5 Fourier-Reihen Fourier-Theorie handelt von Funktionen f : X → C, deren Definitionsbereich X translationssymmetrisch ist. In diesem Buch werden drei Typen behandelt: — Periodische Funktionen f : R/2π → C ; — Zeitsignale f : R → C ; — (periodische) diskrete Datens¨ atze; gemeint sind Funktionen Z/N → C ,

y. :

k 7→ yk .

Grundfunktionen der Theorie sind jene Funktionen, die die Translationssymmetrie von X gewissermassen verinnerlicht haben. Bezeichnet man f¨ ur einen Moment die Translation von Funktionsgraphen “um h nach rechts” mit Th : f 7→ Th f ,

Th f (x) := f (x − h) ,

so stellt man folgendes fest: Unter allen Funktionen haben die Exponentialfunktionen eω : R → C , x 7→ eiωx (ω ∈ R) die besondere Eigenschaft, dass sie sich unter Translationen Th mit einem konstanten Faktor multiplizieren (und ausserdem den konstanten Betrag 1 haben): eiω(x−h) ≡ e−iωh eiωx

(x ∈ R) ,

d.h.

Th eω = e−iωh eω .

126

5 Fourier-Reihen

Da das Differenzieren auf einen Vergleich von T−h f mit f f¨ ur h → 0 hinausl¨auft, multiplizieren sich diese Funktionen auch unter dem Ableitungsoperator D : f 7→ f 0 mit einer Konstanten: Bekanntlich gilt d iωx = iω eiωx , e dx

d.h.

Deω = iω eω .

Ist X = R/2π, so k¨onnen wir nicht jedes ω ∈ R gebrauchen, da die Grundfunktionen selbst nat¨ urlich auch 2π-periodisch sein m¨ ussen. Aus der Bedinur ω die Bedingung e2πiω = 1, d.h. ω ∈ Z . Die gung eiω(x+2π) ≡ eiωx folgt f¨ Grundfunktionen dieses Kapitels sind demnach die Funktionen ek :

t 7→ eikt

(k ∈ Z) ,

(1)

wobei wir wahlweise R oder R/2π als Definitionsbereich ansehen k¨ onnen. Das zentrale Problem ist in allen drei der oben angef¨ uhrten Bereiche dasselbe: eine “beliebige” Funktion f : X → C als Linearkombination der jeweiligen Grundfunktionen darzustellen. Dass das in allen drei F¨ allen geht, ist eigentlich ein Wunder: Man musste ja damit rechnen, dass mit Hilfe der eω nur die “harmonischen Anteile” eines gegebenen f dargestellt werden k¨onnen und dann immer noch ein “unharmonischer Rest” u ¨brigbleibt. In Wirklichkeit h¨angt alles zusammen: Die sogenannte abstrakte harmonische Analysis erm¨oglicht, den Inhalt der Kapitel 5–7 (und mehr) unter einem einheitlichen Gesichtspunkt darzustellen.

5.1 Definitionen Eine endliche Linearkombination N X

N

ck e

ikt

bzw.

k=−N

¢ a0 X ¡ ak cos(kt) + bk sin(kt) + 2

(2)

k=1

der Funktionen (1) heisst ein trigonometrisches Polynom vom Grad ≤ N , und eine formale Reihe ∞ X

k=−∞

ck eikt

bzw.

∞

¢ a0 X ¡ ak cos(kt) + bk sin(kt) + 2 k=1

(3)

5.1 Definitionen

127

heisst eine trigonometrische Reihe. In diesem Kapitel geht es darum, beliebige (gegebene oder gesuchte) 2π-periodische Funktionen f:

R→C,

f (t + 2π) ≡ f (t) ,

durch trigonometrische Polynome zu approximieren bzw. durch eine trigonometrische Reihe tats¨achlich darzustellen. Hiermit ist folgendes gemeint: F¨ ur fast alle t ∈ R gilt f (t) =

∞ X

ck e

ikt

:= lim

k=−∞

N →∞

N X

ck eikt .

(4)

k=−N

Das “fast” bezieht sich auf den folgenden Sachverhalt: Wir m¨ ochten auch Funktionen mit Sprungstellen (vielleicht sogar mit logarithmischen Spitzen) in dieser Weise darstellen. In derartigen Ausnahmepunkten ist die korrekte Wiedergabe des Funktionswerts nicht gew¨ ahrleistet. Wir werden uns das weiter unten im einzelnen ansehen. In (2) und (3) wurde sowohl eine komplexe wie eine reelle Schreibweise der “Fourier-Objekte” angeboten. Damit hat es folgende Bewandtnis: F¨ ur theoretische Betrachtungen ist die komplexe Schreibweise unbedingt vorzuziehen. In konkreten Beispielen jedoch geht es meistens um reellwertige Funktionen, h¨ aufig noch mit Symmetrien (gerade, ungerade, u.a.), und da erweist sich die reelle Schreibweise als vorteilhafter, da sie die in f vorhandenen Symmetrien reproduziert: Ist f reellwertig, so sind auch alle ak und alle bk reell; ist f gerade, so treten nur Cosinusterme auf, und ist f ungerade, so treten nur Sinusterme auf (s.u.). Um die ck (k ∈ Z) und die ak , bk (k ∈ N) ineinander umzurechnen, betrachten wir ein festes k > 0. Aus eiτ = cos τ + i sin τ folgt ck eikt + c−k e−ikt ≡ ak cos(kt) + bk sin(kt) mit ak = ck + c−k ,

bk = i(ck − c−k )

(k > 0) ,

(5)

und hieraus ergibt sich umgekehrt ck =

1 (ak − ibk ) , 2

c−k =

1 (ak + ibk ) 2

(k > 0) .

