Formelsammlung

Kapitel 1: Grundlagen der Kapitalmarkttheorie und des Portfoliomanagements (1.1) Periodische Anlagenrendite r=

(Pt − P0 ) + Divt Pt − P0 Divt = + P0 P0 P0

(1.2) Vierjährige Rendite [(1 + r1 ) (1 + r2 ) (1 + r3 ) (1 + r4 )] − 1 (1.3) Arithmetische Rendite r=

r1 + r2 + . . . + rT 1 T = ∑ rt T T t=1

(1.4) Geometrische Rendite rG = [(1 + r1 ) (1 + r2 ) . . . (1 + rT )]

1/T

T

− 1 = [∏ (1 + rt )]

1/T

−1

t=1

(1.5) Geldgewichtete Rendite (IRR) T

∑ t=0

Cashflowst =0 (1 + IRR)t

(1.6) Nominale Rendite r = (1 + rRFreal )(1 + INFL)(1 + RP) − 1 E. Mondello, Portfoliomanagement, DOI 10.1007/978-3-658-02174-0, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

327

328

Formelsammlung

(1.7) Reale Rendite rreal = (1 + rRFreal )(1 + RP) − 1 (1.8) Reale Rendite rreal =

(1 + r) −1 (1 + INFL)

(1.9) Erwartete Rendite E(r) = (1 + rRFreal ) [1 + E(INFL)] [1 + E(RP)] − 1 (1.10) Durchschnittliche Abweichung der Renditen 1 T ∑ (rt − μ) T t=1 (1.11) Absolute durchschnittliche Abweichung der Renditen 1 T ∑ ∣rt − μ∣ T t=1 (1.12) Varianz der Grundgesamtheit σ2 =

1 T 2 ∑ (rt − μ) T t=1

(1.13) Standardabweichung der Grundgesamtheit  1 T ∑ (r − μ)2 σ= t T t=1 (1.14) Standardabweichung der Stichprobe   1 T 2 σ˜ =  ∑ (rt − r) T − 1 t=1 (1.15) Standardabweichung mit stetigen Renditen

σ˜ stetig

  1 T 2 = ∑ (rs,t − rs ) T − 1 t=1

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329

(1.16) Umrechnung Standardabweichung in einfache Renditen σ˜ = eσ˜ stetig − 1 (1.17) Downside-Risiko   1 N  ∑ Z2 T − 1 t=1 t (1.18) Value at Risk absolut VARabsolut = E(r)V − zα σV (1.19) Value at Risk in % VARin % = E(r) − zα σ (1.20) Value at Risk absolut mit Erwartungswert von null VARabsolut = −zα σV (1.21) Value at Risk in % mit Erwartungswert von null VARin % = −zα σ (1.22) Subadditivität VAR(A) + VAR(B) ≥ VAR(A + B) (1.23) Schiefe T

∑ (rt − r)

3

T t=1 ) ( (T − 1)(T − 2) σ˜ 3 (1.24) Excess Kurtosis T

⎛ ∑ (rt − r)4 ⎞ T(T + 1) 3(T − 1)2 t=1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− 4 ⎜ (T − 1)(T − 2)(T − 3) ⎟ (T − 2)(T − 3) σ˜ ⎝ ⎠

330

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(1.25) Bera-Jarque-Statistik T Kurtosis2 [Schiefe2 + ] 6 4 (1.26) Sharpe Ratio rP − rF σP (1.27) Information Ratio rP − rB σ P−B (1.28) Aktive Rendite rA = rP − rB (1.29) Aktive Rendite N

N

i=1

i=1

rA = ∑ wPi ri − ∑ wBi ri (1.30) Aktive Rendite N

rA = ∑ [(wPi − wBi )ri ] i=1

(1.31) Aktive Rendite N

rA = ∑ [(wPi − wBi )(ri − rB )] i=1

(1.32) Performance-Attribution N

N

N

i=1

i=1

i=1

rA = ∑ (wPi − wBi ) (rBi − rB ) + ∑ wBi (rPi − rBi ) + ∑ (wPi − wBi ) (rPi − rBi )

Kapitel 2: Optimales Portfolio (2.1) Erwartete Rendite mit historischen Daten E(r) =

1 T ∑ rt T t=1

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331

(2.2) Erwartete Rendite mit prospektiven Szenarien n

E(r) = ∑ Pi ri i=1

(2.3) Erwartete Rendite bei gleichen Szenariowahrscheinlichkeiten n

E(r) = ∑ Pi ri = i=1

1 T ∑ ri T i=1

(2.4) Varianz mit prospektiven Szenarien n

σ 2 = ∑ Pi [ri − E(r)]

2

i=1

(2.5) Varianz mit historischen Renditen σ2 =

1 T 2 ∑ [ri − E(r)] T − 1 i=1

(2.6) Standardabweichung mit historischen Renditen   1 T 2 σ= ∑ [ri − E(r)] T − 1 i=1 (2.7) Erwartete Rendite von zwei risikobehafteten Anlagen E(rP ) = w1 E(r1 ) + w2 E(r2 ) (2.8) Kovarianz mit prospektiven Szenarien n

Cov1,2 = ∑ Pi [ri,1 − E(r1 )] [ri,2 − E(r2 )] i=1

(2.9) Kovarianz mit historischen Renditen Cov1,2 =

1 T ∑ [ri,1 − E(r1 )] [ri,2 − E(r2 )] T − 1 i=1

(2.10) Korrelationskoeffizient ρ 1,2 =

Cov1,2 σ1 σ2

332

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(2.11) Varianz eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen σ 2P = w12 σ 21 + w22 σ 22 + w1 w2 Cov1,2 + w2 w1 Cov2,1 = w12 σ 21 + w22 σ 22 + 2w1 w2 Cov1,2 (2.12) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen σP =

