Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen xi ( i ∈! ) einer Funktion f gilt:
f ( xi ) = 0 Steigen bzw. Fallen:
f ' ( x ) > 0 im Intervall I ⇒ f ist streng monoton wachsend in I f ' ( x ) < 0 im Intervall I ⇒ f ist streng monoton fallend in I Krümmungsverhalten:
f '' ( x ) > 0 im Intervall I ⇒ Die Kurve ist in I linksgekrümmt. f '' ( x ) < 0 im Intervall I ⇒ Die Kurve ist in I rechtsgekrümmt. Lokales Extremum: Hinreichende Bedingungen sind:
f ' ( x0 ) = 0 und f '' ( x0 ) < 0 ⇒ f hat bei x0 ein lokales Maximum f ' ( x0 ) = 0 und f '' ( x0 ) > 0 ⇒ f hat bei x0 ein lokales Minimum
Wendepunkt: In einem Wendepunkt ändert das Krümmungsverhalten von „links“ nach „rechts“ oder umgekehrt. In einem Wendepunkt ist die Steigung der Wendetange extremal. Hinreichende Bedingung ist:
f '' ( x0 ) = 0 und f ''' ( x0 ) ≠ 0
Sattelpunkt/Terrassenpunkt: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente. Hinreichende Bedingung ist:
f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) = 0 und f ''' ( x0 ) ≠ 0
Steigungswinkel: Für den Steigungswinkel α und die Steigung m eines Graphen gilt:
m = tan (α ) 1/5
GF MA
Differentialrechnung
A2
Schnittwinkel: Für den Schnittwinkel 𝛼 und die Steigungen 𝑚! und 𝑚! zweier Graphen gilt:
tan (α ) =
m2 − m1 1+ m1 ⋅ m2
Symmetrische Funktionen: Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f ( −x ) = f ( x ) .
Eine solche Funktion heisst gerade Funktion. Eine Polynomfunktion ist gerade, wenn nur gerade Exponenten vorkommen. Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn f ( −x ) = − f ( x ) .
Eine solche Funktion heisst ungerade. Eine Polynomfunktion ist ungerade, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen.
2/5
GF MA
Differentialrechnung
A2
Gebrochen rationale Funktion, Zähler- und Nennergrad: Eine Funktion der Art
y = f ( x) =
p( x) , q( x)
wobei p ( x ) und q ( x ) Polynome sind, heisst gebrochen rationale Funktion. Der Grad von p ( x ) heisst Zählergrad und der Grad von q ( x ) heisst Nennergrad.
Symmetrie bei gebrochen rationalen Funktionen: a) Ein Polynom ist gerade, das andere ungerade: Dann ist die Funktion ungerade (punktsymmetrischer Graph) b) Zähler- und Nennerpolynom sind beide gerade: Dann ist die Funktion gerade (achsensymmetrischer Graph) c) Wenn Zähler- und Nennerpolynom beide ungerade sind, dann dann kann man in Zähler und Nenner x ausklammern, also gleich wie bei b) Verhalten im Unendlichen, horizontale bzw. schräge Asymptoten: a) Wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad: Dann nähert sich der Funktionsgraph der x -Achse und diese ist horizontale Asymptote. b) Wenn Zählergrad und Nennergrad gleich sind: Dann hat der Graph eine horizontale Asymptote (in bestimmter Höhe) c) Wenn Z = N + 1 ( Z : Zählergrad / N : Nennergrad) Dann hat der Graph eine schräge Asymptote (Berechnung mit expand) Definitionsbereich, Polstellen, vertikale Asymptoten: Wenn das Nennerpolynom keine Nullstellen hat, dann gilt: 𝔻 = ℝ In den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die Funktion nicht definiert. Es entsteht also eine (oder mehrere) Definitionslücke(n). Eine solche Definitionslücke nennt man Polstelle. Zu jeder Polstelle gehört eine vertikale Asymptote. Einfache Nullstelle des Nennerpolynoms: Polstellen mit Vorzeichenwechsel Doppelte Nullstelle des Nennerpolynoms: Polstellen ohne Vorzeichenwechsel
3/5
GF MA
Differentialrechnung
A2
Übungen 1.
