7.3 Invarianzen 101 7.4 Symmetrievektoren und Symmetriekoordinaten 103 7.5 Hamiltonfunktion in Symmetriekoordinaten : 105 7.6 Eigenvektoren und Eigenfrequenzen 107 7.6.1 Darstellungen mit aß = 1 107 7.6.2 Darstellungen mit aß > 1 108

87 88 88 90 . . 91 95

XI 7.7

Prototypisches Lösungsbeispiel 7.7.1 Wahl des Koordinatensystems 7.7.2 Ausreduktion 7.7.3 Symmetrievektoren mit Multiplizität aß = 1 7.7.4 Symmetrievektoren mit Multiplizität aß > 1 7.7.5 Eigenmoden der Multiplizität aß = 1 7.7.6 Eigenmoden der Multiplizität aß > 1 Aufgaben zu Kapitel 7

108 109 109 111 112 115 116 118

Fortgeschrittene physikalische Anwendungen

125

Tensoren im Kristall , 8.1 Energiedichte im Kontinuum mit lokaler Punktsymmetrie 8.2 Reduktion durch Symmetrie 8.3 Rechenprozedur 8.4 Kristallsysteme, Kristallklassen 8.5 Dielektrizitätstensor 8.5.1 Rückblick auf die Wigner-Konvention 8.5.2 Transformationseigenschaften 8.6 Elastizitätstensor 8.7 Piezoelektrizität 8.8 Aufgaben zu Kapitel 8

127 127 129 130 132 132 132 134 136 138 141

9 Absorption, Emission und Streuung von Licht 9.1 Dipolübergänge 9.2 Kohärente Lichtstreuung und Raman-Streuung 9.2.1 Dispersion („elastische Lichtstreuung") 9.2.2 Raman-Streuung 9.3 Produktdarstellungen 9.3.1 Reduktion von Produktdarstellungen 9.3.2 Symmetrische und antisymmetrische Darstellung 9.4 Standardisierte Produktreduktionen 9.4.1 Kopplungskoeffizienten (Wigner-Koeffizienten) 9.4.2 Multiplikationstafeln 9.4.3 Kopplungstafeln 9.4.4 Wigner-(Clebsch-Gordan)-Koeffizienten 9.4.5 Wigner-Eckart-Theorem 9.5 Prototypische Beispiele 9.5.1 Dipolübergänge 9.5.2 Raman-Übergänge 9.6 IR-und Raman-Schwingungsspektren 9.6.1 Grundschwingungen 9.6.2 Kombinations-und Obertöne 9.7 Aufgaben zu Kapitel 9

143 143 145 145 147 148 148 150 151 151 153 154 _. . . . 154 156 157 157 159 160 160 162 164

7.8

III 8

10 Die Translationsgruppe T 10.1 Periodische Randbedingungen 10.1.1 Realisierung

167 167 167

XII

Inhaltsverzeichnis 10.1.2 Implikationen für die Physik 10.2 Blochfunktionen 10.2.1 Reziprokes Gitter 10.2.2 Basisfunktionen der irreduziblen Darstellungen 10.2.3 Erste Brillouin-Zone(l. BZ) 10.2.4 Konstruktion der 1. Brillouin-Zone 10.2.5 Höhere Brillouin-Zonen 10.3 Aufgabe zu Kapitel 10

168 169 169 169 170 171 171 173

11 Darstellungstheorie der Raumgruppen 11.1 Symmetrieoperationen der Raumgruppen 11.2 Eigenfunktionen als Blochfunktionen 11.3 Einelektronenbandstruktur 11.4 Spezielle Punkte derj. Brillouin-Zone 11.4.1 Gruppe des k-Vektors (Kleine Gruppe) 11.4.2 Sternoperationen von k („Stern von k") 11.4.3 Restoperationen 11.5 Irreduziblen Darstellungen 11.5.1 Aufbau der irreduziblen Darstellungen 11.5.2 Bezeichnungsweise der irreduziblen Darstellungen

175 175 177 178 180 181 181 182 184 184 184

12 Energiebänder im Kristall 12.1 Energieaufspaltung im Kristall 12.2 Kompatibilitätsbeziehungen 12.2.1 Wege zwischen besonderen ^-Punkten 12.2.2 Erzwungene Überschneidung (Zufällige Entartung) 12.3 Aufgabe zu Kapitel 11 und 12

187 187 190 190 193 196

IV

197

Lie-Gruppen

13 Die kontinuierliche Gruppe Rx d =SO(3) 13.1 Generatoren 13.2 Irreduzible Darstellungen 13.3 Lie-Algebra . . . . . < 13.4 Operatordiagramm13.5 Multiplette 13.6 Normierung und Matrixelemente 13.7 Clebsch-Gordan-Koeffizienten

