Cap´ıtulo

5 Fracciones Continuas 5.1

Introducci´ on

Las fracciones continuas son uno de los temas m´as interesantes dentro de la teor´ıa de n´ umeros, as´ı como tambi´en uno de los m´as antiguos. Su origen se remonta a la antigua Grecia, espec´ıficamente Euclides estudi´o por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos. Euclides vivi´o en el siglo 3 a.c. y ense˜ n´o matem´aticas en Alejandr´ıa. En la Edad Moderna la teor´ıa fue retomada por el matem´atico italiano Bombelli, en su libro L’Algebra parte maggiore dell’ aritmetica. Bologna 1572, en donde se utilizan fracciones continuas para calcular ra´ıces cuadradas. Por ejemplo √

4

13 = 3 +

4 6 + ··· Posteriormente Leonhard Euler en su memoria De fractionibus continuis. 1737 , dio los primeros pasos en la teor´ıa, tal como se conoce en la actualidad. 6+

Finalmente, fue el c´elebre matem´atico franc´es Joseph Louis Lagrange quien en 1768 formaliz´o esta teor´ıa en su memoria Solution d’un probl`eme d’arithm´etique. Lagrange resolvi´o completamente la famosa ecuaci´on de Fermat x2 − dy 2 = 1 para lo cual us´o de manera esencial las fracciones continuas. 143

144

5.2

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Fracciones Continuas

Definici´ on 5.2.1 Sean a0 , a1 , . . . , an , . . . n´ umeros reales no nulos. Una expresi´ on del tipo 1

a0 +

1

a1 +

1 .. .

a2 + se llama Fracci´ on Continua

Notaci´ on Para denotar la expresi´on de arriba, usaremos el s´ımbolo: [a0 , a1 , . . . , an , . . .]. Definici´ on 5.2.2 Sean a1 , . . . , an n´ umeros reales. Entonces la expresi´ on 1

[a1 , . . . , an ] = a0 + a1 +

1 ...

an−1 +

1 an

se llama Fracci´ on Continua Finita . Observaci´ on : Usualmente los ai , en la descomposici´on de una fracci´on continua son n´ umeros enteros positivos. En tal caso diremos que la fracci´on continua es simple. Podemos representar una fracci´on continua infinita, como el l´ımite de una fracci´on continua finita. Esto es [a0 , . . . , an , . . .] = lim [a0 , . . . , an ] n→∞

Estudiaremos para cada n, el n´ umero racional generado por la expansi´on de [a0 , . . . , an ]. As´ı pues tenemos [a0 ] = a0 =

a0 1

5.2. Fracciones Continuas

145

[a0 , a1 ] = a0 + 1

[a0 , a1 , a2 ] = a0 +

a1 +

1 a2

=

1 a1 a2 a1 a0 + a2 + a0 a2 a1 + 1

etc... En general sea [a0 , a1 , . . . , an ] =

pn . qn

Entonces pn y qn se llaman las convergentes n-´ esimas de la fracci´on continua dada. Es claro que tanto pn como qn son polinomios que dependen de a0 , . . . , an . Tenemos entonces las siguientes expresiones para estos polinomios p0 = a0 ,

p1 = a1 a0 + 1, q0 = 1,

q1 = a1 ,

, p2 = a2 a1 a0 + a2 + a0 , q2 = a2 a1 + 1,

...

...

Teorema 5.2.1 Para todo n ≥ 2 se tiene pn = an pn−1 + pn−2 qn = an qn−1 + qn−2 Demostraci´ on: Usaremos inducci´on sobre n. Para n = 2, el resultado es cierto. Supongamos que el resultado es v´alido para n. Entonces [a0 , . . . , an , an+1 ] = [a0 , . . . , an−1 , an + 1/an+1 ] Es claro que la (n+1)-´esima convergente de la fracci´on de la izquierda es igual a la n-´esima convergente de la fracci´on de la derecha. Luego

146

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

³

an +

1

´

pn−1 + pn−2 pn+1 an+1 ´ = ³ 1 qn+1 an + an+1 qn−1 + qn−2 an+1 an pn−1 + pn−1 + an+1 pn−2 = an+1 an qn + qn−1 + an+1 qn−2 Usando ahora la hip´otesis de inducci´on se tiene pn+1 an+1 (pn − pn−2 ) + pn−1 + an+1 pn−2 = qn+1 an+1 (qn − qn−2 ) + qn−1 + an+1 qn−2 an+1 pn + pn−1 = an+1 qn + qn−1 Con esto termina la demostraci´on.

