OTTO VON GUERICKE UNIVERSITÄT MAGDEBURG

Graphentheorie in der Schule „Eulerkreise/-wege & Hamiltonkreise/-wege“ Professorin:

apl. Prof. Dr. rer. nat. habil. Heidemarie Bräsel

Masterstudiengang: Lehramt an Berufsbildenden Schulen

Leistung zum Erhalt von 6 Credit Points

vorgelegt von Anna-Lisa Köthke Matrikelnummer: 183428

Aufgabenstellung:

Stellen Sie für 4 Unterrichtseinheiten zum Thema „Eulerkreise/-wege & Hamiltonkreise/-wege“ Anregungen, graphentheoretische Grundgedanken und Aufgaben mit Lösungen für die Anwendung im Unterricht zusammen, der Jugendlichen einen Zugang in die Denkweise der heutigen mathematischen Basisgebiete ermöglicht.

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung

4

2. Grundlagen der Graphentheorie

6

2.1

Was ist ein Graph

7

2.2

Grad eines Knotens(Valenz)

8

2.3

Kantengewichtung

8

2.4

gerichteter/ungerichtete Graph

8

2.5

Schlinge

9

2.6

schlichter Graph

9

2.7

vollständiger Graph

9

2.8

Nachbar

9

2.9

Kantenzug

9

2.10 Weg

9

2.11 Zusammenhangskomponente

9

2.12 zusammenhängender Graph

9

2.13 Kreis

9

2.14 Zyklus

10

2.15 Eulerweg/-kreis

10

2.15.1 Eulerweg 2.15.2 Eulerkreis

10 10

2.16 Satz von Euler

10

2.17 Hamiltonweg/-kreis

11

2.17.1 Hamiltonweg 2.17.2 Hamiltonkreis

11 11

2

3. Übungsblatt 1: Eulerwege

12

4. Übungsblatt 2: Eulerkreise

13

5. Übungsblatt 3: Hamiltonwege

14

6. Übungsblatt 4: Hamiltonkreise

15

7. Literatur

10

Anhang •

Beispiele für Graphen (Folien)

•

Formelsammlung

•

Lösungen der Übungsaufgaben

•

Zusatzmaterial

3

1. Einleitung Themen der Diskreten Mathematik, speziell der Graphentheorie, bieten sich aus verschiedenen Gründen für den Unterricht u. a. in der Oberschule an. Einige dieser Gründe möchte ich hier aufzeigen. •

Sie behandeln Probleme, die den Schülern vertrauten Dingen zu Grunde

liegen.

Fahrplandiensten,

So

werden

beim

Graphenalgorithmen

GPS-Gerät,

bei

der

bei

Online-

Tourenplanung

der

Müllabfuhr und bei der Erstellung von Stadtplänen genutzt. •

Graphentheoretische Probleme sind ohne große mathematische Vorkenntnisse verständlich. Diese Themen bieten also Schülern, die ansonsten schon aus dem Mathematikunterricht ausgestiegen sind, die Möglichkeit wieder mitzumachen und neuen Spaß an Mathematik zu gewinnen.

•

Die Diskrete Mathematik ist ein recht junges Gebiet der Mathematik, auf dem noch viel geforscht wird. Die Problemstellungen sind dabei so, dass sie auch von Schülern verstanden werden können. Dadurch lassen sich aktuelle, aber auch ungelöste Fragestellungen thematisieren.

•

Für die meisten Schüler ist Mathematik mit Rechnen gleichgesetzt. Graphentheoretische Themen zeigen noch einen anderen Gesichtspunkt auf. Außerdem werden dabei verstärkt Fähigkeiten wie Probleme lösen, Modellieren und Kommunizieren geübt, die in der Freizeit und im Berufsleben eine wichtige Rolle spielen.

