Dr. Klaus Wirthm¨ uller Dipl.-Math. Yue Ren Fachbereich Mathematik

Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Freitag, den 2. Mai 2014, 10:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Unter den folgenden sechs Aussagen sind einige nur verschiedene Beschreibungen ein und desselben Sachverhalts. Finden Sie heraus welche das sind, und begr¨ unden Sie Ihre Antwort: (1) {x} ⇢ M

(5) {x} \ M = ;

(2) {x} 2 M

(6) M \ {x} = ;

(3) x 2 M

(7) {x} \ M 6= ;

(4) {x} \ M = ;

(8) M \ {x} = 6 ;

Aufgabe 2: Seien M, N zwei Mengen, und seien A, A0 ⇢ M und B, B 0 ⇢ N Untermengen. Veranschaulichen Sie die Mengen (A ⇥ B) \ (A0 ⇥ B 0 ) und (A \ A0 ) ⇥ (B \ B 0 ). Widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel die Behauptung, dass diese beiden Mengen im Allgemeinen (d.h. f¨ ur jede Wahl der beteiligten Mengen) gleich sind. Zeigen Sie weiter, dass sich (A ⇥ B) \ (A0 ⇥ B 0 ) immer als Vereinigung zweier Mengen der Form C ⇥ D schreiben l¨asst. Aufgabe 3: Sei f : X ! Y eine Abbildung und A ⇢ X eine Teilmenge. Untersuchen Sie, ob f 1 (f (A)) etwas mit A zu tun hat. Hinweis: Es mag Sie st¨oren, wenn hier nicht genau gesagt ist, was Sie eigentlich machen sollen. Aber diese Art der Fragestellung ist in der Wissenschaft durchaus praxisnah: man weiß ja in der Regel nicht im Voraus, was herauskommt. Im u ¨brigen werden Sie sicher eine Vermutung zu dieser Aufgabe haben; versuchen Sie diese zu beweisen (dann sind Sie fertig) oder zu widerlegen (was dann Anlass zu einer neuen Vermutung w¨are). Aufgabe 4: Seien f : X ! Y und g : Y der folgenden Aussagen richtig sind:

! Z zwei Abbildungen. Untersuchen Sie, welche

(1) Sind f und g injektiv, so ist g f injektiv. (2) Ist g f injektiv, so ist f injektiv. (3) Ist g f injektiv, so ist g injektiv.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt II Abgabe: bis Donnerstag, den 8. Mai 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Leiten Sie eine einfache Beschreibung der Menge X := {x 2 R | |x 2|+1 her und skizzieren Sie X auf der Zahlengeraden.

|3x 4|}

Aufgabe 2: Beweisen Sie die Ungleichung xn+1 +

1 xn+1

xn +

1 xn

f¨ ur alle x 2 R mit x > 0 und alle n 2 N. Aufgabe 3: Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion die Gleichung n X1

i=m

xi =

xm 1

xn x

f¨ ur alle x 2 R mit x 6= 1 und alle m, n 2 N mit m  n. Aufgabe 4: Sei M eine Menge. Beweisen Sie, dass Sym M := {f : M ! M | f bijektiv} mit der Komposition als Verkn¨ upfung eine Gruppe ist.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt III Abgabe: bis Donnerstag, den 15. Mai 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Sei N eine Menge. Beweisen Sie: (a) Zu jeder nicht-leeren Teilmenge B ⇢ N gibt es ein f : N ! N mit f f = f und f (N ) = B. (b) Sei f : N ! N mit f

f = f . Ist f injektiv oder surjektiv, so folgt f = idN .

Aufgabe 2: (a) Beweisen Sie, dass f¨ ur je zwei Zahlen x, y 2 R die “umgekehrte Dreiecksungleichung” gilt: |x

y|

|x|

|y| .

(b) Sei (xn )n2N eine reelle Zahlenfolge mit lim xn = a. Zeigen Sie, dass dann lim |xn | = |a| n!1 n!1 gilt. Aufgabe 3: Sei a 2 R fest. Geben Sie eine einfache Charakterisierung der reellen Zahlenfolgen (xn )n2N mit der folgenden Eigenschaft an: es gibt ein " > 0 und ein D 2 N, so dass |xn

a| < " f¨ ur alle n > D gilt.

