Geometria Juan Pablo Pinasco Departamento de Matematicas FCEyN - UBA

2008

Geometria

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Qu´e es la geometr´ıa?

Ni idea

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Origen Se (dice que se) origina en la medici´ on de tierras, y en el c´alculo de vol´ umenes para el comercio. Se ocupa del estudio de: I

formas

I

tama˜ nos

Tambi´en le corresponder´ıa ocuparse del espacio (”Lo m´as grande es el espacio, ya que contiene todas las cosas”, Thales) Geometria

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Her´odoto, 440 a.C ”[El rey egipcio Sesotris (1300 aC)] dividi´ o el pa´ıs entre todos los egipcios d´andoles a cada uno un lote de terreno cuadrado igual, e hizo de esto la fuente de sus ingresos, fijando el pago de un impuesto anual. Y cualquier hombre al que le hubiera sido robado por el r´ıo de una parte de su tierra ir´ıa con Sesotris y declarar´ıa lo que le hab´ıa ocurrido; entonces el rey enviar´ıa hombres para verificar y medir el espacio por el cual la tierra hab´ıa disminuido, de modo que de ah´ı en adelante deber´ıa pagar el impuesto fijado en proporci´on a la p´erdida. De esto, a mi entender, aprendieron los griegos el arte de medir la tierra...”

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Arist´oteles, ∼ 350 a.C

”..las ciencias que no tienen como prop´ osito el placer o las necesidades de la vida fueron descubiertas primero en los lugares donde los hombres empezaron a tener ocio. Esto es el porqu´e las artes matem´aticas fueron fundadas en Egipto, ya que a la clase sacerdotal le estaba permitido estar ociosa.”

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(Por m´as Arist´oteles que sea, la matem´atica -y la geometr´ıa en particular- se ha ocupado siempre del placer o de las necesidades de la vida)

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Por ejemplo La geometr´ıa se ocup´o de:

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I

juegos

I

arte

I

viajes

I

astronom´ıa

I

ingenier´ıa

I

arquitectura Departamento de Matematicas FCEyN - UBA

Esto sugiere usos (tal vez) previos de los conocimientos geom´etricos I

juegos y arte

Nociones de simetr´ıa para patrones decorativos

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Blombos

[art´ıculo en vez de la imagen] [piedras paleol´ıtico]

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I

viajes y astronom´ıa

Noci´on de ”distancia ”: originalmente, no euclideana y medida en ”tiempo ” Nociones de ´angulos, perpendicularidad, etc. (relojes de sol desde el 3500 aC) Nociones de patrones y formas, y su evoluci´ on (clima, caza: primeros pron´osticos, rastros de pisadas de animales)

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I

ingenier´ıa y arquitectura

Problema de Dido (la fundaci´ on de C´artago, 814 aC), formas de carpas, chozas y poblados, puntas de lanzas y flechas...

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Estas aplicaciones siguen influyendo en la geometr´ıa a´ un hoy d´ıa

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Problema: Hist´oricamente, todo problema calificado como geom´etrico, tarde o temprano cae en las manos del ´algebra o el an´alisis

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I

resoluci´on de ecuaciones (´algebra)

I

´areas y vol´ umenes (c´alculo integral)

I

tangentes (c´alculo diferencial)

I

geometr´ıa euclideana (´algebra lineal)

I

geometr´ıas no euclideanas (geometr´ıa diferencial)

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Parte I La geometr´ıa griega

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Thales, 624-546 a.C. Se lo conoce por su teorema y los resultados de semejanza de tri´angulos.

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I

Los ´angulos opuestos por el v´ertice son congruentes.

I

Dadas dos paralelas y una transversal, los ´angulos alternos internos son congruentes.

I

Un di´ametro divide a un circulo en dos partes iguales.

I

Los ´angulos de la base de un triangulo is´ osceles son congruentes.

I

Un ´angulo inscripto en una semicircunferencia es un ´angulo recto.

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Thales/1

Angulos opuestos por el v´ertice [figura, una X] Rotar la figura 180◦ .

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Thales/2

Angulos alternos internos entre paralelas [figura]

Deslizar una paralela sobre la otra, desplaz´andola a lo largo de la transversal, hasta hacer coincidir los dos cruces. Los ´angulos marcados se transformar´ıan en ´angulos opuestos por el v´ertice, y el primer teorema nos garantizar´ıa la congruencia.