•

Um

Die Beschäftigung mit Graphen hat etwas Spielerisches.

den

Einstieg

in

die

Graphentheorie

möglichst

problemlos

und

schnell vorzunehmen, ist es unumgänglich zunächst einige einfache und zur Graphentheorie hinführende Beispiele aus dem täglichen Leben, der Chemie oder der elementaren Zahlentheorie darzubieten. Bei vielen Problemen, die uns in verschiedenen Bereichen des Lebens begegnen, stoßen wir direkt oder indirekt auf Graphen. Anwendungen aus der Praxis sind für Schüler und Schülerinnen außerdem immer ein Motivationsfaktor. (die hier aufgeführten, sowie weitere Beispiele sind auch im Anhang im Großformat zu finden, zum Auflegen als Folie im Unterricht) 4

Abb.1: Straßenplan (1)

Die Graphentheorie vereinfacht dieses Straßennetz für den Autofahrer in der Weise der Abb. 2:

Abb.2: Darstellungsweise des Straßennetzes in der Graphentheorie (1) (gerichteter Graph)

1

Bodendiek-Jeuck-Rasch; S. 10-12

5

Da den Fußgängern die Fahrtrichtungen i. a. nicht interessieren, entwirft der Graphentheoretiker für ihn den Plan, dargestellt in Abb. 3.

Abb.3: Straßenplan ohne Berücksichtigung der Fahrtrichtungen (1) (ungerichteter Graph)

Ein weiteres Beispiel für einfache Graphen liefert die chemische Strukturformel. Gegeben seien etwa die beiden chemischen Verbindungen aus Abb. 4.

Abb.4: Chemische Verbindungsformeln (1)

1

Bodendiek-Jeuck-Rasch; S. 10-12

6

Für sie gibt die Graphentheorie die Graphen der Figur 5 an.

Abb.5: Darstellung chemischer Verbindungsformeln in der Graphentheorie (1)

2. Grundlagen der Graphentheorie Das Ziel des ersten Kapitels soll das spätere eigenständige Lösen der Schüler graphentheoretischer Aufgaben sein. Dazu müssen wichtige Grundbegriffe

und

Definitionen

durchgenommen

bzw.

mit

der

Klasse

gemeinsam erarbeitet werden, um die Schüler zum Thema hinzuführen. Graphentheorie als solche dürfte den Schülern nicht bekannt sein und der Lehrer sollte möglichst kleinschrittig anfangen und erst nach und nach zu komplexeren Themen/Aufgaben übergehen. Die

folgenden

Definitionen

können

als

Tafelbild

oder

als

Formelsammlung für die Schüler zusammengestellt werden, welche ich im Anhang zur Verfügung stellen werde. Es werden im folgenden nur nüztliche

und

vereinfachte

Definitionen

auf

das

Thema

bezogen

aufgeführt. 2.1 Was ist ein Graph? Anschaulich setzt sich ein Graph zusammen aus: 1.Knoten

;

2.Kanten

Die Knoten werden durch die Kanten miteinander verbunden:

1

Bodendiek-Jeuck-Rasch; S. 10-12

7

Die Knoten können in einem Graphen für viele Dinge stehen, z.B. für die Häuser einer Stadt oder die Städte in einem Land, während z.B. die Kanten dann die Verbindungen zwischen diesen Orten darstellen, also die Straßen. Ein Graph ist ein Tupel (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten bezeichnet. 2.2 Grad eines Knotens (Valenz) Der Grad oder die Valenz eines Knotens gibt immer die Anzahl der Kanten an, die mit einem Knoten verbunden sind. Für das untere Beispiel ist die Valenz jeden Knotens 2.

2.3 Kantengewichtung Bei manchen Problemen ist es sinnvoll auch den Kanten einen Wert zuzuweisen, der dann z.B. für die Entfernungen zwischen zwei Orten steht. Diesen Wert bezeichnet man dann als Kantengewicht.

