Gleichverteilung und Simulation

Sitzungsber. Abt. II (1997) 206: 183^216 Gleichverteilung und Simulation Von E. Hlawka (Vorgelegt in der Sitzung der math.-nat. Klasse am 19. Juni 1...
Author: Helmuth Lenz
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Sitzungsber. Abt. II (1997) 206: 183^216

Gleichverteilung und Simulation Von

E. Hlawka (Vorgelegt in der Sitzung der math.-nat. Klasse am 19. Juni 1997 durch das w. M. Edmund Hlawka)

Zusammenfassung In den Arbeiten von E. Hlawka und R. MÏck ([1], [2]) wurde eine Methode entwickelt, um aus gleichverteilten Folgen (mod 1) gleichverteilte Folgen zu einer beliebigen Dichte  herzustellen. Es soll nun diese Methode dargestellt werden und zwar in einer Form, die viel allgemeiner und einfacher ist.

x1 Wir wollen nun zunÌchst den1-dimensionalen Fall ins Auge fassen. Es sei x1 ; . . . ; xN (mod 1) eine endliche Folge !N im Intervall E ˆ ‰0; 1† mit der Diskrepanz DN …!†: Unter DN verstehen wir bekanntlich folgendes: Es sei ‰a; bŠ einTeilintervall von E und es sei AN …!N ; a; b† die Anzahl der Glieder von !N ; die im Intervall ‰a; bŠ liegen. Dann ist AN …!N ; a; b† DN ˆ sup ÿ V…‰b; aŠ† ; N

V…‰a; bŠ†Lange von ‰a; bŠ;

wo sich das Supremum Ïber alle Intervalle ‰a; bŠ erstreckt. Es „ 1 sei nun  (x) eine nicht negative integrierbare Funktion auf E mit 0 …x†dx ˆ 1 (  wird Dichte genannt), dann verstehen wir unter der Diskrepanz

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E. Hlawka

DN …!N ; † der Folge !N ˆ … y1 ; . . . ; yN † A …! ; a; b† „ N N ÿ …x†dx : DN …!N ; † ˆ sup N ‰a;bŠ Im s-dimensionalen Fall liegen die Punkte der Folge !N im s-dimensionalen halbo¡enen EinheitswÏrfel und das Intervall ‰a; bŠ ist ein s-dimensionales Teilintervall von E s ; V…‰a; bŠ† ist sein Volumen und  ist eine Dichte in E s : Wir beschrÌnken uns hier auf den Fall, daÞ …x† ˆ 1 …x1 †  . . .  s …xs †; wo j eindimensionale Dichten sind. Die Konstruktion von solchen Folgen mit der Dichte  verlÌuft nun folgendermaÞen: Ist x ˆ …x…1† ; . . . ; x…s† † ein Punkt in E s ; dann sei …1†

F1 …x † ˆ

x„…1† „1 0 0

„1 x„

0

…2†

F2 …x…2† † ˆ

0 0

„1    …u1 ; . . . ; us †du1    dus „1    …u1 ; . . . ; us †du1    dus 0

.. . Fs …x…s† † ˆ

„1„1 00



x„…s† 0

…1†

…u1 ; . . . ; us †du1    dus :

Setzen wir nun voraus, daÞ die j nur auf einer Nullmenge verschwinden und Ïberall stetig sind, dann sind diese s Funktionen Fj …x… j† † in den zugehÎrigen Variablen x… j† streng monoton wachsend, daher existieren … j† zu diesen Funktionen Fj …x… j† † die inversen Funktionen F ÿ1 j …x †: …1† …s† Nun de¢nieren wir den Punkt yk ˆ … yk ; . . . ; yk †; wobei … j†

yk ˆ

N 1X … j† ‰1 ‡ xk ÿ Fj …x…r j† †Š; N rˆ1

j ˆ 1; . . . ; s; …1†

k ˆ 1; . . . ; N; …s†

‰xŠ ˆ grÎÞte ganze Zahl  x; wo xk ˆ …xk ; . . . ; xk † und !N ˆ …x1 ; . . . ; xN † eine Folge zur Diskrepanz DN ist. ~ ˆ … y1 ; . . . ; yN † Wir werden nun zeigen, daÞ die konstruierte Folge ! ~ † hat, welche bis auf einen Faktor durch die eine Diskrepanz DN …!; Diskrepanz DN …!† abgeschÌtzt werden kann. Zum Beweis beachten wir, daÞ … j†

yk ˆ

… j†

zk ; N

185

Gleichverteilung und Simulation … j†

… j†

ist, wo z k die Anzahl der x…r j† ist, fÏr die x…r j† < F ÿ1 j …xk † gilt. Es ist nach De¢nition der Diskrepanz … j†

zk … j† … j† ˆ Fÿ1 j …xk † ‡  k DN N j

wobei die k zwischen ÿ1 und 1 liegen. Dies wird klar, wenn wir jenes Teilintervall 0  x…l† < …l† betrachten, l ˆ 1; . . . ; s; wo alle …l† ˆ 1 … j† sind, ausgenommen …l† ; welches gleich F ÿ1 j …x…k† † ist. Betrachten wir jetzt ein beliebiges s-dimensionales Teilintervall ‰a; bŠ; a ˆ …a1 ; . . . ; as †; b ˆ …b1 ; . . . ; bs †; und bestimmen wir die Anzahl A der y1 ; . . . ; yN ; die in diesemTeilintervall liegen, fÏr die also gilt: j

0  aj  yk  bj < 1;

j ˆ 1; . . . ; s:

Bezeichnen wir mit A die Anzahl der xk ; fÏr die gilt … j†

aj ‡ DN  F ÿ1 j …xk †  bj ÿ DN ;

j ˆ 1; . . . ; s;

… j†

mit A die Anzahl der xk ; fÏr die gilt … j†

aj ÿ DN  F ÿ1 j …xk †  bj ‡ DN ;

j ˆ 1; . . . ; s;

so ist A  A  A : Es ist nun nach De¢nition der Diskrepanz A gleich der Anzahl der xk ; fÏr die … j†

Fj …aj ‡ DN †  xk  Fj …bj ÿ DN †;

j ˆ 1; . . . ; s;

ist und A die Anzahl der yk ; fÏr die … j†

Fj …aj ÿ DN †  xk  Fj …bj ‡ DN †;

j ˆ 1; . . . ; s;

ist. So erhalten wir sofort, daÞ s A Y …Fj …bj ‡ DN † ÿ Fj …aj ÿ DN †† ‡ DN  N jˆ1

und s A Y …Fj …bj ÿ DN † ÿ Fj …aj ‡ DN †† ÿ DN :  N jˆ1

186

E. Hlawka

Anhand der De¢nition der Fj kÎnnen wir, wenn wir M…† ˆ sup  setzen, die AbschÌtzung „ A ÿ …x†dx1    dxs N ‰a;bŠ  DN ‡

b1 ‡D „ N a1 ÿDN

 DN ‡ ……1 ‡



bs ‡D „ N

as ÿDN 2DN †s ÿ

ÿ

„b1 a1

„bs    …x†dx1    dxs as

1†M…†  …1 ‡ 3s M…††DN

vornehmen, wenn wir annehmen, daÞ DN hinreichend klein ist. Genauso gilt „ A  …1 ‡ 3s M…††DN ; …x†dx1    dxs ÿ N ‰a;bŠ was zur Zusammenfassung A ÿ A  …2 ‡ 6s M…††DN N und daher auch

A …! „ N ~N ; a; b† ~ † ˆ sup DN …!; ÿ …x†dx1    dxs  C DN …!† N a; b ‰a;bŠ

mit C ˆ 2 ‡ 6s M…† fÏhrt. Es sei nun f eine stetige Funktion in E s : Es sei weiter N … f † ˆ und … f ; † ˆ

