Funktionsbegriff Differenzialrechnung Anwendungen

Funktionen mehrerer Variabler Fakult¨at Grundlagen

Juli 2015

Fakult¨ at Grundlagen

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionsbegriff Differenzialrechnung Anwendungen

¨ Ubersicht 1

Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte

2

Differenzialrechnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

3

Anwendungen Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen Fakult¨ at Grundlagen

Funktionen mehrerer Variabler

Folie: 2

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Beispiele Darstellung Schnitte

Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen h¨angen h¨aufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Temperatur h¨angt von der Stelle im Raum ab: T = T (x, y , z), oder Temperatur h¨angt von der Stelle im Raum und von der Zeit ab: T = T (x, y , z, t). Darstellung durch eine Tabelle (Messwerte): x y z T

0 0 0 20,9◦

1 0 0 20,8◦

0 1 1 21◦

1 4 4 21,7◦

10 2 4 21,5◦

T = T (x, y , z).

Anhand der Tabelle kann man etwa eine W¨armequelle ermitteln. Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 3

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Beispiele Darstellung Schnitte

Beispiel: Landschaft H¨ohe z des Gel¨andes u ¨ber dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y ). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte f¨ ur die graphische Darstellung. Es entspricht: (x|y )

einem Punkt auf der Landkarte,

z

der H¨ ohe u ¨ber NN,

der Graph der Funktion h(x, y )

der Erdoberfl¨ache.

Man spricht auch von einem Funktionsgebirge“. ” Bei dieser Sprechweise ist aber zu beachten: Der Graph der Funktion ist nur die Oberfl¨ ache des Gebirges. Wir werden daher auch die Bezeichnung Gebirgsfl¨ache“ gebrauchen. ” Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 4

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Beispiele Darstellung Schnitte

Veranschaulichung von Funktionen eine Variable x 7→ f (x) oder y = f (x) D(f ) ⊂ IR; Darstellung auf einer Achse: x–Achse.

zwei Variablen (x, y ) 7→ f (x, y ) oder z = f (x, y ) D(f ) ⊂ IR2 ; Darstellung in einer Ebene: (x, y )−Ebene z

6

y

6

y = f (x) s        f (x)       

s

x

pp x

Graph: mehrere Punkte, i. Allg. eine Kurve Fakult¨ at Grundlagen

x



z = f (x, y ) r          f (x, y ) H  HH    ppp   p p p H  pp H j pH p p rp p y (x, y )

Graph: Punkte u ¨ber der (x, y )−Ebene, i. Allg. eine Fl¨ ache im Raum Funktionen mehrerer Variabler

Folie: 5

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Beispiele Darstellung Schnitte

Kegel z=f(x,y) 6 5 4 z

Kegel im Schr¨agbild: Darstellung u ¨ber Schnittkurven Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel zur (x, y )Ebene mit dem Funktionsgebirge“. ” Man erh¨alt die sogenannten H¨ ohenlinien. Deren Projektion auf die (x, y )-Ebene nennt man Isoquanten. y

3 2 1 0 4 2

4 2

0

0

−2 y

−4

−2 −4

x

Isoquanten

z

H¨ ohenlinie

x

x,y Fakult¨ at Grundlagen

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Partielle Ableitung I z

z = f (x, y ) y = y0

y x

Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Ver¨anderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. Wenn dieser Grenzwert existiert, spricht man von der partiellen Ableitung fx (x0 , y0 ). ∂f auch: = fx (x0 , y0 ) ∂x (x0 ,y0 )

f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) lim = fx (x0 , y0 ) h→0 h Fakult¨ at Grundlagen

Graphisch: Steigung des Graphen von z

=

f (x, y0 ) im Punkt

(x0 , f (x0 , y0 )).

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Folie: 7

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Partielle Ableitung II Analog:

∂f f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = lim h→0 h ∂y (x0 ,y0 )

Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x0 , y ) im Punkt (y0 , f (x0 , y0 )). Die Ausdr¨ ucke fx (x, y ), fy (x, y ) heißen partielle Ableitungen oder auch Ableitungsfunktionen (vgl. Ableitung an der Stelle x0 : f 0 (x0 ) und Ableitungsfunktion f 0 (x)). Die Schreibweise ∂f soll andeuten, dass f nicht nur von der ∂x Variablen x abh¨angt, sondern noch von mehr Variablen. Beim Berechnen der partiellen Ableitungen sind die u ¨blichen Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel usw.) zu beachten! Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 8

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Partielle Ableitung (Beispiel) (f (x) · g (x))0  0 f (x) g (x)