199 199 201 201 203 . -. -. . . 204 204 206

14 Lie-Algebra des Wasserstoffproblems 14.1 Der Runge-Lenz-Vektor 14.2 Multiplettstrukturen 14.3 Aufbau der Eigenfunktionen 14.4 Zusammenhang mit den konventionellen Eigenfunktionen von H

209 210 214 215 215

15 Lie-Algebra der Elementarteilchen 15.1 Isospin-Algebra 15.2 Multipletts als Elementarteilchen

217 217 218

XIII 15.3 5?7(3)-Algebra(„Eigthfoldway") 15.3.1 Kommutatoralgebra 15.3.2 Operatordiagramm der 5(7(3) 15.3.3 Irreduzible Multipletts der 5(7(3) (Gell-Mann-Modell)

219 219 220 221

16 Einführung in die Lie-Gruppen und deren Terminologie 16.1 Vorbemerkungen 16.2 Kontinuierliche Gruppen 16.3 Lie-Gruppen 16.4 Realisierung von Lie-Gruppen als Transformationsgruppen 16.5 Die linearen Gruppen GL(n) und SL(n) 16.5.1 Allgemeine Lineare Gruppe GL(n) 16.5.2 Spezielle Lineare Gruppe SL(n) (Unimodulare Gruppe) 16.6 Exponentialdarstellung unitärer Matrizen 16.6.1 Determinante einer unitären Matrix 16.6.2 Determinanten-Spur-Beziehung 16.7 Die Familie der unitären Gruppen: U(n),SU(n),O(n),SO(n) 16.7.1 Die Unitäre Gruppe U(n) 16.7.2 Die Spezielle Unitäre Gruppe SU(n) 16.7.3 Die Orthogonale Gruppe 0{n) 16.7.4 Die Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n) 16.8 Weg zur Lie-Algebra 16.8.1 Generatoren der Lie-Gruppe 16.8.2 Lie-Algebra der Generatoren : 16.9 Operatoren als Generatoren

225 225 225 226 226 227 227 228 228 229 229 230 230 232 233 234 235 235 236 240

Anhang

245

A Symmetrie A.l Symmetrieoperationen/-elemente A.2 Symmetriesätze A.3 Kurzbeschreibung der Punktgruppen A.3.1 Die Gruppen Cn A.3.2 Die Gruppen Cnh A.3.3 Die Gruppen Cnv A.3.4 Die Gruppen S„ A.3.5 Die Gruppen Dn A.3.6 Die Gruppen Dnd A.3.7 Die Gruppen Dnh A.3.8 Die kubischen Gruppen: T, Td, Th,O, Oh A.3.9 Die Ikosaeder-Gruppen: I, Ih A.3.10 R (Volle Rotationsgruppe) A.3.11 50(3) = R x d (Rotations-Inversionsgruppe) B Charaktertafeln B.l Zur Benennung der Darstellung B.2 Isomorphien und Produktrelationen B.3 Charaktertafeln

245 245 246 246 247 247 248 . . _ . . . . 248 249 249 250 251 252 252 252 255 255 255 256

XIV

Inhaltsverzeichnis B.3.1 B.3.2 B.3.3 B.3.4 B.3.5 B.3.6 B.3.7 B.3.8 B.3.9 B.3.10 B.3.11 B.3.12 B.3.13

Die einfachsten Gruppen Ci, C s und Cj Die Gruppen Cn,n = 2,... ,8 Die Gruppen C„h, n = 2,... ,6 Die Gruppen Cnv,n = 2,... ,6 Die Gruppen 5„, n — 4,6,8 DieGruppenD n ,n = 2,...,6 Die Gruppen Dnd, n = 2,... ,6 Die Gruppen £>„/>, n = 2,...,6 Die kubischen Gruppen: T,Td,Th,O,Oh Die Ikosaeder-Gruppen: /, Ih Die unendlichen Gruppen C*,„ und ß«,/i Die volle Rotationsgruppe R Die Rotations-Inversionsgruppe 50(3) = R x d

C Korrelationstafeln C. 1 Hierarchische Ordnung der Gruppen C.2 Korrelationstafeln C.2.1 Die Gruppen C4 und CÖ C.2.2 Die Gruppen Cnh,n = 2,... ,6 C.2.3 Die Gruppen Cnv,n = 2,... ,6 C.2.4 Die Gruppen S„, n = 4,6,8 C.2.5 Die Gruppen Dn,n = 2,...,6 C.2.6 DieGruppen£> nd ,n = 2,...,6 C.2.7 DieGruppenß n / l ,n = 2,...,6 C.2.8 Die kubischen Gruppen: T,Td,Th,0,0h C.2.9 Die Ikosaeder-Gruppen: I,Ih C.2.10 Die Gruppe C„v C.2.11 Die Gruppe 50(3) = R x Ci C.2.12 Spezialfälle