N 1X f … yk † N kˆ1

„ Es

f …x†…x† dx;

so ist nach der Arbeit [3] jN … f † ÿ … f ; †j  … f ; †; ~N ; ††1=…s ‡1† ist. wo … f ; † der Stetigkeitsmodul von f mit  ˆ …DN …! Ist f nur integrierbar, dann sei … f ; † die Schwankung. Wir wollen gleich eineVerallgemeinerung tre¡en, indem wir statt dem EinheitswÏrfel E s den Quader ‰a; bŠ : a1  x1 < b1 ; . . . ; as  xs < bs nehmen. Weiters sei auf diesem Quader eine Dichte  de¢niert, dann de¢nieren wir auf Es die Dichte …t† ˆ V…‰a; bŠ†  …a ‡ …b ÿ a†t†; dabei

187

Gleichverteilung und Simulation

haben wir die vektorielle Schreibweise benÏtzt a ˆ …a1 ; . . . ; as †

und

b ÿ a ˆ …b1 ÿ a1 ; . . . ; bs ÿ as †;

…b ÿ a†t ist der Vektor ……b1 ÿ a1 †t1 ; . . . ; …bs ÿ as †ts †; V ˆ Volumen: Nehmen wir an, daÞ sich dieser Quader ins Unendliche erstreckt. Nehmen wir weiters der Einfachheit halber an, daÞ s ˆ 1 ist, also daÞ wir ein Intervall ‰a; 1Š haben und daÞ fÏr die Dichte  gilt „1 dx ˆ 1; a

dann folgt aus der Konvergenz dieses Integrals, daÞ es fÏr jedes  > 0 ein b geben muÞ, sodaÞ „b a

dx ˆ 1 ÿ :

Dann nehmen wir die Dichte ^ ˆ

 …x† : 1ÿ

Es ist dann „b a

^ dx ˆ 1:

Kehren wir zum Fall zurÏck, daÞ ‰a; bŠ beschrÌnkt ist.Wir setzen jetzt ^yk ˆ a ‡ …b ÿ a† yk ; wo die yk mit Hilfe von  auf E s konstruiert sind und setzen N 1X ^N … f † ˆ f … ^yk †; N kˆ1

…2†

wo f integrierbar auf dem Quader ‰a; bŠ ist und „ ^N … f ; † ˆ  f …x†…x† dx ‡ Fehler;

…3†

‰a;bŠ

wo Fehler  … f ; †

1

mit  ˆ …C DN …!N ††S

…30 †

( ist die mittlere Schwankung von f im Quader). Dies gilt allerdings nur, wenn das Integral ein endliches ist. Ist dies nicht der Fall, so gehen wir so vor:Wenn wir uns wieder auf den Fall s ˆ 1; ‰a; 1Š beschrÌnken, so kommt durch das Abschneiden noch

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E. Hlawka

ein Fehler von der GrÎÞenordnung  hinzu. Wir werden dann zweckmÌÞig  ˆ … f ; † wÌhlen. Es liegt auf der Hand, welche Modi¢kationen anzuwenden sind, wenn z.B. a ˆ ÿ1 oder a ˆ ÿ1; b ˆ 1 ist. Im mehrdimensionalen Fall sind die analogen Modi¢kationen anzubringen. Wir haben in diesem Paragraphen vorausgesetzt, daÞ sich  als ein Produkt von 1-dimensionalen Dichten darstellen lÌÞt. Wenn dies nicht der Fall ist, so sind die Ûberlegungen komplizierter, dies soll aber in einer anderen Arbeit behandelt werden. Bemerkung: Liegt eine Unendlichkeitsstelle von  vor, so ist auch hier eine entsprechende Modi¢kation durch ,,Abschneiden`` mÎglich, da die Menge, wo  groÞ ist, kleines MaÞ haben muÞ. x2 Wir wollen jetzt diese Formel dazu benÏtzen, um einige Anwendungen zu geben, wollen uns aber, wenn nichts anderes gesagt wird, auf den Fall s ˆ 1 und, daÞ ‰a; bŠ ˆ E 1 ist, beschrÌnken. Wir wollen nun annehmen, daÞ die Dichte  noch von der Zeit abhÌngt. Dann hÌngen die yk (Wir benÏtzen die Bezeichnungen von x1† von der Zeit t ab und wir nennen sie kurz auchTeilchen zur Zeit t. Es sei nun K ein Teilintervall von E 1 : Liegt der s-dimensionale Fall vor, dann sei K ein s-dimensionaler Quader. Es sei nun K die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion von K und wir nehmen nun f …x† ˆ K …x†: Dann ist UK …t† ˆ

N X

K …yk …t††

kˆ1

die Anzahl der Teilchen, die zur Zeit t in diesem Quader K liegen, und wir haben also nach x1 …3† die Formel UK …t† „ ˆ …x; t† dx ‡ Fehler; N K wo der Fehler  … f ; † (siehe …30 ††: Nehmen wir nun an,  genÏgt einem Erhaltungssatz von der Form @ @j ‡ ˆ 0; @t @x

Gleichverteilung und Simulation

189

bzw. im s-dimensionalen Fall ÿ

@ @j1 @js ‡  ‡ ˆ div j: ˆ @xs @t @x1

Dann erhalten wir UK …t ‡ l; x† ÿ UK …t; x† „ ˆ ……t ‡ l† ÿ …t††dx ‡ Fehler N K „ t‡l „ @ ˆ dx t ‡ Fehler t @t K t‡l „ „ ˆ ÿ dt div j dx ‡ Fehler t

…1†

K

nach dem GauÞschen Integralsatz ist dies t‡l „ t

dt

„ @K

j~ n do ‡ Fehler;

…10 †

wo @K die Ober£Ìche des Quaders ist. Man sieht sofort, daÞ wir statt des Quaders auch eine beliebige glatte Mannigfaltigkeit nehmen kÎnnen, nur ist dann der Fehler grÎÞer, wir wollen uns aber damit nicht aufhalten. Wir kÎnnen diese Umformung noch verallgemeinern, wenn wir statt der charakteristischen Funktion eine Funktion von der Gestalt g ˆ f K nehmen, wo f di¡erenzierbar sein soll. Dann wird N …g† ebenfalls eine Funktion in t, nennen wir sie G(t), dann erhalten wir G…t ‡ l† ÿ G…t† „ ˆ f …x†……x; t ‡ l† ÿ …x††dx ‡ Fehler N K t‡l „ „ ˆ ÿ dt f div j dx ‡ Fehler: t

Nun ist

„ K

f div j dx ˆ ÿ

K

„ @K

f j~ n do ‡

„ K

j grad f dx

und wir erhalten also t‡l t‡l „ „ „ „ G…t ‡ l† ÿ G…t† n do ÿ dt j grad f dx ‡ Fehler: …2† ˆ dt f j ~ N t t K @K

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E. Hlawka

Ist  ˆ 1    s ; wie wir ja in x1 angenommen haben, so kÎnnen wir fÏr die r-te Komponente von j nehmen jr ˆ

…x† „xr @j dzr : …xr † 0 @t

Wir rechnen sofort nach, daÞ die KontinuitÌtsgleichung ÿ @@t ˆ div j erfÏllt ist.Wir nehmen jetzt f …x† ˆ x; dann erhalten wir 1 X N „ yk …t† ÿ x…x; t†dx  Fehler: …3† N kˆ1 E Man kÎnnte auch x ÿ 1=2 nehmen, dann wÌre yl durch yk ÿ 1=2 zu ersetzen.Wir erhalten fÏr die mittlere Geschwindigkeit N 1X yk …t ‡ l† ÿ yk …t† : …4† N kˆ1 l nach (2), wenn wir vom Ober£Ìchenintegral absehen   „ „ 1 t‡l dt jdx ‡ Fehler : l t K Setzen wir v…x; t† ˆ j…x; t†=…x; t†; so schreibt sich dies als   „ „ 1 t‡l dt …x; t†v…x; t†dx ‡ Fehler : l t K Es ist also im wesentlichen v die mittlere Geschwindigkeit der StrÎmung j. x3:

