ggT und kgV von Zahlen 1. (a) Zerlege 120 und 252 in Primfaktoren. (b) Bestimme den ggT(120, 252) und das kgV(120, 252). L¨ osung: (a) 120 = 23 · 3 · 5, 252 = 22 · 63 (b) ggT(120,252) = 22 = 4, kgV(120, 252) = 23 · 3 · 5 · 63 = 7560

2. Bestimme den ggT und das kgV der Zahlen (a) 340 und 3468. (b) 147 und 1540. L¨ osung: (a) ggT(340, 3468) = 68, kgV(340, 3468) = 17340 (b) ggT(147, 1540) = 7, kgV(147, 1540) = 32340

3. Ein Zimmer der L¨ange 540 cm und Breite 1050 cm soll mit quadratischen Teppichfliesen ausgelegt werden. Welche Gr¨oßen (Seitenl¨ange eines Quadrats) sind m¨oglich? L¨ osung: 540 = 22 · 33 · 5; 1050 = 2 · 3 · 52 · 7; ggT(540, 1050) = 30 Die quadratischen Teppichfliesen k¨onnen die Seitenl¨angen 30 cm, 15 cm, 10 cm, 6 cm oder 5 cm haben. Bemerkung: Theoretisch kann die Seitenl¨ange auch 3 cm, 2 cm, 1 cm oder kleiner betragen, dies ist aber in diesem Beispiel nicht sinnvoll.

4. Berechne den ggT( 15 708 , 20 570 , 63 954 , 101 728 ). L¨ osung: 15 708 = 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 17, 20 570 = 2 · 5 · 11 · 11 · 17 63 954 = 2 · 3 · 3 · 11 · 17 · 19, 101 728 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 · 17 · 17 ggT = 2 · 11 · 17 = 374

5. (a) F¨ ur welche Zahlen a kleiner 100 ist ggT(a, 784) = 16? (b) F¨ ur welche Zahlen b ist kgV(b, 90) = 180? L¨ osung: (a) a ∈ {32, 48, 64, 80, 96}

(b) b ∈ {4, 12, 20, 36, 60, 180}

6. (a) Erg¨anze folgende Menge mit m¨oglichst wenig Zahlen zu einer Teilermenge! {2, 3, 17, 10} 1

(b) Gib jeweils eine Zahl f¨ ur a und b an, so dass ggT(a, b) = 9 und a · b = 7290 ist! L¨ osung: (a) {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, 170, 255, 510} (b) Hier sind mehrere L¨ osungen m¨oglich: a = 9 und b = 810, a = 18 und b = 405, a = 45 und b = 162, a = 90 und b = 81

7. Von zwei Zahlen a und b ist bekannt, dass ggT(a, b) = 3 und a · b = 270 ist. (a) Berechne das kgV(a, b)! (b) Gib zwei Zahlen an, die obige Bedingung erf¨ ullen. Dabei soll keine der zwei Zahlen 3 sein. L¨ osung: (a) kgV(a, b) = 90 (b) Hier sind verschiedene L¨ osungen m¨oglich: a = 6 und b = 45, a = 15 und b = 18, a = 30 und b = 9

8. In welchen F¨allen stimmt das kgV zweier Zahlen mit dem Produkt der beiden Zahlen u ¨berein? Nenne hierf¨ ur ein Beispiel (keine der Zahlen darf eine Primzahl sein)! L¨ osung: Das kgV zweier Zahlen stimmt mit dem Produkt der beiden Zahlen u ¨berein, wenn die beiden Zahlen teilerfremd sind. Z. B. 6 und 35, 22 und 15, 25 und 81,...

