TU Ilmenau Institut f¨ ur Mathematik Dr. Jens Schreyer

Grundlagen und Diskrete Strukturen Wiederholungsaufgaben Teil 1: Aussagenlogik Aufgabe 1 Stellen Sie die Wahrheitstafel f¨ ur die aussagelogische Formel ((p ↔ q) ∧ p) → q auf und untersuchen Sie, ob es sich um eine Tautologie handelt.

Aufgabe 2 (a) Untersuchen Sie, ob die folgenden aussagenlogischen Ausdr¨ ucke logisch ¨aquivalent sind. Begr¨ unden Sie ihre Entscheidung. ϕ1 = (p → r) ∧ (¬r → q)

ϕ2 = (p ∧ ¬q) → r)

(b) Negieren Sie die folgenden Aussagen: • ∀x ∈ N : ∃y ∈ N : y < x • ,,In jeder Matrikel gibt es einen Studierenden, der die Negation von Aussagen nicht beherrscht. “ (Hinweis: Eine Aussage der Form ,,Nicht in jeder Matrikel...“ wird dabei nicht als korrekte L¨osung gewertet.)

Aufgabe 3 (a) F¨ ur welche Variablenbelegungen ist der folgende logische Ausdruck wahr? (p → q) ∧ (¬q → p) ∧ (q → ¬p) (b) Betrachtet seien die folgenden Aussagen: A: Alle Autos auf dem Parkplatz sind rot. B: Wenn ein Auto auf dem Parkplatz steht, dann ist es rot. C: Der Parkplatz ist leer. • Negieren sie die Aussage A (ohne Verwendung von ,,Nicht alle“) • Welche der folgenden Aussagen sind wahr? A ↔ B,

A → C,

1

C → A,

A → ¬C

Teil 2: Relationen

Aufgabe 4 Es sei ε > 0 eine reelle Zahl. Auf der Menge R der reellen Zahlen werden zwei bin¨are Relationen R1 , R2 betrachtet. R1 = {(x, y) ∈ R2 | y − x > ε} und R2 = {(x, y) ∈ R2 | (x = y) ∨ (y − x > ε)}. (a) Man untersuche die Relationen R1 , R2 hinsichtlich der Eigenschaften Reflexivit¨at, Transitivit¨at, Symmetrie und Antisymmentrie. (b) Ist eine der beiden Relationen eine Ordnungsrelation? Wenn ja, welche?

Aufgabe 5 F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n bezeichne t(n) = {p ∈ N | p ist Primzahl und p|n} die Menge der Primteiler von n Weiterhin sei R ⊆ N2 die folgende Relation auf N R = {(m, n) | t(m) ⊆ t(n)} Welche der folgenden Aussagen sind wahr? • R ist eine Quasiordnung. • R ist eine Ordnung. ¨ • R ist eine Aquivalenzrelation. Begr¨ unden Sie jeweils ihre Entscheidung.

Aufgabe 6 ¨ ¨ Es sei RA eine Aquivalenzrelation auf der Menge A und RB eine Aquivalenzrelation auf der Menge B Auf der Menge A × B wird die Relation R erkl¨art durch: (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) ⇔ x1 RA x2 ∧ y1 RB y2 ¨ Zeigen Sie, dass R eine Aquivalenzrelation auf A × B ist.

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Teil 3: Modulare Arithmetik

Aufgabe 7

(a) Welchen Rest l¨aßt 9013752 bei der Division durch 7? (b) Es seien m, n zwei nat¨ urliche Zahlen mit n > m. Man beweise die folgende Aussage.
n Ist n eine Primzahl, so ist m durch n teilbar.

Aufgabe 8 Bestimmen Sie (a) 1742 mod 7 (b) (3)−1 in (Z7 , ·)

Aufgabe 9 Bestimmen17Sie (a) (240) · (210)881 mod 9, (b) (5)−1 in (Z7 , ·).

Aufgabe 10 Bestimmen Sie das Element (13)−1 in Z47 . Hinweis: Man stelle den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 13 und 47 als ganzzahlige Linearkombination von 13 und 47 dar und betrachte die Gleichung modulo 47. (erweiterter Euklidischer Algorithmus)

Aufgabe 11 Bestimmen Sie den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der Polynome 2x5 + 2x4 + 3x2 + 4x2 + 4x + 3 und x5 + x4 + x3 + −x2 − x − 1.

