Formulas Matemáticas

TRIGONOMETRÍA Radian Grados sen a

0 2π π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

C B a A

0

0

cos a

tag a

1

0

√3 / 2 √3 / 3 √2 / 2 √2 / 2 1 √3 / 2 1 / 2 √3 ∞ 1 0

30º

1/2

45º 60º 90º 180º

0

-1

0

270º

-1

0

∞

sen a = B / C cos a = A /C tag a = sen a /cos a = B / A cosec a = sen-1 a sec a = cos-1 a cotag a = tag-1 a sen2 x + cos2 x = 1

Fundamental

sen x = √ 1 - cos2 x 1 + tag 2 x = sec2 x sen ( a ± b ) = sena cosb ± cosa senb cos ( a ± b ) = cosa cosb -/+ sena senb

Angulo suma / resta

tag a ± tag b tag ( a ± b ) = --------------------1 –/+ tag a tag b sen 2a = 2 sen a cos a cos 2ª = cos2 a - sen2 a

Angulo doble 2 tag a tag 2a = --------------------1 – tag2 a

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Formulas Matemáticas sen a/2 = √ (1- cos a) / 2 Angulo mitad

cos a/2 = √ (1 + cos a) / 2 tag a/2 = √ (1 – cos a) / (1 + cos a) 1 – cos a = 2 sen2 a/2 1 + cos a = 2 cos2 a/2

Útiles para integrales

1 – sen a = 1 + cos(π/2 – a) sen2 a = ½(1- cos 2a) cos2 a = ½(1 + cos 2a)

sen a + sen b = 2 sen ((a+b)/2) cos((a-b)/2) Convertir sumas en productos

sen a - sen b = 2 cos ((a+b)/2) sen((a-b)/2) cos a + cos b = 2 cos ((a+b)/2) cos((a-b)/2) cos a - cos b = -2 sen ((a+b)/2) sen((a-b)/2)

sen a sen b = - ½ [cos(a+b) - cos(a-b)] Convertir productos en sumas

cos a cos b = ½ [cos(a+b) + cos(a-b)] cos a sen b = ½ [sen(a+b) - sen(a-b)] sen a cos b = ½ [sen(a+b) + sen(a-b)]

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Formulas Matemáticas ECUACIONES DE LA RECTA Punto (x0,y0) pendiente m

Pasa por los puntos (x0,y0) y (x1,y1)

y- y0 = m (x - x0) y- y0

x - x0

--------------- = ---------------

y1- y0

x1 - x 0

Distancia entre los punto (x0,y0) y (x1,y1)

D = √(x1 –x0)2 + (y1 – y0) 2

Distancia de un punto (x0,y0) a la recta Ax+By+C=0

Ax0 + By0 + C D = ------------------------√A2 + B 2

Ecuación de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x0

y- f(x0) = f’(x0) (x - x0)

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Formulas Matemáticas Función

Derivadas

X A un u ±v u. v u/v

1 0 n .un-1.u’ u’ ± v’ u’.v + u .v’ u’ v – u v’ / v2

Ejemplo

2x 2 5 0 5 (sen x) 5(sen x)4 cos x 4x +3x2 4 + 6x x.sen x sen x +x cos x 3x / sen x 3sen x - 3x cos x / sen2x √u u’ / 2√ u √ sen x cos x / 2 √sen x u u 3x e u’ e e 3 e3x au u’ au ln a 53x 3 53x ln 5 ln u u’ / u ln sen x cos x / sen x sen u u’ cos u sen x2 2x cos x2 cos u - u’ sen u cos x2 -2x sen x2 tag u u’ / cos2 u tag x2 2x / cos2 x2 arc sen u arc sen x2 2x / √1 – x4 u’ / √1 – u2 arc cos u arc cos x2 -2x / √1 – x4 - u’ / √1 – u2 arc tag u arc sen x2 2x / √1 – x4 u’ / √1 – u2 uv v uv-1 u’ + uv v’ (3x)sen x ln u sen x .(3x)(sen x)-1 3 + (3x)sen x cos x ln (3x) x, u, v e

Son funciones a

es un número real.

es el numero e, un numero irracional que vale 2,718281828

El logaritmo en una base de un numero, es el numero al que hay que elevar la base para obtener dicho numero. loga b = c

ac = b

Propiedades de los logaritmos . : log a*b = log a + log b, log a/b = log a – log b, log ab = b log a

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Formulas Matemáticas

Representación Grafica Valores de x para los que existe f(x). Hay que prestar atención a :

Dominio de la función :

o Ceros en el denominador o Raices pares de numeros negativos o Logaritmos de cero o numeros negativos. o Arc sen y Arc cos [-1,1]

Técnica : Si hay cocientes buscar los ceros de cada uno, pintar las dos rayas y multiplicar los signos.