9. F¨ ur welche Zahlen a kleiner 50 ist ggT(a, 400) = 16? L¨ osung: a ∈ {16,32,48}

10. Von zwei Zahlen a und b ist bekannt, dass ggT(a, b) = 4 und a · b = 240. (a) Berechne das kgV(a, b). (b) Gib zwei verschiedene Zahlenpaare f¨ ur a und b an, die obige Bedingung erf¨ ullen. L¨ osung: (a) kgV(a, b) = 60. (b) a = 12 und b = 20, a = 4 und b = 60

11. F¨ ur welche Zahlen b ist kgV(b, 45) = 450? L¨ osung: b ∈ {50, 150,450}

2

12. Berechne die L¨osungsmenge: (a) ggT(x, 204) = 34 und x ≦ 204 (b) ggT(7560, 1620, x) = 36 und 1500 ≦ x ≦ 1700 L¨ osung: (a) 34 | x und x ≦ 204 =⇒ x ∈ { 34, 68, 102, 136, 170, 204 } 204 = 2 · 2 · 3 · 17 = 2 · 3 · 34  3 ∤ x, sonst w¨ are ggT(x, 204) = 3 · 34 · . . . =⇒ L = { 34, 170 } 4 ∤ x, sonst w¨ are ggT(x, 204) = 2 · 34 · . . . (b) 36 | x und 1500 ≦ x ≦ 1700 =⇒ x ∈ { 1512, 1548, 1584, 1620, 1656, 1692 } =⇒ (x : 36) ∈ { 42, 43, 44, 45, 46, 47 } 7560 = 2 · 3 · 5 · 7 · 36, 1620 = 3 · 3 · 5 · 36 3 ∤ (x : 36), sonst w¨ are ggT = 3 · 36 · . . . =⇒ 5 ∤ x, sonst w¨ are ggT = 5 · 36 · . . . L = { 1548, 1584, 1656, 1692}

13. (a) Bestimme die Teilermenge von 616. (b) Bestimme den ggT und das kgV der Zahlen 1100 und 7128. L¨ osung: (a) T616 = {1,616,2, 308,4, 154,7, 88,8, 77,11,56,14,44,22,28} (b) ggT(1100,7128) = 44; kgV(1100,7128) = 178200

14. In den L¨andern Dummenien und Saudummien ist die kleinste W¨ahrungseinheit ein Groschen. In Dummenien bezahlt man noch mit Dublonen und in Saudummien mit Talern. Der Wert von einer Dublone ist 102 Groschen, der Wert eines Talers 119 Groschen. Ein H¨andler an der Grenze zwischen Dummenien und Saudummien verkauft Bananen zu 85 Groschen das St¨ uck. Der H¨andler hat die Bananen so geb¨ undelt, dass der Preis f¨ ur das B¨ undel in Dublonen wie in Talern einen ganzzahligen Wert ergibt. Wie groß ist der Preis f¨ ur ein Bananenb¨ undel mindestens (Ergebnis in Groschen, Dublonen und Talern) und wie viele Bananen muss ein B¨ undel mindestens enthalten? Welche B¨ undelgr¨oßen w¨aren noch m¨oglich? L¨ osung: 102 = 2 · 3 · 17, 119 = 7 · 17, 85 = 5 · 17, kgV(85, 102, 119) = 3570 Mindestpreis pro B¨ undel: 3570 Groschen = 35 Dublonen = 30 Taler mindestens 42 Bananen pro B¨ undel; m¨ogliche B¨ undelgr¨ oßen: alle Vielfachen von 42

15. Berechne den ggT( 13260 , 13464 , 204204 ). L¨ osung: 13260 = 2 · 2 · 3 · 5 · 13 · 17, 13464 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 · 17, 204 204 = 204 · 1001 = 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 · 17 ggT = 2 · 2 · 3 · 17 = 204

3

16. Bestimme die L¨osungsmenge zur Grundmenge G = { 2 , 3 , 4 , 5 , .... , 17 }: (a) kgV( 10 , x ) = 30 (b) ggT( 9 , x ) = 3 L¨ osung: (a) L = { 3 , 6 , 15}

(b) L = { 3 , 6 , 12 , 15}

17. Berechne die L¨osungsmenge:

ggT( x , 6468 , 2772 ) = 14 und x < 200.

L¨ osung: 6468 = 2 · 2 · 3 · 7 · 7 · 11 2772 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 · 11 x muss die Faktoren 2 und 7 enthalten, also ein Vielfaches von 14 sein: x = y · 14. Die Faktoren 2, 3 und 11 d¨ urfen in y nicht vorkommen, da der ggT sonst gr¨oßer als 14 w¨ are. Zur L¨ osungsmenge geh¨ oren also 14, 5 · 14, 7 · 14 und 13 · 14, d. h. L = {14, 70, 98, 182}.