Aufgabe 4: Beweisen Sie: Sind (xn )n2N und (zn )n2N zwei reelle Zahlenfolgen mit demselben Grenzwert a 2 R, und ist (yn )n2N eine weitere Zahlenfolge mit xn  yn  zn f¨ ur alle n 2 N, so ist auch (yn )n2N konvergent mit lim yn = a. n!1

Beweisen Sie als Anwendung davon, dass lim

n!1

n X j=1

n2

n = 1 gilt. +j

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt IV Abgabe: bis Donnerstag, den 22. Mai 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass durch: x0 := 1 und xn+1 :=

1 + xn f¨ ur n 2 N 2 + xn

eine Folge (xn )n2N positiver Zahlen gegeben wird. Beweisen Sie, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. Hinweis: Je nach L¨osung, kann es notwendig sein zu zeigen, dass x2n + xn ist.

1

0 f¨ ur alle n 2 N

Aufgabe 2: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: (a)

1 X

n2

1 X

1 3 + ( 1)n

n=0

(b)

n=0

(c)

n+1 + 3n + 1

1 X n! nn

n=0

(d)

1 X

n=0

2

xn f¨ ur festes x 2 R

Aufgabe 3: (a) Zeigen Sie, dass die Reihe

P1

(b) Zeigen Sie, dass die Reihen

1 n=1 n2

P1

konvergiert.

1 n=1 nd

f¨ ur d > 2 konvergieren.

Hinweis: Erinnern Sie sich an Beispiel 2.9. Aufgabe 4: Seien A, C ⇢ R zwei nicht-leere Mengen mit der Eigenschaft: f¨ ur jedes a 2 A und f¨ ur jedes c 2 C gilt a  c. Zeigen Sie, dass eine Zahl b 2 R existiert, so dass f¨ ur alle a 2 A und alle c 2 C gilt: a  b  c.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt V Abgabe: bis Mittwoch, den 28. Mai 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Sei

P1

n=0 xn

eine Reihe reeller Zahlen. P P1 2 (a) Zeigen Sie: Konvergiert 1 n=0 xn absolut, dann konvergiert auch n=0 (xn ) absolut. P P1 2 (b) Finden Sie ein Beispiel, so dass 1 n=0 xn konvergiert, aber n=0 (xn ) nicht.

Aufgabe 2: Sei f : [0, 1] ! R,

8
0, falls x = 0.

Bestimmen Sie alle Punkte in denen f stetig ist und alle Punkte in denen f unstetig ist. Aufgabe 3: Sei f : [0, 1) ! R eine stetige Funktion, die nur endlich viele Nullstellen hat. Zeigen Sie, dass f dann nach oben oder nach unten beschr¨ankt sein muss. Aufgabe 4: Skizzieren Sie eine stetige Funktion f : R ! R, die jede reelle Zahl mindestens zweimal als Wert annimmt. Beweisen Sie, dass es aber keine stetige Funktion f : R ! R gibt, die jede reelle Zahl genau zweimal als Wert annimmt.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt VI Abgabe: bis Donnerstag, den 5. Juni 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Seien f : R ! R eine monotone Funktion und a 2 R mit 1 ) = f (a) n

lim f (a

n!1

und

lim f (a +

n!1

1 ) = f (a). n

Beweisen Sie, dass f dann stetig an der Stelle a ist. Aufgabe 2: Sei I ⇢ R ein Intervall. Eine Funktion f : I ! R heißt st¨ uckweise stetig, wenn es zu jedem a 2 I ein > 0 gibt, so dass die Einschr¨ankungen f |I\(a

,a)

, a) ! R

: I \ (a

und

f |I\(a,a+ ) : I \ (a, a + ) ! R

stetig sind und die Grenzwerte limx% a f (x) 2 R und limx& a f (x) 2 R, soweit sinnvoll, existieren (sie brauchen aber weder miteinander noch mit f (a) u ¨bereinzustimmen). Zeigen Sie, dass jede auf einem kompakten Intervall definierte, st¨ uckweise stetige Funktion nur endlich viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist. Hinweis: Siehe dazu im Beweis von Satz 8.4 wie man die Kompaktheit eines Intervalls ausnutzen kann. Aufgabe 3: Seien ↵ 2 R, c 2 C fest. Was f¨ ur Teilmengen der Zahlenebene werden durch die folgenden Gleichungen f¨ ur z 2 C jeweils beschrieben (skizzieren Sie je einen typischen Fall): (a) Re(c · z) + ↵ = 0 (b) |z|2 + 2 Re(c · z) + ↵ = 0 Aufgabe 4: Sei f die Funktion f : C \ { i} ! C \ {1}, Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und berechnen Sie f f