2.4 gerichteter/ungerichteter Graph In gerichteten Graphen bzw. orientierten Graphen werden Kanten statt durch Linien (ungerichteter Graph) durch Pfeile gekennzeichnet, wobei der Pfeil vom ersten zum zweiten Knoten zeigt. (siehe Anfangsbeispiele). 8

2.5 Schlinge Einer Schlinge ist eine Kante mit gleichem Anfangs- und Endknoten. 2.6 schlichter Graph Ein Graph heißt schlicht, wenn er weder Schlingen (Anfangs- = Endpunkt), noch parallele Kanten (haben gleichen Anfangs- und Endpunkt) besitzt. 2.7 vollständiger Graph Ein vollständiger Graph ist ein Graph, bei dem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten durch genau eine Kante verbunden ist. •

Den vollständigen Graphen mit n Knoten bezeichnet man mit Kn

2.8 Nachbar Ein Knoten x ist Nachbar eines Knotens y genau dann, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. 2.9 Kantenzug Ein

Kantenzug

ist

eine

Folge

von

Knoten,

wobei

zwei

aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind. 2.10 Weg Ein Weg ist ein Kantenzug, bei dem keine Kante doppelt vorkommt. 2.11 Zusammenhangskomponente Eine Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen ist eine maximale Teilmenge seiner Knoten, in der zwischen je zwei beliebigen Knoten dieser Menge mindestens ein Weg existiert. 2.12 Zusammenhängender Graph Ein

zusammenhängender

Graph

ist

ein

Graph,

der

nur

aus

einer

Zusammenhangskomponente besteht. 2.13 Kreis Ein Kreis ist ein geschlossener Weg. 9

2.14 Zyklus Ein Zyklus in einem Graphen ist ein Weg, der im selben Knoten beginnt und endet. 2.15 Eulerweg/-kreis 2.15.1 Eulerweg

Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Weg, wenn W jede Kante aus E genau ein Mal durchläuft. Ein eulerscher Weg ist also ein Weg, der alle Kanten enthält. Der Graph ist dann "in einem Zug" zeichenbar. 2.15.2 Eulerkreis

Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Kreis, falls W jede Kante genau ein Mal berührt und wieder am Ausgangsknoten rauskommt. Ein eulerscher Kreis ist also ein geschlossener eulerscher Weg. Er enthält also alle Kanten genau einmal und kehrt an seinen Anfangspunkt zurück.

2.16 Satz von Euler Sei G (V,E) ein zusammenhängender Graph. Dann gilt: 1. Ein Graph hat einen offenen eulerschen Weg genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. 2. Ein Graph hat einen eulerschen Kreis genau dann, wenn alle Ecken/Knoten einen geraden Grad haben.

10

2.17 Hamiltonweg/-kreis 2.17.1 Hamiltonweg

Ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau ein Mal berührt, nennt man Hamiltonschen Weg. 2.17.1 Hamiltonkreis

Ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau einmal passiert und schließlich wieder am Ausgangsknoten ankommt, nennt man Hamiltonschen Kreis.

Sollten

Verständnisschwierigkeiten

für

einige

Schüler

bei

den

Definitionen auftreten, können einzelne Schüler evtl. mit Hilfe des Lehrers gebeten werden, ein Beispiel zur Verdeutlichung an die Tafel zu

zeichnen,

welches

die

anderen

Schüler

in

Ihre

Aufzeichnungen

übernehmen. Alternativ wäre es möglich zuvor die folgende Aufgabe zu stellen

und

dazu

die

Formelsammlung

auszuteilen.

Dies

liegt

im

Ermessen des Lehrers und richtet sich stark nach dem Leistungsniveau der Klasse.

Im folgenden werden die Aufgaben aufgeführt, die die Schüler nach der Einführung in das Thema in den jeweiligen Unterrichtseinheiten lösen

sollen.

Hier

einige

Anregungen

zur

Durchführung

des

Unterrichts. Im Anhang befinden sich die Lösungen zu den Aufgaben. 1. Aufgabe zum Eulerweg: Die Klasse, je nach Größe in ca. 4-5 Gruppen einteilen. Den Schülern mind.