18. Herr Dick, Herr D¨ unn und Herr Mittel sind Lokf¨ uhrer. Herr Dick kommt alle 12 Tage, Herr D¨ unn alle 27 Tage und Herr Mittel alle 15 Tage nach Garmisch. In welchem zeitlichen Abstand sind alle drei Lokf¨ uhrer gleichzeitig in Garmisch? L¨ osung: kgV(12, 15, 27) = 540

=⇒

alle 540 Tage

19. Der Planet Venus umkreist die Sonne in 224 Erdtagen (d), der Mars braucht dazu 686 Erdtage. Auf der Venus dauert ein Jahr also 224 d, ein Marsjahr ist 686 d. Heuer feierten die Venus- und die Marsbewohner am gleichen Tag Silvester. Nach welcher Zeit feiern die Venus- und die Marsbewohner wieder am gleichen Tag Silvester? (a) Gib das Ergebnis in Erdjahren und Erdagen an, ohne auf Schaltjahre zu achten. (b) Wie lautet das Ergebnis, wenn man Schaltjahre ber¨ uchsichtigt? L¨ osung: (a) 224 = 25 · 7, 686 = 2 · 73 , kgV(224, 686) = 25 · 73 = 32 · 343 = 10 976 10 976 d = 30 a 26 d (b) In 30 a gibt es 7 oder 8 Schaltjahre =⇒ 30 a 18 d oder 30 a 19 d

20. Ein neuer Schnellzug f¨ahrt die Strecke M¨ unchen-Hamburg in 5 h 18 s und M¨ unchenRom in 6 h 4 min 39 s. Zur Unterhaltung sollen w¨ahrend der Fahrt ohne Unterbrechnung Kurzfilme gezeigt werden, die alle exakt die gleiche L¨ange haben. Wie lang kann ein Film h¨ochstens dauern, wenn auf beiden Strecken bei der Abfahrt gerade ein Film beginnt und bei der Ankunft genau ein Film endet? L¨ osung: 5 h 18 s = 18 018 s = 2 · 3 · 3 · 7 · 11 · 13 s 6 h 4 min 39 s = 21 879 s = 3 · 3 · 11 · 13 · 17 s ggT(18 018, 21 879) = 3 · 3 · 11 · 13 = 1287; ein Film dauert 1287 s = 21 min 27 s

4

21. Die Sch¨afer B¨ahlamm und M¨ahschaf unterhalten sich u ¨ber die Anzahl ihrer Schafe. B¨ahlamm sagt: Ich kann meine Schafe in Zweier-, Dreier-, Vierer-, F¨ unfer- oder ” Sechserreihen aufstellen und es bleibt nie auch nur ein einziges Schaf u ¨ brig. Außerdem habe ich weniger als 100 Schafe.“ Darauf antwortet M¨ahschaf: Wenn ich meine Schafe in Zweier-, Dreier-, Vierer-, ” F¨ unfer- oder Sechserreihen aufstelle, dann bleibt immer genau ein Schaf u ¨brig. Stelle ich meine Schafe aber in einer Siebenerreihe auf, dann bleibt keines u ¨ brig. Außerdem habe ich weniger als 400 Schafe.“ (a) Wie viele Schafe besitzt B¨ahlamm? (b) Wie viele Schafe besitzt M¨ahschaf? L¨ osung: (a) kgV(2, 3, 4, 5, 6) = 60, x ∈ V60 und x < 100 =⇒ x = 60 (b) x − 1 ∈ V60 und x ∈ V7 =⇒ x = 301 (einzige L¨osung mit x < 400) Die gr¨ oßeren L¨ osungen erh¨alt man, wenn man zu 301 ein Vielfaches von 60 · 7 = 420 addiert (721, 1141, 1561, ...).

