Greece:  Archimedes and  Apollonius Chapter 4

Archimedes • “What we are told about Archimedes is a mix of a  few hard facts and many legends. . . . Hard facts – the primary sources – are the axioms of history.  Unfortunately, a scarcity of fact creates a vacuum  that legends happily fill, and eventually fact and  legend blur into each other.  The legends  resemble a computer virus that leaps from book  to book, but are harder, even impossible, to  eradicate.”   – Sherman Stein, Archimedes:  What Did He Do Besides  Cry Eureka?,  p. 1.

Archimedes • Facts:   – Lived in Syracuse – Applied mathematics to practical problems as well  as more theoretical problems – Died in 212 BCE at the hands of a Roman soldier  during the attack on Syracuse by the forces of  general Marcellus. Plutarch, in the first century  A.D., gave three different stories told about the  details of  his death.  

Archimedes • From sources written much later:   – Died at the age of 75, which would put his birth at  about 287 BCE  (from The Book of Histories by Tzetzes,  12th century CE). – The “Eureka” story came from the Roman architect  Vitruvius, about a century after Archimedes’ death. – Plutarch claimed Archimedes requested that  a  cylinder enclosing a sphere be put on his gravestone.   Cicero claims to have found that gravestrone in about  75 CE.  

Archimedes • From sources written much later:   – From about a century after his death come tales  of his prowess as a military engineer, creating  catapults and grappling hooks connected to levers  that lifted boats from the sea. – Another legend has it that he invented parabolic  mirrors that set ships on fire.  That is not likely.   (See Mythbusters, episode 46)

Archimedes’ Writings • Planes in Equilibrium – An axiomatic development of The Law of the  Lever:  Two magnitudes balance at distances  inversely proportional to the magnitudes.  

Archimedes’ Writings • On Floating Bodies – The laws of hydrostatics,  including Archimedes’  Principle:  “Any object,  wholly or partially  immersed in a fluid, is  buoyed up by a force  equal to the weight of  the fluid displaced by  the object.”

Archimedes’ Writings • Measurement of the  Circle

• Archimedes used a  double “reductio ad  absurdum” argument  – The area of any circle is  equal to that of a right  involving the method of  triangle in which one of  exhaustion, showing  the legs is equal to the  that the area of the  radius and the other to  triangle could neither  the circumference of the  be less than, or greater  circle.   than, the area of the  circle.  

Archimedes’ Writings • Measurement of the  Circle – The ratio of the  circumference of any  circle to its diameter is  less than 3 but greater  than 3

.  

• Archimedes did this by  using inscribing and  circumscribing regular  polygons of increasing  number of sides,  beginning with  hexagons and going up  to 96‐gons. Each stage  involved computation  of ugly radicals.   

Archimedes’ Writings • The Method – Discovered on a  palimpsest in 1899, in  Constantinople (now  Istanbul, as all fans of  TMBG know). – Disappeared during  WWI, resurfacing in  1998.  

Archimedes’ Writings • The Method – of  discovery – involves  slicing areas and  volumes into  infinitesimal slices and  “balancing” on lines  with fulcrums, and  employing the Law of  the Lever to get ratios  of those areas and  volumes.  

• http://www.matematic asvisuales.com/english/ html/history/archimede s/parabola.html

Archimedes’ Writings • On the Quadrature of  the Parabola – Proved, using a double  reductio argument and  exhaustion, that the area  of a parabolic segment is  of the area of the  inscribed triangle.   – A rigorous synthetic  proof of a result from  The Method.  

• Along the way, proved  how to find the sum of  a geometric series.

Archimedes’ Writings • On the Sphere and the  Cylinder – Showed that a sphere  has a volume two‐thirds  that of a circumscribed  cylinder (i.e., of the  same height and  diameter) – Showed that the sphere  has an area two‐thirds  that of the cylinder  (including the bases). 

• Archimedes seemed to  be most proud of this  result, and asked that a  sphere inscribed in a  cylinder be placed on  his tomb.

Archimedes’ Writings • The Sand Reckoner – Archimedes calculates that  the number of grains of  sand required to fill the  universe is 8×1063 (in  modern notation). – Mentions that his father  was an astronomer named  Phidius. 

• On Spirals – 28 propositions defining  and exploring the  properties of what we call  an Archimedean spiral,  which is the set of all  points corresponding to  the locations over time of a  point moving away from a  fixed point with a constant  speed along a line which  rotates with constant  angular velocity.  In polar  coordinates,  .  

Apollonius • Born about 262 BCE, in Perga, on the  Mediterranean coast of what is now Turkey.  • Studied and probably worked much of his life  in Alexandria.  • Major contributions include:  – Astronomy – the theory of deferent circles and  epicycles – Mathematics – the most important work being  Conics, a work in 8 volumes, of which 7 survive.

Apollonius • Of the Conics, T. L Heath, a major scholar of  ancient Greek mathematics says,  “... the treatise is a great classic which deserves to be  more known than it is. What militates against its being  read in its original form is the great extent of the  exposition (it contains 387 separate propositions), due  partly to the Greek habit of proving particular cases of a  general proposition separately from the proposition  itself, but more to the cumbersomeness of the  enunciations of complicated propositions in general  terms (without the help of letters to denote particular  points) and to the elaborateness of the Euclidean form,  to which Apollonius adheres throughout.”

Apollonius • In other words, it’s not much fun to read.   • So, in the words of Inigo Montoya, “Let me explain. No, there is too much. Let me  sum up.” 

Apollonius • Conics – 389 Propositions in 8 books, 7 of  which we have (4 in Greek, 3 in Arabic).

Before Apollonius • Prior to Apollonius, conic sections were  described in terms of the intersection of a  cone and a plane, but: • The plane of intersection was always  perpendicular to a side, and the vertex angle  of the cone was either acute, right, or obtuse.

Before Apollonius mABC = 66

mABC = 110

B

B

A

C

A C

mABC = 90 B

A

C

Apollonius • Used the “double” cone, and showed that the  conics could be described by intersections  with more arbitrary planes.

Conics • Developed methods very similar to those of  analytic geometry, using for axes a diameter  and a tangent:

Conics • Book I: Relations satisfied by the diameters and tangents of  conics, and how to draw tangents to given conics.  • Book II:  How hyperbolas are related to their asymptotes • Book III:  More tangents • Book IV:  Intersections of conics These are considered “Basic” by Apollonius although he does  prove new results, especially in Book III. • Books V – VII:  – discuss normals to conics and in particular how they can be  drawn from a point and propositions determining the center of  curvature. – similarity of conics,  – conjugate diameters

Names of the Conics • The parabola was considered to be the locus  of points such that the square on the ordinate  was equal to a rectangle on the abscissa and  parameter ( ).   • Translation:  the square of y was equal to a  , for a  multiple of x, or in other words  parabola with vertex at the origin.   • These points could actually be “plotted” in a  sense by using geometric algebra.

Names of the Conics • For ellipses and hyperbolas with one vertex at  the origin, the equations can be written as:  ∓

, or letting 

, as: 

, with the “+” for a hyperbola  and the  “–” for the ellipse.  So, we have:  

Names of the Conics • • •

for the parabola,  for the hyperbola, and for the ellipse.

• “Ellipsis” refers to a deficiency – leaving  something out. • “Hyperbola” refers to an excess – a throwing  beyond. • “Parabola” refers to placing beside, or a  comparison.  (Parable)