Beispiele

Als erstes Beispiel betrachten wir ein elektrisches Feld. Wir wollen aber nur den 1-dimensionalen Fall behandeln, nur eine Raumkoordinate zugrunde legen. Wir nehmen das Potential A mit den Komponenten …cos …x ÿ t† ‡ cos …x ‡ t†; 0; 0; †; dann betrachten wir nur die y-Komponente der elektrischen FeldstÌrke Ey ˆ …sin …x ÿ t† ÿ sin …x ‡ t†† und @A ˆ …sin …x ÿ t† ‡ sin …x ‡ t††; @x dabei haben wir die Lichtgeschwindigkeit c ˆ 1 gesetzt. Dann nehmen wir als Dichte  ˆ sin2 …x ÿ t† ‡ sin2 …x ‡ t†; setzen Hz ˆ

Gleichverteilung und Simulation

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j ˆ sin2 …x ÿ t† ÿ sin2 …x ‡ t†; also ist @ @ j ‡ ˆ 0: @t @x j ist die Stromdichte. Die yk kÎnnen jetzt ohne weiteres hingeschrieben werden: N „xl 1X ‰1 ‡ xk ÿ …sin2 …u ÿ t† ‡ sin2 …u ‡ t††duŠ; …1† yk …t† ˆ N lˆ1 0 also explizit

yk …t† ˆ

N 1X 1 ‰1 ‡ xk ‡ xl ÿ …sin 2…xl ÿ t† ‡ sin 2…xl ÿ t††Š: N lˆ1 4

…2† Wir kÎnnen die yk als ein Modell fÏr Quantionen au¡assen, die sich mit der Zeit t bewegen. Als zweites Beispiel nehmen wir die SchrÎdingergleichung im 1dimensionalen Fall @ h2 ˆ ÿ  ‡ V…x†; ih 2m @t  ˆ j j2 : Wir betrachten die zugehÎrige KontinuitÌtsgleichung ih jˆ … grad  ÿ 2 grad †: 2m

…3†



soll, wie durchwegs, das komplexe Konjugium von bezeichnen. Bekanntlich ist j die sogenannte Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Es ist @ ‡ div j ˆ 0: @t Wir kÎnnen unsere bereits entwickelten Formeln x2 (1) verwenden. Dann haben wir also auf der linken Seite die Di¡erenz der Anzahl der Teilchen, die sich im Kasten K im Zeitraum ‰t; t ‡ l Š be¢nden und auf der rechten Seite die sogenannte Stromdichte. Wir nehmen nun folgendes Beispiel:   At At ‡ iD…x† sin ; …4† '…x; t† ˆ C…x† cos h h

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E. Hlawka

dabei sind A und h Konstante, h ist die Plancksche Wirkungskonstante. …x; t† ˆ j …x; t†j2 ˆ C 2 …x† cos2

At At ‡ D 2 sin2 : h h

…5†

Dabei sei vorausgesetzt, daÞ „1 0

„1 C 2 dx ˆ D 2 dx ˆ 1; 0

wobei der Strom jˆ

A 2At „x 2 …C …† ÿ D 2 …††d sin h h 0

…6†

ist. Es ist wieder @ @j ‡ ˆ 0: @t @x Es ist nun nach x2 (1), wenn das Intervall K : a < x < b ist, „ UK …t ‡ l† ÿ UK …t† A t‡h 2A „b 2 sin ˆ dt …C …† ÿ D 2 …†d† ‡ Fehler N h t h a   1 2A…t ‡ l † 2At „b 2 ˆ ÿ cos …C …† ÿ D 2 …††d ‡ Fehler: ÿ cos 2 h h a …7† Die Folge selbst wird gegeben, wenn wir jetzt als gleichverteilte Folge xr ˆ r=N wÌhlen, durch N  „ 2 1X k At r=N ~yk …t† ˆ 1 ‡ ÿ cos 2 C …†d N rˆ1 N h 0 …8†  r=N „ 2 2 At ÿ sin D …†d : h 0 Wir berechnen jetzt die mittlere Lage derTeilchen N 1X ~yk …t† N kˆ1   „1 2 2 At 2 2 At ˆ x C …x† cos ‡ D …x† sin dx ‡ Fehler: h h 0

Q…t† ˆ

Gleichverteilung und Simulation

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FÏr t ˆ 0 ist die mittlere Lage „1 0

FÏr

At h

ˆ

 2;

also t ˆ

h 2A

„1 0

xC…x†2 dx ‡ Fehler:

…80 †

ist die mittlere Lage xD 2 …x†dx ‡ Fehler:

…9†

 FÏr At h ˆ 4 ist   „1 h Q ˆ 12 x…C…x†2 ‡ D…x†2 †dx ‡ Fehler; 4A 0

dieTeilchen schwingen also hin und her. Allgemein ist   „1 A 2A l „1 2 2 xC …x†dx ÿ xD…x† dx Q…t ‡ l† ÿ Q…t† ˆ sin h h 0 0 ‡ 2 Fehler; wo  l ein Zwischenwert mit 0   l  l ist. Es ist also 2 „1 „1 2A 2 2 j Q…t ‡ l† ÿ Q…t†j  2 l xC…x† dx ÿ xD…x† dx ‡ 2 Fehler: h 0 0 …10† Ist also

ÿ1 „1 1 h 2 „1 2 2 xC…x† dx ÿ xD…x† dx l ; N 2A2 0 0

so ist fÏr groÞes N jQ…t ‡ l† ÿ Q…t†j  4 Fehler; 1=2

also ist der Fehler von der GrÎÞenordnung DN : Bei unserer Folge r=N p ist also der Fehler hÎchstens 2= N , alsop bleibt  die mittlere Lage bis auf einen Fehler von der GrÎÞenordnung 2= N ungeÌndert. WÌhlen wir als Beispiel, das nicht notwendigerweise der SchrÎdingergleichung genÏgen muÞ,     1 3 und D…† ˆ d f  ÿ ; …11† C…† ˆ c f  ÿ 4 4 wo z.B. f …† ˆ eÿjkj=2 ; wobei c und d so gewÌhlt werden, daÞ C…† und

194

E. Hlawka

D…† normiert werden: „1 0

„1 C 2 …†d ˆ D 2 …†d ˆ 1: 0

Man erhÌlt nach leichter Rechnung fÏr die Normierungskonstante r k cˆdˆ …12† ÿk ÿ3k : 2ÿe4 ÿe 4 FÏr groÞes k ist daher C…14†  k2 ; fÏr k  0 hingegen C…14†  1 und   „1 c2 1 1 ÿk ÿ3k ÿ3k 2 xC …x†dx ˆ ÿ e 4 ‡ …e 4 ÿ e 4 ‡ 1† : k 2 k 0 Weiters wird „1 0

xD 2 …x†dx ˆ 1 ÿ

„1 0

xC 2 …x†dx;

da ja D…1 ÿ x† ˆ C…x† ist. Es wird also  1 „ At 2 At 2 At xC 2 …x†dx ‡ sin2 ÿ sin : Q…x† ˆ cos h h 0 h

…13†

Setzen wir alles ein, so erhalten wir fÏr sehr groÞes k und h h 1 wird Q  34 und t ˆ 0 Q…0†  14 : FÏr t ˆ 2A pfÏr  t ˆ 4A wird Q  2 bis auf den Fehler von der GrÎÞenordnung 1= N : Zur Zeit t ˆ 0 ist die mittlere Dichte am kleinsten, sie steigt an bis 34, um dann wieder zurÏckzuschwingen mit der Periode 2h A : x4 Weitere Beispiele erhalten wir aus der Theorie der Schwankungserscheinungen, einerTheorie, die mit den Namen Smoluchowski und Einstein verbunden ist. Es lÌÞt sich durch das Boltzmannsche Prinzip ausdrÏcken, daÞ die Entropie s ˆ k log w; wo w die Wahrscheinlichkeit ist und k die Boltzmannkonstante. Wir interpretieren das so, daÞ wir eine Dichte …x† ˆ Ceÿks…x† zugrundelegen, wo C einfach ein Normierungsfaktor ist, sodaÞ wirklich eine Wahrscheinlichkeitsdichte  vorliegt. Einstein setzt …x† ˆ C1 eÿk…SÿS0 † ; wo S0 die maximale Entropie eines Prozesses ist, die an einer Stelle x0 angenommen wird. Ûblicherweise nimmt man an, daÞ sich S…x† in eine

