Statistik I

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der Messwerte; es ist ein geeignetes Lagemass f¨ ur Gr¨ossen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verh¨altnissen oder Wachstumsraten. Es wird auch als mittleres Wachstum bezeichnet und findet unter Anderen Anwendung in der Finanzwirtschaft, mittlere Verzinzung, oder in der Makro¨okonomie, mittleres Wachstum einer Population oder der erwerbslosen Bev¨olkerung. Sind die Wachstumsfaktoren x1 , . . . , xT (all diese Faktoren sind gr¨osser als Null!) gegeben, dann wird das geometrische Mittel wie folgt bestimmt: v uT uY 1 T x¯G = t xi = (x1 x2 . . . xn ) T (1) i=1

Anmerkung: In der Regel sind Best¨ande B0 , B1 , . . . , BT gegeben. Daraus m¨ ussen dann erst die T Wachstumsfaktoren bestimmt werden. Wie erh¨alt man (1)? Gegeben sei der Bestand einer Gr¨osse in der Basisperiode 0, dieser sei B0 . In der Folgeperiode steigt dieser Bestand um x1 auf B1 . Es gilt also B 1 = x 1 B0 . Als Wachstum von Periode 0 auf 1 erhalten wir den sogenannten Wachstumsfaktor x1 =

B1 B0

oder allgemein f¨ ur den t-ten Faktor, t = (1, . . . , T ). xt =

Bt . Bt−1

Analog gilt f¨ ur die Folgeperiode B2 = x 2 B1 = x 1 x 2 B0 . 2006, Malte Wissmann

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Statistik I Verallgemeinern wir das bis zur Periode T so erhalten wir BT =

T Y

x t B0 .

(2)

t=1

Dies beschreibt den Wachstumsprozess von Periode 0 bis Periode T. Das geometrische Wachstum ist dass konstante Wachstum, welches ben¨otigt wird um nach T Perioden von B0 auf BT zu kommen, also BT = x¯TG B0 .

(3)

Setzen wir (2) und (3) gleich und k¨ urzen B0 so erhalten wir x¯TG =

T Q t=1

xt .

Wenn wir dann noch die n-te Wurzel ziehen erhalten wir (1). Die Formel (1) kann noch vereinfacht werden, multiplizieren wir (1) mit 1 (= B0 /B0 ) so erhalten wir s T

x¯G =

T Q t=1

xt B0

B0

.

Der Z¨ahler ist damit gerade die Beziehung (2), was dann die wesentlich einfachere Formel r BT x¯G = T (4) B0 ergibt. Die mittlere Wachstumrate von Periode 0 auf Periode T ist dann rG = x¯G − 1.

(5)

Das kommt daher, dass (3) auch oft als die aus der Finanzmathematik bekannten Form Bn = (1 + rG )n B0 geschrieben wird.

2006, Malte Wissmann

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Statistik I Beispiel

Ein Guthaben B0 wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit f¨ unf Prozent verzinst. Welcher u ¨ber die drei Jahre konstanter Zinssatz r h¨atte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben? Guthaben B3 am Ende des dritten Jahres ist: B3 = (1 + 0.02)(1 + 0.07)(1 + 0.05)B0 = 1.02 ∗ 1.07 ∗ 1.05B0 Mit konstantem Zinsatz rG und zugeh¨origen Zinsfaktor 1 + rG ergibt sich am Ende ein Guthaben von B3 = (1 + rG )3 B0 Somit erhalten wir das geometrische Mittel als den konstanten Zinsfaktor 1

x¯G = (1 + rG ) = (1.02 ∗ 1.07 ∗ 1.05) 3 = 1.047. Das Kapital B0 wurde also u ¨ber 3 Jahre mit 4.7(1.047 − 1)% verzinst.

2006, Malte Wissmann

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Statistik I

Lorenzkurven

Auf http://www.zkb.ch/prospekte/studien/wachstum/pdf/gesellschaftl ausgewogenheit.pdf findet sich ein Papier zur gesellschaftlichen Ausgewogenheit. Dort finden sich Einkommensdaten, in USD, f¨ ur die Schweiz, Deutschland, Frankreich und den USA. Diese werden hier als empirisches Beispiel f¨ ur Lorenzkurven genutzt. Die erste Spalte zeigt den Anteil der Wohnbev¨olkerung, die n¨achsten Spalten zeigen das Gesamteinkommen in den Bev¨olkerungsklassen der jeweiligen L¨ander. Gemessen wurde dabei das durchschnittliche Haushaltseinkommen, das sind also Erwerbseinkommen, Transfereinkommen, jedoch nicht Verm¨ogenseinkommen, pro Monat. Anteil an der Wohnbev¨olkerung 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 P

CHE

GER

532 1045 1264 1512 1756 2015 2308 2652 3149 4776 21009

706 1075 1264 1483 1736 1995 2274 2602 3169 5134 21438

FR

USA

65 194 448 592 741 876 866 1199 990 1438 1169 1677 1348 2045 1552 2532 1930 3159 3035 7204 12144 20916

Schauen wir uns zu diesen Daten die Lorenzkurven an. Die durchgezogene Linie ist die Einkommensverteilung der Schweiz, die schwarzen Punkte stellen die deutsche Verteilung dar, die Quadrate die franz¨osische und die Dreiecke ist der amerikanische Einkommensverteilung.

2006, Malte Wissmann

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Statistik I

0.6 0.4 0.0

0.2

Anteil am Einkommen

0.8

1.0

Lorenzkurven zu Einkommensverteilungen

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Wohnbevölkerung

Zwischen Deutschland und der Schweiz sind kaum Unterschiede festzustellen. Frankreich ist in den unteren Einkommensklassen etwas ’ungleicher’, im Sinne von, die unteren Klassen verdienen weniger, als die Schweiz. Sie n¨ahert sich aber dann an die Verteilung der Schweiz an. Die USA liegt systematisch unter der Schweiz, hat damit also eine ’ungleichere’ Verteilung als Schweiz und die anderen europ¨aischen Staaten. Zum Beispiel haben in den USA 50% der Bev¨olkerung ca. 20% des monatlichen Einkommens w¨ahrend in der Schweiz 50% der Bev¨olkerung ca. 30% des monatlichen Einkommens bekommen.

2006, Malte Wissmann

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