Ableitungsregeln in IR1 :

0

(f (g (x)))

=

f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)

=

f (x)0 · g (x) − f (x) · g 0 (x) g 2 (x)

=

f 0 (g (x)) · g 0 (x)

2

f (x, y ) =

ey · sin(x · y ) 1 + x2 + y2 2

fx (x, y ) =

2

ey · cos(x · y ) · y · (1 + x 2 + y 2 ) − 2x · ey · sin(x · y ) (1 + x 2 + y 2 )2 h 2 i 2 ey · 2y · sin(x · y ) + ey · cos(x · y ) · x · (1 + x 2 + y 2 )

fy (x, y ) =

(1 + x 2 + y 2 )2

...

2

...

−2y · ey · sin(x · y ) (1 + x 2 + y 2 )2 Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 9

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung Die Funktionen fx (x, y ), fy (x, y ) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie k¨onnen dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. 2 fxx = ∂ f2 ist die partielle Ableitung der Funktion fx nach x. ∂x Analog erh¨alt man fxy , fyy , fxxx , . . .

Problem: Ergibt sich bei fxy und fyx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (x, y ) fx (x, y ) fy (x, y ) fyx (x, y )

= = = =

x · sin(x · y ) sin(x · y ) + y · x · cos(x · y ) x 2 · cos(x · y ) 2x · cos(x · y ) − x 2 · y · sin(x · y ) = fxy (x, y ) Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 10

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Tangente; Linearisierung f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) | {z } Tangentengleichung Eigenschaften: 1

Der Punkt (x0 |f (x0 )) liegt auf der Geraden.

2

Die Steigung der Geraden stimmt mit der Ableitung der Funktion im Punkt x0 u ¨berein. y − f (x0 ) 0 x − x0 = f (x0 )

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y

y = f (x) t

f (x0 )

x x0

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Folie: 11

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Tangentialebene; Linearisierung f (x, y ) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 ) = z | {z } Tangentialebene z

z = f (x, y )

Bedingungen: 1

Der Punkt (x0 |y0 |f (x0 , y0 )) liegt auf der Ebene.

2

Die beiden partiellen Ableitungen von Fl¨ache und Ebene stimmen im Punkt (x0 |y0 ) u ¨berein.

Et

y

(x0 |y0 ) x

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Folie: 12

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Totales Differenzial ∆f = f (x0 +dx, y0 +dy ) − f (x0 , y0 ) ≈ fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy | {z } df Der Funktionszuwachs ∆f wird z durch die Ver¨anderung des Wertes auf der Tangentialebene z = f (x, y ) ∆f approximiert (Linearisierung). Et Dieser Zuwachs ergibt sich durch fy dy df Multiplikation der Ver¨anderung dx bzw. dy mit den partiellen fx dx y0 + dy Ableitungen fx (x0 , y0 ) bzw. y fy (x0 , y0 ). y0 df = fx · dx + fy · dy

x0

df bzw. dz heißt totales Differenzial der Funktion f (x, y ). Fakult¨ at Grundlagen

x

x0 + dx

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Folie: 13

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Richtungsableitung  dz = fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy = {z } | Zuwachs auf Tangentialebene

fx fy

   a1 · a2 z

    f x a1 · cos ϕ · = fy a2

dz

Gilt |~a| = 1, so stellt dz die Steigung auf der Tangentialebene in Richtung ~a dar. Diese aus, wenn  f¨allt maximal  fx a1 k fy a2 Richtung des st¨arksten Anstiegs! Fakult¨ at Grundlagen

f y · a2 fx · a1

y y0 + a2

a2 y0

~ a

x a1

x0

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x0 + a1

Folie: 14

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Richtungsableitung, Gradientenvektor  dz = fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy = {z } | Zuwachs auf Tangentialebene

fx fy

   a1 · a2 z

Man nennt den Vektor der partiellen Ableitungen auch Gradientenvektor:   fx grad f = ∇f = fy Richtungsableitung:   ∂ f = fx · ~a ∂~a |~a| fy

dz f y · a2 fx · a1

y y0 + a2

Anstieg in Richtung ~a auf Et Fakult¨ at Grundlagen

a2 y0

~ a

x a1

x0

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x0 + a1

Folie: 15

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Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung

Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1|1) p √ 2 2 f (x, y ) = 6 − x + 2y 7 x 6−x 2 +2y 2 √ 2y 6−x 2 +2y 2