♠

Podemos construir un algoritmo para generar las convergentes de una fracci´on continua, mediante una tabla n 0 1 2

an+1 a1 a2 a3

pn a0 p1 p2

qn 1 q1 q2

Iniciamos la tabla colocando los valores de a0 , a1 , a2 , p0 , p1 , q0 y q1 . Luego a partir de n = 2, para hallar el valor de pn procedemos de la forma siguiente: Se toma el elemento en la casilla superior, ´este se multiplica por el de la casilla de la izquierda y luego se le suma el de la casilla de arriba. Los qn se hallan de la misma forma. Ejemplo: Hallar la d´ecima convergente de la fracci´on continua [2, 1, 2, 1, 2, . . .] Tenemos entonces la tabla

5.2. Fracciones Continuas

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

147

an+1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

pn 2 3 8 11 30 41 112 153 418 571 1560

qn 1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571

Calcularemos los valores de las fracciones xn = pn /qn cuando n toma los valores: 0, · · · , 10. Esto nos da el siguiente resultado:

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

2 3 2.66667 2.75 2.7272 2.7333 2.73171 2.73214 2.73202 2.73206 2.73205

Mirando la u ´ltima tabla se puede intuir que las fracciones pn /qn convergen a un l´ımite. La demostraci´on de este hecho en general no es f´acil y requiere de una serie de resultados previos que daremos a continuaci´on.

148

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Proposici´ on 5.2.1 Para todo n ≥ 1 se tiene pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1

(5.1)

Demostraci´ on: Usando el teorema 5.2.1 se tiene pn qn−1 − pn−1 qn = (an pn−1 + pn−2 )qn−1 − pn−1 (an qn−1 + qn−2 ) = −(pn−1 qn−2 − pn−2 qn−1 )

Si aceptamos la hip´otesis de inducci´on para n − 1, la cual establece (pn−1 qn−2 − pn−2 qn−1 ) = (−1)n−2 se tendr´a entonces pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1 ♠ Si en la ecuaci´on anterior dividimos ambos miembros entre qn qn−1 , obtenemos Proposici´ on 5.2.2 Para todo n ≥ 1 se tiene pn pn−1 (−1)n−1 − = qn qn−1 qn qn−1

(5.2)

Proposici´ on 5.2.3 Para todo n ≥ 1 se tiene pn qn−2 − pn−2 qn = (−1)n an

(5.3)

5.2. Fracciones Continuas

149

Demostraci´ on: Usando el Teorema 5.2.1 se tiene pn qn−2 − pn−2 qn = = = =

(an pn−1 + pn−2 )qn−2 − pn−2 (an qn−1 + qn−2 ) an (pn−1 qn−2 − pn−2 qn−1 ) an (−1)n−2 por (5.1) (−1)n an ♠

Observaci´ on: En lo sucesivo s´olo consideramos fracciones continuas en donde los elementos a0 , . . . an , . . . son n´ umeros enteros positivos. Estas se llaman Fracciones continuas simples. Teorema 5.2.2 Toda fracci´ on continua simple es convergente a un n´ umero real. Demostraci´ on: Sea x = [a0 , a1 , . . .] y para n ≥ 1 sea xn = [a0 , . . . an ] =

pn qn

Probaremos que la sucesi´on xn converge a un l´ımite L, lo cual ser´a hecho en varias etapas. 1. La subsucesi´ on x2n de t´erminos pares es mon´otona estrictamente creciente. La subsucesi´ on x2n+1 de t´erminos impares es mon´otona estrictamente decreciente. En efecto, de (5.3) obtenemos pn pn−2 − = (−1)n an qn qn−2 luego si n es par

150

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

pn pn−2 > qn qn−2 y si n es impar pn pn−2 < . qn qn−2 Por lo tanto la subsucesi´on {x2n } es creciente y la subsucesi´on {x2n−1 } es decreciente. 2. Las subsucesiones de t´erminos pares e impares, respectivamente, son convergentes De la relaci´on (5.2) deducimos x2n − x2n−1 < 0 luego x2n < x2n−1 Como {x2n } es creciente y {x2n−1 } es decreciente, se obtiene la interesante relaci´on x2 < x2n < x2n−1 < x1

para todo n ≥ 1.

