TEMA 8.- TÉCNICAS

DE DERIVACIÓN.

2° 8ACH(CN)

TEMA 8.- TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

8.1.-

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Definición Se define tangente límite.

la

derivada de una función en un punto como la pendiente

a la curva Se trata

hasta llegar

en ese punto.

de ir calculando

Para calcular

rectas secantes

este valor

es necesario

utilizar

a una curva con intervalos

de la recta

el concepto

de

cada vez menores,

a la recta tangente:

f'(xo)

Si existe

h

h--+o

f es derivable

se dice que

f'(xo},

= lim f(xo + h) - f(xo)

en Xo

InterDretación aeométrica

y f(xO+h) f(xO+h)-f(xO) ","'"

~ecta

tangente por f(xO)

.~

f'(xO)=tgo:

f(xO) tl

xO

xO+h

Recta tanaente a una curva en un Dunto dado Para calcular calcular

la derivada

luego imponer

la recta

tangente

de la función

la condición

r:y=mx+n,

a una curva

en el punto

en un punto

concreto

(que será la pendiente

tan sólo

habrá

de la recta tangente)

que y

de que la recta pase por el punto.

donde

m=f'(xo}

y para calcular

n hacemos

Yo =f(xo}

1/8 DAVID RIVIER

SANZ

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Derivadas laterales. Derivabilidad

Igual tendremos

para ver si una función es derivable

que con los límites, que ver si existen

la derivada

lateral por la derecha,

en un punto

la derivada

lateral por la

izquierda y si son iguales, en ese cado existirá la derivada y su valor será en mismo que el de las derivada laterales. Se define la derivada lateral por la izquierda de una función en un punto como:

f'(xo -) = lim f(xo h-+O-

+ h) - f(xo) h

Se define la derivada lateral por la derecha de una función en un punto como:

f'(xo +) = lim f(xo h-+O+

Gráficamente

+ h) - f(xo) h

las derivadas laterales serán distintas cuando en ese punto la gráfica de

la función haga un "pico"; y serán iguales (y por tanto la función será derivable en ese punto) cuando la función sea "suave",

Derivabilidad v continuidad Si una función es derivable en un punto entonces es continua en ese punto.

Observación:

Esto implica

que cuando

una función

no sea continua

en un punto

entonces tampoco podrá ser derivable.

Casi todas logaritmos,

las funciones

elementales

raíces, exponenciales,

cuando estudiemos

la derivabilidad

son derivables

trigonométricas de una función

en sus dominios:

(sólo seno y coseno), tendremos

que seguir

polinomios,

etc.

Por tanto

los siguientes

pasos:

10- Calcular el dominio 20- Estudiar la continuidad

(en los puntos donde se anula el denominador

o la función es

definida a trozos). 30- Estudiar la derivabilidad

en los siguientes puntos:

o En los del apartado anterior donde la función es continua o En los puntos donde cambie

la función

con forma de pico por estar en valor

absoluto.

2/8 DAVID RIVIER

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8.2. FUNCIÓN DERIVADA.

función derivada de f a una función

Se llama derivada punto.

f en ese punto,

de

A la derivad

f'(x),

es decir,

f la llamaremos

de

f'

que asocia a cada abscisa,

la pendiente

o bien

= f'(x)

Df(x)

f'

calcular

es derivable

en todos

la

en ese

Df:

= lim f(x + h) - f(x) h

h-->o

Si una función

y = f(x)

de la curva

x,

los puntos

de un intervalo,

entonces

podremos

función derivada (f').

la

Igualmente,

si

f' es derivable

en un intervalo

se podrá volver

a derivar,

hallando

así la

función segunda derivada (f")·

Se puede sea continua) a un punto hacerlo

calcular

la función

sin necesidad genérico

de un función

de ir haciéndolo

de la función

con la función

derivada

punto

y se obtiene

(f(x)=x)

identidad

en todo

por punto.

otra función,

y con la función

su dominio

(siempre

Para ello se aplica

la definición

que será la derivada. cuadrática

(f(x)=x2)

que

Vamos

a

para ver

el procedimiento:

i)

Si f(x)

Luego,

ii)

si

Ahora

f(x)=x2 .