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Thales/3

Un di´ametro divide a un circulo en dos partes iguales

Simetr´ıa (rotaci´on o reflexi´ on, a gusto).

¿Se conoc´ıa antes? Virgilio (70-19 a.C.) habla del problema de Dido despu´es de Thales.

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Thales/4

Los ´angulos de la base de un triangulo is´ osceles son congruentes

Pons Asinorum.

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Thales/5

Un ´angulo inscripto en una semicircunferencia es un ´angulo recto Sale con el anterior, o por semejanza de tri´angulos (en ambos casos, se usa que la suma de los ´angulos de un tri´angulo es π).

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Pit´agoras, 572-490 a.C.

Ya hablamos de ´el:

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I

Importancia del n´ umero.

I

La suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es π.

I

Teorema de Pit´agoras.

I

Irracionales.

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Parte II La formalizaci´on Eucl´ıdea

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Geometr´ıa eucl´ıdea

Se basa en un sistema axiom´atico, donde se aclaran de entrada las reglas de juego (v´ıa definiciones, postulados, y nociones comunes) Si bien los axiomas est´an inspirados en la realidad, no est´a permitido utilizarla para justificar nada Se cambia La u ´nica verdad es la realidad por La u ´nica verdad es la que se deduce l´ogicamente

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Definiciones

Son bastante tramposas; sirven para fijar los nombres de las ideas primitivas que necesita (punto, recta, plano, n´ umero) Define (=pone nombre) a ciertos objetos distinguidos (tri´angulo, cuadril´atero, divisor) Parad´ojicamente, define los t´erminos oblongo, rombo, romboide... pero no los usa! Y utiliza paralelogramo pero jam´as lo define.

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Postulados 1. Por dos puntos puede trazarse una recta 2. Una recta dada puede extenderse indefinidamente 3. Dado un centro y un radio puede trazarse un c´ırculo 4. Todos los ´angulos rectos son congruentes a uno dado 5. Si dos l´ıneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ´angulos interiores en un lado es menor de dos ´angulos rectos, entonces las dos l´ıneas deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente. (hay distintas versiones del u ´ltimo)

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Axiomas impl´ıcitos

La recta y el c´ırculo no tienen ”huecos”

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I

Si un punto de una recta est´a en el interior de un c´ırculo, y otro est´a en el exterior, entonces se intersecan

I

Dos c´ırculos cuyos centros est´an a menor distancia que la suma de sus radios se intersecan

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Regla y comp´as

Las u ´nicas herramientas permitidas son la regla y el comp´as Se deben entender ambos como una cuerda

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Nociones comunes

1. Cosas iguales a una misma son iguales entre s´ı 2. Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales 3. Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales 4. Cosas coincidentes son iguales entre s´ı [Euclides utiliza idistintamente iguales, congruentes, o equivalentes] 5. El todo es mayor que la parte

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Nociones comunes

Seg´ un la edici´on, hay m´as nociones comunes. Clavius, en dos ediciones (1574 y 1603) incluye primero 19 y luego 20

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Geometr´ıa eucl´ıdea El uso de coincidir es interesante Argumentos de simetr´ıa (rotaciones, reflexiones) no est´an permitidos, ni las translaciones No hay una noci´on permitida de movimiento Esto se reemplaza por construcciones Es est´atica y atemporal

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Ejemplo Se ve en las primeras proposiciones:

Proposici´on I.2: Se puede trazar un segmento igual a uno dado por un punto dado.

Proposici´on I.8: Si dos tri´angulos tienen dos lados iguales y tienen las bases iguales, tendr´an tambi´en iguales los ´angulos comprendidos por los lados iguales. Estos resultados permiten ’mover’ segmentos o ´angulos Geometria

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Importancia

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I

Es el cuerpo te´orico m´as antiguo que permanece vigente en la ciencia

I

Modelo universal de rigor (pese a detalles menores)

I

Ejemplo modelo para construir otras ramas de la matem´atica

I

Pasar´ıan 20 siglos antes de que se cuestionara la validez absoluta de los postulados (el 5to)

I

Pasar´ıan 22 siglos antes de que se cuestionara la validez absoluta de las nociones comunes (la 5ta)