√ w12 σ 21 + w22 σ 22 + 2w1 w2 Cov1,2

(2.13) Kovarianz Cov1,2 = ρ 1,2 σ 1 σ 2 (2.14) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen σP =

√ w12 σ 21 + w22 σ 22 + 2w1 w2 ρ 1,2 σ 1 σ 2

(2.15) Portfoliorisiko von zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von +1 σ P = w1 σ 1 + w2 σ 2 (2.16) Portfoliorisiko von N risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von +1 N

σ P = ∑ wi σ i i=1

(2.17) Varianz eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von (−1) σ 2P = (w1 σ 1 − w2 σ 2 )2 (2.18) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Korrelationskoeffizienten von (−1) σ P = ∣w1 σ 1 − w2 σ 2 ∣ (2.19) Gewichtungen von zwei risikobehafteten Anlagen bei einem Portfoliorisiko von null und einem Korrelationskoeffizienten von (−1) w1 =

σ2 σ1 + σ2

und w2 =

σ1 = 1 − w1 σ1 + σ2

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333

(2.20) Anteil der Anlage A im Minimum-Varianz-Portfolio bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen wA =

σ 2A

σ 2B − CovA,B + σ 2B − 2CovA,B

(2.21) Erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus N risikobehafteten Anlagen N

E(rP ) = ∑ wi E(ri ) i=1

(2.22) Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus N risikobehafteten Anlagen N

N−1

N

σ P = ∑ wi2 σ 2i + 2 ∑ ∑ wi wj covi,j i=1

i=1 j=i+1

(2.23) Konstruktion der Effizienzkurve (Optimierungsproblem) • Zielfunktion N

N−1

N

minimiere σ 2P durch Veränderung von w = ∑ wi2 σ 2i + 2 ∑ ∑ wi wj ρ i,j σ i σ j i=1

i=1 j=i+1

• Nebenbedingungen N

E(rP ) = ∑ wi E(ri ) = Z i=1

N

und

∑ wi = 1 und allenfalls

wi ≥ 0

i=1

(2.24) Gleichung der Effizienzkurve für Portfolio P √ σP =

(c −

ad a2 e d 2ae e + 2 ) + ( − 2 ) E(rP ) + 2 E(rP )2 b b b b b

(2.25) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen σ 2P = N (

1 1 ) σ2 + N(N − 1) ( 2 ) Cov 2 N N

(2.26) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen 1 N−1 σ 2P = ( ) σ2 + ( ) Cov N N (2.27) Portfoliorisiko bestehend aus einer systematischen und unsystematischen Komponente σ 2P = Cov + (σ 2P − Cov)

334

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(2.28) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen 1 N−1 ) ρσ2 σ 2P = ( ) σ2 + ( N N (2.29) Varianz des Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen σ 2P = σ2 (

1−ρ + ρ) N

(2.30) Nutzenfunktion 1 U = E(r) − Aσ 2 2 (2.31) Erwartete Rendite 1 E(r) = U + Aσ 2 2 (2.32) Erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio E(rGP ) = wF rF + wP E(rP ) (2.33) Varianz eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio σ 2GP = wF2 σ 2F + wP2 σ 2P + 2wF wP ρ F,P σ F σ P (2.34) Varianz eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio σ 2GP = wP2 σ 2P (2.35) Standardabweichungen eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und einem risikobehafteten Portfolio √ σ GP = wP2 σ 2P = wP σ P (2.36) Lineare Funktion Y = a + bX

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335

(2.37) Erwartete Portfoliorendite auf der Kapitalallokationslinie E(rGP ) = rF + (

E(rTP ) − rF ) σ GP σ TP

(2.38) Zielfunktion für die Maximierung der Sharpe Ratio maximiere Sharpe Ratio durch Veränderung von w =

E(rTP ) − rF σ TP

N

Nebenbedingung:

∑ wi = 1 i=1

(2.39) Gewichtung der Anlage A für das Tangentialportfolio bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen wA =

[E(rA ) − rF ] σ 2B − [E(rB ) − rF ] CovA,B [E(rA ) − rF ] σ 2B + [E(rB ) − rF ] σ 2A − [E(rA ) − rF + E(rB ) − rF ] CovA,B

(2.40) Maximierung der Nutzenfunktion 1 Max U = E(rGP ) − Aσ 2GP 2 (2.41) Maximierung der Nutzenfunktion 1 2 2 Max U = rF + wTP [E(rTP ) − rF ] − AwTP σ TP 2 (2.42) Nutzenmaximierendes Gewicht des Tangentialportfolios w∗TP =

E(rTP ) − rF Aσ 2TP

(2.43) Aufnahme einer risikobehafteten Anlage in einem bestehenden Portfolio E(rP ) − rF E(rneu ) − rF >( ) ρ Rneu,P σ neu σP (2.44) Innerer Wert (Preis) einer Aktie ∞

PreisAktie = ∑

FCFEt

t=1 [1 + E(r)]

t

(2.45) Erwartete Portfoliorendite auf der Kapitalmarktlinie (mit risikolosem Geldanlagesatz) E(rOP ) = rF + (

E(rMP ) − rF ) σ OP σ MP

336

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(2.46) Erwartete Portfoliorendite auf der Kapitalmarktlinie (mit risikolosem Geldaufnahmesatz) E(rOP ) = rB + (

E(rMP ) − rB ) σ OP σ MP

Kapitel 3: Einfaktormodelle (3.1) Regressionsgleichung des Marktmodells Ri,t = α i + β i RM,t + ε i,t (3.2) Erwartete Überschussrendite der Anlage i gemäß Marktmodell E(Ri ) = α i + β i E(RM ) (3.3) Varianz der Anlage i gemäß Marktmodell σ 2i = β 2i σ 2M + σ 2ε,i (3.4) Kovarianz der Anlagen i und j gemäß Marktmodell Cov(Ri , Rj ) = β i β j σ 2M (3.5) Korrelationskoeffizient der Anlagen i und j gemäß Marktmodell ρ i,j =