(6)

Ferner erweist es sich als zweckm¨ assig, a0 := 2c0 und b0 := 0 zu setzen; damit treffen (5) und (6) auch noch f¨ ur k = 0 zu.

128

5 Fourier-Reihen

Dass sich jede “vern¨ unftige” Funktion f : R/2π → C in der Form (4) darstellen l¨asst, ist ein fundamentaler Existenzsatz, der nicht leicht zu beweisen ¨ ist; davon unten mehr. Uberraschend einfach ist es jedoch, Formeln f¨ ur die Koeffizienten ck bzw. ak , bk einer derartigen Darstellung anzugeben. (5.1) In der Darstellung f (t) =

∞ X

ck eikt

bzw.

∞

¢ a0 X ¡ ak cos(kt) + bk sin(kt) + 2

f (t) =

k=−∞

k=1

einer Funktion f : R/2π → C sind die Koeffizienten ck bzw. ak , bk durch folgende Formeln gegeben: Z π 1 f (t) e−ikt dt 2π −π Z 1 π ak = f (t) cos(kt) dt π −π Z 1 π f (t) sin(kt) dt bk = π −π ck =

(k ∈ Z) ,

(7)

(k ≥ 0) , (k ≥ 1) .

Dabei darf auch u ¨ber ein anderes Intervall der L¨ange 2π integriert werden. Der Zusatz am Schluss ist ziemlich klar; er beruht darauf, dass wir den “Kreis” R/2π an einer beliebigen Stelle aufschneiden k¨ onnen, um ein passendes Integrationsintervall zu erhalten. Auf diesen Punkt werden wir im weiteren nicht jedesmal hinweisen. F¨ ur den Beweis von (5.1) ben¨ otigen wir ein Instrument, das wir aus der Geometrie bzw. aus der linearen Algebra entlehnen, n¨ amlich ein Skalarprodukt f¨ ur 2π-periodische Funktionen. Sind f und g zwei derartige Funktionen, so ist ihr Skalarprodukt, eine komplexe Zahl, definiert durch 1 hf, gi := 2π

Z

π

f (t)g(t) dt −π

und entsprechend die Norm kf k ≥ 0 von f (auch 2-Norm genannt) durch 1 kf k = hf, f i = 2π 2

Z

π −π

|f (t)|2 dt .

5.1 Definitionen

129

Dieses Skalarprodukt besitzt die aus der linearen Algebra bekannten Eigenschaften (Bilinearit¨at, Schwarzsche Ungleichung, usw.); wir verzichten darauf, sie im einzelnen aufzuf¨ uhren. Gilt hf, gi = 0, so heissen f und g zueinander orthogonal. F¨ ur unsere Grundfunktionen bestehen die folgenden Orthogonalit¨atsrelationen: (5.2) (a) F¨ ur die Funktionen ek : t 7→ eikt gilt ½ 1 (k = l) hek , el i = δkl := . 0 (k 6= l) (b) Z

π

cos(kt) cos(lt) dt =

−π

Z

Z

π

sin(kt) sin(lt) dt = π δkl −π

π

cos(kt) sin(lt) dt = 0 −π

¡

¢ (k, l) 6= (0, 0) ,

∀k, ∀l .

Wir beweisen nur (a): Z 2π Z 2π 1 1 eikt eilt dt = ei(k−l)t dt 2π 0 2π 0  1   · 2π = 1 (k = l)  2π = ¯2π 1 1  ¯  (k 6= l) ei(k−l)t ¯ = 0  2π i(k − l) 0

hek , el i =

Damit kommen wir zum Beweis der Koeffizientenformeln (5.1). Es gen¨ ugt, ur die ak und die bk ergeben sich u ¨ber die ck zu argumentieren; die Formeln f¨ dann unmittelbar aus (5). P Wir schreiben die Darstellung f (t) = k ck eikt in der Form f=

∞ X

c k ek

k=−∞

und multiplizieren auf beiden Seiten skalar mit en , n ∈ Z beliebig. Es ergibt sich ∞ X hf, en i = ck hek , en i = cn , (8) k=−∞