= x => f'(x)

f(x)

2xh+h2

11m--h~o

Luego si

h

f(x)

h~o

= x entonces

lo hacemos

=>

= lim f(x

f'(x) .

con

f'(x)

f(x)

= lim f(x+h)h~o

h(2x-h)

= 11m-----'h~O h

=

x2

=

entonces

h

+ h) - f(x) = lim (x + h) - x = lim!!.- = lim 1 = 1 h

h

h~o

h~O

h

h~o

= 1.

x2

:

f(x)

= lim (x+h)2 h~o

h

_x2 = lim (x2 +2xh+h2)-x2 h~O h

.

= 11m 2x - h = 2x h~O

f'(x)

= 2x.

3/8 DAVID RIVIER

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DE DERIVACIÓN.

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Podríamos ir calculando la función derivada de cada función con la definición, mucho más rápido fiarnos de los resultados

que otros matemáticos

pero es

que han demostrado

que se pueden encontrar en tablas de derivadas como la que a continuación

y

os propongo:

Derivadas de las funciones elementales

]

= Znx

Xgx= ZogaX (x) = tgx

Tipo de función x·ZnaX cos2 2x +x x ]-x

]

-¡ hib-

f(x) = cos x Derivada = karccos xeX = =cte. f'f'(x) (f(x) x)+=-r; f(x) ==f'(x) === aX ·Zna Expresión f(x) f(x) x-l Ox f'(x) f(x) -senx f'(x) = cosx = ]F'(x)=l tg2 xxn = f' (x)f(x)=k, n· xn-l = f'(x) f'(X)=~ f'(x) = f'(x) = f'(x) = ~ f(x)=ex x

f'(x)

=

i

Tabla 1

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DE DERIVACIÓN.

8.3. DERIVADAS DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES.

f'

f g2 f·g Derivada Operaciónfg ·Znf·g'+g·fg-l Expresión f'·g-f·g' f'.g+ f f+g .g'g'(x) f'(g(x))· fg f'+g' f( g(x)) Exponencia 1-potencia I

.

g

Tabla 2 Aplicando

la regla de la cadena

] ·UTipo de función

cas U u2 u·Zna x =-·U = Znu , 2 2¡;; +u I, ]-u v(x) sonPotencia funciones )= Zagau = tgu /

(tabla

b

2) y los resultados

]

f(x) = casu u' f(x)=un ===a" Expresión f(x) u-l casu· u'u/ f'(x) == -senu· f'(x)=eu·u' f(x) arccasu f'(x) (1Derivada +tg2u) n·un-l ·u' ·u/ f'(x) f'(x) = f'(x) f'() -]·Zna·u' ,= f'(x)=~ f'(x) f'(x) ~ f(x) == =Ue"

de la tabla

1, obtenemos:

f'(x)=-·u' f'(x)

=i.u'

Tabla 3

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DE DERIVACIÓN.

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Ejercicios: Deriva las siguientes funciones.

1 1. f(X)=(X5_x2+3Y e

2. f(x)=-

3. f(x)

-2x

4 =ln 1+xx) (1_1)'(X2 -2)J

4. f(x)=lnl(x2

8.4.

ESTUDIO

DE

LA

DERIVABILIDAD

UTILIZANDO

LAS

REGLAS

DE

DERIVACIÓN.

En ocasiones se puede estudiar la derivabilidad

de una función en un punto estudiando

las funciones derivadas laterales. Estos casos ocurren cuando la función está definida a trozos (o en valor absoluto):

se calculan las funciones

derivadas

a ambos lados del punto y se

estudia si la función derivada es continua en ese punto.

si x < 2 ~

Ejemplo:

Estudiar la derivabilidad

Primero estudiamos la continuidad:

de la función

lim(3x-2)=

3x-2 f(x) = {x2 lim x2 =4=f(x),

x--+2+

x--+T

six

¿2

luego la función es

continua en x = 2 (si no lo fuera, tampoco sería derivable).

si x < 2 Hacemos la derivada:

1'( x)

= {2X 3

six

¿2 f'(r);/;

1'(2+ )

por tanto la función no es derivable.