Covi,j = σi σj

β i β j σ 2M [β 2i σ 2M + σ 2ε,i ]

1/2

[β 2j σ 2M + σ 2ε,j ]

1/2

(3.6) Standardfehler der Schätzung bei einer linearen Regression   T  ∑ (Y − Y′ )2 t  t  t=1 SEE = T−2 (3.7) Determinationskoeffizient SSR erklärte Varianz SSR β 2i σ 2M T R = = −1 = = 2 2 SST totale Varianz β i σ M + σ 2ε,i SST T−1 2

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337

(3.8) Determinationskoeffizient R2 = 1 −

σ 2ε,i unerklärte Varianz SSE =1− =1− 2 2 2 totale Varianz β i σ M + σ ε,i SST

(3.9) t-Statistik für den „wahren“ Achsenabschnitt a t − StatistikT−2

für a =

α sα

für b =

β sβ

(3.10) t-Statistik für die „wahre“ Steigung b t − StatistikT−2 (3.11) Überschussrendite des Portfolios RP = α P + β P RM + ε P (3.12) Überschussrendite eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen N

R P = ∑ wi R i = i=1

1 N 1 N ∑ Ri = ∑ (α i + β i RM + ε i ) N i=1 N i=1

(3.13) Überschussrendite eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen RP =

1 N 1 N 1 N ∑ α i + ( ∑ β i ) RM + ∑ ε i N i=1 N i=1 N i=1

(3.14) Beta eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen βP =

1 N ∑ βi N i=1

(3.15) Alpha eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen αP =

1 N ∑ αi N i=1

(3.16) Residualrendite eines Portfolios bestehend aus gleichgewichteten Anlagen εP =

1 N ∑ εi N i=1

338

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(3.17) Portfoliovarianz bestehend aus systematischem und unsystematischem Risiko σ 2P = β 2P σ 2M + σ 2ε,P (3.18) Unternehmensspezifischer Anteil der Varianz eines gleichgewichteten Portfolios N 1 2 1 σ 2ε,P = ∑ ( ) σ 2ε,i = σ2ε N i=1 N

(3.19) Überleitung des Kapitalmarktlinienmodells in das Marktmodell E(rP ) − rF =

[E(rM ) − rF ] [E(rM ) − rF ] σP = β P σ M = [E(rM ) − rF ] β P σM σM

(3.20) Zufallsbewegung des Betas β i,t+1 = β i,t + ε i,t+1 (3.21) Korrektur des Betas hinsichtlich der Rückkehr zum Mittelwert von 1 adjustiertes Beta = a + b × historisches Beta (3.22) Rendite einer fair bewerteten Anlage i ri,t = rF + β i (rM,t − rF ) + ε i,t (3.23) Rendite einer nicht fair bewerteten Anlage i ri,t = α i + rF + β i (rM,t − rF ) + ε i,t (3.24) Erwartete Rendite des aktiven Portfolios E(rA ) = α A + rF + β A [E(rM ) − rF ] (3.25) Risiko des aktiven Portfolios σA =

√

β 2A σ 2M + σ 2ε,A

(3.26) Erwartete Rendite des Treynor/Black-Portfolios E(rOP ) = wA E(rA ) + (1 − wA )E(rM )

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339

(3.27) Gewichtung des aktiven Portfolios im Treynor/Black-Portfolio wA =

[E(rA ) − rF ] σ 2M − [E(rM ) − rF ] Cov(rA , rM ) [E(rA ) − rF ] σ 2M + [E(rM ) − rF ] σ 2A − [E(rA ) − rF + E(rM ) − rF ] Cov(rA , rM )

(3.28) Gewichtung des aktiven Portfolios im Treynor/Black-Portfolio w∗ =

αA α A (1 − β A ) + RM

σ 2ε ,A σ 2M

(3.29) Gewichtung des aktiven Portfolios im Treynor/Black-Portfolio bei einem Beta des aktiven Portfolios von 1 αA α A /σ 2ε,A R w0 = 2M = RM /σ 2M σ ε,A σ 2M (3.30) Beziehung zwischen den Gewichtungen von w0 und w∗ w∗ =

w0 1 + (1 − β A )w0

(3.31) Quadrierte Sharpe Ratio des Treynor/Black-Portfolios S2OP

RM 2 αA =[ ] +[ ] σM σ ε,A

2

(3.32) Gewichtung der Anlage i im aktiven Portfolio wi =

α i /σ 2ε,i N

∑ α i /σ 2ε,i

i=1

(3.33) Summe der quadrierten Information Ratios der nicht fair bewerteten Anlagen 2

[

N αi αA ] = ∑[ ] σ ε,A i=1 σ ε,i

2

(3.34) Sharpe Ratio und daraus abgeleitet die erwartete Portfoliorendite SP =

E(rP ) − rF → E(rP ) − rF = SP σ M σM

340

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(3.35) M2 -Statistik M2 = E(rP ) − E(rM ) = [E(rp ) − rF ] − [E(rM ) − rF ] (3.36) Durchschnittlich erzieltes Alpha gemäß Marktmodell α = R − βRM (3.37) Regressionsgleichung zwischen den geschätzten und realisierten Alphas α P,t = a + bαt + ε t (3.38) Varianz der prognostizierten Alphas σ 2α P = σ 2α + σ 2ε (3.39) Determinationskoeffizient der Alphas ρ2 =