Simetrias :

Asintotas

Cortes ejes Crecimiento Concavidad y Convexidad Maximos, minimos y puntos de inflexion

Eje Ordenadas (Y) f(-x) = f(x) Eje Absisas (X) Raices con + y – Origen : f(-x) = - f(x) Verticales : x = a tal lim f(x) = ∞ x->a Horizontales : y = a tales lim f(x) = a x->+∞ o -∞ Oblicuas : y = m x + n m = lim [f(x) / x] y n = lim [f(x) – m x] x->∞ x->∞ Para x = 0 hallar y Para y= 0 hallar x Primera derivada = 0, y luego se ve cuando es positiva y negativa. Hay que mirar tambien los puntos de discontinuidad y estudiar el signo a su alrededor. Segunda derivada = 0, y luego se ve cuando es positiva y negativa. + Cóncava - Convexa Máximo : f ’ (x) = 0 y f ’’ (x) negativa Mínimo : f ’ (x) = 0 y f ’’ (x) + P. Inflexión : f ‘’ (x) = 0 y f ‘’’(x) # 0

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Formulas Matemáticas

Integrales Integral por partes ∫ P(x) / a x + b ∫ P(x) / (a x + b) n

∫ A / a x2 + b x + c

∫ P(x) / a x2 + b x + c

∫ u dv = u v - ∫ v du ∫ D / d = ∫ C + ∫ R / d (esta por ln) Cambio a x + b = t y despejar x Si hay soluciones reales α y β : ∫A / ax2 + bx +c = ∫A/ a(x-α)(x-β)= A/a [ ∫M/(x-α) dx + ∫ N/(x-β) dx ] Si son imaginarias hay que buscar un cuadrado perfecto c- b2/4a + (√a x ± b/2√a ) 2 luego se busca un arc tag. Si grado de P(x) es mayor o igual que 2 se divide, se aplica : ∫ D / d = ∫ C + ∫ R / d esta última se descompone y se hace por un ln la que se queda con la x y la otra como el punto anterior.

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Formulas Matemáticas

Integrales Definidas Valor medio

1/(b-a) ∫ ba f(x) dx

Longitud del arco

∫ ba √1 + y’2 dx

Area de la superficie revoluc.

2π ∫ y√1 + y’2 dx

Volumen revolución

π∫ y2dx

Matrices Matriz Inversa

Se halla |A| y si es distinto de 0 Se halla la traspuesta At Se halla la adjunta de la traspuesta Adj(At) . Cada menor con su signo pero sin multiplicar por el. Y se divide por el determinante

Ultimos temas Es u v = |u| |v| cos(u,v) O u v = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 Producto escalar

Sirve para hallar el angulo que forman dos vectores despejando el cos, o para ver si son ortogonales (perpendiculares) : Producto escalar = 0 Un vector con modulo : |u * v| = |u| |v| sen(u,v) Y perpendicular a los dos.

Producto vectorial

Se halla con el determinante | i

j

k|

| x1 y1 z1| |x2 y2 z2| Da el area del paralelepipedo Pag. 7 de 9

Formulas Matemáticas

Ultimos temas Producto mixto

Ecuaciones de la recta

Ecuaciones del plano

Da el volumen del ortoedro Vectorial : (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(v1,v2,v3) Parametrica x = xo + t v1 y = yo + t v2 z = zo + t v3 Continua x-xo y –yo z – zo ------ = ------- = -------v1 v2 v3 General o implícita (dos planos) Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 Para hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (xo,yo,zo) y es perpendicular al plano Ax+By+Cz+D= 0, usamos el vector normal del plano (A,B,C) como director de la recta. Vectorial : (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(v1,v2,v3)+ s(w1,w2,w3) Parametrica x = xo + t v1 +s w1 y = yo + t v2 + s w2 z = zo + t v3 + sw3 Para pasar a la general hacemos el determinante : |x-xo y –yo z – zo| | v1 v2 v3 | | w1 w2 w3 | General o implícita Pag. 8 de 9

Formulas Matemáticas Ax + By + Cz + D = 0

Distancia de un punto a un recta

Distancia de un punto a un plano

Para hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto (xo,yo,zo) y es perpendicular a la recta dada por dos planos. Hacemos el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos y lo usamos comol vector normal del plano (A,B,C) y aplicamos la formula A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 Hayamos la ecuación del plano que contiene al punto y es perpendicular a la recta. Hayamos la intercesión de la recta y el plano (3 ecuaciones y 3 incognitas) Hayamos la distancia de dos puntos: Raiz((x1-xo) 2+(y1-yo) 2+(z1-zo) 2 Axo+Byo+Czo+D D=------------------------------Raiz(A2+B2+C2)

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