130

5 Fourier-Reihen

denn alle Skalarprodukte hek , en i mit k 6= n sind 0, und hen , en i = 1. Lesen wir (8) von rechts nach links, so erhalten wir nach Definition des Skalarprodukts Z π 1 f (t)e−int dt , cn = hf, en i = 2π −π wie behauptet. Wir sind nun einen Schritt weiter: Ist eine beliebige 2π-periodische Funktion so definieren die Formeln (7) einen Koeffizientenvektor ¯ → C gegeben, ¢ ¡f : R P ck ¯ k ∈ Z . Mit den ck l¨asst sich jedenfalls die formale Reihe k ck eikt bilden. Diese Reihe heisst Fourier-Reihe von f und ist der einzig m¨ ogliche Kandidat f¨ ur eine Darstellung (4). Um auszudr¨ ucken, dass die ck mit Hilfe von (7) aus f erhalten wurden, schreibt man gelegentlich f (t) Ã

∞ X

ck eikt .

(9)

k=−∞

Wir hoffen nat¨ urlich, dass der à unter m¨ oglichst schwachen Voraussetzungen durch = ersetzt werden kann. Bevor wir dazu kommen, noch drei Erg¨anzungen: ¢ ¡ ¯ 1. Man kann den Koeffizientenvektor ck ¯ k ∈ Z als Funktion fb :

Z→C,

k 7→ fb(k) := hf, ek i

auffassen; diese Funktion wird Fourier-Transformierte der Ausgangsfunktion f genannt. Die Schreibweise fb ist manchmal praktischer, da sie die Herkunft von f ausweist, was bei den ck nicht der Fall ist. 2. Durch Inspektion der Koeffizientenformeln (5.1) best¨ atigt man ohne weiteres die folgenden Rechenregeln, die z.T. schon weiter oben erw¨ ahnt worden sind: (5.3) (a) Die Fourier-Transformation f 7→ fb ist linear: (f + g)b = fb + gb ,

(λ f )b = λ fb (λ ∈ C) .

(k ∈ Z)

ak ∈ R, bk ∈ R

(b) Ist f reellwertig, so gilt c−k = ck

bzw.

(k ≥ 0) .

5.1 Definitionen

131

(c) Ist f eine gerade Funktion, so sind alle bk gleich 0, und es gilt Z 2 π ak = f (t) cos(kt) dt (k ≥ 0) . π 0 (d) Ist f eine ungerade Funktion, so sind alle ak gleich 0, und es gilt Z 2 π bk = f (t) sin(kt) dt (k ≥ 0) . π 0 3. Ist die Funktion f : R → C periodisch mit einer gewissen Periode T > 0 (anstelle von 2π), so sieht ihre Fourier-Reihe folgendermassen aus: ∞ X

f (t) Ã

ck e2kπit/T

k=−∞

bzw. f (t) Ã

2kπt 2kπt ´ a0 X ³ . + + bk sin ak cos 2 T T ∞

k=1

Die Koeffizientenformeln (5.2) gehen u ¨ber in

1 ck = T

(5.3) (e)

(f)

ak =

2 T

Z

T

f (t) cos 0

Z

T

f (t)e−2kπit/T dt ,

0

2kπt dt , T

bk =

2 T

Z

T

f (t) sin 0

2kπt dt . T

Es geht nun um den Sachverhalt (4). In den Lehrb¨ uchern u ¨ber FourierReihen finden sich dazu unz¨ahlige S¨ atze. Wir bringen hier nur einen einzigen, den wir dann auch tats¨achlich beweisen werden. Um ihn zu formulieren, f¨ uhren wir noch die folgende allgemein u ¨bliche Bezeichnung ein: Ist eine Funktion f : R/2π → C vereinbart, so bezeichnet sN die N -te Partialsumme der Fourier-Reihe von f : sN (t) :=

N X

k=−N

N

ck eikt =

¢ a0 X ¡ ak cos(kt) + bk sin(kt) ; + 2 k=1

132

5 Fourier-Reihen

es handelt sich dabei um ein trigonometrisches Polynom vom Grad ≤ N . Der angek¨ undigte Satz lautet: (5.4) Die Funktion f : R/2π → C sei C-lipstetig, das heisst, es gelte |f (t) − f (t0 )| ≤ C |t − t0 |

∀ t, t0 .

(10)

Dann trifft f¨ ur alle t die folgende Fehlerabsch¨atzung zu: 8C |f (t) − sN (t)| ≤ √ . N

(11)

Insbesondere gilt limN →∞ sN (t) = f (t) f¨ ur alle t. Dieser Satz garantiert schon einmal die Konvergenz gegen den erwarteten Wert unter recht schwachen Voraussetzungen. In vielen F¨ allen ist die Konvergenz wesentlich besser, als (11) vermuten l¨ asst. Allgemein l¨ asst sich folgendes sagen: Je glatter die Funktion f , desto schneller gehen die ck mit |k| → ∞ gegen 0, und desto schneller konvergieren die sN gegen f .