σ 2α σ 2α + σ 2ε

(3.40) Überschussrendite der Anlage i gemäß Marktmodell ri − rF = α i + β i (rM − rF ) + ε i (3.41) Rendite der Anlage i (Regression zwischen Aktien- und Marktrenditen) ri = α i + β i rM + ε i (3.42) Rendite der Anlage i ri = rF + α i + β i rM − β i rF + ε i = α i + rF (1 − β i ) + β i rM + ε i (3.43) Rendite der Anlage i bei einem Alpha von null ri = rF (1 − β) + βrM + ε i (3.44) Kovarianz zwischen den Aktien- und Marktrenditen Cov(ri , rM ) = Cov(β i rM + ε i , rM ) = β i Cov(rM , rM ) + Cov(ε i , rM ) = β i σ 2M + 0 (3.45) Beta der Anlage i βi =

Cov(ri , rM ) ρ i,M σ i σ M ρ i,M σ i = = σ 2M σ 2M σM

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341

(3.46) Beta des Marktes von 1 ρ i,M σ i σ M ρ M,M σ M = =1 σ 2M σM

βM =

(3.47) Methode der kleinsten Quadrate: Minimierung der Residuenabweichungen T

T

t=1

t=1

2 ′ 2 ∑ ε i,t = ∑(ri,t − ri,t ) ⇒ minimieren

(3.48) Erwartete Rendite der Anlage i gemäß CAPM E(ri ) = rF + [E(rM ) − rF ] β i (3.49) Erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus zwei Anlagen E(rP ) = w1 E(r1 ) + w2 E(r2 ) (3.50) Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPM E(rP ) = w1 rF + w1 β 1 [E(rM ) − rF ] + w2 rF + w2 β 2 [E(rM ) − rF ] = rF + (w1 β 1 + w2 β 2 ) [E(rM ) − rF ] (3.51) Beta des Portfolios N

β P = ∑ wi β i i=1

(3.52) Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPM E(rP ) = rF + [E(rM ) − rF ] β P (3.53) Alpha der Anlage gemäß CAPM Alpha = (

(P1 − P0 ) Div1 + ) − (rF + [E(rM ) − rF ] β) P0 P0

(3.54) Erwartete Rendite einer Anlage i im Null-Beta-CAPM E(ri ) = E(r0−Beta ) + [E(rM ) − E(r0−Beta )] β i (3.55) Erwartete Rendite einer Anlage i nach Steuern E(ri,nach Steuern ) =

(P1 − P0 )(1 − SKG ) Div(1 − SEK ) + P0 P0

342

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(3.56) Treynor Ratio E(rP ) − rF βP (3.57) Rendite-Risiko-Gleichung des CAPM E(rP ) − rF = E(rM ) − rF βP (3.58) Überschussrendite des Portfolios gemäß Marktmodell E(rP ) − rF = α P + β P [E(rM ) − rF ] (3.59) Jensen’s Alpha α P = E(rP ) − rF − β P [E(rM ) − rF ] (3.60) Black-Treynor Ratio αP βP (3.61) Treynor Ratio E(rP ) − rF α P = + [E(rM ) − rF ] βP βP (3.62) Zusammenhang zwischen Treynor Ratio und Jensen’s Alpha Treynor Ratio =

αP + [E(rM ) − rF ] βP

Kapitel 4: Multifaktormodelle (4.1) Rendite einer Anlage i bestehend aus einem erwarteten und unerwarteten Teil ri,t = E(ri,t ) + ui,t (4.2) Rendite einer Anlage i bestehend aus einem erwarteten und unerwarteten Teil (systematisches und unsystematisches Risiko) ri,t = E(ri,t ) + mi,t + ε i,t

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343

(4.3) Rendite einer Anlage i gemäß makroökonomisches Multifaktormodell ri,t = E(ri,t ) + β i1 F1,t + β i2 F2,t + . . . + β iK FK,t + ε i,t (4.4) Portfoliorendite gemäß Einfaktormodell rP = E(rP ) + β P F (4.5) Rendite einer Anlage i gemäß Einfaktormodell ri,t = E(ri,t ) + β i Ft + ε i,t (4.6) Portfoliorendite als gewichteter Durchschnitt aller Aktienrenditen (Einfaktormodell) rP = w1 [E(r1 ) + β 1 F + ε 1 ] + w2 [E(r2 ) + β 2 F + ε 2 ] + . . . + wN [E(rN ) + β N F + ε N ] (4.7) Portfoliorendite als gewichteter Durchschnitt aller Aktienrenditen (Einfaktormodell) rP = w1 E(r1 ) + w2 E(r2 ) + . . . + wN E(rN ) + (w1 β 1 + w2 β 2 + . . . + wN β N )F + w1 ε 1 + w2 ε 2 + . . . + wN ε N (4.8) Diversifikationseffekt am Beispiel eines Einfaktormodells rP = E(rP ) + F +

1 1 1 ε1 + ε2 + . . . + εN N N N

(4.9) Diversifikationseffekt am Beispiel eines Einfaktormodells rP = E(rP ) + F (4.10) Erwartete Rendite einer Anlage i gemäß CAPM E(ri ) = rF + RPM β i (4.11) Erwartete Rendite einer Anlage i gemäß makroökonomischem Zweifaktormodell E(ri ) = rF + β BIP FBIP + β INFL FINFL (4.12) Erwartete Portfoliorendite gemäß APT E(rP ) = rF + β P,1 F1 + β P,2 F2 + . . . + β P,n Fn

344

Formelsammlung

(4.13) Erwartete Portfoliorendite über dem risikolosen Zinssatz gemäß APT E(r1 ) − rF = β 1 F1 + β 2 F2 + . . . + β n Fn (4.14) Makroökonomisches Faktormodell von Chen et al. ri,t = α i + β i,IP IPt + β i,IT EIt + β i,UI UIt + β i,US USt + β i,ST STt + ε i,t (4.15) Erwartete Rendite des S&P 500 gemäß APT E(rS&P500 ) = rF + 0,27CF + 0,56TR − 0,37IR + 1,71BR + 1,00MR (4.16) Fundamentales Faktormodell von Fama/French Ri,t = α i + β i,M RM,t + β i,SMB SMBt + β i,HML HMLt + ε i,t (4.17) Rendite einer Aktie im Fama/French-Faktormodell ri,t = rF + β i,M RM,t + β i,SMB SMBt + β i,HML HMLt (4.18) Erwartete Portfoliorendite N

