5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] → R stetig. Ist f (a) < 0 und f (b) > 0, so existiert ein x0 ∈]a, b[ mit f (x0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis. Bisektionsverfahren: Wir konstruieren eine Folge von Intervallen [a k , bk ], k = 1, 2, . . . mit f (ak ) ≤ 0, f (bk ) ≥ 0

und bk − ak =

b−a . 2k

(1)

Dazu setze: a0 = a, b0 = b. Seien ak , bk konstruiert. Setze xk = (ak + bk )/2. Ist f (xk ) ≤ 0, so setze ak+1 = xk , bk+1 = bk . Ist f (xk ) > 0, so setze ak+1 = ak , bk+1 = xk . Diese Folge hat gew¨ unschte Eigenschaften. Eventuell treffen wir durch Zufall eine Nullstelle. Ansonsten ak monoton wachsend und beschr¨ankt ⇒ {a k } habe Grenzwert a ˜ ˜ bk monoton fallend und beschr¨ankt ⇒ {b k } habe Grenzwert b Wegen (1) a ˜ = ˜b =: x0 . Wegen Stetigkeit von f und Stabilit¨at des Grenzwertes  f (x0 ) = lim f (ak ) ≤ 0 ⇒ f (x0 ) = 0 f (x0 ) = lim f (bk ) ≥ 0 C 5.11 Folgerung (Zwischenwertsatz). Es sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an. Beweis. Sei etwa f (a) < f (b) und f (a) < c < f (b). Definiere g : [a, b] → R durch g(x) = f (x)−c. Dann g(a) < 0, g(b) > 0. Nach 5.13 existiert x 0 mit g(x0 ) = 0, also f (x0 ) = c. Ist f (a) > f (b) und f (a) > c > f (b), so betrachte g(x) = c − f (x). C 5.12 Folgerung. Es sei I ∈ R irgendein Intervall, f : I → R stetig. Dann ist das Bild f (I) ein Intervall. Bemerkung: Der Intervalltyp (offen, abgeschlossen, beschr¨ankt) muss nicht erhalten bleiben. Der folgende Satz ist sehr n¨ utzlich: 5.13 Satz. Es sei f : [a, b] → R stetig und streng monoton wachsend (d. h. f (x 1 ) > f (x2 ) f¨ ur x1 > x2 , x1 , x2 ∈ [a, b]). Setze A = f (a), B = f (b). Dann ist f : [a, b] → [A, B]

bijektiv,

hat also eine Umkehrfunktion F : [A, B] → [a, b] und diese ist stetig und streng monoton wachsend. (Analog f¨ ur monoton fallende Funktionen.) 5.14 Folgerung. F¨ ur k ∈ N, k ≥ 2 ist die Abbildung x 7→ xk : R≥0 → R≥0 stetig und streng monoton wachsend. Man sieht leicht, dass sie bijektiv ist. Da (nach Definition) √ √ die k-te Wurzel die eindeutig bestimmte Zahl mit ( k x)k = x ist, ist x 7→ k x die Umkehrfunktion. Nach 5.13 (angewendet auf Intervalle [a, b] = [0, n] und [A, B] = [0, N k ]) ist sie also stetig und streng monoton wachsend. 28

5.15 Bemerkung. Ist k ∈ N ungerade, so ist x k : R → R streng monoton, bijektiv und stetig, √ also existiert die Umkehrfunktion F (y) = k y. 5.16 Satz. exp : R → R ist stetig, streng monoton wachsend und bildet R bijektiv auf R + ab. Die Umkehrfunktion wird als nat¨ urlicher Logarithmus bezeichnet ln : R+ → R. Sie ist streng monoton wachsend und stetig. Aus e u ev = eu+v folgt ln(xy) = ln x + ln y,

x, y ∈ R+ .

(1)

5.17 Definition und Satz. F¨ ur a ∈ R+ und x ∈ R setze ax := exp(x ln a). Dann ist x 7→ ax eine stetige Funktion von R nach R+ . (a) (b) (c) (d) (e) (f)

ax ay = ax+y ∀x, y ∈ R (ax )y = axy a > 0, x, y ∈ R ax bx = (ab)x a, b > 0, x ∈ R ap = a · . . . · a, a−p = a−1 · . . . · a−1 (p-mal, p ∈ N) √ ap/q = q ap p ∈ Z, q ∈ N limx→0 ax = 1, d. h. f¨ ur jede Folge xn → 0 mit xn 6= 0 f¨ ur alle n gilt axn → 1.