Como consecuencia de todo esto se obtiene que {x2n } es mon´otona creciente acotada, luego es convergente. Sea lim x2n = L1

n→∞

De igual forma, {x2n−1 } es mon´otona decreciente acotada y por lo tanto convergente.

5.2. Fracciones Continuas

151

Sea lim x2n−1 = L2

n→∞

3. La sucesi´ on {xn } es convergente . De la relaci´on (5.2) se obtiene | xn − xn−1 |=

1 1 ≤ 2. qn qn−1 n

Por lo tanto la sucesi´on {xn } es una sucesi´on de Cauchy. Esto es, a medida que n crece, la distancia entre los t´erminos se hace m´as peque˜ na. Luego la sucesi´on es convergente a un l´ımite L, y adem´as toda subsucesi´on convergente de ella, converge al mismo l´ımite. Por lo tanto L1 = L2 = L, y lim xn = L

n→∞

♠ Teorema 5.2.3 Toda fracci´ on continua simple finita [a0 , . . . an ] representa un n´ umero racional. Demostraci´ on: Basta observar que [a0 , . . . an ] se puede escribir como a0 + 1/[a1 , . . . an ]. Luego, apl´ıquese inducci´on sobre n. ♠

152

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Teorema 5.2.4 Toda fracci´ on racional α = p/q se expresa como una fracci´ on continua simple finita. Nota: No hay unicidad en esta representaci´on, pues [a0 , . . . an ] = [a0 , . . . , an−1 , an − 1, 1] Sin embargo ´estas son las dos u ´nicas representaciones posibles de α. Demostraci´ on: Usaremos la notaci´on: [x] para indicar la parte entera de un n´ umero real x. Comenzamos por hacer r0 = α r1 =

1 1 , . . . rn = r0 − [r0 ] rn−1 − [rn−1 ]

(5.4)

De aqu´ı se obtiene rn = [rn ] +

1 rn+1

para todo n ≥ 0

N´otese que para todo i, se tiene que ri > 1 , luego 1/ri < 1 y por lo tanto, los coeficientes ai de la expansi´on de α como una fracci´on continua vienen dados por a0 = [α], a1 = [r1 ], . . . , an = [rn ]

(5.5)

Por otro lado, usando el algoritmo de divisi´on para p y q, se obtiene p = a0 q + r1 , 0 ≤ r1 < q q = a1 r1 + r2 , r2 < r1 < q r1 = a2 r2 + r3 , r3 < r2 .. = . ri = ai+1 ri+1 + ri+2 ,

ri+2 < ri+1

5.2. Fracciones Continuas

153

Como {ri } es una sucesi´on decreciente de enteros positivos, se debe tener eventualmente, rn+1 = 0 para alg´ un n. Luego el proceso de formaci´on de los ai se detiene en an . Por lo tanto α=

p = [a0 , . . . , an ] q ♠

Observaci´ on: Si α es un n´ umero irracional , entonces la fracci´on continua asociada a ´el, se obtiene usando el algoritmo dado en (5.5) Proposici´ on 5.2.4 Sea α = [a0 , a1 , . . . , an , . . .] y sean r0 = α,

r1 =

1 1 , . . . , rn = r0 − [r0 ] rn−1 − [rn−1 ]

Entonces rn = [an , an+1 , . . .] Demostraci´ on: Usaremos inducci´on sobre n. Para n = 1, tenemos 1 1 = a0 + r1 a1 + . 1 .. de aqu´ı se concluye que r1 = [a1 , a2 , . . .]. α = a0 +

Supongamos que el resultado es cierto para n, luego rn+1 =

1 rn − an

1 [an , an+1 , . . .] − an = [an+1 , . . .] =

154

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Luego el resultado es cierto para n + 1. Con esto damos fin a la demostraci´on. ♠ Proposici´ on 5.2.5 Sea α un n´ umero real y rn la siguiente sucesi´ on de n´ umeros r0 = [α], r0 = [r0 ] +

1 1 , . . . , rn = [rn ] + , r1 rn+1

entonces α=

n≥1

rn+1 pn + pn−1 rn+1 qn + qn−1

Demostraci´ on: De acuerdo a la demostraci´on del teorema anterior se sigue que [rn ] = an para todo n, luego usamos inducci´on sobre n para probar este resultado. Si n = 1 , se tendr´a

α = a0 +

1 a1 +

1 r2

r2 r2 a1 + 1 (r2 a1 + 1)a0 + r2 r2 a1 + 1 r2 a1 a0 + a0 + r2 r2 a1 + 1 r2 (a1 a0 + 1) + a0 r2 a1 + 1 r2 p1 + p0 r2 q1 + q0

= a0 + = = = =

Supongamos que el teorema es cierto para n, y probaremos que se cumple para n + 1.