E(rP ) = ∑ E(ri )wi i=1

(4.19) Portfoliobeta entspricht dem Beta des SPI (Aktienindex) N

β P = ∑ β i wi = β SPI i=1

(4.20) Rendite der Long-Short-Strategie rLong,t − rShort,t + rF (4.21) Varianz der Renditen der Long-Short-Strategie σ 2ε,Long + σ 2ε,Short + σ 2rF

Anhang A: Konstruktion der Effizienzkurve nach dem Markowitz-Modell in Microsoft Excel 2010

Die Konstruktion der Effizienzkurve erfolgt mit historischen Renditedaten, mit denen sich die erwartete Rendite, die Standardabweichung und die Kovarianz bzw. Korrelation verschiedener Anlagen berechnen lässt. Die dabei vorzunehmende Minimierung der Portfoliovarianz lässt sich bei mehr als zwei Anlagen mit dem Ansatz von Lagrange durchführen1, wobei sich die jeweiligen Berechnungen mit Microsoft Excel 2010 verhältnismäßig leicht bewältigen lassen. Im Folgenden wird dies für die Aktien von Novartis, Roche, Nestlé, ABB und Syngenta für den Zeitraum vom 1. September 2007 bis zum 31. August 2012 auf der Basis monatlicher Schlusskurse gezeigt. Zunächst muss die jeweils erwartete Rendite der verschiedenen Anlagen bestimmt werden. Dabei wird der Mittelwert der historischen Renditen über den untersuchten Zeitraum berechnet. Abbildung 1 zeigt, wie mittels der entsprechenden Formel die historischen einfachen Renditen aus den Schlusskursen bestimmt werden. Über die Formel (=MITTELWERT) lässt sich dann der Durchschnitt über diese historischen Renditen eruieren, der für die erwartete Rendite verwendet wird. Da die Bestimmung der Effizienzkurve in der Regel auf der Basis jährlicher Werte erfolgt, müssen die so ermittelten erwarteten Renditen auf einen jährlichen Zeithorizont umgerechnet werden. Abbildung 2 zeigt dieses Vorgehen und die entsprechende Formel beim Vorliegen von monatlichen Rohdaten. Neben der erwarteten Rendite wird für die Bestimmung der Effizienzkurve die geschätzte Standardabweichung der verschiedenen Anlagen benötigt. Diese berechnet sich auf Basis der historischen Renditen mit der Formel (=STABW.S). Sind die historischen Renditen unterjährig, so muss wiederum auf den jährlichen Wert umgerechnet werden. Die entsprechende Formel hierfür ist in Abb. 3 dargestellt. Um die geschätzte Kovarianz zwischen den verschiedenen Anlagen zu berechnen, kann zunächst die Korrelation zwischen den historischen Renditen der jeweiligen Anlagen mittels der Formel (=KORREL) bestimmt werden. Abbildung 4 zeigt dies für die Anlagen von Novartis und Nestlé. 1

Rendite-Risiko-Optimierungsverfahren mit Long- und Short-Positionen. Die Nebenbedingung, dass die Summe der Gewichte 1 ergibt, lässt sich mit der Technik der Lagrangemultiplikatoren bewältigen. 345

346

Anhang A

Abb. 1 Ermittlung der erwarteten Rendite aus historischen Kursen

Abb. 2 Umrechnung der monatlichen Rendite

Die Kovarianz zwischen den Renditen der Aktien von Novartis und Nestlé lässt sich durch die Multiplikation der jeweiligen Standardabweichungen mit dem gemeinsamen Korrelationskoeffizienten errechnen.

Anhang A

347

Abb. 3 Umrechnung der monatlichen Standardabweichung

Abb. 4 Korrelation der Renditen

Nun stehen alle Werte für die Bestimmung der Effizienzkurve zur Verfügung. Um die Berechnungen in Microsoft Excel 2010 vornehmen zu können, ist es sinnvoll, die erwarteten Renditen der Anlagen zu einem Renditevektor zusammenzufassen. Hierzu genügt es,

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Anhang A

Abb. 5 Renditevektor und Varianz-Kovarianz-Matrix

die jeweiligen Werte in einer Spalte untereinander anzuordnen. Ebenso werden die Varianzen der einzelnen Anlagen und die Kovarianzen zwischen den verschiedenen Anlagen in einer Matrix zusammengefasst. Abbildung 5 zeigt das Ergebnis dieser Strukturierung. Im nächsten Schritt müssen nun die Konstanten A, B und C berechnet werden, die für die Bestimmung der Effizienzkurve benötigt werden. Die Konstante A ergibt sich aus dem Produkt des transponierten Renditevektors (μ t ) mit der invertierten Varianz-Kovarianz-Matrix (Σ−1 ) und dem einfachen Renditevektor (μ): A = μ t Σ−1 μ. Um den Renditevektor in Microsoft Excel 2010 zu invertieren, müssen zunächst so viele Zellen in einer Reihe markiert werden, wie Anlagen im Portfolio berücksichtigt werden sollen. Abbildung 6 zeigt, wie diese Zellen nun mit der entsprechenden Formel (=MTRANS) belegt werden und als Datenbereich der zu transponierende Renditevektor angegeben wird.