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Teil 4: Gruppen/Ringe/K¨ orper Aufgabe 12

(a) Es sei (G, ◦) eine endliche Gruppe und G0 eine nicht leere Teilmenge von G. Man beweise die folgende Aussage. (G0 , ◦|G0 ×G0 ) ist eine Untergruppe von (G, ◦), wenn gilt ∀x, y ∈ G0 : x ◦ y ∈ G0 . (b) Gilt die obige Aussage auch dann, wenn (G, ◦) eine unendliche Gruppe ist?

Aufgabe 13 Gegeben sei die Menge G = {2, 4, 6, 8}. Auf G wird eine Operation ⊗ definiert durch a ⊗ b := (a · b)

mod 10,

d.h. a ⊗ b ist der eindeutig bestimmte Rest von a · b bei Division durch 10. Zeigen Sie, dass (G, ⊗) eine Gruppe ist. Ist die Gruppe abelsch?

Aufgabe 14 Gegeben sei die Menge  G=

a b 0 c

 ∈R

(2,2)

 | a 6= 0, c 6= 0 .

Zeigen Sie, dass G eine Gruppe bez¨ uglich der Matrizenmultiplikation ist. Rechengesetze der Matrizenmultiplikation d¨ urfen vorausgesetzt werden.

Aufgabe 15 Die Operation ⊕ : Q2 → Q sei definiert durch x ⊕ y = x + y − xy. Beweisen Sie, dass (Q \ {1}, ⊕) eine Gruppe ist.

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Teil 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 16 Aufgrund einer wichtigen Klausur kommt Anna sp¨ater zu einer Faschingsparty. Sechs ihrer Bekannten, darunter auch ihr Freund befinden sich bereits auf der Party. Drei davon haben sich als maskierte Superhelden verkleidet, zwei sind als Jediritter verkleidet und einer als Doppler-Effekt. Nur die Personen im Superheldenkost¨ um w¨ urde Anna nicht sofort erkennen. Ihren Freund erkennt sie aber in jedem Kost¨ um. (a) Eine der sechs Personen spricht sie an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkennt sie sie? (b) Anna erkennt die Person. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie als Jediritter verkleidet?

Aufgabe 17 Ein Studierender muss in die m¨ undliche GUDS Pr¨ ufung. Dort bekommt er Fragen zu zwei der sechs Teilgebiete gestellt, wobei die Gebiete zuf¨allig gew¨ahlt werden. Die Fragen zu wenigstens einem der beiden Gebiete muss er beantworten k¨onnen, um zu bestehen. Der Studierende bereitet sich nicht auf Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Bei den anderen Gebieten kann er die Fragen zu 50% beantworten. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht der Studierende? (b) Der Studierende hat bestanden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam dann eine Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung dran?

Aufgabe 18 Bei einer Klausur werden 6 Aufgaben geschrieben. Ein Studierender kann jede der Aufgaben mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Aufgaben l¨osen kann.

Aufgabe 19 In einer WG wohnen 3 Studierende, 2 Informatiker und 1 AMW’ler. Alle Kandidieren f¨ ur den jeweiligen Fakult¨atsrat. In beiden Fakult¨atsr¨ate werden jeweils 2 Studierende gew¨ahlt und es gibt jeweils 10 Kandidaten. Es sei angenommen, dass jeder Kandidat die gleichen Erfolgsaussichten hat. Es bezeichne X die Anzahl der WG-Bewohner, die gew¨ahlt werden. Bestimmen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten P (X = k) sowie den Erwartungswert und die Varianz von X.

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Teil 6: Graphentheorie

Aufgabe 20 Es sei G = (V, E) ein Graph mit der Eigenschaft, dass f¨ ur je zwei verschiedene Ecken x, y ∈ V (G) gilt: {x, y} ∈ E(G) ∨ dG (x) + dG (y) ≥ |V (G)| − 1 Beweisen Sie, dass G dann zusammenh¨angend ist.

Aufgabe 21 Es sei G = (V, E) ein (schlichter) Graph mit n Ecken. Zeigen Sie, dass G zwei Ecken gleichen Grades besitzt.

Aufgabe 22 Beweisen Sie, dass in einem Graphen G, der verschieden vom Nullgraphen ist und dessen Knoten alle einen geraden Grad haben, die folgenden Aussagen gelten. 1) G enth¨alt einen Kreis. 2) Es gibt eine Partition der Kantenmenge E(G), deren Partitionsmengen gerade die Kantenmengen von Kreisen in G sind.

Aufgabe 23 Zeigen Sie, dass in jedem Baum je zwei Ecken durch genau einen Weg verbunden sind.

Aufgabe 24 Zeigen Sie, dass die Ecken jedes Baumes so mit zwei Farben gef¨arbt werden k¨onnen, dass benachbarte Ecken stets unterschiedliche Farben haben.

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