Gleichverteilung und Simulation

195

Reihe an der Stelle x0 entwickeln lÌÞt.Wir nehmen der Einfachheit halber an, daÞ x0 ˆ 0 ist, so wird a1 2 a2 3 a 3 4 x ‡ x ‡ x ‡  2 3 4 Der meist untersuchte Fall ist, daÞ diese Reihe nur aus dem Glied …a1 =2†x 2 besteht, sodaÞ also die GauÞscheVersteilung S ÿ S0 ˆ

…x† ˆ eÿk1 x

2

vorliegt. Smoluchowski hat in seiner Theorie der Opaleszenz der Gase den Fall betrachtet, daÞ nur das Glied …a3 =2†x4 vorkommt und alle vorhergehenden Glieder 0 sind. Betrachten wir allgemein den Fall 2l

…x† ˆ Ceÿx :

…1†

FÏr l ˆ 1 erhalten wir die GauÞscheVerteilung. Wenden wir jetzt unsere Theorie an, wo A ˆ ÿ1 und B ˆ ‡1 ist, so mÏssen wir zunÌchst abschneiden, d.h. stattdessen eine Dichte ~ betrachten, die so normiert ist, daÞ „B C ~ …x†dx ˆ 1 A

ist. Den Fehler, den wir dabei machen, kÎnnen wir leicht abschÌtzen, es ist ja (wir nehmen B > 0 an), 1 1 „ „ ÿx 2 l e dx < eÿx dx ˆ eÿB < : B

B

Wir wÌhlen jetzt  ˆ DN ; wo DN die Diskrepanz der Folge xk ist, mit 1 1 Bˆ und A ˆ ÿ : log  log  Dann konstruieren wir dazu nach der vorhergehenden Theorie eine Folge ~yk ; die zu dieser Dichte ~ gehÎrt. Es sei weiter f eine integrierbare Funktion auf ‰ÿ1; 1Š; dann erhalten wir N 1 „ 1X f … ~yk † ˆ f …x†…x†dx ‡ Fehler; N kˆ1 ÿ1

…2†

wo der Fehler mit DN gegen 0 geht, wenn N gegen geht.Wir betrachten nun zwei Anwendungen. Es sei K wieder ein Kasten ‰a; bŠ; wobei wir a und b so klein wÌhlen, daÞ K im Intervall ‰A; BŠ liegt. Sei f wie vorher die charakteristische

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E. Hlawka

Funktion von K, so ist N B…K; l† 1X K … ~yk † ‡ Fehler; ˆ N N kˆ1

…3†

wobei der Fehler hÎchstens 4C DN ist. B…K; l† ist die Anzahl derTeilchen, die in K liegen und fÏr l ˆ 1 liegt die GauÞscheVerteilung vor. Nehmen wir jetzt die Funktion f …x; t† ˆ cos…xt†; so erhalten wir N 1X cos…t ~y k † ˆ Jl …t† ‡ Fehler; N kˆ1

…4†

„ 2l wobei Jl …t† ˆ cos…xt†eÿx dx ist. Nun ist bekannt, daÞ fÏr l ˆ 1 im Fall der Normalverteilung r  ÿt 2 …5† e ; J1 ˆ 2t also positiv ist.Wenn aber l > 1; so hat Felix Bernstein in [3] gezeigt, daÞ dieses Integral unendlich viele Nullstellen hat. Er verwendet eine Methode, die es vorher S. Hardy ermÎglicht hat zu zeigen, daÞ die Riemannsche Zetafunktion auf der kritischen Geraden unendlich viele Nullstellen hat. Betrachten wir nun eine solche Nullstelle tl unseres Integrals, so ist also N 1 X cos…t ~ y † …6† l k < 4C DN : N kˆ1 d.h. wenn wir mit N ! 1 gehen, geht diese Summe gegen 0. Dies erscheint mir vorallem fÏr dem Fall l ˆ 2 (den Fall der Opaleszenz) besonders interssant. Betrachten wir jetzt den Fall der Sedimentation, wo  ˆ eÿgx im Intervall ‰0; 1Š; g ist die Erdbeschleunigung. Nehmen wir wieder ein Intervall K ˆ ‰a; bŠ in einem Intervall ‰0; BŠ; so erhalten wir die Anzahl B…N; K† derTeilchen ~yk „ B…N; K† ˆ g eÿg x dx ‡ Fehler ˆ eÿa g ÿ eÿb g ‡ Fehler: N K FÏr a ˆ 0 erhalten wir 1 ÿ eÿb x ‡ Fehler: In der Arbeit von DavidJagermann ([2]) wird folgende Aufgabe behandelt: Sei …x† eine gegebene Dichtefunktion „x F…x† ˆ …†d; 0

Gleichverteilung und Simulation

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und man approximiere „1 H…t† ˆ …x† cos tx dx 0

durch eine Summe von der Gestalt SN ˆ

N 1X cos t yj : N jˆ1

Diese Aufgabe kÎnnen wir mit unserer Methode sehr leicht lÎsen (Jagermann verfÌhrt nach einer anderen komplizierteren Methode). Ebenso die Beispiele, die dort behandelt sind, wie z.B. fÏr 0  x < 1

: :

…x† …x†

ˆ 2 ÿ 2x p ˆ x…1 ÿ x†:

Ein anderes Beispiel fÏr das Intervall ‰0; 1Š ist ÿxp 

…x† ˆ px pÿ1 e

… > 0†:

Betrachten wir als weiteres Beispiel die SchrÎdingergleichung des idealen Gases. Es seien s identische MolekÏle von der Masse m und ohne wechselseitige StÎÞe in einer RÎhre von der LÌnge l ˆ  gegeben:  2  @ @2 @ 2 8 2 m ‡ ‡    ‡ 2 ‡ 2 E ' ˆ 0: …7† @u 21 @u 22 @u n h Wir setzen uj ˆ 2xj ; dann lautet die LÎsung fÏr dieVerteilung von s Teilchen in einem idealen Gas, gegeben durch die Wellenfunktion '…x1 ; . . . ; xs † ˆ sin 2k1 x1  . . .  sin 2ks xs ;

…8†

und die zugehÎrige Dichte ist …x1 ; . . . ; xs † ˆ '2 : Es liegt der Fall vor, wo …x1 ; . . . ; xs † ˆ 1 …x1 †    s …xs †: Dabei liegen die xj im Intervall ‰0; 1Š: Wir kÎnnen wieder unsere Theorie benÏtzen. Wir konstruieren uns dazu die s-dimensionale Folge ~yk und haben also fÏr jede integrierbare Funktion N „ 1X f …~yk † ˆ f …x†…x†dx ‡ Fehler: N kˆ1 Es

198

E. Hlawka

Betrachten wir wieder einen Kasten K in Es ; so erhalten wir fÏr die Anzahl derTeilchen B, die im Kasten K:a  x < b liegen „b B ˆ J…s† ‡ Fehler; N a wobei J…s† ˆ …sin 2k1 x1  . . .  sin 2ks xs †2 : Das Integral lÌÞt sich leicht ausrechnen, es ist ja   „ 1 sin 2x 2 xÿ : sin xdx ˆ 2 2 x5 Wir erhalten eine schÎne Anwendung, wenn wir eine Formel von Ehrenfest Ïber die SchrÎdingergleichung @' ˆ ' ÿ V …x†'; @t benÏtzen. Allerdings mÏssen wir die Rechnung von Ehrenfest wiederholen, da Ehrenfest von vornherein das Intervall [ÿ1; 1] zugrunde gelegt hat.Wir wollen ein beliebiges Intervall K ˆ ‰A; BŠ betrachten.Wir benÏtzen die SchrÎdingergleichung i

i

@' @ 2 ˆ ÿ V…x† ; @t 

wobei Vdas zugrundegelegte Potential ist. Es sei „ x  ˆ x  dV:

…1†

K

Dann ist

  dx  „ @ @  ˆ x ‡ dV dt @t @t K „ ˆ i x…  ÿ  †dV K „ ˆ i x div…  grad ÿ grad †dV K "    „ „ @ @  @ ÿ x ÿ dv ÿ ˆi @u @u @x K O…K†