1

1.

z7 !

z i . z+i

Zeigen Sie außerdem, dass gilt:

z 2 C \ {1} |z| = 1 = R.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt VII Abgabe: bis Donnerstag, den 12. Juni 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von 7z 3

5z 2 + z z4 + z2

1

.

Aufgabe 2: Sei E ⇢ C eine endliche Teilmenge. Beweisen Sie, dass C \ E ein Gebiet ist. n Aufgabe 3: Die Konvergenz der Funktionenfolge (fn )1 n=0 mit fn : [0, 1] ! R, x 7! x ist, wie Sie in Beispiel 11.2 gesehen haben, nicht gleichm¨aßig. Zeigen Sie, dass die Konvergenz auf dem Intervall [0, 1) auch nicht gleichm¨aßig ist, wohl aber auf jedem Intervall [0, b] mit 0 < b < 1.

P Aufgabe 4: Sei 1 j=0 aj (z sind. Zeigen Sie: Wenn

a)j eine Potenzreihe in der alle Koeffizienten von null verschieden r := lim

j!1

|aj | 2 [0, 1] |aj+1 |

existiert, dann ist r der Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt VIII Abgabe: bis Mittwoch, den 18. Juni 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss P k Aufgabe 1: Sei g(z) = 1 k=0 bk z eine Potenzreihe um 0. Welche der Koeffizienten bk muss man kennen, um die Koeffizienten der Produktreihe (z

sin(z))k · g(z)

bis zu Grad 12, d.h. die Koeffizienten von 1, z, . . . , z 12 , zu bestimmen? Aufgabe 2: Berechnen Sie f¨ ur jedes positive n 2 N die n Nullstellen des komplexen Polynoms z n 1, die sogenannten n-ten Einheitswurzeln. Zeigen Sie, dass diese eine Untergruppe der Kreislinie S = {z 2 C | |z| = 1} bez¨ uglich der Multiplikation bilden. Zusatz (freiwillig): Man kann zeigen, dass f¨ ur jedes z 2 S die Menge hzi = {z n | n 2 Z} eine Untergruppe bildet. Sei z nun keine Einheitswurzel, also z n 6= 1 f¨ ur jedes n 6= 0. Zeigen Sie, dass hzi dicht in S liegt, d.h. zu jedem c 2 S und jedem > 0 exisitert ein w 2 hzi mit |w c| < . Aufgabe 3: Skizzieren Sie die Menge B := {z 2 C | |z|  1 und Im(z) und berechnen und skizzieren Sie ihr Urbild exp

1B

| Re(z)|}

unter der Exponentialabbildung.

Aufgabe 4: Beweisen oder widerlegen Sie: (a) | sin(z)|  1 f¨ ur alle z 2 C (b) Die bekannten Nullstellen k · ⇡ der reellen Sinusfunktion sind auch die einzigen Nullstellen der komplexen Sinusfunktion.

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt IX Abgabe: bis Donnerstag, den 26. Juni 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Hinweis: F¨ ur dieses Blatt k¨onnen Sie die Abbleitungen der Exponential- und trigonometrischen Funktionen benutzen, auch wenn diese zur Zeit der Bearbeitung nicht eingef¨ uhrt wurden. Aufgabe 1: Bestimmen Sie f¨ ur die Funktion f : [ 1, 1) ! R

mit

f (x) = x3 ·

p |1

x|.

alle lokalen Extrema und bestimmen Sie alle Intervalle auf denen f monoton ist. Aufgabe 2: Berechnen Sie folgende Grenzwerte (a) lim