5.2 Beispiele Trigonometrische Polynome sind nat¨ urlich ihre eigenen Fourier-Reihen. Fast dasselbe ist es mit (algebraischen) Polynomen in sin t und cos t. Bsp: cos4 t + sin4 t, cosN t Derartige Polynome k¨onnen mit algebraischen Mitteln, d.h. ohne Integration, auf trigonometrische Polynome im eigentlichen Sinn umgerechnet werden, womit sie bereits nach Fourier entwickelt sind. Bsp: cosN t = (eit + e−it )N /2N = (eiN t + . . . + e−iN t )/2N . Es sei weiter f eine in der Umgebung von ∂D ⊂ C analytische Funktion. Es gibt dann ein β > 0, so dass f in dem Ringgebiet ¯ © ª G := z ∈ C ¯ e−β < |z| < eβ

5.2 Beispiele

133

analytisch ist. Ein derartiges f besitzt nach (4.7) eine Laurent-Entwicklung f (z) =

∞ X

ck z k

k=−∞

(z ∈ G)

mit gewissen Koeffizienten ck . In den Punkten z := eit ∈ ∂D sieht das folgendermassen aus: ∞ X f (eit ) = ck eikt . k=−∞

Wir behaupten: Dies ist nichts anderes als die Fourier-Entwicklung der 2πperiodischen Funktion f˜(t) := f (eit )

(t ∈ R) .

Zum Beweis betrachten wir die Formel 4.3.(5) f¨ ur die Laurent-Koeffizienten: ck =

1 2πi

Z

∂D

1 f (ζ) dζ = k ζ ζ 2πi

Z

2π 0

1 f (eit ) ieit dt = ikt it e e 2π

Z

2π

f˜(t) e−ikt dt .

0

Umgekehrt: Geht eine gegebene 2π-periodische Funktion t 7→ f˜(t) durch die formale Substitution eit := z (d.h., durch die “Verpflanzung” von f˜ auf den Einheitskreis) in eine analytische Funktion f : G → C u ¨ber, so lassen sich die ˜ Fourier-Koeffizienten von f als Laurent-Koeffizienten von f begreifen. F¨ ur deren Berechnung stehen dann die Methoden der Komplexen Analysis zur Verf¨ ugung, siehe dazu Beispiel 4.5.° 4. Bis dahin haben wir immer von periodischen, also auf ganz R erkl¨ arten Funktionen gesprochen. Mit Hilfe von Fourier-Reihen lassen sich aber auch Funktionen darstellen, die nur auf einem endlichen x-Intervall I := [ a, b ] der L¨ ange L := b − a erkl¨art sind. Bsp: [−π, π ], [ 0, L ], [−a, a ] Man denkt sich einfach diese Funktionen L-periodisch auf ganz R fortgesetzt (wobei es an den Endpunkten von I zu Konflikten kommen kann) und berechnet die Fourier-Koeffizienten durch Integration u ¨ber das Intervall I, wo die Ausgangsfunktion f explizit vorliegt: 2 ak = L

Z

b a

2kπx dx , f (x) cos L

2 bk = L

Z

b

f (x) sin a

2kπx dx . L

134

5 Fourier-Reihen

Dann gilt a0 X ³ 2kπx 2kπx ´ f (x) = + + bk sin ak cos 2 L L ∞

(a < x < b) .

k=1

° 1 Wir betrachten f¨ ur ein fest vorgegebenes α ∈ C \ Z die Funktion (−π ≤ t ≤ π)

f (t) := cos(αt)

(siehe die Fig. 5.2.1). Da f gerade ist, besitzt f eine formale Fourier-Reihe der Form ∞ a0 X ak cos(kt) f (t) Ã + 2 k=1

mit

2 ak = π

Z

π 0

1 cos(αt) cos(kt) dt = π

Z π³ 0

¡ ¢ ¡ ¢´ cos (α + k)t + cos (α − k)t dt .

1

–π

Im f(t)

π

0

t

Re f(t) α = 2.29 + 0.43i Fig. 5.2.1

Nach Voraussetzung u ¨ber α sind die dabei auftretenden Nenner 6= 0, und es ergibt sich à ¡ ¡ ¢¯ ! ¢ ¯π sin (α − k)t ¯¯π 1 sin (α + k)t ¯¯ ak = ¯ + ¯ π α+k α−k 0 0 ´ ³ k (−1) (−1)k 1 2α 1 . = = sin(απ) + sin(απ) 2 π α+k α−k π α − k2

5.2 Beispiele

135

Nach (5.4) konvergiert die Fourier-Reihe von f gegen f ; wir haben daher Ã

sin(απ) cos(αt) = π

∞

X (−1)k cos(kt) 1 + 2α α α2 − k 2 k=1

!

(−π ≤ t ≤ π) .

(1)

Damit w¨are das gegebene f auf seinem Definitionsintervall nach Fourier entwickelt. Wir bleiben noch einen Moment bei diesem Beispiel und setzen in (1) speziell t := 0. Nach Division mit sin(απ) 6= 0 ergibt sich 1 1 = sin(απ) π

Ã

∞

1 X 2α + (−1)k 2 α α − k2 k=1

!

.