Anhang A

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Abb. 6 Transponierung des Renditevektors

Es ist an dieser Stelle explizit darauf zu achten, dass die Eingabe nicht allein mit Enter, sondern mit der Tastenkombination Strg+Shift+Enter bestätigt wird, damit das Programm die Matrixrechnung als solche erkennt. Nun muss die Varianz-Kovarianz-Matrix invertiert werden. Hierzu wird ein freier Zellbereich markiert, der dieselbe Größe wie die entsprechende Matrix aufweist. Um die Matrix zu invertieren ist dieser Zellbereich mit der Formel (=MINV) zu belegen und für den Datenbereich die Varianz-Kovarianz-Matrix zu definieren. Wiederum muss die Eingabe mit der Tastenkombination Strg+Shift+Enter bestätigt werden. Abbildung 7 verdeutlicht dieses Vorgehen. Nach diesen Rechenschritten kann die Konstante A berechnet werden. Die Formel für die Multiplikation von Matrizen lauten in Microsoft Excel 2010 (=MMULT). Es ist ausgesprochen wichtig darauf zu achten, dass Vektoren und Matrizen immer in der richtigen Reihenfolge multipliziert werden. Es muss also zunächst der transponierte Renditevektor mit der invertierten Varianz-Kovarianz-Matrix multipliziert und erst dann der daraus resultierende Vektor mit dem Renditevektor multipliziert werden. Abbildung 8 fasst dieses Vorgehen zusammen.

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Anhang A

Abb. 7 Invertierung der Varianz-Kovarianz-Matrix

Ebenso gilt es, die Konstanten B und C nach folgenden Formeln zu bestimmen: B = 1t Σ−1 μ, C = 1t Σ−1 1. Das Vorgehen erfolgt hier nahezu identisch wie bei der Bestimmung der Konstanten A. Es muss lediglich an den entsprechenden Stellen der Renditevektor gegen den 1er-Vektor ersetzt werden. Abbildung 9 zeigt dies für die Konstante B. Wurden alle erforderlichen Konstanten bestimmt, so kann schließlich die Effizienzkurve ermittelt werden. Die von Markowitz verwendete Formel gibt auf Basis der Konstanten A, B und C für eine jeweilige Zielrendite das Portfolio mit der minimalen Varianz an: σ 2P =

A − 2Bμ P + Cμ 2P . AC − B2

Anhang A

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Abb. 8 Berechnung der Konstante A

Zu beachten ist dabei, dass es eine Vielzahl von Portfoliorenditen gibt, die zur selben Portfoliovarianz führen. Da ein Investor bei derselben Varianz jedoch immer das Portfolio mit der höheren Rendite wählen wird, ist strikt darauf zu achten, dass die Effizienzkurve nur aus den dominanten Portfoliokombinationen besteht.

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Anhang A

Abb. 9 Berechnung der Konstanten B

Um die Effizienzkurve in Microsoft Excel 2010 grafisch darzustellen, wird eine Reihe von Zielrenditen gewählt. Abbildung 10 zeigt, wie eine entsprechende Anzahl von Zielrenditen in einem Abstand von 0,5 % definiert wird. Nun wird für jede Zelle einer weiteren Spalte die entsprechende Formel für die Portfoliovarianz bzw. Effizienzkurve hinterlegt. Es ist darauf zu achten, dass die Variablen der Formel sich auf die entsprechenden Zellen beziehen, welche die Konstanten A, B und C

Anhang A

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Abb. 10 Definition einer Reihe von Zielrenditen

und die jeweilige Zielrendite enthalten. Es genügt dabei die Formel in die erste Zelle einzutippen und den Zellbezug zu den Konstanten A, B und C mit Dollarzeichen zu versehen, wie es die Abb. 11 zeigt. So kann die Formel in alle weiteren Zellen kopiert werden, da sich nur der Zellbezug für die Zielrendite wie gewünscht verändert. In einer weiteren Spalte muss die jeweils ermittelte Portfoliovarianz noch in die Standardabweichung umgerechnet werden. Ist dies vollzogen, so kann die Effizienzkurve als Diagramm dargestellt werden. Microsoft Excel 2010 bietet hierzu zahlreiche Möglichkeiten. Beispielsweise kann über den Reiter „Einfügen“ ein Punktediagramm mit verbundenen Datenpunkten gewählt werden. Definiert man für die X-Werte die Standardabweichung und für die Y-Werte die Zielrendite, so resultiert die bekannte Darstellung der Effizienzkurve. Dabei ist stets darauf zu achten, dass nur die in Bezug auf Rendite und Risiko dominanten Portfoliokombinationen in die Darstellung aufgenommen werden.

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Abb. 11 Portfoliovarianz bei gewählter Zielrendite

Anhang A

Anhang B: Konstruktion der Regressionsgleichung nach dem Marktmodell in Microsoft Excel 2010

Vorbereitungen Um die für das Marktmodell benötigte Regression mithilfe von Microsoft Excel durchzuführen, sind zunächst einige Einstellungsänderungen in der Grundausstattung der Software vorzunehmen. Hierzu ist das Optionsmenü aufzurufen, das unter der Registerkarte „Datei“ zu finden ist (vgl. Abb. 12).