− √17

fx (x, y ) = − √ fy (x, y ) =  ∇f =

fx fy

 =

− √17

z

Et

√2 7

! y

√2 7

∇f Richtungsableitung parallel  zur 1. (x0 |y0 ) ~ a 1 x Winkelhalbierenden: ~a = √12 1 Tangentialebene ∂f = ∇f · ~a √ ∂~a !  z − 7 = − √17 (x − 1) + . . . 1 √ − 7 1 = √12 = √114 √2 (y − 1) √2 1 7 7 Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 16

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Fehlerrechnung; absolut Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und H¨ ohe h : V = f (r , h) = π · r 2 · h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die H¨ohe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm ver¨andert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). fr (r , h) = 2πrh fh (r , h) = πr 2

fr (10, 12) = 240π fh (10, 12) = 100π

Damit erh¨alt man f¨ ur das totale Differenzial: ∆V ≈ dV = fr (10, 12)·dr +fh (10, 12)·dh = 240π·0.2+100π·0.5 = 98π F¨ ur den exakten Zuwachs ∆V errechnen wir: ∆V = f (10.2, 12.5) − f (10, 12) = 1300.5π − 1200π = 100.5π Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 17

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Fehlerrechnung; relativ H¨aufig interessiert nur die relative Ver¨anderung des Funktionswerts bei einer relativen Ver¨anderung der Eingangsgr¨ oßen. f (x, y ) · dx + fy (x, y ) · dy df = x f (x, y ) f (x, y ) y · fy (x, y ) dy x · fx (x, y ) dx = · x + · y f (x, y ) f (x, y ) y · fy (x, y ) (partielle) x · fx (x, y ) εf ,x (x, y ) = ; εf ,y (x, y ) = f (x, y ) f (x, y ) Elastizit¨ aten: Beispiel: z = f (x, y ) = c · x α · y β

mit c ∈ IR; α, β > 0 .
Differenzial: dz = c · αx α−1 · y β · dx + βx α · y β−1 · dy . εf ,x =

y · fy (x, y ) x · fx (x, y ) cαx α−1 y β · x cβx α y β−1 · y = =α; εf ,y = = =β f (x, y ) f (x, y ) cx α y β cx α y β dz = α · dx + β · dy z x y

Nimmt x um a % und y um b % zu, so w¨ achst die Produktionsmenge z um ungef¨ ahr (α · a + β · b) % . Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 18

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfl¨ache: notwendige Bedingung:

fx (x, y ) = 0 ,

fy (x, y ) = 0

Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die f¨ ur ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x0 , y0 ) ein Kandidat“. Ob dann ein lokales Extremum oder ” ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus1 : fxx (x0 , y0 ) · fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 < 0 ⇒ dann Sattelpunkt fxx (x0 , y0 ) · fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 > 0 ⇒ lokales Extremum Ist dabei

fxx (x0 , y0 ) > 0

⇒

lokales Minimum

fxx (x0 , y0 ) < 0

⇒

lokales Maximum

Bei Funktionen einer Variablen war f 00 (x0 ) 6= 0 eine hinreichende Bedingung f¨ ur einen lokalen Extremwert. 1

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Folie: 19

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen; Beispiel 1 (x − y )2 − 1 y f (x, y ) = ln(x + 1) − 10 5 1 − 1 (x − y ) fx (x, y ) = x + 1 5 1 (x − y ) − 1 fy (x, y ) = 5 5

⇒

1 1 x + 1 − 5 (x − y ) = 0 (1) 1 (x − y ) − 1 = 0 (2) 5 5

1 − 1 =0 (1) und (2) : x + 1 5 Ableitung fxx (x, y )

Ausdruck =

−

1 −1 5 (x + 1)2

fyy (x, y )

=

−1 5

fxy (x, y )

=

1 5

x = 4;

bei (4, 3) 6 − 25 1 −5 1 5

∆(4, 3) = fxx (4, 3) · fyy (4, 3) − (fxy (4, 3))2 = Fakult¨ at Grundlagen

in (2) :

y =3

Es ist also ∆(4, 3) > 0, d. h., es liegt eine Extremum vor. 6 < 0 ist (4, 3) Wegen fxx = − 25 eine Maximumstelle. Das Maximum betr¨ agt 7 f (4, 3) = ln 5 − 10 ≈ 0.91       6 · −1 − 1 2 = 1 − 25 5 5 125 Funktionen mehrerer Variabler

Folie: 20

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen; 1 Variable

Zusammenstellung

2 Variablen

Funktion f (x) Ableitungen f 0 (x) erster Ordnung Kandidaten f¨ ur f 0 (xE ) = 0 Extremstellen Ableitungen f 00 (x) zweiter Ordnung Entscheidungsf 00 (xE ) kriterium