256 256 258 261 262 263 265 267 270 272 273 274 275 277 277 277 277 277 279 280 280 281 282 285 286 286 287 288

D Multiplikationstafeln 291 D.l Grundregeln -. 291 D.2 Symmetrische und antisymmetrische direkte Produkte 292 D.3 Multiplikationstafeln 293 D.3.1 Die einfachsten Gruppen d , Os und 0, 293 D.3.2 Die Gruppen Cn,n = 2,... ,6,8 293 D.3.3 Die Gruppen C n h , n = 2,... ,6 -. . . . 293 D.3.4 Die Gruppen O„„,n = 2,... ,6 293 D.3.5 Die Gruppen Sn,n = 2,4,6,8,12 294 D.3.6 Die Gruppen Dn,n = 2,... ,6,8,12 294 D.3.7 Die Gruppen Dnd, n = 2,... ,6 296 D.3.8 Die Gruppen Dnh,n2,... ,6 296 D.3.9 Die kubischen Gruppen 296 D.3.10 Die Ikosaeder-Gruppen 296 D.3.11 Die unendlichen Gruppen C*,v und D^h 297 D.3.12 Die Rotationsgruppe R/ Rotations-Inversionsgruppe 50(3) = R x d . . 297 E Kopplungskoeffizienten (Wigner-Koeffizienten für endliche Punktgruppen) E.l Definitionen und Regeln

299 299

XV E. 1.1 Zerlegung in irreduzible Bestandteile E.1.2 Generierung durch Basisfunktionen E.1.3 Unitäre Darstellungen und Standardisierung E. 1.4 Symmetrische und antisymmetrische Anteile E.2 Kopplungstafeln E.2.1 Die Gruppen C„, n = 3,4,6 E.2.2 Die Gruppen Cnh,n = 2,... ,6 E.2.3 Die Gruppen C n „,n = 2,... ,6 E.2.4 Die Gruppen Sn,n = 2,4,6,8,12 E.2.5 Die Gruppen Dn, n = 3,4,6 E.2.6 Die Gruppen Dnd, n - 2,... ,6 E.2.7 DieGruppen£> n/l ,n = 2,!..,6 E.2.8 Die kubischen Gruppen: T, Td, Th,O, Oh E.2.9 Die Ikosaeder-Gruppen: /, Ih

299 299 299 300 300 300 302 302 302 302 304 304 304 310

F Wigner-Clebsch-Gordan-Koeffizienten F. 1 Allgemeines F.2 Tafeln der Wigner-Clebsch-Gordan-Koeffizienten F.2.1 Tafel für Di x D, F.2.2 Tafel für DxxD2 F.2.3 Tafel fmDx x D3 F.2.4 Tafel für D2 x D2

329 329 333 333 334 335 337

G Optische Aktivität, Piezoelektrizität und Pyroelektrizität

339

H Bravais-Gitter und Kristallsysteme H.l Bravais-Gitter und Translationsgruppen ,H.2 Raumgitter und Raumgruppe H.3 Kristallsysteme und Kristallklassen H.4 Höhere Raumgruppen H.5 Zusammenfassung

341 341 344 344 345 348

I

349 349 349

Brillouin-Zonen, Fermikörper und Fermiflächen 1.1 Die 1. Brillouin-Zone und ihre speziellen Punkte 1.1.1 Quadratgitter 1.1.2 Kubisch primitives, kubischflächenzentriertesund kubisch raumzentriertes Gitter 1.1.3 Hexagonales Gitter 1.1.4 Bemerkung 1.2 Fermikörper und Fermiflächen

350 351 351 352

J Elementarteilchen J.l Bezeichnungen der Elementarteilchen J.2 Quarks und Quarkstruktur der Elementarteilchen

355 355 356

K Lösungen der Übungsaufgaben K.l Zu Kapitel 2 K.2 Zu Kapitel 3 K.3 Zu Kapitel 4

357 357 361 370

XVI

Inhaltsverzeichnis

K.4 Zu Kapitel 5 K.5 Zu Kapitel 6 K.6 Zu Kapitel 7 K.7 Zu Kapitel 8 K.8 Zu Kapitel 9 K.9 Zu Kapitel 10 K.10 Zu Kapitel 11 und 12 L Johannes Kepler: „Über den hexagonalen Schnee" L.l Textauszug L.2 Kommentare

392 399 402 416 423 431 432

"

437 438 439

Abbildungsverzeichnis

443

Tabellenverzeichnis

445

Symbolverzeichnis

447

Literaturverzeichnis

451

Sachwortverzeichnis

455