Freier Fall 1. Der franz¨osische Fallschirmspringer Michel Fournier (geb. 14.05.1944) verfolgt seit mehr als 10 Jahren das Ziel in ca. 40 000 m H¨ohe mit einem Stratosph¨arenballon aufzusteigen und von dort abzuspringen. Dabei will er vier Weltrekorde auf einmal brechen. Ein Versuch am 25.08.2003 endete kurz vor dem Ballonstart als die Ballonh¨ ulle riss. Am 27.05.2008 scheitert ein weiterer Versuch des wagemutigen Franzosen, als ihm der Heliumballon, der ihn in die L¨ ufte tragen sollte, entwischte. (a) Welchen H¨ohenunterschied m¨ usste man ohne Luftwiderstand durchfallen, damit man die Schallgeschwindigkeit von 344 ms erreicht? (b) Wie groß darf die Luftdichte h¨ochstens sein, dass ein K¨orper der Masse 100kg, der Querschnittsfl¨ache A = 1, 0m2 und dem Widerstandsbeiwert cW = 0, 35 (Halbkugel) die Schallgeschwindigkeit vS = 344 ms erreicht, wenn die Luftwiderstandskraft sich aus FL = 12 · cW · A · ̺Luf t · v 2 errechnet. In welcher H¨ohe ist diese Dichte etwa erreicht? (c) Welche Gr¨oße (Volumen und Radius) m¨ usste der mit Helium gef¨ ullte Stratosph¨arenballon mindestens haben, damit er die Last von Ausr¨ ustung und Ballonh¨ ulle von ca. 1000kg in 40 000m H¨ohe hebt? Wie viel Kilogramm Helium muss man am Boden einf¨ ullen?

Quelle: http://leifi.physik.uni-muenchen.de L¨ osung: (a)

1 2 2 mv

= mgh ⇒ h =

v2 2g

=

(344 m )2 s m 2·9,81 2 s

= 6, 03 · 103 m

1

1 2 2 · cW · A · ̺Luf t · vm ⇒ 2·100kg·9,81 2 2mg = 0,35·1,0m2 ·(344sm cW Av2 )2 s

(b) m · g =

= 47 mg3 ̺L = Dies ist in der nat¨ urlichen Atmosph¨are etwa in 24000m H¨ohe erreicht. (c) Im Kr¨ aftegleichgewicht ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft. Die Auftriebskraft ist genau so groß wie die Gewichtskraft der verdr¨angten Luft. Die Formelsammlung ergibt: kg Dichte von Helium unter Normalbedingungen: ̺He = 0, 179 m 3 kg Dichte von Luft unter Normalbedingungen: ̺Luf t = 1, 293 m3 Dichte von Luft 40 000m H¨ ohe: ̺Luf t = 4 mg3 ̺He Das Dichteverh¨ altnis ̺Luf t = 0, 138 ist von der H¨ohe unabh¨angig. mBallon · g + mHe · g = mLuf t · g ⇒ mBallon = 290 · 103 m3 ⇒ VBallon = (1−0,138)·̺ Luf t r = 41m ⇒ mHe = 121kg

2. Wie lange braucht ein Stein f¨ ur den Fall von einem 60 m hohen Turm? Mit welcher Geschwindigkeit prallt er auf den Boden? g L¨ osung: h = t2 2

=⇒

t=

s

2h = 3,50 s g

=⇒

v = gt =

p

2gh = 34,3

m km = 124 s h

3. Ein Auto st¨ urzt von einer Br¨ ucke in einen Fluss und hat beim Aufprall die Gem schwindigkeit 20 s . Wie hoch ist die Br¨ ucke? L¨ osung: h =

v2 = 20,4 m 2g

4. Eine Kanonenkugel wird mit v0 = 200 ms senkrecht nach oben geschossen. Berechne die maximale H¨ohe h, ihre Aufprallgeschwindigkeit va auf den Boden und die gesamte Flugdauer ta . Zeichne ein tx- und ein tv-Diagramm der gesamten Bewegung. L¨ osung: h =