22. Ein Zauberer braucht f¨ ur ein Kunstst¨ uck m¨oglichst lange Schn¨ ure der gleichen L¨ange. Er hat zwei Schn¨ ure mit den L¨angen 90 cm und 108 cm, die er so zerschneidet, dass kein Rest u ucke? ¨brig bleibt. Wie lang sind die Schnurst¨ L¨ osung: ggT(90, 108) = 18, die Schn¨ ure sind 18 cm lang.

23. Herr Dumm, ein nicht ganz gescheiter Banknotenf¨alscher, hat lauter 36-€-Scheine hergestellt. Er geht damit zu Herrn Frech, um einen Teil seines Geldes in 56-€Scheine umzutauschen. Welcher Mindestbetrag muss gewechselt werden? L¨ osung: kgV(36, 56) = 504, es m¨ ussen mindestens 504 € gewechselt werden.

24. Ein Sportverein braucht zum Abmessen von Laufstrecken ein Messrad, das bei jeder vollen Umdrehung einen Z¨ahler bet¨atigt. Folgende Strecken m¨ ussen gemessen werden: 100 m, 110 m (H¨ urden M¨anner), 80 m (H¨ urden Damen). (a) Wie groß darf die Strecke x h¨ochstens sein, die das Messrad bei einer Umdrehung zur¨ ucklegt? (b) Wie groß darf x h¨ochstens sein, wenn zus¨atzlich noch die historische 300-YardsStrecke (≈ 274 m) gemessen werden soll? L¨ osung: (a) ggT(100, 110, 80) = 10, x darf h¨ochstens 10 m betragen. (b) ggT(10, 274) = 2, x darf h¨ ochstens 2 m betragen.

5

25. Von drei alten Uhren, die alle nur einen Stundenzeiger haben, der sich einmal am Tag dreht, geht die Erste richtig, bei der Zweiten dreht sich der Zeiger einmal in 22 h und bei der Dritten einmal in 26 h. Alle drei Uhren werden auf 00:00 gestellt. Wie lang dauert es, bis alle drei Uhren wieder gleichzeitig 00:00 anzeigen? L¨ osung: kgV(24, 22, 26) = 3432, es dauert 3432 h = 143 d.

26. Ein Spielzeugfabrikant will aus einem Kunststoffquader mit den Kantenl¨angen 105 cm, 151,5 cm und 13,5 cm ohne Abfall m¨oglichst große W¨ urfel herauss¨agen. Alle W¨ urfel sollen gleich groß sein. Welche Kantenl¨ange haben diese W¨ urfel?

L¨ osung: ggT(1050, 1515, 135) = 15, Kantenl¨ange: 15 mm = 1,5 cm.

27. Das große Rad eines Hochrads legt bei einer Umdrehung 4,5 m, das kleine Rad dagegen nur 1,2 m zur¨ uck. Die Ber¨ uhrpunkte der R¨ader mit der Straße werden beim Start farbig gekennzeichnet (siehe Abbildung). Welche Strecke muss das Hochrad zur¨ ucklegen, bis beide Farbtupfer wieder gleichzeitig die Straße ber¨ uhren? Wie oft hat sich dabei jedes Rad gedreht? L¨ osung: kgV(45, 12) = 180, das Hochrad muss 180 dm = 18 m zur¨ ucklegen. Dabei dreht sich das große Rad 4 mal und das kleine Rad 15 mal.

28. Ein Zauberer kann mehrere gleich lange Schn¨ ure zu einer Schnur zusammenf¨ ugen. Einmal zaubert er lauter 30 cm lange Schn¨ ure, ein anderes Mal lauter 42 cm lange Schn¨ ure zu einer Schnur zusammen. Die beiden zusammengezauberten“ Schn¨ ure ” sind gleich lang. Wie lang m¨ ussen die zusammengezauberten Schn¨ ure mindestens sein? L¨ osung: kgV(30, 42) = 210, die zusammengezauberten Schn¨ ure sind mindestens 210 cm = 2,1 m lang.