Abb. 12 Öffnen des Optionsmenüs 355

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Anhang B

Abb. 13 Add-In Auswahl

Um die für die Regression notwendigen Add-In-Einstellungen auszuwählen, ist zunächst das Register „Add-Ins“ zu öffnen und das „Analysis ToolPak – VBA“ Add-In über das Feld „Gehe zu“ aufzurufen (vgl. Abb. 13). In der sich öffnenden Übersicht ist sicherzustellen, dass sowohl das Add-In „Analysis ToolPak“, als auch das Add-In „Analysis ToolPak – VBA“ mit einem Häkchen versehen und somit aktiviert sind. Sind diese Grundeinstellungen vorgenommen, kann man zur eigentlichen Entwicklung des Marktmodells voranschreiten. Hierzu sind die für das Marktmodell benötigten Rohdaten, namentlich die Kursdaten des verwendeten Marktindex, die Kursdaten des untersuchten Wertpapiers sowie die Daten zum risikolosen Zinssatz zu beschaffen. Dabei können beispielswiese Datenbanken von Bloomberg oder ThomsonOne verwendet werden, die i. d. R. auch ein eigenes Microsoft Excel Add-In zum Datendownload aufweisen. Zu beachten ist, dass die Daten die gewünschte Periodizität und eine genügend lange Zeitdauer haben, da sonst im Nachhinein die beobachteten Renditen auf eine andere Zeiteinheit skaliert werden müssen. Um die Plausibilität der vorhandenen Daten zu überprüfen, ist es sinnvoll, ein Diagramm mit dem historischen Kursverlauf durch das Programm zeichnen zu lassen. Mithilfe eines solchen Diagramms kann man überprüfen, ob der Kursverlauf stetig und mit der wirtschaftlichen Situation konsistent ist. Liegen die Daten in einer chronologischen

Anhang B

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Abb. 14 Erstellen eines historischen Kursdiagramms

Reihenfolge vor und sind die Daten bereits in zwei nebeneinanderliegenden Spalten dargestellt, so kann man das Diagramm durch das Programm zeichnen lassen. Mit der linken Maustaste können die beiden Spalten im gewünschten Zeithorizont markiert werden. Danach kann in der Registerkarte „Einfügen“, im Funktionscontainer „Diagramme“ unter dem Diagrammtyp „Linie“ beispielsweise die erste Variante ausgewählt werden (vgl. Abb. 14). Microsoft Excel erstellt im Folgenden einen historischen Kurs-Chart, der in unserem Beispiel die Entwicklung des SMI auf monatlicher Basis im Zeitablauf darstellt. Das so erzeugte Diagramm kann auch weiter angepasst werden. So können zum Beispiel die Achsen, die Überschriften und die Legende überarbeitet werden.

Berechnung Marktmodell Stehen die Kursdaten in Microsoft Excel zur Verfügung, sind die Renditen des ausgesuchten Marktindex sowie der entsprechenden Aktie zu ermitteln.2 Abbildung 15 zeigt die Renditeberechnung mit der entsprechenden Formel. Ein Doppelklick auf das Quadrat in der 2

Für die Auswahl der verwendeten Daten vgl. den Abschn. 3.2.3.

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Anhang B

Abb. 15 Renditeberechnung am Beispiel des SMI

unteren Ecke rechts der Zelle führt dazu, dass Microsoft Excel die fehlenden Renditen bis ans Ende der Zeitreihe automatisch vervollständigt. Alternativ kann das Quadrat durch das Halten der linken Maustaste bis hin zum gewünschten Datum gezogen werden. Da das Marktmodell die Verwendung von Überschussrenditen vorsieht, sind diese sowohl für den ausgewählten Index, als auch für die zu untersuchende Aktie zu eruieren. Hierzu ist zu empfehlen, ein neues Spreadsheet anzulegen, um eine möglichst übersichtliche Darstellung zu gewährleisten. Hat man die Überschussrenditen, also die Differenz zwischen den Renditen des ausgwählten Index bzw. der Aktie und dem risikolosen Zinssatz ermittelt, ist das unter der Registerkarte „Daten“ zu findende Tool „Data Analysis“ heranzuziehen (dieses befindet sich im äußersten Funktionscontainer rechts). Um nun die lineare Regression der Überschussrenditen durchzuführen, muss das Funktionswerkzeug „Regression“ ausgewählt werden. Es öffnet sich die Eingabemaske für die Eingabeparameter der Regression (vgl. Abb. 16). Die abhängige Variable, also die Überschussrendite der Aktie, ist in das Eingabefeld „Input Y Range“ einzugeben. Klickt man die an das Eingabefeld angrenzende Schaltfläche an (vgl. rotes Viereck in Abb. 16), so kann mit der linken Maustaste der gewünschte Eingabebereich für die abhängige Variable markiert werden. Dasselbe ist für die unabhängige Variable, im Marktmodell die Überschussrenditen des Marktindex, im Eingabefeld „Input X Range“ vorzunehmen.

Anhang B

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Abb. 16 Eingabemaske für die lineare Regression

Möchte man den Regressionsoutput in derselben Registerkarte erhalten, so ist im Bereich „Output Range“ über dasselbe Verfahren eine Zelle auszuwählen. Über die Schaltfläche OK oder die Eingabetaste erhält man den in Abschn. 3.2.3 erläuterten „Summary Output“ (Regressionsstatistik und Varianzanalyse bzw. ANOVA). Abschließend wird im Kontext des Marktmodells ein Streudiagramm (Scatterplott) erstellt, dass die Verteilung der Überschussrenditen aufzeigt. Hierzu markiert man mit der linken Maustaste die beiden Spalten, in denen sich die Überschussrenditen befinden und erzeugt über „Einfügen“ und „Punkt“ im Funktionscontainer „Diagramm“ eine entsprechende Darstellung. Abschließend kann die lineare Trendlinie dargestellt werden. Ein zweckdienliches Werkzeug findet sich in Microsoft Excel 2010 unter der Registerkarte „Diagrammtools“, die allerdings erst dann erscheint, wenn das Streudiagramm markiert ist (vgl. Abb. 17).