3x x

x!0

(b) lim

x!0

2x

sin(x) x

x3 + x2 x!1 x2

x 1

(c) lim

ex e x!1 ex + e

(d) lim

1

x x

Aufgabe 3: (a) Sei f : R ! R definiert durch f (0) = 0 und f (x) = x2 · cos( x1 ) f¨ ur x 6= 0. Zeigen Sie, 0 dass f zwar di↵erenzierbar in 0 ist, die Ableitung f allerdings nicht stetig in 0 ist. (b) Sei I ein echtes Intervall, f : I ! R stetig und f |I\{a} f¨ ur ein a 2 I di↵erenzierbar. Zeigen Sie, existiert limx!a f 0 (x), so ist f in a di↵erenzierbar und f 0 in a stetig. Aufgabe 4: Sei f : R ! R di↵erenzierbar mit f (0) = 0 und |f 0 (x)| < 12 f¨ ur alle x 2 R. n n Zeigen Sie, dass limn!1 f (x) = 0 f¨ ur jedes x 2 R ist, wobei hier f = f f . . . f bedeutet. | {z } n mal

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt X Abgabe: bis Donnerstag, den 3. Juli 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss

Aufgabe 1: Schreiben Sie die Potenzreihe

1 X

n2 z n als rationale Funktion.

n=0

Aufgabe 2: Schreiben Sie folgende rationale Funktionen als Potenzreihen um 0 und bestimmen Sie die Konvergenzradien: (a) (b)

1 , 1 + 2z 3z . 1)(2z + 1)

(z

Aufgabe 3: Bestimmen Sie Z 9 p (a) e x dx, 0

(b) (c)

Z Z

1

x log(x + 3) dx, 0 2 1

dx ex

1

.

Aufgabe 4: Sei f : [a, b] ! R, a < b, stetig mit

Z

b

f (x)2 dx = 0. Zeigen Sie, dass f = 0 ist.

a

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt XI Abgabe: bis Donnerstag, den 10. Juli 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Sei f : [0, b] ! [0, d] eine stetig di↵erenzierbare, streng monoton wachsende Funktion mit f (0) = 0 und f (b) = d. Zeigen Sie, dass Z b Z d f (x)dx + f 1 (y)dy = bd. 0

0

Aufgabe 2: Welche der folgenden Teilmengen T des Vektorraums V sind Untervektorr¨aume: (a) T := {f 2 V | f (0) = f (1) = 0} ⇢ V := C 0 [0, 1] (b) T := {f 2 V | f (0) · f (1) = 0} ⇢ V := C 0 [0, 1] (c) T := {( xx12 ) 2 V | x31 + x1 x22 = 0} ⇢ V := R2 (d) T := {( zz12 ) 2 V | z13 + z1 z22 = 0} ⇢ V := C2 Aufgabe 3: Sei V ein Vektorraum und T1 , T2 ⇢ V zwei Untervektorr¨aume. Untersuchen Sie, wann T1 [ T2 ⇢ V ein Untervektorraum ist. Aufgabe 4: Stellen Sie die sechs reellen Vektorr¨aume C k (R), C k ( 1, 0], C k ( 1, 0) mit k = 0, 1 und die zugeh¨origen linearen Abbildungen f 7! f |( 1,0] , f 7! f |( 1,0) , f 7! f 0 in einem kommutativen Diagramm dar. Bestimmen Sie Kern und Bild von all diesen Abbildungen.

Griechische Buchstaben helfen mit, Bezeichnungen und Formeln u ¨bersichtlich zu halten: A B

E Z H ⇥

↵

✏ ⇣ ⌘ #

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta

I K ⇤ M N ⌅ O ⇧

◆  µ ⌫ ⇠ o ⇡

Iota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi

P ⌃ T Y

⇢ ⌧ v

X ⌦

!

Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

Als Großbuchstaben werden in der Regel nur diejenigen benutzt, die nicht mit lateinischen verwechselt werden k¨onnen; Omikron und Ypsilon vermeidet man meist ganz. Wenn Sie die kleinen Buchstaben mit der Hand schreiben, achten Sie auf die richtige Lage zur Grundlinie, vor allem: ⇣ ⇠

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt XII Abgabe: bis Donnerstag, den 17. Juli 2014, 20:00 Uhr an den gekennzeichneten K¨asten im Geb¨aude 48, Treppenhaus 5. Geschoss Aufgabe 1: Seien V und W zwei K-Vektorr¨aume (nicht unbedingt endlicher Dimension). Sei pr1 : V ⇥ W ! V die Projektion auf den ersten Faktor und U ⇢ V ⇥ W ein Unterraum des kartesischen Produkts. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind: 1. Die Einschr¨ankung pr1 |U ist ein Isomorphismus von Vektorr¨aumen. 2. U und {0} ⇥ W sind komplement¨are Teilr¨aume von V ⇥ W . 3. U ist der Graph einer linearen Abbildung f : V

! W.