5.2. Fracciones Continuas

155

Luego α =

rn pn−1 + pn−2 rn qn−1 + qn−2

pn−1 rn+1 = qn−1 an qn−1 + qn−2 + rn+1 pn−1 pn + rn+1 = qn−1 qn + rn+1 rn+1 pn + pn−1 = rn+1 qn + qn−1 an pn−1 + pn−2 +

♠ Seguidamente daremos una serie de ejemplos en donde calcularemos los elementos de una fracci´on continua de algunos n´ umeros. √ Ejemplo: Sea α = 2, entonces mediante la aplicaci´on del algoritmo dado en la demostraci´on del teorema 5.2.4, calculamos los ai en la descomposici´on α = [a0 , a1 , . . . , an , . . .] En primer lugar, notamos que 2 2−α =1+ , y α α luego [a0 ] = 1. Para calcular a1 hacemos α=

0
0 tal que αn0 < 0, para todo n ≥ N. Como αn > 0, se tiene √ 2 d 0 > 0 para todo n ≥ N. αn − αn = kn Luego kn > 0, y por lo tanto: 0 < kn+1 kn = d − m2n+1 ≤ d,

para todo n ≥ N.

De esta u ´ltima desigualdad se obtiene que: 0 < kn < d, para todo n ≥ N. Tambi´en: m2n+1 < m2n+1 + kn+1 kn = d lo cual implica: | mn+1 |
n tal que kn = kj

y

m n = mj

Por lo tanto: αn = αj , y esto implica α = [a0 , . . . , an−1 , αn ] = [a0 , . . . , an−1 , an , . . . , aj−1 , αj ] = [a0 , . . . , an−1 , an , . . . , aj−1 ] Luego α es peri´odica.

♠

√ Ejemplo: √ Hallar la expansi´on de 7 como fracci´on continua. Sabemos que 2 < 7 < 3, luego a0 = 2. Sea 1 r1 = √ 7−2 √ 7+2 = √7 − 4 7+2 = 3 luego a1 = [r1 ] = 1. De igual manera r2 =

1 r1 − a1

1 √ ( 7 + 2)/3 − 1 3 = √ 7−1 √ 3( 7 + 1) = √ 6 7+1 = 2 =

5.3. Facciones continuas peri´ odicas

165

Luego a2 = [r2 ] = 1. Continuando este proceso, calculamos el siguiente ai , para lo cual hacemos 1 √ ( 7 + 1)/2 − 1 2 = √ 7−1 √ 2( 7 + 1) = √ 6 7+1 = 3

r3 =

por lo tanto a3 = [r3 ] = 1. De igual forma sea 1 √ ( 7 + 1)/3 − 1 3 = √ 7−2 √ 3( 7 + 2) = √ 3 = 7+2

r4 =

Luego a4 = [r4 ] = 4. Sea 1 √ ( 7 + 2) − 4 1 = √ 7−2 = r1

r5 =

Por lo tanto a5 = a1 = 1, y a partir de esta posici´on comienzan a repetirse los valores de ai . Por lo tanto

166

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

√

7 = [ 2, 1, 1, 1, 4 ]

Ejercicios √ √ 1) Sean α = a1 + b1 d y β = a2 + b2 d, con a1 , a2 , b1 , b2 n´ umeros racionales. Probar: a) (α + β)0 = α0 + β 0 b) (αβ)0 = α0 β 0 c) Para todo racional c: (cα)0 = cα0 . 2) Probar que si α es un irracional cuadr´atico, y a, b, c y d son n´ umeros enteros, entonces aα + b cα + d es tambi´en un irracional cuadr´atico. θ=

3) Sean {mi }, {ki } como en el teorema 5.3.1 Probar que existe un n, tal que: mnj = mn ,

y

knj = kn ,

para todo j ≥ 1.