29. Mit einer Sanduhr k¨onnen Vielfache der Durchlaufzeit gemessen werden. Wie groß darf diese Durchlaufzeit h¨ochstens sein, wenn die Zeiten 8 min 24 s, 23 min 6 s und 18 min 12 s gemessen werden sollen? 6

L¨ osung: 8 min 24 s = 504 s, 23 min 6 s = 1386 s, 18 min 12 s = 1092 s 504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7, 1386 = 2 · 3 · 3 · 7 · 11, 1092 = 2 · 2 · 3 · 7 · 13 ggT(504, 1386, 1092) = 2 · 3 · 7 = 42 Die Durchlaufzeit darf h¨ ochstens 42 s betragen.

30. Ein Bauer h¨alt H¨ uhner und Kaninchen. In jedem H¨ uhnerk¨afig leben 28 Tiere, in jedem Kaninchenstall 24 Tiere. Außerdem ist die Zahl der H¨ uhner gleich der Zahl der Kaninchen. Wie viele Tiere besitzt der Bauer mindestens? 28

L¨ osung: 24 = 2 · 2 · 2 · 3, 28 = 2 · 2 · 7

=⇒

z }| { kgV(28, 24) = 7 · 2| · 2{z ·2 · 3}= 168 24

Der Bauer besitzt 2 · 168 = 336 Tiere.

31. Die Vorderseite eines Kachelofens soll mit m¨oglichst großen, quadratischen Kacheln verkleidet werden. Der Ofen ist 1,95 m hoch und 1,39 m breit. (a) Welche Seitenl¨ange hat eine Kachel, wenn die Kacheln fugenlos verlegt werden? (b) Wie groß kann die Seitenl¨ange einer Kachel h¨ochstens sein, wenn zwischen den Kacheln (nicht zum Rand des Ofens) eine Fuge mit 1 cm Breite belassen wird? Wie viele Kacheln werden ben¨otigt? Best¨atige deine Ergebnisse mit einer ausf¨ uhrlichen Probe! Ein kleiner Tipp: Denke dir am rechten und am unteren Rand eine Fuge dazu! Skizze! L¨ osung: (a) 195 = 3 · 5 · 13, 139 ist prim =⇒ ggT(195, 139) = 1 Die gr¨ oßtm¨ oglichen Kacheln w¨aren nur 1 cm breit. (b) Mit den zus¨ atzlichen Fugen ist die Vorderseite des Ofens 196 cm hoch und 140 cm breit. ggT(196, 140) = 28, d. h. eine Kachel hat die Seitenl¨ ange 27 cm. 196 : 28 = 7, 140 : 28 = 5 =⇒ Man braucht 7 · 5 = 35 Kacheln. Probe: 7 Kacheln, 6 Fugen: 7·27+6 = 195 5 Kacheln, 4 Fugen: 5 · 27 + 4 = 139

32. Die Kettendivision (Euklidscher Algorithmus) (a) Ist t ein gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b mit a > b, dann ist t auch ein ” Teiler von r, wobei r der Rest der Division von a durch b ist (a : b = x Rest r).“ Begr¨ unde allgemein die Richtigkeit dieser Aussage. Zeige die G¨ ultigkeit dieser Aussage am Beispiel a = 1386, b = 588 und t = 21. 7

(b) Es gilt folgender Satz: F¨ ur a > b ist ggT(a, b) = ggT(b, r), wobei r der Rest der Division von a durch b ist. Zeige die G¨ ultigkeit dieses Satzes am Beispiel a = 1386 und b = 588. (c) Warum ist jede nat¨ urliche Zahl ein Teiler von 0? Zeige, dass ggT(b, 0) = b gilt. Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse suchen wir jetzt den ggT der Zahlen 589 und 527, den wir mit x bezeichnen. Wir teilen die gr¨oßere durch die kleinere Zahl: 589 : 527 = 1 Rest 62 Nach dem Satz aus Teilaufgabe (b) gilt x = ggT(589, 527) = ggT(527, 62) Die Aufgabe, den ggT der Zahlen 589 und 527 zu finden, ist somit gleichwertig zu der Aufgabe, den ggT der Zahlen 527 und 62 zu finden. Die Aufgabe hat sich vereinfacht, da die Zahlen kleiner geworden sind. Also wenden wir die gleiche Methode noch einmal an: 527 : 62 = 8 Rest 31 =⇒ x = ggT(527, 62) = ggT(62, 31) Und noch einmal: 62 : 31 = 2 Rest 0