Aufgabe 2: Sei Pk ⇢ R[X] der Raum der reellen Polynome vom Grad h¨ochstens k. Bestimmen Sie die Matrizen von folgenden linearen Abbildungen bez¨ uglich der Basis (1, X, . . . , X k ) von Pk : (a) Pk ! Pk

1,

(b) Pk ! Pk+1 , (c) Pk ! Pk ,

f 7 ! f0 Pk Pk aj j X j+1 (Stammfunktion) j=0 aj X 7 ! j=0 j+1

f (X) 7 ! f (X + 1)

Aufgabe 3: Beweisen Sie die folgenden Beziehungen zwischen den Elementarmatrizen (gleichen Formats): (a) pkl · dk · pkl = dl (b) plm · ukl · plm = ukm f¨ ur alle paarweise verschiedenen k, l, m (c) ukl · ukmµ = ukmµ · ukl f¨ ur l 6= k 6= m Aufgabe 4: Sei f : U ! V gegeben durch die Matrix 0 1 1 0 B C 1 A a=@ 0 2 1

bez¨ uglich der Basen u = (u1 , u2 ) von U und v = (v1 , v2 , v3 ) von V . Sei w = (w1 , w2 , w3 ) eine weitere Basis von V mit v1 = 2w1 + 3w2 + w3 v2 = w1 + w3 v3 =

2w2

wc3

Berechnen Sie die Matrix b von f bez¨ uglich der Basen u und w. www.mathematik.uni-kl.de/agag/mitglieder/privatdozenten/wirthm/lehre/em-i/

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt XIII keine Abgabe Aufgabe 1: Seien V ein K-Vektorraum und f : V ! V eine lineare Abbildung von endlichem Rang. F¨ ur die n-fache Komposition f f · · · f werde kurz f n geschrieben. Beweisen Sie: Es 2 gilt rk f  rk f immer; ist aber rk f 2 = rk f , so folgt rk f n = rk f f¨ ur alle n > 0. Aufgabe 2: Seien K ein K¨orper und p, n, r nat¨ urliche Zahlen. Beweisen Sie: Zu jeder Matrix a 2 Mat(p ⇥ n, K) vom Rang r gibt es eine Matrix s 2 Mat(p ⇥ r, K) und eine Matrix z 2 Mat(r ⇥ n, K) mit a = s · z. Aufgabe 3: F¨ ur festes 0 1 1 B C B0C v1 = B C , @ 4A 3 Bestimmen Sie alle

2 R sei S = Lin(v1 , v2 ) ⇢ R4 und T = Lin(w1 , w2 , w3 ) ⇢ R4 mit 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 B C B C B C B C B0C B3C B5C B1C v2 = B C , w 1 = B C , w 2 = B C , w 3 = B C . @1A @0A @ 1A @2A 2 1 0

2 R, f¨ ur die S ⇢ T ist.

Aufgabe 4: Aus beliebig vorgegebenen Vektoren a1 , . . . , an 2 K p kann man nach dem Basiserg¨ anzungssatz immer eine Basis f¨ ur Lin(a1 , . . . , an ) ausw¨ahlen. Begr¨ unden Sie das folgende Verfahren daf¨ ur und illustrieren Sie es mit einem angemessenen Beispiel: Werden a1 , . . . , an als Spalten zu einer p ⇥ n-Matrix a zusammengefasst und wird diese durch Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht mit Stufenindizes j1 < . . . < jr , so ist (aj1 , . . . , ajr ) eine Basis von Lin(a1 , . . . , an ).