…2†  # @ dV @x

Gleichverteilung und Simulation

199

Bemerkung: Wir haben hier den GauÞschen Integralsatz benÏtzt und zwar in der mehrdimensionalen Form, obwohl wir tatsÌchlich nur den 1-dimensionalen Fall behandeln, damit die Grundidee deutlich wird. Wir erhalten also d 2x  ˆ J1 ‡ J2 ; dt 2 wo J1 ˆ

d„ x…  grad dt

ÿ

grad †do

und J2 ˆ

„ @ …V † ‡ Randterme: @x

Wenden wir uns wieder der partiellen Integration zu, dann erhalten wir   „ dV  dV ‡ Randterme: ÿ dx Wir erhalten also @ 2x  „ @V ‡ dv ˆ Randterme: 2 @t K @x

…3†

Wir nehmen jetzt an, daÞ dieseTerme am Rand klein sind. Wenn wir der Einfachheit halber annehmen, daÞ der Kasten 1-dimensional und gerade das Einheitsintervall ist, dann erhalten wir also N 1 X yk …t ‡ 2h† ÿ 2yk …t ‡ h† ‡ yk …t† @ 2 x  ÿ 2 N kˆ1 h2 @t   J‡1 „ „ @ 2 …x† @ 2  10DN 1 „1 t‡h ‡ 2 dx d ÿ 2 d :  2 2 h 0 h @ dt t  FÏr t    t ‡ 2h ist 2 3 @ …t† @ 2 …† @ 3 ~ @ ~ @t 2 ÿ @ 2  @t 3 j ÿ tj  2h @t 3 ;

200

E. Hlawka

wo ~ der Wert von  ist, der an einer Stelle zwischen t und t ‡ 2h liegt, also ist 1X N yk …t ‡ 2h† ÿ 2yk …t ‡ h† ‡ xk …t† @ 2 x  ÿ 2 N kˆ1 h2 @t 3 @ ~ DN  3 2 ‡ 2h max 3 : h ht;t‡2hi @t p Wir nehmen jetzt hN ˆ 3 DN ; also erhalten wir   1 X N yk …t ‡ 2h† ÿ 2yk …t ‡ h† ‡ xk …t† „1 @V  dx ÿ ÿ N kˆ1 h 2N @x 0 p    4 3 DN  M N 2 ; 2 p 3 wo MN ˆ max @ @tj 3j ist im Intervall ht; t ‡ 2 3 DN i:

x6 Wir haben bis jetzt bei unserer Diskussion die KontinuitÌtsgleichung von  benÏtzt. Nehmen wir nun an, daÞ  der Di¡usionsgleichung genÏgt   @ @ @ @ ˆ a ‡ …b†; @t @x @x @x wo a und b stetig di¡erenzierbare Funktionen sind, dann erhalten wir, wenn wir wieder einen 1-dimensionalen Kasten K ˆ ‰a; bŠ betrachten und die gleiche Bezeichnung wie vorher benÏtzen,  b „ A…t0 ‡ h; k† A…t0 ; k† 1 t0„‡h @ a…x† ÿ ˆ ‡ b…† dt ‡ Fehler; h h h t0 @x a wo sich die Bezeichnung des Fehlers nicht geÌndert hat. Beispiel. Betrachten wir den einfachsten Fall, daÞ a ˆ 1 und b ˆ 0; daÞ also @ @ 2 t : ˆ @t @x2

Gleichverteilung und Simulation

201

Dann ist also 1 x2  ˆ p eÿ t ; t also die Grundfunktion derWÌrmeleitungsgleichung.Wir werden wieder abschneiden, indem wir stattdessen die Funktion ^ im Intervall ‰ÿA; AŠ betrachten und normieren. UnsereTeilchen yr …t† sind dann gleich " # N ÿA‡2Ax „ l ÿ x2 1X 1 1 ‡ xk ÿ „ A e t dx : x2 N lˆ1 e ÿ t dx ÿA ÿA

x7 Kehren wir nun zur SchrÎdingergleichung zurÏck. Es seien ' und zwei komplexwertige Funktionen in x und t, die der SchrÎdingergleichung genÏgen kÎnnen, aber nicht mÏssen, dann kÎnnen wir, wie schon in den vorherigen Beispielen, die Dichten  ˆ j'j2 und 1 ˆ j j2 betrachten.Wir nehmen noch weiter an, daÞ die Dichten  und 1 normiert sind. Wir betrachten nun den Ausdruck 2 …x† ˆ j' ‡ j 2 ; wobei wir annehmen, daÞ „

„ j'j2 ˆ j j2 ˆ 1;

Es ist dann  : 2 …x† ˆ j'j2 ‡ j j2 ‡ '  ‡ ' Dann ist „

„ „ f …x†j' ‡ j2 dx ˆ f …x†j'j2 dx ‡ f …x†j j2 dx „  †dx: ‡ f …x†…'  ‡ '

Es ist also „ „ „ f …x†…' ‡ †2 dx ÿ f …x†…'†2 dx ÿ f …x†… †2 dx „  †dx: ˆ f …x†…'  ‡ '

202

E. Hlawka

Nehmen wir jetzt an, daÞ „ „  dx ˆ 0 '  dx ˆ ' ist, daÞ also ' und

orthogonal sind, dann ist „ 2 1 2 …' ‡ † dx ˆ 1:

So sind also 2 ˆ j' ‡ j2 =2; j'j2 und j „j2 normierte Dichten. Damit  †dx berechkÎnnen wir jetzt Integrale von der Gestalt f (x)('  ‡ ' nen und zu diesen Dichten zugehÎrige Folgen (Teilchen) y 3k ; y 2k bzw. y 1k : So erhalten wir folgende Formel N N N 1X 1X 1X f … y 3k † ÿ f … y 2k † ÿ f … y 1k † N kˆ1 N kˆ1 N kˆ1 „  †dx ‡ Fehler; ˆ f …x† …'  ‡ ' 1

1

1

Fehler ˆ … f † …D 2N †2 Max 2 ‡ …DN †2 Max  ‡ …D1N †2 Max 1 †; …1† wenn f eine Lipschitzfunktion mit der Lipschitzkonstante ist.Wenn f nur integrierbar ist, dann haben wir durch die mittlere Schwankung von f zu ersetzen, wo das zugehÎrige  das Maximum von D 3N ; D 2N oder D 1N ist. Nimmt man z.B. fÏr f die charakteristische Funktion eines Intervalles K wie vorher, so ist die erste Summe die HÌu¢gkeit derTeilchen y 3k ; die sich in K aufhalten, die zweite Summe die HÌu¢gkeit derTeilchen y 2k und die dritte Summe die HÌu¢gkeit derTeilchen y 1k ; die sich in K aufhalten, alles zur Zeit t. Die Teilchen y 3k sind in K hineinmarschiert, wÌhrend die Teilchen y 2k und y 1k K verlassen haben. Die rechte Seite kann also positiv, 0 oder auch negativ sein. Wir haben also einen Ûbergang zur Zeit t vor uns. Allgemein wird man jetzt ein normiertes Orthogonalsystem von Funktionen '0 ; '1 ;    zugrundelegen, dabei setzen wir noch voraus, daÞ '0 ˆ 1 zum System dazugehÎrt. Dann kÎnnen wir analog die Summe N X … f … y3k † ÿ f … y 1k † ÿ f … y 2k ††

…2†

kˆ1

bilden, wobei y1k zur Dichte j'i j2 gehÎrt, y 2k zur Dichte j'j j2 und y 3k zur Dichte 12 j'i ‡ 'j j2 : Interessant ist natÏrlich noch der Fall, daÞ '0 ˆ 1 ist,