=⇒

x = ggT(62, 31) = ggT(31, 0)

wegen (c)

=

31

Zusammenfassung der Berechnung des ggT von 589 und 527: 589 : 527= 1 Rest 62 527 : 62 = 8 Rest 31 62 : 31 = 2 Rest 0

=⇒

ggT(589, 527) = 31

(d) Berechne: ggT(2173, 1271) (e) Berechne: ggT(2697, 4611) L¨ osung: (a) a : b = x Rest r =⇒ a = b · x + r =⇒ r = a − b · x Da t ein Teiler von a und von b ist, gilt a = n · t und b = m · t, d.h. r = n · t − m · t · x = (n − m · x) · t. 1386 = 66 · 21, 588 = 28 · 21, 1386 : 588 = 2 Rest 210 (b) ggT(1386, 588) = 42, ggT(588, 210) = 42 (c) 0 : n = 0. Da b der gr¨ oßte Teiler von b und auch ein Teiler von 0 ist, ist b der ggT(b, 0). 2173 : 1271 = 1 Rest 902 (d) 1271 : 902 = 1 Rest 369 902 : 369 = 2 Rest 164 369 : 164 = 2 Rest 41 164 : 41 = 4 Rest 0 (e)

=⇒

ggT(2173, 1271) = 41

=⇒

ggT(4611, 2697) = 87

4611 : 2697 = 1 Rest 1914 2697 : 1914 = 1 Rest 783 1914 : 783 = 2 Rest 348 783 : 348 = 2 Rest 87 348 : 87 = 4 Rest 0

8

33. Berechne den ggT und das kgV der beiden Zahlen a = 3149 und b = 5829 mit Hilfe der Kettendivision. 5829 : 3149 = 1 Rest 2680

L¨ osung:

3149 : 2680 = 1 Rest 469 2680 : 469 = 5 Rest 335 469 : 335 = 1 Rest 134 335 : 134 = 2 Rest 67 134 : 67 = 2 Rest 0

=⇒

ggT(5829, 3149) = 67

kgV(5829, 3149) = 5829 · 3149 : 67 = 5829 · 47 = 273 963

34. Berechne den ggT und das kgV der Zahlen 5671 und 7169 mit der Kettendivision. L¨ osung:

7169 : 5671 = 1 R 1498 5671 : 1498 = 3 R 1177 1498 : 1177 = 1 R 321 1177 : 321 = 3 R 214 321 : 214 = 1 R 107 214 : 107 = 2 R 0 ggT(7169, 5671) = 107 kgV(7169, 5671) = 5671 · 7169 : 107 = 5671 · 67 = 379 957

35. Suche den ggT der Zahlen 9991 und 8633 mit der Kettendivision. Berechne dann auch das kgV der beiden Zahlen. 9991 : 8633 = 1 Rest 1358

L¨ osung:

8633 : 1358 = 6 Rest 485 1358 : 485 = 2 Rest 388 485 : 388 = 1 Rest 97 388 : 97 = 4 Rest 0

=⇒

ggT(9991, 8633) = 97

kgV(9991, 8633) = 9991 · 8633 : 97 = 9991 · 89 = 889 199

36. Berechne mit Hilfe der Kettendivision: (a) ggT(313937, 230299) (b) ggT(149379, 159681) L¨ osung: (a)

313937 : 230299 = 1 Rest 83638 230299 : 83638 = 2 Rest 63023 83638 : 63023 = 1 Rest 20615 63023 : 20615 = 3 Rest 1178 20615 : 1178 1178 : 589

= 17 Rest 589 = 2 Rest 0

=⇒

9

ggT(313937, 230299) = 589

159681 : 149379 = 1 Rest 10302

(b)