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Paradojas

-No sabemos nada de su autor -Hace un par de a˜ nos, fue dejado de lado en una lista de los 25 libros de ciencia m´as importantes (fue el m´as sugerido por el p´ ublico en los comentarios al art´ıculo) -Se pueden recibir de matem´aticos sin haberlo le´ıdo o estudiado en serio jam´as

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Un ejemplo

Demostraci´on del Pons Asinorum (Arist´ oteles). Traza un c´ırculo con centro en el v´ertice opuesto a la base, y radio igual a la longitud de los lados que son iguales. Estos forman ´angulos iguales con la circunferencia. La base (una cuerda) tambi´en forma ´angulos iguales, y por lo tanto, los ´angulos en la base del tri´angulo son iguales.

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Un ejemplo

Demostraci´on del Pons Asinorum (Euclides, I.5). Prolonga los lados que son iguales una misma longitud. (ABZ, ACY). Utiliza I.4 (dos triang. con un par de lados iguales y los ´angulos comprendidos entre estos congruentes, tienen el tercer lado igual y los otros dos ´angulos congruentes. Aplica nuevamente I.4 a los tri´angulos BCY, BCZ y se demuestra a partir de los ´angulos en com´ un.

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Curiosidad

Es una demostraci´on cercana a la de Arist´ oteles. Se puede simplificar pensando en los tri´angulos BAC y CAB ! Es equivalente al postulado 4, aceptando que se pueda trasladar un ´angulo a una recta dada.

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Parte III Tama˜no

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Area y volumen Son las nociones m´as simpes que se nos ocurren. En los Elementos no aparecen con recetas pr´acticas para calcularlas Los m´etodos se pueden considerar parte de la prehistoria del c´alculo:

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I

Exhausi´on (Eudoxo, Arqu´ımedes)

I

Indivisibles (Kepler, Cavalieri...)

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Dimensi´on Es otra noci´on asociada a la de tama˜ no tama˜ no, mucho m´as esquiva de definir Hay nociones espec´ıficas en

Geometria

I

geometr´ıa

I

´algebra

I

an´alisis

I

topolog´ıa

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S´ocrates / Plat´on

Raz´on de cambio de longitudes y ´areas ante cambios de escala

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Aristoteles

El Cielo:

La l´ınea tiene una magnitud, el plano dos y el s´ olido tres. Y m´as all´a de esas tres no hay ninguna otra magnitud, porque ellas lo llenan todo.

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Descartes

En La Geometr´ıa (1637) habla de ”s´ olidos, supers´ olidos, etc´etera” Con la geometr´ıa anal´ıtica, se asocia dimensi´ on a la cantidad de coordenadas necesarias

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Wallis

En su Algebra de (1665) afirma que un espacio con m´as de tres dimensiones era un monstruo de la naturaleza, menos posible que una quimera o un centauro

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Moebius

Der barycentrische Calcul (1827) Figuras geom´etricas que no pueden superponerse en R3 por ser im´agenes especulares una de otra, s´ı podr´ıan superponerse en cuatro dimensiones, pero sin embargo, como tal espacio no puede ser pensado, la superposici´on es imposible

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Grassman

En Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (1844) Introduce espacios vectoriales de dimensi´ on arbitraria

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Como dijo Bourbaki ” y despu´es los vulgarizadores que toman de Hamilton y Grassman lo que se ha llamado el ’c´alculo vectorial’” Distintos problemas f´ısicos sugieren espacios de dimensiones mayores. As´ı como la geometr´ıa cartesiana introduce tres coordenadas para una part´ıcula, la mec´anica le asocia ahora seis (tres de posici´on, tres de velocidad) Y si son m´as part´ıculas, seis por cada una.

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Dimensiones fractales

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I

Cantor (1845-1918): crisis de la noci´ on de dimensi´on asociada a la de coordenada

I

Peano (1858-1932): curvas unidimensionales que llenan un cuadrado

I

Koch (1870-1924), Sierpinski (1882-1969), Julia (1893-1978): primeros fractales

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Dimensiones fractales

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I

Hausdorff (1868-1942) y Minkowski (1864-1909): dimensiones y cambios de escala

I

Mandelbrot: popularizaci´ on

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