(2)

Wir betrachten nun den bislang festgehaltenen Parameter α als eine komplexe Variable und schreiben daf¨ ur z. Die Formel (2) geht dann u ¨ber in 1 1 = sin(πz) π

Ã

³ 1 1 X 1 ´ + + (−1)k z z−k z+k ∞

k=1

!

(z ∈ C \ Z) ,

was wir als eine “Partialbruchzerlegung” der Funktion φ(z) := 1/ sin(πz) auffassen k¨onnen. Die Zerlegung bringt zum Ausdruck, daß diese Funktion an den Stellen k ∈ Z je einen einfachen Pol besitzt. Erteilen wir in (1) der Variablen t den Wert π, so ergibt sich analog 1 cot(απ) = π bzw. 1 cot(πz) = π

Ã

Ã

∞

1 X 2α + α α2 − k 2 k=1

1 ´ 1 X³ 1 + + z z−k z+k ∞

k=1

!

!

(z ∈ C \ Z)

und damit eine “Partialbruchzerlegung” des Cotangens.

°

136

5 Fourier-Reihen

y π2

y = t2

–π

0

π

t

Fig. 5.2.2

° 2 Die 2π-periodische Fortsetzung der Funktion f (t) := t2

(−π ≤ t ≤ π)

(siehe die Fig. 5.2.2) ist offensichtlich lipstetig. Somit besitzt f nach (5.4) eine Fourier-Darstellung der Form f (t) =

∞

a0 X ak cos(kt) + 2 k=1

Dabei ist

2 a0 = π

Z

π

t2 dt = 0

(−π ≤ t ≤ π) . 2π 2 , 3

und f¨ ur k ≥ 1 gilt ¯π ¶ µ Z Z ¯ 2 π 2 2 π 2 1 2 ¯ t cos(kt) dt = t sin(kt) dt t sin(kt)¯ − ak = π 0 π k k 0 0 ↓ ↑ ↓ ↑ ¯π µ ¶ Z π ¯ 1 1 4 cos(kt) dt − t cos(kt)¯¯ + =0− kπ k k 0 0 =

4(−1)k +0 . k2

Damit erhalten wir die Identit¨ at ∞

π 2 X 4(−1)k t = cos(kt) + 3 k2 2

k=1

(−π ≤ t ≤ π) .

(3)

5.2 Beispiele

137

Wir benutzen dieses Resultat, um einen Wert der Riemannschen Zetafunktion ζ(s) :=

∞ X 1 ks

(Re s > 1)

k=1

zu berechnen: Setzt man in (3) speziell t := π, so ergibt sich ∞

X 1 π2 . π = +4 3 k2 2

k=1

Damit ergibt sich f¨ ur die Summe der reziproken Quadratzahlen der Wert ∞ X 1 π2 , ζ(2) = = k2 6 k=1

den Euler als erster gefunden hat.

°

In technischen Anwendungen treten h¨ aufig Funktionen mit Sprungstellen auf, zum Beispiel Rechteckspulse oder auch kompliziertere Signale, die pl¨ otzlich ein- bzw. ausgeschaltet werden. Wie steht es da mit der Fourier-Entwicklung? Um die zu erwartenden Ph¨anomene zu ergr¨ unden, betrachten wir die einfachste periodische Funktion mit Sprungstellen, die sich denken l¨ asst (Fig. 5.2.3):  π−t 2 J(t) :=  J(t + 2π)

(0 < t < 2π) (t ∈ R)

(J f¨ ur jump). Die Sprungstellen befinden sich an den Punkten 2kπ; in diesen Punkten lassen wir die Funktion zun¨ achst undefiniert. Auf die FourierKoeffizienten hat das keinen Einfluss, da sie durch Integration zustandekommen. Die Funktion J ist ungerade; wir berechnen daher nur ihre Sinuskoeffizienten bk : 2 bk = π

Z

π

1 1 (π − t) sin(kt) dt = 2 π 0 ↓ ↑ ¯π ¯ 1 1 1 ¯ = − sin(kt) ¯ = . 2 ¯ k πk k 0

Ã

¯π Z ! π cos(kt) ¯¯ cos(kt) −(π − t) dt ¯ − k ¯ k 0 0

138

5 Fourier-Reihen

y π/2 y = J(t) 0

2π

t

–π/2 Fig. 5.2.3

Demnach besitzt J die folgende formale Fourier-Entwicklung: J(t) Ã

∞ X sin(kt)

k=1

k

.