Gleichverteilung und Simulation

203

„ dann kÎnnen wir damit auch die Fourierkoe¤zienten f 'j dx berechnen, die zum Orthogonalsystem gehÎren. Zu einer neuen Fragestellung kommen wir, wenn wir die relativistische Verallgemeinerung der SchrÎdingergleichung, die sogenannte KleinGordongleichung betrachten @2 @2 ÿ ˆ ; @t 2 @x 2 dabei haben wir die Lichtgeschwindigkeit v ˆ 1 und die Masse des Elektrons gleich 1 gesetzt. Als Dichte  de¢nieren wir   @  @ ÿ und  ˆ ÿi @t @t    @ @  : ÿ jˆi @x @x Es gilt die KontinuitÌtsgleichung @ @ j ‡ ˆ 0: @t @x Wir haben uns hier auf den 1-dimensionalen Fall beschrÌnkt. Nun ist aber  nicht mehr positiv.W. Pauli und WeiÞkopf haben in einer berÏhmten Arbeit gezeigt, daÞ man  in der Form 2 ÿ 1 schreiben kann und zwar auf unendlich viele Arten. Setzt man z.B.



i ˆ ÿ p … 2 i ˆ ÿ p … 2

 1

ÿ



 2

ÿ

1 †;

und

dann wird ˆ

 2

2

ÿ

 1

1;

d.h.  lÌÞt sich darstellen als Di¡erenz zweier Dichten 2 und 1 im Ïblichen Sinn, wo k ˆ j

2 kj ;

d.h.  muÞ als Ladungsdichte aufgefaÞt werden. Jetzt konstruieren wir zu ÿ beiden Dichten wieder die Teilchen x‡ k …t† bzw. xk …t† im Sinne von x1;

204

E. Hlawka

dann haben wir n N 1X 1X f …xk1 …t†† ÿ f …xk2 …t†† N kˆ1 N kˆ1 N 1X ˆ f …xk1 …t†† ÿ f …xk2 …t†† N kˆ1 „ ˆ f …x†…2 …x† ÿ 1 …x†dx†dx ‡ Fehler; E

…1=4†

wo jFehlerj  2… f ; † und   DN ist. E ist das Einheitsintervall, es kann natÏrlich ein beliebiges Intervall sein. Ist K z.B. wieder ein Einheitsintervall von E und ist B‡ H …K; t† die Anzahl der Teilchen x‡ K ; welche sich in K zur Zeit t be¢nden und ÿ Bÿ N …K; t† die Anzahl derTeilchen xk ; welche sich in K zur Zeit t be¢nden, so ist „ 1 ‡ …x; t†dx ‡ Fehler; …BN …K; t† ÿ Bÿ N …K; t†† ˆ N K …1=4†

wo jFehlerj  2DN

ist. Setzen wir

ÿ BN …K; t† ˆ B‡ N …K; t† ÿ BN …K; t†;

dann erhalten wir wieder t‡h „ „ 1 d div jdx ‡ Fehler; …BN …K; t ‡ h† ÿ BN …K; t†† ˆ N t K

wo a und b die Endpunkte von K sind.Wir kÎnnen x‡ K als dieTeilchen mit als dieTeilchen mit negativer Ladung au¡assen. positiver Ladung und xÿ K Betrachten wir die Diracsche Gleichung …c ˆ 1 gesetzt)   p @' @ ÿ ‡ E ÿ p2 ' ˆ 0 i @t @x   p @ @' i ÿ ÿ E ÿ p2 ˆ 0 @t @x   p @ @ bzw: i ÿ ÿ E ÿ p2 ˆ 0 @t @x   p @ @ i ÿ ‡ E ÿ p2 ˆ 0: @t @x

Gleichverteilung und Simulation

Es sei aˆ

p ; E

ˆ px ÿ Et;



205

p E ÿ p2 :

Es ist dann die LÎsung ' ˆ ei ÿ aeÿi ; ˆ aei ‡ eÿi ; ˆ ei ‡ aeÿi ;

ˆ ÿaei ‡ eÿi : Wir beschrÌnken uns auf die erste Gruppe '; : Dann sei … y; t† ˆ j'j2 ‡ j j ˆ 2j'j2 ˆ 4…1 ‡ a2 ‡ 2a cos 2x† @ ˆ ÿ…8a ‡ sin 2x†E @t und 1  ÿ ' †: j…x; t† ˆ …' 2 Es ist dann @ @ j ‡ ˆ 0: @t @x Wir kÎnnen dann leicht die zugehÎrigenTeilchen yk …t† angeben. yk …t† ˆ

N 1X ‰1 ‡ xk ÿ F…xl †Š; N lˆ1

„x wo F…x† ˆ 0 …x; t†dx: Bei diesem Beispiel kÎnnen wir dann die Ûberlegung von x2 in ungeÌnderter Form anwenden. x8 Wir kommen zu einer weiteren interessanten Fragestellung. Es sei eine Dichte  in irgendeinem Intervall gegeben. Der Einfachheit halber nehmen wir wieder das Einheitsintervall.Wir bilden nun auÞer der Dichte , die nicht unbedingt normiert sein muÞ, die Menge aller Dichten von der Gestalt  ; wo > 0 ist. Wir betrachten dazu die Verteilungsfunktion

206

E. Hlawka

(Zustandsfunktion)   ˆ

„x  …†d ; A 0

wo A ˆ

„1 0

 …†d:

Wir fÏhren nun folgende thermodynamische Begri¡e ein 1 1 Die Temperatur T ˆ ; die freie Energie F… † ˆ ÿ log A ; „1 …log † d die innere Energie U… † ˆ ÿ ; A 0 @F die Entropie S ˆ 1 ; @… † die spezifische Warme

C ˆ ÿ 2

@U : @

HÌngt  noch von weiteren Parametern 1 ; . . . ; L ab, dann bezeichnen wir als die zugehÎrige Kraft „1 @…ÿ log † kj ˆ

0

@ j

 d :

A

Betrachten wir die zugehÎrigenTeilchen yk … † ˆ

N 1X ‰1 ‡ xk ÿ  …xL †Š; N kˆ1

f ur k ˆ 1; . . . ; N;

die auch von abhÌngen kÎnnen, wenn  von abhÌngt.Wir schreiben dann diesen N TeilchenTalsTemperatur, U als innere Energie, F als freie Energie, S als Entropie und C als spezi¢scheWÌrme zu. DieWÌrme selbst ist dann der Pfa¡sche Ausdruck L X kj d j : ! ˆ Q ˆ d U ‡ jˆ1

Ein einfaches Beispiel, wo man das alles ausrechnen kann, ist …x† ˆ x ‡ fÏr x zwischen 0 und 1. Der Vorschlag, daÞ man mit  auch Potenzen von  untersuchen soll, ¢ndet sich in [7]. Wir wollen zum SchluÞ eine Bemerkung zur sogenannten Interferenz der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik vom Standpunkt der Gleichverteilung aus machen.

Gleichverteilung und Simulation

207

Es seien '; LÎsungen einer SchrÎdingergleichung, dann ist j'2 j; j'2 j die zugehÎrige Wahrscheinlichkeitsdichte. Nun ist mit ' bzw. auch e i '; e i LÎsung. Es sei nun … k ; k † eine gleichverteilte Folge mit Diskrepanz DN . Es ist also auch e i k '…x† ‡ e i k …x† fÏr k ˆ 1; 2; . . . LÎsung der SchrÎdingergleichung.Wir bilden nun ˆ

N 1X je 2i k '…x† ‡ e 2i k …x†j2 dx: N kˆ1

Es ist dann fÏr j#j  1 : N „1 „1 2i… ÿ † 1X e 2i… k ÿ k † ˆ e d d ‡ #DN : N kˆ1 0 0

Wir erhalten also  ˆ j'j2 ‡ j j2 ‡ #DN : Es ist also j'j2 ‡ j j2 ÿ DN    j'j2 ‡ j j2 ‡ DN ; : Ist aber … k ; k † nicht gleichverteilt, also z.B. k ˆ  ‡ a k ; wo  fest ist, so erhalten wir  ˆ j'j2 ‡ j j2 ‡ e 2i '  ‡ e 2i ' : Ist z.B.  ˆ 0; so ist  ˆ j' ‡ j2 ; also keine Interferenz. Wir kÎnnen diese Ûberlegung auch auf den Fall Ïbertragen, daÞ ein gleichverteilter Vektor † …t†; …t†† in 0  t  T mit Diskrepanz D…T† vorliegt.Wir bilden uns nun e 2i …t† '…x†; e 2i …t† …x†: Es ist dann ˆ