Bemerkung: (d) und (e) zeigen, dass wir eine sinnvolle Erweiterung der bisherigen Definition gew¨ahlt haben. ¨ Das folgende Lemma wird in der Ubung bewiesen. 5.18 Lemma und Definition. Die cos-Funktion hat auf [0, 2] genau eine Nullstelle. Sie wird mit π/2 bezeichnet. Die sin-Funktion ist auf ]0, 2] positiv. 5.19 Folgerungen. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

3

eiπ/2 = i, eiπ = −1, ei 2 π = −i, e2πi = 1 cos(x + 2π) = cos x, sin(x + 2π) = sin x 2π-periodisch“ ” cos(x + π) = − cos x, sin(x + π) = − sin x cos( π2 − x) = sin x, sin( π2 − x) = cos x {x ∈ R : sin x = 0} = {kπ : k ∈ Z} {x ∈ R : cos x = 0} = {π/2 + kπ : k ∈ Z} ix e = 1 ⇔ x = 2kπ f¨ ur ein k ∈ Z

Beweis. (a)

cos2 π2 + sin2 mit 4.18(b).

π 2

5.18

= |eiπ/2 | = 1 ⇒ sin π2 = 1 ⇒ eiπ/2 = cos π2 + i sin π2 = 0 + i · 1 = i. Rest

Rest ¨ahnlich.

C

29

5.20 Definition. Tangens, Cotangens tan x = cot x =

sin x cos x cos x sin x

x∈R\{

π + kπ : k ∈ Z} 2

x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}

5.21 Inverse trigonometrische Funktionen. (a)

cos : [0, π] → [−1, 1] ist stetig und streng monoton fallend mit cos 0 = 1 und cos π = −1. Nach 5.13 existiert stetige Umkehrfunktion arccos“ ” arccos : [−1, 1] → [0, π].

(b)

sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1] ist stetig, streng monoton wachsend und bijektiv. Nach 5.13 existiert eine stetige Umkehrfunktion arcsin“ ” arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].

(c)

tan : ] − π/2, π/2[ → R ist stetig, streng monoton wachsend und bijektiv. Nach 5.13 (mit den Zusatz¨ uberlegungen aus den Beweisen von 5.14 und 5.16) existiert eine stetige Umkehrfunktion arctan“ ” arctan : R → ] − π/2, π/2[.

5.22 Satz (Polardarstellung komplexer Zahlen). Jedes z ∈ C l¨asst sich in der Form z = reiϕ schreiben, wobei r = |z| und ϕ ∈ R ist. F¨ ur z 6= 0 ist ϕ bis auf ein Vielfaches von 2π bestimmt. Man nennt ϕ das Argument von z. Beweis. (i) Ist z = 0, so ist z = 0 · eiϕ , ϕ beliebig. (ii) Also sei z 6= 0. Setze r = |z|, ζ = z/|z| ∈ C. Schreibe ζ = ξ + iη mit ξ, η ∈ R. Es ist |ζ| = 1, also |ξ| ≤ 1. Daher existiert α = arccos √ ξ ∈ [0, π]. 2 2 Wegen sin α + cos α = 1 folgt sin α = ± 1 − cos2 α = ±η. Setze ϕ = α, falls sin α = η und ϕ = −α, falls sin α = −η. Dann gilt cos ϕ = ξ, sin ϕ = η also e z = reiϕ . (Eindeutigkeit) Ist z 6= 0 und z = reiϕ = reiψ , so ist ei(ϕ−ψ) = 1, also ϕ − ψ ∈ {2kπ : k ∈ Z nach 5.19(f )}. C 5.23 Bemerkung. Der obige Beweis zeigt insbesondere, dass die Abbildung eix : ] − π, π] → {z ∈ C : |z| = 1} e

ix

bzw.

: [0, 2π[ → {z ∈ C : |z| = 1}

bijektiv ist. 5.24 Bemerkung (Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen). z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 ⇒ z1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) Betr¨age multiplizieren sich, die Argumente addieren sich. 30

5.25 Satz: n-te Einheitswurzeln. Sei n ∈ N, n ≥ 2. Dann hat die Gleichung z n = 1 in C genau n verschiedene L¨osungen, n¨amlich zj = ei2πj/n

j = 0, . . . , n − 1.