4) Expresar como fracci´on continuas los n´ umeros reales: a) e ∼ = 2.7182818, b) π/2. 5) Sea α = π. Hallar una fracci´on p/q, que no sea convergente de α y tal que: ¯ ¯ ¯ p ¯¯ 1 ¯ ¯α − ¯ < 2 ¯ ¯ q q

5.4

La Ecuaci´ on de Fermat

Consideramos ahora la ecuaci´on x2 − dy 2 = 1

5.4. La Ecuaci´ on de Fermat

167

la cual se denomina Ecuaci´ on de Fermat. Estamos interesados en hallar soluciones enteras de esta ecuaci´on, distintas de las soluciones triviales x = 1, x = −1, y = 0. Teorema 5.4.1 Si α es un n´ umero irracional, entonces para todo n ≥ 1 se tiene: ¯ ¯ ¯ ¯α − ¯

¯

pn ¯¯ 1 1 ¯< < 2 qn ¯ qn qn−1 qn

donde pn , qn son las n-´esimas convergentes de α. Demostraci´ on: Se tiene de acuerdo a la proposici´on 5.2.5 αn+1 pn + pn−1 αn+1 qn + qn−1 donde αn = [an , an+1 , . . .], luego αn > 1. Por otra parte: α=

α−

pn αn+1 pn + pn−1 pn = − qn αn+1 qn + qn−1 qn −(pn qn−1 − qn pn−1 ) = qn (αn+1 qn + qn−1 ) (−1)n = qn (αn+1 qn + qn−1 )

Usando αn+1 ≥ 1, qn ≥ 1 se tiene ¯ ¯ ¯ 1 1 pn ¯¯ ¯ < 2 ¯α − ¯< ¯ ¯ qn qn qn−1 qn

♠ Teorema 5.4.2 Si

p es una convergente de α, entonces q ¯ ¯ ¯ p ¯¯ 1 ¯ ¯α − ¯ < 2 ¯ q¯ q

168

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Proposici´ on 5.4.1 Si

p es una convergente de α, entonces q α−

p εθ = 2 q q

(5.8)

donde ε = ±1, 0 < θ < 1. Observaci´ on: Si p/q es una fracci´on que satisface (5.8) entonces no se puede afirmar que p/q sea una convergente de α. Sin embargo, es posible dar una condici´on adicional, como veremos m´as adelante, de tal forma que se tenga un resultado rec´ıproco del teorema anterior. La siguiente condici´on se debe a Legendre: Teorema 5.4.3 Sea α un n´ umero irracional. Si cional tal que

p es un n´ umero raq

¯ ¯ ¯ 1 p ¯¯ ¯ ¯α − ¯ < ¯ q ¯ 2q 2

entonces

p es una convergente de α. q

Demostraci´ on: Sea

p = [a0 , a1 , . . . , an ] q

De la hip´otesis se deduce que α−

εθ p = 2 q q

con ε = ±1, y 0 < θ < 1/2. Entonces podemos elegir n, sin p´erdida de generalidad, de tal forma que ε = (−1)n . Definamos el n´ umero racional β mediante la f´ormula

5.4. La Ecuaci´ on de Fermat

169

α=

βpn + pn−1 βqn + qn−1

Entonces p pn βpn + pn−1 −α = − q qn βqn + qn−1 pn qn−1 − qn pn−1 = qn (βqn + qn−1 ) (−1)n = qn (βqn + qn−1 ) Si resolvemos esta ecuaci´on para β tendremos β=

qn − θqn−1 qn θ

De donde se deduce β > 1 , pues 0 < θ < 1/2 y qn−1 < qn . Podemos entonces representar a β como una fracci´on continua β = [an+1 , . . .] luego definimos: γ = [a0 , a1 , . . . , an , an+1 , . . .] = [a0 , . . . , an , β]

Luego γ=

pn β + pn−1 =α qn β + qn−1

Por lo tanto p/q = pn /qn es una convergente de α.

♠

170

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Teorema 5.4.4 Sea α =

√

dy

√ mn + d αn = kn entonces la ecuaci´ on x2 − dy 2 = (−1)n kn posee soluci´on. Demostraci´ on: Usando la proposici´on 5.2.5 se obtiene: √

αn pn−1 + pn−2 αn qn−1 + qn−2 √ ( d + mn )pn−1 + pn−2 kn = √ ( d + mn )qn−1 + qn−2 kn

d =

de donde: o √ √ n√ d ( d + mn )qn−1 + qn−2 kn = ( d + mn )pn−1 + pn−2 kn

Igualando coeficientes racionales e irracionales nos da: pn−1 = mn qn−1 + kn qn−2 dqn−1 = mn pn−1 + kn pn−2

(5.9) (5.10)

Multiplicando la primera ecuaci´on por pn−1 , la segunda por qn−1 y luego restando nos da 2 = kn (pn−1 qn−2 − pn−2 qn−1 ) p2n−1 − dqn−1 = (−1)n kn .