2 1 „T 2i …t† e '…x† ‡ e 2i …t† …x† dt T0

ˆ j'j2 ‡ j j2 ‡ #DN …T†;

208

E. Hlawka

denn es ist analog wie vorher 1 „T 2i… …t†ÿ …t† e †dt T1 „1 „1 2i…ÿ† e dd ‡ #D…T† ˆ 0 0

ˆ #D…T†: Wir kÎnnen statt der SchrÎdingergleichung auch die Heisenbergschen Matrizen nehmen. Es seien L-reihige komplexe Matrizen A ˆ …ajm †; B ˆ …bmk † gegeben, dabei seien die Elemente beider Matrizen komplexe Zahlen. Es sei weiter C das Matrizenprodukt von AB. Es ist Cˆ

L X

c… j; k; m†;

mˆ1

wobei c… j; k; m† ˆ ajm bmk ist. Es sei nun …' r1 ; . . . ; ' rL † eine L-dimensionale gleichverteilte Folge mit der Diskrepanz DL N : Wir bilden uns mit Heisenberg die gegenÏber C abgeÌnderte Matrix C…r† ˆ

L X mˆ1

wobei e… † ˆ e

2i

c… j; k; m†e…' rm †;

ist. Es ist dann

N N X L 1X 1X jC…r†j2 ˆ c… j; k; m†c… j; k; m0 †e…'rm ÿ '0mr †: N rˆ1 N rˆ1 m;m0

Es ist dann wieder N „ 1X e…' rm ÿ ' rm0 † ˆ e…'m ÿ 'm0 †d' ‡ #m;m0 DL N; N rˆ1 EL

wo d' das Volumselement d'1    d'L ist. Dabei ist j#m;m0 j  1: Es ist das Integral rechts nur dann von Null verschieden, wenn m ˆ m0 ist, also ist jc… j; k; m†j2 ˆ jajm j2 jbmk j2 :

Gleichverteilung und Simulation

209

Wir erhalten also N L X 1X jC…r†j2 ˆ jajm j2 jbmk j2 ‡ Rest; N rˆ1 mˆ1

…jAj; jBj die BetrÌge von A und B† wobei

jRestj  …jAj jBj†2 DL N: Wir wollen noch ein Beispiel aus der Optik, nÌmlich die Beugung behandeln und betrachten die Dichte 1 …x† ˆ jJ…x†j2 ; C wo (C der Normierungsfaktor) „ J…x† ˆ e…2i…t ÿ x††d jj12

(dabei ist e… † ˆ e †: Es ist

2   1 sin x 2 ix ÿix † ˆ : …e ÿ e jJ…x†j ˆ 2ix x 2

Es ist J…0† ˆ 1; welches der maximale Wert von jJ…x†j ist. Weiter ist   1 1 „ sin x 2 „ 1 dx ˆ : C ˆ …x†dx ˆ x 2 0 0 Es sei  > 0 und K > 10 so gewÌhlt, daÞ   „ sin x 2 21 dx < : K x Dies ist sicher der Fall, wenn 1 „ dx 1  ˆ < 2 K 2 K x ist.Wir nehmen nun eine gleichverteilte Folge …xk † modulo 1 mit Diskrepanz DN und konstruieren eine gleichverteilte Folge … yk † in h0; Ki zur Dichte  (man kÎnnte sie Quantionen nennen)  N  „l 1X 1 Kx 1 ‡ xk ÿ …t†dt yk ˆ N lˆ1 A 0 ([ ] GauÞklammern, A Normierungskonstante).

210

E. Hlawka

^ N ist hÎchstens Ihre Diskrepanz D 1

3 : DN

Es gilt dann fÏr jede Funktion f von beschrÌnkterVariation V… f ; K† in h0; Ki N 1 1X 1 „K f … yk † ˆ f …x†…x†dx ‡ #V… f ; K†DN3 N kˆ1 A0

…j#j  1†: Ist f nur quadrierbar, so ist Vdurch die Schwankung … f ; K† in h0; Ki zu ersetzen. Dabei ist Aˆ Es ist

„K 0

…x†dx:

1 „ A ÿ …x†dx  1 <  ; K 2 0

also ist das Integral, wenn f in h0; 1i de¢niert ist, 1 „ „K f …x†…x†dx ÿ 2 f …x†…x†dx  8 M… f † ; K 0 0 wo M… f † eine obere Schranke fÏr j f j in h0; 1i ist. Es ist also N 1X 1 1 „ f … y † ÿ 2 f …x†…x†dx  V… f ; K†D3N ‡ M… f †: k N kˆ1 0 Wir wÌhlen nun 1

 ˆ DN3 und erhalten also N 1X 1 1 „ f … y † ÿ 2 f …x†…x†dx  D N3 …V… f ; K† ‡ M… f ††: k N kˆ1 0 Es ist nun zu beachten, daÞ die Dichte …x† Nullstellen fÏr x > 0 besitzt (also nicht stets positiv ist), und zwar an der Stelle x ~ n ˆ n; fÏr 1; 2; 3; . . . ; also unendlich viele, allerdings in endlichen Intervallen h0; Ki nur endlich viele, nÌmlich hÎchstens [K ] ([ ] GauÞklammern).

Gleichverteilung und Simulation

211

Weiters besitzt …x† an den Stellen x ^ n die relativen Extrema 1 x ^n ˆ n ‡ 2 mit den Werten 2  …^ xn † ˆ ÿ ÿ  : 1 2  n‡2 Wir betrachten nun L Stellen  ‡ zL mit z0 ˆ 0 und z1    zLÿ1 ; wo diese Stellen noch beliebig sind, und bilden uns 2 Lÿ1 „ 1 X e…2i…t ÿ x… ‡ zL ††† d ^…x† ˆ L lˆ0 jj1 2 2 1 X Lÿ1 „ ˆ e…ÿ2ixzl † e…ÿ2ix† d L lˆ0 1 jj2 2 1 X Lÿ1 ˆ …x† e…2ixzl † : L lˆ0 Betrachten wir den Fall, daÞ zl ˆ l c; wo l natÏrliche Zahlen sind. Es ist Lÿ1 1X 1 e…2iLcx† ÿ 1 e…2izl † ˆ : L lˆ0 L e…2icx† ÿ 1

Es wird also

2 1 X Lÿ1 1 sin Lcx 2 e…2izl † ˆ 2 : L lˆ0 L sin cx

Es wird also die noch nicht normierte Dichte   1 sin Lcx 2 ^…x† ˆ 2 …x† : L sin cx  All diese Stellen beein¯ussen die HaÈu®gkeit der y in ihren Umgebungen. k

212

E. Hlawka

also ^…x† ˆ Setzen wir C…c; L† ˆ

1 „ 0

  1 sin x sin Lcx 2 : L2 x sin cx

  „ sin x sin Lcx 2 1 1 ^…x†dx ˆ 2 dx; L 0 x sin cx

so ist die normierte Dichte

1 ^…x†: C FÏr c ˆ 1 und L ˆ 2 (Doppelspalt) erhalten wir   1 „ sin x sin 2x 2 ˆ 2; C…1; 2† ˆ x sin x 0 also ist   1 sin 2 x 2 : ~…x† ˆ 2 x ~…x† ˆ

Wir bestimmen die zugehÎrigen Quantionen ~yk bei gleichem K wie vorher  N  „l KX 1 Kx ~…t†dt : 1 ‡ xl ÿ ~yk ˆ N lˆ1 A 0 Nullstellen in ~ sind jetzt die Stellen 2n …n ˆ 12 ; 1; 32 ; . . . ; †: Die Extrema sind jetzt an den Stellen 12 …n ‡ 12†: Ersetzen wir jetzt x durch x; wo eine reelle, positive Zahl ist, dann hÌngt  bzw. ~ noch von ab. Die Nullstellen x ~ n der Dichten liegen, da ja n

~ xn ˆ 2 wird, an den Stellen n x ~n ˆ 2 und die Extremstellen an den Stellen n ‡ 12 : 2 Es ist z.B. bei Brechung und Re£exion