(4)

Wir stellen schon einmal fest, dass die Fourier-Koeffizienten mit k → ∞ nur P∞ sehr langsam abnehmen. Da die harmonische Reihe k=1 1/k divergiert, ist die erhaltene Reihe (4) nicht absolut konvergent und f¨ ur numerisches Arbeiten unbrauchbar. Trotzdem kann man sich fragen, ob sie die Funktion J wenigstens “auf dem Papier” repr¨ asentiert. Das ist nun in der Tat der Fall. Wie wir gleich zeigen werden, gilt n¨ amlich (wir wechseln den Variablennamen) ∞ X π−φ sin(kφ) = (0 < φ < 2π) , (5) k 2 k=1

und f¨ ur φ = 0 hat die Reihe nat¨ urlich den Wert 0. An der Sprungstelle 0 liegt demnach der folgende Sachverhalt vor: lim sN (0) = 0 =

N →∞

J(0+) + J(0−) . 2

(6)

H¨ atten wir also von Anfang an J(0) := 0 definiert (was hiermit nachgeholt sei), so w¨ urde in (4) anstelle von à f¨ ur alle t das Gleichheitszeichen gelten. Zum Beweis von (5) betrachten wir die analytische Funktion ∞ X 1 k f (z) := z k k=1

¡

¢ |z| < 1 .

5.2 Beispiele

139

Es ist f (0) = 0 und f 0 (z) =

∞ X

z k−1 = 1 + z + z 2 + . . . =

k=1

1 . 1−z

Hieraus schliessen wir auf f (z) = −Log (1 − z) = ln

1 − i Arg (1 − z) |1 − z|

¡

¢ |z| < 1 .

Wir schreiben nun z = r eiφ und haben dann ∞ X sin(kφ)

k=1

k

rk = Im f (z) = −Arg (1 − reiφ )

(r < 1) .

F¨ uhren wir hier auf beiden Seiten den Grenz¨ ubergang r → 1− durch, so ergibt sich ∞ X sin(kφ) = −Arg (1 − eiφ ) , k k=1

und ein Blick auf die Fig. 5.2.4 zeigt, dass hier die rechte Seite den behaupteten Wert (π − φ)/2 hat.

eiφ reiφ 1 – eiφ φ

π–φ 2 1

Fig. 5.2.4

Dieses Beispiel scheint sehr speziell. Trotzdem k¨ onnen wir nun einen allgemeinen Satz daraus machen:

140

5 Fourier-Reihen

(5.5) Die 2π-periodische Funktion f sei stetig differenzierbar bis auf endlich viele Sprungstellen τ1 , . . ., τr ∈ R/2π, wobei in den Sprungstellen die einseitigen Grenzwerte von f und f 0 existieren. Dann gilt   f (t) lim sN (t) = N →∞  f (τj +) + f (τj −) 2

(t 6= τj , 1 ≤ j ≤ r) (t = τj )

.

Zur Vereinfachung nehmen wir von vorneherein f (τj ) =

f (τj +) + f (τj −) 2

(1 ≤ j ≤ r)

an und m¨ ussen dann zeigen, dass limN →∞ sN (t) = f (t) f¨ ur alle t zutrifft. Es seien (1 ≤ j ≤ r) pj := f (τj +) − f (τj −) die Sprungh¨ohen an den Stellen τj . Mit diesen pj bilden wir nun die Funktion g(t) := f (t) −

r 1X pj J(t − τj ) . π j=1

(7)

Die Funktion g ist stetig differenzierbar, ausser vielleicht in den Punkten τj . In einem derartigen Punkt gilt ¢ 1 ¡ pj J(0+) − J(0) π pj =0 = f (τj +) − f (τj ) − 2

g(τj +) − g(τj ) = f (τj +) − f (τj ) −

(nur ein J-Summand liefert einen Beitrag) und analog g(τj −) − g(τj ) = 0. Hiernach ist g in den Punkten τj stetig und folglich auf R/2π st¨ uckweise glatt. Damit ist g lipstetig und wird nach (5.4) durch seine Fourier-Reihe dargestellt. Wir haben oben gesehen, dass auch J durch seine Fourier-Reihe repr¨asentiert wird; dasselbe gilt von den Translatierten t 7→ J(t − τj ), und wegen r 1X f (t) = g(t) + pj J(t − τj ) π j=1 trifft dies schliesslich auch f¨ ur f zu.

5.2 Beispiele

141

° 3 Wir betrachten einen T -periodischen Rechteckspuls der Breite a < T und der “Gesamtenergie” 1:

f (t) :=

 1     a

0      f (t + T )

³

|t| ≤

³a

a´ 2

0) .

Damit erhalten wir die folgende Fourier-Zerlegung unseres Rechteckspulses: ∞ akπ 2 X 2kπt 1 sinc + cos . f (t) = T T T T k=1

Die Fourier-Koeffizienten oszillieren also in eigent¨ umlicher Weise und gehen mit k → ∞ wie 1/k gegen 0. ° Wir haben schon darauf hingewiesen, dass die Fourier-Reihe der Sprungfunktion J nur schlecht konvergiert, und zwar f¨ ur alle t, nicht nur f¨ ur die t in der N¨ ahe der Sprungstelle. In der N¨ ahe der Sprungstelle tritt aber noch ein besonders unangenehmer Effekt auf, der als Gibbssches Ph¨anomen bezeichur N := 15 zusammen net wird. Betrachte hierzu die Fig. 5.2.5, wo wir sN f¨ mit f dargestellt haben. Es zeigt sich, dass sN den Maximalwert π2 von J unmittelbar rechts von 0 um ein geh¨ origes St¨ uck u ¨berschiesst. Das ist kein “numerischer Artefakt”, und der Effekt verschwindet auch nicht, wenn man zu gr¨osseren Werten von N u ¨bergeht. Wir behaupten n¨ amlich: An der Stelle π tN := N nimmt sN einen Wert σN an mit lim σN =

N →∞

Z

π 0

. sinc t dt = 1.852 .