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Abb. 17 Einfügen einer linearen Trendlinie in das Streudiagramm

Anhang B

Anhang C: t-Verteilung

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Abb. 18 t-Verteilung – Kritische t-Werte

Anhang C: t-Verteilung

Anhang D: Konstruktion der Effizienzkurve nach dem Marktmodell in Microsoft Excel 2010

Grundsätzlich erfolgt die Bestimmung der Effizienzkurve nach dem Marktmodell in weiten Teilen ähnlich wie die Ermittlung nach dem Ansatz von Markowitz. So sind die vorzunehmenden Schritte ab etwa der Abb. 5 im Anhang A identisch und sollen an dieser Stelle nicht erneut aufgezeigt werden. Lediglich die Bestimmung der erwarteten Renditen und der Varianz-Kovarianz-Matrix erfolgt grundlegend anders. Zunächst gilt es, die erwarteten Renditen der entsprechenden Anlagen zu berechnen, um den benötigten Renditevektor zu ermitteln. Im Marktmodell wird die erwartete Rendite einer Anlage i wie folgt bestimmt: E(ri ) = α i + β i RM . Die Marktrisikoprämie RM besteht aus der Differenz zwischen der durchschnittlichen Marktrendite und dem durchschnittlichen risikolosen Zinssatz. Dabei werden die Durchschnittswerte mit dem arithmetischen Mittel der historischen Renditewerte ermittelt. Abbildung 19 zeigt dieses Vorgehen. Zur Berechnung der erwarteten Rendite ist das Beta (β) erforderlich, das über eine lineare Regression zwischen den historischen Überrenditen des Marktes (SMI) und den historischen Überrenditen der jeweiligen Anlage bestimmt wird. Um diese Regression in Microsoft Excel 2010 durchzuführen, muss das benötigte Add-In zur Datenanalyse aktiviert werden. Die Aktivierung des Add-In ist im Anhang B zur Regression beschrieben. Abbildung 20 verdeutlicht, wie im Add-In die entsprechenden Datenbereiche für die beiden Variablen X und Y für die lineare Regression definiert werden. Die Abbildung zeigt, wie für die Variable Y die Überrendite des SMI gewählt wird. Analog ist für die Variable X die Überrendite der jeweiligen Anlage (Novartis) zu definieren. Im Bereich „Output options“ ist dann noch der Zellbereich zu definieren, in dem die Regressionswerte letztlich erscheinen sollen. Aus der linearen Regression ergeben sich dann die benötigten Werte, um die erwartete Rendite der einzelnen Anlagen und damit den für die Bestimmung der Effizienzkurve erforderlichen Renditevektor zu berechnen. Relevant sind hierbei die Koeffizienten der Regression, die aus der Konstanten bzw. dem Achsenabschnitt (α) und der Steigung (β) für die Stichprobe der monatlichen Überschussrenditen bestehen. Abbildung 21 zeigt den von 363

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Anhang D

Abb. 19 Bestimmung der Marktrisikoprämie

Microsoft Excel 2010 erstellten „Summary Output“, der die Regressionsstatistik und die Varianzanalyse (ANOVA) umfasst. Damit liegen sämtliche erforderlichen Daten vor. Die erwarteten Renditen der jeweiligen Anlagen können gemäß dem Marktmodell bestimmt werden (siehe Abb. 22). Hierfür ist der jeweilige Beta-Wert mit der Marktrisikoprämie zu multiplizieren und zum jeweiligen Wert der Konstanten zu addieren. Da diese Werte mit monatlichen Renditen bestimmt wurden, ist eine Umrechnung auf jährliche Renditen erforderlich. Neben dem Renditevektor ist die Varianz-Kovarianz-Matrix zu bestimmen. Die Varianz einer Anlage i wird im Marktmodell mit folgender Formel berechnet: σ 2i = β 2i σ 2M + σ 2ε,i . Für die Berechnung der Varianz ist das Beta mit der Varianz der Marktrenditen zu multiplizieren. Die Varianz der Marktrenditen lässt sich mithilfe der Formel (=VAR.S) aus den bereits bestimmten Überrenditen des Marktes (SMI abzüglich risikolose Rendite) ermitteln. Des Weiteren ist für die Berechnung der Varianz der Anlage von Novartis die Varianz

Anhang D

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Abb. 20 Definition der beiden Variablen für die Regression

der Residuen erforderlich, die sich ebenfalls aus dem „Summary Output“ entnehmen lässt (siehe Abb. 23). Hierbei ist darauf zu achten, in welchem Zahlenformat die regressierten Überrenditen vorliegen. Für den Beta-Wert ist dies unerheblich. Für die Varianz der Residuen muss die im „Summary Output“ abzulesende Varianz der Residuen noch durch 10.000 dividiert werden (und nicht etwa durch 100, da die Varianz einen quadrierten Wert darstellt). Es liegen nun alle benötigten Werte vor, um die Varianz der verschiedenen Anlagen zu eruieren. Da wiederum mit monatlichen Daten gerechnet wurde, müssen die Ergebnisse auf jährliche Werte umgerechnet werden. Abbildung 24 zeigt die entsprechenden Berechnungen. Für die Berechnung der Effizienzkurve fehlen nur noch die Kovarianzen zwischen den einzelnen Anlagen. Im Marktmodell bestimmen sich diese nach folgender Formel: Covi,j = β i β j σ 2M .

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Anhang D

Abb. 21 Statistiken zur Regression zwischen der Aktie von Novartis und dem SMI

Die entsprechenden Beta-Werte werden wiederum aus dem „Summary Output“ entnommen. In Microsoft Excel 2010 ergibt sich dann die Kovarianz zwischen Novartis und ABB wie in Abb. 25 dargestellt. Nun sind alle erforderlichen Werte im Marktmodell bestimmt worden. Mit den erwarteten Renditen, Varianzen und Kovarianzen kann die Effizienzkurve gemäß Anhang A konstruiert werden.

Anhang D

Abb. 22 Ermittlung der erwarteten Renditen gemäß dem Marktmodell

Abb. 23 Varianz der Residuen

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Abb. 24 Varianz der Anlagen nach dem Marktmodell

Abb. 25 Bestimmung der Kovarianz nach dem Marktmodell

Anhang D