149379 : 10302 = 14 Rest 5151 10302 : 5151 = 2 Rest 0

=⇒

ggT(159681, 149379) = 5151

37. (a) Wie kann das kgV zweier Zahlen a und b berechnet werden, wenn der ggT der beiden Zahlen bekannt ist? (b) Warum ist der ggT zweier Zahlen a und b sicher ein Teiler des kgV’s dieser Zahlen? (c) Berechne mit Hilfe der Kettendivision: ggT(107 767, 203 797) und kgV(107 767, 203 797). L¨ osung: (a) kgV(a, b) = a · b : ggT(a, b) (b) ggT(a, b) | a und a | kgV(a, b) =⇒ ggT(a, b) | kgV(a, b) (c) 203797 : 107767 = 1 Rest 96030 107767 : 96030 = 1 Rest 11737 96030 : 11737 = 8 Rest 2134 11737 : 2134 = 5 Rest 1067 2134 : 1067 = 2 Rest 0 =⇒ ggT(203 797, 107 767) = 1067 kgV(203797, 107767) = 203 797 · 107 767 : 1067 = 191 · 107 767 = 20 583 497

38. Berechne ggT(25 591, 26 219). L¨ osung:

26219 25591 628 471

: 25591 = 1 Rest 628 : 628 = 40 Rest 471 : 471 = 1 Rest 157 = 3 Rest 0 =⇒ : 157

ggT(25 591, 26 219) = 157

39. (a) Berechne ggT(31 122, 42 978) mit der Primfaktorzerlegung. (b) Berechne ggT(9309, 8881) mit der Kettendivision. L¨ osung: (a) 31122 = 2 · 32 · 7 · 13 · 19, 42978 = 2 · 3 · 13 · 19 · 29 ggT(31 122, 42 978) = 2 · 3 · 13 · 19 = 1482 (b) 9309 8881 428 321

: 8881 : 428 : 321 : 107

= 1 Rest 428 = 20 Rest 321 = 1 Rest 107 = 3 Rest 0ggT(9309, 8881) = 107

40. (a) Berechne ggT(61 446, 24 738) mit der Primfaktorzerlegung. (b) Berechne ggT(9701, 8611) mit der Kettendivision. 10

L¨ osung: (a) 61 446 = 2 · 3 · 72 · 11 · 19, 24 738 = 2 · 3 · 7 · 19 · 31 ggT(61 446, 24 738) = 2 · 3 · 7 · 19 = 798 (b) 9701 8611 1090 981

: 8611 : 1090 : 981 : 109

= = = =

1 7 1 9

Rest Rest Rest Rest

1090 981 109 0 =⇒

ggT(9701, 8611) = 109

41. Berechne den ggT der beiden Zahlen 902 682 und 729 828 mit Hilfe der Kettendivision und bestimme dann die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen. L¨ osung:

902 682 729 828 172 854 38 412 =⇒

: 729 828 : 172 854 : 38 412 : 19 206

= = = =

1 4 4 2

Rest Rest Rest Rest

172 854 38 412 19 206 0

ggT(902 682, 729 828) = 19 206 = 2 · 32 · 11 · 97

902 682 = 47 · ggT = 2 · 32 · 11 · 47 · 97,

729 828 = 38 · ggT = 22 · 32 · 11 · 19 · 97

42. Berechne den ggT der beiden Zahlen 865 458 und 699 732 mit Hilfe der Kettendivision und bestimme dann die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen. L¨ osung:

865 458 699 732 165 726 36 828 =⇒

: 699 732 : 165 726 : 36 828 : 18 414

= = = =

1 4 4 2

Rest Rest Rest Rest

165 726 36 828 18 414 0

ggT(865 458, 699 732) = 18 414 = 2 · 33 · 11 · 31

865 458 = 47 · ggT = 2 · 33 · 11 · 31 · 47,

699 732 = 38 · ggT = 22 · 33 · 11 · 19 · 31

43. Berechne den ggT der beiden Zahlen 18 923 und 19 519 mit Hilfe der Kettendivision und bestimme dann die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen. L¨ osung:

19 519 18 923 596 447

: 18 923 : 596 : 447 : 149

19 519 = 131 · 149,

= 1 Rest 596 = 31 Rest 447 = 1 Rest 149 = 3 Rest 0 =⇒ 18 923 = 127 · 149

11

ggT(19 519, 18 923) = 149