142

5 Fourier-Reihen

1.852

sN

π/2 J

t

0

π Fig. 5.2.5

F¨ ur sN verweisen wir auf (4). Der Wert σN l¨ asst sich als Riemannsche Summe f¨ ur das angeschriebene Integral interpretieren: σN := sN (tN ) =

N X sin(kπ/N )

k=1

k

=

Z π N X π sin(kπ/N ) . sinc t dt . = N kπ/N 0

k=1

Es ist klar, dass das Gibbssche Ph¨ anomen bei jeder Funktion mit Sprungstellen auftritt, also auch bei dem in Beispiel ° 3 betrachteten Rechteckspuls.

5.3 Theoretische Erg¨anzungen Auf Grund der Orthogonalit¨atsrelationen (5.2)(a) und des Hauptsatzes (5.4) stellen die Funktionen ek (k ∈ Z) eine Art orthonormierter Basis des Funktionenraums © ¯ ª X := f ¯ f : R/2π → C

5.3 Theoretische Erg¨anzungen

143

dar. Dann m¨ usste aber auch ein “Satz von Pythagoras” gelten. Das ist in der Tat der Fall und bildet den Inhalt des folgenden Satzes, genannt Parsevalsche Formel: 2 ¯ Es sei ¢ f eine 2π-periodische Funktion mit kf k < ∞, und es seien ¡(5.6) ck ¯ k ∈ Z die Fourier-Koeffizienten von f . Dann gilt ∞ X

|ck |2 = kf k2 :=

k=−∞

1 2π

Z

2π

|f (t)|2 dt .

0

Wir beweisen das f¨ ur lipstetige f ∈ X , wo uns die Fehlerabsch¨ atzung 5.1.(11) zur Verf¨ ugung steht. Diese Absch¨ atzung liefert 1 ksN − f k = 2π 2

Z

2π

|sN (t) − f (t)|2 dt ≤

0

1 64C 2 2π N

(N ≥ 1) .

Hieraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung 0 ¯ ¯ ¯ksN k − kf k¯ ≤ ksN − f k ≤ √C N

(N ≥ 1)

und somit limN →∞ ksN k = kf k bzw. limN →∞ ksN k2 = kf k2 . Auf Grund der Orthogonalit¨ atsrelationen(5.2)(a) ist aber 2

ksN k =

N D X

c k ek ,

k=−N

N X

l=−N

E

cl el =

N X

k=−N

|ck |2 .

Damit verbleibt das R¨atsel (5.4). Warum funktioniert das alles? Um hier weiter zu kommen, ben¨otigen wir eine Darstellung von sN , an der sich der Zusammenhang mit der Ausgangsfunktion f ohne den Umweg u ¨ber die ck direkt ablesen l¨asst. Aus 5.1.(7) ergibt sich bei passender Wahl des Integrationsintervalls: sN (x) =

N X

ck e

ikx

k=−N

=

1 2π

Z

¶ µ Z x+π N X 1 −iks = f (s)e ds eikx 2π x−π k=−N

x+π

f (s) x−π

N X

k=−N

eik(x−s) ds .

144

5 Fourier-Reihen

Substitutieren wir im letzten Integral s := x − t (−π ≤ t ≤ π), so geht dies u ¨ber in Z π N X 1 sN (x) = f (x − t) eikt dt . 2π −π k=−N

Hier ist der zweite Faktor unter dem Integralzeichen eine universelle, gemeint ist: von f unabh¨angige Funktion. Diese Funktion DN (t) :=

N X

eikt

k=−N

(N ≥ 0)

heisst Dirichletscher Kern und ist ein trigonometrisches Polynom vom Grad N . Wir notieren also die folgende Integraldarstellung von sN : (5.7) Es sei f eine 2π-periodische Funktion und sN die N -te Partialsumme der Fourier-Reihe von f . Dann gilt Z π 1 f (x − t)DN (t) dt (x ∈ R) sN (x) = 2π −π mit

 ¢ ¡ 1 )t sin (N +  2  (t ∈ / 2πZ) sin( 12 t) , DN (t) =   2N + 1 (t ∈ 2πZ) Z π 1 DN (t) dt = 1 . 2π −π

(1)

(2)

Zum Beweis von (1) produzieren wir eine teleskopierende Summe: ¡

e

it/2

−e

−it/2

¢

DN (t) =

N X ¡

k=−N

ei(k+1/2)t − ei(k−1/2)t

= ei(N +1/2)t − ei(−N −1/2)t .