~

Eiemplo: Calcula m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1 :

si x ::;1 _ x 2 +nx f(X)={x2-sx+m

En primer lugar tiene que ser continua

si x> 1

lim (- x2 + nx)= n -1 = m - 4 = x--+] li~ (x2 - 5x + m)

x--+]+

de donde sacamos n -1 = m - 4 . En segundo lugar f'(x)

=

-2x+n {2X

-5

si x ::; 1 . ,F(r)=-3yF(r)=n-2 Sl x> 1

Luego se tienen que cumplir las condiciones saca que n =

-1

Y m = 2. Además

n -1 = m - 4 Y - 3 = n - 2, de donde se

F( 1) = -3

. 6/8

DAVID RIVIER

SANZ

TEMA 8.- TÉCNICAS

8.5.

DE DERIVACIÓN.

2° BACH(CN)

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA.

Se define

la función

inversa

(mediante

la composición)

de una función

f como la

función que al componerla con ella resulta la función identidad, es decir: f-1

of=ld

y fof-l

(o también

=ld

Por ejemplo, la exponencial

f-1(f(x))

= x y f(¡-l(x))=x)

es la inversa del logaritmo

El arcsenx es la inversa del senx. La raíz cuadrada es la inversa de la potencial

x2

Utilizando la regla de la cadena, la derivada de la función inversa se calcula así:

(x )))'

(¡(f-I

= f'(f-l

Gráficamente numéricamente"

>-

(x))·

(¡-J) (x) = 1

la recta tangente

(¡-I)' (x)

luego

1

=

a la función inversa debe tener la pendiente "inversa

a la pendiente de la función original.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función f(x)

= arcsenx en el punto x = 1/2.

8.6. OTRAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN.

A) DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

Recordemos encontramos

que podemos

con funciones

expresar

definidas

una función

implícitamente,

así:

y = f(x).

En ocasiones

unas veces se podrá despejar

nos pero

otras no.

= O, en realidad es la función y = x2 ( f(x)

Por ejemplo, la función y_x2 Pero la función explícita),

y3 -7X2

= x2).

+ 5y2 X + 17 = O no se puede despejar (expresarlas

de forma

en estos casos podremos aplicar la derivada de la función implícita: 3y2 . y'-14x

entonces sacamos factor común a y'(3y2

+ 10y' y'·x + 5y2 = O

y'

+ 10y' x) = 14x - 5y2

y entonces

,

y=

14x-5y

2

3y2 +10y.x

7/8 DAVID RIVIER SANZ

TEMA 8.- TÉCNICAS

DE DERIVACIÓN.

B) DERIVACIÓN

En ocasiones, notablemente

luego

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LOGARÍTMICA

tomando

logaritmos

sus propiedades,

se simplifica

el cálculo de la derivada de una función.

Por ejemplo, la función f(x)

=

In(f(x))=ln(xX)

ln( f(x))

f'(x)

y aprovechando

= (lpx + 1)· f(x)

XX

,

si aplicamos logaritmos:

es decir

= xln(x)

f'(x)

al derivar ambas

1 1'( f(x) x)

= In x

+x .x

= (lnx + 1)· xx.

8/8 DAVID RIVIER

SANZ

fD~

f 1 ]3mx-mx2

X-7] lím

-

en x = 1, dehe ser




1

2x2

1 - -? ]-4Xx-

..

> si x < Sl X

1 ~

.1' O +) =

f

no ~s derivabJe en x = 1 si m = 2.

-1

1 ~ .1'0-) = -4 )

4:- Puntos de derivada nula Halla los puntos en los que se anula la derivada de la curva: x2 + y2

+

6x -2y

-15 = O

Derivamos

en forma implícita:

.

2x+2V)"+(J-21"=O

~

......

Iguabmos

~

-6-2x )"=---

2)'-2

a O la derivada:

)" = O ~

Calculamos

(2)'-2))"=-6-2.Y

-6 -

2x =

las ordenadas

9+v--1R-2)'-15=O . o ....)

O ~

.Y

= -3

correspondientes

~

v--2v-2 )

a

:x:

= -3:

4

=0