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Grundlagen der Mathematik I Sommersemester 2014 - Aufgabenblatt XIV keine Abgabe Aufgabe 1: Seien K ein K¨orper, n 2 N und 2 K. Sei 0 1 1 B C 8 1 B C > B C ⇣ ⌘ > < 1 .. .. B C . . C = aij a=B mit a = i,j B C > i,j=1,...,n 1 B C > : 0 B C 1 @ A 1 Begr¨ unden Sie, warum a invertierbar ist und berechnen Sie a

i=j i+1=j . sonst

1.

Aufgabe 2: Seien K ein K¨orper und a 2 Mat(p ⇥ n, K) eine Matrix vom Rang r. Beweisen Sie: Es gibt eine r ⇥ r-Teilmatrix a0 von a mit det a0 6= 0, aber f¨ ur jede s ⇥ s-Teilmatrix a00 von a mit 00 s > r gilt det a = 0. (Eine Teilmatrix von a ist eine Matrix, die man aus a durch Wegstreichen von Zeilen und/oder Spalten herstellen kann.) Aufgabe 3: Berechnen Sie die Determinante 0 1 B B 1 d = det B @ 3 3

0 1 2 2

2 0 1 0

1 3 C 1C C 2A 1

auf zwei verschiedenen Arten: nach dem Gaußschen Algorithmus und durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte Ihrer Wahl. Aufgabe 4: Seien K ein K¨orper und A 2 Mat((r + s) ⇥ (r + s), K) eine Matrix der Form ! a 0 A= , wobei a 2 Mat(r ⇥ r, K), c 2 Mat(s ⇥ r, K), d 2 Mat(s ⇥ s, K) c d und 0 f¨ ur die Nullmatrix in Mat(r ⇥ s, K) steht. Zeigen Sie, dass dann det A = det a · det d gilt. Hinweis: Eine M¨oglichkeit w¨are den Beweis des Multiplikationssatzes 22.10 zu imitieren.

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TU Kaiserslautern Fachbereich Mathematik Dr. Klaus Wirthm¨ uller Dipl.-Math. Yue Ren

Sommersemester 2014 7. Juni 2014

Zwischenklausur “Grundlagen der Mathematik I” Bearbeitungszeit :

90 Minuten

1 Seien f, g: X ! Y zwei Abbildungen mit der Eigenschaft f

1

T ⇢g

1

f¨ ur jede Teilmenge T ⇢ Y .

T

Beweisen Sie, dass f = g ist. 1

2 Beweisen Sie, dass die Zahlenfolge (xn )n=0 mit xn =

n X j=1

1 n+j

konvergiert.

3 Bestimmen Sie alle reellen x >

1, f¨ ur die die Reihe 1 X

1 n+1 x n=0 konvergiert. 4 Seien f, g: R ! R zwei stetige Funktionen mit f |Q = g|Q. Beweisen Sie, dass f = g ist. 5 Sei f : (0, 1) ! R eine stetige Funktion ; es gelte lim |f (x)| = 1. Beweisen Sie, dass dann x&0

lim f (x) =

x&0

1

oder

lim f (x) = 1

x&0

folgt.

6 Berechnen Sie Real- und Imagin¨ arteil der komplexen Zahl

(1 + i)

3

(1

5

i)

.

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Sommersemester 2014 9. August 2014

Abschlussklausur “Grundlagen der Mathematik I” Bearbeitungszeit :

150 Minuten

1 Entscheiden Sie, ob die durch f (x) = x

log(1 + x2 )

f

definierte Funktion R ! R bijektiv ist. (Beachten Sie, dass wie immer der nat¨ urliche Logarithmus gemeint ist.) 2 Sei X ⇢ R eine beliebige Menge von reellen Zahlen. Beweisen Sie, dass die Menge aller unteren Schranken von X ein abgeschlossenes Intervall ist.

3 Beweisen Sie, dass die Konvergenz der Exponentialreihe

1 X xn nicht auf R gleichm¨ aßig ist. n! n=0

4 Sei X ⇢ R und f : X ! R eine stetige Funktion, dagegen g: R ! R eine ganz beliebige Funktion. Beweisen Sie : Hat g an der Stelle b ein lokales Minimum und ist a 2 X ein Punkt mit f (a) = b, so hat die Komposition g f an der Stelle a ein lokales Minimum. 5 Sei f : R ! R eine zweimal di↵erenzierbare Funktion. Beweisen Sie : wenn es drei reelle Zahlen a < b < c mit f (a) = f (b) = f (c) gibt, dann hat f 00 eine Nullstelle.