30

Minuten

zur

Bearbeitung

Zeit

geben

und

die

Schüler

anschließend Ihre Ergebnisse an der Tafel präsentieren lassen und gemeinsam besprechen. 2. Aufgabe zum Eulerkreis: Einzelarbeit 3. Aufgabe zum Hamiltonweg: 4 Gruppen, jede bearbeitet und präsentiert eine Aufgabe an der Tafel 4. Aufgabe zum Hamiltonkreis: Gruppenarbeit

möglich

bei

stärkeren

Klassen

(Oberstufe,

FOS

oder

Fachgymnasium), ansonsten an der Tafel vorstellen. 11

Datum:

Graphentheorie Übungsblatt 1: Eulerwege

In

einem

Einkaufszentrum

befinden

sich

4

Klasse:

Eingänge

zum

Besuch

verschiedener Passagen. Die Eingänge zu den Passagen stellen die Knoten dar bzw. die Kanten die Einkaufsstraßen. a)

Um alle

Passagen besuchen

zu

können

und

möglichst

nur jede

Einkaufsstraße einmal zu benutzen soll auf dem gegebenen Graphen

ein

Eulerweg

gefunden

werden.

Nehmen

Sie

Ihre

Formelsammlung zur Hilfe. b)

Ist es möglich, zum gewählten Eingang zurückzukehren, auch wiederum möglichst nur jede Einkaufsstraße einmal benutzen? Wie nennt sich solch ein spezieller Weg? Tipp: Überlegen Sie, welcher Startknoten am sinnvollsten zu wählen ist.

12

Datum:

Graphentheorie Übungsblatt 2: Eulerkreise

Klasse:

Es sind mehrere Graphen gegeben. Überprüfen Sie, ob in den Graphen ein Eulerkreis existiert. (Anm.: Die Knickpunkte und die Schnittpunkte der Linien sind in diesem Fall die Knoten. Endpunkte von Linien sind ebenfalls Knoten)

13

Datum:

Graphentheorie Übungsblatt 3: Hamiltonwege

Klasse:

1. Die 'klassische' Variante: Finde eine Rundreise mit dem Start FDCBG 2. Es werden drei Startorte und der Zielort für eine nicht geschlossene Reise vorgegeben: starte mit FDC und ende bei T 3. Einige Startorte sind vorgegeben, dann soll es nach einer gewissen Anzahl von Zügen keine Möglichkeit der Reisefortsetzung mehr geben (Sackgasse): starte mit QXYT, nach 6 weiteren Stationen soll die Fortsetzung unmöglich sein. 4. Reisen mit ausgeschlossenen Städten: der Beginn der Reise lautet FDC, B soll die letzte Station sein, der Knoten M darf nicht besucht werden.

14

Datum:

Graphentheorie Übungsblatt 4: Hamiltonkreise

Klasse:

Für Schachspieler: Auch auf dem Schachbrett kann man die Graphentheorie anwenden. Wenn man sich die Frage stellt, ob ein Turm so ziehen kann, dass er alle Felder durchläuft und wieder am Ausgangsfeld ankommt, können Graphen bei der Beantwortung der Frage helfen. Zur Vereinfachung kann man die Situation zunächst mit einem 4x4-Schachbrett betrachten. Die einzelnen Felder werden jetzt durch Knoten, die Zugmöglichkeiten von jeweils einem Schritt als Kanten dargestellt. Die Aufgabe lautet: Finden Sie in dem entstandenen Graphen einen Hamiltonkreis!

Gibt es auf dem 4X4-Schachbrett für den Springer einen Hamiltonkreis ?

15

7. Literatur Bodendiek, R.;: Jeuck, R.; Rasch, J.

Ecken-Wege-Bäume-Zahlen: Graphentheorie in der Schule; Verlag Herder KG 1973

Bräsel, H.:

Skript zur Vorlesung: Algorithmenorientierte Graphentheorie 2008/09

Müller, K.P.;:

Anschauliche Topologie- Die Einführung in die

Wölpert, H.;

elementare Topologie und Graphentheorie; B.G. Teubner Stuttgart 1976

16

Anhang •

Beispiele für Graphen (Folien)

•

Formelsammlung

•

Lösungen der Übungsaufgaben

•

Zusatzmaterial

17

18

19

Formelsammlung: Graphentheorie Was ist ein Graph?