ˆ

sin sin ÿ 0 ; c c

Gleichverteilung und Simulation

213

so ist ^… x† maximal fÏr die Stellen, wo sin sin ÿ 0 ˆ 0: c c 0 Ist c ˆ c ; ˆ 0 an der Stelle sin : c Wir wollen diese Betrachtungen verallgemeinern und zugleich ins Mehrdimensionale Ïbertragen (der zwei- bzw. dreidimensionale Fall ist in der Physik wichtig). Es sei jetzt m  1 die Dimension, B ein konvexer KÎrper (fÏr m ˆ 2 eine Scheibe) mit dem Koordinatenursprung im Mittelpunkt von B (wenn vorhanden), dann sei jetzt „ J…x† ˆ e…2i…t ÿ hxi†d ;

ˆ

B

wo hxi das skalare Produkt x1 1 ‡    ‡ xm m und d ˆ d1    dm das Volumselement ist. …x† ˆ ist die Dichte. Es ist Cˆ

„ Rm

1 j J…x†j2 C j J…x†j2 dx

m

Ïber den ganzen Raum R erstreckt. Das Integral existiert sicher, wenn B ein konvexer Polyeder, insbesondere ein Quader (fÏr m ˆ 2 z.B. ein Rechteck ist), und fÏr konvexe KÎrper, die genÏgend glatt (z.B. Kugeln) sind. FÏr Quader 1 1 j1 j     jm j  2 2 erhalten wir

 m  Y sin xj 2 2 : …x† ˆ xj jˆ1

Ist Ïberhaupt B ein Produkt von mehreren konvexen KÎrpern B1  B2      Br , wo die Bj verschiedene Dimensionen haben kÎn-

214

E. Hlawka

nen, wenn nur die Gesamtdimension m ist, so zerlegt sich J in J1  J2      Jr . Liegen wieder zusÌtzlich L Stellen z0 ˆ 0; z1 ;    zL in Rm vor, so erhalten wir 2 1 X Lÿ1 „ e…2i…t ÿ hx;  ‡ zl i††d ^…x† ˆ L lˆ0 B 2 1X „ Lÿ1 ˆ e…hx; zl i† e…2ihx; i†d : L lˆ0 B Der Fall, daÞ die zl ein Gitter bilden (Kristallgitter im R3 ), ist besonders wichtig. Man vergleiche die physikalische Literatur. Der Verfasser hat sich mit dem Fall l ˆ 1 im bezug auf das zugehÎrige Integral, insbesondere Ïber das asymptotische Verhalten und auch im bezug auf die Nullstellen in den Arbeiten ,,Ûber Integrale auf konvexen KÎrpern I``, Monatshefte fÏr Mathematik 54 (1956) 1^31 und Teil II im gleichen Band beschÌftigt. Wenn die Stellen z l aber `random' sind, so liegt wieder Interferenz vor. Nehmen wir an, wir haben eine l-dimensionale Folge z kl ; welche gleichverteilt zur Dichte …x1 †    …xl † ist, wo  eine eindimensionale Dichte ist, mit Diskrepanz D N ; so betrachten wir …c ˆ 1† 2 N X Lÿ1 X 1X 1 k ˆ e…2ixz † l N kˆ1 L lˆ1 N Lÿ1 X Lÿ1 N 1 X 1X ˆ 2 e…2ix…z kl ÿ z km ††: L lˆ0 mˆ1 N kˆ1

Nun ist l 6ˆ m

2 N „ 1X k k e…2ix…z l ÿ z m † ˆ e…2ixz†dz ‡#DN : N kˆ1 E

Wir erhalten also X 1 Lÿ1 ˆ ‡ L L N Es wird also

! 2 „ e…2ixz†…z†dz ‡#DN : E

!! 2 „ 1 ~…x† ˆ …x† 1 ‡ …L ÿ 1† e…2ixz†…z†dz ‡#DN : L E

Gleichverteilung und Simulation

215

FÏr …z† ˆ 1 wird das Integral   sin x 2 : x A. Einstein hat immer die Meinung vertreten, daÞ wir nur Mittelwerte beobachten kÎnnen. Diese Mittelwerte werden durch die HÌu¢gkeiten des Auftretens der zugehÎrigen Ereignisse mit einem gewissen Fehler festgestellt. Von diesem Standpunkt aus kann man Ereignisse durch Wellen bzw.Teilchen erklÌren. Damit will der Verfasser als Mathematiker nur zum Ausdruck bringen, daÞ beide Ansichten gleichberechtigt sind. Welcher Standpunkt in der RealitÌt vorkommt, kann nur der Physiker entscheiden. Ein schlagendes Beispiel ist der Lichtdruck. Es sei (ein Koordinatensystem sei eingefÏhrt) x ˆ 0 die Ebene eines Metallspiegels, z ˆ 0 die Einfallsebene eines senkrecht einfallenden Strahls und des re£ektierenden Strahles, so haben wir fÏr die elektrische FeldstÌrke Ee und die magnetische FeldstÌrke He des einfallenden Strahles    x Ee ˆ 0; A sin 2 t ‡ ; 0  c x He ˆ 0; 0; A sin 2 t ‡ c und fÏr die analogen FeldstÌrken Er ; Hr des re£ektierenden Strahls    x Er ˆ 0; ÿA sin 2 t ÿ ; 0   c x  ; Hr ˆ 0; 0; A sin 2 t ÿ c also insgesamt  E ˆ 0;  H ˆ 0;

E ˆ Ee ‡ Er ; H ˆ He ‡ Hr     x x A sin 2 t ‡ ÿ sin 2 t ÿ ; 0  c x c x ‡ sin 2 t ÿ : 0; A sin 2 t ‡ c c

Dann erhalten wir den Druck pro FlÌcheneinheit auf den Spiegel f ˆ …A sin 2t†2 ;

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E. Hlawka: Gleichverteilung und Simulation

also den Gesamtdruck 1

„

p ˆ  f dt ˆ 0

A2 : 4

Konstruieren wir wieder mit Hilfe einer gleichverteilten Folge …xk † mit Diskrepanz DN eine gleichverteilte Folge … yk † zur Dichte …sin 2t†2 ; so erhalten wir fÏr jede Funktion f von beschrÌnkter Variation V… f † N 1 „ 1X f … yk † ˆ  f …t† sin2 2tdt ‡ #V… f †D3N : N kˆ1 0 1

Es sei I ein Zeitintervall h ; i in h0; 1i; so ist HN …h ; i† die Anzahl derTre¡er der Quantionen, welche den Spiegel tre¡en, also gleich N X

i…h ; i; yk †

kˆ1

und fÏr die relative HÌu¢gkeit 1 HN …h ; i† N 1 „ hn …h ; i† ÿ  sin2 2t  D3N : hn …h ; i† ˆ

gilt

Literatur Hlawka, E., MÏck, R., ATransformation of Equidistributed Sequences, Applications of Number Theory to Numerical Analysis, Academic Press, London ^ NewYork, 1972, 371^388. Hlawka, E., MÏck, R., ÛbereineTransformation von gleichverteilten Folgen II, Computing 9 (1972) 127^138. Hlawka, E., Discrepancy and Riemann Integration, Studies in Pure Mathematics (Papers presented to Richard Rado), Academic Press, London ^ NewYork, 1971, 121^129. Hlawka, E., Selecta, P. Gruber,W. Schmidt (eds.), Springer-Verlag, Berlin ^ Heidelberg ^ NewYork, 1990. „1 4 Bernstein, F., Ûberdas Fourierintegral 0 eÿx cos tx dx; Math. Annalen 79 (1918) 265^268. Jagermann, D., Cosinesumsapproximation ofsystemsofarrayantenna,The Bell SystemJournal 44 (1965), Recent Monograph of Bell SystemsTechnical Papers, 1761^1767. Bangerter, H.,Temperaturmittelwertbeiperiodisch verÌnderlichen Massen, Ingenieurarchiv 7 (1936) 99^104. Anschrift desVerfassers: Prof. Dr. Edmund Hlawka, MargaretenstraÞe 27/II/9, A-1040 Wien.