6 Bestimmen Sie alle z 2 C, f¨ ur die die Reihe 7 Berechnen Sie

Z

1 X

(n + sin n)(z

i)n konvergiert.

n=0

⇡

x cos(3x) dx . Aus Ihrer L¨ osung muss das Verfahren hervorgehen, mit dem Sie eine 0

Stammfunktion des Integranden bestimmen.

8 Sei K ein K¨ orper, n 2 N und a 2 Mat(n⇥n, K) eine Matrix mit rk a > n/2. Beweisen Sie, dass a2 6= 0 ist.

9 Die lineare Abbildung f : V ! W zwischen reellen Vektorr¨ aumen sei bez¨ uglich der Basen v = (v1 , v2 , v3 ) von V und w = (w1 , w2 ) von W durch die Matrix 8 :1 0 a=> 0 1

9 2> ; 2 Mat(2⇥3, R) 1

gegeben. Nun sei u = (u1 , u2 , u3 ) eine weitere Basis von V , mit v1 v2 v3

= = =

u1 3u1 4u1

+u2 2u2 +3u2

3u3 +7u3 9u3 .

Berechnen Sie die Matrix von f bez¨ uglich u und w.

10

Sei K ein K¨ orper. F¨ ur n 2 N und 8 1 > > > > > > > > > > > > > > a=> > > > > > > > > > > > > :

1

2 K werde die Matrix

..

.

..

.

..

.

1 . ..

1

1 1

9 > > > > > > > > > > > > > > > 2 Mat(2n⇥2n, K) > > > > > > > > > > > > ;

betrachtet (leere Pl¨ atze gelten wie immer als 0). Berechnen Sie det a.

TU Kaiserslautern Fachbereich Mathematik Dr. Klaus Wirthm¨ uller Dipl.-Math. Yue Ren

Sommersemester 2014 22. Oktober 2014

Nachklausur “Grundlagen der Mathematik I” Bearbeitungszeit :

150 Minuten

1 Seien X, Y ⇢ R nicht-leere Mengen nicht-negativer Zahlen mit inf X = 0. Beweisen Sie, dass auch die Menge XY = xy x 2 X, y 2 Y das Infimum 0 hat.

2 Untersuchen Sie die Reihe

1 X

p

n=1

n2 arctan n auf Konvergenz. 2n2 + log n

3 Bestimmen Sie alle L¨ osungen z 2 C der Gleichung ez + e

z

= 0.

4 Sei f : R ! R eine di↵erenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion f 0 beschr¨ ankt ist. Beweisen Sie, dass f gleichm¨ aßig stetig ist.

5 Die Funktion f : [0, 1) ! R sei an der Stelle 0 stetig und auf dem o↵enen Intervall (0, 1) streng monoton wachsend. Beweisen Sie, dass f streng monoton ist.

6 Bestimmen Sie die Wertemenge sowie Lage und Art aller lokalen Extrema der durch f (x) =

p

x·e

x

gegebenen Funktion f : [0, 1) ! R.

7 Berechnen Sie das unbestimmte Integral

Z

dx p auf dem Intervall (0, 1). (1 x) x

8 In R3 werden die Vektoren 8 9 8 9 1> 1 > > > > > > > >0> >, v = > > > v1 = > 1 > , 2 > > > : > ; : ; 1 1

8 9 0 > > > > > > v3 = > 1> > > : ; 1

und

8 9 1 > > > > > > w1 = > 2 > , > > : ; 1

8 9 3> > > >0> >, > w2 = > > : > ; 1

betrachtet. Berechnen Sie eine lineare Abbildung f : R3 ! R3 mit der Eigenschaft f (vi ) = wi

8 9 2> > > > > > w3 = > 0 > > > : ; 2

f¨ ur i = 1, 2, 3.

9 Seien V und W endlichdimensionale Vektorr¨ aume und f : V ! W eine injektive lineare Abbildung. Beweisen Sie : Es gibt eine lineare Abbildung g: W ! V mit g f = idV .

10

Sei n 2 N ungerade und a 2 Mat(n⇥n, R) eine Matrix mit a + at = 0. Beweisen Sie, dass det a = 0 ist.