v02 = 2,04 km, 2g

va = −v0

Zeit bis zur maximalen H¨ ohe: th =

v0 = 20,4 s g

2

=⇒

ta = 2th = 40,8 s

v

x km

m s

200 2

40

0

10

t s

30

20

1

−200

0

10

20

30

t s

40

5. Eine Sylvesterrakete wird senkrecht nach oben geschossen; dabei wird ihr t0 = 3,00 s lang die Beschleunigung a = 17,44 sm2 erteilt. Berechne die maximale H¨ohe h und die gesamte Flugdauer. Zeichne ein tv- und ein tx-Diagramm des Fluges. m a v0 = at0 = 52,32 L¨ osung: x0 = x(t0 ) = t20 = 78,48 m, 2 s ( a 2 t = 8,72 sm2 · t2 x(t) = 2 x0 + v0 (t − t0 ) − g2 (t − t0 )2 = −4,905 sm2 · t2 + 81,75 ms · t − 122,625 m ( f¨ u r x ≦ t0 at = 8,72 sm2 · t v(t) = m m v0 − g(t − t0 ) = 81,75 s − 9,81 s2 · t f¨ u r x > t0 Maximale H¨ ohe h zur Zeit t1

=⇒

v(t1 ) = 0

=⇒

f¨ u r x ≦ t0 f¨ u r x > t0

t1 = 8,33 s

h = x(t1 ) = 218 m Aufprall am Boden zur Zeit t2 : Entweder die quadratische Gleichung l¨osen oder einfacher s 2h = 15,0 s die Fallzeit aus der H¨ ohe h zu t1 addieren: t2 = t1 + g Aufprallgeschwindigkeit: v2 = v(t2 ) = −65,4 ms v

x m

m s

200

40

150

20

100

0

50

−20 −40

0 0

2

4

6

8

10

12

14

t s

−60

3

2

4

6

8

12

14

t s

6. Das Hochhaus dieser Aufgabe steht auf einem Planeten mit der Fallbeschleunigung g = 10,0 sm2 . Ein Aufzug f¨ahrt an der Außenwand mit der konstanten Geschwindigkeit vA nach oben, zur Zeit t0 = 0 ist das Kabinendach bei x0 = 0. Ebenfalls zur Zeit t0 = 0 l¨asst ein Lausbub vom Dach des Hochhauses (x = h = 90,0 m) eine Stahlkugel fallen, die das Aufzugdach zur Zeit t1 am Ort x1 = 45,0 m trifft. Eine Dame im Aufzug, die ihr Handy H l¨assig aus dem Fenster h¨alt, l¨asst es beim Aufprall der Stahlkugel vor Schreck fallen. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich das Handy genau einen Meter unter dem Aufzugdach.

x t0 = 0

h

H t1

x1

h

vA 0 Keller

Boden

t0 = 0

(a) Berechne t1 und dann vA . Mit welcher Geschwindigkeit v1 prallt die Kugel auf das Dach des Aufzugs? (b) Welche Geschwindigkeit vH1 hat das Handy zur Zeit t1 ? Zu welcher Zeit t2 ist die Geschwindigkeit des Handies null? Welche maximale H¨ohe xH2 erreicht das Handy und mit welcher Geschwindigkeit vH3 prallt es auf den Boden? g L¨ osung: (a) xk (t) = h − t21 = x1 2 vA =

=⇒

t1 =

m km x1 = 15,0 = 54,0 , t1 s h

s

2(h − x1 ) = 3,00 s g

v1 = −gt1 = −30,0 ms = −108 km h m s vA t2 = t1 + = 4,50 s g

Relativ zum Aufzug ist die Aufprallgeschwindigkeit v1 − vA = −45,0 (b) vH1 = vA ,

vH (t) = vA − g(t − t1 ),

vH (t2 ) = 0

=⇒

g xH2 = xH (t2 ) = x1 − 1 m + vA (t2 − t1 ) − (t2 − t1 )2 = 55,25 m | {z } | {z } 2 | {z } 44m 22,5 m 11,25 m

m 2 v = mgxH2 2 H3

=⇒

vH3 = −

p

√ m m km 2gxH2 = − 1105 = −33,2 = −120 s s h

7. Luftwiderstand Zwei Autos haben gleiche Querschnittsfl¨ache A = 2m2 , unterscheiden sich jedoch im cW -Wert. Ein Auto hat cW = 0, 3, das andere cW = 0, 4. Berechne den Luftwi, 20 km , · · · 130 km und stelle das Ergebnis graphisch dar. derstand bei 10 km h h h L¨ osung: .

4

5

8. In dem nebenstehenden Bild bewegt sich James Bond mit seinem Aston–Martin auf eine 70,0 m hohe Klippe zu. Er verl¨asst die Klippe am Punkt A und kommt 100 m vom Fußpunkt F der Klippe entfernt am Punkt B auf.

A bC

(a) Welche Horizontalgeschwindigkeit hatte James Bond? (b) Unter welchem Winkel schl¨agt der Aston–Martin bei B auf?

bC

F L¨ osung:

6

90 m

bC

B