In welchem Bereich sind die Graphen der folgenden Funktionen streng monoton steigend? a) f ( x ) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 6
2.
b) f ( x ) = −
x3 + 2x 2 − 4x 3
Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat im Punkt P ( 2 /1) einen Sattelpunkt und schneidet die x -Achse im Punkt A ( 4 / 0 ) . Bestimme die Gleichung der Funktion.
3.
Wähle a so, dass der Graph der Funktion
f mit f ( x ) =
(
1 4 x − ax 2 2
)
bei x = 1 einen
Wendepunkt hat. Wo liegt der andere Wendepunkt? Bestimme weiter die Extremalstellen.
4.
Der Graph der Funktion f mit f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d geht durch die Punkte A ( −1 / 8 ) und
B ( 3 / 0 ) . Die Tangente an die Kurve im Punkt C (1 / ? ) hat die Gleichung t : y = −6x − 2 . Bestimme die Gleichung der Funktion.
5.
Wo und unter welchem Winkel schneidet der Graph der Funktion f mit f ( x ) = x ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 5 ) die x -Achse?
6.
Berechne die Schnittwinkel der Funktion f mit f ( x ) = x 2 und g mit g ( x ) = 2x + 3 .
7.
Bestimme von Hand die Nullstellen der folgenden Polynomfunktionen. a) f ( x ) = x ⋅ ( x − 5 )
2
c) f ( x ) = x 4 − 16
8.
b) f ( x ) = 4x 2 − 12x + 9 d) f ( x ) =
36x 2 + 24x + 4 2x − 1
Handelt es sich bei den folgenden Funktionen jeweils um eine gerade oder eine ungerade Funktion?
9.
a) f ( x ) =
1 4 x + 5x 2 − 2 3
1 b) f ( x ) = − x 3 + x − 1 2
c) f ( x ) =
x2 + 1 x
d) f ( x ) =
x3 + x ( x − 1)2
Bestimme von Hand die Gleichungen der schrägen Asymptoten des zu f ( x ) gehörenden Graphen. a) f ( x ) =
x2 + 1 x
b) f ( x ) =
4/5
−x 4 + x 3 + x 2 − x − 3 x3 + 1
GF MA 10.
Differentialrechnung
Bestimme die Gleichungen aller Asymptoten des zu f ( x ) gehörenden Graphen und gib gegebenenfalls die Schnittpunkte mit den Asymptoten an.
11.
a) f ( x ) =
x2 x +1
c) f ( x ) =
x 2 − 3x + 2 x 2 − 6x + 9
b) f ( x ) =
3x 3 + 4x 2 + 21x + 12 x2 + 3
Führe jeweils eine Kurvendiskussion mit den folgenden Punkten durch: - Definitionsmenge - Nullstellen - Symmetrie - Asymptoten - Extremalstellen (inkl. Punkte, Nachweise müssen erbracht werden) - Wendestellen (inkl. Punkte, Nachweise müssen erbracht werden) Versuche abschliessend den Graphen von Hand zu zeichnen. a) f ( x ) = x 3 − 3x b) f ( x ) =
12.
x 4 − 2x 2 + 1 4x 2
Gegeben ist die Funktion f ( x ) =
2bx ( b ∈! \ {0} ) x + b2 2
a) Bestimme den maximalen Definitionsbereich von f ( x ) . b) Berechne den Schnittpunkt des Graphen von f ( x ) mit der Asymptote. c) Bestimme Maxima und Minima des Graphen von f ( x ) in Abhängigkeit von b . d) In welchem Bereich ist der Graph von f ( x ) linksgekrümmt, falls b > 0 ?