¢

Soviel f¨ ur t ∈ / 2πZ ; der angegebene Spezialwert ist klar. — Die Behauptung (2) folgt unmittelbar aus der Definition von DN . Betrachten wir den Graphen von DN (Fig. 5.3.1), so k¨ onnen wir (5.7) folgendermassen interpretieren: Der Wert sN (x) ist ein gewogenes Mittel der Funktion f u ¨ber das Intervall [ x−π, x+π ], und letzten Endes haben s¨ amtliche von

5.3 Theoretische Erg¨anzungen

145

2N + 1

DN

π N + 1/2

–π

π

Fig. 5.3.1

f angenommenen Werte einen gewissen Einfluss auf die Zahl sN (x). Dabei ist allerdings die “Masse” der Gewichtsfunktion DN um t = 0 herum konzentriert, so daß in erster Linie die f -Werte in der unmittelbaren Umgebung von x im Integral zum Zuge kommen. Zum andern bewirkt die rasche Oszillation von DN , dass die Beitr¨age aus entfernteren Bereichen rasch alternierend mit positiven und negativen Gewichten versehen werden und sich so nur wenig auswirken. Da nun das Totalgewicht (unter Ber¨ ucksichtigung der Vorzeichen) gerade 1 ist, scheint damit plausibel, daß f¨ ur eine “sch¨ one” Funktion f und . hinreichend großes N gilt: sN (x) = f (x). Zum Schluss dieses Kapitels beweisen wir den Satz (5.4). Um die nachfolgenden Rechnungen etwas zu vereinfachen, ¨ andern wir aussersten Glieder sollen nur mit dem die Definition von sN leicht ab: Die ¨ Gewicht 12 in die Summe aufgenommen werden. Wir argumentieren also u ¨ber 1 s˜N (x) := c−N e−iN x + 2

N −1 X

k=−N +1

1 ck eikx + cN eiN x 2

˜ N ist offensichtlich mit DN statt u ¨ber sN . Die zugeh¨orige Kernfunktion D verkn¨ upft durch ¡ ¢ 1 iN t −iN t sin (N + )t + e e 2 ˜ N (t) = DN (t) − − cos(N t) , = D 2 sin( 12 t)

146

5 Fourier-Reihen

so dass wir als Analogon zu (1) die folgende Formel erhalten:   sin(N t) cot t (t ∈ / 2πZ) ˜ 2 DN (t) = .  2N (t ∈ 2πZ)

(3)

Wir schreiten nun zu weiteren Vereinfachungen: Die Darstellung (5.7) zeigt, dass es gen¨ ugt, 5.1.(11) f¨ ur t = 0 zu beweisen; dabei d¨ urfen wir nach Subtraktion einer Konstanten f (0) = 0 annehmen. Endlich wollen wir anstelle der Lipschitzbedingung 5.1.(10) von vorneherein |f 0 (t)| ≤ C

(t ∈ R)

voraussetzen. Die Behauptung lautet dann ¯ ¯ 8C ¯s˜N (0)¯ ≤ √ N

(N ≥ 1) .

(4)

˜ N (Fig. 5.3.2) hat f¨ Die Funktion D ur grosse N saftige Ausschl¨ age nach oben und unten, besitzt aber wesentlich zahmere Stammfunktionen. Dies werden wir in unserem Beweis auf geschickte Art ausn¨ utzen. Dabei werden wir wiederholt von dem folgenden einfachen Lemma Gebrauch machen: (5.8) Besitzt die Funktion g auf dem Intervall [ a, b ] eine Stammfunktion vom Betrag ≤ M , so gilt ¯ ¯Z ! Ã Z b ¯ ¯ b ¯ ¯ f (t)g(t) dt¯ ≤ M |f (a)| + |f (b)| + |f 0 (t)| dt . ¯ ¯ ¯ a a Dies folgt unmittelbar aus der Formel f¨ ur die partielle Integration.

Nach (5.7) ist 1 s˜N (0) = 2π

Z

π

˜ N (t) dt f (t)D

−π

Wir zerlegen hier die rechte Seite in zwei Teile (vgl. die heuristischen Betrachtungen weiter oben): ! ÃZ Z 2π−δ δ 1 ˜ N (t) dt + ˜ N (t) dt =: 1 (I1 + I2 ) , f (t)D f (t)D s˜N (0) = 2π 2π −δ δ

5.3 Theoretische Erg¨anzungen

147

2N

∼

DN

π/N

–π

π

Fig. 5.3.2

√ wobei wir uns die Wahl von δ > 0 noch vorbehalten (δ := 1/ N wird sich als optimal herausstellen). Betrachtet man die alternierenden Buckel der Figur 5.3.2, so kommt man zu dem folgenden Schluss: F¨ ur −δ ≤ x ≤ δ gilt auf Grund von (3): ¯ Z π/N ¯Z x Z ¯ ¯ t t0 1 π 0 ˜ ¯ ¯ D (t) dt ≤ sin(N t) cot sin t cot dt = dt0 N ¯ ¯ 2 N 0 2N 0 0 Z π sin t0 ≤2 ≤ 2π ; t0 0 dabei haben wir cot φ