Ein Graph ist ein Tupel (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten bezeichnet.(Eine Kante ist die Verbindung zweier Knoten)

Grad eines Knotens (Valenz)

Der Grad oder die Valenz eines Knotens gibt immer die Anzahl der Kanten an, die mit einem Knoten verbunden sind.

Kantengewichtung

Bei manchen Problemen ist es sinnvoll auch den Kanten einen Wert zuzuweisen, der dann z.B. für die Entfernungen zwischen zwei Orten steht. Diesen Wert bezeichnet man dann als Kantengewicht.

gerichteter/ungerichteter Graph

In gerichteten Graphen bzw. orientierten Graphen werden Kanten statt durch Linien (ungerichteter Graph) durch Pfeile gekennzeichnet, wobei der Pfeil vom ersten zum zweiten Knoten zeigt. Ein gerichteter Graph heißt auch Digraph.

Schlinge

Einer Schlinge ist eine Kante mit gleichem Anfangs- und Endknoten.

schlichter Graph

Ein Graph heißt schlicht, wenn er weder Schlingen (Anfangs- = Endpunkt), noch parallele Kanten (haben gleichen Anfangs- und Endpunkt) besitzt.

vollständiger Graph

Ein vollständiger Graph ist ein Graph, bei dem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten durch genau eine Kante verbunden ist. •

Den vollständigen Graphen mit n Knoten bezeichnet man mit Kn

Nachbar

Ein Knoten x ist Nachbar eines Knotens y genau dann, wenn sie durch eine Kante verbunden sind.

Kantenzug

Ein

Kantenzug

ist

eine

Folge

von

Knoten, wobei zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind.

Weg

Ein Weg ist ein Kantenzug, bei dem keine Kante doppelt vorkommt.

Zusammenhangskomponente

Eine Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen ist eine maximale Teilmenge seiner Knoten, in der zwischen je zwei beliebigen Knoten dieser Menge mindestens ein Weg existiert.

Zusammenhängender Graph

Ein zusammenhängender Graph ist ein Graph, der nur aus einer Zusammenhangskomponente besteht

Kreis

Ein Kreis ist ein geschlossener Weg.

Zyklus

Ein Zyklus in einem Graphen ist ein Weg, der im selben Knoten beginnt und endet.

Eulerweg

Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Weg, wenn W jede Kante aus E genau ein Mal durchläuft. Ein eulerscher Weg ist also ein Weg, der alle Kanten enthält. Der Graph ist dann "in einem Zug" zeichenbar.

22

Eulerkreis

Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein

Weg

W

heißt

Eulerscher

Kreis,

falls W jede Kante genau ein Mal berührt und wieder am Ausgangsknoten rauskommt. Ein

eulerscher

geschlossener

Kreis

ist

eulerscher

also

ein

Weg.

Er

enthält also alle Kanten genau einmal und kehrt an seinen Anfangspunkt zurück.

Satz von Euler

Sei G (V,E) ein zusammenhängender Graph. Dann gilt: 1. Ein Graph hat einen offenen eulerschen Weg genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben und er zusammenhängend ist. 2.

Ein

Kreis

Graph

genau

hat

dann,

einen wenn

eulerschen alle

Ecken

einen geraden Grad haben und er zusammenhängend ist.

Hamiltonweg

Ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau ein Mal berührt, nennt man Hamiltonscher Weg.

Hamiltonkreis

Graphen genau einmal passiert und schließlich wieder am Ausgangsknoten ankommt, nennt man Hamiltonschen Kreis.

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Lösungen:

Übungsblatt 1: a)

2./5.