(1)

Beweis. Offensichtlich gilt zjn = ei2πj = 1. Die zj sind paarweise verschieden nach 5.19(f). Umgekehrt sei z ∈ C und z n = 1. Schreibe z = reiϕ . Es folgt r n einϕ = 1. Es folgt r = 1 und nϕ ∈ {2kπ : k ∈ Z}, also ϕ ∈ {2kπ/n : k ∈ Z}. Wegen e i2kπ = 1 liefert dies genau (1). C 5.26 Satz. Es sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f sein Maximum und sein Minimum an. Wichtig: Stetige reellwertige Funktion, endliches, abgeschlossenes Intervall. Sonst i. Allg. falsch.

Beweis. 1. Schritt: f ist beschr¨ankt. Annahme: Es existiert eine Folge (t k ) in [a, b] mit |f (tk )| → ∞ (*). Nach Bolzano-Weieerstraß hat (t k ) eine konvergente Teilfolgen (tkl ) mit tkl → t0 ∈ [a, b] nach 3.10. Da |f | stetig ist, konvergiert |f (t kl )| gegen |f (t0 )| – Widerspruch zu (*). 2. Schritt: Also existiert ein M = sup{f (t) : t ∈ [a, b]}. Nach der Definition des Supremums existiert eine Folge (tk ) in [a, b] mit f (tk ) → M. Nach Bolzano-Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge (t kj ) mit tkj → t0 in [a, b]. Da f stetig ist, folgt M = lim f (tk ) = lim f (tkj ) = f (lim tkj ) = f (t0 ). k→∞

j→∞

Mit tmax := t0 folgt die Behauptung. F¨ ur Minimum analog.

31

C

6

Differentialrechnung in R

Im Folgenden sei D ⊆ R ein Intervall (offen, abgeschlossen, . . .) mit mehr als einem Punkt und f : D → K (K = R oder K = C) eine Funktion. 6.1 Definition. Wir sagen, f sei in t0 ∈ D differenzierbar (db), falls lim

t→t0

f (t) − f (t0 ) =: f 0 (t0 ) ∈ K. t − t0

(1)

(Ableitung von f an der Stelle t0 ) existiert. Die Schreibweise limt→t0 . . . soll heißen, dass f¨ ur jede Folge (tk ) mit tk → t0 gilt f (tk ) − f (t0 ) lim =: f 0 (t0 ) ∈ K. k→∞ t − t0 Der Ausdruck ist nat¨ urlich nur dann sinnvoll, wenn tk ∈ D und tk 6= t0 f¨ ur alle k. Das wollen wir stillschweigend voraussetzen. ¨ Aquivalent zu (1) kann man schreiben f (t0 + h) − f (t0 ) , h→0 h

f 0 (t0 ) = lim

wobei hier Folgen (hk ) mit t0 + hk ∈ D, hk 6= 0 betrachtet werden. Die Funktion f heißt von rechts (bzw. von links) differenzierbar, falls man sich auf Folgen mit tk > t0 (bzw. tk < t0 ) beschr¨ankt. Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls sie in jedem t 0 ∈ D differenzierbar ist. ¨ 6.2 Satz. Aquivalent sind (a) (b)

f ist in t0 differenzierbar. f l¨asst sich in t0 linearisieren: Es gibt eine (von t0 abh¨angige Funktion) ϕ : D → K (ϕ = Fehler) mit der Eigenschaft, dass f (t) = f (t0 ) + c(t − t0 ) + ϕ(t)

(1)

f¨ ur ein geeignetes c ∈ K und lim

t→t0

ϕ(t) = 0, t − t0

d.h. die Gerade t 7→ f (t0 ) + c(t − t0 ) n¨ahert die Funktion f in der N¨ahe von t0 besser als linear. In diesem Fall ist c = f 0 (t0 ) und limt→t0 ϕ(t) = 0. Beweis. (a) ⇒ (b) Wir definieren c = f 0 (t0 ) und ϕ(t) durch (1). Dann gilt f (t) − f (t0 ) ϕ(t) = − f 0 (t0 ) → 0. t − t0 t − t0 (b) ⇒ (a) ϕ(t) f (t) − f (t0 ) =c− → c. t − t0 t − t0 Also ist f differenzierbar und f 0 (t0 ) = c.

C 30