∆(xE , yE ) = fxx (xE , yE ) · fyy (xE , yE ) − (fxy (xE , yE ))2

Maximum

f 00 (xE ) < 0

∆(xE , yE ) > 0 und fxx (xE , yE ) < 0

Minimum

f 00 (xE )

∆(xE , yE ) > 0 und fxx (xE , yE ) > 0

>0

f (x, y ) fx (x, y ), fy (x, y ) fx (xE , yE ) = 0 fy (xE , yE ) = 0 fxx (x, y ), fyy (x, y ), fxy (x, y )

Sattelpunkt

∆(xE , yE ) < 0 Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 21

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema mit Nebenbedingungen Bei vielen Anwendungen werden Extremwerte einer Funktion f (x, y ) nicht unter allen Stellen (x, y ) des Definitionsgebiets gesucht, sondern es ist zus¨atzlich eine Nebenbedingung zu erf¨ ullen. Bei der Veranschaulichung einer Funktion f (x, y ) als Gebirgsfl¨ache“ bedeutet das: ” Die Nebenbedingung beschreibt eine Gebirgsstraße“. Es ist nicht ” der Berggipfel“ gesucht, sondern der h¨ ochste Punkt der Straße“. ” ” Bei der Suche nach Extrema unter Nebenbedingungen gibt es zun¨achst die M¨oglichkeit, die Nebenbedingung nach einer Variablen aufzul¨osen und dann in die Zielfunktion einzusetzen (Eliminationsmethode). Daneben gibt es auch noch eine etwas allgemeinere Strategie (Lagrange-Methode), die vor allem leicht auf den Fall von mehr als zwei Variablen u ¨bertragbar ist. Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 22

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema mit Nebenbedingungen; Beispiel Zylindrische Dose mit vorgegebenem Volumen, Oberfl¨ache soll minimal sein.

h

2πr 2

Oberfl¨ache: O = + 2πr h = f (r , h), r G Nebenbedingung: πr 2 h = V0 = festes Volumen. U Aufl¨osen nach einer Variablen: h = V02 πr Dies in die f (r , h) einsetzen ergibt eine Funktion h Umfang U von einer Variablen: 0 G O = 2πr 2 + 2πr V02 = 2πr 2 + 2V r = O(r ) πr q ! 2V0 ⇔ r = 3 V0 dO = 2π 2r − 2V0 = 0 ⇔ 4πr = 2π dr r2 r2 q q 2 d O = 4π + 4V0 > 0 : r = 3 V0 , h = V0 = 3 4V0 π 2π dr 2 r3 πr 2 lokales Minimum bei: Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 23

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema mit Nebenbedingungen; Lagrange Lagranges Multiplikatormethode: Die Funktion z = f (x, y ) soll maximal (minimal) werden unter Einhaltung einer Nebenbedingung g (x, y ) = 0. Man bildet damit eine neue Funktion ( Lagrange-Funktion“) ” F (x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y ) (Funktion von drei Variablen). Notwendige Bedingung f¨ ur ein relatives Extremum der Funktion F (x, y , λ) ist Fx = 0 : Fy = 0 : Fλ = 0 :

fx (x, y ) + λgx (x, y ) = 0, fy (x, y ) + λgy (x, y ) = 0, g (x, y ) = 0 Nebenbedingung!

Plausibilit¨atspr¨ ufung f¨ ur Extrema! Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 24

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Fehlerrechnung Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Lokale Extrema mit Nebenbedingungen; Lagrange, Beispiel O = 2π r 2 + 2π r h = f (r , h) ; π r 2 h − V0 = g (r , h) = 0
F (r , h, λ) = f (r , h) + λ · g (r , h) = 2π r 2 + 2π r h + λ π r 2 h − V0 !

Fr = 4π r + 2π h + λ 2π r h = 0 Fh = 2π r +

λ π r2

Fλ = π r 2 h − V0 (2a) in (1) : 4π r + 2π h − 4π h = 0 (1a) in (3): q V0 , 2 π r 2r = V0 ⇒ r = 3 2π q q V0 = 3 4V0 h = 2 3 2π π

!

= 0 !

= 0 ⇒

(1) (2)

⇒

λ = − 2r (2a)

(3) h = 2r (1a)

Nebenstehend die Gebirgsfl¨ache“ ” und der Extrempunkt auf der Gebirgsstraße“ f¨ ur V0 = π . ” Fakult¨ at Grundlagen

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Folie: 25