♠

5.4. La Ecuaci´ on de Fermat

171

Proposici´ on 5.4.2 Sea n el per´ıodo de Entonces kn = 1

√

d como fracci´ on continua.

Demostraci´ on: Sea

√ m0 + d α = α0 = k0 Entonces m0 = 1 y k0 = 1 De acuerdo a la definici´on de per´ıodo, se debe cumplir: √ mn + d √ αn = = d kn por lo tanto: √ (kn − 1) d = mn de donde se obtiene kn = 1.

♠

Teorema 5.4.5 Sea d un entero positivo libre de cuadrados, entonces la ecuaci´ on: x2 − dy 2 = 1 posee infinitas soluciones Demostraci´ on: Nuevamente, sea n el per´ıodo de la descomposici´on de ci´on continua.

√

d en frac-

Si n es par, tomamos: x = pnj−1

y = qnj−1

donde j es cualquier entero positivo. En virtud de la proposici´on anterior se tiene:

172

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

(pnj−1 )2 − (qnj−1 )2 d = (−1)nj knj = 1. Si n es impar, tomamos x = p2nj−1

y = q2nj−1

Luego: (p2nj−1 )2 − d(q2nj−1 )2 = (−1)2nj k2nj = 1 ♠ Ejemplo: Resolver: x2 − 7y 2 = 1 Soluci´ on: Hemos visto que la expansi´on de por: √

√

7 en fracci´on continua viene dada

7 = [2, 1, 1, 1, 4 ]

Podemos usar el algoritmo dado al comienzo para calcular las convergentes. Esto lo expresamos mediante la siguiente tabla:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

an+1 1 1 1 4 1 1 1 1

pn 2 3 5 8 37 45 82 127

qn 1 1 2 3 14 17 31 48

5.4. La Ecuaci´ on de Fermat

173

Vemos que (8, 3) es soluci´on , al igual que (127, 48). Podemos continuar generando m´as soluciones por intermedio de la tabla. Claramente, ellas aparecen entre las convergentes con un per´ıodo de 4. Teorema 5.4.6 Si el par (p, q) es una soluci´on de x2 − dy 2 = 1 con d ≥ 5, entonces la fracci´ on p/q es una convergente de

√

d.

Demostraci´ on: Tenemos: p2 − dq 2 = (p − = 1.

√

dq)(p +

√

dq)

Luego: ¯ ¯ ¯p √ ¯¯ ¯ ¯ − d¯ ¯q ¯

1 √ q(p + dq) 1 √ < q2 d 1 < 2q 2 =

√ Luego por el teorema, concluimos que p/q es una convergente de d. ♠

174

Cap´ıtulo 5. Fracciones Continuas

Ejercicios 1) Resolver x2 − 11y 2 = 1 2) En la ecuaci´on de Fermat x2 − y 2 = 1, el lado izquierdo se puede factorizar x2 − y 2 = (x + iy)(x − iy). Los n´ umeros complejos de la forma x + iy se denominan enteros de Gauss a) Investigue todo lo concerniente a los enteros de Gauss. b) Resuelva la ecuaci´on dada. 3) Sean x1 , y1 , x2 , y2 n´ umeros enteros. Probar la identidad (x21 − dy12 )(x22 − dy22 ) = (x1 x2 − dy1 y2 )2 − d(x1 y2 − y1 x2 )2 4) Usando la identidad anterior, probar que si (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) son ambos soluci´on de la ecuaci´on x2 − dy 2 = 1 entonces tambi´en lo es (x3 , y3 ), donde x3 = x1 x2 − dy1 y2 ,

y3 = x1 y2 − y1 x2 .

5) Resolver: a) x2 − 3y 2 = 1 b) x2 − 15y 2 = 1 c) x2 − 6y 2 = −1 6) Investigue bajo que condiciones sobre f y d se puede resolver x2 − dy 2 = f