6./8.

1./3.

4./7.

b)nein, es gibt keinen solchen Weg, da es zwei Knoten mit ungeradem Grad gibt. Dieser Weg nennt sich Eulerkreis.

24

Lösungen: Übungsblatt 2: kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt.

alle Knoten haben den Grad (Valenz) 4. D. h. es existiert ein Eulerkreis.

kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt.

kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt.

kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt.

alle Knoten haben den Grad (Valenz) 4. D. h. es existiert ein Eulerkreis.

25

Lösungen: Übungsblatt 3: 1.FDCBGRSHJKLMNPQXWVTY 2.FDCBGRQPNMLKJHSYXWVT 3.QXYT JHBGRS 4. FDCKLVTJHSYXWNPQRGB Übungsblatt 4:

[Für ein Schachbrett der Größe 5x5 ist diese Aufgabe nicht lösbar. Der Beweis dafür ist relativ einfach: Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit das Startfeld des Turms weiß, dann steht er nach einem Zug auf einem schwarzen Feld, ebenso nach drei, fünf, sieben und auch 25 Zügen, die er benötigen würde, um wieder zum Startfeld zu gelangen. Dann aber wäre das Startfeld ein schwarzes, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Die Aufgabe ist also auf einem nxn-Schachbrett lösbar, falls n gerade ist.] Für die Figur des Springers sind diese Überlegungen äquivalent. Auch für den Springer gibt es auf einem nxn-Schachbrett nur dann einen Hamiltonkreis, wenn n gerade ist, allerdings mit der Ausnahme n=4

3 1 2 S Angenommen, S sei das Startfeld. Von S gelangt man nur zum Feld 1 (oder 2, aber das macht keinen wesentlichen Unterschied). Die eine Möglichkeit ist nun, sofort das Feld 3 aufzusuchen, danach kann man nur auf Feld zwei ziehen, um wieder zum Startfeld zu kommen. Es ergibt sich also die Zugfolge S-1-3-2-S, die zwar einen Kreis, aber keinen Hamiltonkreis darstellt. Die andere Möglichkeit wäre, vom Feld 1 auf ein anderes Feld zu ziehen. Um aber einen Hamiltonkreis zu erhalten, muss man irgendwann Feld 3 mit einbeziehen, und unmittelbar davor kann man nur auf Feld 2 stehen. Es ergibt sich also die Zugfolge S-1-...-2-3. Dann aber kommt man von Feld 3 nicht mehr weg, da Feld 1 und Feld 2 als einzige Möglichkeiten schon besucht waren. Somit gibt es auf dem 4x4-Schachbrett für den Springer keinen Hamiltonkreis.

26

Datum:

Graphentheorie: Zusatzmaterial

1. 2. 3.

4.

Klasse:

Welche der Figuren kann man in einem Zug und ohne doppelte Linien zeichnen? Bei manchen Figuren kann man nicht in jedem beliebigen Knoten anfangen. Was unterscheidet die Anfangsknoten von den anderen? Woran kann man erkennen (nur durch „hingucken“), ob eine Figur ohne abzusetzen und ohne doppelte Linien gezeichnet werden kann, wenn man es nicht direkt ausprobieren will oder kann, z.B. weil es eine riesengroße Figur ist? Bastele dir selber Beispiele (im Heft): Figuren, bei denen man sogar wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt; Figuren, die man zwar ohne Absetzen zeichnen kann, bei denen man aber woanders endet, als man angefangen hat; Figuren, bei denen man den Stift zwischendurch anheben muss, um sie zu zeichnen. Beobachte, woran es liegt, ob man ohne abzusetzen zeichnen kann. Schreibe deine Beobachtungen ins Heft.

27

Datum:

Graphentheorie: Zusatzmaterial

Klasse:

Finden Sie eine Lösung für das Rundreiseproblem:– Es soll ein geschlossener Weg durch alle Knoten gefunden werden.

28

Systematische Lösung (nur die möglichen Fälle):